高三同学看过来，弄清这些正余弦定理疑难点，便可打好大题第一战
正余弦定理知识点及题型归纳
正余弦定理是三角学中的重要知识点，用于解决与三角形相关的问题。
下面是对正余弦定理的知识点及题型归纳：一、正弦定理1. 定义：在任意三角形ABC中，设角A、B、C所对应的边分别为a、b、c，那么有sinA/a = sinB/b = sinC/c。
2. 性质：-等式两边同时乘以任意非零常数，等式仍然成立；-等式两边同时除以相同的角，等式仍然成立；-等式两边同时取反函数，等式仍然成立。
3. 应用：-已知三个角的度数，求边长；-已知两个边的长度，求第三个边的长度；-已知一个角和一条边的长度，求另外两个角的度数；-已知一个角和两条边的长度，求第三个角的度数。
二、余弦定理1. 定义：在任意三角形ABC中，设角A、B、C所对应的边分别为a、b、c，那么有cosA = (b ²+ c²- a²) / (2bc)。
2. 性质：-等式两边同时乘以任意非零常数，等式仍然成立；-等式两边同时除以相同的角，等式仍然成立；-等式两边同时取反函数，等式仍然成立。
3. 应用：-已知三个角的度数，求边长；-已知两个边的长度，求第三个边的长度；-已知一个角和一条边的长度，求另外两个角的度数；-已知一个角和两条边的长度，求第三个角的度数。
三、题型归纳1. 已知三个角的度数，求边长：-根据正弦定理或余弦定理，将已知的角度代入公式中，求解边长；-如果已知的是弧度制的角度，需要将其转换为角度制。
2. 已知两个边的长度，求第三个边的长度：-根据正弦定理或余弦定理，将已知的两个边的长度代入公式中，求解第三个边的长度；-如果已知的是弧度制的角度，需要将其转换为角度制。
3. 已知一个角和一条边的长度，求另外两个角的度数：-根据正弦定理或余弦定理，将已知的角度和边的长度代入公式中，求解另外两个角的度数；-如果已知的是弧度制的角度，需要将其转换为角度制。
4. 已知一个角和两条边的长度，求第三个角的度数：-根据正弦定理或余弦定理，将已知的角度和两条边的长度代入公式中，求解第三个角的度数；-如果已知的是弧度制的角度，需要将其转换为角度制。
正余弦定理知识点总结及高考考试题型
三角函数五——正、余弦定理一、知识点 （一）正弦定理：2,sin sin sin a b cR A B C===其中R 是三角形外接圆半径. 变形公式：（1）化边为角：2sin ,2sin ,2sin ;a R A b R B c R C ===a b c3sin B C4（（（解可 2、余弦定理可以解决的问题： （1）已知三边，求三个角；（解唯一）（2）已知两边和它们的夹角，求第三边和其他两个角；（解唯一）：（3）两边和其中一边对角，求另一边，进而可求其它的边和角.（解可能不唯一）三、正、余弦定理的应用射影定理：cos cos ,cos cos ,cos cos .a b C c B b a C c A c a B b A =+=+=+有关三角形内角的几个常用公式 解三角形常见的四种类型（1）已知两角,A B 与一边a ：由180A B C ++=︒及正弦定理sin sin sin a b cA B B==，可 求出C ∠，再求,b c 。
（2）已知两边,b c 与其夹角A ，由2222cos a b c bc A =+-，求出a ，再由余弦定理， 求出角,B C 。
（3）已知三边a b c 、、，由余弦定理可求出A B C ∠∠∠、、。
（4讲解 （知∆A ∠,A ．由a c ==,075C ∠=,所以030B ∠=,1sin 2B =由正弦定理得1sin 2sin 2a b B A =⋅==,故选A（2013·新课标Ⅰ高考文科·Ｔ10）已知锐角△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，02cos cos 232=+A A ，7=a ，c=6，则=b （ ） A.10B.9C.8D.5【解题指南】由02cos cos 232=+A A ，利用倍角公式求出A cos 的值，然后利用正弦定理或余弦定理求得b 的值.【解析】选D.因为02cos cos 232=+A A ，所以01cos 2cos 2322=-+A A ，解得251cos 2=A ， 方法一:因为△ABC 为锐角三角形，所以51cos =A ,562sin =A . 由正弦定理C cA a sin sin =得，C sin 65627=.6sin =C 所以sin =B5.方法二5∴sin 9、（)0C =，求边又1+即12cos 0A -=，2，又0°<A<180°，所以A ＝60°.在△ABC 中，由正弦定理sin sin a b A B =得sin 2sin 2b A B a ===， 又∵b a <，所以B ＜A ，B ＝45°，C ＝75°，∴BC 边上的高AD 752sin(4530)=+在锐角△ABC 中,内角A,B,C 的对边分别为a,b,c ,且 b.(1)求角A 的大小.(2)若a=6,b+c=8,求△ABC 的面积.【解题指南】(1)由正弦定理易求角A 的大小;(2)根据余弦定理,借助三角形的面积公式求解.【解析】(1)由及正弦定理sin sin a bA B=,得, 因为(2)b 2+c 26、（3,则c =.4、（2012福建文）在ABC ∆中,已知60,45,BAC ABC BC ∠=︒∠=︒=,则AC =_______.【解析】由正弦定理得sin 45AC AC =⇒=︒5、（2011北京）在ABC 中，若15,,sin 43b B A π=∠==，则a = .