北京市第五中学2019-2020学年高二第二学期第一次阶段性考试数学试卷(PDF版 无答案)
北京市第五十中学 2019—2020 学年度第二学期高一数学期中试卷(无答案)
北京市第五十中学2019——2020学年度第二学期高一数学期中考试试卷 命题人：韩旭一、选择题（共10小题，每题4分，共40分）1．在ABC 中，8a =，60B ︒=，45A =，则b 的值为（ ）．A ．B ．C ．D ．2．复数1012i i=-（ ）． A ．42i -+ B ．42i - C ．24i - D ．24i +3．设a ，b 是非零向量，“||||a b a b ⋅=”是“a b ∥”的（ ）．A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件4．设,a b R ∈，则“0a =”是“复数a bi +是纯虚数”的（ ）．A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件5．如果在ABC 中，3a =，b =2c =，那么B 等于（ ）． A ．6π B ．4π C ．3π D ．23π 6．在下列命题中，正确的是（ ）．A ．若||||a b >，则a b >B ．若||||a b =，则a b =C ．若a b =，则a 与b 共线D ．若a b ≠，则a 一定不与b 共线7．设a ，b 是平面上的两个单位向量，35a b ⋅=，若m R ∈，则||a mb +的最小值是（ ）． A ．34 B ．43 C ．45 D ．548．在ABC 中，若cos cos cos a b c A B C ==，则ABC 是（ ）．A ．直角三角形B ．等边三角形C ．钝角三角形D ．等腰直角三角形9．设点A ，B ，C 不共线，则“AB 与AC 的夹角为锐角”是“||||AB AC BC +>”的（ ）．A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件10．对于非零向量m ，n ，定义运算“*”：*||||sin m n m n θ=⋅，其中θ为m ，n 的夹角，有两两不共线的三个向量a 、b 、c ，下列结论正确的是（ ）．A ．若**a b a c =则b c =B ．(*)(*)a b c a b c =C ．*()*a b a b =-D ．()***a b c a c b c +=+二、填空题（共5小题，每题4分，共20分）11．复数1-在复平面中所对应的点到原点的距离是________．12．如果复数21(1)m m i -++是实数，则实数m =________．13．若向量a ，b 满足()7a b b +⋅=，且||3a =，||2b =，则向量a 与b 夹角为________．14．如图，平面内有三个向量OA ，OB ，OC ，其中OA 与OB 的夹角为120︒，OA 与OC 的夹角为30︒，且||||1OA OB ==，||23OC =(,)OC OA OB R λμλμ=+∈，则λμ+=________．15．在ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知60B ︒=，4b =，下列判断：①若c =C 有两个解；②若12BC BA ⋅=，则AC 边上的高为③a c +不可能是9．其中判断正确的序号是________．三、解答题（共6小题，共40分）16．（6分）已知复数3z bi =+，（b 为实数），且z i -为实数．（1）求复数z ；（2）求复数z 的模||z ．17．（6分）锐角在ABC 中，3cos 5A =，a =5b =． （1）求角B 的正弦值；（2）求ABC 的面积．18．（7分）已知(1,2)a =，(3,1)b =-．（1）求2a b -；（2）设a ，b 的夹角为θ，求cos θ的值；（3）若向量a kb +与a kb -互相垂直，求k 的值．19．（7分）如图，平行四边形ABCD 中，M ，N 分别为DC 、BC 的中点，已知AM c =，AN d =，试用c 、d 表示AB 、AD ．20．（7分）在ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，b =，2c =． （1）若6A π=，求C 的大小；（2）求ABC 面积的最大值．21．（7分）已知(cos ,sin )a αα=，(cos ,sin )b ββ=，且a 与b 之间满足关系：||3||ka b a kb +=-，其中0k >．（1）用k表示a b⋅；（2）求a b⋅的最小值，并求此时a与b夹角θ的大小．。
北京市第十二中学 2019-2020 学年第二学期 5 月月考高二年级数学试卷PDF无答案
t. 中国古代十进制的算筹计数法，在数学史上是一个伟大的创造.根据史书的记载和考古材料的发现，古 代的算筹实际上是一根根同样长短和粗细的小棍子，一般长为 13 1 a ，径粗 t. t.3a ，多用 竹子制成，也有用木头、兽骨、象牙、金属等材料制成的，大约二百七十几枚为一束，放在一个布袋
里，系在腰部随身携带.需要记数和计算的时候，就把它们取出来，放在桌上、炕上或地上都能摆弄. 在算筹计数法中，以纵横两种排列方式来表示数字.如图，是利用算筹表示数 1 的一种方法.例如： 3 可表示为“ ”，26 可表示为“ ”，现有 6 根算筹，据此表示方法，若算筹不能剩余，则用这 6
C.
D.
11. Ͳ
的展开式中，含 项的系数为 40，则
A. 1
B. Ͳ 1
C. 2
D. Ͳ
1 . 随机变量 X 的分布列如下表，其中 ͳ ͳa 成等差数列，且 a 1 ，则 P X െ
() ()
X
2
4
6
P
a
A. 1
B.
b
c
C.
