矩阵的秩
矩阵的秩
k 2 个元素按照原来的顺序所组成的k阶行列式，称为矩阵A 的一个k阶子式。
定理3.4.3 矩阵A的秩为r的充要条件是：矩阵A中有一个 r阶子式不为零，而所有的r+1阶子式全为零。
注意：要说明矩阵A的秩为r，必须找到一个r阶子式不为 零；而所有的r+1阶子式全为零。
第三章 线性方程组
定理3.4.3 矩阵A的秩为r的充要条件是：矩阵A中有一个 r阶子式不为零，而所有的r+1阶子式全为零。 证明：充分性。设在矩阵A中有一个r阶子式不为零，而所 有的r+1阶子式全为零。不妨设这r阶子式在A的左上角，即 a11 a12 a1r a21 a22 a2 r ≠ 0 。由定理3.4.2知这r个行组成的向量组线
a11 a21 A= a n1 0 a12 a22 − a21 a11 a an 2 − 12 an1 a11 0 a1n a2 n − a21 a11 a ann − 1n an1 a11
=
a11 a21 a n1
0 ′ a22 ′ an 2
0 ′ a2 n ′ ann
其中
′ (0, a2 i ,
rank ( A), r ( A), R( A) 注1、 若 A = 0, 则 R( A) = 0 。 , 则 R( A) ≤ min( m , n) 。 2、 设 A = ( aij ) m× n
3、若 R( A) = m , 则称A为行満秩的矩阵； 4、若
R( A) = n , 则称A为列満秩的矩阵。
第三章 线性方程组
必要性。设矩阵A的秩为r，即矩阵A中行向量组的秩为r。 而任意r+1个行向量必线性相关，线性相关向量组的“缩短”向 下证A中 量组也线性相关，故矩阵A的任意r+1阶子式全为零。 至少有一个r阶子式不为零。 设这r个线性无关的向量正是A的前 a1n ⎞ ⎛ a11 a12 ⎜ ⎟ a2 n ⎟ ⎜ a21 a22 r个行向量，把这r个向量取出得矩阵：A1 = ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ arn ⎠ ⎝ ar 1 ar 2 矩阵 A1 的行秩为r，其列秩也为r， 不妨设前r列线性无关，于
矩阵的秩计算
矩阵的秩计算矩阵的秩是线性代数中一个重要的概念，它可以用来描述矩阵的线性相关性和线性无关性。
在计算机科学、工程学和物理学等领域中，矩阵的秩也有着广泛的应用。
本文将从基本概念、计算方法和应用三个方面介绍矩阵的秩。
一、基本概念矩阵的秩指的是矩阵中线性无关的行或列的最大个数。
具体来说，对于一个m行n列的矩阵A，如果它的秩为r，那么就意味着存在r 个线性无关的行或列，且没有更多的线性无关行或列。
同时，矩阵的秩也等于它的列空间或行空间的维度。
二、计算方法对于一个矩阵A，可以通过进行初等行变换或初等列变换来求解其秩。
初等行变换包括交换两行、某行乘以一个非零常数、某行加上另一行的k倍。
初等列变换与之类似。
通过这些变换，可以将矩阵A转化为行简化阶梯形或列简化阶梯形，从而求得其秩。
可以通过矩阵的特征值来计算矩阵的秩。
具体来说，对于一个n阶矩阵A，如果它有n个非零的特征值，那么它的秩为n。
反之，如果它只有k个非零特征值，那么它的秩就是n-k。
三、应用1. 线性方程组的解：对于一个m行n列的矩阵A和n行1列的矩阵X，可以通过求解AX=0来得到线性方程组的解。
如果矩阵A的秩等于n，那么线性方程组有唯一解；如果矩阵A的秩小于n，那么线性方程组有无穷多解；如果矩阵A的秩小于m，那么线性方程组无解。
2. 矩阵的相似性：矩阵的秩还可以用于判断两个矩阵是否相似。
如果两个矩阵A和B相似，那么它们的秩相等。
3. 矩阵的逆：对于一个n阶矩阵A，如果它的秩等于n，那么它是可逆的，即存在一个n阶矩阵B，使得AB=BA=I，其中I是单位矩阵。
反之，如果矩阵A的秩小于n，那么它是不可逆的。
