高三数学总复习 正弦定理和余弦定理教案
高三高考数学复习课件4-6正弦定理余弦定理
题型一 利用正弦定理、余弦定理解三角形
【例 1】 (1)在△ABC 中，已知 a＝2，b＝ 6，A＝45°，
则满足条件的三角形有( )
A．1 个
B．2 个
C．0 个
D．无法确定
(2)在△ABC 中，已知 sin A∶sin B＝ 2∶1，c2＝b2＋ 2bc， 则三内角 A，B，C 的度数依次是________．
π A＝ 3 .
由题意得21bcsin A＝3sain2 A，a＝3，所以 bc＝8. 由余弦定理得 b2＋c2－bc＝9， 即(b＋c)2－3bc＝9.由 bc＝8，得 b＋c＝ 33. 故△ABC 的周长为 3＋ 33.
【思维升华】 (1)对于面积公式 S＝21absin C＝21acsin B＝12 bcsin A，一般是已知哪一个角就使用哪一个公式．
π 又 0<B<π，∴B＝ 3 . (2)因为 a＝2，c＝ 2， 所以由正弦定理可知，sin2 A＝sin2C， 故 sin A＝ 2sin C.
又B＝π－(A＋C)， 故sin B＋sin A(sin C－cos C) ＝sin(A＋C)＋sin Asin C－sin Acos C ＝sin Acos C＋cos Asin C＋sin Asin C－sin Acos C ＝(sin A＋cos A)sin C ＝0. 又C为△ABC的内角， 故sin C≠0， 则sin A＋cos A＝0，即tan A＝－1.
又 A∈(0，π)，所以 A＝3π 4 .
从而
sin
C＝
1 2sin
A＝
22×
22＝12.
由 A＝3π 4 知 C 为锐角，故 C＝π6 .
故选 B.
π 【答案】 (1) 3 (2)B
高三数学大一轮复习 4.6正弦定理和余弦定理教案 理 新人教A版
§4.6 正弦定理和余弦定理2014高考会这样考 1.考查正弦定理、余弦定理的推导；2.利用正、余弦定理判断三角形的形状和解三角形；3.在解答题中对正弦定理、余弦定理、面积公式以及三角函数中恒等变换、诱导公式等知识点进行综合考查． 复习备考要这样做 1.理解正弦定理、余弦定理的意义和作用；2.通过正弦、余弦定理实现三角形中的边角转换，和三角函数性质相结合．1． 正弦定理：a sin A ＝b sin B ＝csin C＝2R ，其中R 是三角形外接圆的半径．由正弦定理可以变形：(1)a ∶b ∶c ＝sin_A ∶sin _B ∶sin _C ；(2)a ＝2R sin_A ，b ＝2R sin_B ，c ＝2R sin_C ；(3)sin A ＝a 2R ，sin B ＝b 2R ，sin C ＝c 2R 等形式，以解决不同的三角形问题．2． 余弦定理：a 2＝b 2＋c 2－2bc cos_A ，b 2＝a 2＋c 2－2ac cos_B ，c 2＝a 2＋b 2－2ab cos_C ．余弦定理可以变形：cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ，cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ，cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab. 3． S △ABC ＝12ab sin C ＝12bc sin A ＝12ac sin B ＝abc 4R ＝12(a ＋b ＋c )·r (r 是三角形内切圆的半径)，并可由此计算R 、r .4． 在△ABC 中，已知a 、b 和A 时，解的情况如下： A 为锐角 A 为钝角或直角图形关系式a ＝b sin A b sin A <a <b a ≥b a >b 解的个数 一解 两解 一解 一解1． 在三角形中，大角对大边，大边对大角；大角的正弦值也较大，正弦值较大的角也较大，即在△ABC 中，A >B ⇔a >b ⇔sin A >sin B .2． 根据所给条件确定三角形的形状，主要有两种途径： (1)化边为角；(2)化角为边，并常用正弦(余弦)定理实施边、角转换．1． 在△ABC 中，若A ＝60°，a ＝3，则a ＋b ＋c sin A ＋sin B ＋sin C＝________.答案 2解析 由正弦定理及等比性质知a sin A ＝b sin B ＝csin C ＝a ＋b ＋c sin A ＋sin B ＋sin C ＝2R ， 而由A ＝60°，a ＝3， 得a ＋b ＋c sin A ＋sin B ＋sin C ＝2R ＝a sin A ＝3sin 60°＝2. 2． (2012·福建)已知△ABC 的三边长成公比为2的等比数列，则其最大角的余弦值为________．答案 －24解析 设三角形的三边长从小到大依次为a ，b ，c ，由题意得b ＝2a ，c ＝2a .在△ABC 中，由余弦定理得cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝a 2＋2a 2－4a 22×a ×2a＝－24. 3． (2012·重庆)设△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且cos A ＝35，cos B ＝513，b ＝3，则c ＝________. 答案 145解析 在△ABC 中，∵cos A ＝35>0，∴sin A ＝45. ∵cos B ＝513>0，∴sin B ＝1213. ∴sin C ＝sin[π－(A ＋B )]＝sin(A ＋B ) ＝sin A cos B ＋cos A sin B＝45×513＋35×1213＝5665. 由正弦定理知b sin B ＝csin C， ∴c ＝b sin C sin B ＝3×56651213＝145. 4． (2011·课标全国)在△ABC 中，B ＝60°，AC ＝3，则AB ＋2BC 的最大值为________．答案 27解析 由正弦定理知AB sin C ＝3sin 60°＝BC sin A ， ∴AB ＝2sin C ，BC ＝2sin A .又A ＋C ＝120°，∴AB ＋2BC ＝2sin C ＋4sin(120°－C ) ＝2(sin C ＋2sin 120°cos C －2cos 120°sin C )＝2(sin C ＋3cos C ＋sin C )＝2(2sin C ＋3cos C )＝27sin(C ＋α)，其中tan α＝32，α是第一象限角， 由于0°＜C ＜120°，且α是第一象限角，因此AB ＋2BC 有最大值27.5． 已知圆的半径为4，a 、b 、c 为该圆的内接三角形的三边，若abc ＝162，则三角形的面积为( )A ．2 2B ．8 2 C. 2 D.22 答案 C解析 ∵a sin A ＝b sin B ＝c sin C ＝2R ＝8，∴sin C ＝c8， ∴S △ABC ＝12ab sin C ＝116abc ＝116×162＝ 2. 题型一 利用正弦定理解三角形例1 在△ABC 中，a ＝3，b ＝2，B ＝45°.求角A 、C 和边c . 思维启迪：已知两边及一边对角或已知两角及一边，可利用正弦定理解这个三角形，但要注意解的个数的判断．解 由正弦定理得a sin A ＝b sin B ，3sin A ＝2sin 45°， ∴sin A ＝32. ∵a >b ，∴A ＝60°或A ＝120°. 