微积分及经济学应用
微积分在经济学中的应用
微积分在经济学中的应用微积分是数学中的重要分支，也是应用最广泛的数学工具之一。
它的特点是能够对连续变化的量进行研究，因此在经济学中的应用非常广泛。
本文将从宏观经济学和微观经济学两个层面，探讨微积分在经济学中的重要性和应用。
一、宏观经济学中的微积分应用宏观经济学是对整个经济系统进行研究的学科，它关注的是经济的总体运行规律和宏观经济变量之间的关系。
微积分在宏观经济学中的应用主要体现在以下几个方面：1. 经济增长模型经济增长是宏观经济学中的核心问题之一。
微积分可以帮助我们建立经济增长模型，探讨经济增长率和各种因素之间的关系。
例如，通过对经济生产函数进行微积分运算，可以得到边际产出、边际投入和边际技术效率等重要经济指标，进而研究经济增长的规律和影响因素。
2. 国民收入计算国民收入是衡量一个国家经济发展水平的重要指标。
微积分在国民收入计算中发挥了重要作用。
它可以帮助我们对经济数据进行求和、积分等运算，从而准确计算出国民收入和国内生产总值等宏观经济指标。
3. 经济周期分析经济周期是宏观经济波动的一种表现形式，对其进行研究有助于把握经济的发展趋势和规律。
微积分可以帮助我们对经济数据进行趋势分析、峰值检测等，从而辅助预测经济周期的起伏和变化。
二、微观经济学中的微积分应用微观经济学是研究个体经济单位之间的行为和相互关系的学科，微积分在微观经济学中的应用主要体现在以下几个方面：1. 边际分析边际分析是微观经济学的基础理论之一，而微积分是边际分析的重要工具。
通过微积分的求导和积分运算，我们可以准确计算出边际成本、边际效用和边际收益等经济指标，从而帮助决策者做出最优决策。
2. 弹性分析弹性是衡量市场供求关系敏感度的指标，对于分析市场需求和供给的变化尤为重要。
微积分可以帮助我们计算和分析价格弹性、收入弹性和交叉弹性等，从而更好地理解市场的运行机制和市场参与者的行为。
3. 市场均衡分析市场均衡是微观经济学中的重要概念，用于描述市场上供给和需求的平衡状态。
微积分的8种应用场景专题讲解
微积分的8种应用场景专题讲解微积分是数学中一门重要的学科，它在各个领域有着广泛的应用。
下面将介绍微积分在8个不同的应用场景中的具体应用。
1. 物理学微积分在物理学中有着重要的应用，特别是对于运动学和力学的研究。
微积分可以描述物体的运动、速度、加速度和力的变化等重要物理量。
2. 经济学经济学中的边际分析和优化问题离不开微积分的运用。
微积分可以帮助经济学家分析市场供求关系、均衡价格和最优决策等经济问题。
3. 工程学在工程学中，微积分被广泛用于建模和优化。
例如，在结构力学中，微积分可以用于求解梁的弯曲和变形问题，以及通过最小化能量来设计最优结构。
4. 生物学微积分在生物学中的应用涉及到生物体的增长、代谢和动力学等方面。
通过微积分，生物学家可以研究生物体的变化和响应，进而理解生物系统的工作原理。
5. 计算机科学微积分在计算机科学中的应用主要体现在数据分析和算法设计方面。
微积分可以帮助研究人员分析和优化算法的效率，同时也为机器研究和人工智能提供了理论基础。
6. 统计学微积分在统计学中的应用主要体现在连续分布函数的推导和概率密度函数的计算中。
统计学家利用微积分方法可以对各种概率分布进行分析和推断。
7. 化学在化学中，微积分广泛应用于化学反应动力学、物质转化和反应速率等方面。
通过微积分，化学家可以了解和预测化学反应的速度和趋势。
8. 经营管理在经营管理领域，微积分可以帮助管理人员做出最优决策。
例如，在市场营销中，微积分可以用于分析需求曲线和边际收益，从而制定出最佳的定价和市场策略。
以上是微积分在8个应用场景中的简要介绍。
微积分的广泛应用证明了其在各个领域中的重要性和价值。
微积分在经济学中的应用分析
微积分在经济学中的应用分析微积分是数学中的一大分支，它主要研究函数的极限、导数、微分和积分等数学概念和运算。