4. 图像处理：在图像处理中，可以使用矩阵的秩来判断图像的信息量。
如果一个图像的秩较高，那么它包含了更多的信息；反之，如果一个图像的秩较低，那么它的信息量较少。
总结起来，矩阵的秩是描述矩阵线性相关性和线性无关性的重要指标。
它可以通过初等行变换、初等列变换或特征值来计算。
矩阵的秩
因此这就是 A 的一个最高阶非零子式．
1 2 2 1 1 2 4 8 0 2 ，求矩阵 A 及矩阵 , b 例：设 A 2 4 2 3 3 3 6 0 6 4
B = (A, b) 的秩． 分析：对 B 作初等行变换变为行阶梯形矩阵，设 B 的行阶梯 形矩阵为 B ( A, b ) ，则 A 就是 A 的行阶梯形矩阵，因此可从
例：求矩阵 A 和 B 的秩，其中
1 2 3 A 2 3 5 4 7 1
2 1 0 3 B 0 0 0 0 2 1 2 5 0 4 3 0 0 0 0 3
解（续）：B 是一个行阶梯形矩阵，其非零行有 3 行，因此 其 4 阶子式全为零． 以非零行的第一个非零元为对角元的 3 阶子式
最高阶非零子式．
解：第一步先用初等行变换把矩阵化成行阶梯形矩阵．
3 2 3 2 A 2 0 1 6 0 3 1 4 5 6 5 1 0 1 r 0 1 ~ 0 3 4 0 6 4 0 0 4 3 0 0 1 4 1 4 0 1 8 0
a11 A a21 a 31
a12 a22 a32
a13 a 23 a 33
a14 a 24 a 34 矩阵 A 的 2 阶子式
矩阵 A 的一个 3 阶子式
a11 a21 a31 a12 a22 a32 a13 a23 a11 a33
a22 a32 a23 a33 a12 a21 a31 a23 a33 a13 a21 a31 a22 a32
§2 矩阵的秩
一、矩阵的秩的概念
定义：在 m×n 矩阵 A 中，任取 k 行 k 列( k ≤ m，k≤n)， 位于这些行列交叉处的 k2 个元素，不改变它 们在 A中所处的位置次序而得的 k 阶行列 式，称为矩阵 A 的 k 阶子式．
2.7 矩阵的秩
注：若n阶方阵A可逆的充要条件为A为满秩.
1 2 3 0 0 1 0 1 r ( A) 3; A 0 0 1 0
1 2 0 1 r ( B ) 2; B 0 0
1 1 2 C 0 1 1 r (C ) 3 0 0 2
§2.7 矩阵的秩
一、矩阵的秩的概念 定义 在 m n 矩阵 A中，任取 k 行 k 列 k min{ m , n} , 位于这些行与列交叉处的 k 2 个元素，依照它们在 A 中的位置次序不变而得的 k 阶行列式，称为矩阵 A 的一个 k 阶子式.
k k m n 矩阵共有 CmCn 个 k 阶子式.
设A为一个mn矩阵, 当A=O时, 它的任何子式都 为零; 当AO时, 它至少有一个元素不为零, 即它 至少有一个一阶子式不为零. 这时再考察二阶子式 如果A中有二阶子式不为零, 则往下考察三阶子式, 依此类推, 最后必达到A中有r阶子式不为零, 而再 没有比r更高阶的不为零的子式. 这个不为零的子式 的最高阶数r, 反映了矩阵A内在的重要特性, 在矩阵 的理论与应用中都有重要意义.
A,B,C都是满秩矩阵
定理 矩阵经初等变换后, 其秩不变.
证: 仅考察经一次初等变换的情形. 设矩阵 Amn 经初等变换变为 Bmn , 且 r ( A) r , r ( A) r2 1
当对A施以互换两行或以某行非零数乘某一行的变换时, 矩阵B中任何r 1 阶子式等于某一非零数c与A的某个r 1 1 1 阶子式的乘积, 其中c=1或其它非零数. 因为A的任何 r1 1 阶子式皆为零, 因此B的任何 r1 1阶子式也都为零.
3．理解逆矩阵的概念，掌握逆矩阵的性质，以及矩阵 可逆的充分必要条件，理解伴随矩阵的概念，会用 伴随矩阵求逆矩阵.
