考研数学之微积分在经济学中的应用
考研数三经济部分
第十三章 微积分在经济学中的经济应用 (数三）《考试要求》1. 掌握导数的经济意义（含边际与弹性的概念）。
2. 了解差分与差分方程及其通解与特解等概念。
3. 掌握一阶常系数线性差分方程的求解方法。
4. 会应用一阶差分方程、极限、级数等知识求解简单的经济应用问题。
一、.极限及级数在经济学中的应用(一)复利：设某银行年利率为r ，初始存款为0A 元，（1）一年支付一次利息（称为年复利），则t 年后在银行的存款余额为()t 01tA A r =+; （2）若一年支付n 次，则t 年后在银行的存款余额为0(1)rnt A A t n =+;（3）由于lim [(1)]nrrt rt r e n n +=→∞，所以当每年支付次数趋于无穷时，t 年后得到的存款余额为0rtt A A e =，称为t 年后按连续复利计算得到的存款余额。
(二)将来值与现值：上述结论中，称t A 是0A 的将来值，而0A 是t A 的现值。
现值与将来值的关系为：0(1)t t A A r =+ ⇔0(1)t t A A r -=+ 或 0(1)t t A A r =+ ⇔0(1)tt A A r -=+例 1 现购买一栋别墅价值300万元, 若首付50万元, 以后分期付款, 每年付款数目相同, 10年付清,年利率 为6%, 按连续复利计算, 问每年应付款多少？r ，并依年复利计算，某基金会希望通过存款例2（08）设银行存款的年利率为0.05A万元，实现第一年提取19万元，第二年提取28万元，…，第n年提取（10+9n）万元，并能按此规律一直提取下去，问A至少应为多少万元？、二. 经济学中的常用函数需求函数：()Q Q P =, 通常()Q Q P =是P 的减函数； 供给函数：()Q Q P =, 通常()Q Q P =是P 的增函数；成本函数：01()()C Q C C Q =+, 其中0(0)C C =为固定成本, 1()C Q 为可变成本； 收益函数：R PQ =;利润函数：()()()L Q R Q C Q =-.例 1 某厂家生产的一种产品同时在两个市场销售, 售价分别为1p 和2p , 销售量分别为1q 和2q , 需求函数分别为112402q p =-, 22100.05q p =-, 总成本函数为123540()C q q =++, 试问：厂家如何确定两个市场的售价, 能使其获得的总利润最大？最大的总利润为多少？例 2（99）设生产某种产品必须投入两种要素, 1x 和2x 分别为两种要素的投入量, Q 为产出量；若生产函数为122Q x x αβ=, 其中,αβ为正常数, 且1αβ+=, 假设两种要素的价格分别为1p 和2p 试问：当产出量为12时, 两要素各投入多少可以使得投入总费用最小？解 需要在产出量12212x x αβ=的条件下, 求总费用1122p x p x +的最小值, 为此作拉格朗日函数12112212(,,)(122)F x x p x p x x x αβλλ=++-.11121121221220,(1)20,(2)1220.(3)F p x x x F p x x x F x x αβαβαβλαλβλ--∂⎧=-=⎪∂⎪∂⎪=-=⎨∂⎪⎪∂=-=⎪∂⎩ 由(1)和(2), 得 1221216(),()p p x x p p αββααβ==；因驻点唯一, 且实际问题存在最小值, 故当211212(),6()p p x x p p βααββα==时, 投入总费用最小.三. 利用导数求解经济应用问题（一）、边际量：当某经济量()y y x =的自变量x 增加一个单位时经济量的改变量称为该经济量的边际量, 如边际成本、边际收益、边际利润等, 由于(1)()()y x y x y x '+-≈, 且对于大数而言, 一个单位可以看成是微小的, 习惯上将()y x '视为()y y x =的边际量.1、 定义 ： 设()y f x =或(),y f x t =，则称dy dx 或y x∂∂为y 关于x 的边际函数。
微积分在经济学中的应用
微积分在经济学中的应用微积分是数学中的重要分支，也是应用最广泛的数学工具之一。
它的特点是能够对连续变化的量进行研究，因此在经济学中的应用非常广泛。
本文将从宏观经济学和微观经济学两个层面，探讨微积分在经济学中的重要性和应用。
一、宏观经济学中的微积分应用宏观经济学是对整个经济系统进行研究的学科，它关注的是经济的总体运行规律和宏观经济变量之间的关系。
微积分在宏观经济学中的应用主要体现在以下几个方面：1. 经济增长模型经济增长是宏观经济学中的核心问题之一。
