2004-2012年考研数学三历年真题word全打印版

2004年考研数学三真题及解析

2004年考研数学（三）真题一、填空题（本题共6小题，每小题4分，满分24分. 把答案填在题中横线上）(1) 若5)(cos sin lim0b x ae xxx，则a =______，b =______.(2) 设函数 f (u , v)由关系式f [xg(y) , y] = x + g(y)确定，其中函数g(y)可微，且g(y) 0，则2fu v.(3) 设21,12121,)(2xx xex f x，则212(1)f x dx.(4) 二次型213232221321)()()(),,(x x x x x x x x x f 的秩为.(5) 设随机变量X 服从参数为λ的指数分布, 则}{DX XP _______.(6) 设总体X 服从正态分布),(21σμN , 总体Y 服从正态分布),(22σμN ,1,,21n X X X 和2,,21nY Y Y 分别是来自总体X 和Y 的简单随机样本, 则12221112()()2n n iji j X X Y Y En n .二、选择题（本题共6小题，每小题4分，满分24分. 每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内）(7)函数2)2)(1()2sin(||)(xx x x x x f 在下列哪个区间内有界.(A) ( 1 , 0). (B) (0 , 1).(C) (1 , 2). (D) (2 , 3). [ ](8) 设f (x)在(, +)内有定义，且a x f x)(lim ，0,00,)1()(xx x f x g ，则(A) x = 0必是g(x)的第一类间断点. (B) x = 0必是g(x)的第二类间断点.(C) x = 0必是g(x)的连续点. (D) g(x)在点x = 0处的连续性与a 的取值有关.[](9) 设f (x) = |x(1 x)|，则(A) x = 0是f (x)的极值点，但(0 , 0)不是曲线y = f (x)的拐点. (B) x = 0不是 f (x)的极值点，但(0 , 0)是曲线y = f (x)的拐点. (C) x = 0是f (x)的极值点，且(0 , 0)是曲线y = f (x)的拐点. (D) x = 0不是 f (x)的极值点，(0 , 0)也不是曲线y = f (x)的拐点. [](10) 设有下列命题：(1) 若1212)(n n nu u 收敛，则1n n u 收敛.(2) 若1n n u 收敛，则11000n nu 收敛.(3) 若1lim1nn nu u ，则1n n u 发散.(4) 若1)(n n nv u 收敛，则1n n u ，1n n v 都收敛.则以上命题中正确的是(A) (1) (2).(B) (2) (3).(C) (3) (4).(D) (1) (4).[](11) 设)(x f 在[a , b]上连续，且0)(,0)(b f a f ，则下列结论中错误的是(A) 至少存在一点),(0b a x ，使得)(0x f > f (a). (B) 至少存在一点),(0b a x ，使得)(0x f > f (b). (C) 至少存在一点),(0b a x ，使得0)(0x f .(D) 至少存在一点),(0b a x ，使得)(0x f = 0.[ D ](12) 设n 阶矩阵A 与B 等价, 则必有(A) 当)0(||aa A 时, a B ||. (B) 当)0(||a a A 时, a B ||.(C) 当0||A 时, 0||B . (D) 当0||A 时, 0||B .[](13) 设n 阶矩阵A 的伴随矩阵,0*A 若4321,,,ξξξξ是非齐次线性方程组b Ax 的互不相等的解，则对应的齐次线性方程组0Ax的基础解系(A) 不存在.(B) 仅含一个非零解向量.(C) 含有两个线性无关的解向量. (D) 含有三个线性无关的解向量.[ ](14) 设随机变量X 服从正态分布)1,0(N , 对给定的)1,0(α, 数αu 满足αu X P α}{,若αx X P }|{|, 则x 等于(A)2αu .(B)21αu. (C)21αu .(D)αu 1.[ ] 三、解答题(本题共9小题，满分94分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)(15) (本题满分8分)求)cos sin 1(lim 222xx xx.(16) (本题满分8分)求Ddy yx)(22，其中D 是由圆422yx和1)1(22yx 所围成的平面区域(如图).(17) (本题满分8分)设f (x) , g(x)在[a , b]上连续，且满足x ax adt t g dtt f )()(，x [a , b)，b ab adt t g dt t f )()(.证明：b ab adx x xg dx x xf )()(.(18) (本题满分9分)设某商品的需求函数为Q = 100 5P ，其中价格P (0 , 20)，Q 为需求量.(I) 求需求量对价格的弹性d E (d E > 0)；(II) 推导)1(d E Q dPdR (其中R 为收益)，并用弹性d E 说明价格在何范围内变化时，降低价格反而使收益增加.(19) (本题满分9分)设级数)(864264242864x xxx的和函数为S (x). 求：(I) S(x)所满足的一阶微分方程；(II) S(x)的表达式. (20)(本题满分13分)设Tα)0,2,1(1, Tααα)3,2,1(2, T b αb α)2,2,1(3, Tβ)3,3,1(,试讨论当b a,为何值时,(Ⅰ) β不能由321,,ααα线性表示;(Ⅱ) β可由321,,ααα唯一地线性表示, 并求出表示式;(Ⅲ) β可由321,,ααα线性表示, 但表示式不唯一, 并求出表示式.(21) (本题满分13分)设n 阶矩阵111bb b b b b A.(Ⅰ) 求A 的特征值和特征向量;(Ⅱ) 求可逆矩阵P , 使得AP P 1为对角矩阵.(22) (本题满分13分)设A ，B 为两个随机事件,且41)(A P , 31)|(A B P , 21)|(B A P , 令不发生，，发生，A A X0,1.0,1不发生，发生，B B Y求(Ⅰ) 二维随机变量),(Y X 的概率分布; (Ⅱ) X 与Y 的相关系数XY ρ;(Ⅲ) 22Y XZ的概率分布.(23) (本题满分13分) 设随机变量X 的分布函数为，，，αxαx xαβαx F β0,1),,(其中参数1,0βα. 设n X X X ,,,21为来自总体X 的简单随机样本,(Ⅰ) 当1α时, 求未知参数β的矩估计量; (Ⅱ) 当1α时, 求未知参数β的最大似然估计量;(Ⅲ) 当2β时, 求未知参数α的最大似然估计量.2004年考研数学（三）真题解析一、填空题（本题共6小题，每小题4分，满分24分. 把答案填在题中横线上）(1) 若5)(cos sin lim0b x ae xxx，则a =1，b =4.【分析】本题属于已知极限求参数的反问题.【详解】因为5)(cos sin lim0b x ae xxx ，且0)(cos sin lim 0b xx x，所以0)(lim 0a exx，得 a = 1. 极限化为51)(cos lim)(cos sin lim0b b x xx b x ae xxxx，得b = 4.因此，a = 1，b = 4. 【评注】一般地，已知)()(limx g x f ＝A ，(1) 若g(x) 0，则f (x)0；(2) 若f (x)0，且A 0，则g(x)0.(2) 设函数 f (u , v)由关系式f [xg(y) , y] = x + g(y)确定，其中函数g(y)可微，且g(y) 0，则)()(22v g v g vu f .【分析】令u = xg(y)，v = y ，可得到 f (u , v)的表达式，再求偏导数即可.【详解】令u = xg(y)，v = y ，则 f (u , v) =)()(v g v g u ，所以，)(1v g uf ，)()(22v g v g vu f .(3) 设21,12121,)(2xx xex f x，则21)1(221dxx f .【分析】本题属于求分段函数的定积分，先换元：x 1 = t ，再利用对称区间上奇偶函数的积分性质即可.【详解】令x 1 = t ，121121221)()()1(dtx f dtt f dxx f ＝21)21(0)1(12121212dx dxxe x.【评注】一般地，对于分段函数的定积分，按分界点划分积分区间进行求解. (4) 二次型213232221321)()()(),,(x x x x x x x x x f 的秩为2 .【分析】二次型的秩即对应的矩阵的秩, 亦即标准型中平方项的项数, 于是利用初等变换或配方法均可得到答案.【详解一】因为213232221321)()()(),,(x x x x x x x x x f 323121232221222222x x x x x x x x x 于是二次型的矩阵为211121112A , 由初等变换得33021133330211A ,从而2)(A r , 即二次型的秩为2.【详解二】因为213232221321)()()(),,(x x x x x x x x x f 323121232221222222x x x x x x x x x 2322321)(23)2121(2x x x x x 2221232y y , 其中,21213211x x x y 322x x y .所以二次型的秩为2.(5) 设随机变量X 服从参数为λ的指数分布, 则}{DX X P e1.【分析】根据指数分布的分布函数和方差立即得正确答案.【详解】由于21λDX, X 的分布函数为.0,0,0,1)(xx e x F xλ故}{DX X P }{1DX X P }1{1λXP )1(1λF e1.【评注】本题是对重要分布, 即指数分布的考查, 属基本题型.(6) 设总体X 服从正态分布),(21σμN , 总体Y 服从正态分布),(22σμN ,1,,21n X X X 和2,,21n Y Y Y 分别是来自总体X 和Y 的简单随机样本, 则22121212)()(21σn n Y Y X X En j jn i i.【分析】利用正态总体下常用统计量的数字特征即可得答案.【详解】因为2121])(11[1σX X n E n ii, 2122])(11[2σY Y n E n j j,故应填2σ.【评注】本题是对常用统计量的数字特征的考查.二、选择题（本题共6小题，每小题4分，满分24分. 每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内）(7)函数2)2)(1()2sin(||)(xx x x x x f 在下列哪个区间内有界.(A) ( 1 , 0). (B) (0 , 1).(C) (1 , 2). (D) (2 , 3).[ A ]【分析】如f (x)在(a , b)内连续，且极限)(limx f ax与)(lim x f bx存在，则函数 f (x)在(a , b)内有界.【详解】当x 0 , 1 , 2时，f (x)连续，而183sin )(lim1x f x，42sin )(limx f x，42sin )(limx f x，)(lim 1x f x，)(lim 2x f x，所以，函数f (x)在( 1 , 0)内有界，故选(A).【评注】一般地，如函数 f (x)在闭区间[a , b]上连续，则f (x)在闭区间[a , b]上有界；如函数 f (x)在开区间(a , b)内连续，且极限)(limx f ax与)(limx f bx存在，则函数 f (x)在开区间(a , b)内有界. (8) 设f (x)在(, +)内有定义，且a x f x)(lim ，,00,)1()(xx x f x g ，则(A) x = 0必是g(x)的第一类间断点. (B) x = 0必是g(x)的第二类间断点.(C) x = 0必是g(x)的连续点. (D) g(x)在点x = 0处的连续性与a 的取值有关.[ D ]【分析】考查极限)(lim 0x g x是否存在，如存在，是否等于g(0)即可，通过换元xu1，可将极限)(lim 0x g x转化为)(lim x f x.【详解】因为)(lim )1(lim )(lim 00u f xf xg ux x= a(令xu1)，又g(0) = 0，所以，当a = 0时，)0()(lim 0g x g x，即g(x)在点x = 0处连续，当a 0时，)0()(lim 0g x g x，即x = 0是g(x)的第一类间断点，因此，g(x)在点x = 0处的连续性与a 的取值有关，故选(D).【评注】本题属于基本题型，主要考查分段函数在分界点处的连续性.(9) 设f (x) = |x(1 x)|，则(A) x = 0是f (x)的极值点，但(0 , 0)不是曲线y = f (x)的拐点. (B) x = 0不是 f (x)的极值点，但(0 , 0)是曲线y = f (x)的拐点. (C) x = 0是f (x)的极值点，且(0 , 0)是曲线y = f (x)的拐点. (D) x = 0不是 f (x)的极值点，(0 , 0)也不是曲线y = f (x)的拐点.[ C ]【分析】由于 f (x)在x = 0处的一、二阶导数不存在，可利用定义判断极值情况，考查f (x)在x = 0的左、右两侧的二阶导数的符号，判断拐点情况.【详解】设0 < < 1，当x(, 0) (0 , )时，f (x) > 0，而f (0) = 0，所以x = 0是f (x)的极小值点.显然，x = 0是f (x)的不可导点. 当x (, 0)时，f (x) = x(1 x)，02)(x f ，当x(0 , )时，f (x) = x(1 x)，02)(x f ，所以(0 , 0)是曲线y = f (x)的拐点.故选(C).【评注】对于极值情况，也可考查 f (x)在x = 0的某空心邻域内的一阶导数的符号来判断.(10) 设有下列命题：(1) 若1212)(n n nu u 收敛，则1n n u 收敛.(2) 若1n n u 收敛，则11000n nu 收敛.(3) 若1lim1nn nu u ，则1n n u 发散.(4) 若1)(n n nv u 收敛，则1n n u ，1n n v 都收敛.则以上命题中正确的是(A) (1) (2).(B) (2) (3).(C) (3) (4).(D) (1) (4).[ B ]【分析】可以通过举反例及级数的性质来说明4个命题的正确性.【详解】(1)是错误的，如令nnu )1(，显然，1n n u 分散，而1212)(n n nu u 收敛.(2)是正确的，因为改变、增加或减少级数的有限项，不改变级数的收敛性.(3)是正确的，因为由1lim1n n nu u 可得到n u 不趋向于零(n )，所以1n n u 发散.(4)是错误的，如令nv nu nn1,1，显然，1n n u ，1n n v 都发散，而1)(n n nv u 收敛. 故选(B).【评注】本题主要考查级数的性质与收敛性的判别法，属于基本题型.(11) 设)(x f 在[a , b]上连续，且0)(,0)(b f a f ，则下列结论中错误的是(A) 至少存在一点),(0b a x ，使得)(0x f > f (a). (B) 至少存在一点),(0b a x ，使得)(0x f > f (b). (C) 至少存在一点),(0b a x ，使得0)(0x f .(D) 至少存在一点),(0b a x ，使得)(0x f = 0.[ D ]【分析】利用介值定理与极限的保号性可得到三个正确的选项，由排除法可选出错误选项.【详解】首先，由已知)(x f 在[a , b]上连续，且0)(,0)(b f a f ，则由介值定理，至少存在一点),(0b a x ，使得0)(0x f ；另外，0)()(lim)(axa f x f a f ax ，由极限的保号性，至少存在一点),(0b a x 使得0)()(00ax a f x f ，即)()(0a f x f . 同理，至少存在一点),(0b a x 使得)()(0b f x f . 所以，(A) (B) (C)都正确，故选(D).【评注】本题综合考查了介值定理与极限的保号性，有一定的难度.(12) 设n 阶矩阵A 与B 等价, 则必有(A) 当)0(||aa A 时, a B ||. (B) 当)0(||a a A 时, a B ||.(C) 当0||A 时, 0||B . (D) 当0||A 时, 0||B .[ D ]【分析】利用矩阵A 与B 等价的充要条件: )()(B r A r 立即可得.【详解】因为当0||A 时, n A r )(, 又A 与B 等价, 故n B r )(, 即0||B , 故选(D).【评注】本题是对矩阵等价、行列式的考查, 属基本题型.(13) 设n 阶矩阵A 的伴随矩阵,0*A若4321,,,ξξξξ是非齐次线性方程组b Ax 的互不相等的解，则对应的齐次线性方程组0Ax的基础解系(A) 不存在.(B) 仅含一个非零解向量.(C) 含有两个线性无关的解向量. (D) 含有三个线性无关的解向量.[ B ]【分析】要确定基础解系含向量的个数, 实际上只要确定未知数的个数和系数矩阵的秩.【详解】因为基础解系含向量的个数=)(A r n, 而且.1)(,0,1)(,1,)(,)(*nA r n A r n A r n A r 根据已知条件,0*A于是)(A r 等于n 或1n . 又b Ax有互不相等的解,即解不惟一, 故1)(nA r . 从而基础解系仅含一个解向量, 即选(B).【评注】本题是对矩阵A 与其伴随矩阵*A 的秩之间的关系、线性方程组解的结构等多个知识点的综合考查.(14) 设随机变量X 服从正态分布)1,0(N , 对给定的)1,0(α, 数αu 满足αu XP α}{, 若αx X P }|{|, 则x 等于(A)2αu .(B)21αu. (C)21αu .(D)αu 1.[ C ]【分析】利用标准正态分布密度曲线的对称性和几何意义即得.【详解】由αx X P }|{|, 以及标准正态分布密度曲线的对称性可得21}{αx X P . 故正确答案为(C).【评注】本题是对标准正态分布的性质, 严格地说它的上分位数概念的考查.三、解答题(本题共9小题，满分94分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)(15) (本题满分8分) 求)cos sin 1(lim 222xx xx.【分析】先通分化为“0”型极限，再利用等价无穷小与罗必达法则求解即可.【详解】xx x x x xx xxx222220222sin cos sin lim)cos sin 1(lim =346)4(21lim 64cos 1lim44sin 212lim 2sin 41lim220230422xx xx xxx x x xx xx x.【评注】本题属于求未定式极限的基本题型，对于“0”型极限，应充分利用等价无穷小替换来简化计算.(16) (本题满分8分) 求Ddy yx)(22，其中D 是由圆422y x 和1)1(22y x 所围成的平面区域(如图).【分析】首先，将积分区域D 分为大圆}4|),{(221yx y x D 减去小圆}1)1(|),{(222yx y x D ，再利用对称性与极坐标计算即可.【详解】令}1)1(|),{(},4|),{(222221y x y x D y x y x D ，由对称性，0D yd.21222222D D Ddy x dy x dy xcos 20223220220dr r d dr r d.)23(916932316所以，)23(916)(22Ddy yx .【评注】本题属于在极坐标系下计算二重积分的基本题型，对于二重积分，经常利用对称性及将一个复杂区域划分为两个或三个简单区域来简化计算.(17) (本题满分8分)设f (x) , g(x)在[a , b]上连续，且满足x ax adt t g dtt f )()(，x [a , b)，b ab adt t g dt t f )()(.证明：b ab adx x xg dx x xf )()(.【分析】令F(x) = f (x) g(x)，x a dt t F x G )()(，将积分不等式转化为函数不等式即可.【详解】令F(x) = f (x) g(x)，x adt t F x G )()(，由题设G(x) 0，x[a , b]，G(a) = G(b) = 0，)()(x F x G . 从而b ab ab ab ab adx x G dxx G x xG x xdG dxx xF )()()()()(，由于G(x) 0，x [a , b]，故有0)(b adx x G ，即0)(b adxx xF .因此b ab adx x xg dx x xf )()(.【评注】引入变限积分转化为函数等式或不等式是证明积分等式或不等式的常用的方法.(18) (本题满分9分)设某商品的需求函数为Q = 100 5P ，其中价格P (0 , 20)，Q 为需求量.(I) 求需求量对价格的弹性d E (d E > 0)；(II) 推导)1(d E Q dPdR (其中R 为收益)，并用弹性d E 说明价格在何范围内变化时，降低价格反而使收益增加. 【分析】由于d E > 0，所以dP dQQ P E d；由Q = PQ 及dPdQQ P E d可推导)1(d E Q dPdR .【详解】(I)PPdP dQ Q P E d20.(II) 由R = PQ ，得)1()1(d E Q dPdQ Q P Q dPdQ PQ dPdR .又由120PPE d，得P = 10.当10 1，于是0dPdR ，故当10 0时，需求量对价格的弹性公式为dPdQQ P dP dQ Q P E d.利用需求弹性分析收益的变化情况有以下四个常用的公式：Qdp E dRd )1(，Q E dpdR d )1(，p E dQdR d)11(，d E EpER 1(收益对价格的弹性).(19) (本题满分9分)设级数)(864264242864x xxx的和函数为S (x). 求：(I) S(x)所满足的一阶微分方程；(II) S(x)的表达式.【分析】对S (x)进行求导，可得到S (x)所满足的一阶微分方程，解方程可得S(x)的表达式.【详解】(I) 864264242)(864xxxx S ，易见S(0) = 0，642422)(753xxxx S )642422(642xxxx )](2[2x S xx .因此S(x)是初值问题0)0(,23y xxyy 的解.(II) 方程23xxyy 的通解为]2[3C dx exey xdxxdx22212xCex，由初始条件y(0) = 0，得C = 1.故12222x exy，因此和函数12)(222x exx S .【评注】本题综合了级数求和问题与微分方程问题，2002年考过类似的题.(20)(本题满分13分)设Tα)0,2,1(1, Tααα)3,2,1(2, T b αb α)2,2,1(3, Tβ)3,3,1(,试讨论当b a,为何值时,(Ⅰ) β不能由321,,ααα线性表示;(Ⅱ) β可由321,,ααα唯一地线性表示, 并求出表示式;(Ⅲ) β可由321,,ααα线性表示, 但表示式不唯一, 并求出表示式.【分析】将β可否由321,,ααα线性表示的问题转化为线性方程组βαk αk αk 332211是否有解的问题即易求解.【详解】设有数,,,321k k k 使得βαk αk αk 332211. (*)记),,(321αααA. 对矩阵),(βA 施以初等行变换, 有323032221111),(ba ab a βA 0101111ba b a . (Ⅰ) 当0a 时, 有11001111),(b βA .可知),()(βA r A r . 故方程组(*)无解, β不能由321,,ααα线性表示. (Ⅱ) 当0a, 且b a时, 有101111),(ba b a βA 01101011001aa3),()(βA r A r , 方程组(*)有唯一解：ak 111, ak 12,03k ．此时β可由321,,ααα唯一地线性表示, 其表示式为211)11(αa αa β．(Ⅲ) 当0ba 时, 对矩阵),(βA 施以初等行变换, 有101111),(bab a βA 0111011001aa，2),()(βA r A r , 方程组(*)有无穷多解，其全部解为ak 111, c ak 12, c k 3，其中c 为任意常数．β可由321,,ααα线性表示, 但表示式不唯一,其表示式为321)1()11(αc αc aαa β．【评注】本题属于常规题型, 曾考过两次(1991, 2000).(21) (本题满分13分)设n 阶矩阵111bb b b b b A.(Ⅰ) 求A 的特征值和特征向量;(Ⅱ) 求可逆矩阵P , 使得AP P1为对角矩阵.【分析】这是具体矩阵的特征值和特征向量的计算问题, 通常可由求解特征方程0||A Eλ和齐次线性方程组0)(x A E λ来解决.【详解】(Ⅰ)1当0b 时，111||λbbb λb b b λA Eλ＝1)]1(][)1(1[n b λb n λ,得A 的特征值为b n λ)1(11，b λλn 12．对b n λ)1(11，bn bbb bn b b b bn AEλ)1()1()1(1)1(111)1(111)1(n n n 0000111111111111n n n 000111111111111n n n 0000001111n n n n n 00110010101001解得Tξ)1,,1,1,1(1，所以A 的属于1λ的全部特征向量为Tk ξk )1,,1,1,1(1(k 为任意不为零的常数)．对b λ12，bbbb b b b b bAEλ200000111得基础解系为Tξ)0,,0,1,1(2，Tξ)0,,1,0,1(3，Tn ξ)1,,0,0,1(,．故A 的属于2λ的全部特征向量为nn ξk ξk ξk 3322(n k k k ,,,32是不全为零的常数)．2当0b时，nλλλλA Eλ)1(1010001||,特征值为11nλλ，任意非零列向量均为特征向量．(Ⅱ) 1当0b时，A 有n 个线性无关的特征向量，令),,,(21n ξξξP ，则bbbn APP 11)1(112当0b时，E A，对任意可逆矩阵P , 均有E APP 1．【评注】本题通过考查矩阵的特征值和特征向量而间接考查了行列式的计算, 齐次线性方程组的求解和矩阵的对角化等问题, 属于有一点综合性的试题. 另外,本题的解题思路是容易的, 只要注意矩阵中含有一个未知参数, 从而一般要讨论其不同取值情况.(22) (本题满分13分)设A ，B 为两个随机事件,且41)(A P , 31)|(A B P , 21)|(B A P , 令不发生，，发生，A A X0,1.0,1不发生，发生，B B Y求(Ⅰ) 二维随机变量),(Y X 的概率分布; (Ⅱ) X 与Y 的相关系数XY ρ;(Ⅲ) 22Y XZ的概率分布.【分析】本题的关键是求出),(Y X 的概率分布，于是只要将二维随机变量),(Y X 的各取值对转化为随机事件A 和B 表示即可．【详解】(Ⅰ) 因为121)|()()(A B P A P AB P ，于是61)|()()(B A P AB P B P ，则有121)(}1,1{AB P Y X P ，61)()()(}0,1{AB P A P B A P Y X P ，121)()()(}1,0{AB P B P B A P Y X P ，32)]()()([1)(1)(}0,0{AB P B P A P B A P B A P YXP ，( 或32121611211}0,0{YXP )，即),(Y X 的概率分布为：Y X10 13212161121(Ⅱ)方法一：因为41)(A P EX ，61)(B P EY ，121)(XY E ，41)(2A P EX ，61)(2B P EY，163)(22EX EXDX，165)(22EY EY DY，241)(),(EXEYXY E Y X Cov ，所以X 与Y 的相关系数1515151),(DYDX Y X Cov ρXY．方法二：X, Y 的概率分布分别为X 01Y 01P4341P6561则61,41EYEX，163DX，DY=365, E(XY)=121,故241)(),(EYEX XY E Y X Cov ，从而.1515),(DYDX Y X Cov XY(Ⅲ) Z 的可能取值为：0，1，2 ．32}0,0{}0{Y X P Z P ，41}1,0{}0,1{}1{Y X P Y X P Z P ，121}1,1{}2{YXP ZP ，即Z 的概率分布为：Z 0 12P3241121【评注】本题考查了二维离散随机变量联合概率分布，数字特征和二维离散随机变量函数的分布等计算问题，属于综合性题型(23) (本题满分13分)设随机变量X 的分布函数为，，，αxαx xαβαx F β0,1),,(其中参数1,0βα. 设n X X X ,,,21为来自总体X 的简单随机样本,(Ⅰ) 当1α时, 求未知参数β的矩估计量; (Ⅱ) 当1α时, 求未知参数β的最大似然估计量;(Ⅲ) 当2β时, 求未知参数α的最大似然估计量. 【分析】本题是一个常规题型, 只要注意求连续型总体未知参数的矩估计和最大似然估计都须已知密度函数,从而先由分布函数求导得密度函数.【详解】当1α时, X 的概率密度为，，，101,),(1xx xββx f β(Ⅰ) 由于11,1);(ββdxxβxdxβx xf EX β令X ββ1,解得1X X β,所以, 参数β的矩估计量为1XX β.(Ⅱ) 对于总体X 的样本值n x x x ,,,21, 似然函数为ni i βn ni n i x x x x βαx f βL 1121.,0),,,2,1(1,)();()(其他当),,2,1(1n i x i 时, 0)(βL , 取对数得ni i x ββn βL 1ln )1(ln )(ln ,对β求导数，得ni i x βn βd βL d 1ln )]([ln ，令0ln )]([ln 1ni ix βn βd βL d ，解得ni ix nβ1ln ，于是β的最大似然估计量为ni ix nβ1ln ?．( Ⅲ) 当2β时, X 的概率密度为，，，αxαx xαβx f 0,2),(32对于总体X 的样本值n x x x ,,,21, 似然函数为ni in nni n i αx x x x ααx f βL 13212.,0),,,2,1(,)(2);()(其他当),,2,1(n i αx i时, α越大，)(αL 越大, 即α的最大似然估计值为},,,min{?21n x x x α,于是α的最大似然估计量为},,,min{?21n X X X α．。