【答案】325 【解析】：由正弦定理得sin sin a b A B =又15,,sin 43b B A π=∠==所以5,13sin 34a a π==1、在△ABC 中，角,,A B C 的对边分别为,,abc ，3A π=,1a b ==，则c =（ ）A 、1B 、2 C1 D 、32、在△ABC 中，分别为的对边.如果成等差数列，30°，△ABC 的面 A 、3）75213 C D 4B π=，则___________________.3，＝60°AB 的长度等于13（20132012天津理）在ABC ∆中,内角A ,B ,C 所对的边分别是,,a b c ,已知8=5b c ,=2C B ,则cos C =(）A ．725B ．725-C ．725±D ．2425【答案】A【解析】85,b c =由正弦定理得8sin 5sin B C =，又2C B =，8sin 5sin 2B B ∴=，所以8sin 10sin cos B B B =，易知247sin 0,cos ,cos cos 22cos 1525B B C B B ≠∴===-=（2013·湖南高考文科·Ｔ5）在锐角∆ABC 中，角A ，B 所对的边长分别为a ，b. 若2asinB=3b ，则角A 等于（ ） A.3π B.4π C.6π D.12π【解题指南】本题先利用正弦定理B bA a sin sin =化简条件等式，注意条件“锐角三角形” .【解析】选A.由2asinB=3b 得2sinAsinB=3sinB,得sinA=23,所以锐角A=3π. （2013·湖南高考理科·Ｔ3）在锐角ABC ∆中，角,A B 所对的边长分别为,a b .若2sin ,a B A =则角等于A ．12π（2013 A . 3 5,=在△B 0=. (1)(2)若a 【解题指南】(1)借助三角形内角和为π，结合三角恒等变换将条件中的等式转化为只含B 的方程，求出B 的三角函数值，进而可求出角B.（2）根据（1）求出的B 与a c 1+=，由余弦定理可得b 2关于a 的函数，注意到a c 1+=可知0a 1<<，进而可求出b 的范围.【解析】（1）由已知得cos(A B)cos A cos B A cos B 0-++-=，即sin Asin B A cos B 0=.因为sin A 0≠，所以sin B B 0=,又cosB 0≠,所以tan B =,又0B <<π，所以B 3π=.（2）由余弦定理，有222b a c 2accos B =+-，因为a c 1+=，1cos B 2=,所以2211b 3(a )24=-+，又因为0a 1<<，所以21b 14≤<，即1b 12≤<.1sin BAM ∠=∠（2013·上海高考文科·T5）已知∆ABC 的内角A 、B 、C 所对的边分别是a 、b 、c.若a +ab+b 2-c 2=0，则角C 的大小是 .【解析】π32212- cos 0- 222222=⇒-=+=⇒=++C ab c b a C c b ab a 【答案】π32设ABC ∆的内角A ，B ，C 的对边分别为c b a ,,，ac c b a c b a =+-++))((（I ）求B ; （II ）若413sin sin -=C A ,求C . 【解题指南】（I ）由条件ac c b a c b a =+-++))((确定求B 应采用余弦定理. （II ）应用三角恒等变换求出C A +及C A -的值，列出方程组确定C 的值. 【解析】（I ）因为ac c b a c b a -=+-++))((.所以ac b c a -=-+222.222（II 221+=故-C A10、（（I c = 所以A （2012（1（2【解析】（1） 3(cos cos sin sin )16cos cos 3cos cos 3sin sin 13cos()11cos()3BC B C B C B C B C B C A π+-=⎧⎪-=-⎪⎪+=-⎨⎪⎪-=-⎪⎩ 则1cos 3A =. （2）由（1）得sin A =,由面积可得bc=6①,则根据余弦定理2222291cos 2123b c a b c A bc +-+-===则2213b c +=②, ①②两式联立可得32b a =⎧⎪⎨=⎪⎩或32a b =⎧⎪⎨=⎪⎩ 7、（2011全国）△ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c.己知sin csin sin sin a A C C b B +=.（I ）求B ； （Ⅱ）若75,2,A b ==a c 求，. 【解析】（I）由正弦定理得222a cb +=2222cos b a c ac B =+-cos 2B =45B =（II sin30=故6a +=60645c b ==1、∆C 的对边分别为 ）2 A A 、30° B 、30°或150° C 、60° D 、60°或120° 8、已知在△ABC 中,sin :sin :sin 3:2:4A B C =,那么cos C 的值为（ ）A 、14-B 、14C 、23- D 、2310、若△ABC 的内角，,,A B C 满足6sin 4sin 3sin A B C ==，则cos B =A B ．34C D ．111611、在ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分,,a b c ．若cos sin a A b B =，则2sin cos cos A A B +=A ．-12 B ．12C ． -1D ．112、已知在△ABC 中，10,a b A ===45°,则B = 。
正余弦定理重要知识点(经典)
正余弦定理重要知识点本张武林秘籍，乃武林之精髓所在，得此天书者，细细研习，来日方长，必成大器。
