高三正余弦定理、解三角形综合讲义
2023届高三数学一轮复习专题 解三角形 讲义 (解析版)
单元（或主题）教学设计模板以下内容、形式均只供参考，参评者可自行设计。
教学过程既可以采用表格式描述，也可以采取叙事的方式。
如教学设计已经过实施，则应尽量采用写实的方式将教学过程的真实情景以及某些值得注意和思考的现象和事件描述清楚；如教学设计尚未经过实施，则应着重将教学中的关键环节以及教学过程中可能出现的问题及处理办法描述清楚。
表格中所列项目及格式仅供参考，应根据实际教学情况进行调整。
问题，体验数学在解决实际问题中的作用，提升学生数学抽象、数学建模、直观想象、数学运算的数学核心素养。
重点：掌握正弦定理、余弦定理及面积公式，并能正确应用定理解三角形难点：能应用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些测量与几何计算有关的实际问题。
3.单元（或主题）整体教学思路（教学结构图）第一课时，正弦定理及可以解决的问题第二课时，余弦定理及可以解决的问题第三课时，三角形内角和定理、正弦定理、余弦定理的选择第1课时教学设计课题正弦定理课型新授课□章/单元复习课□专题复习课√习题/试卷讲评课□学科实践活动课□其他□1.教学内容分析本课时是解三角形复习课的起始课，由实际问题出发引起学生对定理及变形的回忆，提升学生数学建模、直观想象的核心素养；由几个典型的例题，归纳出正弦定理可以解决的类型，再由定理本身出发再次分析定理可以解决的类型，提升学生逻辑推理、数学运算的核心素养，提高学生对数学符号解读的能力。
再析定理，进而推出“三角形面积公式”，提升学生逻辑推理的核心素养。
3、你还有哪些收获？活动意图说明对于本节课的重点内容强化提问，既检测又强化重点。
“你还有哪些收获”，希望学生能够答出：三角形面积公式、SSA 的情况可能出现两解、取舍的方法、方程和数形结合的思想方法等。
环节六：课堂检测教的活动61、 在中，已知 45,30,10A C c cm ︒︒===，求a 边. 2、 在△ABC 中，π32,6,2===B b c ，求∠A 。
高三数学 正余弦定理、解斜三角形 知识精讲 通用版
高三数学 正余弦定理、解斜三角形 知识精讲 通用版【本讲主要内容】一. 本周教学内容：正余弦定理、解斜三角形【知识掌握】【知识点精析】1. 三角形面积计算公式：设△ABC 的三边为a 、b 、c ，三个内角分别为A 、B 、C ，高分别为h a ，h b ，h c ，半周长为P ，外接圆、内切圆的半径为R ，r 。
（1）S △=12ah a =12bh b =12ch c（2）S △=12absinC=12acsinB=12cbsinA（3）S △=Pr （其中P 为周长之半，r 为内切圆半径）（4）S ABC =∆ 2. 正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，即A a sin =B b sin =Ccsin （＝2R ）。
（其中R 为外接圆半径）利用正弦定理，可以解决以下两类有关三角形的问题。
（1）已知两角和任一边，求其两边和一角；（2）已知两边和其中一边的对角，求另一边的对角。
（从而进一步求出其的边和角）3. 余弦定理：三角形任何一边的平方等于其它两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍，即a 2=b 2+c 2－2bccosA ；① b 2=c 2+a 2－2cacosB ；② c 2=a 2+b 2－2abcosC 。