2012年考研数学(三)真题

2
，
X3
X4 2
2 2
~
x2
1
，
X1
X2 2
X3
X4 2
2
2
1 X1 X 2 ~ t 1
X3 X4 2
。
二、填空题 9．
【答案】 e 2
【解析】
1
lim(tan x)cos xsin x
1
lim[1 (tan x 1)]cos xsin x
lim tan x1
ex cos xsin x 4
(y) 6y 1 y2 C
C(x, y) 20x x2 6 y 1 y2 C
6．【答案】B
1 0 0
1 0 0
1 0 0
1 0 0
Q
【解析】
P
1 0
1 0
0 1
Q
1
1 0
1 0
0 1
P
1
，可得
Q
1
AQ
1 0
1 0
0 1
P
1
AP
1 0
1 0
0 1
1 0 01 0 01 0 0 1 0 01 0 0 1 0 0
Q 1 AQ
1 0
1 0
0 1
0 0
1 0
0 2
1 0
1 0
f (x 2 y 2 )dy
（B） 0
2x x2
2
4x2
dx
x 2 y 2 f (x 2 y 2 )dy
（C） 0
1 2 x x2
2
4x2
dx
f (x 2 y 2 )dy
（D） 0
1 2 x x2
(1) n
4．已知级数 i1

2004年考研数学三真题及解析

2004年考研数学（三）真题一、填空题（本题共6小题，每小题4分，满分24分. 把答案填在题中横线上） (1) 若5)(cos sin lim=--→b x ae x xx ，则a =______，b =______.(2) 设函数f (u , v )由关系式f [xg (y ) , y ] = x + g (y )确定，其中函数g (y )可微，且g (y ) ≠ 0，则2f u v∂=∂∂.(3) 设⎪⎩⎪⎨⎧≥-<≤-=21,12121,)(2x x xe x f x ，则212(1)f x dx -=⎰.(4) 二次型213232221321)()()(),,(x x x x x x x x x f ++-++=的秩为 . (5) 设随机变量X 服从参数为λ的指数分布, 则=>}{DX X P _______.(6) 设总体X 服从正态分布),(21σμN , 总体Y 服从正态分布),(22σμN ,1,,21n X X X 和 2,,21nY Y Y 分别是来自总体X 和Y 的简单随机样本, 则12221112()()2n n i j i j X X Y Y E n n ==⎡⎤-+-⎢⎥⎢⎥=⎢⎥+-⎢⎥⎢⎥⎣⎦∑∑.二、选择题（本题共6小题，每小题4分，满分24分. 每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内） (7) 函数2)2)(1()2sin(||)(---=x x x x x x f 在下列哪个区间内有界. (A) (-1 , 0). (B) (0 , 1).(C) (1 , 2).(D) (2 , 3). [ ](8) 设f (x )在(-∞ , +∞)内有定义，且a x f x =∞→)(lim ， ⎪⎩⎪⎨⎧=≠=0,00,)1()(x x x f x g ，则(A) x = 0必是g (x )的第一类间断点. (B) x = 0必是g (x )的第二类间断点.(C) x = 0必是g (x )的连续点.(D) g (x )在点x = 0处的连续性与a 的取值有关. [ ] (9) 设f (x ) = |x (1 - x )|，则(A) x = 0是f (x )的极值点，但(0 , 0)不是曲线y = f (x )的拐点. (B) x = 0不是f (x )的极值点，但(0 , 0)是曲线y = f (x )的拐点. (C) x = 0是f (x )的极值点，且(0 , 0)是曲线y = f (x )的拐点.(D) x = 0不是f (x )的极值点，(0 , 0)也不是曲线y = f (x )的拐点. [ ] (10) 设有下列命题：(1) 若∑∞=-+1212)(n n n u u 收敛，则∑∞=1n n u 收敛.(2) 若∑∞=1n n u 收敛，则∑∞=+11000n n u 收敛.(3) 若1lim1>+∞→nn n u u ，则∑∞=1n n u 发散.(4) 若∑∞=+1)(n n n v u 收敛，则∑∞=1n n u ，∑∞=1n n v 都收敛.则以上命题中正确的是(A) (1) (2). (B) (2) (3).(C) (3) (4). (D) (1) (4). [ ](11) 设)(x f '在[a , b]上连续，且0)(,0)(<'>'b f a f ，则下列结论中错误的是 (A) 至少存在一点),(0b a x ∈，使得)(0x f > f (a ). (B) 至少存在一点),(0b a x ∈，使得)(0x f > f (b ). (C) 至少存在一点),(0b a x ∈，使得0)(0='x f .(D) 至少存在一点),(0b a x ∈，使得)(0x f = 0.[ D ](12) 设n 阶矩阵A 与B 等价, 则必有(A) 当)0(||≠=a a A 时, a B =||. (B) 当)0(||≠=a a A 时, a B -=||. (C) 当0||≠A 时, 0||=B . (D) 当0||=A 时, 0||=B . [ ] (13) 设n 阶矩阵A 的伴随矩阵,0*≠A 若4321,,,ξξξξ是非齐次线性方程组 b Ax =的互不相等的解，则对应的齐次线性方程组0=Ax 的基础解系 (A) 不存在. (B) 仅含一个非零解向量.(C) 含有两个线性无关的解向量. (D) 含有三个线性无关的解向量.[ ](14) 设随机变量X 服从正态分布)1,0(N , 对给定的)1,0(∈α, 数αu 满足αu X P α=>}{,若αx X P =<}|{|, 则x 等于 (A) 2αu . (B) 21αu-. (C) 21αu -. (D) αu -1. [ ]三、解答题(本题共9小题，满分94分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.) (15) (本题满分8分)求)cos sin1(lim 222xx xx -→.(16) (本题满分8分)求⎰⎰++Dd y yx σ)(22，其中D 是由圆422=+y x 和1)1(22=++y x 所围成的平面区域(如图).(17) (本题满分8分) 设f (x ) , g (x )在[a , b ]上连续，且满足⎰⎰≥xaxadt t g dt t f )()(，x ∈ [a , b )，⎰⎰=ba badt t g dt t f )()(.证明：⎰⎰≤ba ba dx x xg dx x xf )()(.(18) (本题满分9分) 设某商品的需求函数为Q = 100 - 5P ，其中价格P ∈ (0 , 20)，Q 为需求量. (I) 求需求量对价格的弹性d E (d E > 0)；(II) 推导)1(d E Q dPdR -=(其中R 为收益)，并用弹性d E 说明价格在何范围内变化时，降低价格反而使收益增加. (19) (本题满分9分) 设级数)(864264242864+∞<<-∞+⋅⋅⋅+⋅⋅+⋅x xxx的和函数为S (x ). 求：(I) S (x )所满足的一阶微分方程； (II) S (x )的表达式. (20)(本题满分13分)设T α)0,2,1(1=, T ααα)3,2,1(2-+=, Tb αb α)2,2,1(3+---=, Tβ)3,3,1(-=,试讨论当b a ,为何值时,(Ⅰ) β不能由321,,ααα线性表示;(Ⅱ) β可由321,,ααα唯一地线性表示, 并求出表示式;(Ⅲ) β可由321,,ααα线性表示, 但表示式不唯一, 并求出表示式. (21) (本题满分13分) 设n 阶矩阵⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=111bb b bb b A . (Ⅰ) 求A 的特征值和特征向量; (Ⅱ) 求可逆矩阵P , 使得AP P 1-为对角矩阵.(22) (本题满分13分)设A ，B 为两个随机事件,且41)(=A P , 31)|(=A B P , 21)|(=B A P , 令⎩⎨⎧=不发生，，发生，A A X 0,1 ⎩⎨⎧=.0,1不发生，发生，B B Y 求(Ⅰ) 二维随机变量),(Y X 的概率分布; (Ⅱ) X 与Y 的相关系数 XY ρ; (Ⅲ) 22Y XZ +=的概率分布.(23) (本题满分13分)设随机变量X 的分布函数为⎪⎩⎪⎨⎧≤>⎪⎭⎫ ⎝⎛-=，，，αx αx x αβαx F β0,1),,(其中参数1,0>>βα. 设n X X X ,,,21 为来自总体X 的简单随机样本,(Ⅰ) 当1=α时, 求未知参数β的矩估计量; (Ⅱ) 当1=α时, 求未知参数β的最大似然估计量; (Ⅲ) 当2=β时, 求未知参数α的最大似然估计量.2004年考研数学（三）真题解析一、填空题（本题共6小题，每小题4分，满分24分. 把答案填在题中横线上） (1) 若5)(cos sin lim=--→b x ae x xx ，则a =1，b =4-.【分析】本题属于已知极限求参数的反问题. 【详解】因为5)(cos sin lim=--→b x ae x xx ，且0)(cos sin lim 0=-⋅→b x x x ，所以0)(lim 0=-→a e xx ，得a = 1. 极限化为51)(cos lim)(cos sin lim=-=-=--→→b b x xx b x ae x x xx ，得b = -4.因此，a = 1，b = -4. 【评注】一般地，已知)()(limx g x f ＝ A ，(1) 若g (x ) → 0，则f (x ) → 0；(2) 若f (x ) → 0，且A ≠ 0，则g (x ) → 0.(2) 设函数f (u , v )由关系式f [xg (y ) , y ] = x + g (y )确定，其中函数g (y )可微，且g (y ) ≠ 0，则)()(22v g v g vu f '-=∂∂∂.【分析】令u = xg (y )，v = y ，可得到f (u , v )的表达式，再求偏导数即可. 【详解】令u = xg (y )，v = y ，则f (u , v ) =)()(v g v g u +，所以，)(1v g uf =∂∂，)()(22v g v g vu f '-=∂∂∂.(3) 设⎪⎩⎪⎨⎧≥-<≤-=21,12121,)(2x x xe x f x ，则21)1(221-=-⎰dx x f .【分析】本题属于求分段函数的定积分，先换元：x - 1 = t ，再利用对称区间上奇偶函数的积分性质即可.【详解】令x - 1 = t ，⎰⎰⎰--==-121121221)()()1(dt x f dt t f dx x f＝21)21(0)1(12121212-=-+=-+⎰⎰-dx dx xex.【评注】一般地，对于分段函数的定积分，按分界点划分积分区间进行求解. (4) 二次型213232221321)()()(),,(x x x x x x x x x f ++-++=的秩为 2 .【分析】二次型的秩即对应的矩阵的秩, 亦即标准型中平方项的项数, 于是利用初等变换或配方法均可得到答案. 【详解一】因为213232221321)()()(),,(x x x x x x x x x f ++-++=323121232221222222x x x x x x x x x -++++=于是二次型的矩阵为 ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=211121112A , 由初等变换得 ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--→⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---→000330211330330211A , 从而 2)(=A r , 即二次型的秩为2.【详解二】因为213232221321)()()(),,(x x x x x x x x x f ++-++=323121232221222222x x x x x x x x x -++++= 2322321)(23)2121(2x x x x x -+++=2221232y y +=,其中 ,21213211x x x y ++= 322x x y -=.所以二次型的秩为2.(5) 设随机变量X 服从参数为λ的指数分布, 则=>}{DX X Pe1.【分析】根据指数分布的分布函数和方差立即得正确答案.【详解】由于21λDX =, X 的分布函数为⎩⎨⎧≤>-=-.0,0,0,1)(x x e x F x λ故=>}{DX X P =≤-}{1DX X P =≤-}1{1λX P )1(1λF -e1=. 【评注】本题是对重要分布, 即指数分布的考查, 属基本题型.(6) 设总体X 服从正态分布),(21σμN , 总体Y 服从正态分布),(22σμN ,1,,21n XX X 和 2,,21n Y Y Y 分别是来自总体X 和Y 的简单随机样本, 则22121212)()(21σn n Y Y X X En j j n i i =⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡-+-+-∑∑==.【分析】利用正态总体下常用统计量的数字特征即可得答案. 【详解】因为 2121])(11[1σX X n E n i i=--∑=, 2122])(11[2σY Y n E n j j=--∑=,故应填 2σ.【评注】本题是对常用统计量的数字特征的考查.二、选择题（本题共6小题，每小题4分，满分24分. 每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内） (7) 函数2)2)(1()2sin(||)(---=x x x x x x f 在下列哪个区间内有界. (A) (-1 , 0). (B) (0 , 1).(C) (1 , 2).(D) (2 , 3). [ A ] 【分析】如f (x )在(a , b )内连续，且极限)(limx f ax +→与)(limx f bx -→存在，则函数f (x )在(a , b )内有界.【详解】当x ≠ 0 , 1 , 2时，f (x )连续，而183sin )(lim1-=+-→x f x ，42sin )(lim-=-→x f x ，42sin )(lim=+→x f x ，∞=→)(lim 1x f x ，∞=→)(lim 2x f x ，所以，函数f (x )在(-1 , 0)内有界，故选(A).【评注】一般地，如函数f (x )在闭区间[a , b ]上连续，则f (x )在闭区间[a , b ]上有界；如函数f (x )在开区间(a , b )内连续，且极限)(limx f ax +→与)(limx f bx -→存在，则函数f (x )在开区间(a , b )内有界.(8) 设f (x )在(-∞ , +∞)内有定义，且a x f x =∞→)(lim ，⎪⎩⎪⎨⎧=≠=0,00,)1()(x x xf xg ，则 (A) x = 0必是g (x )的第一类间断点. (B) x = 0必是g (x )的第二类间断点.(C) x = 0必是g (x )的连续点.(D) g (x )在点x = 0处的连续性与a 的取值有关. [ D ] 【分析】考查极限)(lim 0x g x →是否存在，如存在，是否等于g (0)即可，通过换元xu 1=，可将极限)(lim 0x g x →转化为)(lim x f x ∞→.【详解】因为)(lim )1(lim )(lim 00u f xf xg u x x ∞→→→=== a (令x u 1=)，又g (0) = 0，所以，当a = 0时，)0()(lim 0g x g x =→，即g (x )在点x = 0处连续，当a ≠ 0时，)0()(lim 0g x g x ≠→，即x = 0是g (x )的第一类间断点，因此，g (x )在点x = 0处的连续性与a 的取值有关，故选(D).【评注】本题属于基本题型，主要考查分段函数在分界点处的连续性. (9) 设f (x ) = |x (1 - x )|，则(A) x = 0是f (x )的极值点，但(0 , 0)不是曲线y = f (x )的拐点. (B) x = 0不是f (x )的极值点，但(0 , 0)是曲线y = f (x )的拐点. (C) x = 0是f (x )的极值点，且(0 , 0)是曲线y = f (x )的拐点.(D) x = 0不是f (x )的极值点，(0 , 0)也不是曲线y = f (x )的拐点. [ C ] 【分析】由于f (x )在x = 0处的一、二阶导数不存在，可利用定义判断极值情况，考查f (x )在x = 0的左、右两侧的二阶导数的符号，判断拐点情况.【详解】设0 < δ < 1，当x ∈ (-δ , 0) ⋃ (0 , δ)时，f (x ) > 0，而f (0) = 0，所以x = 0是f (x )的极小值点. 显然，x = 0是f (x )的不可导点. 当x ∈ (-δ , 0)时，f (x ) = -x (1 - x )，02)(>=''x f ，当x ∈ (0 , δ)时，f (x ) = x (1 - x )，02)(<-=''x f ，所以(0 , 0)是曲线y = f (x )的拐点.故选(C).【评注】对于极值情况，也可考查f (x )在x = 0的某空心邻域内的一阶导数的符号来判断. (10) 设有下列命题：(1) 若∑∞=-+1212)(n n n u u 收敛，则∑∞=1n n u 收敛.(2) 若∑∞=1n n u 收敛，则∑∞=+11000n n u 收敛.(3) 若1lim1>+∞→nn n u u ，则∑∞=1n n u 发散.(4) 若∑∞=+1)(n n n v u 收敛，则∑∞=1n n u ，∑∞=1n n v 都收敛.则以上命题中正确的是 (A) (1) (2). (B) (2) (3). (C) (3) (4). (D) (1) (4). [ B ]【分析】可以通过举反例及级数的性质来说明4个命题的正确性.【详解】(1)是错误的，如令nn u )1(-=，显然，∑∞=1n n u 分散，而∑∞=-+1212)(n n n u u 收敛.(2)是正确的，因为改变、增加或减少级数的有限项，不改变级数的收敛性. (3)是正确的，因为由1lim1>+∞→nn n u u 可得到n u 不趋向于零(n → ∞)，所以∑∞=1n n u 发散.(4)是错误的，如令nv nu n n 1,1-==，显然，∑∞=1n n u ，∑∞=1n n v 都发散，而∑∞=+1)(n n n v u 收敛. 故选(B).【评注】本题主要考查级数的性质与收敛性的判别法，属于基本题型.(11) 设)(x f '在[a , b]上连续，且0)(,0)(<'>'b f a f ，则下列结论中错误的是 (A) 至少存在一点),(0b a x ∈，使得)(0x f > f (a ). (B) 至少存在一点),(0b a x ∈，使得)(0x f > f (b ). (C) 至少存在一点),(0b a x ∈，使得0)(0='x f .(D) 至少存在一点),(0b a x ∈，使得)(0x f = 0.[ D ]【分析】利用介值定理与极限的保号性可得到三个正确的选项，由排除法可选出错误选项. 【详解】首先，由已知)(x f '在[a , b]上连续，且0)(,0)(<'>'b f a f ，则由介值定理，至少存在一点),(0b a x ∈，使得0)(0='x f ；另外，0)()(lim)(>--='+→ax a f x f a f ax ，由极限的保号性，至少存在一点),(0b a x ∈使得0)()(00>--ax a f x f ，即)()(0a f x f >. 同理，至少存在一点),(0b a x ∈使得)()(0b f x f >. 所以，(A) (B) (C)都正确，故选(D).【评注】本题综合考查了介值定理与极限的保号性，有一定的难度. (12) 设n 阶矩阵A 与B 等价, 则必有(A) 当)0(||≠=a a A 时, a B =||. (B) 当)0(||≠=a a A 时, a B -=||. (C) 当0||≠A 时, 0||=B . (D) 当0||=A 时, 0||=B . [ D ] 【分析】利用矩阵A 与B 等价的充要条件: )()(B r A r =立即可得.【详解】因为当0||=A 时, n A r <)(, 又 A 与B 等价, 故n B r <)(, 即0||=B , 故选(D).【评注】本题是对矩阵等价、行列式的考查, 属基本题型.(13) 设n 阶矩阵A 的伴随矩阵,0*≠A 若4321,,,ξξξξ是非齐次线性方程组 b Ax =的互不相等的解，则对应的齐次线性方程组0=Ax 的基础解系 (A) 不存在. (B) 仅含一个非零解向量.(C) 含有两个线性无关的解向量. (D) 含有三个线性无关的解向量. [ B ] 【分析】要确定基础解系含向量的个数, 实际上只要确定未知数的个数和系数矩阵的秩. 【详解】因为基础解系含向量的个数=)(A r n -, 而且⎪⎩⎪⎨⎧-<-===.1)(,0,1)(,1,)(,)(*n A r n A r n A r n A r 根据已知条件,0*≠A 于是)(A r 等于n 或1-n . 又b Ax =有互不相等的解, 即解不惟一, 故1)(-=n A r . 从而基础解系仅含一个解向量, 即选(B).【评注】本题是对矩阵A 与其伴随矩阵*A 的秩之间的关系、线性方程组解的结构等多个知识点的综合考查. (14) 设随机变量X 服从正态分布)1,0(N , 对给定的)1,0(∈α, 数αu 满足αu X P α=>}{,若αx X P =<}|{|, 则x 等于 (A) 2αu . (B) 21αu-. (C) 21αu -. (D) αu -1. [ C ]【分析】利用标准正态分布密度曲线的对称性和几何意义即得. 【详解】由αx X P =<}|{|, 以及标准正态分布密度曲线的对称性可得21}{αx X P -=>. 故正确答案为(C).【评注】本题是对标准正态分布的性质, 严格地说它的上分位数概念的考查.三、解答题(本题共9小题，满分94分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.) (15) (本题满分8分) 求)cos sin1(lim 222xx xx -→.【分析】先通分化为“0”型极限，再利用等价无穷小与罗必达法则求解即可.【详解】xx xx x xx xx x 222220222sincos sinlim)cos sin1(lim -=-→→=346)4(21lim 64cos 1lim44sin 212lim2sin 41lim22230422==-=-=-→→→→xx xx xxx xxx x x x x .【评注】本题属于求未定式极限的基本题型，对于“00”型极限，应充分利用等价无穷小替换来简化计算.(16) (本题满分8分) 求⎰⎰++Dd y yx σ)(22，其中D 是由圆422=+y x 和1)1(22=++y x 所围成的平面区域(如图).【分析】首先，将积分区域D 分为大圆}4|),{(221≤+=y x y x D 减去小圆}1)1(|),{(222≤++=y x y x D ，再利用对称性与极坐标计算即可.【详解】令}1)1(|),{(},4|),{(222221≤++=≤+=y x y x D y x y x D ，由对称性，0=⎰⎰Dyd σ.⎰⎰⎰⎰⎰⎰+-+=+21222222D D Dd y x d y x d y x σσσ⎰⎰⎰⎰--=θπππθθcos 20223220220dr r d dr rd .)23(916932316-=-=ππ所以，)23(916)(22-=++⎰⎰πσDd y y x .【评注】本题属于在极坐标系下计算二重积分的基本题型，对于二重积分，经常利用对称性及将一个复杂区域划分为两个或三个简单区域来简化计算. (17) (本题满分8分) 设f (x ) , g (x )在[a , b ]上连续，且满足⎰⎰≥xaxadt t g dt t f )()(，x ∈ [a , b )，⎰⎰=ba badt t g dt t f )()(.证明：⎰⎰≤ba ba dx x xg dx x xf )()(.【分析】令F (x ) = f (x ) - g (x )，⎰=xa dt t F x G )()(，将积分不等式转化为函数不等式即可. 【详解】令F (x ) = f (x ) - g (x )，⎰=x a dtt F x G )()(，由题设G (x ) ≥ 0，x ∈ [a , b ]，G (a ) = G (b ) = 0，)()(x F x G ='.从而⎰⎰⎰⎰-=-==babab ababadx x G dx x G x xG x xdG dx x xF )()()()()(，由于 G (x ) ≥ 0，x ∈ [a , b ]，故有0)(≤-⎰ba dxx G ，即0)(≤⎰ba dx x xF .因此 ⎰⎰≤ba badx x xg dx x xf )()(.【评注】引入变限积分转化为函数等式或不等式是证明积分等式或不等式的常用的方法. (18) (本题满分9分) 设某商品的需求函数为Q = 100 - 5P ，其中价格P ∈ (0 , 20)，Q 为需求量. (I) 求需求量对价格的弹性d E (d E > 0)；(II) 推导)1(d E Q dPdR -=(其中R 为收益)，并用弹性d E 说明价格在何范围内变化时，降低价格反而使收益增加.【分析】由于d E > 0，所以dPdQ Q P E d =；由Q = PQ 及dPdQ Q P E d =可推导)1(d E Q dPdR -=.【详解】(I) PP dPdQ Q P E d -==20.(II) 由R = PQ ，得)1()1(d E Q dPdQ Q P Q dPdQ PQ dPdR -=+=+=.又由120=-=PP E d ，得P = 10.当10 1，于是0<dPdR ，故当10 0时，需求量对价格的弹性公式为dPdQ Q P dPdQ Q P E d -==.利用需求弹性分析收益的变化情况有以下四个常用的公式：Qdp E dR d )1(-=，Q E dpdR d )1(-=，p E dQdR d)11(-=，d E EpER -=1(收益对价格的弹性).(19) (本题满分9分) 设级数)(864264242864+∞<<-∞+⋅⋅⋅+⋅⋅+⋅x xxx的和函数为S (x ). 求：(I) S (x )所满足的一阶微分方程； (II) S (x )的表达式.【分析】对S (x )进行求导，可得到S (x )所满足的一阶微分方程，解方程可得S (x )的表达式. 【详解】(I) +⋅⋅⋅+⋅⋅+⋅=864264242)(864xxxx S ，易见 S (0) = 0，+⋅⋅+⋅+='642422)(753xxxx S)642422(642+⋅⋅+⋅+=xxxx)](2[2x S xx +=.因此S (x )是初值问题0)0(,23=+='y xxy y 的解.(II) 方程23xxy y +='的通解为]2[3C dx e x e y xdx xdx+⎰⎰=⎰-22212xCex+--=，由初始条件y(0) = 0，得C = 1.故12222-+-=xexy ，因此和函数12)(222-+-=xexx S .【评注】本题综合了级数求和问题与微分方程问题，2002年考过类似的题. (20)(本题满分13分)设T α)0,2,1(1=, T ααα)3,2,1(2-+=, Tb αb α)2,2,1(3+---=, Tβ)3,3,1(-=,试讨论当b a ,为何值时,(Ⅰ) β不能由321,,ααα线性表示;(Ⅱ) β可由321,,ααα唯一地线性表示, 并求出表示式;(Ⅲ) β可由321,,ααα线性表示, 但表示式不唯一, 并求出表示式.【分析】将β可否由321,,ααα线性表示的问题转化为线性方程组βαk αk αk =++332211是否有解的问题即易求解. 【详解】设有数,,,321k k k 使得βαk αk αk =++332211. (*) 记),,(321αααA =. 对矩阵),(βA 施以初等行变换, 有⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-+---+-=323032221111),(ba ab a βA ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---→00101111ba b a . (Ⅰ) 当0=a 时, 有⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---→101001111),(b βA . 可知),()(βA r A r ≠. 故方程组(*)无解, β不能由321,,ααα线性表示. (Ⅱ) 当0≠a , 且b a ≠时, 有⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---→00101111),(ba b a βA ⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡-→01101011001a a 3),()(==βA r A r , 方程组(*)有唯一解：ak 111-=, ak 12=, 03=k ．此时β可由321,,ααα唯一地线性表示, 其表示式为 211)11(αa αa β+-=．(Ⅲ) 当0≠=b a 时, 对矩阵),(βA 施以初等行变换, 有⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---→00101111),(ba b a βA ⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡--→00111011001a a ， 2),()(==βA r A r , 方程组(*)有无穷多解，其全部解为ak 111-=, c ak +=12, c k =3，其中c 为任意常数．β 可由321,,ααα线性表示, 但表示式不唯一, 其表示式为321)1()11(αc αc aαaβ+++-=．【评注】本题属于常规题型, 曾考过两次(1991, 2000).(21) (本题满分13分) 设n 阶矩阵⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=111bb b bb b A . (Ⅰ) 求A 的特征值和特征向量; (Ⅱ) 求可逆矩阵P , 使得AP P1-为对角矩阵.【分析】这是具体矩阵的特征值和特征向量的计算问题, 通常可由求解特征方程0||=-A E λ和齐次线性方程组0)(=-x A E λ来解决.【详解】 (Ⅰ)1当0≠b 时，111||---------=-λbbb λb b b λA E λ＝1)]1(][)1(1[------n b λb n λ ,得A 的特征值为b n λ)1(11-+=，b λλn -===12 ．对b n λ)1(11-+=，⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---------=-b n bb b bn bbb b n A E λ)1()1()1(1→⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---------)1(111)1(111)1(n n n→⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛------------0000111111111111n n n →⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---------0000111111111111n n n→⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---0000001111n nn n n →⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---000110010101001解得T ξ)1,,1,1,1(1 =，所以A 的属于1λ的全部特征向量为 T k ξk )1,,1,1,1(1 = (k 为任意不为零的常数)．对b λ-=12，⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---------=-b bb b b bb b bA E λ2→⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛000000111得基础解系为Tξ)0,,0,1,1(2 -=，Tξ)0,,1,0,1(3 -=，Tn ξ)1,,0,0,1(,-= ．故A 的属于2λ的全部特征向量为n n ξk ξk ξk +++ 3322 (n k k k ,,,32 是不全为零的常数)．2 当0=b 时，nλλλλA E λ)1(1010001||-=---=-,特征值为11===n λλ ，任意非零列向量均为特征向量．(Ⅱ)1当0≠b 时，A 有n 个线性无关的特征向量，令),,,(21n ξξξP =，则⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---+=-b bb n AP P 11)1(112 当0=b 时，E A =，对任意可逆矩阵P , 均有E AP P=-1．【评注】本题通过考查矩阵的特征值和特征向量而间接考查了行列式的计算, 齐次线性方程组的求解和矩阵的对角化等问题, 属于有一点综合性的试题. 另外,本题的解题思路是容易的, 只要注意矩阵中含有一个未知参数, 从而一般要讨论其不同取值情况. (22) (本题满分13分)设A ，B 为两个随机事件,且41)(=A P , 31)|(=A B P , 21)|(=B A P , 令⎩⎨⎧=不发生，，发生，A A X 0,1 ⎩⎨⎧=.0,1不发生，发生，B B Y 求(Ⅰ) 二维随机变量),(Y X 的概率分布; (Ⅱ) X 与Y 的相关系数 XY ρ; (Ⅲ) 22Y XZ +=的概率分布.【分析】本题的关键是求出),(Y X 的概率分布，于是只要将二维随机变量),(Y X 的各取值对转化为随机事件A 和B 表示即可．【详解】 (Ⅰ) 因为 121)|()()(==A B P A P AB P ，于是 61)|()()(==B A P AB P B P ，则有 121)(}1,1{====AB P Y X P ，61)()()(}0,1{=-====AB P A P B A P Y X P ， 121)()()(}1,0{=-====AB P B P B A P Y X P ，32)]()()([1)(1)(}0,0{=-+-=⋃-=⋅===AB P B P A P B A P B A P Y X P ，( 或 32121611211}0,0{=---===Y X P )，即),(Y X 的概率分布为：Y X0 1 0 132 12161121(Ⅱ) 方法一：因为 41)(==A P EX ，61)(==B P EY ，121)(=XY E ，41)(2==A P EX，61)(2==B P EY，163)(22=-=EX EX DX ，165)(22=-=EY EYDY ，241)(),(=-=EXEY XY E Y X Cov ，所以X 与Y 的相关系数 1515151),(==⋅=DYDX Y X Cov ρXY ．方法二： X, Y 的概率分布分别为X 0 1 Y 0 1 P 4341 P 65 61则61,41==EY EX ，163=DX ，DY=365, E(XY)=121,故 241)(),(=⋅-=EY EX XY E Y X Cov ，从而.1515),(=⋅=DYDX Y X Cov XY ρ(Ⅲ) Z 的可能取值为：0，1，2 ．32}0,0{}0{=====Y X P Z P ，41}1,0{}0,1{}1{===+====Y X P Y X P Z P ，121}1,1{}2{=====Y X P Z P ，即Z 的概率分布为：Z 0 1 2 P32 41121【评注】本题考查了二维离散随机变量联合概率分布，数字特征和二维离散随机变量函数的分布等计算问题，属于综合性题型 (23) (本题满分13分)设随机变量X 的分布函数为⎪⎩⎪⎨⎧≤>⎪⎭⎫ ⎝⎛-=，，，αx αx x αβαx F β0,1),,(其中参数1,0>>βα. 设n X X X ,,,21 为来自总体X 的简单随机样本,(Ⅰ) 当1=α时, 求未知参数β的矩估计量; (Ⅱ) 当1=α时, 求未知参数β的最大似然估计量; (Ⅲ) 当2=β时, 求未知参数α的最大似然估计量.【分析】本题是一个常规题型, 只要注意求连续型总体未知参数的矩估计和最大似然估计都须已知密度函数, 从而先由分布函数求导得密度函数.【详解】当1=α时, X 的概率密度为⎪⎩⎪⎨⎧≤>=+，，，101,),(1x x x ββx f β(Ⅰ) 由于⎰⎰+∞++∞∞--=⋅==11,1);(ββdx xβx dx βx xf EX β令X ββ=-1, 解得 1-=X X β,所以, 参数β的矩估计量为 1-=X X β.(Ⅱ) 对于总体X 的样本值n x x x ,,,21 , 似然函数为∏=+⎪⎩⎪⎨⎧=>==ni i βn ni n i x x x x βαx f βL 1121.,0),,,2,1(1,)();()(其他当),,2,1(1n i x i =>时, 0)(>βL , 取对数得∑=+-=ni i x ββn βL 1ln )1(ln )(ln ,对β求导数，得∑=-=ni i x βn βd βL d 1ln)]([ln ，令0ln )]([ln 1=-=∑=ni i x βn βd βL d ，解得 ∑==ni ix nβ1ln，于是β的最大似然估计量为 ∑==ni ix nβ1lnˆ． ( Ⅲ) 当2=β时, X 的概率密度为⎪⎩⎪⎨⎧≤>=，，，αx αx x αβx f 0,2),(32对于总体X 的样本值n x x x ,,,21 , 似然函数为∏=⎪⎩⎪⎨⎧=>==ni i n nn i n i αx x x x ααx f βL 13212.,0),,,2,1(,)(2);()(其他当),,2,1(n i αx i =>时, α越大，)(αL 越大, 即α的最大似然估计值为 },,,min{ˆ21n x x x α=, 于是α的最大似然估计量为},,,min{ˆ21n X X X α=．。