下星期一需要全部背住，不然你不知道我要出哪一招。
1、正弦定理：在C ∆AB 中，a 、b 、c 分别为角A 、B 、C 的对边，R 为C∆AB 的外接圆的半径，则有2sin sin sin a b c R C===A B （R 是三角形外接圆半径）． 2、正弦定理的变形公式：①2sin a R =A ，2sin b R =B ，2sin c R C =； ②sin 2a R A =，sin 2b R B =，sin 2c C R=； ③::sin :sin :sin a b c C =A B3、余弦定理：在C ∆AB 中，有2222cos a b c bc =+-A ，2222cos b a c ac =+-B ，2222cos c a b ab C =+-4、余弦定理的推论：222cos 2b c a bc +-A =，222cos 2a c b ac+-B =，222cos 2a b c C ab +-=． 5、三角形面积公式：111sin sin sin 222C S bc ab C ac ∆AB =A ==B 两边夹角的正弦值两边之积⨯⨯=∆21ABC S 高底⨯=∆21ABC S 6、①如果一个三角形两边的平方和等于第三边，那么第三边所对的角为直角； ②如果小于第三边的平方，那么第三边所对的角为钝角；③如果大于第三边的平方，那么第三边所对角为锐角。
（课本第6页右下角）例如a 、b 、c 是C ∆AB 的角A 、B 、C 的对边，则：①若①222a b c +=，则90C =；②若222a b c +<，则．︒︒<<18090C ，C 为钝角③若222a b c +>，则︒︒<<900C ；C 为锐角7、在三角形中一些重要的知识点；1.2.π=++C B A ,)0(,,π，∈C B A3.4.任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边。
正余弦定理知识点总结及高考考试题型
正余弦定理知识点总结及高考考试题型正余弦定理是初中数学中不可避免的知识点之一，也是高中数学中必须掌握的内容之一。
在实际应用中，正余弦定理有着广泛的应用，因此掌握正余弦定理在数学学习中是非常重要的。
本文将介绍正余弦定理的知识点及在高考考试中的应用。
一、正余弦定理的概念正余弦定理也叫余弦定理，是解题方法中的三角函数法。
它适用于求三角形的任意一边或角，无论是锐角三角形、直角三角形、钝角三角形都可以应用。
正余弦定理是指在一个三角形中，任意一边的平方等于另外两边的平方和与这两边对应的角的余弦值的积的两倍之差。
二、正余弦定理的公式设三角形ABC中，a、b、c是三角形的三边，A、B、C是三角形的三个内角，则正余弦定理的公式如下：①cosA=(b²+c²-a²)/2bc②cosB=(a²+c²-b²)/2ac③cosC=(a²+b²-c²)/2ab其中，a表示边BC对应的角，b表示边AC对应的角，c表示边AB对应的角。
三、正余弦定理的应用1、求任意三角形的边长求三角形的边长是初学者需要掌握的基本应用之一。
那么设一个三角形，已知除一边外的两边及夹角，用正余弦定理求另一边的长度。
例如：已知三角形ABC中，a=9，b=12，∠C=120°，求c。
解：根据正余弦定理中的公式③cosC=(a²+b²-c²)/2ab，可以推导出c²=a²+b²-2abcosC，代入数值：c²=9²+12²-2×9×12×cos120°。
cos120°=-0.5，所以c²=169，c=13。
因此，三角形ABC的边长c=13。
2、求三角形内的角度求出三角形的内角度量也是三角形解题的基本应用之一。
用正余弦定理解题时，需要掌握反三角函数的概念及应用。
高中数学知识点总结正弦定理与余弦定理
高中数学知识点总结正弦定理与余弦定理正弦定理与余弦定理是高中数学中的重要知识点，用于求解不规则三角形的边长和角度。
本文将对这两个定理进行详细总结与讲解。
一、正弦定理1.1 定义正弦定理是指在任意三角形中，三条边与其对应的角的正弦值之间的关系。
设三角形的三边分别为a、b、c，对应的角度为A、B、C，则正弦定理的表达式为：a/sinA = b/sinB = c/sinC1.2 推导我们通过利用三角形的面积公式S=1/2 * a * b * sinC，并将其转换为对角线的形式，可以得到正弦定理的推导过程。
1.3 应用正弦定理可以用于求解不规则三角形的边长和角度。
当我们已知三条边或者两条边和夹角时，可以利用正弦定理求解未知的边长或者角度。
二、余弦定理2.1 定义余弦定理是指在任意三角形中，三条边和它们对应的角之间的关系。
设三角形的三边分别为a、b、c，对应的角度为A、B、C，则余弦定理的表达式为：c^2 = a^2 + b^2 - 2ab * cosC2.2 推导我们可以通过利用向量的几何关系，将余弦定理的表达式推导出来。
这个过程较为繁琐，这里就不做详细讲解。
2.3 应用余弦定理可以用于求解不规则三角形的边长和角度。
当我们已知三条边或者两条边和夹角时，可以利用余弦定理求解未知的边长或者角度。
三、正弦定理与余弦定理的比较3.1 适用范围正弦定理适用于任意三角形，而余弦定理只适用于任意三角形，不能用于直角三角形。
3.2 计算难度正弦定理的计算相对简单，只需要记住一个公式，而余弦定理的计算稍复杂，需要使用开方和乘法等运算。
3.3 精度误差由于余弦定理中涉及到平方运算，可能会带来一定的误差，而正弦定理中没有涉及到平方运算，计算结果更加准确。
3.4 应用场景正弦定理在计算不规则三角形的边长和角度时较为常用，尤其适用于已知两边和夹角的情况。
而余弦定理在计算不规则三角形的边长和角度时同样常用，特别适用于已知三边的情况。