③在余弦定理中，令C=90°，这时cosC=0，所以c 2=a 2+b 2。
由此可知余弦定理是勾股定理的推广。
由①②③可得：cosA=bc a c b 2222-+；cosB=cab ac 2222-+；cosC=abc b a 2222-+。
利用余弦定理，可以解决以下两类有关三角形的问题： （1）已知三边，求三个角；（2）已知两边和它们的夹角，求第三边和其它两个角。
4. 强调几点：（１）利用余弦定理判定△ABC 的形状：⇔+=222b a c △ABC 为直角△⇔A+B=2π2c ＜⇔+22b a △ABC 为钝角△⇔A+B ＜2π 2c ＞⇔+22b a △ABC 为锐角△⇔A+B ＞2π（2）三角形的四个“心”：重心：三角形三条中线交点。
三角函数解三角形正弦定理和余弦定理课件理新ppt
正弦定理的应用
01
正弦定理可以应用于求解三角形中的边、角、面积等问题，其中最常用的应用 是求解三角形的三边关系和三角形的面积公式。
02
在求解三角形的三边关系时，可以使用正弦定理得到两边之比的表达式，再结 合余弦定理得到第三边的表达式，从而得到三边之间的关系。
03
在求解三角形的面积公式时，可以使用正弦定理得到三角形的底和高，从而得 到三角形的面积公式。
三角函数解三角形正弦定理和余弦 定理课件理新ppt
xx年xx月xx日
contents
目录
• 引言 • 正弦定理 • 余弦定理 • 案例分析 • 结论与展望 • 参考文献
01
引言
课程背景
1
三角函数是数学中的基础内容之一，具有广泛 的应用价值。
2
解三角形是三角函数应用的重要方面之一，涉 及到很多实际问题。
《三角函数解题方 法与技巧》
《高中数学竞赛教 程》
《三角函数图像与 性质》
THANKS
利用正弦定理和余弦定理解三角形
如何根据三角形的已知信息求解三边长
利用正弦定理求解三角形边长
利用余弦定理求解三角形边长
通过具体案例展示，进行计算
三角形的判定方法
如何判断一个三角形是否为直 角三角形
利用正弦定理和余弦定理进行 三角形判定
通过具体案例展示，进行计算
05
结论与展望
总结正余弦定理在解三角形中的应用
正弦定理：对于任意三角形，已知一边和它的对角 ，无法确定三角形的大小和形状，需要再知道其他
一些信息才能确定三角形的大小和形状．
余弦定理：对于任意三角形，已知三边，可确定这 个三角形的形状和大小；已知两边和其中一边的对
第四章 三角函数解三角形 第四讲 正、余弦定理及解三角形课件 理
基本类型
已知两角及其中 一角的对边,如 A,B,a
一般解法
继续学习
数学
知识全通关
第四章·第四讲
5
正、余弦定理及解三角形
已知两边和它们 的夹角,如a,b,C
已知三边
可以连续用余弦定理求出两角,常常是分别求较小两边所对的角,再由 A+B+C=180°,求出第三个角; 由余弦定理求出一个角后,也可以根据正弦定理求出第二个角,但仍然是先求 较小边所对的角
题型全突破 16
考法四 正、余弦定理在平面几何中的应用
考法指导 (1)把所提供的平面图形拆分成若干个三角形,然后在各个三角形内利用正弦、 余弦定理求解; (2)寻找各个三角形之间的联系,交叉使用公共条件,求出结果. 做题过程中,要用到平面几何中的一些知识点,如相似三角形的边角关系、平行四边形的 一些性质,要把这些性质与正弦、余弦定理有机结合,才能顺利解决问题.