2004年考研数学三真题及解析

2004年考研数学（三）真题一、填空题（本题共6小题，每小题4分，满分24分. 把答案填在题中横线上）(1) 若5)(cos sin lim 0=--→b x ae x x x ，则a =______，b =______. (2) 设函数f (u , v )由关系式f [xg (y ) , y ] = x + g (y )确定，其中函数g (y )可微，且g (y) 0，则2f u v ∂=∂∂.(3) 设⎪⎩⎪⎨⎧≥-<≤-=21,12121,)(2x x xe x f x ，则212(1)f x dx -=⎰.(4) 二次型213232221321)()()(),,(x x x x x x x x x f ++-++=的秩为 .(5) 设随机变量X 服从参数为λ的指数分布, 则=>}{DX X P _______.(6) 设总体X 服从正态分布),(21σμN , 总体Y 服从正态分布),(22σμN ,1,,21n X X X 和 2,,21n Y Y Y 分别是来自总体X 和Y 的简单随机样本, 则12221112()()2n n i j i j X X Y Y E n n ==⎡⎤-+-⎢⎥⎢⎥=⎢⎥+-⎢⎥⎢⎥⎣⎦∑∑.二、选择题（本题共6小题，每小题4分，满分24分. 每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内）(7) 函数2)2)(1()2sin(||)(---=x x x x x x f 在下列哪个区间内有界. (A) ( 1 , 0). (B) (0 , 1).(C) (1 , 2). (D) (2 , 3). [ ] (8) 设f (x )在( , +)内有定义，且a x f x =∞→)(lim ， ⎪⎩⎪⎨⎧=≠=0,00,)1()(x x x f x g ，则 (A) x = 0必是g (x )的第一类间断点. (B) x = 0必是g (x )的第二类间断点.(C) x = 0必是g (x )的连续点.(D) g (x )在点x = 0处的连续性与a 的取值有关. [ ](9) 设f (x ) = |x (1 x )|，则(A) x = 0是f (x )的极值点，但(0 , 0)不是曲线y = f (x )的拐点.(B) x = 0不是f (x )的极值点，但(0 , 0)是曲线y = f (x )的拐点.(C) x = 0是f (x )的极值点，且(0 , 0)是曲线y = f (x )的拐点.(D) x = 0不是f (x )的极值点，(0 , 0)也不是曲线y = f (x )的拐点. [ ](10) 设有下列命题：(1) 若∑∞=-+1212)(n n n u u 收敛，则∑∞=1n n u 收敛.(2) 若∑∞=1n n u 收敛，则∑∞=+11000n n u 收敛. (3) 若1lim 1>+∞→n n n u u ，则∑∞=1n n u 发散. (4) 若∑∞=+1)(n n n v u 收敛，则∑∞=1n n u ，∑∞=1n n v 都收敛. 则以上命题中正确的是 (A) (1) (2). (B) (2) (3). (C) (3) (4). (D) (1) (4). [ ](11) 设)(x f '在[a , b]上连续，且0)(,0)(<'>'b f a f ，则下列结论中错误的是(A) 至少存在一点),(0b a x ∈，使得)(0x f > f (a ).(B) 至少存在一点),(0b a x ∈，使得)(0x f > f (b ).(C) 至少存在一点),(0b a x ∈，使得0)(0='x f . (D) 至少存在一点),(0b a x ∈，使得)(0x f = 0.[ D ] (12) 设n 阶矩阵A 与B 等价, 则必有(A) 当)0(||≠=a a A 时, a B =||. (B) 当)0(||≠=a a A 时, a B -=||.(C) 当0||≠A 时, 0||=B . (D) 当0||=A 时, 0||=B . [ ](13) 设n 阶矩阵A 的伴随矩阵,0*≠A 若4321,,,ξξξξ是非齐次线性方程组 b Ax =的互不相等的解，则对应的齐次线性方程组0=Ax 的基础解系(A) 不存在. (B) 仅含一个非零解向量.(C) 含有两个线性无关的解向量. (D) 含有三个线性无关的解向量. [ ](14) 设随机变量X 服从正态分布)1,0(N , 对给定的)1,0(∈α, 数αu 满足αu X P α=>}{,若αx X P =<}|{|, 则x 等于(A) 2αu . (B) 21αu-. (C) 21αu -. (D) αu -1. [ ] 三、解答题(本题共9小题，满分94分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)(15) (本题满分8分)求)cos sin 1(lim 2220xx x x -→. (16) (本题满分8分)求⎰⎰++Dd y y x σ)(22，其中D 是由圆422=+y x 和1)1(22=++y x 所围成的平面区域(如图). (17) (本题满分8分) 设f (x ) , g (x )在[a , b ]上连续，且满足⎰⎰≥xa x a dt t g dt t f )()(，x[a , b )，⎰⎰=b a b a dt t g dt t f )()(. 证明：⎰⎰≤b ab a dx x xg dx x xf )()(. (18) (本题满分9分) 设某商品的需求函数为Q = 100 5P ，其中价格P(0 , 20)，Q 为需求量. (I) 求需求量对价格的弹性d E (d E > 0)；(II) 推导)1(d E Q dPdR -=(其中R 为收益)，并用弹性d E 说明价格在何范围内变化时，降低价格反而使收益增加.(19) (本题满分9分)设级数)(864264242864+∞<<-∞+⋅⋅⋅+⋅⋅+⋅x x x x 的和函数为S (x ). 求：(I) S (x )所满足的一阶微分方程；(II) S (x )的表达式.(20)(本题满分13分)设T α)0,2,1(1=, T ααα)3,2,1(2-+=, T b αb α)2,2,1(3+---=, T β)3,3,1(-=,试讨论当b a ,为何值时,(Ⅰ) β不能由321,,ααα线性表示;(Ⅱ) β可由321,,ααα唯一地线性表示, 并求出表示式;(Ⅲ) β可由321,,ααα线性表示, 但表示式不唯一, 并求出表示式.(21) (本题满分13分)设n 阶矩阵⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=111 b b b b b b A . (Ⅰ) 求A 的特征值和特征向量;(Ⅱ) 求可逆矩阵P , 使得AP P 1-为对角矩阵.(22) (本题满分13分)设A ，B 为两个随机事件,且41)(=A P , 31)|(=A B P , 21)|(=B A P , 令 ⎩⎨⎧=不发生，，发生，A A X 0,1 ⎩⎨⎧=.0,1不发生，发生，B B Y 求(Ⅰ) 二维随机变量),(Y X 的概率分布;(Ⅱ) X 与Y 的相关系数 XY ρ;(Ⅲ) 22Y X Z +=的概率分布.(23) (本题满分13分)设随机变量X 的分布函数为 ⎪⎩⎪⎨⎧≤>⎪⎭⎫ ⎝⎛-=，，，αx αx x αβαx F β0,1),,( 其中参数1,0>>βα. 设n X X X ,,,21 为来自总体X 的简单随机样本,(Ⅰ) 当1=α时, 求未知参数β的矩估计量;(Ⅱ) 当1=α时, 求未知参数β的最大似然估计量;(Ⅲ) 当2=β时, 求未知参数α的最大似然估计量.2004年考研数学（三）真题解析一、填空题（本题共6小题，每小题4分，满分24分. 把答案填在题中横线上）(1) 若5)(cos sin lim 0=--→b x a e x x x ，则a =1，b =4-.【分析】本题属于已知极限求参数的反问题.【详解】因为5)(cos sin lim 0=--→b x a e x x x ，且0)(cos sin lim 0=-⋅→b x x x ，所以 0)(lim 0=-→a e x x ，得a = 1. 极限化为51)(cos lim )(cos sin lim00=-=-=--→→b b x x x b x a e x x x x ，得b = 4. 因此，a = 1，b =4. 【评注】一般地，已知)()(lim x g x f ＝ A ， (1) 若g (x ) 0，则f (x) 0；(2) 若f (x) 0，且A0，则g (x ) 0.(2) 设函数f (u , v )由关系式f [xg (y ) , y ] = x + g (y )确定，其中函数g (y )可微，且g (y) 0，则)()(22v g v g v u f '-=∂∂∂.【分析】令u = xg (y )，v = y ，可得到f (u , v )的表达式，再求偏导数即可.【详解】令u = xg (y )，v = y ，则f (u , v ) =)()(v g v g u +，所以，)(1v g u f =∂∂，)()(22v g v g v u f '-=∂∂∂. (3) 设⎪⎩⎪⎨⎧≥-<≤-=21,12121,)(2x x xe x f x ，则21)1(221-=-⎰dx x f .【分析】本题属于求分段函数的定积分，先换元：x 1 = t ，再利用对称区间上奇偶函数的积分性质即可.【详解】令x 1 = t ，⎰⎰⎰--==-121121221)()()1(dt x f dt t f dx x f ＝21)21(0)1(12121212-=-+=-+⎰⎰-dx dx xe x .【评注】一般地，对于分段函数的定积分，按分界点划分积分区间进行求解.(4) 二次型213232221321)()()(),,(x x x x x x x x x f ++-++=的秩为 2 .【分析】二次型的秩即对应的矩阵的秩, 亦即标准型中平方项的项数, 于是利用初等变换或配方法均可得到答案.【详解一】因为213232221321)()()(),,(x x x x x x x x x f ++-++=323121232221222222x x x x x x x x x -++++=于是二次型的矩阵为 ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=211121112A ,由初等变换得 ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---→000330211330330211A ,从而 2)(=A r , 即二次型的秩为2.【详解二】因为213232221321)()()(),,(x x x x x x x x x f ++-++= 323121232221222222x x x x x x x x x -++++=2322321)(23)2121(2x x x x x -+++= 2221232y y +=, 其中 ,21213211x x x y ++= 322x x y -=. 所以二次型的秩为2.(5) 设随机变量X 服从参数为λ的指数分布, 则=>}{DX X P e 1. 【分析】根据指数分布的分布函数和方差立即得正确答案.【详解】由于21λDX =, X 的分布函数为 ⎩⎨⎧≤>-=-.0,0,0,1)(x x e x F x λ 故=>}{DX X P =≤-}{1DX X P =≤-}1{1λX P )1(1λF -e1=. 【评注】本题是对重要分布, 即指数分布的考查, 属基本题型.(6) 设总体X 服从正态分布),(21σμN , 总体Y 服从正态分布),(22σμN ,1,,21n X X X 和 2,,21n Y Y Y 分别是来自总体X 和Y 的简单随机样本, 则22121212)()(21σn n Y Y X X E n j j n i i =⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡-+-+-∑∑==.【分析】利用正态总体下常用统计量的数字特征即可得答案.【详解】因为 2121])(11[1σX X n E n i i =--∑=, 2122])(11[2σY Y n E n j j =--∑=, 故应填 2σ.【评注】本题是对常用统计量的数字特征的考查.二、选择题（本题共6小题，每小题4分，满分24分. 每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内）(7) 函数2)2)(1()2sin(||)(---=x x x x x x f 在下列哪个区间内有界. (A) ( 1 , 0). (B) (0 , 1). (C) (1 , 2).(D) (2 , 3). [ A ] 【分析】如f (x )在(a , b )内连续，且极限)(lim x f a x +→与)(lim x f b x -→存在，则函数f (x ) 在(a , b )内有界.【详解】当x 0 , 1 , 2时，f (x )连续，而183sin )(lim1-=+-→x f x ，42sin )(lim 0-=-→x f x ， 42sin )(lim 0=+→x f x ，∞=→)(lim 1x f x ，∞=→)(lim 2x f x ，所以，函数f (x )在( 1 , 0)内有界，故选(A).【评注】一般地，如函数f (x )在闭区间[a , b ]上连续，则f (x )在闭区间[a , b ]上有界；如函数f (x )在开区间(a ,b )内连续，且极限)(lim x f a x +→与)(lim x f b x -→存在，则函数f (x )在开区间(a , b )内有界.(8) 设f (x )在( , +)内有定义，且a x f x =∞→)(lim ， ⎪⎩⎪⎨⎧=≠=0,00,)1()(x x x f x g ，则 (A) x = 0必是g (x )的第一类间断点. (B) x = 0必是g (x )的第二类间断点.(C) x = 0必是g (x )的连续点.(D) g (x )在点x = 0处的连续性与a 的取值有关. [ D ]【分析】考查极限)(lim 0x g x →是否存在，如存在，是否等于g (0)即可，通过换元xu 1=，可将极限)(lim 0x g x →转化为)(lim x f x ∞→. 【详解】因为)(lim )1(lim )(lim 00u f x f x g u x x ∞→→→=== a (令xu 1=)，又g (0) = 0，所以，当a = 0时，)0()(lim 0g x g x =→，即g (x )在点x = 0处连续，当a 0时， )0()(lim 0g x g x ≠→，即x = 0是g (x )的第一类间断点，因此，g (x )在点x = 0处的连续性与a 的取值有关，故选(D).【评注】本题属于基本题型，主要考查分段函数在分界点处的连续性.(9) 设f (x ) = |x (1 x )|，则(A) x = 0是f (x )的极值点，但(0 , 0)不是曲线y = f (x )的拐点.(B) x = 0不是f (x )的极值点，但(0 , 0)是曲线y = f (x )的拐点.(C) x = 0是f (x )的极值点，且(0 , 0)是曲线y = f (x )的拐点.(D) x = 0不是f (x )的极值点，(0 , 0)也不是曲线y = f (x )的拐点. [ C ]【分析】由于f (x )在x = 0处的一、二阶导数不存在，可利用定义判断极值情况，考查f (x )在x = 0的左、右两侧的二阶导数的符号，判断拐点情况.【详解】设0 < < 1，当x ( , 0) (0 , )时，f (x ) > 0，而f (0) = 0，所以x = 0是f (x )的极小值点.显然，x = 0是f (x )的不可导点. 当x ( , 0)时，f (x ) = x (1 x )，02)(>=''x f ，当x (0 , )时，f (x ) = x (1 x )，02)(<-=''x f ，所以(0 , 0)是曲线y = f (x )的拐点.故选(C).【评注】对于极值情况，也可考查f (x )在x = 0的某空心邻域内的一阶导数的符号来判断.(10) 设有下列命题：(1) 若∑∞=-+1212)(n n n u u 收敛，则∑∞=1n n u 收敛. (2) 若∑∞=1n n u 收敛，则∑∞=+11000n n u 收敛. (3) 若1lim 1>+∞→n n n u u ，则∑∞=1n n u 发散. (4) 若∑∞=+1)(n n n v u 收敛，则∑∞=1n n u ，∑∞=1n n v 都收敛. 则以上命题中正确的是(A) (1) (2). (B) (2) (3). (C) (3) (4). (D) (1) (4). [ B ]【分析】可以通过举反例及级数的性质来说明4个命题的正确性.【详解】(1)是错误的，如令nn u )1(-=，显然，∑∞=1n n u 分散，而∑∞=-+1212)(n n n u u 收敛.(2)是正确的，因为改变、增加或减少级数的有限项，不改变级数的收敛性.(3)是正确的，因为由1lim 1>+∞→n n n u u 可得到n u 不趋向于零(n )，所以∑∞=1n n u 发散. (4)是错误的，如令n v n u n n 1,1-==，显然，∑∞=1n n u ，∑∞=1n n v 都发散，而 ∑∞=+1)(n n n v u 收敛. 故选(B). 【评注】本题主要考查级数的性质与收敛性的判别法，属于基本题型.(11) 设)(x f '在[a , b]上连续，且0)(,0)(<'>'b f a f ，则下列结论中错误的是(A) 至少存在一点),(0b a x ∈，使得)(0x f > f (a ).(B) 至少存在一点),(0b a x ∈，使得)(0x f > f (b ).(C) 至少存在一点),(0b a x ∈，使得0)(0='x f . (D) 至少存在一点),(0b a x ∈，使得)(0x f = 0.[ D ] 【分析】利用介值定理与极限的保号性可得到三个正确的选项，由排除法可选出错误选项.【详解】首先，由已知)(x f '在[a , b]上连续，且0)(,0)(<'>'b f a f ，则由介值定理，至少存在一点),(0b a x ∈，使得0)(0='x f ；另外，0)()(lim)(>--='+→ax a f x f a f a x ，由极限的保号性，至少存在一点),(0b a x ∈ 使得0)()(00>--ax a f x f ，即)()(0a f x f >. 同理，至少存在一点),(0b a x ∈ 使得)()(0b f x f >. 所以，(A) (B) (C)都正确，故选(D).【评注】本题综合考查了介值定理与极限的保号性，有一定的难度.(12) 设n 阶矩阵A 与B 等价, 则必有(A) 当)0(||≠=a a A 时, a B =||. (B) 当)0(||≠=a a A 时, a B -=||.(C) 当0||≠A 时, 0||=B . (D) 当0||=A 时, 0||=B . [ D ]【分析】利用矩阵A 与B 等价的充要条件: )()(B r A r =立即可得.【详解】因为当0||=A 时, n A r <)(, 又 A 与B 等价, 故n B r <)(, 即0||=B , 故选(D).【评注】本题是对矩阵等价、行列式的考查, 属基本题型.(13) 设n 阶矩阵A 的伴随矩阵,0*≠A 若4321,,,ξξξξ是非齐次线性方程组 b Ax =的互不相等的解，则对应的齐次线性方程组0=Ax 的基础解系(A) 不存在. (B) 仅含一个非零解向量.(C) 含有两个线性无关的解向量. (D) 含有三个线性无关的解向量. [ B ]【分析】要确定基础解系含向量的个数, 实际上只要确定未知数的个数和系数矩阵的秩.【详解】因为基础解系含向量的个数=)(A r n -, 而且 ⎪⎩⎪⎨⎧-<-===.1)(,0,1)(,1,)(,)(*n A r n A r n A r n A r根据已知条件,0*≠A 于是)(A r 等于n 或1-n . 又b Ax =有互不相等的解,即解不惟一, 故1)(-=n A r . 从而基础解系仅含一个解向量, 即选(B).【评注】本题是对矩阵A 与其伴随矩阵*A 的秩之间的关系、线性方程组解的结构等多个知识点的综合考查.(14) 设随机变量X 服从正态分布)1,0(N , 对给定的)1,0(∈α, 数αu 满足αu X P α=>}{,若αx X P =<}|{|, 则x 等于(A) 2αu . (B) 21αu-. (C) 21αu -. (D) αu -1. [ C ] 【分析】利用标准正态分布密度曲线的对称性和几何意义即得.【详解】由αx X P =<}|{|, 以及标准正态分布密度曲线的对称性可得21}{αx X P -=>. 故正确答案为(C). 【评注】本题是对标准正态分布的性质, 严格地说它的上分位数概念的考查.三、解答题(本题共9小题，满分94分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)(15) (本题满分8分) 求)cos sin 1(lim 2220xx x x -→. 【分析】先通分化为“00”型极限，再利用等价无穷小与罗必达法则求解即可. 【详解】xx x x x x x x x x 2222202220sin cos sin lim )cos sin 1(lim -=-→→ =346)4(21lim 64cos 1lim 44sin 212lim 2sin 41lim 22020304220==-=-=-→→→→xx x x x x x x x x x x x x .【评注】本题属于求未定式极限的基本题型，对于“”型极限，应充分利用等价无穷小替换来简化计算. (16) (本题满分8分)求⎰⎰++Dd y y x σ)(22，其中D 是由圆422=+y x 和1)1(22=++y x 所围成的平面区域(如图).【分析】首先，将积分区域D 分为大圆}4|),{(221≤+=y x y x D 减去小圆}1)1(|),{(222≤++=y x y x D ，再利用对称性与极坐标计算即可.【详解】令}1)1(|),{(},4|),{(222221≤++=≤+=y x y x D y x y x D ，由对称性，0=⎰⎰Dyd σ.⎰⎰⎰⎰⎰⎰+-+=+21222222D D Dd y x d y x d y x σσσ⎰⎰⎰⎰--=θπππθθcos 20223220220dr r d dr r d .)23(916932316-=-=ππ 所以，)23(916)(22-=++⎰⎰πσDd y y x . 【评注】本题属于在极坐标系下计算二重积分的基本题型，对于二重积分，经常利用对称性及将一个复杂区域划分为两个或三个简单区域来简化计算.(17) (本题满分8分)设f (x ) , g (x )在[a , b ]上连续，且满足⎰⎰≥xaxadt t g dt t f )()(，x[a , b )，⎰⎰=babadt t g dt t f )()(.证明：⎰⎰≤babadx x xg dx x xf )()(.【分析】令F (x ) = f (x ) - g (x )，⎰=xa dt t F x G )()(，将积分不等式转化为函数不等式即可.【详解】令F (x ) = f (x ) - g (x )，⎰=xa dt t F x G )()(，由题设G (x ) 0，x [a , b ]，G (a ) = G (b ) = 0，)()(x F x G ='.从而⎰⎰⎰⎰-=-==bab ababa ba dx x G dx x G x xG x xdG dx x xF )()()()()(，由于 G (x )0，x [a , b ]，故有0)(≤-⎰badx x G ，即0)(≤⎰ba dx x xF .因此⎰⎰≤ba badx x xg dx x xf )()(.【评注】引入变限积分转化为函数等式或不等式是证明积分等式或不等式的常用的方法.(18) (本题满分9分)设某商品的需求函数为Q = 100 5P ，其中价格P (0 , 20)，Q 为需求量.(I) 求需求量对价格的弹性d E (d E > 0)；(II) 推导)1(d E Q dPdR-=(其中R 为收益)，并用弹性d E 说明价格在何范围内变化时，降低价格反而使收益增加.【分析】由于d E > 0，所以dP dQ Q P E d =；由Q = PQ 及dPdQQ P E d =可推导 )1(d E Q dPdR-=. 【详解】(I) PPdP dQ Q P E d -==20.(II) 由R = PQ ，得)1()1(d E Q dPdQ Q P Q dP dQ P Q dP dR -=+=+=.又由120=-=PPE d ，得P = 10.当10 1，于是0<dPdR，故当10 0时，需求量对价格的弹性公式为dPdQQ P dP dQ Q P E d -==. 利用需求弹性分析收益的变化情况有以下四个常用的公式：Qdp E dR d )1(-=，Q E dpdRd )1(-=，p E dQ dR d )11(-=， d E EpER-=1(收益对价格的弹性). (19) (本题满分9分)设级数)(864264242864+∞<<-∞+⋅⋅⋅+⋅⋅+⋅x x x x 的和函数为S (x ). 求：(I) S (x )所满足的一阶微分方程；(II) S (x )的表达式.【分析】对S (x )进行求导，可得到S (x )所满足的一阶微分方程，解方程可得S (x )的表达式.【详解】(I) +⋅⋅⋅+⋅⋅+⋅=864264242)(864x x x x S ，易见 S (0) = 0，+⋅⋅+⋅+='642422)(753x x x x S)642422(642 +⋅⋅+⋅+=x x x x)](2[2x S x x +=.因此S (x )是初值问题0)0(,23=+='y x xy y 的解.(II) 方程23x xy y +='的通解为]2[3C dx e x e y xdx xdx +⎰⎰=⎰-22212x Ce x +--=，由初始条件y(0) = 0，得C = 1.故12222-+-=x e x y ，因此和函数12)(222-+-=x e x x S .【评注】本题综合了级数求和问题与微分方程问题，2002年考过类似的题.(20)(本题满分13分)设T α)0,2,1(1=, T ααα)3,2,1(2-+=, T b αb α)2,2,1(3+---=, Tβ)3,3,1(-=,试讨论当b a ,为何值时, (Ⅰ) β不能由321,,ααα线性表示;(Ⅱ) β可由321,,ααα唯一地线性表示, 并求出表示式; (Ⅲ) β可由321,,ααα线性表示, 但表示式不唯一, 并求出表示式.【分析】将β可否由321,,ααα线性表示的问题转化为线性方程组βαk αk αk =++332211是否有解的问题即易求解. 【详解】设有数,,,321k k k 使得βαk αk αk =++332211. (*) 记),,(321αααA =. 对矩阵),(βA 施以初等行变换, 有⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-+---+-=323032221111),(b a a b a βA ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---→000101111b a b a .(Ⅰ) 当0=a 时, 有⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---→10001001111),(b βA . 可知),()(βA r A r ≠. 故方程组(*)无解, β不能由321,,ααα线性表示.(Ⅱ) 当0≠a , 且b a ≠时, 有⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---→000101111),(b a b a βA ⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡-→0100101011001a a 3),()(==βA r A r , 方程组(*)有唯一解：a k 111-=, ak 12=, 03=k ．此时β可由321,,ααα唯一地线性表示, 其表示式为211)11(αaαa β+-=． (Ⅲ) 当0≠=b a 时, 对矩阵),(βA 施以初等行变换, 有⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---→000101111),(b a b a βA ⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡--→0000111011001a a ， 2),()(==βA r A r , 方程组(*)有无穷多解，其全部解为a k 111-=, c ak +=12, c k =3，其中c 为任意常数． β 可由321,,ααα线性表示, 但表示式不唯一, 其表示式为321)1()11(αc αc aαa β+++-=．【评注】本题属于常规题型, 曾考过两次(1991, 2000).(21) (本题满分13分) 设n 阶矩阵⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=111 b b b b b b A .(Ⅰ) 求A 的特征值和特征向量;(Ⅱ) 求可逆矩阵P , 使得AP P 1-为对角矩阵.【分析】这是具体矩阵的特征值和特征向量的计算问题, 通常可由求解特征方程0||=-A E λ和齐次线性方程组0)(=-x A E λ来解决.【详解】 (Ⅰ)1当0≠b 时，111||---------=-λbbbλbb b λA E λ＝1)]1(][)1(1[------n b λb n λ ,得A 的特征值为b n λ)1(11-+=，b λλn -===12 ．对b n λ)1(11-+=，⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---------=-b n b b b b n b b b b n A E λ)1()1()1(1 →⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---------)1(111)1(111)1(n n n→⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛------------0000111111111111 n n n →⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---------0000111111111111 n n n →⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---000000001111n n n n n →⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---0000110010101001解得Tξ)1,,1,1,1(1 =，所以A 的属于1λ的全部特征向量为 Tk ξk )1,,1,1,1(1 = (k 为任意不为零的常数)．对b λ-=12，⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---------=-b b b b b b b b b A E λ 2→⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛000000111 得基础解系为T ξ)0,,0,1,1(2 -=，T ξ)0,,1,0,1(3 -=，T n ξ)1,,0,0,1(,-= ．故A 的属于2λ的全部特征向量为n n ξk ξk ξk +++ 3322 (n k k k ,,,32 是不全为零的常数)．2 当0=b 时，n λλλλA E λ)1(1010001||-=---=-,特征值为11===n λλ ，任意非零列向量均为特征向量．(Ⅱ)1当0≠b 时，A 有n 个线性无关的特征向量，令),,,(21n ξξξP =，则⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---+=-b b b n AP P 11)1(112 当0=b 时，E A =，对任意可逆矩阵P , 均有E AP P =-1．【评注】本题通过考查矩阵的特征值和特征向量而间接考查了行列式的计算, 齐次线性方程组的求解和矩阵的对角化等问题, 属于有一点综合性的试题. 另外,本题的解题思路是容易的, 只要注意矩阵中含有一个未知参数, 从而一般要讨论其不同取值情况.(22) (本题满分13分)设A ，B 为两个随机事件,且41)(=A P , 31)|(=AB P , 21)|(=B A P , 令 ⎩⎨⎧=不发生，，发生，A A X 0,1 ⎩⎨⎧=.0,1不发生，发生，B B Y 求(Ⅰ) 二维随机变量),(Y X 的概率分布;(Ⅱ) X 与Y 的相关系数 XY ρ; (Ⅲ) 22Y X Z +=的概率分布.【分析】本题的关键是求出),(Y X 的概率分布，于是只要将二维随机变量),(Y X 的各取值对转化为随机事件A 和B 表示即可．【详解】 (Ⅰ) 因为 121)|()()(==A B P A P AB P ，于是 61)|()()(==B A P AB P B P ，则有 121)(}1,1{====AB P Y X P ， 61)()()(}0,1{=-====AB P A P B A P Y X P ， 121)()()(}1,0{=-====AB P B P B A P Y X P ，32)]()()([1)(1)(}0,0{=-+-=⋃-=⋅===AB P B P A P B A P B A P Y X P ， ( 或 32121611211}0,0{=---===Y X P )，即),(Y X 的概率分布为：YX0 10 132121 61121(Ⅱ) 方法一：因为 41)(==A P EX ，61)(==B P EY ，121)(=XY E ， 41)(2==A P EX ，61)(2==B P EY ，163)(22=-=EX EX DX ，165)(22=-=EY EY DY ，241)(),(=-=EXEY XY E Y X Cov ，所以X 与Y 的相关系数 1515151),(==⋅=DYDX Y X Cov ρXY ．方法二： X, Y 的概率分布分别为X 0 1 Y 0 1P43 41 P 65 61 则61,41==EY EX ，163=DX ，DY=365, E(XY)=121,故 241)(),(=⋅-=EY EX XY E Y X Cov ，从而.1515),(=⋅=DYDX Y X Cov XY ρ (Ⅲ) Z 的可能取值为：0，1，2 ．32}0,0{}0{=====Y X P Z P ， 41}1,0{}0,1{}1{===+====Y X P Y X P Z P ， 121}1,1{}2{=====Y X P Z P ，即Z 的概率分布为：Z 0 1 2P3241 121 【评注】本题考查了二维离散随机变量联合概率分布，数字特征和二维离散随机变量函数的分布等计算问题，属于综合性题型 (23) (本题满分13分)设随机变量X 的分布函数为⎪⎩⎪⎨⎧≤>⎪⎭⎫ ⎝⎛-=，，，αx αx x αβαx F β0,1),,( 其中参数1,0>>βα. 设n X X X ,,,21 为来自总体X 的简单随机样本,(Ⅰ) 当1=α时, 求未知参数β的矩估计量; (Ⅱ) 当1=α时, 求未知参数β的最大似然估计量; (Ⅲ) 当2=β时, 求未知参数α的最大似然估计量.【分析】本题是一个常规题型, 只要注意求连续型总体未知参数的矩估计和最大似然估计都须已知密度函数,从而先由分布函数求导得密度函数. 【详解】当1=α时, X 的概率密度为⎪⎩⎪⎨⎧≤>=+，，，101,),(1x x x ββx f β(Ⅰ) 由于⎰⎰+∞++∞∞--=⋅==11,1);(ββdx x βx dx βx xf EX β 令X ββ=-1, 解得 1-=X X β, 所以, 参数β的矩估计量为 1-=X Xβ. (Ⅱ) 对于总体X 的样本值n x x x ,,,21 , 似然函数为∏=+⎪⎩⎪⎨⎧=>==ni i βnni n i x x x x βαx f βL 1121.,0),,,2,1(1,)();()(其他当),,2,1(1n i x i =>时, 0)(>βL , 取对数得 ∑=+-=ni ixββn βL 1ln )1(ln )(ln ,对β求导数，得∑=-=ni i x βn βd βL d 1ln )]([ln ，令0ln )]([ln 1=-=∑=ni i x βn βd βL d ，解得 ∑==ni ixnβ1ln ，于是β的最大似然估计量为∑==ni ixnβ1ln ˆ．( Ⅲ) 当2=β时, X 的概率密度为⎪⎩⎪⎨⎧≤>=，，，αx αx x αβx f 0,2),(32对于总体X 的样本值n x x x ,,,21 , 似然函数为∏=⎪⎩⎪⎨⎧=>==ni i nnn i n i αx x x x ααx f βL 13212.,0),,,2,1(,)(2);()(其他当),,2,1(n i αx i =>时, α越大，)(αL 越大, 即α的最大似然估计值为},,,m in{ˆ21n x x x α=, 于是α的最大似然估计量为},,,m in{ˆ21n X X X α=．。

历年考研数学三真题及答案解析

2012年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题选择题：1~8小题，每小题4分，共32分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上.（1）曲线221x xyx渐近线的条数为（）（A）0 （B）1 （C）2 （D）3（2）设函数2()(1)(2)x x nxf x e e e n…（-），其中n为正整数，则(0)f=（）（A）1(1)(1)!nn（B）(1)(1)!nn（C）1(1)!nn（D）(1)!nn（3）设函数()f t连续，则二次积分22202cos()d f r rdr=（）（A）2224222202()xx xdx x y f x y dy（B）22242202()xx xdx f x y dy（C）2222220214()2xdx x y f x y dyx x（D）22220214()2xdx f x y dyx x（4）已知级数11 (1)sinni nn绝对收敛，21(1)nin条件收敛，则范围为（）（A）0<12（B）12< 1（C）1<32（D）32<<2（5）设12341234110,1,1,1c c c c 其中1234c c c c ，，，为任意常数，则下列向量组线性相关的是（）（A ）123，，（B ）124，，（C ）134，，（D ）234，，（6）设A 为3阶矩阵，P 为3阶可逆矩阵，且P-1AP=112，123=P （，，），1223=Q （+，，）则1=QAQ （）（A ）121（B ）112（C ）212（D ）221（7）设随机变量X 与Y 相互独立，且都服从区间（0，1）上的均匀分布，则+22｛1｝（）（A ）14（B ）12（C ）8（D ）4（8）设1234X X X X ，，，为来自总体N 2（1，）（0）的简单随机样本，则统计量1234|+-2|X X X X 的分布（）（A ）N （0，1）（B ）(1)t （C ）2(1)（D ）(1,1)F 二、填空题：9~14小题，每小题4分，共24分，请将答案写在答题纸指定位置上.（9）1cossin 4lim (tan )x xxx（10）设函数ln ,1(),(()),21,1x dy x x f x yf f x dx xx求___________.（11）函数(,)zf x y 满足2201(,)22lim0,(1)x yf x y x y xy则(0,1)dz_______.（12）由曲线4yx和直线yx 及4y x 在第一象限中所围图形的面积为_______.（13）设A 为3阶矩阵，|A|=3，A*为A 的伴随矩阵，若交换A 的第一行与第二行得到矩阵B ，则|BA*|=________.（14）设A,B,C是随机事件，A,C互不相容，11(),(),23P AB P C 则C P （）=_________.解答题：15~23小题，共94分.请将解答写在答题纸指定位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.（15）（本题满分10分）计算222cos 4limxxxee x（16）（本题满分10分）计算二重积分xDe xydxdy，其中D 为由曲线1yx yx与所围区域.（17）（本题满分10分）某企业为生产甲、乙两种型号的产品，投入的固定成本为10000（万元），设该企业生产甲、乙两种产品的产量分别为x(件)和y(件)，且固定两种产品的边际成本分别为20+2x（万元/件）与6+y （万元/件）.1）求生产甲乙两种产品的总成本函数(,)C x y （万元）2）当总产量为50件时，甲乙两种的产量各为多少时可以使总成本最小？求最小的成本.3）求总产量为50件时且总成本最小时甲产品的边际成本，并解释其经济意义.（18）（本题满分10分）证明：21ln cos1,1 1.12x xx x xx（19）（本题满分10分）已知函数()f x满足方程()()2()0f x f x f x及()()2x f x f x e1）求表达式() f x2）求曲线的拐点22()()xy f x f t dt（20）（本题满分10分）设1001010100100010aaA baa，（I）求|A|（II）已知线性方程组Ax b有无穷多解，求a，并求Ax b的通解.(21)（本题满分10分）已知1010111001Aaa，二次型123(,,)()f x x x x x的秩为2，求实数a的值；求正交变换x=Qy将f化为标准型.（22）（本题满分10分）已知随机变量X,Y 以及XY 的分布律如下表所示：X12P121316Y 0 1 2P131313XY 0 1 2 4P71213112求（1）P(X=2Y); （2）cov(,)XY X Y Y 与.（23）（本题满分10分）设随机变量X和Y相互独立，且均服从参数为1的指数分布，m in(,),=m ax(,).V X Y U X Y 求（1）随机变量V 的概率密度；（2）()E UV .2011年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题一、选择题：1～8小题，每小题4分，共32分。