高考数学专项正余弦定理知识点及例题解析精讲
正、余弦定理掌握正弦定理、余弦定理，并能解决一些简单的三角形度量问题．请注意综合近两年的高考试卷可以看出：三角形中的三角函数问题已成为近几年的高考热点．不仅选择题中时有出现，而且解答题也经常出现，故这部分知识应引起充分的重视．正弦定理a sinA ＝b sinB ＝c sinC＝2R 其中2R 为△ABC 外接圆直径．变式：a ＝2RsinA ，b ＝2RsinB ，c ＝2RsinC ． a ∶b ∶c ＝sinA ∶sinB ∶sinC ．余弦定理a 2＝b 2＋c 2－2bccosA ；b 2＝a 2＋c 2－2accosB ； c 2＝a 2＋b 2－2abcosC ．变式：cosA ＝b 2＋c 2－a 22bc ；cosB ＝a 2＋c 2－b 22ac ；cosC ＝a 2＋b 2－c 22ab．sin 2A ＝sin 2B ＋sin 2C －2sinBsinCcosA.解三角形(1)已知三边a ，b ，c.运用余弦定理可求三角A ，B ，C. (2)已知两边a ，b 及夹角C. 运用余弦定理可求第三边c. (3)已知两边a ，b 及一边对角A. 先用正弦定理，求sinB ：sinB ＝bsinAa.①A 为锐角时，若a<bsinA ，无解；若a ＝bsinA ，一解；若bsinA<a<b ，两解；若a ≥b ，一解．②A 为直角或钝角时，若a ≤b ，无解；若a>b ，一解．(4)已知一边a 及两角A ，B(或B ，C)用正弦定理，先求出一边，后求另一边．三角形常用面积公式(1)S ＝12a·h a (h a表示a 边上的高)．(2)S ＝12absinC ＝12acsinB ＝12bcsinA ＝abc 4R .(3)S ＝12r(a ＋b ＋c)(r 为内切圆半径)．1．判断下列说法是否正确(打“√”或“×”)． (1)在△ABC 中，A>B 必有sinA>sinB.(2)在△ABC 中，若b 2＋c 2>a 2，则△ABC 为锐角三角形．(3)在△ABC 中，若A ＝60°，a ＝43，b ＝42，则∠B ＝45°或∠B ＝135°. (4)若满足条件C ＝60°，AB ＝3，BC ＝a 的△ABC 有两个，则实数a 的取值范围是(3，2)．(5)在△ABC 中，若acosB ＝bcosA ，则△ABC 是等腰三角形． (6)在△ABC 中，若tanA ＝a 2，tanB ＝b 2，则△ABC 是等腰三角形． 2．(教材习题改编)在△ABC 中，若a ＝2bsinA ，则B 等于( ) A ．30°或60° B ．45°或60° C ．60°或120° D ．30°或150°3．(2016·课标全国Ⅰ)△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知a ＝5，c ＝2，cosA ＝23，则b ＝( )A. 2B. 3 C ．2D ．34．(2017·课标全国Ⅱ，文)△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若2bcosB ＝acosC ＋ccosA ，则B ＝________．5．设△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c.若(a ＋b －c)(a ＋b ＋c)＝ab ，则角C ＝________．6．在△ABC 中，已知c ＝102，A ＝45°，在a 分别为20，102，2033，10和5的情况下，求相应的角C.题型一 利用正余弦定理解三角形(1)在△ABC 中，已知a ＝2，b ＝3，A ＝45°，求角B ，C 及边c.(2)在△ABC 中，sinA ∶sinB ∶sinC ＝4∶5∶6，则2acosAc＝________．(1)在已知三角形两边及其中一边的对角，求该三角形的其他边角的问题时，首先必须判明是否有解，(例如在△ABC 中，已知a ＝1，b ＝2，A ＝60°，则sinB ＝ba sinA ＝3>1，问题就无解)，如果有解，是一解，还是两解．(2)在三角形的判断中注意应用“大边对大角”来确定．思考题1 (1)(2017·课标全国Ⅲ，文)△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知C ＝60°，b ＝6，c ＝3，则A ＝________．(2)(2016·课标全国Ⅲ，理)在△ABC 中，B ＝π4，BC 边上的高等于13BC ，则cosA ＝( )A.31010B.1010C ．－1010D ．－31010题型二 正余弦定理的综合运用(1)(2017·课标全国Ⅰ，理)△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知△ABC 的面积为a 23sinA.①求sinBsinC ；②若6cosBcosC ＝1，a ＝3，求△ABC 的周长．(2)在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，已知A ＝π4，b 2－a 2＝12c 2.①求tanC 的值；②若△ABC 的面积为3，求b 的值．思考题2 (1)(2017·天津，理)在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知a>b ，a ＝5，c ＝6，sinB ＝35.①求b 和sinA 的值； ②求sin(2A ＋π4)的值．(2)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知A ＝π4，bsin(π4＋C)－csin(π4＋B)＝a.