人教版高中数学必修五学案 第2课时 等比数列的性质

人教版高中数学必修五
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第2课时 等比数列的性质

学习目标
1.灵活应用等比数列的
通项公式推广形式及变形.2.理解等比数列的有关性
质，并能用相关性质简化计算．
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知识点一 等比数列通项公式的推广和变形
等比数列{an}的公比为q，则
an＝a1qn－1①
＝amqn－m②

＝a1q·qn③
其中当②中m＝1时，即化为①.
当③中q＞0且q≠1时，y＝a1q·qx为指数型函数．
知识点二 等比数列常见性质
(1)对称性：a1an＝a2an－1＝a3an－2＝…＝am·an－m＋1(n>m且n，m∈N*)；
(2)若k＋l＝m＋n(k，l，m，n∈N*)，则ak·al＝am·an；
(3)若m，p，n成等差数列，则am，ap，an成等比数列；

(4)在等比数列{an}中，连续取相邻k项的和(或积)构成公比为qk(或2kq)的等比数列；
(5)若{an}是等比数列，公比为q，则数列{λan}(λ≠0)，1an，{a2n}都是等比数列，且公比分别
是q，1q，q2.
(6)若{an}，{bn}是项数相同的等比数列，公比分别是p和q，那么{anbn}与anbn也都是等比数
列，公比分别为pq和pq.
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1．an＝amqn－m(n，m∈N*)，当m＝1时，就是an＝a1qn－1.( √ )
2．等比数列{an}中，若公比q<0，则{an}一定不是单调数列．( √ )
3．若{an}，{bn}都是等比数列，则{an＋bn}是等比数列．( × )
4．若数列{an}的奇数项和偶数项分别成等比数列，且公比相同，则{an}是等比数列．( × )

题型一 等比数列通项公式的推广应用
例1 等比数列{an}中．
(1)已知a4＝2，a7＝8，求an；
(2)若{an}为递增数列，且a25＝a10，2(an＋an＋2)＝5an＋1，求通项公式an.

解 (1)∵
a7a4＝q7－4＝8
2
，
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即q3＝4，∴q＝
3
4，

∴an＝a4·qn－4＝2·(34)n－4＝2·4232n＝25332n(n∈N*)．
(2)由a25＝a10＝a5·q10－5，且a5≠0，
得a5＝q5，即a1q4＝q5，
又q≠0，∴a
1
＝q.

由2(a
n＋an＋2)＝5an＋1得，2an(1＋q2)＝5qan
，

∵an≠0，∴2(1＋q2)＝5q，
解得q＝12或q＝2.
∵a1＝q，且{an}为递增数列，

∴ a1＝2，q＝2.
∴an＝2·2n－1＝2n(n∈N*)．
反思感悟 (1)应用an＝amqn－m，可以凭借任意已知项和公比直接写出通项公式，不必再求a1.
(2)等比数列的单调性由a1，q共同确定，但只要单调，必有q>0.
跟踪训练1 已知等比数列{an}满足a1＝3，a1＋a3＋a5＝21，则a3＋a5＋a7等于( )
A．21 B．42 C．63 D．84
答案 B
解析 设等比数列{an}的公比为q，则由a1＝3，a1＋a3＋a5＝21得3(1＋q2＋q4)＝21，解得
q2＝－3(舍去)或q2＝2，于是a3＋a5＋a7＝q2(a1＋a3＋a5)＝2×21＝42，故选B.
题型二 等比数列的性质及其应用
例2 已知{an}为等比数列．
(1)若an>0，a2a4＋2a3a5＋a4a6＝25，求a3＋a5；
(2)若an>0，a5a6＝9，求log3a1＋log3a2＋…＋log3a10的值．
解 (1)a2a4＋2a3a5＋a4a6＝a23＋2a3a5＋a25
＝(a3＋a5)2＝25，
∵an>0，
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∴a3＋a5>0，
∴a3＋a5＝5.
(2)根据等比数列的性质，得
a5a6＝a1a10＝a2a9＝a3a8＝a4a7＝9，
∴a1a2…a9a10＝(a5a6)
5＝95
，
∴log3a1＋log3a2＋…＋log3a10
＝log
3(a1a2…a9a10
)