微积分的应用非常广泛，涉及到各个领域，包括物理学、化学、工程学、生物学等，其中经济学是其中一个重要的应用领域。
下面将分析微积分在经济学中的应用。
1. 一元微积分一元微积分主要研究一个自变量的函数的极限、导数和积分，其中导数和积分的应用在经济学中尤为重要。
导数的应用导数是函数在某一点处的斜率，它在经济学中有着重要的应用。
例如，在生产函数中，均线产品的产量和使用的生产要素之间存在着一定的关系，这种关系可以用生产函数来描述。
生产函数的一般形式为：q=f(k, l)其中，q表示产量，k和l分别表示生产要素的数量（例如资本和劳动力）。
假设生产函数中资本和劳动力的价格分别为r和w，则资本k和劳动力l的成本可以表示为：C=rk+wl函数C也是q的函数，它表示单位产量的成本。
假设某一时刻，资本和劳动力的数量分别为k和l，单位时间内的产量为q，则单位时间内的成本可以表示为：C(q)=r(k(q))+w(l(q))其中，k(q)和l(q)分别表示产量为q时，需要使用的资本和劳动力的数量。
成本函数的导数c'(q)表示在某一产量下，单位产量的成本变化量，称为边际成本。
在实际中，企业为了最大化利润需要选择边际成本等于边际收益的产量。
因此，成本函数的导数在经济学中具有重要的应用。
积分的应用积分是导数的逆运算，它在经济学中有着重要的应用。
例如，在宏观经济学中，净出口是指某国对外贸易出口和进口之差，它可以表示为：NX = X-M其中，X表示出口，M表示进口。
某一时刻净出口的值可以表示为：在某一时刻t，储蓄和投资的数量分别为S(t)和I(t)，则国内生产总值（GDP）可以表示为：GDP = C+I+G+NX其中，C表示消费支出，G表示政府支出。
从这个方程可以看出，GDP是储蓄、投资、消费和净出口之和。
净出口的值可以通过计算出口和进口之和，然后去掉进口即可得到。
微积分在经济学中的应用
微积分在经济学中的应用广泛且深入，其基本概念和方法为经济分析提供了有力的工具。
微积分在经济学中的运用，主要体现在建立经济模型、分析经济变量之间的关系、预测经济趋势、优化经济决策以及与数据分析的结合等方面。
以下是关于微积分在经济学中应用的一些详细内容。
一、微积分的核心概念及其在经济学中的应用微积分主要由极限、导数、积分等核心概念构成。
这些概念在经济学中都有广泛的应用。
1. 极限：在经济学中，极限常常被用来描述经济变量的长期趋势。
例如，在经济增长理论中，极限概念被用来探讨一个国家或地区的经济增长潜力。
2. 导数：导数是微积分中一个非常重要的概念，它描述了函数在某一点的变化率。
在经济学中，导数常被用于描述经济变量之间的边际关系，如边际成本、边际收益等。
这些概念在决策分析、定价策略、资源优化等方面有着广泛的应用。
3. 积分：积分是微积分的另一个核心概念，它描述了函数在某一区间内的累积变化。
在经济学中，积分常被用于计算总成本、总收入等经济指标。
此外，在经济预测和规划中，积分也发挥着重要作用。
二、微积分在经济模型建立中的应用微积分在经济模型的建立中扮演着至关重要的角色。
通过建立含有导数、积分等微积分元素的经济模型，我们可以更准确地描述经济现象，揭示经济变量之间的关系。
例如，在宏观经济学中，常使用微积分来建立经济增长模型。
通过引入导数来描述经济增长率的变化，可以更准确地预测经济未来的发展趋势。
在微观经济学中，微积分也被广泛用于建立需求曲线、供给曲线等模型，以分析市场价格与数量之间的关系。
三、微积分在优化经济决策中的应用微积分在优化经济决策中也发挥着重要作用。
通过求解含有微积分元素的优化问题，我们可以找到实现经济目标的最优方案。
例如，在生产决策中，企业常使用微积分来优化生产成本。
通过求解边际成本等于边际收益的条件，企业可以确定最佳的生产规模，以实现利润最大化。
在投资决策中，微积分也可帮助投资者分析投资项目的风险和收益，以找到最优的投资组合。
微积分在经济学中的应用分析