①求证：B －C ＝π2；②若a ＝2，求△ABC 的面积．题型三 判断三角形形状在△ABC 中，若b 2sin 2C ＋c 2sin 2B ＝2bccosB ·cosC ，试判断△ABC 的形状．★状元笔记★三角形形状的判定方法(1)通过正弦定理和余弦定理，化边为角(如a ＝2RsinA ，a 2＋b 2－c 2＝2abcosC 等)，利用三角变换得出三角形内角之间的关系进行判断．此时注意一些常见的三角等式所体现的内角关系，如sinA ＝sinB ⇔A ＝B ；sin(A －B)＝0⇔A ＝B ；sin2A ＝sin2B ⇔A ＝B 或A ＋B ＝π2等．(2)注意无论是化边还是化角，在化简过程中出现公因式不要约掉，否则会有漏掉一种形状的可能．思考题3 在△ABC 中，a ，b ，c 分别表示三个内角A ，B ，C 的对边，如果(a 2＋b 2)sin(A －B)＝(a 2－b 2)·sin(A ＋B)，判断△ABC 的形状．题型四 解三角形(2018·皖南八校联考)如图，在四边形ABCD中，已知AB ⊥AD ，∠ABC ＝120°，∠ACD ＝60°，AD ＝27，设∠ACB ＝θ，点C 到AD 的距离为h.(1)用θ表示h 的解析式；(2)求AB ＋BC 最大值．思考题4 如图，在△ABC 中，∠ABC ＝90°，AB ＝3，BC ＝1，P 为△ABC 内一点，∠BPC ＝90°.(1)若PB ＝12，求PA ；(2)若∠APB ＝150°，求tan ∠PBA.1．根据所给条件确定三角形的形状，主要有两种途径：①化边为角，②化角为边；并常用正弦(余弦)定理实施边、角转换．2．用正弦(余弦)定理解三角形问题时可适当应用向量数量积求三角形内角与应用向量的模求三角形边长等．3．在判断三角形形状或解斜三角形时，一定要注意解是否唯一，并注重挖掘隐含条件．如： (1)A ＋B ＋C ＝π.(2)在三角形中大边对大角，反之亦然．(3)任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边． (4)在△ABC 中，A ，B ，C 成等差数列的充要条件是B ＝60°.作业(二十六)(第一次作业)1．(2018·安徽马鞍山一模)△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c.已知a ＝3，b ＝2，A ＝60°，则c ＝( ) A.12B ．1C. 3 D ．22．(2018·山西五校联考)在△ABC 中，a ＝3b ，A ＝120°，则角B 的大小为( ) A ．30° B ．45° C ．60°D ．90°3．(2018·陕西西安一中期中)在△ABC 中，sin 2A ≤sin 2B ＋sin 2C －sinBsinC ，则A 的取值范围是( ) A ．(0，π6]B ．[π6，π)C ．(0，π3]D ．[π3，π)4．(2018·广东惠州三调)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，已知b ＝2，c ＝22，且C ＝π4，则△ABC 的面积为( )A.3＋1B.3－1 C ．4D ．25．(2018·东北八校联考)已知△ABC 三边a ，b ，c 上的高分别为12，22，1，则cosA ＝( )A.32B ．－22C ．－24D ．－346．(2016·山东)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，已知b ＝c ，a 2＝2b 2(1－sinA)．则A ＝( ) A.3π4 B.π3 C.π4D.π67．(2014·江西，文)在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，若3a ＝2b ，则2sin 2B －sin 2Asin 2A 的值为( )A ．－19B.13 C ．1D.728．(2018·安徽合肥检测)在锐角三角形ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且满足(a －b)(sinA ＋sinB)＝(c －b)sinC.若a ＝3，则b 2＋c 2的取值范围是( )A ．(3，6]B ．(3，5)C ．(5，6]D ．[5，6]9．在△ABC 中，若AB ＝3，AC ＝1，B ＝30°，则△ABC 的面积为________． 10．(2018·河南信阳调研)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，设S 为△ABC 的面积，S ＝34(a 2＋b 2－c 2)，则C 的大小为________． 11．(2017·甘肃定西统考)在△ABC 中，若a 2b 2＝tanAtanB ，则△ABC 的形状为________．12．(2018·河北唐山一模)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边a ，b ，c 成等差数列，且A －C ＝90°，则cosB ＝________．13．(2018·广东揭阳一模)在△ABC 中，∠B ＝π6，AC ＝1，点D 在边AB 上，且DA ＝DC ，BD ＝1，则∠DCA ＝________．14．(2017·北京，理)在△ABC 中，∠A ＝60°，c ＝37a.(1)求sinC 的值；(2)若a ＝7，求△ABC 的面积．15．(2018·河南豫南九校质量考评)已知在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若a 2＋b 2－c 2a 2＋c 2－b 2＝2sinA －sinC sinC ，且b ＝4.