D. 1
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13. 现有 10 名学生排成一排，其中 4 名男生，6 名女生，若有且只有 3 名男生相邻排在一起，则不同的排
. 某校有 4 个社团向高一学生招收新成员，现有 3 名同学，每人只选报 1 个社团，恰有 2 个社团没有同 学选报的报法有________种. 用数字作答െ．
. 将正奇数划分成下列各组： 1，3,5，7，9,11,13,15,17，19, 21, 23, 25, 27, 29,31，
则前 n 组各数的和是
根算筹能表示的两位数的个数为
A. 13
B. 14
C. 15
2019-2020学年北京市通州区高二下学期期中考试数学试题解析版
2019-2020学年北京市通州区高二（下）期中数学试卷一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分.在每个小题给出的四个 备选答案中，只有一个是符合题目要求的.1.函数/（X ）=lnx 的定义域是（） A. (0, +«>)C. ( - oo, 0) U (0> +oo)【答案】A 【解析】 【分析】根据对数函数的定义域选出正确选项.【详解】由于f （x ） = \nx 是对数函数，所以其泄义域为（0,+a ）. 故选：A 【点睛】本小题主要考查对数函数的定义域，属于基础题•2.下列函数中，在区间（0, +oo ）上单调递减的是（）A- /（X ）= X 1 B. /（x ） = f【解析】 【分析】对选项逐一分析函数在区间（0,+“）上的单调性，由此确龙正确选项.【详解】对于A 选项，在（0,+8）上递增，不符合题意： 对于B 选项，/（X ）= ?在（0,+a ）上递增，不符合题意；对于C 选项，=在（0,4-00）上递减，符合题意；12丿对于D 选项，/（x ） = log 2x 在（0,+8）上递增，不符合题意： 故选:C•2-B. [0t +oo)【答案】C3・2・【点睛】本小题主要考査函数的单调性，属于基础题.【答案】c 【解析】 【分析】通过解方程求得f(x) = 0的解.【详解】依题意/(%)=匕岁=0,所以1一lnx = 0,lnx = l,x = e. 故选：C【点睛】本小题主要考查函数零点的求法，属于基础题.4.已知函数/(x) =" (1+x),那么不等式/(x) <0的解集是() A. ( - co, - e)B. ( - co, - 1 )C. ( - oc, 1)D. ( - oo, e)【答案】B 【解析】 【分析】结合指数函数的性质，求得不等式的解集.【详解】由于对任意xeR, />0,所以不等式/(x)<0<=>% + l<0<=>x<-l,所以不 等式的解集为(-8,—1) 故选：B【点睛】本小题主要考查含有指数函数的不等式的解法，属于基础题.5. 已知角&的顶点与原点重合，始边与％轴的非负半轴重合，终边与单位圆交于点【解析】【分析】 先根据诱导公式化简得COS （/r — Q ）= —COSG,再根据三角函数 单位圆左义即可求得答案.3.已知函数/(0 =匕竺,那么方程/(x) =0的解是(A. 1x =—B.x=lC. x=eD. x=l 或 xA. 2>/2,那么COS (龙一Q )等于(・2・【详解】解：根据题意，由三角函数的单位圆泄义得：cos«=x = l/. cos （龙一a ） = -cosa = —丄' 73故选：B.【点睹】本题考査三角函数的立义，诱导公式，是基础题.6. 已知等比数列｛&｝的公比为*,且“2=-2,那么心等于（） A.—丄B. —丄C.—丄D.—丄24 6 8【答案】D 【解析】【分析】 根据等比数列通项公式求得你・故选：D【点睛】本小题主要考查等比数列通项公式的基本量计算，属于基础题.7. 已知双曲线扌一・=1（力＞0）的一条渐近线方程为y = 2斗那么该双曲线的离心率是（） b-A.迈B.迹C.遁D. J5552【答案】D 【解析】 【分析】b c根据一和一的关系求得藹心率.a a【详解】由于双曲线的渐近线为y = 所以- = 2,a【详解】由于｛①｝是等比数列,【点睛】本小题主要考查双曲线离心率的求法，属于基础题.已知函数/(x) =W+ (</+2) .r+1 (“VO),那么不等式/(x) >0的解集是()【?"】A 【解析】【分析】 对/(X )因式分解，比较f(x) = 0所得两根的大小，由此求得/(%)>0的解集. 【详解】依题意/(x) = (ar+l)(2x+l)t 令/(x) = 0, 由于故解得召=一］”=一丄，且x, <x 2t2a… 1 1所以f(x)>0解集为一亍一一、Z Cl故选：A【点睛】本小题主要考査一元二次不等式的解法，属于基础题.9. 已知关于x 的不等式2' - a>0在区间［—1，一占上有解，那么实数"的取值范围是() A."k 2 /俘T【答案1 B 【解析】【分析】 利用分离常数法，结合指数函数的性质，求得d 的取值范用・ 【详解】由于关于尤的不等式2x -a>0在区间上有解，所以存在“(一1,_£,使得a<2\也即。
北京市东城区2019-2020学年度第二学期期末统一检测高二数学试卷 (含答案)