微积分在经济学中的应用分析微积分是数学中的一个重要分支，它主要研究极限、导数、积分和无穷级数等概念，是分析、几何和代数等数学分支的基础。
在经济学中，微积分有着广泛的应用，它可以帮助经济学家分析经济现象、预测经济走势、优化经济政策等，为经济学领域的研究和实践提供了重要的数学工具。
微积分在经济学中的应用之一是用来分析经济现象。
经济学家常常需要通过建立数学模型来描述经济中的各种现象和规律，而微积分作为数学的重要工具，可以帮助他们进行精确的分析。
在微观经济学中，经济学家可以利用微积分来推导供求曲线、成本曲线、收益曲线等与市场供求关系相关的数学模型，从而更好地理解市场运行机制。
在宏观经济学中，微积分也可以用来建立宏观经济模型，分析国民经济的总量关系和增长趋势，为宏观经济政策的制定提供理论支持。
微积分在经济学中的应用还包括经济预测和决策优化。
在经济学研究和实践中，人们常常需要通过对经济变量的变化趋势进行预测，以便作出正确的决策。
微积分可以通过对经济数据进行分析，建立数学模型，并利用微积分的概念和方法进行推导和计算，从而实现对经济走势的预测。
微积分也可以用来对决策进行优化。
对于生产企业来说，可以利用微积分的方法对生产成本、产量、利润等多个变量进行优化，从而实现最大化利润的目标。
对于政府来说，也可以利用微积分的方法对税收政策、货币政策等进行优化，实现国民经济的稳定和发展。
微积分在交易和投资领域也有着重要的应用。
金融市场是一个充满风险和不确定性的市场，投资者需要通过对市场数据和走势的分析来做出投资决策。
微积分可以帮助投资者对金融市场的波动和变化进行量化分析，从而更好地理解市场的规律，找到投资机会并进行风险管理。
微积分也可以应用于金融衍生品的定价和风险管理，为各种金融工具的设计和交易提供数学基础。
微积分在经济学中的应用是多方面的，它不仅可以帮助经济学家分析经济现象，预测经济走势，优化经济政策，还可以帮助投资者进行风险管理和决策优化。
微积分在实际中的应用案例
微积分在实际中的应用案例微积分在实际中有许多应用案例，以下是一些例子：1. 物理学的应用：微积分在物理学中有广泛的应用，例如计算物体在运动中的速度、加速度和位移，以及解决电磁学、光学和量子力学中的问题。
此外，在研究天文学、气象学和地球物理学等领域时，也需要用到微积分的知识。
2. 工程学的应用：在工程学中，微积分被用来解决各种实际问题，如结构设计、机械振动、热传导和流体动力学等问题。
微积分还被用于控制工程和信号处理等领域，以实现最优控制和信号传输。
3. 经济学的应用：微积分在经济学的应用非常广泛，例如计算边际成本、边际收入和边际利润等，以及进行投入产出分析和动态规划等。
此外，微积分也被用于金融学和保险精算等领域。
4. 社会学的应用：在人口统计学中，微积分被用来研究人口增长和减少的规律。
在心理学中，微积分也被用于研究人类行为的规律和预测未来的趋势。
5. 医学的应用：在医学领域，微积分被用来研究生物系统的生理变化和药物动力学等。
例如，通过微积分的方法可以模拟药物在体内的扩散和代谢过程，为新药的研发提供重要的参考依据。
6. 环境科学的应用：在环境科学中，微积分被用来研究环境污染物的扩散和传播过程，以及生态系统的平衡和可持续发展等问题。
7. 计算机科学的应用：在计算机科学中，微积分被用来优化算法和提高计算机的性能。
例如，通过微积分的方法可以优化图像处理和语音识别等算法的性能。
8. 化学工程的应用：在化学工程中，微积分被用来描述化学反应速率和传质传热等过程，并优化反应器的操作条件。
9. 生物学中的应用：在生物学中，微积分被用来描述生物体的生理特征和行为特征，如呼吸系统、消化系统和神经系统等。
此外，微积分还被用于生态学中研究种群增长和生物多样性等问题。
总之，微积分作为一门数学工具，在实际中的应用非常广泛。
无论是在科学研究还是实际生活中，微积分都发挥着重要的作用。
微积分在经济学中的应用分析