微积分可以帮助我们建立经济增长模型，探讨经济增长率和各种因素之间的关系。
例如，通过对经济生产函数进行微积分运算，可以得到边际产出、边际投入和边际技术效率等重要经济指标，进而研究经济增长的规律和影响因素。
2. 国民收入计算国民收入是衡量一个国家经济发展水平的重要指标。
微积分在国民收入计算中发挥了重要作用。
它可以帮助我们对经济数据进行求和、积分等运算，从而准确计算出国民收入和国内生产总值等宏观经济指标。
3. 经济周期分析经济周期是宏观经济波动的一种表现形式，对其进行研究有助于把握经济的发展趋势和规律。
微积分可以帮助我们对经济数据进行趋势分析、峰值检测等，从而辅助预测经济周期的起伏和变化。
二、微观经济学中的微积分应用微观经济学是研究个体经济单位之间的行为和相互关系的学科，微积分在微观经济学中的应用主要体现在以下几个方面：1. 边际分析边际分析是微观经济学的基础理论之一，而微积分是边际分析的重要工具。
通过微积分的求导和积分运算，我们可以准确计算出边际成本、边际效用和边际收益等经济指标，从而帮助决策者做出最优决策。
2. 弹性分析弹性是衡量市场供求关系敏感度的指标，对于分析市场需求和供给的变化尤为重要。
微积分可以帮助我们计算和分析价格弹性、收入弹性和交叉弹性等，从而更好地理解市场的运行机制和市场参与者的行为。
3. 市场均衡分析市场均衡是微观经济学中的重要概念，用于描述市场上供给和需求的平衡状态。
论微积分在经济学中的应用
论微积分在经济学中的应用微积分是数学中的一门分支，主要研究变化率、极限和连续性等概念。
在经济学的分析和研究中，微积分也扮演着重要的角色。
通过微积分的方法，经济学家们能够更加准确地描述和预测经济现象，从而为政策的制定和决策提供可靠的依据。
函数是微积分的基础，它表示一个变量与另一个或多个变量之间的关系。
在经济学中，函数通常被用来描述成本、收益、价格等经济变量之间的关系。
导数表示函数在某一点的变化率，即当自变量发生微小变化时，因变量相应的变化量。
在经济学中，导数可以用来研究经济变量的变化率，例如边际成本、边际收益等。
积分是微分的逆运算，它表示函数在某个区间上的总和。
在经济学中，积分可以用来计算总成本、总收益、总利润等。
微积分在经济学中的应用广泛而深入。
以下是一些主要的方面：优化问题：微分学中的极值理论可以用来解决优化问题，例如求解最大值或最小值点。
在经济学的决策过程中，优化问题通常涉及到成本最小化、利润最大化等方面。
动态分析：微积分中的导数和积分可以用来研究经济系统的动态变化。
例如，利用导数可以研究变量的变化率，而积分可以用来计算累积效应。
均衡理论：微积分在均衡理论中也有着重要的应用。
例如，利用微分学中的极值原理，可以研究经济学中的最优定价、资源分配等问题。
经济增长和收敛：微积分可以用来研究经济增长和收敛的问题。
例如，利用微积分可以研究经济增长的动态过程以及不同经济体之间的收敛性问题。
成本最小化问题：假设某公司生产一种产品，已知产品的市场需求函数为Q=100-P，其中P为产品的价格。
公司的总成本函数为C=5Q²+20Q+1000。
求该公司的最小成本点。
通过求导数，可以得出产品的边际成本函数为MC=Q+20。
根据市场需求函数可知，当边际成本等于价格时，市场达到均衡。
因此，将价格P代入边际成本函数可得Q=40，进而可得出公司的最小成本点为（20，800）。
动态经济增长模型：假设一国的经济增长率由储蓄率S、投资率I、人口增长率n和技术进步率A共同决定，即g=S+I+n+A。
微积分在经济中的应用
微积分在经济中的应用微积分是数学中的一个重要分支，它研究的是函数的变化率和函数的积分。
在经济领域中，微积分也有着广泛的应用。
本文将介绍微积分在经济中的应用。
一、边际分析和最优化边际分析是微积分在经济中的一个重要应用。
它研究的是在一定范围内的最优解。
通过计算边际成本和边际收益，可以找到最优的生产量或价格，从而获得最大利润。
例如，对于一个厂商来说，如果其生产成本为每单位100元，销售价格为每单位150元，那么如果生产100单位的产品，总利润为5000元。
但如果每单位生产成本下降到80元，销售价格不变，那么生产150单位的产品可以获得最大利润7500元。
因此，厂商应该选择生产150单位的产品。
二、弹性分析弹性分析是微积分在经济中的另一个重要应用。
它研究的是函数对于自变量的敏感程度。
在经济学中，弹性分析可以帮助我们理解价格的变动对于需求和供给的影响。
例如，需求弹性和供给弹性可以帮助我们理解市场均衡价格的变动。
如果需求缺乏弹性，那么价格的上升可能会导致销售量的下降幅度小于价格上升的幅度，从而厂商的利润会增加。