当A ＝60°时，C ＝180°－45°－60°＝75°，c ＝b sin C sin B＝6＋22； 当A ＝120°时，C ＝180°－45°－120°＝15°，c ＝b sin C sin B ＝6－22. 探究提高 (1)已知两角及一边可求第三角，解这样的三角形只需直接用正弦定理代入求解即可．(2)已知两边和一边对角，解三角形时，利用正弦定理求另一边的对角时要注意讨论该角，这是解题的难点，应引起注意．已知a ，b ，c 分别是△ABC 的三个内角A ，B ，C 所对的边，若a ＝1，b ＝3，A ＋C ＝2B ，则角A 的大小为___________．答案 π6解析 ∵A ＋C ＝2B 且A ＋B ＋C ＝π，∴B ＝π3. 由正弦定理知：sin A ＝a sin B b ＝12， 又a <b ，∴A <B ，∴A ＝π6. 题型二 利用余弦定理求解三角形例2 在△ABC 中，a 、b 、c 分别是角A 、B 、C 的对边，且cos B cos C＝－b 2a ＋c. (1)求角B 的大小；(2)若b ＝13，a ＋c ＝4，求△ABC 的面积．思维启迪：由cos B cos C ＝－b 2a ＋c，利用余弦定理转化为边的关系求解．解 (1)由余弦定理知：cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ，cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab. 将上式代入cos B cos C ＝－b 2a ＋c得： a 2＋c 2－b 22ac ·2ab a 2＋b 2－c 2＝－b 2a ＋c， 整理得：a 2＋c 2－b 2＝－ac . ∴cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝－ac 2ac ＝－12. ∵0<B <π，∴B ＝23π. (2)将b ＝13，a ＋c ＝4，B ＝23π代入b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ， 得b 2＝(a ＋c )2－2ac －2ac cos B ，∴13＝16－2ac ⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12，∴ac ＝3. ∴S △ABC ＝12ac sin B ＝334.探究提高 (1)根据所给等式的结构特点利用余弦定理将角化边进行变形是迅速解答本题的关键．(2)熟练运用余弦定理及其推论，同时还要注意整体思想、方程思想在解题过程中的运用．已知A ，B ，C 为△ABC 的三个内角，其所对的边分别为a ，b ，c ，且2cos 2A 2＋cos A ＝0. (1)求角A 的值；(2)若a ＝23，b ＋c ＝4，求△ABC 的面积．解 (1)由2cos 2A 2＋cos A ＝0， 得1＋cos A ＋cos A ＝0，即cos A ＝－12， ∵0<A <π，∴A ＝2π3. (2)由余弦定理得，a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，A ＝2π3，则a 2＝(b ＋c )2－bc ，又a ＝23，b ＋c ＝4， 有12＝42－bc ，则bc ＝4，故S △ABC ＝12bc sin A ＝ 3. 题型三 正弦定理、余弦定理的综合应用例3 (2012·课标全国)已知a ，b ，c 分别为△ABC 三个内角A ，B ，C 的对边，a cos C ＋3a sin C －b －c ＝0.(1)求A ；(2)若a ＝2，△ABC 的面积为3，求b ，c .思维启迪：利用正弦定理将边转化为角，再利用和差公式可求出A ；面积公式和余弦定理相结合，可求出b ，c .解 (1)由a cos C ＋3a sin C －b －c ＝0及正弦定理得sin A cos C ＋3sin A sin C －sin B －sin C ＝0.因为B ＝π－A －C ， 所以3sin A sin C －cos A sin C －sin C ＝0.由于sin C ≠0，所以sin ⎝⎛⎭⎪⎫A －π6＝12. 又0<A <π，故A ＝π3. (2)△ABC 的面积S ＝12bc sin A ＝3，故bc ＝4. 而a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，故b 2＋c 2＝8.解得b ＝c ＝2.探究提高 在已知关系式中，若既含有边又含有角．通常的思路是将角都化成边或将边都化成角，再结合正、余弦定理即可求角．在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边长分别是a ，b ，c .(1)若c ＝2，C ＝π3，且△ABC 的面积为3，求a ，b 的值； (2)若sin C ＋sin(B －A )＝sin 2A ，试判断△ABC 的形状．解 (1)∵c ＝2，C ＝π3， ∴由余弦定理c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C 得a 2＋b 2－ab ＝4.又∵△ABC 的面积为3，∴12ab sin C ＝3，ab ＝4. 联立方程组⎩⎪⎨⎪⎧ a 2＋b 2－ab ＝4，ab ＝4，解得a ＝2，b ＝2.(2)由sin C ＋sin(B －A )＝sin 2A ，得sin(A ＋B )＋sin(B －A )＝2sin A cos A ，即2sin B cos A ＝2sin A cos A ，∴cos A ·(sin A －sin B )＝0，∴cos A ＝0或sin A －sin B ＝0，当cos A ＝0时，∵0<A <π，∴A ＝π2，△ABC 为直角三角形； 当sin A －sin B ＝0时，得sin B ＝sin A ，由正弦定理得a ＝b ，即△ABC 为等腰三角形．∴△ABC 为等腰三角形或直角三角形．高考中的解三角形问题典例：(12分)(2012·辽宁)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .角A ，B ，C 成等差数列．(1)求cos B 的值；(2)边a ，b ，c 成等比数列，求sin A sin C 的值．考点分析 本题考查三角形的性质和正弦定理、余弦定理，考查转化能力和运算求解能力．解题策略 根据三角形内角和定理可直接求得B ；利用正弦定理或余弦定理转化到只含角或只含边的式子，然后求解．规范解答解 (1)由已知2B ＝A ＋C ，A ＋B ＋C ＝180°，解得B ＝60°，所以cos B ＝12.[4分] (2)方法一 由已知b 2＝ac ，及cos B ＝12， 根据正弦定理得sin 2B ＝sin A sinC ，[8分]所以sin A sin C ＝1－cos 2B ＝34.[12分] 方法二 由已知b 2＝ac ，及cos B ＝12， 根据余弦定理得cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝a 2＋c 2－ac 2ac ＝12， 解得a ＝c ，[8分]所以A ＝C ＝B ＝60°，故sin A sin C ＝34.