(1)求角B ；(2)求△ABC 面积的最大值．16．(2017·课标全国Ⅱ)△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知sin(A ＋C)＝8sin 2B2.(1)求cosB ；(2)若a ＋c ＝6，△ABC 的面积为2，求b.17．(2018·福建高中毕业班质检)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，2bcosC(1)求B的大小；(2)若a＝3，且AC边上的中线长为192，求c的值．18．(2018·衡水中学调研卷)设△ABC的内角A，B，C所对边的长分别为a，b，c，且有2sinBcosA ＝sinAcosC＋cosAsinC.(1)求角A的大小；(2)若b＝2，c＝1，D为BC的中点，求AD的长．(第二次作业)1．(2015·广东，文)设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.若a＝2，c＝23，cosA＝32且b<c，则b＝()A．3 B．2 2C．2 D. 32．在△ABC中，AC＝7，BC＝2，B＝60°，则BC边上的高等于()A.32 B.332C.3＋62 D.3＋3943．(2018·北京西城期末)已知△ABC中，a＝1，b＝2，B＝45°，则A等于() A．150°B．90°C．60°D．30°4．(2018·安徽合肥模拟)在△ABC中，A＝60°，AB＝2，且△ABC的面积为32，则BC的A.32B. 3 C ．2 3D ．25．在△ABC 中，三边长a ，b ，c 满足a 3＋b 3＝c 3，那么△ABC 的形状为( ) A ．锐角三角形 B ．钝角三角形 C ．直角三角形D ．以上均有可能6．(2016·北京)在△ABC 中，∠A ＝2π3，a ＝3c ，则bc＝________．7．已知△ABC 中，∠A ，∠B ，∠C 的对边分别为a ，b ，c ，若a ＝1，2cosC ＋c ＝2b ，则△ABC 周长取值范围是________．8．(2015·广东，理)设△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c.若a ＝3，sinB ＝12，C ＝π6，则b ＝________．9．(2018·湖北黄冈中学、黄石二中、鄂州高中三校联考)已知△ABC 的三内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，向量m ＝(sinB ，1－cosB)与向量n ＝(2，0)的夹角θ的余弦值为12.(1)求角B 的大小；(2)若b ＝3，求a ＋c 的取值范围．10.如图所示，在△ABC 中，∠B ＝π3，AB ＝8，点D 在BC 边上，且CD ＝2，cos ∠ADC ＝17.(1)求sin ∠BAD ； (2)求BD ，AC 的长．11.如图，在等腰直角△OPQ 中，∠POQ ＝90°，OP ＝22，点M 在线段PQ 上．(1)若OM ＝5，求PM 的长；(2)若点N 在线段MQ 上，且∠MON ＝30°，问：当∠POM 取何值时，△OMN 的面积最小？并求出面积的最小值．12．(2017·课标全国Ⅲ，理)△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知sinA ＋3cosA ＝0，a ＝27，b ＝2. (1)求c ；(2)设D 为BC 边上一点，且AD ⊥AC ，求△ABD 的面积．13．(2017·山东，文)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知b ＝3，AB →·AC →＝－6，S △ABC ＝3，求A 和a.14．(2017·天津，文)在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知asinA ＝4bsinB ，ac ＝5(a 2－b 2－c 2)． (1)求cosA 的值； (2)求sin(2B －A)的值．1．(2018·上海杨浦质量调研)设锐角△ABC 的三内角A ，B ，C 所对边的边长分别为a ，b ，c ，且a ＝1，B ＝2A ，则b 的取值范围为( ) A ．(2，3) B ．(1，3) C ．(2，2)D ．(0，2)2．已知△ABC ，a ＝5，b ＝15，∠A ＝30°，则c ＝( )A．2 5 B. 5C．25或 5 D．均不正确3．(2015·课标全国Ⅰ，理)在平面四边形ABCD中，∠A＝∠B＝∠C＝75°，BC＝2，则AB的取值范围是________．4．(2017·西安五校模拟)M为等边△ABC内一动点，且∠CMB＝120°，则AMMC的最小值为________．5．(2015·安徽，文)在△ABC中，AB＝6，∠A＝75°，∠B＝45°，则AC＝________．。
超实用高考数学重难点专题复习：正弦定理和余弦定理
4．用余弦定理判断三角形的形状 在△ABC 中，a，b，c 分别为角 A，B，C 的对边，当 b2＋c2 －a2>0 时，可知 A 为锐角；当 b2＋c2－a2＝0 时，可知 A 为直 角；当 b2＋c2－a2<0 时，可知 A 为钝角．
3.口诀第3、4句在△ABC 中，角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，
c，已知 sin2B＋sin2C＝sin2A＋sin Bsin C.