2004考研数学三真题及答案解析_最新修正版

2004年考研数学（三）真题一、填空题（本题共6小题，每小题4分，满分24分. 把答案填在题中横线上） (1) 若5)(cos sin lim0=--→b x ae xx x ，则a =______，b =______.(2) 设函数f (u , v )由关系式f [xg (y ) , y ] = x + g (y )确定，其中函数g (y )可微，且g (y ) ≠ 0，则2fu v ∂=∂∂.(3) 设⎪⎩⎪⎨⎧≥-<≤-=21,12121,)(2x x xe x f x ，则212(1)f x dx -=⎰.(4) 二次型2132********)()()(),,(x x x x x x x x x f ++-++=的秩为 .(5) 设随机变量X 服从参数为λ的指数分布, 则=>}{DX X P _______.(6) 设总体X 服从正态分布),(21σμN , 总体Y 服从正态分布),(22σμN ,1,,21n X X X 和 2,,21n Y Y Y 分别是来自总体X 和Y 的简单随机样本, 则12221112()()2n n i j i j X X Y Y E n n ==⎡⎤-+-⎢⎥⎢⎥=⎢⎥+-⎢⎥⎢⎥⎣⎦∑∑.二、选择题（本题共6小题，每小题4分，满分24分. 每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内） (7) 函数2)2)(1()2sin(||)(---=x x x x x x f 在下列哪个区间内有界. (A) (-1 , 0).(B) (0 , 1).(C) (1 , 2).(D) (2 , 3). [ ](8) 设f (x )在(-∞ , +∞)内有定义，且a x f x =∞→)(lim ， ⎪⎩⎪⎨⎧=≠=0,00,)1()(x x x f x g ，则(A) x = 0必是g (x )的第一类间断点. (B) x = 0必是g (x )的第二类间断点.(C) x = 0必是g (x )的连续点.(D) g (x )在点x = 0处的连续性与a 的取值有关. [ ] (9) 设f (x ) = |x (1 - x )|，则(A) x = 0是f (x )的极值点，但(0 , 0)不是曲线y = f (x )的拐点. (B) x = 0不是f (x )的极值点，但(0 , 0)是曲线y = f (x )的拐点. (C) x = 0是f (x )的极值点，且(0 , 0)是曲线y = f (x )的拐点.(D) x = 0不是f (x )的极值点，(0 , 0)也不是曲线y = f (x )的拐点. [ ] (10) 设有下列命题：(1) 若∑∞=-+1212)(n n n u u 收敛，则∑∞=1n n u 收敛.(2) 若∑∞=1n n u 收敛，则∑∞=+11000n n u 收敛.(3) 若1lim1>+∞→nn n u u ，则∑∞=1n n u 发散. (4) 若∑∞=+1)(n n n v u 收敛，则∑∞=1n n u ，∑∞=1n n v 都收敛.则以上命题中正确的是(A) (1) (2). (B) (2) (3).(C) (3) (4). (D) (1) (4). [ ](11) 设)(x f '在[a , b]上连续，且0)(,0)(<'>'b f a f ，则下列结论中错误的是 (A) 至少存在一点),(0b a x ∈，使得)(0x f > f (a ). (B) 至少存在一点),(0b a x ∈，使得)(0x f > f (b ). (C) 至少存在一点),(0b a x ∈，使得0)(0='x f .(D) 至少存在一点),(0b a x ∈，使得)(0x f = 0.[ D ](12) 设n 阶矩阵A 与B 等价, 则必有(A) 当)0(||≠=a a A 时, a B =||. (B) 当)0(||≠=a a A 时, a B -=||. (C) 当0||≠A 时, 0||=B . (D) 当0||=A 时, 0||=B . [ ] (13) 设n 阶矩阵A 的伴随矩阵,0*≠A 若4321,,,ξξξξ是非齐次线性方程组 b Ax =的互不相等的解，则对应的齐次线性方程组0=Ax 的基础解系 (A) 不存在. (B) 仅含一个非零解向量.(C) 含有两个线性无关的解向量. (D) 含有三个线性无关的解向量.[ ](14) 设随机变量X 服从正态分布)1,0(N , 对给定的)1,0(∈α, 数αu 满足αu X P α=>}{,若αx X P =<}|{|, 则x 等于 (A) 2αu . (B) 21αu-. (C) 21αu -. (D) αu -1. [ ]三、解答题(本题共9小题，满分94分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.) (15) (本题满分8分)求)cos sin 1(lim 2220xxx x -→. (16) (本题满分8分)求⎰⎰++Dd y y x σ)(22，其中D 是由圆422=+y x 和1)1(22=++y x 所围成的平面区域(如图).(17) (本题满分8分) 设f (x ) , g (x )在[a , b ]上连续，且满足⎰⎰≥x axadt t g dt t f )()(，x ∈ [a , b )，⎰⎰=bab adt t g dt t f )()(.证明：⎰⎰≤baba dx x xg dx x xf )()(.(18) (本题满分9分) 设某商品的需求函数为Q = 100 - 5P ，其中价格P ∈ (0 , 20)，Q 为需求量. (I) 求需求量对价格的弹性d E (d E > 0)；(II) 推导)1(d E Q dPdR-=(其中R 为收益)，并用弹性d E 说明价格在何范围内变化时，降低价格反而使收益增加. (19) (本题满分9分) 设级数)(864264242864+∞<<-∞+⋅⋅⋅+⋅⋅+⋅x x x x 的和函数为S (x ). 求：(I) S (x )所满足的一阶微分方程； (II) S (x )的表达式. (20)(本题满分13分)设T α)0,2,1(1=, T ααα)3,2,1(2-+=, T b αb α)2,2,1(3+---=, Tβ)3,3,1(-=,试讨论当b a ,为何值时,(Ⅰ) β不能由321,,ααα线性表示;(Ⅱ) β可由321,,ααα唯一地线性表示, 并求出表示式;(Ⅲ) β可由321,,ααα线性表示, 但表示式不唯一, 并求出表示式. (21) (本题满分13分) 设n 阶矩阵⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=111b b b b b b A . (Ⅰ) 求A 的特征值和特征向量;(Ⅱ) 求可逆矩阵P , 使得AP P 1-为对角矩阵. (22) (本题满分13分)设A ，B 为两个随机事件,且41)(=A P , 31)|(=AB P , 21)|(=B A P , 令 ⎩⎨⎧=不发生，，发生，A A X 0,1 ⎩⎨⎧=.0,1不发生，发生，B B Y 求(Ⅰ) 二维随机变量),(Y X 的概率分布; (Ⅱ) X 与Y 的相关系数 XY ρ; (Ⅲ) 22Y X Z +=的概率分布. (23) (本题满分13分)设随机变量X 的分布函数为⎪⎩⎪⎨⎧≤>⎪⎭⎫ ⎝⎛-=，，，αx αx x αβαx F β0,1),,( 其中参数1,0>>βα. 设n X X X ,,,21 为来自总体X 的简单随机样本,(Ⅰ) 当1=α时, 求未知参数β的矩估计量; (Ⅱ) 当1=α时, 求未知参数β的最大似然估计量; (Ⅲ) 当2=β时, 求未知参数α的最大似然估计量.2004年考研数学（三）真题解析一、填空题（本题共6小题，每小题4分，满分24分. 把答案填在题中横线上） (1) 若5)(cos sin lim0=--→b x ae xx x ，则a =1，b =4-.【分析】本题属于已知极限求参数的反问题. 【详解】因为5)(cos sin lim0=--→b x a e xx x ，且0)(cos sin lim 0=-⋅→b x x x ，所以0)(lim 0=-→a e x x ，得a = 1. 极限化为51)(cos lim )(cos sin lim00=-=-=--→→b b x x x b x a e x x x x ，得b = -4.因此，a = 1，b = -4. 【评注】一般地，已知)()(limx g x f ＝ A ， (1) 若g (x ) → 0，则f (x ) → 0；(2) 若f (x ) → 0，且A ≠ 0，则g (x ) → 0.(2) 设函数f (u , v )由关系式f [xg (y ) , y ] = x + g (y )确定，其中函数g (y )可微，且g (y ) ≠ 0，则)()(22v g v g vu f'-=∂∂∂.【分析】令u = xg (y )，v = y ，可得到f (u , v )的表达式，再求偏导数即可. 【详解】令u = xg (y )，v = y ，则f (u , v ) =)()(v g v g u+，所以，)(1v g u f =∂∂，)()(22v g v g v u f '-=∂∂∂. (3) 设⎪⎩⎪⎨⎧≥-<≤-=21,12121,)(2x x xe x f x ，则21)1(221-=-⎰dx x f .【分析】本题属于求分段函数的定积分，先换元：x - 1 = t ，再利用对称区间上奇偶函数的积分性质即可.【详解】令x - 1 = t ，⎰⎰⎰--==-121121221)()()1(dt x f dt t f dx x f＝21)21(0)1(12121212-=-+=-+⎰⎰-dx dx xe x .【评注】一般地，对于分段函数的定积分，按分界点划分积分区间进行求解.(4) 二次型2132********)()()(),,(x x x x x x x x x f ++-++=的秩为 2 .【分析】二次型的秩即对应的矩阵的秩, 亦即标准型中平方项的项数, 于是利用初等变换或配方法均可得到答案.【详解一】因为2132********)()()(),,(x x x x x x x x x f ++-++=323121232221222222x x x x x x x x x -++++=于是二次型的矩阵为 ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=211121112A ,由初等变换得 ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---→000330211330330211A ,从而 2)(=A r , 即二次型的秩为2.【详解二】因为2132********)()()(),,(x x x x x x x x x f ++-++=323121232221222222x x x x x x x x x -++++= 2322321)(23)2121(2x x x x x -+++= 2221232y y +=,其中 ,21213211x x x y ++= 322x x y -=.所以二次型的秩为2.(5) 设随机变量X 服从参数为λ的指数分布, 则=>}{DX X Pe1. 【分析】根据指数分布的分布函数和方差立即得正确答案. 【详解】由于21λDX =, X 的分布函数为 ⎩⎨⎧≤>-=-.0,0,0,1)(x x e x F x λ故=>}{DX X P =≤-}{1DX X P =≤-}1{1λX P )1(1λF -e1=.【评注】本题是对重要分布, 即指数分布的考查, 属基本题型.(6) 设总体X 服从正态分布),(21σμN , 总体Y 服从正态分布),(22σμN ,1,,21n X X X 和 2,,21n Y Y Y 分别是来自总体X 和Y 的简单随机样本, 则22121212)()(21σn n Y Y X X En j j n i i =⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡-+-+-∑∑==.【分析】利用正态总体下常用统计量的数字特征即可得答案.【详解】因为 2121])(11[1σX X n E n i i =--∑=, 2122])(11[2σY Y n E n j j =--∑=, 故应填 2σ.【评注】本题是对常用统计量的数字特征的考查.二、选择题（本题共6小题，每小题4分，满分24分. 每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内） (7) 函数2)2)(1()2sin(||)(---=x x x x x x f 在下列哪个区间内有界. (A) (-1 , 0). (B) (0 , 1).(C) (1 , 2).(D) (2 , 3). [ A ]【分析】如f (x )在(a , b )内连续，且极限)(lim x f a x +→与)(lim x f b x -→存在，则函数f (x )在(a , b )内有界.【详解】当x ≠ 0 , 1 , 2时，f (x )连续，而183sin )(lim1-=+-→x f x ，42sin )(lim 0-=-→x f x ，42sin )(lim 0=+→x f x ，∞=→)(lim 1x f x ，∞=→)(lim 2x f x ，所以，函数f (x )在(-1 , 0)内有界，故选(A).【评注】一般地，如函数f (x )在闭区间[a , b ]上连续，则f (x )在闭区间[a , b ]上有界；如函数f (x )在开区间(a , b )内连续，且极限)(lim x f a x +→与)(lim x f b x -→存在，则函数f (x )在开区间(a , b )内有界.(8) 设f (x )在(-∞ , +∞)内有定义，且a x f x =∞→)(lim ，⎪⎩⎪⎨⎧=≠=0,00,)1()(x x xf xg ，则 (A) x = 0必是g (x )的第一类间断点. (B) x = 0必是g (x )的第二类间断点.(C) x = 0必是g (x )的连续点.(D) g (x )在点x = 0处的连续性与a 的取值有关. [ D ] 【分析】考查极限)(lim 0x g x →是否存在，如存在，是否等于g (0)即可，通过换元xu 1=，可将极限)(lim 0x g x →转化为)(lim x f x ∞→.【详解】因为)(lim )1(lim )(lim 0u f x f x g u x x ∞→→→=== a (令xu 1=)，又g (0) = 0，所以，当a = 0时，)0()(lim 0g x g x =→，即g (x )在点x = 0处连续，当a ≠ 0时，)0()(lim 0g x g x ≠→，即x = 0是g (x )的第一类间断点，因此，g (x )在点x = 0处的连续性与a 的取值有关，故选(D).【评注】本题属于基本题型，主要考查分段函数在分界点处的连续性. (9) 设f (x ) = |x (1 - x )|，则(A) x = 0是f (x )的极值点，但(0 , 0)不是曲线y = f (x )的拐点. (B) x = 0不是f (x )的极值点，但(0 , 0)是曲线y = f (x )的拐点. (C) x = 0是f (x )的极值点，且(0 , 0)是曲线y = f (x )的拐点.(D) x = 0不是f (x )的极值点，(0 , 0)也不是曲线y = f (x )的拐点. [ C ] 【分析】由于f (x )在x = 0处的一、二阶导数不存在，可利用定义判断极值情况，考查f (x )在x = 0的左、右两侧的二阶导数的符号，判断拐点情况.【详解】设0 < δ < 1，当x ∈ (-δ , 0) ⋃ (0 , δ)时，f (x ) > 0，而f (0) = 0，所以x = 0是f (x )的极小值点. 显然，x = 0是f (x )的不可导点. 当x ∈ (-δ , 0)时，f (x ) = -x (1 - x )，02)(>=''x f ，当x ∈ (0 , δ)时，f (x ) = x (1 - x )，02)(<-=''x f ，所以(0 , 0)是曲线y = f (x )的拐点.故选(C).【评注】对于极值情况，也可考查f (x )在x = 0的某空心邻域内的一阶导数的符号来判断. (10) 设有下列命题：(1) 若∑∞=-+1212)(n n n u u 收敛，则∑∞=1n n u 收敛.(2) 若∑∞=1n n u 收敛，则∑∞=+11000n n u 收敛.(3) 若1lim1>+∞→nn n u u ，则∑∞=1n n u 发散. (4) 若∑∞=+1)(n n n v u 收敛，则∑∞=1n n u ，∑∞=1n n v 都收敛.则以上命题中正确的是 (A) (1) (2). (B) (2) (3). (C) (3) (4). (D) (1) (4). [ B ]【分析】可以通过举反例及级数的性质来说明4个命题的正确性. 【详解】(1)是错误的，如令nn u )1(-=，显然，∑∞=1n n u 分散，而∑∞=-+1212)(n n n u u 收敛.(2)是正确的，因为改变、增加或减少级数的有限项，不改变级数的收敛性.(3)是正确的，因为由1lim1>+∞→nn n u u 可得到n u 不趋向于零(n → ∞)，所以∑∞=1n n u 发散. (4)是错误的，如令n v n u n n 1,1-==，显然，∑∞=1n n u ，∑∞=1n n v 都发散，而∑∞=+1)(n n n v u 收敛. 故选(B).【评注】本题主要考查级数的性质与收敛性的判别法，属于基本题型.(11) 设)(x f '在[a , b]上连续，且0)(,0)(<'>'b f a f ，则下列结论中错误的是 (A) 至少存在一点),(0b a x ∈，使得)(0x f > f (a ). (B) 至少存在一点),(0b a x ∈，使得)(0x f > f (b ). (C) 至少存在一点),(0b a x ∈，使得0)(0='x f .(D) 至少存在一点),(0b a x ∈，使得)(0x f = 0.[ D ]【分析】利用介值定理与极限的保号性可得到三个正确的选项，由排除法可选出错误选项. 【详解】首先，由已知)(x f '在[a , b]上连续，且0)(,0)(<'>'b f a f ，则由介值定理，至少存在一点),(0b a x ∈，使得0)(0='x f ；另外，0)()(lim)(>--='+→ax a f x f a f a x ，由极限的保号性，至少存在一点),(0b a x ∈使得0)()(00>--ax a f x f ，即)()(0a f x f >. 同理，至少存在一点),(0b a x ∈使得)()(0b f x f >. 所以，(A) (B) (C)都正确，故选(D).【评注】本题综合考查了介值定理与极限的保号性，有一定的难度. (12) 设n 阶矩阵A 与B 等价, 则必有(A) 当)0(||≠=a a A 时, a B =||. (B) 当)0(||≠=a a A 时, a B -=||. (C) 当0||≠A 时, 0||=B . (D) 当0||=A 时, 0||=B . [ D ] 【分析】利用矩阵A 与B 等价的充要条件: )()(B r A r =立即可得.【详解】因为当0||=A 时, n A r <)(, 又 A 与B 等价, 故n B r <)(, 即0||=B , 故选(D).【评注】本题是对矩阵等价、行列式的考查, 属基本题型.(13) 设n 阶矩阵A 的伴随矩阵,0*≠A 若4321,,,ξξξξ是非齐次线性方程组 b Ax =的互不相等的解，则对应的齐次线性方程组0=Ax 的基础解系 (A) 不存在. (B) 仅含一个非零解向量.(C) 含有两个线性无关的解向量. (D) 含有三个线性无关的解向量. [ B ] 【分析】要确定基础解系含向量的个数, 实际上只要确定未知数的个数和系数矩阵的秩. 【详解】因为基础解系含向量的个数=)(A r n -, 而且⎪⎩⎪⎨⎧-<-===.1)(,0,1)(,1,)(,)(*n A r n A r n A r n A r根据已知条件,0*≠A 于是)(A r 等于n 或1-n . 又b Ax =有互不相等的解, 即解不惟一, 故1)(-=n A r . 从而基础解系仅含一个解向量, 即选(B).【评注】本题是对矩阵A 与其伴随矩阵*A 的秩之间的关系、线性方程组解的结构等多个知识点的综合考查. (14) 设随机变量X 服从正态分布)1,0(N , 对给定的)1,0(∈α, 数αu 满足αu X P α=>}{,若αx X P =<}|{|, 则x 等于 (A) 2αu . (B) 21αu-. (C) 21αu -. (D) αu -1. [ C ]【分析】利用标准正态分布密度曲线的对称性和几何意义即得. 【详解】由αx X P =<}|{|, 以及标准正态分布密度曲线的对称性可得21}{αx X P -=>. 故正确答案为(C). 【评注】本题是对标准正态分布的性质, 严格地说它的上分位数概念的考查.三、解答题(本题共9小题，满分94分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.) (15) (本题满分8分)求)cos sin 1(lim 2220xxx x -→. 【分析】先通分化为“”型极限，再利用等价无穷小与罗必达法则求解即可. 【详解】xx xx x x x x x x 2222202220sin cos sin lim )cos sin 1(lim -=-→→=346)4(21lim 64cos 1lim 44sin 212lim 2sin 41lim 22020304220==-=-=-→→→→xx x x x x x x x x x x x x .【评注】本题属于求未定式极限的基本题型，对于“0”型极限，应充分利用等价无穷小替换来简化计算. (16) (本题满分8分) 求⎰⎰++Dd y y x σ)(22，其中D 是由圆422=+y x 和1)1(22=++y x 所围成的平面区域(如图).【分析】首先，将积分区域D 分为大圆}4|),{(221≤+=y x y x D 减去小圆}1)1(|),{(222≤++=y x y x D ，再利用对称性与极坐标计算即可.【详解】令}1)1(|),{(},4|),{(222221≤++=≤+=y x y x D y x y x D ，由对称性，0=⎰⎰Dyd σ.⎰⎰⎰⎰⎰⎰+-+=+21222222D D Dd y x d y x d y x σσσ⎰⎰⎰⎰--=θπππθθcos 20223220220dr r d dr r d .)23(916932316-=-=ππ所以，)23(916)(22-=++⎰⎰πσDd y y x . 【评注】本题属于在极坐标系下计算二重积分的基本题型，对于二重积分，经常利用对称性及将一个复杂区域划分为两个或三个简单区域来简化计算. (17) (本题满分8分) 设f (x ) , g (x )在[a , b ]上连续，且满足⎰⎰≥x axadt t g dt t f )()(，x ∈ [a , b )，⎰⎰=bab adt t g dt t f )()(.证明：⎰⎰≤baba dx x xg dx x xf )()(.【分析】令F (x ) = f (x ) - g (x )，⎰=xa dt t F x G )()(，将积分不等式转化为函数不等式即可. 【详解】令F (x ) = f (x ) - g (x )，⎰=xa dt t F x G )()(，由题设G (x ) ≥ 0，x ∈ [a , b ]，G (a ) = G (b ) = 0，)()(x F x G ='.从而⎰⎰⎰⎰-=-==bab ababa b a dx x G dx x G x xG x xdG dx x xF )()()()()(，由于 G (x ) ≥ 0，x ∈ [a , b ]，故有0)(≤-⎰badx x G ，即0)(≤⎰ba dx x xF .因此⎰⎰≤babadx x xg dx x xf )()(.【评注】引入变限积分转化为函数等式或不等式是证明积分等式或不等式的常用的方法. (18) (本题满分9分) 设某商品的需求函数为Q = 100 - 5P ，其中价格P ∈ (0 , 20)，Q 为需求量. (I) 求需求量对价格的弹性d E (d E > 0)；(II) 推导)1(d E Q dPdR-=(其中R 为收益)，并用弹性d E 说明价格在何范围内变化时，降低价格反而使收益增加.【分析】由于d E > 0，所以dP dQ Q P E d =；由Q = PQ 及dPdQQ P E d =可推导 )1(d E Q dPdR-=. 【详解】(I) PPdP dQ Q P E d -==20. (II) 由R = PQ ，得)1()1(d E Q dPdQ Q P Q dP dQ P Q dP dR -=+=+=. 又由120=-=PPE d ，得P = 10.当10 1，于是0<dPdR，故当10 0时，需求量对价格的弹性公式为dPdQQ P dP dQ Q P E d -==. 利用需求弹性分析收益的变化情况有以下四个常用的公式：Qdp E dR d )1(-=，Q E dpdRd )1(-=，p E dQ dR d )11(-=， d E EpER-=1(收益对价格的弹性). (19) (本题满分9分) 设级数)(864264242864+∞<<-∞+⋅⋅⋅+⋅⋅+⋅x x x x 的和函数为S (x ). 求：(I) S (x )所满足的一阶微分方程； (II) S (x )的表达式.【分析】对S (x )进行求导，可得到S (x )所满足的一阶微分方程，解方程可得S (x )的表达式.【详解】(I) +⋅⋅⋅+⋅⋅+⋅=864264242)(864x x x x S ，易见 S (0) = 0，+⋅⋅+⋅+='642422)(753x x x x S)642422(642 +⋅⋅+⋅+=x x x x)](2[2x S x x +=.因此S (x )是初值问题0)0(,23=+='y x xy y 的解.(II) 方程23x xy y +='的通解为]2[3C dx e x e y xdx xdx +⎰⎰=⎰- 22212x Ce x +--=，由初始条件y(0) = 0，得C = 1.故12222-+-=x e x y ，因此和函数12)(222-+-=x e x x S .【评注】本题综合了级数求和问题与微分方程问题，2002年考过类似的题. (20)(本题满分13分)设T α)0,2,1(1=, T ααα)3,2,1(2-+=, T b αb α)2,2,1(3+---=, Tβ)3,3,1(-=,试讨论当b a ,为何值时,(Ⅰ) β不能由321,,ααα线性表示;(Ⅱ) β可由321,,ααα唯一地线性表示, 并求出表示式;(Ⅲ) β可由321,,ααα线性表示, 但表示式不唯一, 并求出表示式.【分析】将β可否由321,,ααα线性表示的问题转化为线性方程组βαk αk αk =++332211是否有解的问题即易求解. 【详解】设有数,,,321k k k 使得βαk αk αk =++332211. (*) 记),,(321αααA =. 对矩阵),(βA 施以初等行变换, 有⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-+---+-=323032221111),(b a a b a βA ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---→000101111b a b a .(Ⅰ) 当0=a 时, 有⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---→10001001111),(b βA . 可知),()(βA r A r ≠. 故方程组(*)无解, β不能由321,,ααα线性表示. (Ⅱ) 当0≠a , 且b a ≠时, 有⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---→000101111),(b a b a βA ⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡-→0100101011001a a 3),()(==βA r A r , 方程组(*)有唯一解：ak 111-=, a k 12=, 03=k ．此时β可由321,,ααα唯一地线性表示, 其表示式为 211)11(αaαa β+-=． (Ⅲ) 当0≠=b a 时, 对矩阵),(βA 施以初等行变换, 有⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---→000101111),(b a b a βA ⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡--→0000111011001a a ， 2),()(==βA r A r , 方程组(*)有无穷多解，其全部解为a k 111-=, c ak +=12, c k =3，其中c 为任意常数． β 可由321,,ααα线性表示, 但表示式不唯一, 其表示式为321)1()11(αc αc aαa β+++-=．【评注】本题属于常规题型, 曾考过两次(1991, 2000).(21) (本题满分13分) 设n 阶矩阵⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=111 b b b b b b A .(Ⅰ) 求A 的特征值和特征向量;(Ⅱ) 求可逆矩阵P , 使得AP P 1-为对角矩阵.【分析】这是具体矩阵的特征值和特征向量的计算问题, 通常可由求解特征方程0||=-A E λ和齐次线性方程组0)(=-x A E λ来解决.【详解】 (Ⅰ)1当0≠b 时，111||---------=-λbbb λb b b λA E λ＝1)]1(][)1(1[------n b λb n λ ,得A 的特征值为b n λ)1(11-+=，b λλn -===12 ．对b n λ)1(11-+=，⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---------=-b n b b b b n b b b b n A E λ)1()1()1(1 →⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---------)1(111)1(111)1(n n n→⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛------------0000111111111111 n n n →⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---------0000111111111111 n n n →⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---000000001111n n n n n →⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---0000110010101001解得Tξ)1,,1,1,1(1 =，所以A 的属于1λ的全部特征向量为 Tk ξk )1,,1,1,1(1 = (k 为任意不为零的常数)．对b λ-=12，⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---------=-b b b b b b b b b A E λ 2→⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛000000111 得基础解系为T ξ)0,,0,1,1(2 -=，T ξ)0,,1,0,1(3 -=，T n ξ)1,,0,0,1(,-= ．故A 的属于2λ的全部特征向量为n n ξk ξk ξk +++ 3322 (n k k k ,,,32 是不全为零的常数)．2 当0=b 时，n λλλλA E λ)1(1010001||-=---=-,特征值为11===n λλ ，任意非零列向量均为特征向量．(Ⅱ) 1当0≠b 时，A 有n 个线性无关的特征向量，令),,,(21n ξξξP =，则⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---+=-b b b n AP P 11)1(112 当0=b 时，E A =，对任意可逆矩阵P , 均有E AP P =-1．【评注】本题通过考查矩阵的特征值和特征向量而间接考查了行列式的计算, 齐次线性方程组的求解和矩阵的对角化等问题, 属于有一点综合性的试题. 另外,本题的解题思路是容易的, 只要注意矩阵中含有一个未知参数, 从而一般要讨论其不同取值情况. (22) (本题满分13分)设A ，B 为两个随机事件,且41)(=A P , 31)|(=AB P , 21)|(=B A P , 令 ⎩⎨⎧=不发生，，发生，A A X 0,1 ⎩⎨⎧=.0,1不发生，发生，B B Y 求(Ⅰ) 二维随机变量),(Y X 的概率分布; (Ⅱ) X 与Y 的相关系数 XY ρ; (Ⅲ) 22Y X Z +=的概率分布.【分析】本题的关键是求出),(Y X 的概率分布，于是只要将二维随机变量),(Y X 的各取值对转化为随机事件A 和B 表示即可．【详解】 (Ⅰ) 因为 121)|()()(==A B P A P AB P ，于是 61)|()()(==B A P AB P B P ，则有 121)(}1,1{====AB P Y X P ， 61)()()(}0,1{=-====AB P A P B A P Y X P ， 121)()()(}1,0{=-====AB P B P B A P Y X P ，32)]()()([1)(1)(}0,0{=-+-=⋃-=⋅===AB P B P A P B A P B A P Y X P ， ( 或 32121611211}0,0{=---===Y X P )，即),(Y X 的概率分布为：YX0 10 132121 61121(Ⅱ) 方法一：因为 41)(==A P EX ，61)(==B P EY ，121)(=XY E ， 41)(2==A P EX ，61)(2==B P EY ，163)(22=-=EX EX DX ，165)(22=-=EY EY DY ，241)(),(=-=EXEY XY E Y X Cov ，所以X 与Y 的相关系数 1515151),(==⋅=DYDX Y X Cov ρXY ．方法二： X, Y 的概率分布分别为X 0 1 Y 0 1P 43 41 P 65 61 则61,41==EY EX ，163=DX ，DY=365, E(XY)=121,故 241)(),(=⋅-=EY EX XY E Y X Cov ，从而.1515),(=⋅=DYDX Y X Cov XY ρ (Ⅲ) Z 的可能取值为：0，1，2 ．32}0,0{}0{=====Y X P Z P ， 41}1,0{}0,1{}1{===+====Y X P Y X P Z P ， 121}1,1{}2{=====Y X P Z P ，即Z 的概率分布为：Z 0 1 2P3241 121 【评注】本题考查了二维离散随机变量联合概率分布，数字特征和二维离散随机变量函数的分布等计算问题，属于综合性题型 (23) (本题满分13分)设随机变量X 的分布函数为⎪⎩⎪⎨⎧≤>⎪⎭⎫ ⎝⎛-=，，，αx αx x αβαx F β0,1),,( 其中参数1,0>>βα. 设n X X X ,,,21 为来自总体X 的简单随机样本,(Ⅰ) 当1=α时, 求未知参数β的矩估计量; (Ⅱ) 当1=α时, 求未知参数β的最大似然估计量; (Ⅲ) 当2=β时, 求未知参数α的最大似然估计量.【分析】本题是一个常规题型, 只要注意求连续型总体未知参数的矩估计和最大似然估计都须已知密度函数,从而先由分布函数求导得密度函数.【详解】当1=α时, X 的概率密度为⎪⎩⎪⎨⎧≤>=+，，，101,),(1x x x ββx f β(Ⅰ) 由于⎰⎰+∞++∞∞--=⋅==11,1);(ββdx x βx dx βx xf EX β 令X ββ=-1, 解得 1-=X X β, 所以, 参数β的矩估计量为 1-=X Xβ. (Ⅱ) 对于总体X 的样本值n x x x ,,,21 , 似然函数为∏=+⎪⎩⎪⎨⎧=>==ni i βnni n i x x x x βαx f βL 1121.,0),,,2,1(1,)();()(其他当),,2,1(1n i x i =>时, 0)(>βL , 取对数得 ∑=+-=ni ixββn βL 1ln )1(ln )(ln ,对β求导数，得∑=-=ni i x βn βd βL d 1ln )]([ln ，令0ln )]([ln 1=-=∑=ni i x βn βd βL d ，解得 ∑==ni ixnβ1ln ，于是β的最大似然估计量为∑==ni ixnβ1ln ˆ．( Ⅲ) 当2=β时, X 的概率密度为⎪⎩⎪⎨⎧≤>=，，，αx αx x αβx f 0,2),(32对于总体X 的样本值n x x x ,,,21 , 似然函数为∏=⎪⎩⎪⎨⎧=>==ni i nnn i n i αx x x x ααx f βL 13212.,0),,,2,1(,)(2);()(其他当),,2,1(n i αx i =>时, α越大，)(αL 越大, 即α的最大似然估计值为},,,m in{ˆ21n x x x α=, 于是α的最大似然估计量为},,,m in{ˆ21n X X X α=．。

