大圆航线

南京航空航天大学
本科实验报告
姓名
学号
专业
实验项目名称大圆航程计算
指导教师及职称
2015年3月
大圆航程计算实验
一、摘要
大圆航程计算实验，本实验主要描述了两地之间的飞行路线最短问题，可以找到最短的飞行路线，解决飞机航行问题。

本实验给出了大圆航程计算实验的matlab 实现，只要给出两地的经度及纬度，则可以计算出航点之间的距离，从而得出它们之间的最短飞行路线。

二、实验目的及要求
根据地球的模型，利用数学原理，找出一条两地的最短航线路程，给出matlab 程序的实现，用于计算求出任意两地之间最短的大圆航程问题。

三、实验仪器设备
计算机
四、实验方案设计
（一）原理描述
在半径为 R 的球面上给定两点 P1、P2，由 P1 到 P2长度最短的球面曲线称为大圆航程线。

大圆航程线在球心O 以及P1、P2所定平面上;大圆航程线位于过球心的平面与球面相交的大圆弧上。

大圆航程线长度计算公式 L = R ×α 其中,α 是OP1与OP2之间夹角(单位:弧度)
球心到P1(x1，y1，z1)和球心到P2(x2，y2，z2), 两向量所张成夹角的计算方法
经纬度转换为直角坐标公式
θ是P 点处球面法线和赤道面的夹角(–90度~ +90度).向北
αO 1P 2P αcos ||||2121OP OP OP OP ⋅=⋅2
1212121z z y y x x OP OP ++=⋅2212121cos R z z y y x x ++=α)arccos(2
212121R
z z y y x x ++=α
取正为北纬,向南取负为南纬. φ是P 点与地球自转轴所在平面与起始子午面的夹角(– 180度 ~ +180度).由起始子午线起算,向东取正为东经,向西取负为西经。

θ是P 点处球面法线和赤道面的夹角(– 90o ~ +90o).向北取正为北纬,向南取负为南纬. φ是P 点与地球自转轴所在平面与起始子午面的夹角(– 180o ~ +180o).由起始子午线起算,向东取正为东经,向西取负为西经。

x = R cosθ cosφ
y = R cosθ sinφ
z = R sinθ
（二）实验过程设计
step1：查询家乡所在地经纬度，北纬38度，东经102度，选择目的地为旧金山；
step2：用MATLAB 将两地的经纬度转换为直角坐标；
step3：编写MATLAB 程序求出距离；
step4：编写程序绘制地球和航线。

（三）实验假设条件
本实验的假设条件：两地之间的球面距离最短。

（即通过两地（点）及球心的的大圆中两地的弧长距离最短）
五、实验内容及步骤
（一）实验调试步骤
1、地球图形绘制：（必要的原理介绍和程序）
R=6400;
theta=(-9:1.5:9)*pi/18;
fai=(-18:1.5:18)*pi/18;
X=R*cos(theta)'*cos(fai);
Y=R*cos(theta)'*sin(fai);
Z=R*sin(theta)'*ones(size(fai));
colormap([0 0 0])
mesh(X,Y,Z)
}2
121,|),({πθππϕπθϕ≤≤-≤≤-=D
2、大圆航程计算问题的matlab实现（必要的原理介绍和程序）
p1=[38,102,0];
p2=[37,-123,0];
d=line0(p1,p2)
rou=6400+10;
theta=p1(1)*pi/180;
fai=p1(2)*pi/180;
x1=rou*cos(theta)*cos(fai);
y1=rou*cos(theta)*sin(fai);
z1=rou*sin(theta);
p1=[x1,y1,z1];
theta=p2(1)*pi/180;
fai=p2(2)*pi/180;
x2=rou*cos(theta)*cos(fai);
y2=rou*cos(theta)*sin(fai);
z2=rou*sin(theta);
p2=[x2,y2,z2];
【问题】从自己家乡飞往以下任一城市（北京—上海—东京—旧金山—纽约）的大圆航线。

航点纬度经度
北京北纬40o东经116o
上海北纬31o东经122 o
东京北纬36o东经140 o
旧金山北纬37o西经123 o
纽约北纬41o西经76o
3、球面上大圆航程图形绘制（必要的原理介绍和程序）
p=[p1;p2];n=2;r=norm(p1);
for k=1:7
q1=p(1:n-1,:); q2=p(2:n,:);
e=0.5*(q1+q2);
for j=1:n-1
e(j,:)=r*e(j,:)/norm(e(j,:));
end
n=2*n-1;
p(1:2:n,:)=p;
p(2:2:n-1,:)=e;
end
x1=p1(1);x=p(:,1);x2=p2(1);
y1=p1(2);y=p(:,2);y2=p2(2);
z1=p1(3);z=p(:,3);z2=p2(3);
plot3(x1,y1,z1,'r<',x2,y2,z2,'r>',x,y,z,'b','LineWidth',2)
d=r*acos(p1*p2'/r^2);
（二）实验调试过程中存在的问题及解决方法
1、在实验中存在以下问题
（1）在绘制航线时程序报错，提示plot3函数的参数有误；
2、解决问题的思路及办法
针对实验中遇到的问题，查看MATLAB中plot3函数的相关用法，发现之前输入的是p1[38,102],p2[37,-123],而实际上在此处应该输入的应该是一组坐标，将输入改为p1[38,102,0],p2[37,123,0]就可以得到正确的航线轨迹。

六、结果与讨论
d = 1.0547e+04
实验过程中存在计算及假设误差，以及对于实验结果中只能相对于输入城市
位置才能得到相应的飞行航程，即对于结果的要求操作过于繁琐，如果可以输入一个城市而能立即得出其他城市相应的飞行航程则对于实验来说更有有效意义。

通过对本实验的整体操作，运行。

使得我们学会了如何运用数学软件来解决现实生活中所存在的实际问题，同时对于实验的细节，我们也熟悉的掌握了数学软件的操作方式，对于图形的绘制，函数的运用，程序的汇编，以及简单问题的处理方法。

不过对于软件的性能及其他用途运用还比较生疏，以后多加操作练习，更好地掌握MATLAB这款数学软件。