数学
考情精解读
第四章·第四讲
2
考纲解读
正、余弦定理及解三角形
考点
2016全国
2015全国 2014全国
自主命题区域
命题规律 命题趋势
利用正、余 弦定理解 三角形 【40%】
·全国Ⅱ,13,5分 ·全国Ⅲ,8,5分
·2016江苏,15,14分 ·2016浙江,16,14分 ·2015江苏,15,14分 ·全国Ⅱ,4,5分 ·2015北京,12,5分 ·2014浙江,18,14分 ·2014北京,15,13分
c2=a2+b2-2abcos C
继续学习
数学
知识全通关
第四章·第四讲
2
正、余弦定理及解三角形
变形
继续学习
数学
三角函数解三角形正弦定理和余弦定理课件理ppt
针对正弦和余弦函数的计算，数学家们不断优化算法，提高计算的效率和准 确性，例如快速傅里叶变换（FFT）等算法。
正弦定理和余弦定理在物理和工程中的应用进展
量子力学
在量子力学中，正弦和余弦函数是描述波动性粒子的基本波函数的常见形式，例 如电子和光子的波函数。
信号处理
正弦和余弦函数是信号处理的基础，包括模拟信号和数字信号的处理，如振幅调 制、频率调制、数字信号处理（DSP）等。
01
航海
在航海中，三角函数被用来确定船只的位置、航向和速度等。利用三
角函数可以计算船只与目标之间的角度、距离和时间等参数，从而保
证船只的准确航行。
02
航空
在航空中，三角函数被用来确定飞机的位置、航向和速度等。利用三
角函数可以计算飞机与目标之间的角度、距离和时间等参数，从而保
证飞机的准确航行。
03
地理
工程学
02
在工程学中，三角形边角关系可以用来解决结构分析和设计问
题。
物理学
03
在物理学中，三角形边角关系可以用来解决速度、加速度和力
的问题。
05
解三角形的实际应用
在工程、建筑和物理中的应用
工程设计
在工程设计中，三角函数被广泛应用于各种设计问题，如结构支撑、悬臂和框架等。利用 三角函数可以求出所需的数据，如压力、扭矩、弯曲等。
正弦定理的变式和推论
变式
正弦定理的变式包括比例式、等角式和差角式等。这些变式都可以由正弦定理推 出。
推论
正弦定理的推论有很多，比如正弦定理的逆定理、正弦定理的推广等。这些推论 都可以帮助我们更好地应用正弦定理。
03
余弦定理
余弦定理的证明和应用
高考数学一轮复习正弦定理余弦定理及解三角形课件理
基础诊断 考点突破
课堂总结
解 (1)由题意可知 c＝8－(a＋b)＝72.
由余弦定理得 cos C＝a2＋2ba2b－c2＝22＋2×5222×－52722
＝－15.
(2)由 sin Acos2B2＋sin Bcos2A2＝2sin C 可得：
sin
1＋cos A· 2
B＋sin
1＋cos B· 2
a2＋b2－c2 2ab
基础诊断 考点突破
课堂总结
2.S△ABC＝12absin C＝12bcsin A＝12acsin B＝a4bRc＝12(a＋b＋c)·r(r 是 三角形内切圆的半径)，并可由此计算 R，r.
基础诊断 考点突破
课堂总结
• 3．实际问题中的常用角
• (1)仰角和俯角
• 在同一铅垂平面内的水平视线和目标视线
1－2419＝2
7 7.
而∠AEB＝23π－α，所以
cos∠AEB＝cos23π－α＝cos23πcos α＋sin23πsin α
＝－12cos
α＋
3 2 sin
α
＝－12·2 7 7＋
3 21 2 ·7
＝
7 14 .