因此，厂商可能会选择提高价格。
相反，如果需求富有弹性，那么价格的上升可能会导致销售量的下降幅度大于价格上升的幅度，从而厂商的利润会减少。
因此，厂商可能会选择降低价格。
三、微分方程微分方程是微积分中的一个重要概念，它可以用来描述变量之间的依赖关系。
在经济领域中，微分方程可以用来描述市场均衡价格的变动。
例如，在供求定理中，我们可以建立一个微分方程来描述价格和销售量之间的关系。
如果供给函数为s(p)，需求函数为d(p)，那么我们可以建立如下微分方程：dp/dt = s(p) - d(p)其中，t表示时间，p表示价格。
该方程表示的是在时间内价格的变动量等于供给量与需求量之差。
通过求解这个微分方程，我们可以预测市场均衡价格的变动。
总之，微积分在经济中有着广泛的应用，它可以帮助我们更好地理解经济现象和解决实际问题。
论微积分在经济分析中的应用
论微积分在经济分析中的应用一、边际分析在经济分析中的的应用1.边际需求与边际供给设需求函数Q=f（p）在点p处可导（其中Q为需求量，P为商品价格），则其边际函数Q’=f’（p）称为边际需求函数，简称边际需求。
类似地，若供给函数Q=Q（P）可导（其中Q为供给量，P为商品价格），则其边际函数Q=Q（p）称为边际供给函数，简称边际供给。
2.边际成本函数总成本函数C=C（Q）=C0+C1（Q）；平均成本函数=（Q）=C（Q）Q；边际成本函数C’=C’（Q）．C’（Q0）称为当产量为Q0时的边际成本，其经济意义为：当产量达到Q0时，如果增减一个单位产品，则成本将相应增减C’’（Q0）个单位。
3.边际收益函数总收益函数R=R（Q）；平均收益函数=（Q）；边际收益函数R’=R’（Q）．R’（Q0）称为当商品销售量为Q0时的边际收益。
其经济意义为：当销售量达到Q0时，如果增减一个单位产品，则收益将相应地增减R’（Q0）个单位。
4.边际利润函数利润函数L=L（Q）=R（Q）-C（Q）;平均利润函数;=（Q）边际利润函数L’=L’（Q）=R’（Q）-C’（Q）.L’（Q0）称为当产量为Q0时的边际利润，其经济意义是：当产量达到Q0时，如果增减一个单位产品，则利润将相应增减L’（Q0）个单位。
例1某企业每月生产Q（吨）产品的总成本C（千元）是产量Q的函数，C （Q）=Q2-10Q+20。
如果每吨产品销售价格2万元，求每月生产10吨、15吨、20吨时的边际利润。
解：每月生产Q吨产品的总收入函数为：R（Q）=20QL（Q）=R（Q）-C（Q）=20Q-（Q2-1Q+20）=-Q2+30Q-20L’（Q）=（-Q2+30Q-20）’=-2Q+30则每月生产10吨、15吨、20吨的边际利润分别为L’（10）=-2×10+30=10（千元/吨）；L’（15）=-2×15+30=0（千元/吨）；L’（20）=-2×20+30=-10（千元/吨）；以上结果表明：当月产量为10吨时，再增产1吨，利润将增加1万元；当月产量为15吨时，再增产1吨，利润则不会增加；当月产量为20吨时，再增产1吨，利润反而减少1万元。
微积分在经济学中的应用分析
微积分在经济学中的应用分析微积分是数学中的一大分支，它主要研究函数的极限、导数、微分和积分等数学概念和运算。
微积分的应用非常广泛，涉及到各个领域，包括物理学、化学、工程学、生物学等，其中经济学是其中一个重要的应用领域。
下面将分析微积分在经济学中的应用。
1. 一元微积分一元微积分主要研究一个自变量的函数的极限、导数和积分，其中导数和积分的应用在经济学中尤为重要。
导数的应用导数是函数在某一点处的斜率，它在经济学中有着重要的应用。
例如，在生产函数中，均线产品的产量和使用的生产要素之间存在着一定的关系，这种关系可以用生产函数来描述。
生产函数的一般形式为：q=f(k, l)其中，q表示产量，k和l分别表示生产要素的数量（例如资本和劳动力）。
假设生产函数中资本和劳动力的价格分别为r和w，则资本k和劳动力l的成本可以表示为：C=rk+wl函数C也是q的函数，它表示单位产量的成本。
假设某一时刻，资本和劳动力的数量分别为k和l，单位时间内的产量为q，则单位时间内的成本可以表示为：C(q)=r(k(q))+w(l(q))其中，k(q)和l(q)分别表示产量为q时，需要使用的资本和劳动力的数量。
成本函数的导数c'(q)表示在某一产量下，单位产量的成本变化量，称为边际成本。
在实际中，企业为了最大化利润需要选择边际成本等于边际收益的产量。
因此，成本函数的导数在经济学中具有重要的应用。
积分的应用积分是导数的逆运算，它在经济学中有着重要的应用。