[12分] 解后反思 (1)在解三角形的有关问题中，对所给的边角关系式一般要先化为只含边之间的关系或只含角之间的关系，再进行判断．(2)在求解时要根据式子的结构特征判断使用哪个定理以及变形的方向.方法与技巧1． 应熟练掌握和运用内角和定理：A ＋B ＋C ＝π，A 2＋B 2＋C 2＝π2中互补和互余的情况，结合诱导公式可以减少角的种数．2． 正、余弦定理的公式应注意灵活运用，如由正、余弦定理结合得sin 2A ＝sin 2B ＋sin 2C －2sin B ·sin C ·cos A ，可以进行化简或证明． 失误与防范1． 在利用正弦定理解已知三角形的两边和其中一边的对角求另一边的对角，进而求出其他的边和角时，有时可能出现一解、两解，所以要进行分类讨论．2． 利用正、余弦定理解三角形时，要注意三角形内角和定理对角的范围的限制．A 组 专项基础训练(时间：35分钟，满分：57分)一、选择题(每小题5分，共20分)1． (2012·广东)在△ABC 中，若∠A ＝60°，∠B ＝45°，BC ＝32，则AC 等于 ( )A ．4 3B ．2 3 C. 3 D.32答案 B解析 在△ABC 中，AC sin B ＝BCsin A，∴AC ＝BC ·sin Bsin A ＝32×2232＝2 3.2． (2011·浙江)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .若a cos A ＝b sin B ，则sin A cos A ＋cos 2B 等于( )A ．－12 B.12 C ．－1 D ．1答案 D解析 ∵a cos A ＝b sin B ，∴sin A cos A ＝sin B sin B ， 即sin A cos A －sin 2B ＝0，∴sin A cos A －(1－cos 2B )＝0， ∴si n A cos A ＋cos 2B ＝1.3． 在△ABC 中，a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 所对的边，若a ＝2b cos C ，则此三角形一定是 ( )A ．等腰直角三角形B ．直角三角形C ．等腰三角形D ．等腰三角形或直角三角形 答案 C解析 因为a ＝2b cos C ，所以由余弦定理得：a ＝2b ·a 2＋b 2－c 22ab，整理得b 2＝c 2，因此三角形一定是等腰三角形．4． (2012·湖南)△ABC 中，AC ＝7，BC ＝2，B ＝60°，则BC 边上的高等于 ( )A.32 B.332C.3＋62D.3＋394答案 B解析 设AB ＝a ，则由AC 2＝AB 2＋BC 2－2AB ·BC cos B 知7＝a 2＋4－2a ，即a 2－2a －3＝0，∴a ＝3(负值舍去)． ∴BC 边上的高为AB ·sin B ＝3×32＝332.二、填空题(每小题5分，共15分)5． (2011·北京)在△ABC 中，若b ＝5，∠B ＝π4，sin A ＝13，则a ＝________.答案 523解析 根据正弦定理应有a sin A ＝bsin B，∴a ＝b sin Asin B ＝5×1322＝523.6． (2011·福建)若△ABC 的面积为3，BC ＝2，C ＝60°，则边AB 的长度等于________．答案 2解析 由于S △ABC ＝3，BC ＝2，C ＝60°，∴3＝12×2·AC ·32，∴AC ＝2，∴△ABC 为正三角形．∴AB ＝2.7． 在△ABC 中，若AB ＝5，AC ＝5，且cos C ＝910，则BC ＝________.答案 4或5解析 设BC ＝x ，则由余弦定理AB 2＝AC 2＋BC 2－2AC ·BC cos C 得5＝25＋x 2－2·5·x ·910，即x 2－9x ＋20＝0，解得x ＝4或x ＝5.三、解答题(共22分)8． (10分)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且满足cos A 2＝255，AB →·AC →＝3.(1)求△ABC 的面积；(2)若b ＋c ＝6，求a 的值．解 (1)∵cos A 2＝255，∴cos A ＝2cos 2A2－1＝35，∴sin A ＝45.又AB →·AC →＝3，∴bc cos A ＝3，∴bc ＝5.∴S △ABC ＝12bc sin A ＝12×5×45＝2.(2)由(1)知，bc ＝5，又b ＋c ＝6， 根据余弦定理得a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ＝(b ＋c )2－2bc －2bc cos A＝36－10－10×35＝20，∴a ＝2 5.9． (12分)在△ABC 中，a 、b 、c 分别为角A 、B 、C 的对边，4sin 2B ＋C2－cos 2A ＝72.(1)求A 的度数；(2)若a ＝3，b ＋c ＝3，求b 、c 的值． 解 (1)∵B ＋C ＝π－A ，即B ＋C 2＝π2－A2， 由4sin2B ＋C2－cos 2A ＝72， 得4cos 2A 2－cos 2A ＝72，即2(1＋cos A )－(2cos 2A －1)＝72，整理得4cos 2A －4cos A ＋1＝0，即(2cos A －1)2＝0. ∴cos A ＝12，又0°<A <180°，∴A ＝60°.(2)由A ＝60°，根据余弦定理cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ，即b 2＋c 2－a 22bc ＝12，∴b 2＋c 2－bc ＝3，①又b ＋c ＝3，② ∴b 2＋c 2＋2bc ＝9.③ ①－③整理得：bc ＝2.④解②④联立方程组得⎩⎪⎨⎪⎧b ＝1，c ＝2，或⎩⎪⎨⎪⎧b ＝2，c ＝1.B 组 专项能力提升(时间：25分钟，满分：43分)一、选择题(每小题5分，共15分)1． (2012·上海)在△ABC 中，若sin 2A ＋sin 2B <sin 2C ，则△ABC 的形状是 ( )A ．钝角三角形B ．直角三角形C ．锐角三角形D ．不能确定 答案 A解析 由正弦定理知a sin A ＝b sin B ＝csin C＝2R ，∴sin A ＝a 2R ，sin B ＝b 2R ，sin C ＝c2R.∵sin 2A ＋sin 2B <sin 2C ，∴a 24R 2＋b 24R 2<c 24R2，∴a 2＋b 2<c 2， ∴cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab<0，∴C 为钝角，∴△ABC 为钝角三角形．2． (2011·辽宁)△ABC 的三个内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，a sin A sin B ＋b cos 2A ＝2a ，则ba等于( )A ．2 3B ．2 2 C. 3 D.2 答案 D解析 ∵a sin A sin B ＋b cos 2A ＝2a ，∴sin A sin A sin B ＋sin B cos 2A ＝2sin A ，∴sin B ＝2sin A ，∴b a ＝sin B sin A＝ 2.3． (2012·湖北)设△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若三边的长为连续的三个正整数，且A >B >C,3b ＝20a cos A ，则sin A ∶sin B ∶sin C 为 ( ) A ．