微积分在经济学中的应用分析微积分作为数学的一个分支，广泛应用于各个学科领域，其中包括经济学。
在经济学中，微积分的应用不仅帮助我们理解经济现象，还帮助我们分析经济问题和制定经济政策。
本文将从微积分在边际分析、最优化、模型建立和解决实际经济问题等方面进行分析，探讨微积分在经济学中的重要作用。
一、微积分在边际分析中的应用边际分析是微观经济学中一个重要的概念，它主要用来分析经济单元（如企业、消费者）在某一活动中产生的额外收益和额外成本。
微积分帮助我们理解和应用边际分析，通过导数来计算边际成本和边际收益。
我们来看企业的生产决策。
假设某企业的生产函数为Y=f(X)，其中Y表示产出，X表示投入。
企业在决定增加一单位投入时，产出将如何变化呢？这就涉及到边际产出的计算，即f’(X)，其中f’(X)表示对生产函数进行微分得到的边际产出。
通过计算边际产出，企业可以评估增加一单位投入所带来的额外产出，从而最大化产出与成本之间的关系。
微积分也可以用于消费者的边际效用分析。
假设某消费者的效用函数为U=g(X)，其中U表示效用，X表示消费量。
消费者在做出消费决策时，需要考虑增加一单位消费对效用的变化，即边际效用。
通过效用函数的微分g’(X)，消费者可以评估增加一单位消费所获得的额外效用，从而最大化效用与消费之间的关系。
最优化是微积分在经济学中的另一个重要应用领域，它主要用来分析在给定约束条件下，如何使某一目标函数达到最优状态。
在经济学中，最优化经常出现在生产决策、消费决策和资源配置等方面。
以生产决策为例，假设某企业的产出为Y，生产成本为C，企业的利润π为π=Y-C。
企业在决定生产量时，需要最大化利润函数π关于生产量Y的函数。
这涉及到利润函数π的微分，即π’(Y)，通过对利润函数进行微分，企业可以找到最大化利润的生产量，从而实现最优化生产决策。
三、微积分在模型建立和解决实际经济问题中的应用微积分还广泛用于经济学模型的建立和解决实际经济问题。
经济学中的数学方法及应用
经济学中的数学方法及应用经济学作为社会科学的一门学科，旨在研究如何对稀缺资源进行分配以满足人类的需求。
经济学家使用各种方法来理解经济现象，数学方法是其中之一。
数学方法在经济学中的应用可以帮助经济学家更准确地描述和预测经济现象。
一、微积分和经济学微积分是经济学中最基本也是最广泛使用的数学工具。
微积分可以用来计算生产函数、边际产品和成本等重要的经济变量。
例如，生产函数是生产过程的数学表示，可以用微积分来求出产量的最大值和最小值。
这些数据可以被用来帮助制定最优的生产计划，以实现最大的效益。
边际产品是每单位新增生产的额外产出，可以用微积分来计算。
这对于制定更好的定价策略非常重要。
成本是企业在生产过程中所需的所有费用。
经济学家可以用微积分来计算边际成本，从而了解生产更多产品所需的额外成本。
二、统计学和经济学统计学是用来收集、分析和解释数据的学科。
对于经济学家来说，统计学可以帮助他们理解经济现象背后的数据。
统计学利用数学和概率理论来解释不确定性，因此在经济学中的应用非常广泛。
例如，经济学家可以使用回归分析来确定两个变量之间的关系。
回归分析可以告诉我们，一个变量的变化会如何影响另一个变量。
这个方法可以用来预测商品价格和消费者支出等变量。
三、决策分析和经济学决策分析是应用数学模型来支持决策制定的学科。
在经济学中，决策分析可以帮助决策者深入了解不同决策的可能结果。
例如，经济学家可以使用决策树来确定不同决策的结果。
决策树可以显示各种可能结果和每个结果的概率。
这些结果可以被用来帮助决策者制定最佳决策。
决策树也可以用来帮助预测经济变量，例如市场份额和销售额等。
四、优化和经济学优化是使用数学模型来找到最佳解的过程。
经济学家可以使用优化来制定最佳的经济政策。
例如，经济学家可以使用线性规划来帮助政府实现最大的社会效益或最低成本。
线性规划可以帮助经济学家确定最优的资源分配方案，以避免浪费，并最大程度地满足社会需求。
