4、材料的切变模量和刚体转动惯量的测定
实验四 材料的切变模量与刚体转动惯量的测定（扭摆法）
【实验目的】
本实验通过用扭摆法测量钢丝及铜丝材料的切变模量，了解测量材料切变模量的基本方法，进一步掌握基本长度量和时间测量仪器的正确使用方法，同时还可以用扭摆法测量各种形状刚体绕同一轴转动的转动惯量以及同一刚体绕不同轴转动的转动惯量，加深对转动惯量的概念及对垂直轴定理和平行轴定理的理解。 【仪器和用具】
1、切变模量与转动惯量实验仪
2、仪器使用方法
（1）取下仪器上端夹头，并把它拧松，将钢丝一端插入夹头孔中，然后把夹头拧紧，再 把夹头放回横梁上。用同样的方法，把钢丝的下端固定在爪手的夹头上。
（2）转动上端的“扭动旋钮”（9）使爪手一端的铷铁硼小磁钢（5）对准固定在立柱上的霍耳开关（4）。同时调整霍耳开关的位置，使之高度与小磁钢一致。
（3）调节立柱的两个底脚螺丝。使小磁钢靠近霍耳开关，并使它们之间相距为8毫米左 右。
（4）转动横梁上的“标致旋钮”（8），使它的刻线与“扭动旋钮”（9）上的刻线相一致 当旋转“扭动旋钮”（9）一个角度后，即刻又恢复到起始位置。此时爪手将绕钢丝作摆动。
（5）爪手有多种功能。圆环可水平放在爪手上面作振动。也可以垂直装在爪手下面作振 动。爪手还可以安置条形棒或柱形棒作振动，以测得不同的周期值，并求出钢丝材料的切变模量或刚体的转动惯量。
图1 切变模量与转动惯量实验仪简图 （其中2表示环状刚体垂直和水平二种状态放置）
1
2 2
3 8 4
5
6 7 1、爪手 2、环状刚体 3、待测材料 4、霍耳开关
5、铷铁硼小磁钢
6、底座
7、数字式计数计时仪
8、标志旋钮
9、扭动旋钮
9
3、数字式计数计时仪使用
（1）开启电源开关，使仪器预热10分钟。
（2）按住上升键，使预置计数值达到实验要求。
（3）使爪手作扭转振动。当铷铁硼小磁钢靠近霍耳开关约1.0cm 距离时，霍耳开关将导 通，即产生计时触发脉冲信号。
（4）数字式计数计时仪有延时功能。当扭摆作第一周期振动时，将不计时，计数为0。当计数显示1时，才显示计时半个周期。
（5）计数计时结束,可以读出由于爪手振动在霍耳开关上产生计时脉冲的计数值和总时间，其中计数2次为一个周期。要查阅每半个周期时间，只要按一次下降键即可。
4、另外，还需要螺旋测微仪，游标卡尺，米尺，电子天平（公用）。
图2 实验装置实物照片
【实验原理】
材料在弹性限度内应力同应变的比值是度量物体受力时变形大小重要参量。正应力同线应变的比值，称为杨氏模量；剪应力同剪应变的比值，称剪切弹性模量，又简称切变模量。与杨氏模量相似，切变模量在各行各业有着广泛的应用。直至和人民大众日常生活密切相关的 建筑物抗震等性能都与切变模量参量有关。
设有某一弹性固体的一个长方形体积元，顶面（底面）面积为A ，它的顶面固定，如图3所示。在它底面上作用着一个与平面平行而且均匀分布的切力F ，在这个力作用下，两个侧面将转过一定角度α，见图3，通常称这样一种弹性形变为切变。在切变角α较小的情况下，作用在单位面积上的切力/F A 与切变角α成正比。
αG A
F
= （1）
F O
O ’
P
P ’
0φ
α
L
R
图4
图3
式中G 是一个物质常数，称为切变模量。G 的单位为2
Nm -，大多数材料的切变模量约为杨氏模量的1/3到1/2，在实验中，待测样品是一根上下均匀而细长的钢丝或铜丝，从几何上说，就是一个细长圆柱体，如图4所示。设圆柱体的半径为R ，高为L ，其上端固定，下端面受到一个外加扭转力矩的作用，于是圆柱体中各体积元（取半径为r 、厚为dr ,高为L 的圆环状柱体为体积元），每个体积元上端固定，下端受一扭转力矩作用，根据公式（1），每个体积元受到的外力矩为
2d 22M r G rdr Gr dr αππα==外
(2)
设圆柱体底部绕轴转动了0φ角，如果1α
s L α≈,而0s r φ=,所以
L
r
?α= （3） （2）式代入（3）式，得到
302r dr
dM G L
π?=外 （4）
对（4）式积分，可等到总力矩
43
00022R
G R M r dr G L L
ππ??==?外 （5）
圆柱体内的弹性力矩为0M ，平衡时有0M M =-外
令L
R
G
D 4
2
π
=
，则有0M D φ=-外 对于一定的物体D 是常数，称为扭转系数。
扭摆的结构如图5所示，爪手及圆环安放位置如图5所示，若使爪手绕中心轴转过某一角度0φ，然后放开，则爪手将在弹性扭转力矩M 作用下作周期性的自由振动，这就构成一
个扭摆。若钢丝（或铜丝）在扭转振动中的角位移以φ表示，爪手整个装置对其中心轴的转动惯量为0I ，根据转动定律则有
202d M D I dt ??=-= 即 0022=+??I D
dt
d
上述方程是一个常见的简谐振动微分方程，它的振动周期应是
02T =（6） 由图6所示，将一个已知内外半径、厚度和质量的环状刚体、分别水平放在爪手上及垂直放在爪手上，绕同一轴（钢丝）转动测得的振动周期分别为T 1和T 2。而环状刚体在绕轴（环心）作水平转动时转动惯量为1I ，环状刚体处于垂直状态绕同一直径作转动时转动惯量为2I ，爪手绕中心轴转动时转动惯量为0I ，那么由(6)式可以知道，
22
1
014()T I I D π=+ ; 22
2024()T I I D
π=+
从两式中消去0I ，并将代入，可以得到切变模量G 的 表达式为
12
422
128.T I I L G R T π-=
- （7） 爪手
螺丝
扎具
O
O ’
(a)
(b)
圆环
图5
图6
b
c
由理论计算可知，环状刚体绕中心轴作水平转动的转动惯量1I ,环状刚体绕任一直径转动的转动惯量2I 分别为
22
1m 2b c I += （8）
2222m 4
12b c d I ??