4∶3∶2 B ．5∶6∶7 C ．5∶4∶3 D ．6∶5∶4 答案 D解析 ∵A >B >C ，∴a >b >c .设a ＝b ＋1，c ＝b －1，由3b ＝20a cos A 得3b ＝20(b ＋1)×b 2＋b －12－b ＋122b b －1.化简，得7b 2－27b －40＝0.解得b ＝5或b ＝－87(舍去)，∴a ＝6，c ＝4.∴sin A ∶sin B ∶sin C ＝6∶5∶4. 二、填空题(每小题5分，共15分)4． 在△ABC 中，a 、b 、c 分别为∠A 、∠B 、∠C 的对边长，已知a ，b ，c 成等比数列，且a 2－c 2＝ac －bc ，则∠A ＝________，△ABC的形状为__________． 答案 60° 正三角形解析 ∵a ，b ，c 成等比数列，∴b 2＝ac . 又a 2－c 2＝ac －bc ，∴b 2＋c 2－a 2＝bc .在△ABC 中，由余弦定理得cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝bc 2bc ＝12，∴∠A ＝60°.由b 2＝ac ，即a ＝b 2c，代入a 2－c 2＝ac －bc ，整理得(b －c )(b 3＋c 3＋cb 2)＝0， ∴b ＝c .∴△ABC 为正三角形．5． 在△ABC 中，若∠A ＝60°，b ＝1，S △ABC ＝3，则a ＋b ＋csin A ＋sin B ＋sin C的值为________．答案 2393解析 ∵S △ABC ＝3，即12bc sin A ＝3，∴c ＝4.由余弦定理a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ＝13，∴a ＝13，∴a ＋b ＋c sin A ＋sin B ＋sin C ＝a sin A ＝2133＝2393. 6． 在锐角△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c .若b a ＋a b＝6cos C ，则tan C tan A ＋tan Ctan B 的值是______．答案 4解析 由b a ＋a b＝6cos C ，得b 2＋a 2＝6ab cos C .化简整理得2(a 2＋b 2)＝3c 2， 将tan C tan A ＋tan C tan B切化弦， 得sin C cos C ·(cos A sin A ＋cos B sin B )＝sin C cos C ·sin A ＋B sin A sin B＝sin C cos C ·sin C sin A sin B ＝sin 2C cos C sin A sin B . 根据正、余弦定理得 sin 2Ccos C sin A sin B＝c 2ab ·a 2＋b 2－c 22ab＝2c 2a 2＋b 2－c 2＝2c 232c 2－c 2＝4. 三、解答题7． (13分)(2012·浙江)在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .已知cos A ＝23，sin B ＝5cos C .(1)求tan C 的值；(2)若a ＝2，求△ABC 的面积． 解 (1)因为0<A <π，cos A ＝23，得sin A ＝1－cos 2A ＝53.又5cos C ＝sin B ＝sin(A ＋C )＝sin A cos C ＋cos A sin C ＝53cos C ＋23sin C ，所以tan C ＝ 5.(2)由tan C ＝5，得sin C ＝56，cos C ＝16.于是sin B ＝5cos C ＝56，由a ＝2及正弦定理a sin A ＝csin C，得c ＝ 3.设△ABC 的面积为S ，则S ＝12ac sin B ＝52.。
正弦定理与余弦定理 教案
正弦定理与余弦定理 教案教学目标 正弦定理与余弦定理重点难点理解定理证明过程，能够灵活运用【命题规律】1.考查本节内容时多数与其他三角函数知识相结合，题目多为容易题，主要考查正余弦定理、三角形面积公式及利用三角公式进行恒等变形的技能、运算，以化简、求值或判断三角形的形状为主；2.从能力要求上看，主要考查有关定理的应用、三角恒等变换的能力、运算能力及转化思想的应用能力；3. 在未来的高考中会以正弦定理、余弦定理为框架，以三角形为主要依据，来综合考查三角知识，同时我们也要关注应用两定理解决实际问题.【要点回顾】1、内角和定理：在ABC ∆中，A B C ++= ；sin()A B += ；cos()A B += cos2A B +=2．正弦定理：形式一： (解三角形的重要工具)形式二：(边角转化的重要工具)4.余弦定理：形式一： ； ； (解三角形的重要工具)形式二：cos A = ； cos B = ； cos C = 注：①C B A c b a sin :sin :sin ::=；②CB A c b a Cc Bb Aa sin sin sin sin sin sin ++++===。
Ⅱ。
几个公式:⑴三角形面积公式：))(21(,))()((sin 2121c b a p c p b p a p p C ab ah S ABC ++=---===∆；⑵内切圆半径r=cb a S ABC ++∆2；外接圆直径2R=;sin sin sin Cc Bb Aa ==⑶在使用正弦定理时判断一解或二解的方法：⊿ABC 中，sin sin A B A B >⇔> Ⅲ．已知A b a ,,时三角形解的个数的判定： 其中h=bsinA, ⑴A 为锐角时：①a<h 时，无解；②a=h 时，一解（直角）；③h<a<b 时，两解（一锐角，一钝角）；④a ≥ b 时，一解（一锐角）。
⑵A 为直角或钝角时：①a ≤ b 时，无解；②a>b 时，一解（锐角）。
正弦定理与余弦定理课件-2024届高考数学一轮复习
由正弦定理，得
＝
，则 AC ＝
h ，所以 AB ·h ＝ AB ·AC ·sin A .
×
＝2 .设 AB 边上的高为
所以 h ＝ AC ·sin A ＝2
×
＝6.
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考向2 三角形的解的个数问题
例2 已知△ ABC 的内角 A ， B ， C 的对边长分别为 a ， b ， c .若 a ＝
sin A ＝
＝
.
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（2） 若 AB ＝5，求 AB 边上的高.
解：（2） 由（1）知， cos A ＝
＝ sin A cos C ＋ cos A sin C ＝
＝
，所以
sin B ＝ sin （ A ＋ C ）
×（
＋
）＝
.在△ ABC 中，
D. （1，2）
C
）
总结提炼
可以用数形结合的方法确定三角形的解的个数.
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考点二
判断三角形的形状
例3 （多选）在△ ABC 中，内角 A ， B ， C 的对边长分别为 a ， b ， c .