此外，优化方法还可以用来帮助企业制定最优的生产计划，以实现最大利润。
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第3章 微积分及其经济学应用3.1 一元函数和多元函数在数学上，函数的定义为：如果在一个变化过程中有两个变量x 和y ，对任意给定的x 值，仅存在一个y 值与其对应，则称y 是x 的函数，表示为)(x f y =。
其中x 为自变量，y 为因变量。
由于函数关系中仅有一个自变量，因此该函数称为一元函数。
x 能够取得的所有值的集合称为函数定义域，y 能够取得的所有值的集合称为函数值域。
在对经济问题的分析过程中，我们通常用函数来描述经济变量之间的变化关系。
例如，在商品的供求关系中，定义某种商品价格为P ，需求量为D Q ，供给量为S Q 。
那么，需求与价格的函数关系可以表示为：)(P f Q D =，)(P g Q S =。
然而我们所处的经济环境是非常复杂的，每一个经济变量都要受到多种因素的影响。
因此，采用一元函数来分析经济问题就会有很大的局限性。
所以我们常常采用多元函数来研究经济问题。
多元函数是在一个函数关系中函数值是由多个变量确定的，用),,,(21n x x x f y =的形式来表示，它表示因变量y 的值取决于n 个自变量n x x x ,,,21 的大小。
例如在消费理论的基本假设中，每个消费者都同时对多种商品有需求，“效用”取决于所消费的各种商品的数量，效用函数就可以表示为),,,(21n x x x f U =，其中U 表示消费者的效用，n x x x ,,,21 是对n 种商品的消费量。
这个函数称为效用函数。
同样，生产函数常表示为),(K L f y =，y 为产出水平，K 表示资本，L 表示劳动力。
它说明产出水平既取决于劳动力又取决于资本。
Q=A*L^ alpha *K^ beltaA=1;alpha=0.5;belta=0.5;资本柯布道格拉斯生产函数劳动力产值3.2水平曲线二元函数),(y x f z =的水平曲线定义为：C y x f =),(，C 为常数，它表示曲面上z 值为常数C 的点),(y x 连接而成的曲线。
对于三元函数),,(z y x f M =，称C z y x f =),,(为水平曲面，它表示M 值为常数C 的点),,(z y x 连接而成的曲面。
水平曲线在经济学中有重要的应用，如生产函数为),(K L f y =，其中y 为产出，L 为劳动力，K 为资金，如下图所示第一象限中的点表示正的劳动投入和资金投入的所有可能组合，且每一个点对应一个y 值，所有对应5=y 的点（L ，K ）连接起来就是一条曲线，这条曲线就是一条水平曲线，经济学家将这条水平曲线称为等产量曲线，实际上这条曲线是用5=y 平面截曲面),(K L f y =所得曲线在K L -平面的投影。
自然这条曲线上所有点对应的y 值为5，如下图中，点A 、B 、C 、D 对应的y 值皆为5，因此将这条水平线也称为等值线、等高线，E 点则代表产出为10的等产量曲线，F 点则代表产出为15的等产量曲线，可见越向右上方向的等产量曲线的产出值越大。
生产函数的水平曲线在消费理论中，假设消费者只消费两种商品，那么它的效用取决于这两种商品消费量的组合。
如果用U 表示效用，21,x x 分别表示这两种商品的消费量，那么它的效用函数就是二元函数，可以表示为),(21x x U U =。
平面直角坐标系第一象限中的点表示出两种商品消费量的所有可能组合，平面上的每一点对应),(21x x U 曲面上的一个值。
如果将对应0U 的点连起来就表示在效用水平为0U 的情况下的一条水平曲线。
经济学上将这条水平曲线称为无差异曲线或等效用曲线。
3.3 极限 1.极限的定义数列极限的定义：在数列{}n a 中，任取0>ε，如果存在N ，使得当N n >时，ε<-A a n ，则称当n 趋于无穷大时，A 为n a 的极限。