+=+
???) （9） 上式中，b 为环的内半径，c 为环的外半径，m 为环的质量。d 为环状刚体的厚度。因此，根据公式（8）、（9）计算得到1I 、2I 。测量出12T T 、，通过公式（7）就能得到材料的切变模量G 。
另外，公式（6）又可以写成
G
R L I D I T 4002
2
084ππ== （10） 42008R
T L
I G π=； L T GR I π82040=
由上式可以看到，如果已知0I 就可以得到切变模量G ，反之，知道了切变模量G ，就可以得到转动惯量为0I 。由于0I 是不规则的刚体，很难得到其过中心轴的转动惯量0I ，因此可以利用
G
R L I D I T 4002
2
84ππ==； 22
011014
()4()8L I I T I I D R G ππ+=+= 两式相减，得到
221
104
8LI T T R G
π
-= ∴ 1
422
108()
LI G R T T π
=- （11） 转动惯量的平行轴定理
理论分析证明，若质量为m 的刚体绕质心轴的转动惯量为0I ，若转轴平行移动距离为x 时，则物体对新轴转动惯量为
20I I mx =+ (12)
垂直轴定理
若已知一块薄板（或薄环）绕位于板（或环）上相互垂直轴（X 和Y 轴）的转动惯量为
x I 和y I ，则薄板（或环）绕Z 轴的转动惯量为
z x y I I I =+ （13）
此即垂直轴定理，由此定理可知：圆盘（或环）通过中心且垂直盘面的转轴的转动惯量为圆盘绕其直径的转动惯量的两倍。
【实验内容和要求】 必做部分
1、 安装实验装置，调整数字式计数计时仪 仪器使用使用注意事项
（1）请勿用手将爪手托起又突然放下，铁制爪手自由下落冲力易将钢丝或铜丝拉断（往往在钢丝与扎头连接处断）。
（2）实验结束请将环放在桌上，以减轻钢丝负重。
（3）材料的切变模量与杨氏模量相似，与材料的成份、热处理工艺等均有关。如用树脂漆包线测得切变模量与纯铜丝的切变模量不相同。各种钢丝加工、热处理工艺不相同，切变模量也差异很大。
（4）如果当磁钢靠近霍耳开关时，此时触发指示灯无反应时则是磁钢的磁极放反了，取下来换个方向，就可以了。（此时触发指示灯为暗）
2、用电子天平称圆环的质量m 。用游标卡尺测圆环内直径2b 、外直径2c 和高度d ，用螺旋测微仪测量钢丝直径2R ，用米尺测量钢丝长度L （上下固定点O 、O’距离）。
注：钢丝直径、圆环内直径2b 、外直径2c 和高度d 的测量采用多次测量取平均的方法，L 的测量采用单次测量的方法。
3、计算钢丝的切变模量G ,(用两种方法计算并比较)
（1）测量爪手空载时摆动周期0T ；金属圆环水平放置在爪手上时的摆动周期1T ；金属圆环竖直吊置在爪手上时的摆动周期2T 。（测量周期应该采用多周期多次测量的方法，要测量5～6次，每次测量10个周期）。
（2）利用（7）、（8）、（9）式计算钢丝的切变模量G 。
4、验证平行轴定理
（1）用电子天平称重钢珠质量m ，用螺旋测微仪测量小钢珠的直径2r ，将两颗钢珠放置在爪手上跟爪手中心轴对称的位置上，并用游标卡尺两个位置的距离d ，测量系统（爪手加两颗钢珠）绕中
4T ，待人公式)(4402
24
I I D
T +=π 可以得到系统通过爪手中心轴的转动惯量()04I I +。
（2）利用内容3测得的钢丝的切变模量G 及空载时测得的爪手通过中心轴的摆动周期0T ，
代入公式（10），可得到爪手空载时通过中心轴的转动惯量0I ，代入上面得到的()04I I +，可以得到一个钢珠通过爪手中心轴的转动惯量3I ，验证3I 是否满足平行轴定理：
22432
22()5
I I mr md ==+
式中
2
5
2mr 为一颗钢珠绕任一直径的转动惯量。
选做部分
1、测量铜丝的切变模量，并与钢丝切变模量进行比较。
2、用扭摆测量柱状刚体的绕钢丝轴转动惯量，并与理论计算值进行比较。
3、验证刚体转动的垂直轴定理。
实验数据记录表格和有关计算公式
1、试样参数测量
表一 圆环、方柱、圆柱和小球的几何尺寸测量
表二 测量试样的质量，转动惯量的理论值
2、试样过对称轴的转动惯量的计算公式
圆环的转动惯量 )(212221R R m I +=
方柱、圆柱的转动惯量 2121
ml I = 钢珠的转动惯量 2
5
2mr I =
圆环的转动惯量I 10= kgm 2
； 方柱的转动惯量I 50= kgm 2
圆柱的转动惯量I 60= kgm 2； 钢珠的转动惯量I 30= kgm 2
3、琴钢丝和黄铜丝材料切变模量的测量
该琴钢丝切变模量的公认值是7.80×10Nm,要求计算百分差。
表四黄铜丝材料的切变模量(计数为N=20,计时t=10T)
黄铜丝的切变模量的公认值是3.12×10Nm,要求计算百分差。
4、方柱、圆柱的转动惯量测量
表五圆柱和方柱用琴钢丝测得的转动惯量(计数为N=20,计时t=10T)
分别和计算值比较，算出百分差。
5、验证平行轴定理和垂直轴定理
百分差P= %
P= %
思考题
1、如何计算用此扭摆测量材料的切变模量，主要误差也哪些物理量的测量引起的？如何计算钢丝切变模量的不确定度？
2、钢丝的切变模量和扭摆的扭转角度有何关系？本实验在测量钢丝的切变模量时为何要求扭转角度在2π左右？本实验中如果扭转角度等于2π，是否满足α＜1°？
刚体转动惯量数据处理
测量装置的几何尺寸 仪器：米尺cm D =米尺 0.5 卡尺0.02mm D =卡尺 （表格单位：cm ） ⑴塔轮半径 塔轮半径:1 d 2 r = = cm 测量的不确定度：11()(d) 1.32(d)cm 2 2 A A u r u s ==? ()0.683c m B u r =譊=卡尺 ()cm u r 测量结果：()r r u r =? ( )cm 2.角加速度测量 2 rad/s D =仪0.001 m=30g
10b 测量的不确定度2 1010() 1.20()rad/s A u s b b == 210()0.683rad/s B u b =譊=仪 210()rad/s u b 。 20b 测量的不确定度2 2020() 1.20()rad/s A u s b b == 220()0.683rad/s B u b =譊=仪 220()rad/s u b 。 1b 测量的不确定度211() 1.20( )rad/s A u s b b == 21()0.683r a d /s B u b =譊=仪 21()rad/s u b 。 2b 测量的不确定度222() 1.20( )rad/s A u s b b == 22()0.683r a d /s B u b =譊=仪 210()rad/s u b 。 空载转动惯量：22002010 () =kg m mr g r J b b b -= - ⑵圆环的转动惯量2221 () =kg m mr g r J b b b -= -合 圆环的转动惯量实验值： 210kg m J J J =-= 合 圆环的转动惯量理论值：22212111m )kg m 8 J D D =+= 理（ 实验值与理论值相对误差：111100%=%r J J E J -= 理理