矩阵的秩
§4 矩阵的秩一、矩阵的秩如果把矩阵的每一行看成一个向量，那么矩阵就可以认为是由这些向量组成的.同样，如果把每一列看成一个向量，那么矩阵也可以认为是由列向量组成的.定义15 所谓矩阵的行秩就是指矩阵的行向量组的秩；矩阵的列秩就是矩阵的列向量组的秩.例如，矩阵⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=000500041201311A 的行向量组是)0,0,0,0(,)5,0,0,0(,)4,1,2,0(,)1,3,1,1(4321==-==αααα它的秩是3.它的列向量组是)0,5,4,1(,)0,0,1,3(,)0,0,2,1(,)0,0,0,1(4321'='-='='=ββββ它的秩也是3.矩阵A 的行秩等于列秩，这点不是偶然的. 引理 如果齐次线性方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+++=+++=+++0,0,0221122221211212111n sn s s n n n n x a x a x a x a x a x a x a x a x a （1） 的系数矩阵⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=sns s n n a a a a a a a a a A212222111211 的行秩n r <，那么它有非零解.定理4 矩阵的行秩与列秩相等.因为行秩等于列秩，所以下面就统称为矩阵的秩. 二、矩阵的秩与行列式的联系定理5 n n ⨯矩阵⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=nnn n n n a a a a a a a a a A212222111211 的行列式为零的充要条件是A 的秩小于n .推论 齐次线性方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+++=+++=+++0,0,0221122221211212111n nn n n n n n n x a x a x a x a x a x a x a x a x a 有非零解的充要条件是它的系数矩阵⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=nnn n n n a a a a a a a a a A212222111211 的行列式等于零.定义16 在一个n s ⨯矩阵A 中任意选定k 行和k 列，位于这些选定的行和列的交点上的2k 个元素按原来的次序所组成的k 级行列式，称为A 的一个k 级子式.在定义中，当然有),min(n s k ≤，这里),min(n s 表示n s ,中较小的一个. 定理6 一矩阵的秩是r 的充要条件为矩阵中有一个r 级子式不为零，同时所有1+r 级子式全为零.从定理的证明可以看出，这个定理实际上包含两部分，一部分是，矩阵A 的秩r ≥的充要条件为有一个r 级子式不为零；另一部分是，矩阵的秩r ≤的充要条件为的所有1+r 级子式全为零.从定理的证明还可以看出，在秩为r 的矩阵中，不为零的r 级子式所在的行正是它行向量组的一个极大线性无关组，所在的列正是它列向量的一个极大线性无关组.三、矩阵的秩的计算在前面，作为解线性方程组的一个方法，对矩阵作行的初等变换，把矩阵化成阶梯形.实际上，这也是计算矩阵的秩的一个方法.首先，矩阵的初等行变换是把行向量组变成一个与之等价的向量组.等价的向量组有相同的秩，因此，初等行变换不改变矩阵的秩.同样初等列变换也不改变矩阵的秩.其次，阶梯形矩阵的秩就等于其中非零的行的数目.上面的讨论说明，为了计算一个矩阵的秩，只要用初等行变换把它变成阶梯形，这个阶梯形矩阵中非零的行的个数就是原来矩阵的秩.以上的讨论还说明，用初等变换化一个线性方程组成阶梯形，最后留下来的方程的个数与变换的过程无关，因为它就等于增广矩阵的秩.例 利用初等变换求下面矩阵的秩：⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=161154113943110732175211A .。
矩阵的秩
第一章 矩阵的秩矩阵理论是高等代数的主要内容之一, 在数学及其它科学领域中有着广泛的应用.在矩阵理论中, 矩阵的秩是一个重要的概念. 它是矩阵的一个数量特征, 而且是初等变换下的不变量. 本文归纳了矩阵的秩与向量的线性关系; 线性方程组的求解; 空间中点面位置关系; 二次型; 线性变换等问题的密切的联系.1 矩阵的秩的定义及简单的公式1.1 矩阵的秩的定义定义1一个向量组的极大线性无关组所含向量的个数称为这个向量组的秩. 所谓矩阵的行秩就是矩阵的行向量组的秩, 矩阵的列秩就是矩阵的列向量组的秩. 矩阵的行秩等于矩阵的列秩, 并统称为矩阵的秩. 另外, 矩阵的秩等于它的不为零的子式的最高阶数, 这是矩阵的秩的行列式定义.定义2设()n m a A ij ⨯=有r 阶子式不为0，任何r +1阶子式(如果存在的话)全为0 , 称r 为矩阵A 的秩，记作()A R 或。