＝log395＝10.
反思感悟 抓住各项序号的数字特征，灵活运用等比数列的性质，可以顺利地解决问题．
跟踪训练2 设各项均为正的等比数列{an}满足a4a8＝3a7，则log3(a1a2…a9)等于( )
A．38 B．39 C．9 D．7
答案 C
解析 ∵a4·a8＝a5·a7＝3a7且a7≠0，∴a5＝3，
∴log3(a1a2…a9)＝log3a95＝log33
9
＝9.
题型三 由等比数列衍生的新数列
例3 已知各项均为正数的等比数列{an}中，a1a2a3＝5，a7a8a9＝10，则a4a5a6等于( )
A．42 B．6 C．7 D．52
答案 D
解析 ∵{an}为等比数列，
∴a1a2a3，a4a5a6，a7a8a9也成等比数列，
∴(a4a5a6)2＝(a1a2a3)(a7a8a9)
＝5×10，
又{a
n
}各项均为正数，

∴a4a5a6＝52.
反思感悟 借助新数列与原数列的关系，整体代换可以减少运算量．
跟踪训练3 等比数列{an}中，若a12＝4，a18＝8，求a36的值．
解 由等比数列的性质可知，a12，a18，a24，a30，a36成等比数列，且a18a12＝2，故a36＝4×2
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＝64.

等比数列的实际应用
典例 某人买了一辆价值13.5万元的新车，专家预测这种车每年按10%的速度贬值．
(1)用一个式子表示n(n∈N*)年后这辆车的价值．
(2)如果他打算用满4年时卖掉这辆车，他大概能得到多少钱？
解 (1)从第一年起，每年车的价值(万元)依次设为：a1，a2，a3，…，an，
由题意，得a1＝13.5，a2＝13.5(1－10%)，a3＝13.5(1－10%)2，….
由等比数列定义，知数列{a
n
}是等比数列，

首项a
1
＝13.5，公比q＝(1－10%)＝0.9，

∴an＝a1·qn－1＝13.5×(0.9)n－1.
∴n年后车的价值为an+1＝13.5×0.9
n
万元．
(2)由(1)得a5＝a1·q4＝13.5×0.94≈8.9(万元)，
∴用满4年时卖掉这辆车，大概能得到8.9万元．
[素养评析] (1)等比数列实际应用问题的关键是：建立数学模型即将实际问题转化成等比数
列的问题，解数学模型即解等比数列问题．
(2)发现和提出问题，建立和求解模型，是数学建模的核心素养的体现.
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1．在等比数列{an}中，若a2＝8，a5＝64，则公比q为( )
A．2 B．3 C．4 D．8
答案 A
解析 由a5＝a2q
3，得q3
＝8，所以q＝2.

2．等比数列{an}中，若a2a6＋a24＝π，则a3a5等于( )
A.π4 B.π3 C.π2 D.4π3
答案 C
解析 a2a6＝a24＝a3a5，∴a3a5＝π2.
3．已知等比数列{an}共有10项，其中奇数项之积为2，偶数项之积为64，则其公比是( )
A.32 B.2 C．2 D．22
答案 C
解析 奇数项之积为2，偶数项之积为64，得a1a3a5a7a9＝2，a2a4a6a8a10＝64，则
a2a4a6a8a
10

a1a3a5a7a
9

＝

q
5
＝32，则q＝2.
4．在1与2之间插入6个正数，使这8个数成等比数列，求插入的6个数的积的值．
解 设这8个数组成的等比数列为{an}，则a1＝1，a8＝2.
插入的6个数的积为a
2a3a4a5a6a7＝(a2a7)·(a3a6)·(a4a5
)

＝(a1a8)3＝23＝8.
5．已知an＝2n＋3n，判断数列{an}是不是等比数列？
解 不是等比数列．
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∵a1＝21＋31＝5，a2＝22＋32＝13，a3＝2
3＋33
＝35，
∴a1a3≠a22，∴数列{an}不是等比数列．

1．解题时，应该首先考虑通式通法，而不是花费大量时间找简便方法．
2．所谓通式通法，指应用通项公式，前n项和公式，等差中项，等比中项等列出方程(组)，
求出基本量．
3．巧用等比数列的性质，减少计算量，这一点在解题中也非常重要.