(2)若 cos B＝13，a＝3，求 c 的值． 解：由(1)可知 sin A＝ 23，
因为 cos B＝13，B 为△ABC 的内角，所以 sin B＝232，
又 sin(B＋C)＝sin A，得 sin A＝1，
即 A＝π2，因此△ABC 是直角三角形．
法二：因为 bcos C＋ccos B＝b·a2＋2ba2b－c2＋c·a2＋2ca2c－b2＝
22aa2＝a，所以 asin A＝a，即 sin A＝1，故 A＝π2，因此△ABC
是直角三角形．
[答案] B
2× 2
2 2 ＝12，
又 0＜C＜π4，所以 C＝π6.
答案：B
3.口诀第3、4句在△ABC 中，角 A，B，C 所对的边分别为 a，b， c，已知 sin2B＋sin2C＝sin2A＋sin Bsin C. (1)求角 A 的大小； 解：由正弦定理可得 b2＋c2＝a2＋bc， 由余弦定理得 cos A＝b2＋2cb2c－a2＝12， 因为 A∈(0，π)，所以 A＝π3.
(2)由正弦定理可得
c2－c－b a＝sin
正弦定理余弦定理知识点总结及最全证明
正弦定理余弦定理知识点总结及最全证明正弦定理概述：正弦定理是三角形的一个重要定理，它描述了三角形中各边与其相对的正弦值之间的关系。
正弦定理可以用于求解任意三角形的边长或角度。
正弦定理表达式：在一个三角形ABC中，有以下正弦定理的表达式：a/sin(A) = b/sin(B) = c/sin(C)其中，a、b、c分别表示三角形的边长，A、B、C表示三角形的角度。
正弦定理表明，三角形的任意一边的长度与这条边相对的角的正弦值成正比。
正弦定理的证明：可以使用数学推导来证明正弦定理。
这里给出一种较为详细的证明方法。
证明：1. 通过三角形的边长关系：a = b * sin(A) / sin(B)和c = b *sin(C) / sin(B)，可得到以下关系式：a * sin(B) = b * sin(A)和c * sin(B) = b * sin(C)2.利用向量叉积原理知识，假设D为线段BC上的一点，则由向量的垂直性知：向量BD与向量AD是垂直的，向量CD与向量AD是垂直的。
3. 记向量AD为向量a，向量BD为向量b，向量CD为向量c，由向量b与向量a的垂直性可得：向量b·向量a = ，b， * ，a， *sin(∠BA) = b * AD * sin(∠BA)。
4. 同理，由向量c与向量a的垂直性可得：向量c·向量a = ，c，* ，a，* sin(∠CA) = c * AD * sin(∠CA)。
5. 因为∠C + ∠A = ∠BA，即∠CA + ∠BA = 180°，所以sin(∠BA) = sin(∠CA)。
所以有b * AD * sin(∠BA) = c * AD *sin(∠CA)。
6. 即有b * AD * sin(∠BA) = c * AD * sin(∠BA)，那么b = c，所以定理得证。
余弦定理概述：余弦定理是三角形的另一个重要定理，它描述了三角形中各边与其相对的角之间的关系。
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高三同学看过来，弄清这些正余弦定理疑难点，便可打好大题
第一战
各位同学，上一期叶老师讲解了三角恒等变换的有关知识点
《高三同学要注意，背诵三角恒等公式还不够，承上启下作用要突出》大家有空可以再回顾一下，加深印象。
今天叶老师将按照考纲顺序，继续为大家讲解正余弦定理的有关知识，希望对大家能够有所帮助。
作者简介：叶老师，笔名“动人定理”，
专职教师，数学学科研究员，目前担任机构数
学教研组组长及学生学业规划师。
曾供职合作
于多家上市教育公司，对中高考数学考点有着
深入认知与理解。
拥有超过10000小时的高
三毕业班学生一对一辅导经验。
正余弦定理
导读
本讲是高考必考的点，说陌生它也不陌生，因为它与前面大家所学的三角函数三角恒等变化联系得非常紧密，从这两年全国卷中，可以发现正余弦定理一般在大题的第一题以及选择题前八题中出现，属于较为基础的内容，因此我希望大家在复习正余弦定理的时候能够结合前面的三角函数与三角恒等变化一起复习，这样效率更高。
另外叶老师今天将把这章节的内容分为：“知识点回顾”以及“常见考法所对应的疑难点”这两个方面进行讲解。
一、正余弦定理知识点回顾
我们一起先来回顾一下与正余弦定理有关的知识点：
1.正弦定理及其变形结论
正弦定理
PS:在等号左右两边都有边有角的情况下，可以利用正弦定理实现
“边化角”或者“角化边”的化简，从而更好地解题。
2.余弦定理及变形结论
余弦定理
PS:余弦定理最大的功能是“知边求角”大家可以好好利用下。
3.三角形面积公式
面积公式