sin
sin
sin
若
＝
＝
（ m ∈N*），则当 m 取不同的值时，关于△ ABC 的
6
8
形状，下列说法正确的是（
（1） 在△ ABD 中，由余弦定理，得 cos ∠ ABD ＝
AB ∥ CD ，所以∠ BDC ＝∠ ABD . 所以 cos
高三数学一轮复习学案：正弦定理、余弦定理
高三数学一轮复习学案：正弦定理、余弦定理一、考试要求：了解利用向量知识推导正弦定理和余弦定理；掌握正弦定理、余弦定理，并能解决一些简单的三角形度量问题二、知识梳理： 1. 正弦定理： ____________________.强调几个问题：（1）正弦定理适合于任何三角形；（2）可以证明R Aa__sin =（R 为ABC ∆的外接圆半径）；（3）每个等式可视为一个方程：知三求一； （4）公式的变形：①2sin ,2sin ,2sin a R A b R B c R C ===；②sin ,sin ,sin 222a b c A B C R R R ===；③sin sin sin ::::A B C a b c =．（5）三角形面积公式：=∆ABC S ____ ____=______ ___=_____ ___． (6)正弦定理的应用范围： ①已知两角和任一边，求其它两边和一角。
②已知两边和其中一边的对角，求另一边的对角。
2. 余弦定理： =2a _____________________；=2b ____________________； =2c _____________________.强调几个问题：(1)熟悉定理的结构，注意“平方”“夹角”“余弦”等；(2)知三求一；(3)当夹角为90 时，即三角形为直角三角形时即为勾股定理（特例）；(4)变形：bc a c b A 2cos 222-+= acb c a B 2cos 222-+=ac c b a C 2cos 222-+=．（5）余弦定理的应用范围：①已知三边，求三个角；②已知两边和它们的夹角，求第三边和其他两个角.3. 解斜三角形(1)．两角和任意一边，求其它两边和一角；(2)．两边和其中一边对角，求另一边的对角，进而可求其它的边和角。
（见图示）已知a, b 和A, 用正弦定理求B 时的各种情况: ①若A 为锐角时:⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥<<=<)( b a ) ,( b a bsinA )( bsinA a sin 锐角一解一钝一锐二解直角一解无解A b a已知边a,b 和∠A有两个解仅有一个解无解CH=bsinA<a<b a=CH=bsinA a<CH=bsinA②若A 为直角或钝角时:⎩⎨⎧>≤)( b a 锐角一解无解b a三、基础检测：1. 在 中， ，则 等于（ ）A ．B ．C ．D ．2. 若 是 （ ）A ．等边三角形B ．有一内角是30°C ．等腰直角三角形D ．有一内角是30°的等腰三角形 3. 在，面积，则BC 长为（ ）A ．B ．75C ．51D ．494．在 中，已知角 则角A 的值是（ ）A ．15°B ．75°C ．105°D ．75°或15°5． 中，sinB=23sin ,21=C ,则a ：b ：c 为（ ）A.1：3：2B.1：1：3C.1：2：3D.2：1：3或1：1：36. 如图，在△ABC 中，D 是边AC 上的点，且,2,2AB CD AB BC BD ===，则sin C 的值为A ．3B ．6C ．3D ．67.若的三个内角成等差数列，且最大边为最小边的2倍，则三内角之比为________。
高三总复习数学课件 余弦定理与正弦定理
a sin
A＝
b sin B
＝sinc C＝2R
定理
余弦定理
b2＋c2－a2 cos A＝ 2bc ；
变形
c2＋a2－b2 cos B＝ 2ac ；
a2＋b2－c2 cos C＝___2_a_b____
正弦定理
(1)a＝2Rsin A，b＝2Rsin B，c＝2Rsin C；
答案： 21
5．在△ABC中，已知A＝60°，c＝5，a＝7，则△ABC的面积为________． 解析：利用余弦定理可得a2＝b2＋c2－2bccos A， 可得b2－5b－24＝0，解得b＝8或b＝－3(舍)， △ABC 的面积 S＝12bc·sin 60°＝12×8×5× 23＝10 3. 答案：10 3
层级一/ 基础点——自练通关(省时间) 基础点 正、余弦定理的简单应用
[题点全训] 1．(2021·全国甲卷)在△ABC 中，已知 B＝120°，AC＝ 19，AB＝2，则 BC＝( )
A．1 B. 2 C. 5 D．3 解析：由余弦定理，得 cos 120°＝22＋B2×C22－BC 192.化简，得 BC2＋2BC－15 ＝0，解得 BC＝3 或 BC＝－5(舍去)．故选 D. 答案：D
(2)a∶b∶c＝ sin A∶sin B∶sin C ；
a＋b＋c (3)sin A＋sin B＋sin C
＝sina A＝2R
2．三角形常用面积公式
(1)S＝12a·ha(ha 表示边 a 上的高)；
(2)S＝12absin
C＝
1 2acsin
B
＝
1 2bcsin
A
；
(3)S＝12r(a＋b＋c)(r 为内切圆半径)．
正弦定理和余弦定理复习总结教案
3、正弦定理和余弦定理复习总结1．正弦定理和余弦定理定理正弦定理余弦定理内容a sin A ＝b sin B ＝c sin C＝2R ，(R 为△ABC 外接圆半径)a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ； b 2＝c 2＋a 2－2ca cos B c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C 变形形式(边角转化)a ＝2R sin A ，b ＝2R sinB ，c ＝2R sin C ；sin A ＝a 2R ，sinB ＝b 2R ，sin C ＝c2R ；a ∶b ∶c ＝sin_A ∶sin_B ∶sin_Ccos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ；cosB ＝c 2＋a 2－b 22ca ；cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab2．三角形中常用的面积公式(1)S ＝12ah (h 表示边a 上的高)；(2)S ＝12bc sin A ＝12ac sinB ＝12ab sin C ；(3)S ＝12r (a ＋b ＋c )(r 为三角形的内切圆半径)．考点一 利用正、余弦定理解三角形1．在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且a 2＝b 2＋c 2＋3bc ，则A=___________解：(1)由余弦定理得cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝－3bc 2bc ＝－32.又因为0<A <π，所以A ＝5π6.2．(2015·北京卷)在△ABC 中，a ＝3，b ＝6，∠A ＝2π3，则∠B ＝________．解析：由正弦定理，得a sin A ＝bsin B ，即332＝6sin B，所以sin B ＝22，所以∠B ＝π4.答案：π43．在△ABC 中，a ＝15，b ＝10，A ＝60°，则cos B 等于( )A ．－223 B.223 C ．－63 D.63解析：利用正弦定理：a sin A ＝b sin B ，1532＝10sin B，所以sin B ＝33，因为大边对大角(三角形中)，所以B 为锐角，所以cos B ＝1－sin 2 B ＝63.答案：D4．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若a ＝62b ，A ＝2B ，则cos B 等于( ) A.66 B.65 C.64 D.63解析：选C 因为a ＝62b ，A ＝2B ，所以由正弦定理可得62b sin 2B ＝b sin B ，所以622sin B cos B ＝1sin B ，所以cosB ＝64. 5．在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .若a sinBcos C ＋c sinBcos A ＝12b ，且a >b ，则B ＝( )A.π6B.π3 C.2π3D.5π6解析：选A 由正弦定理得，sin A sin Bcos C ＋sin C sin Bcos A ＝12sin B ，所以sin A cos C ＋sin C cos A ＝12，即sin(A ＋C )＝12，所以sin B ＝12.