例如，在宏观经济学中，净出口是指某国对外贸易出口和进口之差，它可以表示为：NX = X-M其中，X表示出口，M表示进口。
某一时刻净出口的值可以表示为：在某一时刻t，储蓄和投资的数量分别为S(t)和I(t)，则国内生产总值（GDP）可以表示为：GDP = C+I+G+NX其中，C表示消费支出，G表示政府支出。
从这个方程可以看出，GDP是储蓄、投资、消费和净出口之和。
净出口的值可以通过计算出口和进口之和，然后去掉进口即可得到。
微积分在经济学中的应用
微积分在经济学中的应用广泛且深入，其基本概念和方法为经济分析提供了有力的工具。
微积分在经济学中的运用，主要体现在建立经济模型、分析经济变量之间的关系、预测经济趋势、优化经济决策以及与数据分析的结合等方面。
以下是关于微积分在经济学中应用的一些详细内容。
一、微积分的核心概念及其在经济学中的应用微积分主要由极限、导数、积分等核心概念构成。
这些概念在经济学中都有广泛的应用。
1. 极限：在经济学中，极限常常被用来描述经济变量的长期趋势。
例如，在经济增长理论中，极限概念被用来探讨一个国家或地区的经济增长潜力。
2. 导数：导数是微积分中一个非常重要的概念，它描述了函数在某一点的变化率。
在经济学中，导数常被用于描述经济变量之间的边际关系，如边际成本、边际收益等。
这些概念在决策分析、定价策略、资源优化等方面有着广泛的应用。
3. 积分：积分是微积分的另一个核心概念，它描述了函数在某一区间内的累积变化。
在经济学中，积分常被用于计算总成本、总收入等经济指标。
此外，在经济预测和规划中，积分也发挥着重要作用。
二、微积分在经济模型建立中的应用微积分在经济模型的建立中扮演着至关重要的角色。
通过建立含有导数、积分等微积分元素的经济模型，我们可以更准确地描述经济现象，揭示经济变量之间的关系。
例如，在宏观经济学中，常使用微积分来建立经济增长模型。
通过引入导数来描述经济增长率的变化，可以更准确地预测经济未来的发展趋势。
在微观经济学中，微积分也被广泛用于建立需求曲线、供给曲线等模型，以分析市场价格与数量之间的关系。
三、微积分在优化经济决策中的应用微积分在优化经济决策中也发挥着重要作用。
通过求解含有微积分元素的优化问题，我们可以找到实现经济目标的最优方案。
例如，在生产决策中，企业常使用微积分来优化生产成本。
通过求解边际成本等于边际收益的条件，企业可以确定最佳的生产规模，以实现利润最大化。
在投资决策中，微积分也可帮助投资者分析投资项目的风险和收益，以找到最优的投资组合。
浅谈微积分在经济学中的运用
浅谈微积分在经济学中的运用刘康顺指导老师：陈明玉（教授）摘要：微积分是人类智慧最伟大的成就之一，作为数学知识的基础，微积分是学习经济学的必备知识。
本文着重讨论了微积分在经济学中最基本的一些应用，边际分析，计算弹性系数，寻求最小生产成本或制定获得最大利润及资本现值与投资问题的一系列策略。
关键词：微积分；边际分析；弹性系数；资本现值；投资问题.一、导数在经济学中的应用1. 边际分析导数在经济学中最通常的应用是边际和弹性。
经济学中的边际经济变量都是用增加某一个经济变量一单位从而对另一个经济变量带来的影响是多少,如边际效用、边际成本、边际收益、边际利润、边际替代率等等。
这些边际概念几乎都用导数来表示。
例如,边际成本是厂商增加一单位产品所增加的总成本,边际成本用公式表示就是MC = △TC/ △Q 或dQ dTC Q TC MC Q //lim 0=∆∆=→ 又如边际收益是厂商增加一单位产品所增加的总收益,边际收益用公式表示是MR = △TR/ △Q 或dQ dTR Q TR MR Q //lim 0=∆∆=→ 其它的边际经济变量也可以类似地用导数表示。
例1.某企业每月生产的总成本C(千元)是产量x(吨)的函数2010)(2+-=x x x C 如果每吨产品销售价格2 万元,求每月生产10 吨、15 吨、20 吨时的边际利润。
解:因为利润函数为2030)2010(20)()()(22-+-=+--=-=x x x x x x C x R x L所以边际利润为L ′(x) = - 2x + 30于是L ′(10)= -2×10+30=10(千元/吨)L ′(15)= -2×15+30= 0(千元/吨)L ′(20)= -2×20+30=-10(千元/吨)上述结果表明,当月产量为15 吨时,边际利润为0 ,如果再增加产量,利润不会增加反而减少,所以该企业不能单独依靠增加产量来提高利润。
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考研数学之微积分在经济学中的应用来源：文都教育这一部分内容，数一和数二都不考，只有数三考试，考试内容比较简单。