三线摆测量物体的转动惯量实验过程分析和实验数据处理
三线摆测物体的转动惯量 7．预习思考题回答 (1)用三线摆测刚体转动惯量时，为什么必须保持下盘水平？ 答：扭摆的运动可近似看作简谐运动，以便公式推导，利用根据能量守恒定律和刚体转动定律均可导出物体绕中心轴的转动惯量公式。 (2)在测量过程中，如下盘出现晃动，对周期有测量有影响吗？如有影响，应如何避免之？ 答：有影响。当三线摆在扭动的同时产生晃动时，这时下圆盘的运动已不是一个简谐振动，从而运用公式测出的转动惯量将与理论值产生误差，其误差的大小是与晃动的轨迹以及幅度有关的。 (3)三线摆放上待测物后，其摆动周期是否一定比空盘的转动周期大？为什么？ 答：不一定。比如，在验证平行轴定理实验中，d=0,2,4,6cm 时三线摆周期比空盘小；d=8cm 时三线摆周期比空盘大。 理论上，22010002 [()]04x gRr I I I m m T m T H π=-= +-> 所以2 2 000()0m m T m T +->= 〉0/T T > 1<，并不能保证0/1T T >，因此放上待测物后周期不一定变大。 (4)测量圆环的转动惯量时，若圆环的转轴与下盘转轴不重合，对实验结果有何影响？ 答：三线摆在扭摆时同时将产生晃动时，这时下圆盘的运动已不是一个简谐振动，从而运用公式测出的转动惯量将与理论值产生误差。 8．数据记录及处理 表 1 待测刚体的有关尺寸数据的记录及简单计算 g(重力加速度)= 9.793 m/s 2 m 0（圆盘） = 380 g m 1（圆环） = 1182 g m 21（圆柱）= 137 g m 22（圆柱）= 137 g x(两圆柱离中心距离)= 4.50 cm
刚体转动惯量计算方法
刚体绕轴转动惯性的度量。其数值为J=∑ mi*ri^2， 式中mi表示刚体的某个质点的质量，ri表示该质点到转轴的垂直距离。 ；求和号（或积分号）遍及整个刚体。转动惯量只决定于刚体的形状、质量分布和转轴的位置，而同刚体绕轴的转动状态（如角速度的大小）无关。规则形状的均质刚体，其转动惯量可直接计得。不规则刚体或非均质刚体的转动惯量，一般用实验法测定。转动惯量应用于刚体各种运动的动力学计算中。 描述刚体绕互相平行诸转轴的转动惯量之间的关系，有如下的平行轴定理：刚体对一轴的转动惯量，等于该刚体对同此轴平行并通过质心之轴的转动惯量加上该刚体的质量同两轴间距离平方的乘积。由于和式的第二项恒大于零，因此刚体绕过质量中心之轴的转动惯量是绕该束平行轴诸转动惯量中的最小者。 还有垂直轴定理：垂直轴定理 一个平面刚体薄板对于垂直它的平面轴的转动惯量，等于绕平面内与垂直轴相交的任意两正交轴的转动惯量之和。 表达式:Iz=Ix+Iy 刚体对一轴的转动惯量，可折算成质量等于刚体质量的单个质点对该轴所形成的转动惯量。由此折算所得的质点到转轴的距离，称为刚体绕该轴的回转半径κ，其公式为_____，式中M为刚体质量；I为转动惯量。 转动惯量的量纲为L^2M，在SI单位制中，它的单位是kg·m^2。 刚体绕某一点转动的惯性由更普遍的惯量张量描述。惯量张量是二阶对称张量，它完整地刻画出刚体绕通过该点任一轴的转动惯量的大小。 补充对转动惯量的详细解释及其物理意义： 先说转动惯量的由来，先从动能说起大家都知道动能E=(1/2)mv^2，而且动能的实际物理意义是：物体相对某个系统（选定一个参考系）运动的实际能量，（P势能实际意义则是物体相对某个系统运动的可能转化为运动的实际能量的大小）。 E=(1/2)mv^2 （v^2为v的2次方） 把v=wr代入上式(w是角速度,r是半径，在这里对任何物体来说是把物体微分化分为无数个质点，质点与运动整体的重心的距离为r,而再把不同质点积分化得到实际等效的r) 得到E=(1/2)m(wr)^2 由于某一个对象物体在运动当中的本身属性m和r都是不变的，所以把关于m、r的变量用一个变量K代替, K=mr^2 得到E=(1/2)Kw^2 K就是转动惯量，分析实际情况中的作用相当于牛顿运动平动分析中的质量的作用，都是一般不轻易变的量。 这样分析一个转动问题就可以用能量的角度分析了，而不必拘泥于只从纯运动角度分析转动问题。 为什么变换一下公式就可以从能量角度分析转动问题呢？ 1、E=(1/2)Kw^2本身代表研究对象的运动能量 2、之所以用E=(1/2)mv^2不好分析转动物体的问题，是因为其中不包含转动物体的任何转动信息。 3、E=(1/2)mv^2除了不包含转动信息，而且还不包含体现局部运动的信息，因为里面的速度v只代表那个物体的质 心运动情况。 4、E=(1/2)Kw^2之所以利于分析，是因为包含了一个物体的所有转动信息，因为转动惯量K=mr^2本身就是一种积 分得到的数，更细一些讲就是综合了转动物体的转动不变的信息的等效结果K=∑ mr^2 （这里的K和上楼的J一样） 所以，就是因为发现了转动惯量，从能量的角度分析转动问题，就有了价值。 若刚体的质量是连续分布的，则转动惯量的计算公式可写成K=∑ mr^2=∫r^2dm=∫r^2σdV 其中dV表示dm的体积元，σ表示该处的密度，r表示该体积元到转轴的距离。 补充转动惯量的计算公式 转动惯量和质量一样，是回转物体保持其匀速圆周运动或静止的特性，用字母J表示。 对于杆： 当回转轴过杆的中点并垂直于轴时；J=mL^2/12 其中m是杆的质量，L是杆的长度。 当回转轴过杆的端点并垂直于轴时：J=mL^2/3 其中m是杆的质量，L是杆的长度。 对与圆柱体： 当回转轴是圆柱体轴线时；J=mr^2/2 其中m是圆柱体的质量，r是圆柱体的半径。 转动惯量定理：M=Jβ
刚体的转动惯量专题
刚体的转动惯量专题 1.刚体的转动惯量的三要素 刚体对某轴的转动惯量，是描述刚体在绕该轴的转动过程中转动惯性的物理量. 有转动惯量的定义式2i i I m r =∑可看出，刚 体的转动惯量是与下列三个因素有关的. （1）与刚体的质量有关. 例如半径相同的两个圆柱体，而它们的质量不同，显然，对于相应的转轴，质量大的转动惯量也较大.