表示为：A a n n =∞→lim 或者A a n →)(∞→n 。
在数列{}n a 中，n a 与n 一一对应，因此可以将n a 视为定义域为正整数n 的函数)(n f a n =。
因此对数列极限的定义进行推广，就可以得到函数)(x f 当∞→x 和0x x →极限的定义。
函数极限的定义当∞→x 时函数极限的定义：任取0>ε，存在X ，使得当X x >时，ε<-A x f )(，那么常数A 为当∞→x 时)(x f 的极限，记为A x f x =∞→)(lim 或者 A x f →)()(∞→x 。
当0x x →时函数极限的定义：任取0>ε，存在0>δ，使得当δ<-<00x x 时，ε<-A x f )(，那么常数A 为当0x x →时)(x f 的极限，记为A x f x x =→)(lim 0或者A x f →)()(0x x →。
2. 左极限与右极限当x 从0x 的左侧（即小于0x 的方向）趋向于0x （记为-→0x x ），若此时)(x f 有极限A ，则称A 为当-→0x x 时的左极限。
记为A x f x x =-→)(lim 0或者A x f →)()(0-→x x 。
当x 从0x 的右侧（即大于0x 的方向）趋向于0x （记为+→0x x ），若此时)(x f 有极限A ，则称A 为当+→0x x 时的右极限。
记为A x f x x =+→)(lim 0或者A x f →)()(0+→x x 。
3. 极限的运算法则定理：如果A x f x x =→)(lim 0，B x g x x =→)(lim 0，且A ，B 有限则 (1) B A x g x f x g x f x x x x x x ±=±=±→→→)(lim )(lim )]()([lim 000 (2) AB x g x f x g x f x x x x x x =-=→→→)(lim )(lim )]()([lim 000 (3) )(lim )(lim 00x f c x cf x x x x →→= (4) nx x n x x x f x f )](lim [)]([lim 00→→= 4. 两个重要的极限 (1) 1sin lim 0=→x x x ，(2) e xx x =+∞→)11(lim 3.4连续复利连续复利的计算，是函数极限在经济学的经典应用。
假设一个人将a 元存入银行，银行年利率为r ，若利息按复利计息，每年计算一次，则年底时他的存款总额为)1(r a +。
如果银行改为半年计算一次利息，年利率不变，则半年的利率为2r ，则年底时，他的存款总额应为2)21(ra +元。
当银行每年计息n 次，可以推得，年底时存款总额应为n nr a )1(+元。
当银行在年内连续计息时，即∞→n 时，年底存款总额为n n n r a )1(lim +∞→元。
对其求极限可以得到：r r r n n r r n n n n ae nr a n r a n r a =+=+=+∞→∞→∞→])1(lim [])1[(lim )1(lim 因此，在连续计息的情况下，年底时这个人的存款的余额为r ae 元。
我们可以将其推广到存款多年的情况，在连续计息时，第二年年底的存款余额为r r r ae e ae 2=⨯元，则可以得出t 年末的存款余额为tr ae 元。
因此，连续复利时，本金为a 元，年利率为r ，则t 年末的资金余额为：tr ae FV =元。
同样可以得到，t 年末的资金a 元，在连续复利的情况下，贴现值为：tr ae PV -=。
3.5一元函数的导数1. 一元函数导数的定义：设)(x f y =为定义在集合D 上的一元函数，D x ∈0，则函数在0x 点处的导数定义为：00)()(lim00x x x f x f dx dyx x x x --=→=或xx f x x f x f x ∆-∆+=→∆)()(lim )(0000' 2. 导数的四则运算法则：设函数)(x f 和)(x g 都在x 点可导，则这两个函数的和、差、积、商均在x 点可导。