这一部分和常微分方程联系紧密，只要常微分法方程学的好，这一部分都不会困难，主要是计算量比较大一些。
一下是文都数学老师总结的这一部分的主要内容，希望对数三考生有所帮助。
一、 差分方程1、定义 设函数).(t y y t = 称改变量t t y y -+1为函数t y 的差分, 也称为函数t y 的一阶差分, 记为t y ∆, 即t t t y y y -=∆+1 或 )()1()(t y t y t y -+=∆.一阶差分的差分称为二阶差分t y 2∆, 即t t t t y y y y ∆-∆=∆∆=∆+12)(.2)()(12112t t t t t t t y y y y y y y +-=---=+++++ 类似可定义三阶差分, 四阶差分,……),(),(3423t t t t y y y y ∆∆=∆∆∆=∆2、差分方程的概念一般形式：0),,,,,(2=∆∆∆t n t t t y y y y t F 或.0),,,,,(21=+++n t t t t y y y y t G 差分方程中所含未知函数差分的最高阶数称为该差分方程的阶.特别的，称1(x)y (x)x x y P f ++=为一阶差分方程，同样的，(x)0f ≠为非齐次的，反之为其次的；若为常数，我们称之为一阶常系数差分方程.3、一阶常系数线性差分方程的解法一阶常系数线性差分方程的一般形式为：)(1t f ay y t t =++，其中常数0≠a ，)(t f 为t 的已知函数，当)(t f 不恒为零时，称为一阶非齐次差分方程；当0)(≡t f 时，差分方程：01=++t t ay y 称为与一阶非次线性差分方程对应的一阶齐次差分方程。
4、解法（1）求齐次差分方程的通解把方程01=++t t ay y 写作t t y a y )(1-=+，假设在初始时刻，即0=t 时，函数t y 取任意常数C 。
分别以 ,2,1,0=t 代入上式，得210200()(),()()()()0,1,2,ttt y a y C a y a y C a y a y C a t =-=-=-=-=-=-=，，。
通解为：(a)t t y C =-特别地，当1-=a 时，齐次差分方程（3）的通解为：C y t =， ,2,1,0=t 。
（2）求非齐次线性差分方程的通解 情形一：b t f =)(为常数此时，非齐次差分方程可写作：b y a y t t +-=+)(1。
分别以 ,2,1,0=t 代入上式，得])()()(1[)(])()(1[)()()](1[)()()(12020323021201--++-+-++-=-+-++-=+-=-++-=+-=+-=t t t a a a b y a y a a b y a b y a y a b y a b y a y by a y。
若1≠-a ，得：ab a C a b a b y a y t t t ++-==+++--=1)(1)1()(0， ,2,1,0=t ， 其中aby C +-=10为任意常数。
若1=-a ，得：bt C bt y y t +=+=0， ,2,1,0=t ，其中0y C =为任意常数。
综上讨论，差分方程b ay y t t =++1的通解为：⎪⎩⎪⎨⎧-=+-≠++-=。
，1,1,1)(a bt C a ab a C y t 情形二：)(t f 为一般情况此时，非齐次差分方程可写作：)()(1t f y a y t t +-=+。
分别以 ,2,1,0=t 代入上式，得：。
，，，)1()()()1()2()()1()()0()()()2()1(0()0()()()2()()1()0()()()1()()0()(1021020323021201---+-=-+--++-+-+-=+-+-+-=+-=+-+-=+-=+-=∑-=--k t f a a C t f t f a f a f a y a y f f a f a y a f y a y f f a y a f y a y f y a y t k k tt t t t情形三：(x)P (x)b x n f =当b a ≠-时，令特解为*(x)b x n y Q =；当b a =-时，令特解为*(x)b x n y xQ = 二、经济数学中的五大函数1、总体成本函数(Q)C ：假设供需平衡且没有产品积压的情形下，总体成本C 和产品产量Q 构成函数关系，记为：01(Q),C(Q)C (Q)C C C ==+,0C 为固定成本，1C 为可变成本.2、总体收入函数(Q)R ：当产品单价为P 的时候，收入函数为(Q)Q P(Q)R =⋅3、总体利润函数：(Q)(Q)C(Q)L R =-4、需求函数d Q ：在一定条件下，消费者愿意购买并有支付能力的商品量，(P)d d Q Q =，需求函数是单价的单调递减函数.5、供给函数：s Q ：(P)s s Q Q =，供给函数是单价的单调递增函数. 