2012年考研数学三真题及答案

2012年考研数学三真题一、选择题（18小题，每小题4分，共32分。

下列每题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的。

）(1)曲线渐近线的条数为(A)0 (B)1(C)2 (D)3【答案】C。

【解析】由,得是曲线的一条水平渐近线且曲线没有斜渐近线；由∞得是曲线的一条垂直渐近线；由得不是曲线的渐近线；综上所述，本题正确答案是C【考点】高等数学—一元函数微分学—函数图形的凹凸、拐点及渐近线(2)设函数,其中为正整数，则(A) (B)(C) (D)【答案】A【解析】【方法1】令,则故应选A.【方法2】由于,由导数定义知.【方法3】排除法，令,则则(B)(C)(D)均不正确综上所述，本题正确答案是(A)【考点】高等数学—一元函数微分学—导数和微分的概念(3)设函数连续，则二次积分(A)(B)(C)(D)【答案】B。

【解析】令,则所对应的直角坐标方程为,所对应的直角坐标方程为。

由的积分区域得在直角坐标下的表示为所以综上所述，本题正确答案是(B)。

【考点】高等数学—多元函数微积分学—二重积分的概念、基本性质和计算(4)已知级数绝对收敛，级数条件收敛，则(A) (B)(C) (D)【答案】D。

【解析】由级数绝对收敛，且当∞时，故,即由级数条件收敛，知综上所述，本题正确答案是(D)【考点】高等数学—无穷级数—数项级数敛散性的判定(5)设,其中为任意常数，则下列向量组线性相关的为(A) (B)(C) (D)【答案】C。