（2）在质量一定的情况下，与质量的分布有关. 例如，质量相同、半径也相同的圆盘与圆环，二者的质量分布不同，圆环的质量集中分布在边缘，而圆盘的质量分布在整个圆面上，所以，圆环的转动惯量较大. （3）还与给定转轴的位置有关，即同一刚体对于不同的转轴，其转动惯量的大小也是不等的. 例如，同一细长杆，对通过其质心且垂直于杆的转轴和通过其一端且垂直于杆的转轴，二者的转动惯量不相同，且后者较大. 这是由于转轴的位置不同，从而也就影响了转动惯量的大小.
刚体的转动惯量的三要素：刚体的总质量、刚体的质量分布情况、转轴的位置. 2.转动惯量的普遍公式 （1）转动惯量的定义式 2 i i I m r =∑ ·········○1 可知，对于形状规则、质量均匀分布的连续刚体，其对特殊轴的转动惯量的计算可借助于定积分. 这是，可设想将刚体分成
许多小线元、面元、体元. d d d d d d m x m S m V λσρ=== 于是 222222d d d d d d l S V I r m r x I r m r S I r m r V λσρ======?????? 一般说来，这是个三重的体积分，但对于有一定对称性的物体，积分的重数可以减少，甚至不需要积分. （2）刚体对某轴的转动惯量 刚体对z 轴的转动惯量
转动惯量公式表
常见几何体]转动惯量公式表
对于细杆 当回转轴过杆的中点并垂直于杆时；J=m(L^2)/12 其中m是杆的质量，L是杆的长度。 当回转轴过杆的端点并垂直于杆时：J=m(L^2)/3 其中m是杆的质量，L是杆的长度。
对于圆柱体 当回转轴是圆柱体轴线时；J=m(r^2)/2 其中m是圆柱体的质量，r是圆柱体的半径。 对于细圆环 当回转轴通过中心与环面垂直时，J=mR^2； 当回转轴通过边缘与环面垂直时，J=2mR^2； R为其半径 对于薄圆盘 当回转轴通过中心与盘面垂直时，J=﹙1/2﹚mR^2； 当回转轴通过边缘与盘面垂直时，J=﹙3/2﹚mR^2； R为其半径 对于空心圆柱 当回转轴为对称轴时，J=﹙1/2﹚m[（R1）^2+（R2）^2]； R1和R2分别为其内外半径。 对于球壳 当回转轴为中心轴时，J=﹙2/3﹚mR^2； 当回转轴为球壳的切线时，J=﹙5/3﹚mR^2； R为球壳半径。 对于实心球体 当回转轴为球体的中心轴时，J=﹙2/5﹚mR^2； 当回转轴为球体的切线时，J=﹙7/5﹚mR^2； R为球体半径 对于立方体 当回转轴为其中心轴时，J=﹙1/6﹚mL^2； 当回转轴为其棱边时，J=﹙2/3﹚mL^2； 当回转轴为其体对角线时，J=（3/16）mL^2； L为立方体边长。 只知道转动惯量的计算方式而不能使用是没有意义的。下面给出一些（绕定轴转动时）的刚体动力学公式。 角加速度与合外力矩的关系：
角加速度与合外力矩 式中M为合外力矩，β为角加速度。可以看出这个式子与牛顿第二定律是对应的。 角动量： 角动量 刚体的定轴转动动能： 转动动能 注意这只是刚体绕定轴的转动动能，其总动能应该再加上质心动能。 只用E=（1/2）mv^2不好分析转动刚体的问题，是因为其中不包含刚体的任何转动信息，里面的速度v 只代表刚体的质心运动情况。由这一公式，可以从能量的角度分析刚体动力学的问题。 转动惯量(Moment of Inertia)是刚体绕轴转动时惯性（回转物体保持其匀速圆周运动或静止的特性）的量度，用字母I或J表示。其量值取决于物体的形状、质量分布及转轴的位置。转动惯量只决定于刚体的形状、质量分布和转轴的位置，而同刚体绕轴的转动状态（如角速度的大小）无关。形状规则的匀质刚体，其转动惯量可直接用公式计算得到。而对于不规则刚体或非均质刚体的转动惯量，一般通过实验的方法来进行测定，因而实验方法就显得十分重要。转动惯量的表达式为I=∑ mi*ri^2，若刚体的质量是连续分布的，则转动惯量的计算公式可写成I=∫r^2dm=∫r^2ρdV(式中mi表示刚体的某个质元的质量，ri表示该质元到转轴的垂直距离,ρ表示该处的密度，求和号（或积分号）遍及整个刚体。)转动惯量的量纲为L^2M，在SI单位制中，它的单位是kg·m^2。 平行轴定理 平行轴定理：设刚体质量为m，绕通过质心转轴的转动惯量为Ic，将此轴朝任何方向平行移动一个距离d，则绕新轴的转动惯量I为： I=Ic+md^2 这个定理称为平行轴定理。 一个物体以角速度ω绕固定轴z轴的转动同样可以视为以同样的角速度绕平行于z轴且通过质心的固定轴的转动。也就是说，绕z轴的转动等同于绕过质心的平行轴的转动与质心的转动的叠加
刚体的转动惯量
刚体的转动惯量
1.刚体的转动惯量的三要素 刚体对某轴的转动惯量，是描述刚体在绕该轴的转动过程中转动惯性的物理量. 有转动惯量
? 的定义式 I ? miri2 可看出，刚体的转动惯量是与下列三个因素有关的.