定义3 矩阵A 经过初等变换所化成的阶梯型中非零行的个数称为矩阵A 的秩． 矩阵A 的秩为r ，记为()r A R =.特别，零矩阵的秩()00=R1.2 矩阵的秩的几个简单性质性质1 ()0=A r , 当且仅当A 是零矩阵 性质2 ()n A r =, 当且仅当|A |≠0性质3 设A 是m ×n 矩阵, 则()}{n m A r ,min 0≤≤ 性质4 ()()()B r A r B A r +≤+性质5 ()()TA rank A rank =1.3矩阵秩的求法（1）定义法找出矩阵A 中不为零的最高子式，算出它的阶数． （2）初等变换法用初等变换（行、列均可）将矩阵A 化为标准形r E O O O ⎛⎫⎪⎝⎭，即可得出()R A r =；或化成阶梯形矩阵，其非零行的个数即为秩．例设6117404112901316124223A ⎛⎫ ⎪ ⎪⎪=- ⎪--- ⎪ ⎪-⎝⎭, 求秩(A) 解 A →1290404161171316124223-⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--- ⎪ ⎪-⎝⎭→1290084010115570525108403-⎛⎫⎪- ⎪⎪- ⎪-- ⎪ ⎪-⎝⎭→12900151015711015150153-⎛⎫ ⎪-- ⎪ ⎪-- ⎪-- ⎪ ⎪--⎝⎭→12900151000458800034000014-⎛⎫ ⎪-- ⎪ ⎪- ⎪- ⎪ ⎪-⎝⎭所以()3R A =.第二章 矩阵的秩的相关问题1 矩阵的秩在向量组线性相关性问题中的应用向量组的线性相关性是线性代数中一个较为抽象的概念, 它既是线性代数的重点, 又是一个难点。
矩阵的秩
D3
1 6 0 4 0 6
4
2 7
D6 7 4 42 Nhomakorabea高 等 代 数
●矩阵的秩的概念
定义2.5.2 矩阵A中所有不为零的子式的最高阶数，称为 矩阵A的秩，记作 R(A) 或 r(A)。 如果 R(A)=r，则 A 中至少有一个 r 阶子式不等于零，
高 等 代 数
定理2.5.2 n阶矩阵A可逆的充要条件是R(A)=n
定理2.5.3 n阶矩阵A可逆的充要条件是方阵A满秩序。
定理2.5.4 一个方阵满秩的充要条件是它能表示为初等矩阵的乘积
高 等 代 数
所有高于 r 阶的子式都为零。
例如
1 2 3 A 2 2 1 3 4 4
因为 所以
高 等 代 数
A 0
1 2 2 0 2 2
R( A) 2
1 3 2 2 0 2 1 3 的秩. 例 求矩阵A= 2 0 1 5 解: 因为 1 3 2 0, 计算A的3阶子式. 0 2 1 3 2 0 2 1 0, 2 0 1 1 2 2 0 1 3 0, 2 1 5 1 3 2 0 2 3 0, 2 0 5 3 2 2 2 1 3 0. 0 1 5 所以, R(A)=2.
高 等 代 数
●利用矩阵的初等变换求矩阵的秩
定理2.5.1 设矩阵A经过初等变换化为B，则A有不等于零的 K阶子式当且仅当B有不等于零的K阶子式 推论2.5.1 矩阵的初等变换不改变矩阵的秩。
初等变换求矩阵秩的方法: 用初等行变换把矩阵变成 为行阶梯形矩阵, 行阶梯形矩阵中非零行的行数就是 矩阵的秩.
一、矩阵的秩概念 二、矩阵的秩求法
矩阵的秩
§3.4 矩阵的秩
定理4 矩阵的行秩＝矩阵的列秩．
证明：设 A (aij )sn，A的行秩＝r，A的列秩＝r1， 下证 r r1． 先证 r1 r ．
设A的行向量组为 i (ai1,ai2 , ,ain ), i 1, 2, , s 则向量组 1,2 , ,s ,的秩为r， 不妨设 1,2, ,r是它的一个极大无关组， 于是 1,2 , ,r 线性无关，
定义 在一个 s×n 矩阵 A 中任意选定 k 行 k 列
1 k min(s,n) , 位于这些行和列的交点上的 k 2
个元素按原来次序所组成的 k 级行列式，称为矩阵 A的一个k级子式．
注 s n 矩阵 A 的 k 级子式共有 CskCnk 个.
§3.4 矩阵的秩
定理6 矩阵 A 的秩为 r 的充要条件是 A中有一
a21
x1
a22
x2
a2n xn 0
()
an1 x1 an2 x2 ann xn 0
()有非零解 系数矩阵A (aij )nn的行列式 A =0 R( A) n.
()只有零解 A 0 R( A) n.
§3.4 矩阵的秩
推论2
a11 a21
A1
a12
a22
a1n a2n
ar1 ar2
arn
的行秩 r （未知量的个数）.