【解析】个维向量相关显然所以必线性相关综上所述，本题正确答案是(C)。

【考点】线性代数—向量—向量组的线性相关和线性无关(6)设为3阶矩阵，为3阶可逆矩阵，且.若,则(A) (B)(C) (D)【答案】B。

【解析】由于经列变换(把第2列加至第1列)为，有那么=综上所述，本题正确答案是(B)。

【考点】线性代数—矩阵—矩阵运算、初等变换(7)设随机变量相互独立，且都服从区间上的均匀分布，则(A) (B)(C) (D)【答案】D。

考研数学三真题及解析

2004年考研数学（三）真题一、填空题（本题共6小题，每小题4分，满分24分. 把答案填在题中横线上） (1) 若5)(cos sin lim0=--→b x ae xx x ，则a =______，b =______.(2) 设函数f (u , v )由关系式f [xg (y ) , y ] = x + g (y )确定，其中函数g (y )可微，且g (y ) 0，则2fu v∂=∂∂.(3) 设⎪⎩⎪⎨⎧≥-<≤-=21,12121,)(2x x xe x f x ，则212(1)f x dx -=⎰.(4) 二次型2132********)()()(),,(x x x x x x x x x f ++-++=的秩为 .(5) 设随机变量X 服从参数为λ的指数分布, 则=>}{DX X P _______.(6) 设总体X 服从正态分布),(21σμN , 总体Y 服从正态分布),(22σμN ,1,,21n X X X Λ和 2,,21n Y Y Y Λ分别是来自总体X 和Y 的简单随机样本, 则12221112()()2n n i j i j X X Y Y E n n ==⎡⎤-+-⎢⎥⎢⎥=⎢⎥+-⎢⎥⎢⎥⎣⎦∑∑.二、选择题（本题共6小题，每小题4分，满分24分. 每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内） (7) 函数2)2)(1()2sin(||)(---=x x x x x x f 在下列哪个区间内有界. (A) ( 1 , 0). (B) (0 , 1).(C) (1 , 2).(D) (2 , 3). [ ](8) 设f (x )在(, +)内有定义，且a x f x =∞→)(lim ， ⎪⎩⎪⎨⎧=≠=0,00,)1()(x x x f x g ，则(A) x = 0必是g (x )的第一类间断点. (B) x = 0必是g (x )的第二类间断点.(C) x = 0必是g (x )的连续点.(D) g (x )在点x = 0处的连续性与a 的取值有关. [ ] (9) 设f (x ) = |x (1 x )|，则(A) x = 0是f (x )的极值点，但(0 , 0)不是曲线y = f (x )的拐点. (B) x = 0不是f (x )的极值点，但(0 , 0)是曲线y = f (x )的拐点. (C) x = 0是f (x )的极值点，且(0 , 0)是曲线y = f (x )的拐点.(D) x = 0不是f (x )的极值点，(0 , 0)也不是曲线y = f (x )的拐点. [ ] (10) 设有下列命题：(1) 若∑∞=-+1212)(n n n u u 收敛，则∑∞=1n n u 收敛.(2) 若∑∞=1n n u 收敛，则∑∞=+11000n n u 收敛.(3) 若1lim1>+∞→nn n u u ，则∑∞=1n n u 发散. (4) 若∑∞=+1)(n n n v u 收敛，则∑∞=1n n u ，∑∞=1n n v 都收敛.则以上命题中正确的是(A) (1) (2).(B) (2) (3). (C) (3) (4). (D) (1) (4). [ ](11) 设)(x f '在[a , b]上连续，且0)(,0)(<'>'b f a f ，则下列结论中错误的是 (A) 至少存在一点),(0b a x ∈，使得)(0x f > f (a ). (B) 至少存在一点),(0b a x ∈，使得)(0x f > f (b ). (C) 至少存在一点),(0b a x ∈，使得0)(0='x f .(D) 至少存在一点),(0b a x ∈，使得)(0x f = 0.[ ](12) 设n 阶矩阵A 与B 等价, 则必有(A) 当)0(||≠=a a A 时, a B =||. (B) 当)0(||≠=a a A 时, a B -=||. (C) 当0||≠A 时, 0||=B . (D) 当0||=A 时, 0||=B . [ ] (13) 设n 阶矩阵A 的伴随矩阵,0*≠A 若4321,,,ξξξξ是非齐次线性方程组 b Ax =的互不相等的解，则对应的齐次线性方程组0=Ax 的基础解系 (A) 不存在. (B) 仅含一个非零解向量.(C) 含有两个线性无关的解向量. (D) 含有三个线性无关的解向量.[ ](14) 设随机变量X 服从正态分布)1,0(N , 对给定的)1,0(∈α, 数αu 满足αu X P α=>}{,若αx X P =<}|{|, 则x 等于 (A) 2αu . (B) 21αu-. (C) 21αu -. (D) αu -1. [ ]三、解答题(本题共9小题，满分94分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.) (15) (本题满分8分)求)cos sin 1(lim 2220x xx x -→.(16) (本题满分8分)求⎰⎰++Dd y y x σ)(22，其中D 422=+y x 和1)1(22=++y x 所围成的平面区域(如图).(17) (本题满分8分)设f (x ) , g (x )在[a , b ]⎰⎰≥x axadt t g dt t f )()(，x [a , b )，⎰⎰=bab adt t g dt t f )()(.证明：⎰⎰≤ba ba dx x xg dx x xf )()(.(18) (本题满分9分)设某商品的需求函数为Q = 100 5P ，其中价格P (0 , 20)，Q 为需求量.(I) 求需求量对价格的弹性d E (d E > 0)；(II) 推导)1(d E Q dPdR-=(其中R 为收益)，并用弹性d E 说明价格在何范围内变化时，降低价格反而使收益增加. (19) (本题满分9分) 设级数)(864264242864+∞<<-∞+⋅⋅⋅+⋅⋅+⋅x x x x Λ的和函数为S (x ). 求：(I) S (x )所满足的一阶微分方程； (II) S (x )的表达式. (20)(本题满分13分)设T α)0,2,1(1=, T ααα)3,2,1(2-+=, T b αb α)2,2,1(3+---=, Tβ)3,3,1(-=,试讨论当b a ,为何值时,(Ⅰ) β不能由321,,ααα线性表示;(Ⅱ) β可由321,,ααα唯一地线性表示, 并求出表示式;(Ⅲ) β可由321,,ααα线性表示, 但表示式不唯一, 并求出表示式. (21) (本题满分13分) 设n 阶矩阵⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=111ΛM M M ΛΛb b b bb b A . (Ⅰ) 求A 的特征值和特征向量;(Ⅱ) 求可逆矩阵P , 使得AP P 1-为对角矩阵. (22) (本题满分13分)设A ，B 为两个随机事件,且41)(=A P , 31)|(=AB P , 21)|(=B A P , 令 ⎩⎨⎧=不发生，，发生，A A X 0,1 ⎩⎨⎧=.0,1不发生，发生，B B Y 求(Ⅰ) 二维随机变量),(Y X 的概率分布; (Ⅱ) X 与Y 的相关系数 XY ρ; (Ⅲ) 22Y X Z +=的概率分布. (23) (本题满分13分)设随机变量X 的分布函数为⎪⎩⎪⎨⎧≤>⎪⎭⎫ ⎝⎛-=，，，αx αx x αβαx F β0,1),,( 其中参数1,0>>βα. 设n X X X ,,,21Λ为来自总体X 的简单随机样本,(Ⅰ) 当1=α时, 求未知参数β的矩估计量; (Ⅱ) 当1=α时, 求未知参数β的最大似然估计量; (Ⅲ) 当2=β时, 求未知参数α的最大似然估计量.2004年考研数学（三）真题解析一、填空题（本题共6小题，每小题4分，满分24分. 把答案填在题中横线上） (1) 若5)(cos sin lim0=--→b x ae xx x ，则a =1，b =4-.【分析】本题属于已知极限求参数的反问题. 【详解】因为5)(cos sin lim0=--→b x a e xx x ，且0)(cos sin lim 0=-⋅→b x x x ，所以0)(lim 0=-→a e x x ，得a = 1. 极限化为51)(cos lim )(cos sin lim00=-=-=--→→b b x x x b x a e x x x x ，得b = 4.因此，a = 1，b = 4. 【评注】一般地，已知)()(limx g x f ＝ A ， (1) 若g (x ) 0，则f (x ) 0；(2) 若f (x ) 0，且A 0，则g (x ) 0.(2) 设函数f (u , v )由关系式f [xg (y ) , y ] = x + g (y )确定，其中函数g (y )可微，且g (y ) 0，则)()(22v g v g vu f'-=∂∂∂.【分析】令u = xg (y )，v = y ，可得到f (u , v )的表达式，再求偏导数即可. 【详解】令u = xg (y )，v = y ，则f (u , v ) =)()(v g v g u+，所以，)(1v g u f =∂∂，)()(22v g v g v u f '-=∂∂∂. (3) 设⎪⎩⎪⎨⎧≥-<≤-=21,12121,)(2x x xe x f x ，则21)1(221-=-⎰dx x f .【分析】本题属于求分段函数的定积分，先换元：x1 = t ，再利用对称区间上奇偶函数的积分性质即可.【详解】令x 1 = t ，⎰⎰⎰--==-121121221)()()1(dt x f dt t f dx x f＝21)21(0)1(12121212-=-+=-+⎰⎰-dx dx xe x .【评注】一般地，对于分段函数的定积分，按分界点划分积分区间进行求解.(4) 二次型2132********)()()(),,(x x x x x x x x x f ++-++=的秩为 2 .【分析】二次型的秩即对应的矩阵的秩, 亦即标准型中平方项的项数, 于是利用初等变换或配方法均可得到答案.【详解一】因为2132********)()()(),,(x x x x x x x x x f ++-++=323121232221222222x x x x x x x x x -++++=于是二次型的矩阵为 ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=211121112A ,由初等变换得 ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---→000330211330330211A ,从而 2)(=A r , 即二次型的秩为2.【详解二】因为2132********)()()(),,(x x x x x x x x x f ++-++=323121232221222222x x x x x x x x x -++++= 2322321)(23)2121(2x x x x x -+++= 2221232y y +=,其中 ,21213211x x x y ++= 322x x y -=.所以二次型的秩为2.(5) 设随机变量X 服从参数为λ的指数分布, 则=>}{DX X P e1.【分析】根据指数分布的分布函数和方差立即得正确答案. 【详解】由于21λDX =, X 的分布函数为 ⎩⎨⎧≤>-=-.0,0,0,1)(x x e x F x λ故=>}{DX X P =≤-}{1DX X P =≤-}1{1λX P )1(1λF -e1=.【评注】本题是对重要分布, 即指数分布的考查, 属基本题型.(6) 设总体X 服从正态分布),(21σμN , 总体Y 服从正态分布),(22σμN ,1,,21n X X X Λ和 2,,21n Y Y Y Λ分别是来自总体X 和Y 的简单随机样本, 则22121212)()(21σn n Y Y X X En j j n i i =⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡-+-+-∑∑==.【分析】利用正态总体下常用统计量的数字特征即可得答案.【详解】因为 2121])(11[1σX X n E n i i =--∑=, 2122])(11[2σY Y n E n j j =--∑=, 故应填 2σ.【评注】本题是对常用统计量的数字特征的考查.二、选择题（本题共6小题，每小题4分，满分24分. 每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内） (7) 函数2)2)(1()2sin(||)(---=x x x x x x f 在下列哪个区间内有界. (A) ( 1 , 0). (B) (0 , 1).(C) (1 , 2).(D) (2 , 3). [ A ]【分析】如f (x )在(a , b )内连续，且极限)(lim x f a x +→与)(lim x f b x -→存在，则函数f (x )在(a , b )内有界.【详解】当x 0 , 1 , 2时，f (x )连续，而183sin )(lim1-=+-→x f x ，42sin )(lim 0-=-→x f x ，42sin )(lim 0=+→x f x ，∞=→)(lim 1x f x ，∞=→)(lim 2x f x ，所以，函数f (x )在( 1 , 0)内有界，故选(A).【评注】一般地，如函数f (x )在闭区间[a , b ]上连续，则f (x )在闭区间[a , b ]上有界；如函数f (x )在开区间(a , b )内连续，且极限)(lim x f a x +→与)(lim x f b x -→存在，则函数f (x )在开区间(a , b )内有界.(8) 设f (x )在( , +)内有定义，且a x f x =∞→)(lim ，⎪⎩⎪⎨⎧=≠=0,00,)1()(x x xf xg ，则 (A) x = 0必是g (x )的第一类间断点. (B) x = 0必是g (x )的第二类间断点.(C) x = 0必是g (x )的连续点.(D) g (x )在点x = 0处的连续性与a 的取值有关. [ D ] 【分析】考查极限)(lim 0x g x →是否存在，如存在，是否等于g (0)即可，通过换元xu 1=，可将极限)(lim 0x g x →转化为)(lim x f x ∞→.【详解】因为)(lim )1(lim )(lim 0u f x f x g u x x ∞→→→=== a (令xu 1=)，又g (0) = 0，所以，当a = 0时，)0()(lim 0g x g x =→，即g (x )在点x = 0处连续，当a 0时，)0()(lim 0g x g x ≠→，即x = 0是g (x )的第一类间断点，因此，g (x )在点x = 0处的连续性与a 的取值有关，故选(D).【评注】本题属于基本题型，主要考查分段函数在分界点处的连续性. (9) 设f (x ) = |x (1 x )|，则(A) x = 0是f (x )的极值点，但(0 , 0)不是曲线y = f (x )的拐点. (B) x = 0不是f (x )的极值点，但(0 , 0)是曲线y = f (x )的拐点. (C) x = 0是f (x )的极值点，且(0 , 0)是曲线y = f (x )的拐点.(D) x = 0不是f (x )的极值点，(0 , 0)也不是曲线y = f (x )的拐点. [ C ] 【分析】由于f (x )在x = 0处的一、二阶导数不存在，可利用定义判断极值情况，考查f (x )在x = 0的左、右两侧的二阶导数的符号，判断拐点情况. 【详解】设0 < < 1，当x ( , 0) (0 , )时，f (x ) > 0，而f (0) = 0，所以x = 0是f (x )的极小值点. 显然，x = 0是f (x )的不可导点. 当x (, 0)时，f (x ) = x (1 x )，02)(>=''x f ，当x (0 , )时，f (x ) = x (1 x )，02)(<-=''x f ，所以(0 , 0)是曲线y = f (x )的拐点.故选(C).【评注】对于极值情况，也可考查f (x )在x = 0的某空心邻域内的一阶导数的符号来判断. (10) 设有下列命题：(1) 若∑∞=-+1212)(n n n u u 收敛，则∑∞=1n n u 收敛.(2) 若∑∞=1n n u 收敛，则∑∞=+11000n n u 收敛.(3) 若1lim1>+∞→nn n u u ，则∑∞=1n n u 发散. (4) 若∑∞=+1)(n n n v u 收敛，则∑∞=1n n u ，∑∞=1n n v 都收敛.则以上命题中正确的是(A) (1) (2). (B) (2) (3). (C) (3) (4). (D) (1) (4). [ B ]【分析】可以通过举反例及级数的性质来说明4个命题的正确性. 【详解】(1)是错误的，如令nn u )1(-=，显然，∑∞=1n n u 分散，而∑∞=-+1212)(n n n u u 收敛.(2)是正确的，因为改变、增加或减少级数的有限项，不改变级数的收敛性.(3)是正确的，因为由1lim1>+∞→nn n u u 可得到n u 不趋向于零(n )，所以∑∞=1n n u 发散. (4)是错误的，如令n v n u n n 1,1-==，显然，∑∞=1n n u ，∑∞=1n n v 都发散，而∑∞=+1)(n n n v u 收敛. 故选(B).【评注】本题主要考查级数的性质与收敛性的判别法，属于基本题型.(11) 设)(x f '在[a , b]上连续，且0)(,0)(<'>'b f a f ，则下列结论中错误的是 (A) 至少存在一点),(0b a x ∈，使得)(0x f > f (a ). (B) 至少存在一点),(0b a x ∈，使得)(0x f > f (b ). (C) 至少存在一点),(0b a x ∈，使得0)(0='x f .(D) 至少存在一点),(0b a x ∈，使得)(0x f = 0.[ D ]【分析】利用介值定理与极限的保号性可得到三个正确的选项，由排除法可选出错误选项. 【详解】首先，由已知)(x f '在[a , b]上连续，且0)(,0)(<'>'b f a f ，则由介值定理，至少存在一点),(0b a x ∈，使得0)(0='x f ；另外，0)()(lim)(>--='+→ax a f x f a f a x ，由极限的保号性，至少存在一点),(0b a x ∈使得0)()(00>--ax a f x f ，即)()(0a f x f >. 同理，至少存在一点),(0b a x ∈使得)()(0b f x f >. 所以，(A) (B) (C)都正确，故选(D).【评注】本题综合考查了介值定理与极限的保号性，有一定的难度. (12) 设n 阶矩阵A 与B 等价, 则必有(A) 当)0(||≠=a a A 时, a B =||. (B) 当)0(||≠=a a A 时, a B -=||. (C) 当0||≠A 时, 0||=B . (D) 当0||=A 时, 0||=B . [ D ] 【分析】利用矩阵A 与B 等价的充要条件: )()(B r A r =立即可得.【详解】因为当0||=A 时, n A r <)(, 又 A 与B 等价, 故n B r <)(, 即0||=B , 故选(D).【评注】本题是对矩阵等价、行列式的考查, 属基本题型.(13) 设n 阶矩阵A 的伴随矩阵,0*≠A 若4321,,,ξξξξ是非齐次线性方程组 b Ax =的互不相等的解，则对应的齐次线性方程组0=Ax 的基础解系 (A) 不存在. (B) 仅含一个非零解向量.(C) 含有两个线性无关的解向量. (D) 含有三个线性无关的解向量. [ B ] 【分析】要确定基础解系含向量的个数, 实际上只要确定未知数的个数和系数矩阵的秩. 【详解】因为基础解系含向量的个数=)(A r n -, 而且⎪⎩⎪⎨⎧-<-===.1)(,0,1)(,1,)(,)(*n A r n A r n A r n A r根据已知条件,0*≠A 于是)(A r 等于n 或1-n . 又b Ax =有互不相等的解, 即解不惟一, 故1)(-=n A r . 从而基础解系仅含一个解向量, 即选(B).【评注】本题是对矩阵A 与其伴随矩阵*A 的秩之间的关系、线性方程组解的结构等多个知识点的综合考查. (14) 设随机变量X 服从正态分布)1,0(N , 对给定的)1,0(∈α, 数αu 满足αu X P α=>}{,若αx X P =<}|{|, 则x 等于 (A) 2αu . (B) 21αu-. (C) 21αu -. (D) αu -1. [ C ]【分析】利用标准正态分布密度曲线的对称性和几何意义即得. 【详解】由αx X P =<}|{|, 以及标准正态分布密度曲线的对称性可得21}{αx X P -=>. 故正确答案为(C). 【评注】本题是对标准正态分布的性质, 严格地说它的上分位数概念的考查.三、解答题(本题共9小题，满分94分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.) (15) (本题满分8分)求)cos sin 1(lim 2220xxx x -→. 【分析】先通分化为“”型极限，再利用等价无穷小与罗必达法则求解即可. 【详解】xx xx x x x x x x 2222202220sin cos sin lim )cos sin 1(lim -=-→→=346)4(21lim 64cos 1lim 44sin 212lim 2sin 41lim 22020304220==-=-=-→→→→xx x x x x x x x x x x x x .【评注】本题属于求未定式极限的基本题型，对于“0”型极限，应充分利用等价无穷小替换来简化计算. (16) (本题满分8分) 求⎰⎰++Dd y y x σ)(22，其中D 是由圆422=+y x 和1)1(22=++y x 所围成的平面区域(如图).【分析】首先，将积分区域D 分为大圆}4|),{(221≤+=y x y x D 减去小圆}1)1(|),{(222≤++=y x y x D ，再利用对称性与极坐标计算即可.【详解】令}1)1(|),{(},4|),{(222221≤++=≤+=y x y x D y x y x D ，由对称性，0=⎰⎰Dyd σ.⎰⎰⎰⎰⎰⎰+-+=+21222222D D Dd y x d y x d y x σσσ⎰⎰⎰⎰--=θπππθθcos 20223220220dr r d dr r d .)23(916932316-=-=ππ所以，)23(916)(22-=++⎰⎰πσDd y y x . 【评注】本题属于在极坐标系下计算二重积分的基本题型，对于二重积分，经常利用对称性及将一个复杂区域划分为两个或三个简单区域来简化计算. (17) (本题满分8分)设f (x ) , g (x )在[a , b ]上连续，且满足⎰⎰≥x axadt t g dt t f )()(，x [a , b )，⎰⎰=bab adt t g dt t f )()(.证明：⎰⎰≤baba dx x xg dx x xf )()(.【分析】令F (x ) = f (x ) g (x )，⎰=xa dt t F x G )()(，将积分不等式转化为函数不等式即可. 【详解】令F (x ) = f (x ) g (x )，⎰=xa dt t F x G )()(，由题设G (x ) 0，x [a , b ]，G (a ) = G (b ) = 0，)()(x F x G ='.从而⎰⎰⎰⎰-=-==bab ababa b a dx x G dx x G x xG x xdG dx x xF )()()()()(，由于 G (x ) 0，x [a , b ]，故有0)(≤-⎰badx x G ，即0)(≤⎰ba dx x xF .因此⎰⎰≤babadx x xg dx x xf )()(.【评注】引入变限积分转化为函数等式或不等式是证明积分等式或不等式的常用的方法. (18) (本题满分9分)设某商品的需求函数为Q = 100 5P ，其中价格P (0 , 20)，Q 为需求量. (I) 求需求量对价格的弹性d E (d E > 0)；(II) 推导)1(d E Q dPdR-=(其中R 为收益)，并用弹性d E 说明价格在何范围内变化时，降低价格反而使收益增加.【分析】由于d E > 0，所以dP dQ Q P E d =；由Q = PQ 及dPdQQ P E d =可推导 )1(d E Q dPdR-=. 【详解】(I) PPdP dQ Q P E d -==20. (II) 由R = PQ ，得)1()1(d E Q dPdQ Q P Q dP dQ P Q dP dR -=+=+=. 又由120=-=PPE d ，得P = 10.当10 1，于是0<dPdR，故当10 0时，需求量对价格的弹性公式为dPdQQ P dP dQ Q P E d -==. 利用需求弹性分析收益的变化情况有以下四个常用的公式：Qdp E dR d )1(-=，Q E dpdRd )1(-=，p E dQ dR d )11(-=， d E EpER-=1(收益对价格的弹性). (19) (本题满分9分) 设级数)(864264242864+∞<<-∞+⋅⋅⋅+⋅⋅+⋅x x x x Λ的和函数为S (x ). 求：(I) S (x )所满足的一阶微分方程； (II) S (x )的表达式.【分析】对S (x )进行求导，可得到S (x )所满足的一阶微分方程，解方程可得S (x )的表达式.【详解】(I) Λ+⋅⋅⋅+⋅⋅+⋅=864264242)(864x x x x S ，易见 S (0) = 0，Λ+⋅⋅+⋅+='642422)(753x x x x S)642422(642Λ+⋅⋅+⋅+=x x x x)](2[2x S x x +=.因此S (x )是初值问题0)0(,23=+='y x xy y 的解.(II) 方程23x xy y +='的通解为]2[3C dx e x e y xdx xdx +⎰⎰=⎰- 22212x Ce x +--=，由初始条件y(0) = 0，得C = 1.故12222-+-=x e x y ，因此和函数12)(222-+-=x e x x S .【评注】本题综合了级数求和问题与微分方程问题，2002年考过类似的题. (20)(本题满分13分)设T α)0,2,1(1=, T ααα)3,2,1(2-+=, T b αb α)2,2,1(3+---=, Tβ)3,3,1(-=,试讨论当b a ,为何值时,(Ⅰ) β不能由321,,ααα线性表示;(Ⅱ) β可由321,,ααα唯一地线性表示, 并求出表示式;(Ⅲ) β可由321,,ααα线性表示, 但表示式不唯一, 并求出表示式.【分析】将β可否由321,,ααα线性表示的问题转化为线性方程组βαk αk αk =++332211是否有解的问题即易求解. 【详解】设有数,,,321k k k 使得βαk αk αk =++332211. (*) 记),,(321αααA =. 对矩阵),(βA 施以初等行变换, 有⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-+---+-=323032221111),(b a a b a βA ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---→000101111b a b a .(Ⅰ) 当0=a 时, 有⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---→10001001111),(b βA . 可知),()(βA r A r ≠. 故方程组(*)无解, β不能由321,,ααα线性表示. (Ⅱ) 当0≠a , 且b a ≠时, 有⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---→000101111),(b a b a βA ⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡-→0100101011001a a 3),()(==βA r A r , 方程组(*)有唯一解：ak 111-=, a k 12=, 03=k ．