（1）与刚体的质量有关. 例如半径相同的两个圆柱体，而它们的质量不同，显然，对于相 应的转轴，质量大的转动惯量也较大. （2）在质量一定的情况下，与质量的分布有关. 例如质量相同、半径也相同的圆盘与圆环， 二者的质量分布不同，圆环的质量集中分布在边缘，而圆盘的质量分布在整个圆面上，所以， 圆环的转动惯量较大. （3）还与给定转轴的位置有关，即同一刚体对于不同的转轴，其转动惯量的大小也是不等 的. 例如，同一细长杆，对通过其质心且垂直于杆的转轴和通过其一端且垂直于杆的转轴， 二者的转动惯量不相同，且后者较大. 这是由于转轴的位置不同，从而也就影响了转动惯量 的大小.刚体的转动惯量的三要素：刚体的总质量、刚体的质量分布情况、转轴的位置. 2.转动惯量的普遍公式
? （1）转动惯量的定义式 I ? miri2
·········○1
可知，对于形状规则、质量均匀分布的连续刚体，其对特殊轴的转动惯量的计算可借助于定
积分. 这是，可设想将刚体分成许多小线元、面元、体元.
dm ? ?dx dm ? ? dS dm ? ?dV
于是
? ? I ? r2dm ? r2?dx l
? ? I ? r2dm ? r2? dS S
? ? I ? r2dm ? r2?dV V
一般说来，这是个三重的体积分，但对于有一定对称性的物体，积分的重数可以减少，甚至
不需要积分.
（2）刚体对某轴的转动惯量
刚体对 z 轴的转动惯量
实验2 刚体转动惯量的测定
实验2 刚体转动惯量的测量 [预习思考题] 1．实验中的刚体转动惯量实验仪是由哪几部分组成的？ 2．实验中可以通过什么方法改变转动力矩？ 3．实验中刚体转动过程的角加速度如何测得？ 转动惯量是描述刚体转动中惯性大小的物理量，对于绕定轴转动的刚体，它为一恒量，以J表示，即 ∑= i i i r m J2 式中，m i为刚体上各个质点的质量，r i为各个质点至转轴的距离。由此可见，物体的转动惯量J与刚体的总质量、质量分布及转轴的位置有关。对于几何形状规则、对称和质量分布均匀的刚体，可以通过积分直接计算出它绕某定轴的转动惯量。对于形状复杂或非匀质的任意物体，则一般要通过实验来测定，例如，机械零件、电机的转子、炮弹等。 测定物体的转动惯量有多种实验方法，主要分为扭摆法和恒力矩转动法两类。本实验介绍用塔轮式转动惯量仪测定的方法，是使塔轮以一定形式旋转，通过表征这种运动特征的物理量与转动惯量的关系，进行转换测量。该方法属于恒力矩转动法。 转动惯量是研究、设计、控制转动物体运动规律的重要参数，实验测定刚体的转动惯量具有十分重要的意义，是高校理工科物理实验教学大纲中的一个重要基本实验。 一、实验目的 1．学习用转动惯量仪测定刚体的转动惯量。 2．研究作用于刚体上的外力矩与角加速度的关系。 3．验证转动定律及平行轴定理。 二、实验仪器 IM－2刚体转动惯量实验仪及其附件（霍尔开关传感器、砝码等）和MS－1型多功能数字毫秒仪。 三、仪器介绍
1．滑轮 2．滑轮高度和方向调节组件 3．挂线 4．塔轮组 5．铝质圆盘承物台 6．样品固定螺母 7．砝码 8．磁钢 9．霍尔开关传感器 10．传感器固定架 11．实验样品水平调节旋钮（共3个） 12．毫秒仪次数预置拨码开关，可预设1－64次 13．次数显示屏 14．时间显示屏 l5．次数+1查阅键 16．毫秒仪复位键 17．+5V 电源接线柱 18．电源GND （地）接线柱 19．INPUT 输入接线柱 20．输入低电平指示 21．次数-1查阅键 图4-3-1 IM-2刚体转动惯量实验仪和MS －1型多功能数字毫秒仪结构示意图 IM-2刚体转动惯量实验仪主要由绕竖直轴转动的铝质圆盘承物台、绕线塔轮、霍尔开关传感器、磁钢、滑轮组件、砝码等组成。 样品放置在铝质圆盘承物台上，承物台上有许多圆孔，可用于改变样品的转轴位置。绕线塔轮是倒置的塔式轮，分为四层，自上往下半径分别为3cm 、2.5cm 、2cm 、1.5cm 。磁钢随转动系统转动，每半圈经过霍尔开关传感器一次，传感器输出低电平，通过连线送到多功能数字毫秒仪。传感器红线接毫秒仪+5V 电源接线柱，黑线接电源GND （地）接线柱，黄线接INPUT 输入接线柱。 MS －1型多功能数字毫秒仪通过预置拨码开关预置实验所需感应次数。每轮实验开始前通过复位键清0，直到输入低电平信号触发计时开始，次数显示屏从0次开始计时，直至达到预置次数停止。计时停止后，方能查阅各次感应时间。 四、实验原理 1. 任意样品的转动惯量测定 设转动惯量仪空载（不加任何样品）时的转动惯量为J 1，称为系统的本底转动惯量，转动惯量仪负载（加上样品）时的转动惯量为J 2，根据转动惯量的可加性，则样品的转动惯量J x 为 21x J J J =- 2. 系统的转动惯量测定 1）刚体的转动定律 刚体绕定轴转动时，刚体的角加速度与它所受的合外力矩成正比，与刚体的转动惯量成反比，这个关系称为刚体的转动定律。 M J β= 利用转动定律，测得刚体转动时的合外力矩及该力矩作用下的角加速度，则可计算
刚体转动惯量计算方法
刚体对轴转动惯量的计算 一、转动惯量及回转半径 在第一节中已经知道，刚体对某轴z 的转动惯量就就是刚体内各质点与该点到 z 轴距离 2 平方的乘积的总与，即 J z 口小。如果刚体质量连续分布，则转动惯量可写成 J z r 2 dm M (18-11) 由上面的公式可见，刚体对轴的转动惯量决定于刚体质量的大小以及质量分布情况 ，而与 刚体的运动状态无关，它永远就是一个正的标量。如果不增加物体的质量但使质量分布离轴 远一些， 就可以使转动惯量增大。例如设计飞轮时把轮缘设计的厚一些 ，使得大部分质量集中 在轮缘上，与转轴距离较远，从而增大转动惯量。相反,某些仪器仪表中的转动零件，为了提高灵 敏 度，要求零件的转动惯量尽量小一些 ，设计时除了采用轻金属、 塑料以减轻质量外，还要尽量 将材料多靠近转轴。 工程中常把转动惯量写成刚体总质量 M 与某一当量长度 的平方的乘积 (18-12) 相距为z 的点上，则此集中质量对z 轴的转动惯量与原刚体的转动惯量相同。 具有规则几何形状的均质刚体，其转动惯量可以通过计算得到，形状不规则物体的转动惯 量往往不就是由计算得出，而就是根据某些力学规律用实验方法测得。 二、简单形状物体转动惯量的计算 1.均质细直杆 dm 如图18-7所示，设杆长为I ，质量为M 。取杆上微段dx ，其质量为 图 18-7 杆对z c 轴的转动惯量为 对应的回转半径 2.均质细圆环 如图18-8所示均质细圆环半径为 R ，质量为M 。任取圆环上一微段，其质量为dm ，则对z z 称为刚体对于 z 轴的回转半径(或惯性半径)，它的意义就是 ，设想刚体的质量集中在与 Mdx I ，则此 J z c I 2 2 x 2 dm 2/ —Ml 12 J z c I M 2、3 0.289I
