2019-2020人教版数学八年级上册期末压轴题培优：全等三角形(含答案)

八年级上学期期末压轴题培优：全等三角形

1．某中学八年级（5）班的学生到野外进行数学活动，为了测量一池塘两端A、B之间的距离，同学们设计了如下两种方案：

方案1：如图（1），先在平地上取一个可以直接到达A、B的点C，连接AC并延长AC 至点D，连接BC并延长至点E，使DC＝AC，EC＝BC，最后量出DE的距离就是AB的长．

方案2：如图（2），过点B作AB的垂线BF，在BF上取C、D两点，使BC＝CD，接着过D作BD的垂线DE，交AC的延长线于E，则测出DE的长即为AB间的距离

问：（1）方案1是否可行？并说明理由；

（2）方案2是否可行？并说明理由；

（3）小明说：“在方案2中，并不一定需要BF⊥AB，DE⊥BF，将“BF⊥AB，DE⊥BF”

换成条件AB∥DE也可以．”你认为小明的说法正确吗？如果正确的话，请你把小明所说的条件补上．

解：（1）在△ABC和△DEC中，

，

∴△ABC≌△DEC（SAS），

∴AB＝DE；

（2）∵BF⊥AB，DE⊥BF，

∴∠B＝∠BDE，

在△ABC和△DEC中，

，

∴△ABC≌△DEC（ASA），

∴AB＝DE；

（3）只需AB∥DE即可，

∵AB∥DE，

∴∠B＝∠BDE，

在△ABC和△DEC中，

，

∴△ABC≌△DEC（ASA），

∴AB＝DE，

故答案为：AB∥DE．

2．小明用大小相同高度为2cm的10块小长方体垒了两堵与地面垂直的木墙AD，BE，当他将一个等腰直角三角板ABC如图垂直放入时，直角顶点C正好在水平线DE上，锐角顶点A和B分别与木墙的顶端重合，求两堵木墙之间的距离．

解：由题意得：AC＝BC，∠ACB＝90°，AD⊥DE，BE⊥DE，

∴∠ADC＝∠CEB＝90°，

∴∠ACD+∠BCE＝90°，∠ACD+∠DAC＝90°，

∴∠BCE＝∠DAC，

在△ADC和△CEB中，

，

∴△ADC≌△CEB（AAS）；

由题意得：AD＝EC＝6cm，DC＝BE＝14cm，

∴DE＝DC+CE＝20（cm），

答：两堵木墙之间的距离为20cm．

3．某段河流的两岸是平行的，数学兴趣小组在老师带领下不用涉水过河就测得的宽度，他们是这样做的：

①在河流的一条岸边B点，选对岸正对的一棵树A：

②沿河岸直走20m有一树C．继续前行20m到达D处；

③从D处沿河岸垂直的方向行走，当到达A树正好被C树遮挡住的E处停止行走；④

测得DE的长为5米．

（1）河的宽度是5米．

（2）请你说明他们做法的正确性．

证明：（1）由题意知，DE＝AB＝5米，即河的宽度是5米．

故答案是：5．

（2）如图，由题意知，在Rt△ABC和Rt△EDC中，

∴Rt△ABC≌Rt△EDC（ASA）

∴AB＝ED．

即他们的做法是正确的．

4．小明想知道一堵墙上点A的高度（AO⊥OD），但又没有直接测量的工具，于是设计了下面的方案，请你先补全方案，再说明理由．

第一步：找一根长度大于OA的直杆，使直杆靠在墙上，且顶端与点A重合，记下直杆与地面的夹角∠ABO；

第二步：使直杆顶端竖直缓慢下滑，直到∠OCD＝∠ABO．标记此时直杆的底端点D；

第三步：测量OD的长度，即为点A的高度．

说明理由：

解：OCD，ABO，OD；

理由：在△AOB与△DOC中，，

∴△AOB≌△DOC（AAS），

∴OA＝OD．

故答案为：OCD，ABO，OD．

5．如图，点C、E分别在直线AB、DF上，小华想知道∠ACE和∠DEC是否互补，但是他没有带量角器，只带了一副三角板，于是他想了这样一个办法：首先连结CF，再找出CF的中点O，然后连结EO并延长EO和直线AB相交于点B，经过测量，他发现EO＝BO，因此他得出结论：∠ACE和∠DEC互补，而且他还发现BC＝EF．小华的想法对吗？

为什么？

解：∵O是CF的中点，

∴CO＝FO（中点的定义）

在△COB和△FOE中

，

∴△COB≌△FOE（SAS）

∴BC＝EF（对应边相等）

∠BCO＝∠F（对应角相等）

∴AB∥DF（内错角相等，两直线平行）

∴∠ACE和∠DEC互补（两直线平行，同旁内角互补），

6．如图，操场上有两根旗杆间相距12m，小强同学从B点沿BA走向A，一定时间后他到达M点，此时他测得CM和DM的夹角为90°，且CM＝DM，已知旗杆AC的高为3m，小强同学行走的速度为0.5m/s，则：

（1）请你求出另一旗杆BD的高度；

（2）小强从M点到达A点还需要多长时间？

解：（1）∵CM和DM的夹角为90°，

∴∠1+∠2＝90°，

∵∠DBA＝90°，

∴∠2+∠D＝90°，

∴∠1＝∠D，

在△CAM和△MBD中，，

∴△CAM≌△MBD（AAS），

∴AM＝DB，AC＝MB，

∵AC＝3m，

∴MB＝3m，

∵AB＝12m，

∴AM＝9m，

∴DB＝9m；

（2）9÷0.5＝18（s）．

答：小强从M点到达A点还需要18秒．

7．某段河流的两岸是平行的，数学兴趣小组在老师带领下不用涉水过河就测得河的宽度，他们是这样做的：

①在河流的一条岸边B点，选对岸正对的一棵树A；

②沿河岸直走20m有一树C，继续前行20m到达D处；

③从D处沿河岸垂直的方向行走，当到达A树正好被C树遮挡住的E处停止行走；