此时β可由321,,ααα唯一地线性表示, 其表示式为 211)11(αaαa β+-=． (Ⅲ) 当0≠=b a 时, 对矩阵),(βA 施以初等行变换, 有⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---→000101111),(b a b a βA ⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡--→0000111011001a a ， 2),()(==βA r A r , 方程组(*)有无穷多解，其全部解为a k 111-=, c ak +=12, c k =3，其中c 为任意常数． β 可由321,,ααα线性表示, 但表示式不唯一, 其表示式为321)1()11(αc αc aαa β+++-=．【评注】本题属于常规题型, 曾考过两次(1991, 2000).(21) (本题满分13分) 设n 阶矩阵⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=111ΛM M M ΛΛb b b bb b A . (Ⅰ) 求A 的特征值和特征向量;(Ⅱ) 求可逆矩阵P , 使得AP P 1-为对角矩阵.【分析】这是具体矩阵的特征值和特征向量的计算问题, 通常可由求解特征方程0||=-A E λ和齐次线性方程组0)(=-x A E λ来解决.【详解】 (Ⅰ) ο1当0≠b 时，111||---------=-λbbb λb b b λA E λΛM M M M ΛΛ＝1)]1(][)1(1[------n b λb n λ ,得A 的特征值为b n λ)1(11-+=，b λλn -===12Λ．对b n λ)1(11-+=，⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---------=-b n b b b b n bb b bn A E λ)1()1()1(1ΛM M M ΛΛ→⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---------)1(111)1(111)1(n n n ΛM M M ΛΛ →⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛------------0000111111111111ΛΛM M M M ΛΛn n n →⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---------0000111111111111ΛΛM M MM ΛΛn n n→⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---000000001111ΛΛM M M M ΛΛn n n n n →⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---0000110010101001ΛΛM M M MΛΛ解得Tξ)1,,1,1,1(1Λ=，所以A 的属于1λ的全部特征向量为 Tk ξk )1,,1,1,1(1Λ= (k 为任意不为零的常数)．对b λ-=12，⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---------=-b b b b b b b b b A E λΛM M M ΛΛ2→⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛000000111ΛM M M ΛΛ 得基础解系为T ξ)0,,0,1,1(2Λ-=，T ξ)0,,1,0,1(3Λ-=，T n ξ)1,,0,0,1(,-=ΛΛ．故A 的属于2λ的全部特征向量为n n ξk ξk ξk +++Λ3322 (n k k k ,,,32Λ是不全为零的常数)．ο2 当0=b 时，n λλλλA E λ)1(1010001||-=---=-ΛM M M ΛΛ,特征值为11===n λλΛ，任意非零列向量均为特征向量．(Ⅱ) ο1当0≠b 时，A 有n 个线性无关的特征向量，令),,,(21n ξξξP Λ=，则⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---+=-b b b n AP P 11)1(11Oο2 当0=b 时，E A =，对任意可逆矩阵P , 均有E AP P =-1．【评注】本题通过考查矩阵的特征值和特征向量而间接考查了行列式的计算, 齐次线性方程组的求解和矩阵的对角化等问题, 属于有一点综合性的试题. 另外,本题的解题思路是容易的, 只要注意矩阵中含有一个未知参数, 从而一般要讨论其不同取值情况. (22) (本题满分13分)设A ，B 为两个随机事件,且41)(=A P , 31)|(=AB P , 21)|(=B A P , 令 ⎩⎨⎧=不发生，，发生，A A X 0,1 ⎩⎨⎧=.0,1不发生，发生，B B Y 求(Ⅰ) 二维随机变量),(Y X 的概率分布; (Ⅱ) X 与Y 的相关系数 XY ρ; (Ⅲ) 22Y X Z +=的概率分布.【分析】本题的关键是求出),(Y X 的概率分布，于是只要将二维随机变量),(Y X 的各取值对转化为随机事件A 和B 表示即可．【详解】 (Ⅰ) 因为 121)|()()(==A B P A P AB P ，于是 61)|()()(==B A P AB P B P ，则有 121)(}1,1{====AB P Y X P ， 61)()()(}0,1{=-====AB P A P B A P Y X P ， 121)()()(}1,0{=-====AB P B P B A P Y X P ，32)]()()([1)(1)(}0,0{=-+-=⋃-=⋅===AB P B P A P B A P B A P Y X P ， ( 或 32121611211}0,0{=---===Y X P )，即),(Y X 的概率分布为：(Ⅱ) 方法一：因为 41)(==A P EX ，61)(==B P EY ，121)(=XY E ， 41)(2==A P EX ，61)(2==B P EY ，163)(22=-=EX EX DX ，165)(22=-=EY EY DY ，241)(),(=-=EXEY XY E Y X Cov ，所以X 与Y 的相关系数 1515151),(==⋅=DYDX Y X Cov ρXY ．方法二： X, Y 的概率分布分别为X 0 1 Y 0 1P 43 41 P 65 61 则61,41==EY EX ，163=DX ，DY=365, E(XY)=121,故 241)(),(=⋅-=EY EX XY E Y X Cov ，从而.1515),(=⋅=DYDX Y X Cov XY ρ (Ⅲ) Z 的可能取值为：0，1，2 ．32}0,0{}0{=====Y X P Z P ， 41}1,0{}0,1{}1{===+====Y X P Y X P Z P ， 121}1,1{}2{=====Y X P Z P ，即Z 的概率分布为：【评注题，属于综合性题型 (23) (本题满分13分)设随机变量X 的分布函数为⎪⎩⎪⎨⎧≤>⎪⎭⎫ ⎝⎛-=，，，αx αx x αβαx F β0,1),,( 其中参数1,0>>βα. 设n X X X ,,,21Λ为来自总体X 的简单随机样本,(Ⅰ) 当1=α时, 求未知参数β的矩估计量; (Ⅱ) 当1=α时, 求未知参数β的最大似然估计量; (Ⅲ) 当2=β时, 求未知参数α的最大似然估计量.【分析】本题是一个常规题型, 只要注意求连续型总体未知参数的矩估计和最大似然估计都须已知密度函数, 从而先由分布函数求导得密度函数. 【详解】当1=α时, X 的概率密度为⎪⎩⎪⎨⎧≤>=+，，，101,),(1x x x ββx f β(Ⅰ) 由于 ⎰⎰+∞++∞∞--=⋅==11,1);(ββdx x βx dx βx xf EX β 令X ββ=-1, 解得 1-=X X β, 所以, 参数β的矩估计量为 1-=X Xβ. (Ⅱ) 对于总体X 的样本值n x x x ,,,21Λ, 似然函数为∏=+⎪⎩⎪⎨⎧=>==ni i βnni n i x x x x βαx f βL 1121.,0),,,2,1(1,)();()(其他ΛΛ当),,2,1(1n i x i Λ=>时, 0)(>βL , 取对数得 ∑=+-=ni ixββn βL 1ln )1(ln )(ln ,对β求导数，得∑=-=ni i x βn βd βL d 1ln )]([ln ，令0ln )]([ln 1=-=∑=ni i x βn βd βL d ，解得 ∑==ni ixnβ1ln ，于是β的最大似然估计量为∑==ni ixnβ1ln ˆ．( Ⅲ) 当2=β时, X 的概率密度为⎪⎩⎪⎨⎧≤>=，，，αx αx x αβx f 0,2),(32对于总体X 的样本值n x x x ,,,21Λ, 似然函数为∏=⎪⎩⎪⎨⎧=>==ni i nnn i n i αx x x x ααx f βL 13212.,0),,,2,1(,)(2);()(其他ΛΛ当),,2,1(n i αx i Λ=>时, α越大，)(αL 越大, 即α的最大似然估计值为},,,m in{ˆ21n x x x αΛ=, 于是α的最大似然估计量为},,,m in{ˆ21n X X X αΛ=．2005年考研数学（三）真题一、填空题（本题共6小题，每小题4分，满分24分. 把答案填在题中横线上）（1）极限12sinlim 2+∞→x xx x = . （2）微分方程0=+'y y x 满足初始条件2)1(=y 的特解为______. （3）设二元函数)1ln()1(y x xez yx +++=+，则=)0,1(dz________.（4）设行向量组)1,1,1,2(，),,1,2(a a ，),1,2,3(a ，)1,2,3,4(线性相关，且1≠a ，则a=_____. （5）从数1,2,3,4中任取一个数，记为X, 再从X ,,2,1Λ中任取一个数，记为Y, 则}2{=Y P =______.（6）设二维随机变量(X,Y) 的概率分布为 X Y 0 1 0 a 1 b已知随机事件}0{=X 与}1{=+Y X 相互独立，则a= ， b= .二、选择题（本题共8小题，每小题4分，满分32分. 每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内）（7）当a 取下列哪个值时，函数a x x x x f -+-=1292)(23恰好有两个不同的零点. (A) 2. (B) 4. (C) 6. (D) 8. [ ] （8）设σd y x I D⎰⎰+=221cos,σd y x I D⎰⎰+=)cos(222,σd y x I D⎰⎰+=2223)cos(,其中}1),{(22≤+=y x y x D ，则(A) 123I I I >>. （B ）321I I I >>.(C) 312I I I >>. (D) 213I I I >>. [ ] （9）设,,2,1,0Λ=>n a n 若∑∞=1n na发散，∑∞=--11)1(n n n a 收敛，则下列结论正确的是(A)∑∞=-112n n a收敛，∑∞=12n na发散 . （B ）∑∞=12n na收敛，∑∞=-112n n a发散.(C))(1212∑∞=-+n n n a a收敛. (D) )(1212∑∞=--n n n a a 收敛. [ ]（10）设x x x x f cos sin )(+=,下列命题中正确的是(A) f(0)是极大值，)2(πf 是极小值. （B ） f(0)是极小值，)2(πf 是极大值.（C ） f(0)是极大值，)2(πf 也是极大值. (D) f(0)是极小值，)2(πf 也是极小值.[ ]（11）以下四个命题中，正确的是(A) 若)(x f '在（0，1）内连续，则f(x)在（0，1）内有界. （B ）若)(x f 在（0，1）内连续，则f(x)在（0，1）内有界. （C ）若)(x f '在（0，1）内有界，则f(x)在（0，1）内有界.(D) 若)(x f 在（0，1）内有界，则)(x f '在（0，1）内有界. [ ]（12）设矩阵A=33)(⨯ij a 满足T A A =*，其中*A 是A 的伴随矩阵，T A 为A 的转置矩阵. 若131211,,a a a 为三个相等的正数，则11a 为(A)33. (B) 3. (C) 31. (D) 3. [ ] （13）设21,λλ是矩阵A 的两个不同的特征值，对应的特征向量分别为21,αα，则1α，)(21αα+A 线性无关的充分必要条件是(A) 01=λ. (B) 02=λ. (C) 01≠λ. (D) 02≠λ. [ ]（14）设一批零件的长度服从正态分布),(2σμN ，其中2,σμ均未知. 现从中随机抽取16个零件，测得样本均值)(20cm x =，样本标准差)(1cm s =，则μ的置信度为的置信区间是(A) )).16(4120),16(4120(05.005.0t t +-(B) )).16(4120),16(4120(1.01.0t t +- (C))).15(4120),15(4120(05.005.0t t +-(D))).15(4120),15(4120(1.01.0t t +- [ ]三、解答题（本题共9小题，满分94分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）（15）（本题满分8分）求).111(lim 0x ex xx --+-→ （16）（本题满分8分）设f(u)具有二阶连续导数，且)()(),(y x yf x y f y x g +=，求.222222y g y x g x ∂∂-∂∂ （17）（本题满分9分）计算二重积分σd y x D⎰⎰-+122，其中}10,10),{(≤≤≤≤=y x y x D .（18）（本题满分9分）求幂级数∑∞=-+12)1121(n n x n 在区间(-1,1)内的和函数S(x). （19）（本题满分8分）设f(x),g(x)在[0，1]上的导数连续，且f(0)=0,0)(≥'x f ,0)(≥'x g .证明：对任何a ]1,0[∈,有⎰⎰≥'+'ag a f dx x g x f dx x f x g 01).1()()()()()(（20）（本题满分13分）已知齐次线性方程组（i ） ⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=++,0,0532,032321321321ax x x x x x x x x和（ii ） ⎩⎨⎧=+++=++,0)1(2,03221321x c x b x cx bx x 同解，求a,b, c 的值.（21）（本题满分13分）设⎥⎦⎤⎢⎣⎡=B C C AD T 为正定矩阵，其中A,B 分别为m 阶，n 阶对称矩阵，C 为n m ⨯矩阵. (I) 计算DP P T，其中⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=-n mE oC A E P 1；（II ）利用(I)的结果判断矩阵C A C B T1--是否为正定矩阵，并证明你的结论. （22）（本题满分13分）设二维随机变量(X,Y)的概率密度为 .,20,10,0,1),(其他x y x y x f <<<<⎩⎨⎧=求：（I ） (X,Y)的边缘概率密度)(),(y f x f Y X ；（II ） Y X Z -=2的概率密度).(z f Z ( III ) }.2121{≤≤X Y P （23）（本题满分13分）设)2(,,,21>n X X X n Λ为来自总体N(0,2σ)的简单随机样本，X 为样本均值，记.,,2,1,n i X X Y i i Λ=-=求：（I ） i Y 的方差n i DY i ,,2,1,Λ=；（II ）1Y 与n Y 的协方差).,(1n Y Y Cov（III ）若21)(n Y Y c +是2σ的无偏估计量，求常数c.2005年考研数学（三）真题解析一、填空题（本题共6小题，每小题4分，满分24分. 把答案填在题中横线上）（1）极限12sinlim 2+∞→x xx x = 2 . 【分析】本题属基本题型，直接用无穷小量的等价代换进行计算即可. 【详解】 12sinlim 2+∞→x x x x =.212lim 2=+∞→x xx x （2）微分方程0=+'y y x 满足初始条件2)1(=y 的特解为 2=xy . 【分析】直接积分即可.【详解】原方程可化为 0)(='xy ，积分得 C xy =，代入初始条件得C=2，故所求特解为 xy=2.（3）设二元函数)1ln()1(y x xez yx +++=+，则=)0,1(dzdy e edx )2(2++ .【分析】基本题型，直接套用相应的公式即可. 【详解】)1ln(y xe e xzy x y x +++=∂∂++,yx xe y z y x +++=∂∂+11, 于是 =)0,1(dzdy e edx )2(2++.（4）设行向量组)1,1,1,2(，),,1,2(a a ，),1,2,3(a ，)1,2,3,4(线性相关，且1≠a ，则a= 21. 【分析】四个4维向量线性相关，必有其对应行列式为零，由此即可确定a. 【详解】由题设，有=1234123121112a a a 0)12)(1(=--a a , 得21,1==a a ，但题设1≠a ，故.21=a（5）从数1,2,3,4中任取一个数，记为X, 再从X ,,2,1Λ中任取一个数，记为Y, 则}2{=Y P =4813. 【分析】本题涉及到两次随机试验，想到用全概率公式, 且第一次试验的各种两两互不相容的结果即为完备事件组或样本空间的划分.【详解】 }2{=Y P =}12{}1{===X Y P X P +}22{}2{===X Y P X P+}32{}3{===X Y P X P +}42{}4{===X Y P X P =.4813)4131210(41=+++⨯ （6）设二维随机变量(X,Y) 的概率分布为X Y 0 1 0 a 1 b已知随机事件}0{=X 与}1{=+Y X 相互独立，则a= , b= .【分析】首先所有概率求和为1，可得a+b=, 其次，利用事件的独立性又可得一等式，由此可确定a,b 的取值.【详解】由题设，知 a+b=又事件}0{=X 与}1{=+Y X 相互独立，于是有}1{}0{}1,0{=+===+=Y X P X P Y X X P ，即 a=))(4.0(b a a ++, 由此可解得 a=, b=二、选择题（本题共8小题，每小题4分，满分32分. 每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内）（7）当a 取下列哪个值时，函数a x x x x f -+-=1292)(23恰好有两个不同的零点.(A) 2. (B) 4. (C) 6. (D) 8. [ B ]【分析】先求出可能极值点，再利用单调性与极值画出函数对应简单图形进行分析，当恰好有一个极值为零时，函数f(x)恰好有两个不同的零点.【详解】 12186)(2+-='x x x f =)2)(1(6--x x ，知可能极值点为x=1,x=2，且a f a f -=-=4)2(,5)1(，可见当a=4时，函数f(x) 恰好有两个零点，故应选(B). （8）设σd y x I D⎰⎰+=221cos ,σd y x I D ⎰⎰+=)cos(222,σd y x I D⎰⎰+=2223)cos(,其中}1),{(22≤+=y x y x D ，则(A) 123I I I >>. （B ）321I I I >>.(C) 312I I I >>. (D) 213I I I >>. [ A ]【分析】关键在于比较22y x +、22y x +与222)(y x +在区域}1),{(22≤+=y x y x D 上的大小. 【详解】在区域}1),{(22≤+=y x y x D 上，有1022≤+≤y x ，从而有2212y x +≥>π≥22y x +≥0)(222≥+y x由于cosx 在)2,0(π 上为单调减函数，于是22cos 0y x +≤)cos(22y x +≤≤222)cos(y x + 因此<+⎰⎰σd y x D22cos <+⎰⎰σd y x D)cos(22σd y x D⎰⎰+222)cos(，故应选(A). （9）设,,2,1,0Λ=>n a n 若∑∞=1n na发散，∑∞=--11)1(n n n a 收敛，则下列结论正确的是 (A)∑∞=-112n n a收敛，∑∞=12n na发散 . （B ）∑∞=12n na收敛，∑∞=-112n n a发散.(C))(1212∑∞=-+n n n a a收敛. (D) )(1212∑∞=--n n n a a 收敛. [ D ]【分析】可通过反例用排除法找到正确答案.【详解】取n a n 1=，则∑∞=1n n a 发散，∑∞=--11)1(n n n a 收敛，但∑∞=-112n n a与∑∞=12n na均发散，排除(A),(B)选项，且)(1212∑∞=-+n n n a a发散，进一步排除(C), 故应选(D). 事实上，级数)(1212∑∞=--n n n a a的部分和数列极限存在.（10）设x x x x f cos sin )(+=,下列命题中正确的是(B) f(0)是极大值，)2(πf 是极小值. （B ） f(0)是极小值，)2(πf 是极大值.（C ） f(0)是极大值，)2(πf 也是极大值. (D) f(0)是极小值，)2(πf 也是极小值.[ B ]【分析】先求出)(),(x f x f '''，再用取极值的充分条件判断即可.【详解】 x x x x x x x f cos sin cos sin )(=-+='，显然 0)2(,0)0(='='πf f ，又 x x x x f sin cos )(-=''，且02)2(,01)0(<-=''>=''ππf f ，故f(0)是极小值，)2(πf 是极大值，应选(B).（11）以下四个命题中，正确的是(A) 若)(x f '在（0，1）内连续，则f(x)在（0，1）内有界. （B ）若)(x f 在（0，1）内连续，则f(x)在（0，1）内有界.（C ）若)(x f '在（0，1）内有界，则f(x)在（0，1）内有界.(D) 若)(x f 在（0，1）内有界，则)(x f '在（0，1）内有界. [ C ] 【分析】通过反例用排除法找到正确答案即可. 【详解】设f(x)=x 1, 则f(x)及21)(xx f -='均在（0，1）内连续，但f(x)在（0，1）内无界，排除(A)、(B); 又x x f =)(在（0，1）内有界，但xx f 21)(='在（0，1）内无界，排除(D). 故应选(C).（12）设矩阵A=33)(⨯ij a 满足T A A =*，其中*A 是A 的伴随矩阵，T A 为A 的转置矩阵. 若131211,,a a a 为三个相等的正数，则11a 为(A)33. (B) 3. (C) 31. (D) 3. [ A ] 【分析】题设与A 的伴随矩阵有关，一般联想到用行列展开定理和相应公式：.**E A A A AA ==.【详解】由T A A =*及E A A A AA ==**，有3,2,1,,==j i A a ij ij ，其中ij A 为ij a 的代数余子式，且032=⇒=⇒=A A A E A AA T或1=A而03211131312121111≠=++=a A a A a A a A ，于是1=A ，且.3311=a 故正确选项为(A). （13）设21,λλ是矩阵A 的两个不同的特征值，对应的特征向量分别为21,αα，则1α，)(21αα+A 线性无关的充分必要条件是(A) 01=λ. (B) 02=λ. (C) 01≠λ. (D) 02≠λ. [ D ] 【分析】讨论一组抽象向量的线性无关性，可用定义或转化为求其秩即可. 【详解】方法一：令 0)(21211=++αααA k k ，则022211211=++αλαλαk k k ， 0)(2221121=++αλαλk k k . 由于21,αα线性无关，于是有⎩⎨⎧==+.0,022121λλk k k当02≠λ时，显然有0,021==k k ，此时1α，)(21αα+A 线性无关；反过来，若1α，)(21αα+A线性无关，则必然有02≠λ(,否则，1α与)(21αα+A =11αλ线性相关)，故应选(B).方法二：由于 ⎥⎦⎤⎢⎣⎡=+=+21212211121101],[],[)](,[λλαααλαλααααA ，可见1α，)(21αα+A 线性无关的充要条件是.001221≠=λλλ故应选(D).（14）设一批零件的长度服从正态分布),(2σμN ，其中2,σμ均未知. 现从中随机抽取16个零件，测得样本均值)(20cm x =，样本标准差)(1cm s =，则μ的置信度为的置信区间是(A) )).16(4120),16(4120(05.005.0t t +-(B) )).16(4120),16(4120(1.01.0t t +- (C))).15(4120),15(4120(05.005.0t t +-(D))).15(4120),15(4120(1.01.0t t +- [ C ]【分析】总体方差未知，求期望的区间估计，用统计量：).1(~--n t ns x μ【详解】由正态总体抽样分布的性质知，)1(~--n t ns x μ，故μ的置信度为的置信区间是))1(1),1(1(22-+--n t n x n t nx αα，即)).15(4120),15(4120(05.005.0t t +-故应选(C).三、解答题（本题共9小题，满分94分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）（15）（本题满分8分）求).111(lim 0xe x x x --+-→【分析】 ""∞-∞型未定式，一般先通分，再用罗必塔法则.【详解】 )1(1lim )111(lim 200x xx x x e x e x x x e x --→-→-+-+=--+ =2201lim x e x x x x -→+-+ =x e x x x 221lim 0-→-+=.2322lim0=+-→x x e （16）（本题满分8分）设f(u)具有二阶连续导数，且)()(),(y x yf x y f y x g +=，求.222222yg y x g x ∂∂-∂∂ 【分析】先求出二阶偏导数，再代入相应表达式即可.【详解】由已知条件可得)()(2y x f x y f xy x g '+'-=∂∂， )(1)()(242322y xf y y x f xy x y f x y x g ''+''+'=∂∂，)()()(1yxf y x y x f x y f x yg '-+'=∂∂， )()()()(13222222y xf yx y x f y x y x f y x x y f x y g ''+'+'-''=∂∂，所以 222222yg y x g x ∂∂-∂∂ =)()()(2222y x f y x y x f x y x y f x y ''+''+')()(222y xf y x x y f xy ''-''- =).(2xy f x y ' （17）（本题满分9分）计算二重积分σd y x D⎰⎰-+122，其中}10,10),{(≤≤≤≤=y x y x D .【分析】被积函数含有绝对值，应当作分区域函数看待，利用积分的可加性分区域积分即可. 【详解】记}),(,1),{(221D y x y x y x D ∈≤+=，}),(,1),{(222D y x y x y x D ∈>+=，于是σd y x D⎰⎰-+122=⎰⎰-+-1)1(22D dxdy y x ⎰⎰-++2)1(22D dxdy y x=⎰⎰--2021)1(πθrdr r d ⎰⎰-++Ddxdy y x )1(22⎰⎰-+-1)1(22D dxdy y x=8π+⎰⎰⎰⎰---+20102210210)1()1(πθrdr r d dy y x dx =.314-π（18）（本题满分9分）求幂级数∑∞=-+12)1121(n n x n 在区间(-1,1)内的和函数S(x).。