刚体转动惯量的测定_实验报告
实验三刚体转动惯量的测定 转动惯量是刚体转动中惯性大小的量度。它与刚体的质量、形状大小和转轴的位置有关。形状简单的刚体，可以通过数学计算求得其绕定轴的转动惯量；而形状复杂的刚体的转动惯量，则大都采用实验方法测定。下面介绍一种用刚体转动实验仪测定刚体的转动惯量的方法。 实验目的： 1、理解并掌握根据转动定律测转动惯量的方法； 2、熟悉电子毫秒计的使用。 实验仪器： 刚体转动惯量实验仪、通用电脑式毫秒计。 仪器描述： 刚体转动惯量实验仪如图一，转动体系由十字型承物台、绕线塔轮、遮光细棒等（含小滑轮）组成。遮光棒随体系转动，依次通过光电门，每π弧度（半圈）遮光电门一次的光以计数、计时。塔轮上有五个不同半径（r）的绕线轮。砝码钩上可以放置不同数量的砝码，以获得不同的外力矩。 实验原理： 空实验台（仅有承物台）对于中垂轴OO’的转动惯量用J o表示，加上试样（被测物体）后的总转动惯量用J表示，则试样的转动惯量J1： J1 = J –J o (1) 由刚体的转动定律可知：
T r – M r = J α (2) 其中M r 为摩擦力矩。 而 T = m(g -r α) (3) 其中 m —— 砝码质量 g —— 重力加速度 α —— 角加速度 T —— 张力 1． 测量承物台的转动惯量J o 未加试件，未加外力（m=0 , T=0） 令其转动后，在M r 的作用下，体系将作匀减速转动，α=α1，有 -M r1 = J o α1 (4) 加外力后，令α =α2 m(g –r α2)r –M r1 = J o α2 (5) （4）（5）式联立得 J o = 21 2212mr mgr ααααα--- (6) 测出α1 , α2，由（6）式即可得J o 。 2． 测量承物台放上试样后的总转动惯量J ，原理与1.相似。加试样后，有 -M r2=J α3 (7) m(g –r α4)r –Mr 2= J α4 (8) ∴ J = 23 4434mr mgr ααααα--- (9) 注意：α1 , α3值实为负，因此（6）、（9）式中的分母实为相加。 3． 测量的原理 设转动体系的初角速度为ωo ，t = 0 时θ= 0 ∵ θ=ωo t + 2 2 1t α (10) 测得与θ1 , θ2相应的时间t 1 , t 2 由 θ1=ωo t 1 + 2121t α (11) θ2=ωo t 2 + 2 22 1t α (12) 得 22112 22112) (2t t t t t t --= θθα (13) ∵ t = 0时，计时次数k=1（θ=л时，k = 2） ∴ []2 2 11222112)1()1(2t t t t t k t k ----= πα (14) k 的取值不局限于固定的k 1 , k 2两个，一般取k =1 , 2 , 3 , …,30,…
刚体转动惯量的测量_评分标准
“用刚体转动惯量仪测定刚体转动惯量”评分标准 第一部分：预习报告（20分） 一．实验目的 1．掌握使用转动惯量仪检验刚体的刚体转动定律。 2．学会测定圆盘的转动惯量和摩擦力矩。 3．学会一种处理实验数据的方法－作图法（曲线改直法）。 二．实验仪器 刚体转动惯量仪、通用电脑毫秒计、水准仪、 游标尺、 砝码等 三．实验原理 1．转动定律 2．单角度设置法)0(0=w ，测量刚体的转动惯量和摩擦力矩，曲线改直法应用； * 3．双角度设置法，测量刚体的转动惯量和摩擦力矩； * 4．验证平行轴定理 四．实验内容及步骤 1．单角度设置法)0(0=w ，测量刚体的转动惯量和摩擦力矩； 2．双角度设置法，测量刚体的转动惯量和摩擦力矩。 第二部分：数据采集与实验操作（40分） 有较好的动手能力，能够很好解决实验过程中出现的问题，数据采集记录完整准确，操作过程无误（35-40分）； 有一定的动手能力，能够解决实验过程中出现的一般问题, 数据采集记录完整，操作过程无大的违规(35-20)； 动手能力较差，难以解决实验过程中出现的一般问题，数据采集与记录不完整、有偏差，有违规操作(0-20分)。 操作要点： 1． 拉线要与绕线塔轮水平，且相切。 2． 单角度设置法中要确保初角速度为零，即00=w ； 第三部分：数据记录与数据处理（30分） 数据处理要求： 1．原始数据需重新抄入实验报告数据处理部分的正文中，再进行具体处理，注意各测量量的单位； 2．测量塔轮半径r ，刚体圆盘质量M 盘，刚体圆盘直径R 盘；设置系统转动角度θ；
3．使用作图法（曲线改直）处理单角度设置法的数据： 1）作图时要有清楚标注，如空载图还是载荷图，坐标轴是否有标注，数据是否齐全，比例是否合适等； 2）由图可得，空载时的截距0C 和斜率0K ；载荷时的截距C 和斜率K ； 3）计算空载时系统的0J ，载荷时系统的J ，得到刚体圆盘转动惯量x J ； 4）计算刚体圆盘理论值理x J ，并与上述实验值作比较； 5）计算系统空载和载荷时的摩擦力矩0μM 、μM ，并作比较。 4．根据公式处理双角度设置法的数据： 1）根据公式，计算系统空载时0β、' 0β，以及载荷时的β、'β； β为有恒外力矩（绕线上挂有固定质量砝码）时的角加速度， 'β为无外力矩（绕线上没有挂砝码）时的角加速度； 2）根据公式，计算空载时系统的0J ，载荷时系统的J ，得到刚体圆盘转动惯量x J ； 3）计算刚体圆盘理论值理x J ，并与上述实验值作比较； 4）计算系统相应的摩擦力矩μM 。 测量结果参考值： 1．基本数据测量： 铝质圆盘直径：D 盘 =（240.00±0.05）mm 砝码质量：（5.00±0.05）g 圆盘质量：M 盘 = 482g 2．单角度设置法数据记录与处理： 1）空载数据记录： )6(102)1(==-=N N 取ππθ ， cm r 000.3= ， 0=盘M