PS:第二种求面积的方法最为常用，我们常常将此公式与余弦定理配合进行解题。
二、正余弦定理常见的考法类型及其所对应的疑难点
正余弦定理作为高考必考的内容，自然有很多考法以及疑难点，下面叶老师就来为大家具体盘点一下正余弦定理常见的考法类型及其所对应的疑难点：
1.利用正余弦定理解三角形
以叶老师的经验来看，对于这个考点学生所表现出来的问题主要有两个：
①弄不清何时“边化角”何时“角化边”。
②对于正余弦定理的配合使用存在疑惑，不知如何配合
现在我们先来解决第一个小问题：何时边化角何时角化边
下面叶老师将分别以一道适合于边化角以及一道适合角化边的题目向大家说明并解决这个问题
•我们先来看一道适合边化角的题目：
边化角
分析：看题目所给的条件中，“cos”比较多，如果采用角化边的方法去解题的话，势必会出现边的平方以及边的两倍积，增加计算的难度。
因此我们采用边化角的方法，再结合三角恒等变换的公式去做或许有一线生机。
下面请看具体解析过程：
解析过程
小结：从这道题中我们可以看出：
①如果题目条件式中出现两个以上关于cos的表达式的话，我们优先考虑边化角，然后结合两角和差以及诱导公式求解
②做题时注意“三角形内角和为180°”以及“大边对大角”这两个限制
•我们再来看一道适合角化边的题目：
角化边
分析：本题条件中给的很多都是sin的表达式，如果考虑边化角的话，势必会出现很多sin^2的表达式，从而要不断地使用降幂公式去化简，最后陷入死循环中。
因此我们优先考虑角化边，然后再结合余弦定理去求解，或许有一线生机。
下面请看具体解析过程：
解析过程
小结：从本题中我们可以看出：题目条件所给式子中如果sin的表达式较多的话，可以考虑使用角化边的化简方法，然后结合余弦定理去求解。
我们接下去来解决第二个小问题：如何在做题中配合使用正余弦定理
下面照例叶老师还是以一道题目来说明一下如何在做题中配合使用正余弦定理：
例题
分析：一般情况下，正余弦定理的配合使用一般用于三角大题的第二小问，叶老师认为同学们要想准确地配合使用正余弦定理解题的话，就必须准确地画出题中所给三角形的样子，然后逐步分析。
下面请看具体解析：
解析
小结：要想准确地做到正余弦定理的配合使用，还得根据题目的三角形进行分析，不过一般情况下当题目中告知三角形的两边和其中一边的对角或夹角时解三角形既可用正弦定理，也可用余弦定理”.因此同学们不要太过于纠结是使用余弦定理还是正弦定理，做题做多了，自会判断不过值得注意的是：在使用正弦定理时，需判断其解的个数；
在使用余弦定理时，得根据一元二次方程根的情况判断解的个数.
2.三角形的多解问题
对于此类问题学生最大的困扰便是：当算出角度的正弦或者余弦值的时候，不知道如何取舍。
下面照例叶老师将通过一道题目向大家说明一下这个问题：
例题
分析：本题同学们可先利用正弦定理表示出x,进而根据B=45°可知A+C的值,进而可推断出若有两解,则A有两个值,先看A≤45°时推断出A的补角大于135°,与”三角形内角和为180°”矛盾,进而可知A的范围,同时若A为直角,也不符合条件,进而根据A的范围确定sinA的范围,进而利用x的表达式,求得x的范围。
下面来看一下具体的解析过程：
解析过程
小结：对于三角形解个数的判断问题，叶老师认为同学们不必去记书本死上那些三角形解的个数的繁杂图形。
只需画出y=sinx 的图像，把图中的角度以及它们的对称点都表达到图像上，利用三角函数的对称性并结合三角形内角和定理去判断即可，这样更加直观。
PS:同学们没事也可以推导一下这些复杂的图：这样既可以提升自己做证明题的能力，也可以在考试中做好两手准备，为自己多加一个保险。
解的个数判断
3.正余弦定理与最值问题的结合
根据叶老师的经验，同学们对于此类问题主要存在的疑问是：即使知道要结合基本不等式求最值，他们也弄不清楚求最大值或者是最小值需要进行怎样的变形。
下面照例叶老师将通过一道题目向大家说明一下这个问题：
例题
分析：本题的第二问便涉及到了最值问题，此时同学们可以先将
△ABC的周长的表达式表达出来：C=a+b+c.观察到c已知，因此只要求出“a+b”的最大值即可。
求a+b的最值，首先想到基本不等式，而且在第一问中已经求出了角C的大小，便可使用余弦定理构造出两倍积和平方和，这样就可以结合基本不等式求得最值。
下面来看一下具体的解析过程：
解析过程
小结：在正余弦定理的题目中涉及到最值问题的话，我们通常结合基本不等式进行求解。
不过我们经常在解题过程中会发现：当要求a+b的最大值或者说求ab的最小值时，不能够直接套用基本不等式，此时还需要将它们利用完全平方公式变形才行。
切不可硬搬硬套基本不等式。
总结：正余弦定理在高考中常以大题的第一小题出现，难度不会太大，因此同学们切莫将正余弦定理想得太复杂，只要按常理出牌，并且认真结合三角函数与三角恒等变换去复习即可。