2012年考研数学三真题(完整版)

曲线 L 在任一处 ( x, y) 的切线斜率为 dy = − sin t ，过该点 ( x, y) 处的切线为 dx f ′(t)
5
2012 年全国硕士研究生入学统一考试数学
Y − cos t = −sin t ( X − f (t )) 。令Y = 0 得 X = f ′(t) cot t + f ( t) 。由于曲线 L 与 x 轴和 y 轴的交点到切点的距 f ′(t)
∑ ∑ ∑ （Ⅱ）设 S(x) =
∞
4n2 + 4n + 3x2n =
∞
(2n +1)2 + 2x2n =
∞
[(2n+ 1) x2n +
2 x2n ]( x < 1)
n =0 2n +1
n =0 2n +1
n =0
2n +1
∑ ∑ 令
S1 ( x)
=
∞ n−0
(2n +1) x2n
，
S2
(x)
=
∞ n−0
4n2 + 4n + 3
= lim
⋅
2(n +1) +1
⋅x2 = x2 令
n→∞ an−1( x) n→∞ 4(n + 1)2 + 4(n + 1)+ 3⋅ x2 n+1 n→∞ 2n +1 4(n +1)2 + 4(n + 1) + 3
2(n + 1) + 1
x2 <1 ，得 −1 < x < 1，当 x = ±1 时，技术发散。所以，收敛域为 (−1,1)

2004年全国硕士研究生入学统一考试数学（三）试卷答案和评分参考

2004年全国硕士研究生入学统一考试数学（三）试卷答案和评分参考2004年全国硕士研究生入学统一考试数学（三）试卷答案和评分参考一、填空题（本题共6小题，每小题4分，满分24分.把答案填写在题中横线上.）（1）若0sin lim(cos )5xx x x b e a→-=-，则a = 1 ，b = -4 .（2）函数(,)f u v 由关系式[(),]()f xg y y x g y =+确定，其中函数()g y 可微，且()0g y ≠，则2f u v=??2()[()]g v g v '-.（3）设21,2,()21,2,x xe x f x x ?-≤-≥?则212(1)f x dx -=?12-.（4）二次型222123122313(,,)()()()f x x x x x x x x x =++-++的秩为 2 . （5）设随机变量X 服从参数为λ的指数分布，则{P X >=1e.（6）设总体X 服从正态分布21(,)N μσ，总体Y 从正态分布2 2(,)N μσ，112,,,n X X X 和212,,,n Y Y Y 分别是来自总体X 和Y 的简单随机样本，则12221112()()2n n i j i j X X Y Y E n n ==??-+-??+-∑∑= 2σ . 二、选择题（本题共8小题，每小题4分，满分32分，在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的，把所选项前的字母填在题后面的括号内.）（7）函数2sin(2)()(1)(2)x x f x x x x -=--在下列哪个区间内有界.(A)(1,0)-. (B)(0,1). (C)(1,2). (D)(2,3). 【 A 】（8）设()f x 在(,)-∞+∞内有定义，且lim ()x f x a →+∞=，1(),0,()0,0,f xg x xx ?≠?=??=?则(A)0x =必是()g x 的第一类间断点. （B ）0x =必是()g x 的第二类间断点. （C ）0x =必是()g x 的连续点.（D ）()g x 在点0x =处的连续性与a 的取值有关. 【 D 】（9）设()(1),f x x x =-则(A)0x =是()f x 的极值点，但(0,0)不是曲线()y f x =的拐点. (B)0x =不是()f x 的极值点，但(0,0)是曲线()y f x =的拐点. (C)0x =是()f x 的极值点，且(0,0)是曲线()y f x =的拐点.(D)0x =不是()f x 的极值点，(0,0)也不是曲线()y f x =的拐点. 【 C 】（10）设有以下命题：①若()2121n n n u u ∞-=+∑收敛，则1n n u ∞=∑收敛.②若1n n u ∞=∑收敛，则10001n n u ∞+=∑收敛.③若1lim1n n nu u +→+∞>收敛，则1n n u ∞=∑发散.④若()1n n n u v ∞=+∑收敛，则11,n n n n u v ∞∞==∑∑都收敛. 【 B 】（11）设()f x '在[,]a b 上连续，且()0,()0f a f b ''><，则下列结论中错误．．的是 (A)至少存在一点0(,)x a b ∈，使得0()()f x f a >. (B)至少存在一点0(,)x a b ∈，使得0()()f x f b >. (C)至少存在一点0(,)x a b ∈，使得0()0f x '=.(D)至少存在一点0(,)x a b ∈，使得0()0f x = 【 D 】（12）设n 阶矩阵A 与B 等价，则必有(A)当(0)A a a =≠时，B a =.(B)当(0)A a a =≠时，B a =-. (C)当0A ≠时，0B =.(D)当0A =时，0B =. 【 D 】 (13)设n 阶矩阵A 的伴随矩阵*0A ≠，若1234,,,ξξξξ是非齐次线性方程组Ax b =的互不相等的解，则对应的齐次线性方程0Ax =的基础解系(A)不存在. (B)仅含一个非零解向量.(C)含有两个线性无关的解向量. (D)含有三个线性无关的解向量. 【 B 】 (14)设随机变量X 服从正态分布(0,1)N ,对给定的(01)αα<<,数a u 满足{}a P X u α>=.若{}P X x α<=,则x 等于（A ）2a u . （B ）12-. （C ）12a u -. （D ）1a u - 【 C 】三、解答题（本题共9小题，满分94分，解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）(15)(本题满分8分)求 22201cos lim sin x x x x →??-解 22201cos lim sin x x x x →??-22222sin cos limsin x x x xx x→-=22401sin 24limx x xx→-= ……2分01sin 44lim2x x xx→-= ……4分 201cos 4lim 6x x x→-= ……6分0sin 4lim 3x x x →= 4 3= ……8分 (16)(本题满分8分) 求)Dy d σ??，其中D 是由圆224x y +=和22 (1)1x y ++=所围成的平面区域（如图）.解法1)))DD D y d y d y d σσσ=-大圆小圆……2分)D y d σ+??大圆D D yd σσ=+大大（根据对称性）2220d r dr πθ=+?=163π ……4分)D y d σ+??小圆D D yd σσ=+小小32cos 2220d r dr πθπθ-=+??329=，……7分所以)16(32)9Dy d σπ=-??……8分解法 2 由积分区域对称性和被积函数的奇偶性0Dyd σ=?? ……1分原式0Dσ=+??12D D σσ??=+上上2……2分22222002cos 22d r dr d r dr πππθθθ-??=+……5分4462()339ππ??=+- 16(32)9π=- ……8分[注]：1D σ??上定限1分，计算1分.D σ??上2定限1分，计算1分.（17）（本题满分8分）设(),()f x g x 在[,]a b 上连续，且满足()(),[,)x x a a f t dt g t dt x a b ≥∈??, ()(),b b a af t dtg t dt =证明：()().bb a axf x dx xg x dx ≤证令()()(),()(),x aF x f x g xG x F t dt =-=?由题设知()0,[,]G x x a b ≥∈()()0,()(),G a G b G x F x '=== ……2分从而()(),b b aaxF x dx xdG x =()(),b baaxG x G x dx =-(),baG x dx =-? ……4分由于()0,[,]G x x a b ≥∈，故有()0,ba G x dx -≤? ……6分即 ()0baxF x dx ≤?.因此 ()()bb aaxf x dx xg x dx ≤……8分（18）（本题满分9分）设某商品的需求函数为1005Q P =-，其中价格(0,20)P ∈，Q 为需求量. （I ）求需求量对价格的弹性(0);d d E E > （II ）推导(1)d dR Q E dP=-（其中R 为收益），并用弹性d E 说明价格在何范围内变化时，降低价格反而使收益增加.解 (I) 20d P P E Q Q P'==-. ……2分（II ）由,R PQ =得dR Q P Q dP'=+(1)P Q Q Q'=+(1)d Q E =-. ……4分又由 120d P E P==-，得10P =. ……5分当1020P <<时，1d E >，于是0dR dP<. ……7分故当1020P <<时，降低价格反而使收益增加. ……9分（19）（本题满分9分）设级数468()242462468xxxx +++-∞<<+∞的和函数为()S x .求：（I ）()S x 所满足的一阶微分方程；（II ）()S x 的表达式. 解（I ） 468(),242462468xxxS x =+++易见(0)0.S = ……1分357()224246xxS x '=+++246224246x x xx ??=+++……2分 2().2x x S x ??=+……4分因此()S x 是初值问题3,(0)02xy xy y '=+=的解. ……4分（II ）方程32xy xy '=+的通解为32xdx xdx x y e e dx c -=+222xxC e=--+, ……7分由初始条件(0)0y =，求的1C =. ……8分故22212xxy e=-+-，因此和函数222()12xxS x e=-+- ……9分（20）（本题满分13分）设123(1,2,0),(1,2,3),(1,2,2),(1,3,3)TTTTa ab a b αααβ==+-=---+=-. 试讨论当,a b 为何值时，（I ）β不能够由123,,ααα线性表示；（II ）β可由123,,ααα惟一线性表示，并求出表示式；（III ）β可由123,,ααα惟一线性表示，但表示式不惟一，并求出表达式. 解设有数123,,k k k ，使得112233k k k αααβ++= （*）……1分记123(,,)A ααα=.对矩阵()A β施以初等行变换，有111122230323A a b aa b β?-?+-- ? ?-+-?（）=010001a b ?→- ? ?-?……3分（I ）当0a b =，为任意常数时，有111101000A a b a b β?-?→- ? ?-?（）可知()()r A r A β≠，故方程组（*）无解，β不能由123,,ααα线性表示.……5分（II ）当0,a ≠且a b ≠时，()()3r A r A β==，故方程组（*）有惟一解123111,,0k k k a a=-==，则β可由123,,ααα惟一地线性表示，其表示式为12111a aβαα?=-+ ……7分（III ）当0a b =≠时，对A β（）施以初等行变换，有110011011000a A a β??-→- ?（）. ……9分可知()()2r A r A β==，故方程组（*）有无穷多解，其全部解为123111,,k k c k c a a ??=-=+=，其中c 为任意常数. β可由123,,ααα线性表示，但表示式不惟一，其表示式为……11分123111c c a a βααα?=-+++ ? ??. ……13分（21）（本题满分13分）设n 阶矩阵11b b A b b= ? ? ??（I ）求A 的特征值和特征向量；（II ）求可逆矩阵P ，使得1P AP -为对角矩阵. 解（I ）1? 当0b ≠时，111bb b b E A bbλλλλ-------=---1[1(1)][(1)]n n b b λλ-=----- ……3分故A 的特征值为121(1),1.n n b b λλλ=+-===-对于11(1)n b λ=+-，设A 的属于特征值1λ的一个特征向量为1ξ，则1111[1(1)]1b b b bn b b bξξ?? ? ?=+- ? ? ??解得 1(1,1,,1)Tξ= ，所以全部特征向量为1(1,1,,1)Tk k ξ= （k 为任意非零常数）……5分对于21n b λλ===- ，解齐次线性方程组[(1)]0b E A x --=，由111000(1)000b b b b b b b E A b bb ----- ?--=→ ? ? ? ? ? ?---?，解得基础解系2(1,1,0,,0)Tξ=-3(1,0,1,,0)Tξ=-2(1,0,0,,1)Tξ=-故全部特征向量为2233n n k k k ξξξ+++ （2,,n k k 是不全为零的常数）. ......7分2?当0b =时，特征11n λλ=== ，任意非零列向量均为特征向量. (9)分（II ）1?当0b ≠时，A 有n 个线性无关的特征向量，令12(,,,)n P ξξξ= ，则{}11(1),1,,1.P AP diag n b b b -=+--- ……11分2?当0b =时，A E =，对任意可逆矩阵P ，均有1P AP E -= ……13分[注]: 1(1,1,,1)Tξ= 也可由求解齐次线性方程组1()0E A x λ-=得出.（22）（本题满分13分）设A B 、为两个随机事件，且111432PP P （A）=，（B A）=，（A B）=，令1,0,A X A ?=?发生，不发生； 1,0,B Y B ?=??，发生不发生. 求：（I ）二维随机变量(,)X Y 的概率分布；（II ）X 与Y 的相关系数X Y ρ；（III ）22Z X Y =+的概率分布.解（I ）()()()1,12P A B P A P B A ==()()()1,6P A B P B P B A == ……2分则{}(){}()()(){}()()(){}()11,1,1211,0,610,1,120,0P X Y P A B P X Y P A B P A P A B P X Y P AB P B P A B P X Y P A B========-=====-====()()()()211[]3P A B P A P B P AB =-=-+-= ，（或{}11120,01126123P X Y ===---=），……6分即 (,)X Y 的概率分布为（II ）方法 1111(),(),(),4612EX P A EY P B E XY =====则1(,)()24C ov X Y E X Y E X E Y =-= 22222211(),4635(),(),1636E X P A E YP B D X E X E X D Y E Y E Y == ===-==-=(,)1XY C ov X Y ρ==……9分方法 2 ,X Y 的概率分布分别为X 01，Y 01.P3414P 5616则 111,,(),4612E X E Y E X Y ==而故 1(,)(),24C ov X Y E XY EX EY =-= 22222211,,4635(),(),1636E XE YD XE X E X D Y E Y E Y ===-==-=XY ρ==……9分（III ）Z 的可能取值为012，，，{}{}{}{}{}200,0,3110,11,04P Z P X Y P Z P X Y P X Y =========+===，{}{}121,1,12P Z P X Y =====……13分即Z 的概率分布为Z 012.P2314112（23）（本题满分13分）设总体X 的分布函数为1,(;;)0,x F x x x βαααβα->? ?=≤?其中参数0,1,αβ>>设12,,,n X X X 为来自总体X 的简单随机样本.（I ）当1α=时，求未知参数β的矩估计量；（II ）当1α=时，求未知参数β的最大似然估计量；（III ）当2β=时，求未知参数α的最大似然估计量. 解当1α=时，X 的概率密度为111,1,(;)0,1,x F x xx ββ+?->?=??≤?……1分（I ）由于11(;),1EX xf x dx x dx xβββββ+∞+∞+-∞===-?……2分令1X ββ=-，解得1X X β=-，所以参数β的矩估计量为1X X β=- ……4分（II ）对于总体X 的样本值12,,,n x x x ，似然函数为1121,1(1,2,,)()(;)()0,nni n i x i n L f x x x x βββα+=?>=?==??∏其他……6分当1(1,2,,)i x i n >= 时，()L β>0，取对数得1ln ()ln (1)ln ,ni i L n x βββ==-+∑两边对β求导，得1ln ()ln ,nii d L nx d βββ==-∑1ln ()0,ln nid xβββ===∑令，解得故β的最大似然估计量为1.ln nii nXβ==∑ ……9分（III ）当2β=时，X 的概率密度为232,(;)0,x f x x x αααα>?=??≤?对于总体X 的样本值12,,,n x x x ，似然函数为31212,(1,2,,)()(;)()0,n nni n i x i n L f x x x x αααα=?>=?==??∏，……11分当(1,2,,)i x i n α>= 时，α越大，()L α越大，因而的最大似然估计值为{}12m in ,,,n x x x α= 则的最大似然估计量为{}12m in ,,,n X X X α= ……13分。