测量刚体的转动惯量实验报告及数据处理
实验讲义补充： 1.刚体概念：刚体是指在运动中和受力作用后，形状和大小不变，而且内部各点的相 对位置不变的物体。 2.转动惯量概念：转动惯量是刚体转动中惯性大小的量度。它取决于刚体的总质量， 质量分布、形状大小和转轴位置 3.转动定律：合外力矩=转动惯量×角加速度 4.转动惯量叠加： 空盘：（1）阻力矩（2）阻力矩＋砝码外力→J1 空盘＋被测物体：（1）阻力矩（2）阻力矩＋砝码外力→J2 被测物体：J3=J2-J1 5.转动惯量理论公式：圆盘&圆环 6.转动惯量实验仪器：水准仪；线水平；线与孔不产生摩擦；塔轮选小的半径；至少 3个塔轮半径，3组砝码质量 7.计数器：遮光板半圈π；单电门，多脉冲；空盘15圈，20个值；加上被测物体，8 个值； 8.泡沫垫板 9.重力加速度：s^2 10.质量：1次读数，包括砝码，圆盘，圆环，以及两圆柱体； 11.游标卡尺：6次读数，包括圆盘半径，圆环内外半径，塔轮半径，转盘上孔的内外 半径（求平均值） 12.实验目的：测量值与理论值对比 实验计算补充说明： 1.有效数字：质量，故有效数字为3位 2.游标卡尺：，读数最后一位肯定为偶数； 3.误差&不确定度： （1）理论公式计算的误差：
圆盘：（注意：直接测量的是直径） 质量m=±；（保留4位有效数字） um=*100%=% 半径R=± 若测6次,x1,x2,x3,x4,x5,x6,i=6，计算x平均值 ， 取n=6时的 ，我们处理为0 C=,仪器允差,δB= 总误差：,ux= m ,u rx==% R=± urx=% 计算转动惯量的结果表示： ，总误差：uJ=，相对不确定=uJ/J
刚体转动惯量的测定实验报告
刚体转动惯量的测定 物本1001班 张胜东（201009110024） 李春雷（201009110059） 郑云婌（201009110019）
刚体转动惯量的测定实验报告 【实验目的】 1.熟悉扭摆的构造、使用方法和转动惯量测试仪的使用。 2.用扭摆测定弹簧的扭转常数K和几种不同形状的物体的转动惯量，并与理论值进行比较。 3.验证转动定理和平行轴定理。 【实验仪器】 （1）扭摆（转动惯量测定仪）。 （2）实心塑料圆柱体、空心金属圆桶、细金属杆和两个金属块及支架。 （3）天平。 （4）游标卡尺。 （5）HLD-TH-II转动惯量测试仪（计时精度0.001ms）。 【实验原理】 1.扭摆 扭摆的构造如图所示，在垂直轴1 上装有一根薄片状的螺旋弹簧2，用以产生恢复力矩。在轴的上方可以装上各种待测物体。垂直轴与支座间装有轴承，以降低磨擦力矩。3 为水平仪，用来调整系统平衡。 将物体在水平面内转过一角度θ后，在弹簧的恢复力矩作用下物体就开始绕垂直轴作往返扭转运将物体在水平面内转过一角度θ后，在弹簧的恢复力矩作用下物体就开始绕垂直轴作往返扭转运动。根据虎克定律，弹簧受扭转而产生的恢复力矩M与所转过的角度θ成正比，即
b M ＝－K θ （1） 式中，K 为弹簧的扭转常数，根据转动定律 M ＝I β 式中，I 为物体绕转轴的转动惯量，β为角加速度，由上式得 I M = β （2） 令 L K = 2 ω ,忽略轴承的磨擦阻力矩，由（1）、（2）得 θωθθβ2 2 2-=-==I K dt d （3） 上述方程表示扭摆运动具有角简谐振动的特性，角加速度与角位移成正比，且方向相反。此方程的解为： θ＝Acos(ωt ＋φ) （4） 式中，A 为谐振动的角振幅，φ为初相位角，ω为角速度，此谐振动的周期为 K I T π ω π 22== （5） 由（5）可知，只要实验测得物体扭摆的摆动周期，并在I 和K 中任何一个量已知时即可计算出另一个量。 本实验用一个几何形状规则的物体，它的转动惯量可以根据它的质量和几何尺寸用理论公式直接计算得到，再算出本仪器弹簧的K 值。若要测定其它形状物体的转动惯量，只需将待测物体安放在本仪器顶部的各种夹具上，测定其摆动周期，由公式（3）即可算出该物体绕转动轴的转动惯量。 2.弹簧的扭转系数 实验中用一个几何形状规则的物体（塑料圆柱体），它的转动惯量可以根据它的质量和集合尺寸用理论公式直接计算得到，再由实验数据算出本一起弹簧的K 值。方法如下： （1）测载物盘摆动周期T 0，由（5）式得其转动惯量为： （2）塑料圆柱放在载物盘上，测出摆动周期T 1，由（5）式其总惯量为：
刚体的转动惯量专题
-- 刚体的转动惯量专题 1.刚体的转动惯量的三要素 刚体对某轴的转动惯量，是描述刚体在绕该轴的转动过程中转动惯性的物理量. 有转动惯量的定义式2i i I m r =∑可看出，刚体的 转动惯量是与下列三个因素有关的. （1）与刚体的质量有关. 例如半径相同的两个圆柱体，而它们的质量不同，显然，对于相应的转轴，质量大的转动惯量也较大.
（2）在质量一定的情况下，与质量的分布有关. 例如，质量相同、半径也相同的圆盘与圆环，二者的质量分布不同，圆环的质量集中分布在边缘，而圆盘的质量分布在整个圆面上，所以，圆环的转动惯量较大. （3）还与给定转轴的位置有关，即同一刚体对于不同的转轴，其转动惯量的大小也是不等的. 例如，同一细长杆，对通过其质心且垂直于杆的转轴和通过其一端且垂直于杆的转轴，二者的转动惯量不相同，且后者较大. 这是由于转轴的位置不同，从而也就影响了转动惯量的大小. --
-- 刚体的转动惯量的三要素：刚体的总质量、刚体的质量分布情况、转轴的位置. 2.转动惯量的普遍公式 （1）转动惯量的定义式 2i i I m r =∑ ·········○1 可知，对于形状规则、质量均匀分布的连续刚体，其对特殊轴的转动惯量的计算可借助于定积分. 这是，可设想将刚体分成许多小线元、面元、体元.