§3.4 矩阵的秩
从而在矩阵 A1 的行向量组 (a11,a21, ,ar1, ),(a12 ,a22 , , ar 2 ), ,(a12 , a2n , , arn )
a22
由归纳假设，矩阵
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推论2.6.2设 ，则A与B相抵，即 ，当且仅当它们有相同的秩；并且，设rankA = r，则有可逆矩阵P，Q，使得
．(5)
因此，秩是矩阵相抵的不变量， 是秩为r的矩阵相抵的标准形．
例2求下面矩阵A的秩：
．
解A的第2行分别乘以(－2)、(－3)，各自加到第1、3行，再将此行调到第1行，则得
．
因此，易见rankA =rankB= 3．
下面证明乘积矩阵秩的一个基本性质．
定理2.6.2设 ， ，则
rankABmin{rankA,rankB}．
证若A、B中有一个是零矩阵，则定理显然成立．
若 ，设rankA = r，则由推论2.6.2知道有可逆阵P，Q，使得
，
于是
．
考察右边矩阵，易见此矩阵不为0的行至多r行，因而由推论2.6.1与秩的定义得到
，
其中 是A的两个t阶子式，且至多相差一个符号．因而由rankA = r知道 ．所以M= 0．
综上，则得rankB≤rankA，又Tij(k)B=A，因而有rankA≤rankB．故rankA=rankB．
类似地，知道列的初等变换也不改变矩阵的秩．
据上，并注意到定理1.3.2，则得
推论2.6.1设 ，P是m阶可逆矩阵，Q是n阶可逆矩阵，则rankA =rankPA =rankAQ =rankPAQ．
rankA+rankB=rank
=rank rank(A+B)．
定理2.6.4(Frobenius)设 , ，则
rankABCrankAB+rankBCrankB．
证因为
，
所以，由引理2.6.1、2.6.2得
rankABC+rankB=rank rankAB+rankBC．
故Frobenius秩不等式成立．
证由秩的定义易见
rankA+rankB=rank ．
设rankA=r1,rankB=r2，则A有一个 阶可逆子块 ，B有一个
阶可逆子块 ．于是， 有一个 阶子式
．
所以
rank rank ．
定理2.6.3设 ，则
rank(A+B)rankA+rankB
证因为
．
所以，由引理2.6.1、引理2.6.2及矩阵秩的定义得到
§6矩阵的秩
教学目的通过2学时讲授，使学生理解矩阵秩的方法．
教学内容
矩阵的秩是矩阵相抵不变量，在矩阵理论中基础又重要．本节利用行列式定义矩阵的秩，阐述矩阵秩的一些基本结论，并运用分块技巧证得矩阵秩的一些著名不等式．
6.1矩阵秩的概念
定义1设 ．若A有一个r阶子式不为0，且A的所有r+ 1阶子式(假设A有r+ 1阶子式)全为0或不存在，则称r为A的秩，记作rankA=r．
又由 有 ．于是，由推论2.6.4有
rank +rank ．
因此，rank +rank ．
课外作业：
P101：3、4、5、7．
定理2.6.1初等变换不改变矩阵的秩
证由于互换变换、倍法变换均不改变子式是否为零，因此这两类初等变换均不改变矩阵的秩．
考察消法变换，设 ，且rankA=r．取B的任一个t阶子式
．
若 ，则M是A的一个t阶子式，有M= 0；
若 ，则由命题2.2.5知道M与A中的一个相应t阶子式相等，也有M= 0；
若 ，则由命题2.2.4、2.2.3知道
rankABr= rankA．
因此，
rankAB=rank(AB)=rankBArankB=rankB．
故rankABmin{rankA,rankB}．
6.2矩阵秩的分块方法
首先注意到块初等矩阵是可逆矩阵，则由推论2.6.1知道
引理2.6.1块初等变换不改变矩阵的秩．
引理2.6.2设 ， ， ，则
rankA+rankB=rank rank ．
若A= 0，规定rankA= 0．设rankA = r，那么由定理2.3.2知道，对于t＞r，若A有t阶子式，则A的所有t阶子式全为0．因此，r是A的子式不为0的阶的最大者．
易见rankA=rankA．
例1设
经计算知道A的4个三阶子式全为0，因而易见rankA=2．
显然，逐个计算A的子式来求rankA较麻烦．为了化简计算，我们来证明
让ABC的后两个因子依次为In，B，则得
推论2.6.3(Sylvester)设 ， ，则
rankABrankA+rankBn．
推论2.6.4(Cauchy)设 ， ．若AB= 0，则rankA+rankBn．
例3设A ．若A是对合矩阵，则
rank +rank ．
证由定理2.6.3有
rank +rank rank ．