北京市东城区2019-2020学年度第二学期期末统一检测北京市东城区2019-2020学年度第二学期期末教学统一检测 高二数学参考答案及评分标准 2020.7一、选择题（共10小题，每小题4分，共40分）（1）A （2）B （3）B （4）D （5）D（6）C （7）C （8）B （9）A （10）C二、填空题（共5小题，每小题4分，共20分）（11）58− （12）①③ （13）12（14）42 （15）1ln 2−+注：（12）题给出的结论中，有多个符合题目要求。
全部选对得4分，不选或错选得0分，其他得2分。
三、解答题（共5小题，共40分）（16）（共8分）解：由题意可知函数()f x 的定义域为(0,)+∞.（Ⅰ）因为21()23ln 2f x x x x =−−， 所以3'()2f x x x=−−， ………1分 '(1)4f =−. ………2分因为3(1)2f =−， ………3分 所以曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程为8250x y +−=.………4分 （Ⅱ） ()f x 的定义域为(0,)+∞. ………5分 因为2323(1)(3)'()2x x x x f x x x x x−−+−=−−==， 由'()0f x =，得11x =−，23x =. ………6分 因为函数()f x 的定义域为(0,)+∞，当x 变化时，'()f x ，()f x 的变化情况如下表： 单调递减单调递增 7分所以，()f x 的单调递增区间为(3,)+∞，()f x 的单调递减区间为(0,3). ………8分（17）（共8分）解：（Ⅰ）共需要填6个空，对2个空 ……1分对4个空 ………2分全对 ………4分（Ⅱ）由题可知，22()=()()()()n ad bc K a b c d a c b d −++++，经过计算， 4.762k ≈，………7分 参照附表，所以在犯错误的概率不超过0.05的前提下，可以认为“爱好冰上运动与性别有关”. ………8分（18）（共8分）解：（Ⅰ）由题意可知，样本中垃圾种类一共200种，辨识度高的垃圾种数是：700.9600.6300.9400.6150+++=⨯⨯⨯⨯.………1分 所求概率为1500.75200=. ………3分 （Ⅱ）X 的可能取值为0,1,2,3. ………4分依题意可知，(3,0.6)X B ~.033(0)(10.6)0.064P X C ===−,123(1)0.6(10.6)0.288P X C ===−,223(2)0.6(10.6)0.432P X C ===−,333(3)0.60.216P X C ===. ………6分所以X 的分布列为………7分()30.6 1.8E X =⨯=. ………………8分（19）（共8分）解：由题意可知函数()f x 的定义域为R .（Ⅰ）因为2()e x f x x =，所以22'()2e e e (2)e (2)x x x x f x x x x x x x =⋅+⋅=⋅+=⋅+⋅. ………1分由'()0f x =，得12x =−，20x =. ………2分当x 变化时，'()f x ，()f x 的变化情况如下表：因此，当2x =−时，()f x 有极大值，并且极大值为24(2)ef −=； 当0x =时，()f x 有极小值，并且极小值为(0)0f =.………4分（全对给1分）（Ⅱ）因为()y f x ax =−，所以2()e e x x ax y x x x a −=−=⋅.所以0x =为一个零点.所以“函数2e x x a y x =−在定义域内有三个零点”可以转化为“方程e x a x =⋅有两个非零实根”. ………5分令()e x h x x =，则'()e e (1)e x x x h x x x =+=+⋅，所以，当1x <−时，'()0h x <，()h x 在(,1)−∞−上单调递减； 当1x >−时，'()0h x >，()h x 在(1,)−+∞上单调递增.当1x =−时，()h x 有最小值1(1)e h −=−. ………6分 若方程e x a x =⋅有两个非零实根，则1(1)e h −=−a <，即1e a >−. 又0a ≥，(,1)x ∈−∞−，e 0x x a ⋅−<恒成立，不存在零点，………7分所以0a <．综上，10ea −<<. 所以当1(,0)e a ∈−时，函数()y f x ax =−在定义域内有三个零点．………8分（20）（共8分）（Ⅰ）解：当3n =时，{3,4,5}n S =.n S 的所有奇子集为{3}{5}{3,4}{4,5}，，，. ………3分（少写或写错扣1分）（Ⅱ）证明：首先证明n S 的奇子集与偶子集个数相等.设奇数n k S ∈，对于n S 的每个奇子集A ，当k A ∈时，取{|B x x A =∈且}x k ≠.当k A ∉时，取{}B A k =，则B 为n S 的偶子集.反之，亦然.所以，n S 的奇子集与偶子集是一一对应的.所以，n S 的奇子集与偶子集个数相等.对于n i S ∀∈，1>i ，含i 的n S 的子集共有12−n 个， …4分其中必有一半是奇子集，一半是偶子集，从而对于每个数i ，在奇子集的和与偶子集的和中，i 所占的个数是一样的.所以n S 的所有奇子集的容量的和与所有偶子集的容量的和相等. …6分（Ⅲ）解：由于每个元素在奇子集中都出现22−n 次，故奇子集的容量和为23(121)2(31)2n n n n n n n −−++++−⨯=−⨯． ………8分。
北京市第五中学2019-2020学年度第一学期第一次阶段性考试高三数学