已知a >b ，所以B 不是最大角，所以B ＝π6.6．设△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .若a ＝3，sin B ＝12，C ＝π6，则b ＝________.解析：因为sin B ＝12且B ∈(0，π)，所以B ＝π6或B ＝5π6，又C ＝π6，所以B ＝π6，A ＝π－B －C ＝2π3，又a ＝3，由正弦定理得a sin A ＝b sin B ，即3sin 2π3＝b sinπ6，解得b ＝1. 答案：17．△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若b 2＝ac ，c ＝2a ，则cos C ＝( )A.24B ．－24C.34 D ．－34解析：选B 由题意得，b 2＝ac ＝2a 2，即b ＝2a ，∴cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝a 2＋2a 2－4a 22a ×2a＝－24.8．在△ABC 中，AB ＝3，BC ＝13，AC ＝4，则边AC 上的高为( )A.322B.332C.32D ．3 3解析：选B 由题意得cos A ＝AB 2＋AC 2－BC 22AB ·AC ＝32＋42－(13)22×3×4＝12，∴sin A ＝1－⎝⎛⎭⎫122＝32，∴边AC 上的高h ＝AB sin A ＝332.9．(2017·全国卷Ⅱ)△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若2b cos B ＝a cos C ＋c cos A ，则B ＝________.解析：由2b cosB ＝a cos C ＋c cos A 及余弦定理，得 2b ·a 2＋c 2－b 22ac ＝a ·a 2＋b 2－c 22ab ＋c ·b 2＋c 2－a 22bc ，整理得，a 2＋c 2－b 2＝ac ， 所以2ac cosB ＝ac ＞0，cosB ＝12.又0＜B ＜π，所以B ＝π3.答案：π3考点二 利用正弦、余弦定理判定三角形的形状1．在△ABC 中，已知三边a ＝3，b ＝5，c ＝7，则三角形ABC 是( )A ．锐角三角形B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．无法确定解析：何种三角形取决于最大的角．最长的边所对的角最大，由余弦定理知： cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝－12＜0，所以C 为钝角．答案：C2．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若sin A sin B ＝ac ，(b ＋c ＋a )(b ＋c －a )＝3bc ，则△ABC 的形状为( )A ．直角三角形B ．等腰非等边三角形C ．等边三角形D ．钝角三角形解析：选C ∵sin A sin B ＝a c ，∴a b ＝ac ，∴b ＝c .又(b ＋c ＋a )(b ＋c －a )＝3bc ，∴b 2＋c 2－a 2＝bc ，∴cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝bc 2bc ＝12.∵A ∈(0，π)，∴A ＝π3，∴△ABC 是等边三角形．3．在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，若c －a cosB ＝(2a －b )cos A ，则△ABC 的形状为( )A ．等腰三角形B ．直角三角形C ．等腰直角三角形D ．等腰或直角三角形解析：选D 因为c －a cosB ＝(2a －b )cos A ， C ＝π－(A ＋B )，所以由正弦定理得sin C －sin A cos B ＝2sin A cos A －sin B·cos A ， 所以sin A cos B ＋cos A sin B －sin A cos B ＝2sin A cos A －sin Bcos A ， 所以cos A (sin B －sin A )＝0， 所以cos A ＝0或sin B ＝sin A ， 所以A ＝π2或B ＝A 或B ＝π－A (舍去)，所以△ABC 为等腰或直角三角形． 考点三 与三角形面积有关的问题1．在△ABC 中，a ，b ，c 分别是角A 、B 、C 的对边，a ＝5，b ＝4，cos C ＝45，则△ABC 的面积是( )A ．8B ．6C ．4D ．2 解析：因为cos C ＝45，C ∈(0，π)，所以sin C ＝35，所以S △ABC ＝12ab sin C ＝12×5×4×35＝6.答案：B2．已知△ABC 的面积为32，且b ＝2，c ＝3，则( )A ．A ＝30°B ．A ＝60°C ．A ＝30°或150°D ．A ＝60°或120° 解析：因为S ＝12bc sin A ＝32，所以12×2×3 sin A ＝32，所以sin A ＝32， 所以A ＝60°或120°. 答案：D3．(2018·云南第一次统一检测)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .若B ＝π2，a ＝6，sin 2B ＝2sinA sin C ，则△ABC 的面积S ＝( )A.32 B ．3 C. 6D ．6解析：选B 由sin 2B ＝2sin A sin C 及正弦定理，得b 2＝2ac ，① 又B ＝π2，所以a 2＋c 2＝b 2.②联立①②解得a ＝c ＝6，所以S ＝12×6×6＝3.4．△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知b ＝2，B ＝π6，C ＝π4，则△ABC 的面积为( )A ．23＋2B ．3＋1C ．23－2D ．3－1B [∵b ＝2，B ＝π6，C ＝π4.由正弦定理b sin B ＝c sin C ，得c ＝b sin Csin B ＝2×2212＝22， A ＝π－⎝⎛⎭⎫π6＋π4＝712π，∴sin A ＝sin ⎝⎛⎭⎫π4＋π3＝sin π4cos π3＋cos π4sin π3＝6＋24. 则S △ABC ＝12bc ·sin A ＝12×2×22×6＋24＝3＋1.]课后演练1．在△ABC 中，若sin A a ＝cos Bb，则B 的大小为( )A ．30°B ．45°C ．60°D ．90° 解析：选B 由正弦定理知，sin A sin A ＝cos Bsin B ，∴sin B ＝cos B ，∴B ＝45°.2．在△ABC 中，已知b ＝40，c ＝20，C ＝60°，则此三角形的解的情况是( )A ．有一解B ．有两解C ．无解D ．有解但解的个数不确定解析：选C 由正弦定理得b sin B ＝c sin C， ∴sin B ＝b sin Cc ＝40×3220＝3>1.∴角B 不存在，即满足条件的三角形不存在．3．在△ABC 中，若a ＝18，b ＝24，A ＝45°，则此三角形有( )A ．无解B ．两解C ．一解D ．解的个数不确定解析：选B ∵a sin A ＝bsin B ，∴sinB ＝b a sin A ＝2418sin 45°＝223.又∵a <b ，∴B 有两个解， 即此三角形有两解．4．在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，若c ＝2a ，b sinB －a sin A ＝12a sin C ，则cosB 为( )A.74 B.34 C.73 D.13解析：选B ∵b sin B －a sin A ＝12a sin C ，且c ＝2a ，∴b ＝2a ，∴cosB ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝a 2＋4a 2－2a 24a 2＝34.5．在锐角△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若sin A ＝223，a ＝3，S △ABC ＝22，则b 的值为( )A ．6B ．3C ．2D ．2或3解析：选D 因为S △ABC ＝12bc sin A ＝22，所以bc ＝6， 又因为sin A ＝223，所以cos A ＝13，又a ＝3，由余弦定理得9＝b 2＋c 2－2bc cos A ＝b 2＋c 2－4，b 2＋c 2＝13，可得b ＝2或b ＝3. 6．