考研数学之微积分在经济学中的应用

考研数学之微积分在经济学中的应用

来源：文都教育

这一部分内容，数一和数二都不考，只有数三考试，考试内容比较简单。这一部分和常微分方程联系紧密，只要常微分法方程学的好，这一部分都不会困难，主要是计算量比较大一些。一下是文都数学老师总结的这一部分的主要内容，希望对数三考生有所帮助。

一、 差分方程

1、定义 设函数).(t y y t = 称改变量t t y y -+1为函数t y 的差分, 也称为函数t y 的一阶差分, 记为t y ∆, 即t t t y y y -=∆+1 或 )()1()(t y t y t y -+=∆.

一阶差分的差分称为二阶差分t y 2∆, 即

t t t t y y y y ∆-∆=∆∆=∆+12)(.2)()(12112t t t t t t t y y y y y y y +-=---=+++++ 类似可定义三阶差分, 四阶差分,……

),(),(3423t t t t y y y y ∆∆=∆∆∆=∆

2、差分方程的概念

一般形式：0),,,,,(2=∆∆∆t n t t t y y y y t F 或.0),,,,,(21=+++n t t t t y y y y t G 差分方程中所含未知函数差分的最高阶数称为该差分方程的阶.

特别的，称1(x)y (x)x x y P f ++=为一阶差分方程，同样的，(x)0f ≠为非齐次的，反之为其次的；若为常数，我们称之为一阶常系数差分方程.

3、一阶常系数线性差分方程的解法

一阶常系数线性差分方程的一般形式为：)(1t f ay y t t =++，

其中常数0≠a ，)(t f 为t 的已知函数，当)(t f 不恒为零时，称为一阶非齐次差分方程；

当0)(≡t f 时，差分方程：01=++t t ay y 称为与一阶非次线性差分方程对应的一阶齐

次差分方程。

4、解法

（1）求齐次差分方程的通解

把方程01=++t t ay y 写作t t y a y )(1-=+，假设在初始时刻，即0=t 时，函数t y 取任意常数C 。分别以 ,2,1,0=t 代入上式，得

210200()(),()()()()0,1,2,t

t

t y a y C a y a y C a y a y C a t =-=-=-=-=-=-=，，。

通解为：(a)t t y C =-

特别地，当1-=a 时，齐次差分方程（3）的通解为：C y t =， ,2,1,0=t 。 （2）求非齐次线性差分方程的通解 情形一：b t f =)(为常数

此时，非齐次差分方程可写作：b y a y t t +-=+)(1。 分别以 ,2,1,0=t 代入上式，得

]

)()()(1[)(])()(1[)()()]

(1[)()()(12020323021201--++-+-++-=-+-++-=+-=-++-=+-=+-=t t t a a a b y a y a a b y a b y a y a b y a b y a y b

y a y

。 若1≠-a ，得：

a

b a C a b a b y a y t t t ++-==+++-

-=1)(1)1()(0， ,2,1,0=t ， 其中a

b

y C +-

=10为任意常数。

若1=-a ，得：bt C bt y y t +=+=0， ,2,1,0=t ，其中0y C =为任意常数。

综上讨论，差分方程b ay y t t =++1的通解为：⎪⎩⎪⎨⎧

-=+-≠++-=。，

1,

1,1)(a bt C a a

b a C y t 情形二：)(t f 为一般情况

此时，非齐次差分方程可写作：)()(1t f y a y t t +-=+。 分别以 ,2,1,0=t 代入上式，得：

。

，，

，

)1()()()1()2()()1()()0()()()2()1(0()0()()()2()()1()0()()()1()()0()(1

021020323021201---+-=-+--++-+-+-=+-+-+-=+-=+-+-=+-=+-=∑-=--k t f a a C t f t f a f a f a y a y f f a f a y a f y a y f f a y a f y a y f y a y t k k t

t t t t

情形三：(x)P (x)b x n f =

当b a ≠-时，令特解为*(x)b x n y Q =；当b a =-时，令特解为*(x)b x n y xQ = 二、经济数学中的五大函数

1、总体成本函数(Q)C ：假设供需平衡且没有产品积压的情形下，总体成本C 和产品产量Q 构成函数关系，记为：01(Q),C(Q)C (Q)C C C ==+,0C 为固定成本，1C 为可变成本.

2、总体收入函数(Q)R ：当产品单价为P 的时候，收入函数为(Q)Q P(Q)R =⋅

3、总体利润函数：(Q)(Q)C(Q)L R =-

4、需求函数d Q ：在一定条件下，消费者愿意购买并有支付能力的商品量，(P)d d Q Q =，

需求函数是单价的单调递减函数.

5、供给函数：s Q ：(P)s s Q Q =，供给函数是单价的单调递增函数. 三、边际与弹性

1、边际函数：'(x)f ，研究绝对变化率；0'(x )f 称为在0x 处的边际值 .

2、弹性函数：

'(x)

(x)

f x f ，研究相对变化率；

注解：当1Q P

ε>时，称为高弹性，价格变动对收益函数没有明显的影响；反之有明显

影响.

例 （15数三）为了实现利润最大化，厂商需要对某商品确定其定价模型，设Q 为该商