北京五中2019-2020学年度第一学期第一次阶段性考试试卷高三数学一、选择题1.已知集合{}20A x x a =->，(){}2log 21B x x =-≤，若B A ⊆，则实数a 的取值范围是( ) A .(),4-∞B .(],4-∞C .[)4,+∞D .()4,+∞2.已知0.6log 1.6a =，0.61.6b =， 1.60.6c =，则实数,,a b c 的大小关系是( ) A .a b c <<B .a c b <<C .c a b <<D .b c a <<3.对于非零向量a ，b ，“230a b +=”是“a b ∥”成立的( ) A .充分而不必要条件B .必要而不充分条件C .充要条件D .既不充分也不必要条件4.已知函数()()()f x x a x b =--(其中a b >)的图象如下面右图所示，则函数()x g x a b =+的图象是( )A . B.C. D.5.如图，点()11,A x y ，()22,B x y 分别是单位圆O 上的点，角α、β的终边分别为射线OA 和射线OB ，则1212x x y y +表示的值为( )A .()sin αβ+B .()sin αβ-C .()cos αβ+D .()cos αβ-6.ABC △内角A 、B 、C 的对边分别是a 、b 、c ，已知sin sin 4sin a A b B c C -=，1cos 4A =-，则bc=( )A .4B .5C .6D .37.已知函数()()sin ,02f x x πωϕϕω⎛⎫=+<> ⎪⎝⎭的图象在y 轴右侧的第一个最高点为,16P π⎛⎫⎪⎝⎭，在原点右侧与x 轴的第一个交点为5,012Q π⎛⎫⎪⎝⎭，则3f π⎛⎫⎪⎝⎭的值为( )A .1B .2C .12D 8.在直角坐标系xOy 中，对于点(),x y ，定义变换σ：将点(),x y 变换为点(),a b ，使得其中tan tan x ay b =⎧⎨=⎩，其中,,22a b ππ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭.这样变换σ就将坐标系xOy 内的曲线变换为坐标系aOb 内的曲线，则四个函数()120y x x =>、()220y x x =>、()30x y e x =>、()4ln 1y x x =>在坐标系xOy 内的图象，变换为坐标系aOb 内的四条曲线(如图)依次是( )A .②③①④B .③②④①C .②③④①D .③②①④二、填空题9.17sin 6π⎛⎫-= ⎪⎝⎭_______________.10.已知平面向量,a b 满足()3a a b ⋅+=，且2a =，1b =，则向量a 与b 的夹角为__________.11.已知3,22ππα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，()3tan 4απ-=-，则sin cos αα+=_____________.12.函数()f x 的定义域为R ，()()211,102log 1,03xx f x x x ⎧⎛⎫--≤<⎪ ⎪=⎝⎭⎨⎪+≤<⎩，对于任意x R ∈都有()()22f x f x +=-，若在区间[]5,3-内函数()()g x f x mx m =-+恰有三个不同的零点，则实数m 的取值范围是____________.13.已知函数()sin 6f x x πω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，()9f x f π⎛⎫≤ ⎪⎝⎭对任意x R ∈恒成立，则ω可以是_________.14.函数()y f x =图象上不同两点()11,A x y ，()22,B x y 处的切线的斜率分别是A k 、B k .规定(),A Bk k A B ABϕ-=(AB 为线段AB 的长度)叫做曲线()y f x =在点A 与点B 之间的“弯曲度”，给出以下命题： ①函数321y x x =-+图象上两点A 与B 的横坐标分别为1和2，则(),A B ϕ> ②存在这样的函数，图象上任意两点之间的“弯曲度”为常数； ③设点,A B 是抛物线21y x =+上不同的两点，则(),2A B ϕ≤；④设曲线x y e =(e 是自然对数的底数)上不同两点()11,A x y ，()22,B x y ，且121x x -=，若(),1t A B ϕ⋅<恒成立，则实数t 的取值范围是(),1-∞.其中真命题的序号为_________________.(将所有真命题的序号都填上)三、解答题15.已知函数()2cos 2sin 1f x x x x =-+.(1)求12f π⎛⎫⎪⎝⎭的值及函数的最小正周期；(2)求()f x 在区间0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值和最小值.16.在ABC △中，角A 、B 、C 的对边分别是a 、b 、c ，且a b c <<2sin b A =. (1)求角B 的大小；(2)若2a =，b ，求c 边的长和ABC △的面积.17.空气质量指数 2.5PM (单位：3/g m μ)表示每立方米空气中可吸入肺颗粒物的含量，这个值越高，就代表空气污染越严重：甲、乙两城市2013年2月份中的15天对空气质量指数 2.5PM 进行监测，获得 2.5PM 日均浓度指数数据如茎叶图所示：(1)根据你所学的统计知识估计甲、乙两城市15天内哪个城市空气质量总体较好？