基础诊断 考点突破
课堂总结
在
Rt△EAB
中，cos∠AEB＝EBAE＝B2E，故
课堂总结
5．(人教 A 必修 5P10B2 改编)在△ABC 中，acos A＝bcos B， 则这个三角形的形状为________． 解析 由正弦定理，得 sin Acos A＝sin Bcos B， 即 sin 2A＝sin 2B，所以 2A＝2B 或 2A＝π－2B， 即 A＝B 或 A＋B＝2π， 所以这个三角形为等腰三角形或直角三角形． 答案 等腰三角形或直角三角形
新高考高中数学解三角形的综合-教案(解析版)
学科教师辅导讲义学员编号：年级：高二课时数：学员姓名：辅导科目：数学学科教师：授课主题解三角形授课类型T同步课堂P实战演练S归纳总结教学目标①掌握正弦定理和余弦定理的基本内容；②能灵活使用正余弦定理结合三角函数基本公式进行变形；③运用正弦定理和余弦定理解决实际问题。
授课日期及时段T（Textbook-Based）——同步课堂一、知识框架二、知识概念体系搭建（一）正弦定理在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，即A a sin =B b sin =Ccsin . 利用正弦定理，可以解决以下两类有关三角形的问题. （1）已知两角和任一边，求其他两边和一角；（2）已知两边和其中一边的对角，求另一边的对角.（从而进一步求出其他的边和角） 变形：①C B A c b a sin :sin :sin ::= ②角化边 C R c BR b A R a sin 2sin 2sin 2===③边化角 Rc C Rb B Ra A 2sin 2sin 2sin ===（二） 余弦定理三角形任何一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍，即 a 2=b 2+c 2－2bc cos A ； ① b 2=c 2+a 2－2ca cos B ； ② c 2=a 2+b 2－2ab cos C .③在余弦定理中，令C =90°，这时cos C =0，所以c 2=a 2+b 2. 由此可知余弦定理是勾股定理的推广.由①②③可得cos A =bc a c b 2222-+； cos B =ca b a c 2222-+； cos C =abc b a 2222-+.利用余弦定理，可以解决以下两类有关三角形的问题： （1）已知三边，求三个角；（2）已知两边和它们的夹角，求第三边和其他两个角. （3）在∆ABC 中，若222a b c +=，则角C 是直角； 若222a b c +<，则角C 是钝角；若222a b c +>，则角C 是锐角． （三） 三角形中的公式变换三角形中的三角变换，除了应用上述公式和上述变换方法外，还要注意三角形自身的特点。
正余弦定理讲义
正余弦定理讲义
正余弦定理是高中数学中的重要知识点，也是解决三角形相关问题的基础。
本讲义将详细介绍正余弦定理的定义、公式及其应用。
一、正余弦定理的定义
正余弦定理是指在任意三角形ABC中，设三角形三边分别为
a、b、c，对应的内角分别为A、B、C，那么：
① 余弦定理：$a^2=b^2+c^2-2bccos A$；
② 正弦定理：$dfrac{a}{sin A}=dfrac{b}{sin
B}=dfrac{c}{sin C}$。
二、正余弦定理的公式
1. 余弦定理的公式：
$a^2=b^2+c^2-2bccos A$；
$b^2=a^2+c^2-2accos B$；
$c^2=a^2+b^2-2abcos C$。
2. 正弦定理的公式：
$dfrac{a}{sin A}=dfrac{b}{sin B}=dfrac{c}{sin C}$。
三、正余弦定理的应用
1. 判断三角形是否存在
若已知三角形的三边长，应用正余弦定理可以求出三个角的正余弦值，从而判断这个三角形是否存在。
2. 求角度
已知三角形的三边长，应用余弦定理可以求出对应角的余弦值，进而求出对应角的角度大小。
3. 求边长
已知三角形的某两边和夹角，应用余弦定理可以求出第三边的长度。
4. 判断三角形的形状
通过正余弦定理可以判断三角形是锐角三角形、钝角三角形还是直角三角形。
5. 解决实际问题
应用正余弦定理可以解决很多实际问题，如测量高楼建筑物的高度、计算船舶航行距离等。
以上就是正余弦定理的讲义内容，希望对大家学习有所帮助。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
正余弦定理、解三角形综合讲义
一、考试要求：
了解利用向量知识推导正弦定理和余弦定理；掌握正弦定理、余弦定理，并能解决一些简单的三角形度量问题
二、知识梳理：
考点1 正弦定理
1．正弦定理：a sin A ＝b sin B ＝c
sin C ＝2R ，其中R 是三角形外接圆的半径．由正
弦定理可以变形为：
(1)a ∶b ∶c ＝
(2)a ＝ ，b ＝ ，c ＝
(3)sin A ＝ ，sin B ＝ ，sin C ＝
考点2 余弦定理
在ABC ∆中a 2＝ ，
b 2＝ ，
c 2＝ ．
余弦定理可以变形为：cos A ＝ ， cos B ＝ ， cos C ＝ . 考点3 内角和定理
面积公式: ．S △ABC ＝12ab sin C ＝12bc sin A ＝12ac sin B
在ABC ∆中，A B C ++=π；sin()A B +=sin C ；cos()A B +=cos C - 在三角形中大边对大角，反之亦然.