三、边际与弹性1、边际函数：'(x)f ，研究绝对变化率；0'(x )f 称为在0x 处的边际值 .2、弹性函数：'(x)(x)f x f ，研究相对变化率；注解：当1Q Pε>时，称为高弹性，价格变动对收益函数没有明显的影响；反之有明显影响.例 （15数三）为了实现利润最大化，厂商需要对某商品确定其定价模型，设Q 为该商品的需求量，p 为价格，MC 为边际成本，η为需求弹性（η>0）.（Ⅰ）证明定价模型为:1MCp η=-（Ⅱ）若该商品的成本函数为2()1600,C Q Q =+需求函数为40,Q p =-试由（Ⅰ）中的定价模型确定此商品的价格.（答案：η11-=MCP ，30=P 【解】（I ）总收益为PQ R =， 收益对价格的弹性为)(1dP dQ P Q Q dP dR P R P R dP dREP ER +=⋅==η-=⋅+=11dPdQ Q P ， 收益对需求的弹性为η11)(1)(-=+===dQ dP Q P P Q R dQ dREQ PQ E EQ ER ， 又η11-=⋅=⋅=dQ dR PQ Q dQ dR R Q EQ ER ， 而边际成本为MC P dQ dR =-=)11(η，故η11-=MCP 。
（II ）Q MC 2=，PPQ P -=-⋅-=40)1(η， 由)40(2)11(P P -=-η得30=P 。
根据往年考试题目，这一部分经常考的是边际和弹性相关的题目，所以数三的考生对一部分可以多练习一下。
推荐看的教材是；经济类数学微积分。
以上是文都数学老师总结的这一部分的主要内容，希望对大家有所帮助。
When you are old and grey and full of sleep, And nodding by the fire, take down this book, And slowly read, and dream of the soft look Your eyes had once, and of their shadows deep; How many loved your moments of glad grace, And loved your beauty with love false or true, But one man loved the pilgrim soul in you, And loved the sorrows of your changing face; And bending down beside the glowing bars, Murmur, a little sadly, how love fled And paced upon the mountains overheadAnd hid his face amid a crowd of stars.The furthest distance in the worldIs not between life and deathBut when I stand in front of youYet you don't know thatI love you.The furthest distance in the worldIs not when I stand in front of youYet you can't see my loveBut when undoubtedly knowing the love from both Yet cannot be together.The furthest distance in the worldIs not being apart while being in loveBut when I plainly cannot resist the yearningYet pretending you have never been in my heart. The furthest distance in the worldIs not struggling against the tidesBut using one's indifferent heartTo dig an uncrossable riverFor the one who loves you.。