在△ABC 中，2a cos A ＋b cos C ＋c cosB ＝0，则角A 的大小为( )A.π6B.π3C.2π3D.5π6解析：选C 由余弦定理得2a cos A ＋b ·a 2＋b 2－c 22ab ＋c ·a 2＋c 2－b 22ac ＝0，即2a cos A ＋a ＝0，∴cos A ＝－12，A ＝2π3.7．(2017·山东高考)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .若△ABC 为锐角三角形，且满足sinB(1＋2cos C )＝2sin A cos C ＋cos A sin C ，则下列等式成立的是( )A ．a ＝2bB ．b ＝2aC ．A ＝2BD ．B ＝2A 解析：选A 由题意可知sin B ＋2sinBcos C ＝sin A cos C ＋sin(A ＋C )，即2sin Bcos C ＝sinA cos C ，又cos C ≠0，故2sinB ＝sin A ，由正弦定理可知a ＝2b .8．在△ABC 中，AB ＝6，A ＝75°，B ＝45°，则AC ＝________.解析：C ＝180°－75°－45°＝60°， 由正弦定理得AB sin C ＝ACsin B ，即6sin 60°＝AC sin 45°，解得AC ＝2. 答案：29．在△ABC 中，a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 所对的边，A ＝π4，b 2sin C ＝42sinB ，则△ABC 的面积为____．解析：因为b 2sin C ＝42sin B ， 所以b 2c ＝42b ，所以bc ＝42， S △ABC ＝12bc sin A ＝12×42×22＝2.答案：210．设△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且a ＝2，cos C ＝－14，3sin A ＝2sin B ，则c ＝________.解析：∵3sin A ＝2sin B ，∴3a ＝2b . 又a ＝2，∴b ＝3.由余弦定理可知c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ， ∴c 2＝22＋32－2×2×3×⎝⎛⎭⎫－14＝16， ∴c ＝4. 答案：411．已知△ABC 的角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，若cos A ＝78，c －a ＝2，b ＝3，则a ＝________.解析：由余弦定理可知，a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ⇒a 2＝9＋(a ＋2)2－2·3·(a ＋2)·78⇒a ＝2.答案：212．(2017·全国卷Ⅲ)△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .已知C ＝60°，b ＝6，c ＝3，则A ＝________.解析：由正弦定理，得sin B ＝b sin C c ＝6sin 60°3＝22，因为0°＜B ＜180°， 所以B ＝45°或135°.因为b ＜c ，所以B ＜C ，故B ＝45°， 所以A ＝180°－60°－45°＝75°. 答案：75°13．在△ABC 中，B ＝120°，AC ＝7，AB ＝5，则△ABC 的面积为________．解析：由余弦定理知72＝52＋BC 2－2×5×BC ×cos 120°， 即49＝25＋BC 2＋5BC ，解得BC ＝3.故S △ABC ＝12AB ·Bc sin B ＝12×5×3×32＝1534.答案：153414．在△ABC 中，a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 所对的边，若a ＝2b cos C ，则此三角形一定是( )A ．等腰直角三角形B ．直角三角形C ．等腰三角形D ．等腰三角形或直角三角形解析：选C 法一：由余弦定理可得a ＝2b ·a 2＋b 2－c 22ab ，因此a 2＝a 2＋b 2－c 2，得b 2＝c 2，于是b ＝c ， 从而△ABC 为等腰三角形．法二：由正弦定理可得sin A ＝2sin Bcos C ， 因此sin(B ＋C )＝2sin Bcos C ，即sin Bcos C ＋cos Bsin C ＝2sin Bcos C ， 于是sin(B －C )＝0，因此B －C ＝0，即B ＝C ， 故△ABC 为等腰三角形．15．在△ABC 中，a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 所对的边，sin A ，sinB ，sin C 成等差数列，且a ＝2c ，则cos A ＝________.解析：因为sin A ，sin B ，sin C 成等差数列，所以2sin B ＝sin A ＋sin C ．由正弦定理得a ＋c ＝2b ，又a ＝2c ，可得b ＝32c ，所以cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝94c 2＋c 2－4c 22×32c 2＝－14.答案：－1416．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，a ＝2，cos B ＝35.(1)若b ＝4，求sin A 的值；(2)若△ABC 的面积S △ABC ＝4，求b 、c 的值． [解] (1)∵cos B ＝35＞0,0＜B ＜π，∴sin B ＝1－cos 2B ＝45.由正弦定理，得a sin A ＝bsin B ，∴sin A ＝a b sin B ＝25.(2)∵S △ABC ＝12ac sin B ＝45c ＝4，∴c ＝5.由余弦定理，得b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ＝22＋52－2×2×5×35＝17，∴b ＝17.17、在ABC ∆中，角C B A ,,所对的边为c b a ,,，已知b c A b a 3,sin 2==（1）求B 的值；（2）若ABC ∆的面积为32，求b a ,的值答案：解：（1）A b a sin 2=，⇒=A B A sin sin 2sin 21sin =B ， 30=B 或 150，b c >，所以 30=B ……………………6分（2）由 30cos 2222ac c a b -+=解得⇒=+-03222a ab b b a =或b a 2=…………① …………9分又⇒==∆3230sin 21ac S ABC 38=ac …………② b c 3=…………③由①②③⎩⎨⎧==24b a 或22==b a …………14分。
正弦定理与余弦定理(高三一轮复习)
150°不符合题意，舍去．可得B＝30°.
数学 N 必备知识 自主学习 关键能力 互动探究
— 12 —
5．(易错题)在△ABC中，若ab＝ccooss AB，则△ABC的形状为( D )
A．等边三角形
B．直角三角形
C．等腰三角形
D．等腰或直角三角形
解析 因为ab＝ccooss BA，所以由正弦定理可得ssiinn AB＝ccooss AB，即sin Acos A＝sin Bcos
— 10 —
3．(2023·江门检测)在△ABC中，已知a＝ 13，b＝4，c＝3，则cos A＝( A )
12 A.2 B. 2
3 C. 2
D．－
2 2
解析 在△ABC中，已知a＝ 13，b＝4，c＝3，由余弦定理得cos A＝ 422＋×342×－313＝16＋294－13＝12.
数学 N 必备知识 自主学习 关键能力 互动探究
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针对训练 1．(2023·陕西渭南月考)在△ABC中，若AB＝7，AC＝5，∠ACB＝120°，则BC ＝( B ) A．2 2 B．3 C．6 D. 6 解析 在△ABC中，由余弦定理得AB2＝AC2＋BC2－2AC×BC×cos∠ACB，故 49＝25＋BC2－2×5×BC× －12 ，即BC2＋5BC－24＝0，解得BC＝3或BC＝－8(舍 去)．
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2．在△ABC中，若AB＝3，BC＝3 2，∠B＝45°，则△ABC的面积为( D )
A．2 2 B．4
7 C.2
9 D.2
解析 由题意，S△ABC＝12AB·BC·sin∠B＝12×3×3 2× 22＝92.