(注：不需说明理由) (2)在15天内任取1天，估计甲、乙两城市空气质量类别均为优或良的概率；(3)在乙城市15个监测数据中任取2个，设X 为其中空气质量类别为优或良的天数，求X 的分布列及数学期望.18.四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是边长为2的菱形，侧面PAD ⊥底面ABCD ，60BCD =︒∠，PA PD =，E 是BC 中点，点Q 在侧棱PC 上.(1)求证：AD PB ⊥；(2)若Q 是PC 中点，求二面角E DQ C --的余弦值； (3)是否存在Q ，使PA ∥平面DEQ ？若存在，求出PQPC的值；若不存在，说明理由.19.已知函数()3222f x x ax =-+. (1)讨论()f x 的单调性；(2)当03a <<时，记()f x 在区间[]0,1的最大值为M ，最小值为m ，求M m -的取值范围.20.已知椭圆()2222:10x y M a b a b+=>>k 的直线l 与椭圆M 有两个不同的交点A 、B .(1)求椭圆M 的方程；(2)设()20P -，，直线PA 与椭圆M 的另一个交点为C ，直线PB 与椭圆M 的另一个交点为D ，若C 、D 与点71,42Q ⎛⎫- ⎪⎝⎭共线，求斜率k 的值.。
精品解析：北京市北京师范大学附属实验中学2019-2020学年高二下学期5月(期中)测试数学试题(解析版)
北京师范大学附属实验中学2019—2020学年度第二学期高二年级诊断性测试数学试卷试卷说明：1．考试时间为13：30-14：50，共80分钟：试卷总分为100分． 2．所有答案都写在一页A4白纸（单面）上，超出范围的内容无效． 3．考试结束后，14：55之前，将答题纸拍照、上传，逾期无效． 一、选择题（8道小题，每题4分，共32分）1.若等式1110(1)nnn n n x a x a x a x a ---=++++L 对任意x ∈R 成立，则10n n a a a -++⋯+的值为（ ）A. 0B. 1C. 2nD. ()2n-【答案】A 【解析】 【分析】根据1110(1)nnn n n x a x a xa x a ---=++++L ，利用赋值法令1x =求解即可.【详解】因为1110(1)nnn n n x a x a xa x a ---=++++L ，令1x =得：100-+++=⋯n n a a a ， 故选：A【点睛】本题主要考查二项式展开式的项的系数的和，还考查了赋值法的应用，属于基础题. 2.复数212iz i+=-则在复平面内，z 对应的点的坐标是（ ） A. ()1,0 B. ()0,1C. 54(,)33--D. 45(,)33--【答案】B 【解析】 【分析】先通过复数的除法运算化简复数z i =，然后利用复数的几何意义求解. 【详解】因为()()()()2122121212+++===--+i i i z i i i i ， 所以在复平面内，z 对应的点的坐标是()0,1.故选：B【点睛】本题主要考查复数的运算及几何意义，还考查了运算求解的能力，属于基础题. 3.下列函数中，既是偶函数，又在(0,)+∞上单调递增的是（ ） A. 4y x = B. 21y x=C. cos y x =D. x y e =【答案】A 【解析】 【分析】利用函数的奇偶性定义判断其奇偶性，再通过函数的解析式判断单调性即可. 【详解】A. 定义域为R ，且()44x x -=， 所以为偶函数，在(0,)+∞上单调递增，故正确； B.定义域为 (),0(0,)-∞⋃+∞，且()2211x x =-， 所以为偶函数，在(0,)+∞上单调递减，故错误； C. 定义域为R ，且()cos cos x x -=， 所以为偶函数，在(0,)+∞上不单调，故错误； D.定义域为R ，且x x e e -≠， 所以不为偶函数，故错误. 故选：A【点睛】本题主要考查函数的基本性质，还考查了理解辨析的能力，属于基础题. 4.对于任意的1212,,x x R x x ∈<，下列不等式中一定成立的是（ ）A.<B.1211x x > C. 2110()12x x -<<D. ()21–1cos 1x x <-<【答案】C 【解析】 【分析】A.取特殊值判断；B.取特殊值判断；C. 由12x x <，得到210x x ->，再利用1()2xy =的单调性判断；D.由12x x <，得到210x x ->，再利用cos y x =的值域判断. 【详解】A.当 122,1x x =-=-时，不成立，故错误； B.当 121,1x x =-=时，不成立，故错误； C. 因为12x x <，所以210x x ->， 又因为1()2xy =在R 上是减函数，所以210110()22x x -⎛⎫<< ⎪⎝⎭，故正确； D. 因为12x x <，所以210x x ->，所以()21–1cos 1x x ≤-≤，故错误. 故选：C【点睛】本题主要考查不等式的基本性质以及函数的单调性，还考查了特殊值法的应用，所以基础题. 5.函数cos ()xf x x=的导数()f x '=（ ） A.2sin cos x x xx - B.2sin cos x x x x--C. 2sin cos x x xx +D.2sin cos x x x x-+【答案】B 【解析】 【分析】由导数的除法计算法则即可选出正确答案.