(1) )()]([''x cf x cf =(c 为常数)；(2) )()()]()(['''x g x f x g x f ±=±；(3) )()()()()]()(['''x g x f x g x f x g x f +=； (4) )()()()()(])()([2'''x g x g x f x g x f x g x f -=，]0)([≠x g 3．复合函数的导数——链式法则设函数))(()(x g f x h =是和)(x g u =的复合函数，且函数)(x g u =在x 点处可导，)(u f y =在u 点处可导，则有)())(())](([)(''''x g x g f x g f x h == 或dxdu du dy dx dy =（链式法则） 3.6二元函数求偏导3.6.1二元函数的一阶偏导数二元函数的偏导数的定义为：设函数),(y x f z =在点),(00y x 的一个邻域有定义，当y 固定在0y 而x 在0x 处有增量x ∆时，如果极限xy x f y x x f x ∆-∆+=→∆),(),(lim 00000存在，则称此极限为函数),(y x f z =在点),(00y x 的对x 的偏导数，记作),(00y x x z ∂∂，),(00y x x f ∂∂，),(00y x z x 或),(00y x f x类似地，函数),(y x f z =在点),(00y x 处对y 的偏导数定义为yy x f y y x f y ∆-∆+=→∆),(),(lim 00000 记作),(00y x y z ∂∂，),(00y x y f ∂∂，),(00y x z y 或),(00y x f y 如果函数),(y x f z =在定义域D 内每一点),(y x 对x 的偏导数都存在，那么这个偏导数是x 、y 的函数，它就称为对x 的偏导数函数。
记作x z ∂∂，x z ，),(y x f x 类似地，可以定义对自变量y 的偏导数函数，yz ∂∂，y z ，),(y x f y在),(y x f z =求偏导数时，实际上和一元函数求导方法相同，求x f ∂∂时，只要把y 看作常量而对x 求导数；求yf ∂∂时，只要把x 看作常量而对y 求导数。
3.6.2二元函数高阶偏导数设函数),(y x f z =在定义域D 内具有偏导数),(y x f x ，),(y x f y ，那么在D 内),(y x f x ，),(y x f y 都是x 、y 的函数，如果这两个函数的偏导数也存在，则称它们是函数),(y x f z =的二阶偏导数，按照对变量求导次序的不同有下列四个二阶偏导数：),(22y x f x z x z x xx =∂∂=⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂∂∂， ),(2y x f yx z x z y xy =∂∂∂=⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂∂∂ ),(2y x f x y z y z x yx =∂∂∂=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂∂∂，),(22y x f yz y z y yy =∂∂=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂∂∂ 类似地，可以定义三阶、四阶以及n 阶偏导数，二阶以上的偏导数称为高阶偏导数，在二阶偏导数计算中引出一个重要定理：杨格定理 如果函数),(y x f z =的两个二阶混合偏导数x y z ∂∂∂2，yx z ∂∂∂2在区域D 内连续，那么自该区域内这两个二阶混合偏导数必相等。