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高三数学总复习 正弦定理和余弦定理教案
教学目标：
1、掌握正弦定理和余弦定理的推导，并能用它们解三角形.
2、利用正、余弦定理求三角形中的边、角及其面积问题是高考考查的热点．
3、常与三角恒等变换相结合，综合考查三角形中的边与角、三角形形状的判断等.
教学重点：①能充分应用三角形的性质及有关的三角函数公式证明三角形的边角关系式． ②能合理地选用正弦定理余弦定理结合三角形的性质解斜三角形．
③能解决与三角形有关的实际问题．
教学难点：①根据已知条件判定解的情形，并正确求解．
②将实际问题转化为解斜三角形．
教学过程
一、基础回顾
1、正余弦定理
正弦定理：a sinA ＝b sinB ＝c sinC
＝2R(其中R 为△ABC 外接圆的半径)． 余弦定理
a 2＝
b 2＋
c 2－2bccosA ，
b 2＝a 2＋
c 2－2accosB ；
c 2＝a 2＋b 2－2abcosC
2、变形式
①a ＝2RsinA ，b ＝2RsinB ，c ＝2RsinC ；(其中R 是△ABC 外接圆半径)
②a ∶b ∶c ＝sinA ：sinB ：sinB
③cosA ＝b 2＋c 2－a 22bc ，cosB ＝a 2＋c 2－b 22ac ，cosC ＝a 2＋b 2－c 22ab
. 3、三角形中的常见结论
(1) A ＋B ＋C ＝π.
(2) 在三角形中大边对大角，大角对大边：A>B a>b sinA>sinB.
(3) 任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边．
(4) △ABC 的面积公式
① S ＝12
a ·h(h 表示a 边上的高)； ② S ＝12absinC ＝12acsinB ＝12bcsinA ＝abc 4R
； ③ S ＝12
r(a ＋b ＋c)(r 为内切圆半径)； ④ S ＝P （P －a ）（P －b ）（P －c ），其中P ＝12
(a ＋b ＋c)． 二、基础自测
1、在△ABC 中，若∠A＝60°，∠B ＝45°，BC ＝32，则AC ＝________．
2、在△ABC 中，a ＝3，b ＝1，c ＝2，则A ＝________．
3、在△ABC 中，a 、b 、c 分别为角A 、B 、C 所对的边，若a ＝2bcosC ，则此三角形一定是________三角形．
4、已知△ABC 的三边长分别为a 、b 、c ，且a 2＋b 2－c 2＝ab ，则∠C＝________．
5、在△ABC 中，a ＝32，b ＝23，cosC ＝13
，则△ABC 的面积为________．
三、典例分析
例1 (2013·惠州模拟)△ABC 的三个内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，a sin A sin B ＋b cos 2A ＝2a .
(1)求b a
； (2)若c 2＝b 2＋3a 2，求B . 解：(1)由正弦定理，得asin B ＝bsin A ，
又asin Asin B ＋bcos 2A ＝2a ，
∴bsin 2A ＋bcos 2A ＝2a ，即b ＝2a ，因此b a ＝ 2. (2)由c 2＝b 2＋3a 2及余弦定理，得
cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝（1＋3）a 2c
， (*) 又由(1)知，b ＝2a ，∴b 2＝2a 2，
因此c 2＝(2＋3)a 2，c ＝2＋3a ＝
3＋12 a. 代入(*)式，得cos B ＝
22， 又0＜B ＜π，所以B ＝π4
. 规律方法：1．运用正弦定理和余弦定理求解三角形时，要分清条件和目标．若已知两边与夹角，则用余弦定理；若已知两角和一边，则用正弦定理．
2．在已知三角形两边及其中一边的对角，求该三角形的其它边角的问题时，首先必须判断是否有解，如果有解，是一解还是两解，注意“大边对大角”在判定中的应用．
例2、(2013·合肥模拟)已知△ABC 的三个内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，向
量m ＝(4，－1)，n ＝(cos 2A 2，cos 2A)，且m ·n ＝72
. (1)求角A 的大小； (2)若b ＋c ＝2a ＝23，试判断△ABC 的形状．
解：(1)∵m ＝(4，－1)，n ＝(cos 2A
2
，cos 2A )， ∴m ·n ＝4cos 2A 2－cos 2A ＝4·1＋cos A 2
－(2cos 2A －1)＝－2cos 2A ＋2cos A ＋3. 又∵m ·n ＝72
， ∴－2cos 2A ＋2cos A ＋3＝72，解得cos A ＝12
. ∵0＜A ＜π，∴A ＝π3.
(2)在△ABC 中，a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，且a ＝3，
∴(3)2＝b 2＋c 2－2bc ·12
＝b 2＋c 2－bc . ① 又∵b ＋c ＝23，∴b ＝23－c ，
代入①式整理得c 2－23c ＋3＝0，解得c ＝3，∴b ＝3， 于是a ＝b ＝c ＝3，即△ABC 为等边三角形．
规律方法：判定三角形的形状，应围绕三角形的边角关系进行转化．无论使用哪种方法，不要随意约掉公因式；要移项提取公因式，否则会有漏掉一种形状的可能．
例3、(2012·课标全国卷)已知a ，b ，c 分别为△ABC 三个内角A ，B ，C 的对边，acos C ＋3asin C －b －c ＝0.
(1)求A ；
(2)若a ＝2，△ABC 的面积为3，求b ，c.
解：(1)由a cos C ＋3a sin C －b －c ＝0及正弦定理得sin A cos C ＋3sin A sin C －sin B －sin C ＝0.
因为B ＝π－A －C ，则sin B ＝sin A cos C ＋cos A sin C . 所以3sin A sin C －cos A sin C －sin C ＝0.
由于sin C ≠0，所以sin(A －π6)＝12
. 又0<A <π，故A ＝π3
. (2)△ABC 的面积S ＝12
bc sin A ＝3，故bc ＝4. ① 又a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，故b 2＋c 2＝8.
② 由①②联立，得b ＝c ＝2.
四、练习 变式练习1：(2012·浙江高考)在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且bsin A ＝3acos B.
(1)求角B 的大小；
(2)若b ＝3，sin C ＝2sin A ，求a ，c 的值．
变式练习2：在△ABC 中，a ，b ，c 分别为内角A ，B ，C 的对边，且2asin A ＝(2b ＋c)sin B ＋(2c ＋b)sin C.
(1)求A 的大小；
(2)若sin B ＋sin C ＝1，试判断△ABC 的形状
五、作业布置
六、板书设计
1、正余弦定理
2、变形式
3、三角形中常用结论
典例分析
七、教学反思。