【详解】解：()()22cos cos sin cos x x x x x x f x x x'---'==. 故选:B.【点睛】本题考查了导数的除法运算.本题的易错点是误将cos x 的导数记成了sin x . 6.已知函数()f x =0x x =处的切线的倾斜角是π4，则0x 的值为（ ） A.14B.12C.2D. 1【答案】A 【解析】 【分析】由导数的几何意义利用切线的斜率列出方程即可求解.【详解】由题意知001()tan 144f x x π'===⇒=.故选：A【点睛】本题考查导数的几何意义，属于基础题.7.已知函数()f x 满足()11f =-，()12f '=，则函数()xy f x e ⋅=在1x =处的瞬时变化率为（ ）A. 1B. 2C. eD. 2e【答案】C 【解析】 【分析】求得函数的导数)(()xx y f x e f x e ⋅+''⋅=，代入1x =，结合题设条件，代入即可求解. 【详解】由函数()x y f x e ⋅=，可得)(()xx y f x e f x e ⋅+''⋅=，所以函数在1x =的导数为111|(1)(1)x y f e f e =⋅+'⋅'=，又由()11f =-，()12f '=，所以11|2x e y e e =⨯-⨯'==， 即函数()xy f x e ⋅=在1x =处的瞬时变化率为e . 故选：C.【点睛】本题主要考查了导数的四则运算，以及瞬时变化率的概念与计算，其中解答中熟记瞬时变化率的概念，以及熟练应用导数的运算法则求解是解答的关键，着重考查了运算与求解能力.8.从20名同学中选派3人分别参加数学、物理学科竞赛，要求每科竞赛都有人参加，而且每人只能参加一科竞赛．记不同的选派方式有n 种，则n 的计算式可以是（ ） A. 3203C B. 3206CC. 3202AD. 3203A ÷【答案】B 【解析】 【分析】先从20名同学中选派3人，再分为两类：第一类：2人参加数学，1人参加物理竞赛，第二类：1人参加数学，2人参加物理竞赛，结合分步计数原理，即可求解.【详解】由题意，从20名同学中选派3人，共有320C 种不同的选法， 又由要求每科竞赛都有人参加，而且每人只能参加一科竞赛， 可分为两类：第一类：2人参加数学，1人参加物理竞赛，共有233C =中不同的选法； 第二类：1人参加数学，2人参加物理竞赛，共有133C =中不同的选法， 综上可得，不同的选派方式共有332020(33)6C C +⋅=⋅.故选：B.【点睛】本题主要考查了分步计数原理，以及排列、组合的综合应用，其中解答中选出3人后，合理分类求解是解答的关键，着重考查分析问题和解答问题的能力.二、填空题（8道小题，每题4分，共32分）9.已知()f x 是R 上的奇函数，当0x >时，2()f x x x =-，则()2f -的值为__________．【答案】2 【解析】 【分析】结合函数的奇偶性，得到()()22f f -=-，代入即可求解.【详解】由题意，函数()f x 是R 上的奇函数，当0x >时，2()f x x x =-，可得()()222(22)2f f -=-=--=，即()2f -的值为2.故答案为：2.【点睛】本题主要考查了函数的奇偶性的应用，以及函数值的计算，其中解答中熟练应用函数的奇偶性转化求解是解答的关键，着重考查转化思想，以及计算能力. 10.函数1lgx y x-=的定义域是__________． 【答案】(,0)(1,)-∞⋃+∞ 【解析】【分析】根据函数的解析式有意义，得出不等式10x x->，即可求解函数的定义域. 【详解】由题意，函数1lgx y x-=有意义，则满足10x x ->，解答0x <或1x >， 即函数1lgx y x-=的定义域为(,0)(1,)-∞⋃+∞. 【点睛】本题主要考查了函数的定义域的求解，以及对数函数的性质的应用，其中解答中根据对数函数的性质，得出不等式是解答的关键，着重考查运算与求解能力. 11.若复数z 的共轭复数21z z i =++，则z =__________． 【答案】113i -- 【解析】 【分析】设z a bi =+，代入所给等式根据复数相等的充要条件求出a 、b 即可求得复数. 【详解】设z a bi =+，则2()1(21)(21)a bi a bi i a b i -=+++=+++，所以1211213a a a b b b =-⎧=+⎧⎪⇒⎨⎨-=+=-⎩⎪⎩，所以113z i =--.故答案为：113i --【点睛】本题考查共轭复数、根据复数相等求参数，属于基础题. 12.若236n n C A =则正整数n =__________． 【答案】5 【解析】 【分析】按组合数、排列数公式列出等式求解即可. 【详解】由236n n C A =得()()(1)6(1)2,321n n n n n n -⨯=--≥⨯， 解得5n =.故答案为：5【点睛】本题考查组合数、排列数公式，属于基础题. 13.二项式62()x x-的展开式中，常数项为__________． 【答案】160- 【解析】 【分析】根据二项展开式的通项公式，即可得到答案； 【详解】Q 6621662)2),0,1,,6((r rr r r r r T C xC x r x--+-==-=L ， 当6203r r -=⇒=时，∴463302(6)1T C =-=-，∴常数项为160-，故答案为：160-.