1．(广州调研)△ABC 的三个内角A ，B ，C 所对边的长分别为a ，b ，c ，已知
a ＝2，
b ＝3，则sin A sin A ＋C
＝( ) A.23 B.32 C ．－23 D ．－32
2．在△ABC 中，已知BC ＝8，AC ＝5，三角形面积为12，则cos2C ＝( )
A ．－725 B.725 C ．－2425 D.2425
3．(全国)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .若a cos A ＝b sin B ，
则sin A cos A ＋cos 2B ＝( )
A ．－12 B.12
C ．－1
D ．1 4．在△ABC 中，如果lg a －lg c ＝lgsin B ＝－lg 2，并且B 为锐角，则△ABC 的形状是( )
A ．等腰三角形
B ．直角三角形
C ．等边三角形
D ．等腰直角三角形
5．在△ABC 中，AB ＝3，BC ＝5，CA ＝7，则AB →〃BC →＝( )
A ．－152 B.152 C ．－15 32 D.15 32
6．已知a ，b ，c 分别为△ABC 的三个内角的所对的边，若a ＝1，b ＝3，A ＋C ＝2B ，则sin C ＝________.
7．已知a ，b ，c 分别为△ABC 的三个内角的所对的边，若a ＝2，b ＝2，sin B ＋cos B ＝2，则角A 的大小为______．
8．在锐角三角形ABC 中，A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，b a ＋a b
＝6cos C ，则tan C tan A ＋tan C tan B
＝________.
1．(广州海珠调研)已知A ，B ，C 是△ABC 的内角，A ＝π3.a ，b ，c 分别是其对边长，向量m ＝(cos B ，sin B )，n ＝(cos C ，－sin C )．
(1)求m 〃n 的大小；
(2)若a ＝2，cos B ＝33
，求b 的长．
2．(2011年广东深圳调研)已知向量a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，sin α2与向量b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫45
，2cos α2
垂直，其中α为第二象限角．
(1)求tan α的值；
(2)在△ABC 中，a ，b ，c 分别为∠A ，∠B ，∠C 所对的边，若b 2＋c 2－a 2＝2bc ，求tan(α＋A )的值．
3．(2011年全国)△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .己知a sin A ＋c sin C －2a sin C ＝b sin B .
(1)求B ；
(2)若A ＝75°，b ＝2，求a ，c .
4．(2011年山东)在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .已知cos A －2cos C cos B ＝2c －a b
. (1)求sin C sin A
的值； (2)若cos B ＝14
，△ABC 的周长为5，求b 的长．
5．(惠州调研)已知A ，B ，C 为△ABC 的三内角，且其对边分别为a ，b ，c ，
若m ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－cos A 2，sin A 2，n ＝⎝
⎛⎭⎪⎫cos A 2，sin A 2，且m 〃n ＝12. (1)求角A 的值；
(2)若a ＝2 3，b ＋c ＝4，求ABC 的面积．
高考尝试
1．(湖南)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c 且满足c sin A ＝a cos C .
(1)求角C 的大小；
(2)求3sin A －cos ⎝
⎛⎭⎪⎫B ＋π4的最大值，并求取得最大值时角A ，B 的大小．
2. ABC ∆的内角C B A ，，
所对的边分别为c b a ，，. （I ）若c b a ，，
成等差数列，证明：()C A C A +=+sin 2sin sin ； （II ）若c b a ，，
成等比数列，求B cos 的最小值.
3.在ABC ∆中，3,2,600===∠BC AC A ，则AB 等于___________。