【点睛】本题考查二项式定理通项公式的应用，考查运算求解能力，属于基础题.14.除函数y x =，[]2,1x ∈--外，再写出一个定义域和值域均为[]2,1--的函数：__________．【答案】答案不唯一．例如：3y x =--，[]2,1x ∈--. 【解析】 【分析】可设(0)y kx b k =+<，再根据函数的最值，可得方程组，解出,k b 的值，即可得到答案； 【详解】设(0)y kx b k =+<，∴21,1,2,3,k b k k b b -+=-=-⎧⎧⇒⎨⎨-+=-=-⎩⎩∴函数可为：3y x =--，[]2,1x ∈--.故答案为：3y x =--，[]2,1x ∈--.【点睛】本题考查待定系数法求函数的解析式、函数的定义域和值域的概念，考查函数与方程思想，考查运算求解能力.15.设有编号为1，2，3，4，5的五把锁和对应的五把钥匙．现给这5把钥匙也贴上编号为1，2，3，4，5的五个标签，则共有______种不同的贴标签的方法：若想使这5把钥匙中至少有2把能打开贴有相同标签的锁，则有______种不同的贴标签的方法．（本题两个空均用数字作答） 【答案】 (1). 120 (2). 31【解析】 【分析】（1）利用排列数55A 计算，即可得到答案；（2）分三种情况讨论，即有2把能打开贴有相同标签的锁；有3把能打开贴有相同标签的锁；有5能打开贴有相同标签的锁；【详解】（1）问题等价于将五个数进行全排列，即55120A =； （2）有2把能打开贴有相同标签的锁为25220C ⨯=种； 有3把能打开贴有相同标签的锁为35110C ⨯=种；有5能打开贴有相同标签的锁为551C =种；∴总共有2010131++=种.故答案为：120；31.【点睛】本题考查排列数和组合数的应用，考查分类讨论思想，考查逻辑推理能力、运算求解能力，求解时注意先分类再分步.16.如果直线()0y t t =>与函数1()f x x x=+的图象有两个不同的交点，其横坐标分别为1x ，2x ，则以下结论： ①2t >；②12ln ln 0x x +>； ③122x x +>；④12x x -的取值范围是(0,)+∞，其中正确的是__________．（填入所有正确结论的序号） 【答案】①③④ 【解析】 【分析】作出函数1()f x x x=+的图象，分析()f x 的单调性与值域，数形结合可求得t 的范围，根据题意可得1x 、2x 是方程210x tx -+=的两根，利用韦达定理即可判断②③④的正误. 【详解】作出函数1()f x x x=+的图象如图所示：函数1()f x x x=+在(,1),(1,)-∞-+∞上单调递增，在()()1,0,0,1-上单调递减，且()12,(1)2f f -=-=，所以()f x 的值域为(),2(2,)-∞-⋃+∞，①若()0y t t =>与()f x 的图象有两个交点，则2t >，①正确； ②取121,22x x ==，有()15222f f ⎛⎫== ⎪⎝⎭，满足条件，但1ln ln 202+=，故②错误；③由题意知21111110x t x tx x +=⇒-+=，同理22210x tx -+=，即1x 、2x 是方程210x tx -+=的两根，所以122x x t +=>，③正确； ④由③知12=1x x ⋅，()2212121244x x x x x x t -=+-=-因为2t >，240t ->，即120x x ->，④正确.故答案为：①③④【点睛】本题考查函数的图象与性质、函数与方程、韦达定理，属于中档题.三、解答题（4道小题，共36分）17.已知函数l 1()n 3f x x x=+． （1）求()f x 在1x =处的切线方程； （2）求不等式()2f x '<的解集．【答案】（1）21y x =-（2）1(0,)(1,)2⋃+∞ 【解析】 【分析】(1)求出导数，进而可求()12f '=，即可知切线的斜率，再由直线的点斜式方程即可求出切线. (2)结合(1)可得2312(0)x x x-<>，解出不等式即可. 【详解】解：(1)223131()x f x x x x-'=-=(0x >)．()12f '=，()11f =， 所以切线方程为()121y x -=-，即21y x =-．(2)不等式2312(0)x x x-<>，所以22310(0)x x x -+>>． 解此不等式得1x >或12x <，且0x >．所以()2f x '<的解集为1(0,)(1,)2⋃+∞． 【点睛】本题考查了导数的几何意义，考查了不等式的求解.本题的关键是对函数的导数的求解.本题的易错点是求解不等式时，忽略了函数的定义域.18.已知：直线1y kx =+与抛物线2y ax =（a 为常数）交于两点()()1122,,,A x y B x y ，且抛物线在点A ，B处的切线互相垂直． （1）求a 的值；（2）求两条切线交点的横坐标（用k 表示）． 【答案】（1）14a =（2）2x k = 【解析】 【分析】（1）联立直线1y kx =+的方程和抛物线的方程，写出根与系数关系，利用导数求得两条切线的斜率，根据两条切线互相垂直列方程，解方程求得a 的值.（2）利用点斜式写出两条切线方程，由此求得两条切线交点的横坐标.【详解】（1）直线1y kx =+与抛物线方程2y ax =联立，得210ax kx --=，所以12121,k x x x x a a-+==． 2y ax =求导得2y ax '=，所以两条切线的斜率分别为112k ax =，222k ax =． 因为两条切线互相垂直，所以21212441k k a x x a ==-=-，所以14a =． （2）由2111(,)4A x x ，2221(,)4B x x ，得两条切线的方程分别为 221112221111(),()4242y x x x x y x x x x -=--=-， 即2111124y x x x =-和2221124y x x x =-． 解方程组21122211241124y x x x y x x x ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩得交点的横坐标为：12222x x k x k a +===． 【点睛】本小题主要考查抛物线的切线，考查直线和抛物线的位置关系，属于中档题.19.已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>离心率为12，点()0,2G 与椭圆的左、右顶点可以构成等腰直角三角形．点C 是椭圆的下顶点，经过椭圆中心O 的一条直线与椭圆交于A ，B 两个点（不与点C 重合），直线CA ，CB 分别与x 轴交于点D ，E ．（1）求椭圆的标准方程．（2）判断DGE ∠的大小是否为定值，并证明你的结论．【答案】（1）22143x y +=（2）2DGE π∠=是定值．证明见解析【解析】【分析】 （1）根据椭圆离心率，以及点()0,2G 与椭圆的左、右顶点可以构成等腰直角三角形，求得,a b 的值，由此求得椭圆的标准方程.（2）设出,A B 两点的坐标，求得直线CA 的方程，由此求得D 点的坐标，同理求得E 点的坐标，通过计算0GD GE ⋅=u u u r u u u r ，证得GD GE ⊥，从而证得2DGE π∠=为定值. 【详解】（1）依题意可知122=⇒=c a c a .由于点()0,2G 与椭圆的左、右顶点可以构成等腰直角三角形，所以2a =，故1c =，所以b 所以椭圆方程为22143x y +=．（2）2DGE π∠=是定值．设()()0000,,,A x y B x y --，则直线CA的方程为00y y x x +=- 将0y =代入，解得x =，即D ．同理，解得E ．202032)2)43x GD GE y ⋅=-⋅-=+-u u u r u u u r 将2200334y x =-代入上式，得202034034x GD GE x ⋅=+=-u u u r u u u r ． 所以GD GE ⊥，即证．【点睛】本小题主要考查椭圆方程的求法，考查椭圆中的定值问题，考查运算求解能力，属于中档题. 20.已知，无穷数列{}n a 中，{}(0,11,2,3)i a i ∈=L ．记{}n a 前n 项的和为n S 构造数列{}n b ：()*n n S b n n∈=N ． （1）若{}n b 为单调递减数列，直接写出数列{}n a 的通项公式：（2）若10a =，且存在*m ∈N 使得0.8m b >，求证：存在*K ∈N ，使得0.8K b =．【答案】（1）1,(1)0,(2)n n a n =⎧=⎨≥⎩（2）证明见解析 【解析】【分析】（1）根据数列{}n b 满足()*n n S b n n∈=N 及{}n b 为单调递减数列，且{}(0,11,2,3)i a i ∈=L ，代入化简即可归纳得数列{}n a 的通项公式：（2）由10a =且0.8m b >可知数列中存在K 满足10.80.8K K b b +≤⎧⎨>⎩，结合n n S b n =得不等式组并化简，即可知4154K K S K -<≤，从而需54K S K =，即可证明结论.【详解】（1）数列{}n b 满足()*n n S b n n ∈=N ，{}n b 为单调递减数列， 则111101n n n n a a a a b b n n ++++++-=-<+L L ， 所以112n n na a a a +<+++L ，无穷数列{}n a 中，{}(0,11,2,3)i a i ∈=L ， 当1n =时，21a a <，所以121,0a a ==， 当2n =时，13212a a a +=<，所以30a =， 当3n =时，423113a a a a ++=<，所以40a =， 归纳可知()*10n a n +=∈N， 所以1(1)0(2)n n a n =⎧=⎨≥⎩. （2）证明：10a =，且存在*m ∈N 使得0.8m b >， 则100.8b =<且0.8m b >，所以存在K 使得10.80.8K K b b +≤⎧⎨>⎩ 即10.80.8(1)K K S K S K +≤⎧⎨>+⎩，即154544K K S K S K +≤⎧⎨>+⎩ 两式相减得154K a +>，由{}(0,11,2,3)i a i ∈=L ，所以11K a +=．再代入上式，得()545144K K S K S K ≤⎧⎨+>+⎩， 即4154K K S K -<≤．因为*,K S K ∈∈N N ，所以54K S K =．即存在*K ∈N ，40.85k K S b K ===． 【点睛】本题考查了数列递推公式的综合应用，归纳法得数列通项公式，数列与不等式的综合应用，属于难题.。