-- d d d d d d m x m S m V λσρ=== 于是 222222d d d d d d l S V I r m r x I r m r S I r m r V λσρ======?????? 一般说来，这是个三重的体积分，但对于有一定对称性的物体，积分的重数可以减少，甚至不需要积分. （2）刚体对某轴的转动惯量 刚体对z 轴的转动惯量 ()()2 2 2 2 d d z I r z m x y m =-=+?? (2)
常用物体的转动惯量与扭矩的计算
附录1.常用物体转动惯量的计算 角加速度的公式a = (2n /60) /t 转 矩T=J* a =J*n*2 n /60) /t a -弧度/秒t-秒T -Nm n-r/min 图i矩形结构定义 以a-a为轴运动的惯量: 惯量的计算: / W 为 为 为 位 位 位 单 单 单 量 积 度 质 体 密 m v / m 1 2 公式中: 以b-b为轴运动的惯量: 圆柱体的惯量 图2圆柱体定义 m = Vx3 V=Lxhxw 矩形体的计算
m = Vx3 Di r =— 2 J旳严尽匹 2 8 m = Vx3 4 _ m x (Do2+ Di2) Jx— ----------------- m '(Po2+D2) _L2> 1t 4+_3 > 摆臂的惯量 TTD I2 "T~ xt (Di2r、 3 丿 空心柱体惯量 图3空心柱体定义
图4-1摆臂1结构定义 图4-2摆臂2结构定义J = m.R2 曲柄连杆的惯量
图5曲柄连杆结构定义带减速机结构的惯量 图6带减速机结构定义齿形带传动的惯量J = m R? + rm n2 J M:电机惯量 J L :负載惯量 J L^M :负载惯量折算到电机侧的惯量M L :负载较矩 J R:减速机折算到输入的愤量 R :减速比 r]R :减速机效率 R= — = - = Ry.&L 3w= R X3L 9L Q}L ■总-惯量: ■折算到电机侧的力矩: M, Mz"%彷R片 R J M卡J R +J I J W ■根据能量守恒定律；
图7齿形带传动结构 齿轮 组减速结构的惯量 J M :电机惯量 J L :负载惯量 Mi :负载力矩 J PM :电机侧带轮惯量 □PM :电机侧带轮直径 N TM :电机侧带轮齿数 JPL :负载侧带轮惯量 □PL :负载带轮直径 N TL :负载带轮齿数 q :减速机效率 me :皮带质量 M L J M :电机惯量 J L :负載惯量 M L :负载扭矩 J GM :电机側齿轮惯量 N IM :电机侧齿轮齿数 J GL :负载齿轮惯量 N R :负载齿轮齿数 n :减 速机效率 图8齿轮组传动结构 滚珠丝杠的惯量 J 叫叭皿6ljwljml JpL> D R L + 6M = /?x Q L CO JW = R^UJ L D PL 时7> ■折算到电机扭矩: /Wi. T M 二 R=— eM=RxQL N TM ■折算到电机力矩:
刚体的转动惯量专题
1第 1 页 共 126 页 刚体的转动惯量专题 1.刚体的转动惯量的三要素 刚体对某轴的转动惯量，是描述刚体在绕该轴的转动过程中转动惯性的物理量. 有转动惯量的定义式2i i I m r =∑可看出，刚体的 转动惯量是与下列三个因素有关的. （1）与刚体的质量有关. 例如半径相同的两个圆柱体，而它们的质量不同，显然，对于相应的转轴，质量大的转动惯量也较大.
（2）在质量一定的情况下，与质量的分布有关. 例如，质量相同、半径也相同的圆盘与圆环，二者的质量分布不同，圆环的质量集中分布在边缘，而圆盘的质量分布在整个圆面上，所以，圆环的转动惯量较大. （3）还与给定转轴的位置有关，即同一刚体对于不同的转轴，其转动惯量的大小也是不等的. 例如，同一细长杆，对通过其质心且垂直于杆的转轴和通过其一端且垂直于杆的转轴，二者的转动惯量不相同，且后者较大. 这是由于转轴的位置不同，从而也就影响了转动惯量的大小. 2第2 页共126 页
3第 3 页 共 126 页 刚体的转动惯量的三要素：刚体的总质量、刚体的质量分布情况、转轴的位置. 2.转动惯量的普遍公式 （1）转动惯量的定义式 2i i I m r =∑ ·········○1 可知，对于形状规则、质量均匀分布的连续刚体，其对特殊轴的转动惯量的计算可借助于定积分. 这是，可设想将刚体分成许多小线元、面元、体元.
4第 4 页 共 126 页 d d d d d d m x m S m V λσρ=== 于是 222222d d d d d d l S V I r m r x I r m r S I r m r V λσρ======?????? 一般说来，这是个三重的体积分，但对于有一定对称性的物体，积分的重数可以减少，甚至不需要积分. （2）刚体对某轴的转动惯量 刚体对z 轴的转动惯量 ()()2 2 2 2 d d z I r z m x y m =-=+?? (2)
刚体转动惯量计算方法
刚体对轴转动惯量的计算 一、转动惯量及回转半径 在第一节中已经知道，刚体对某轴z 的转动惯量就是刚体内各质点与该点到z 轴距离平 方的乘积的总和，即∑=2 i i z r m J 。如果刚体质量连续分布，则转动惯量可写成 ?=M z dm r J 2 （18-11） 由上面的公式可见，刚体对轴的转动惯量决定于刚体质量的大小以及质量分布情况，而 与刚体的运动状态无关，它永远是一个正的标量。如果不增加物体的质量但使质量分布离轴远一些，就可以使转动惯量增大。例如设计飞轮时把轮缘设计的厚一些，使得大部分质量集中在轮缘上，与转轴距离较远，从而增大转动惯量。相反，某些仪器仪表中的转动零件，为了提高灵敏度，要求零件的转动惯量尽量小一些，设计时除了采用轻金属、塑料以减轻质量外，还要尽量将材料多靠近转轴。 工程中常把转动惯量写成刚体总质量M 与某一当量长度ρ的平方的乘积 2z z M J ρ= （18-12） z ρ称为刚体对于z 轴的回转半径（或惯性半径），它的意义是，设想刚体的质量集中在与z 轴相距为z ρ的点上，则此集中质量对z 轴的转动惯量与原刚体的转动惯量相同。 具有规则几何形状的均质刚体，其转动惯量可以通过计算得到，形状不规则物体的转动惯量往往不是由计算得出，而是根据某些力学规律用实验方法测得。 二、简单形状物体转动惯量的计算 1. 均质细直杆 如图18-7所示，设杆长为l ，质量为M 。取杆上微段dx ，其质量为 dx l M dm = ，则此 图18-7 杆对z c 轴的转动惯量为 220 2 20 2 12122Ml dx l M x dm x J l l z c ===??
大学物理刚体的转动惯量的研究实验报告
大学物理仿真实验报告 电子3班 实验名称:刚体的转动惯量的研究 实验简介 在研究摆的重心升降问题时,惠更斯发现了物体系的重心与后来欧勒称之为转动惯量的量。转动惯量就是表征刚体转动惯性大小的物理量,它与刚体的质量、质量相对于转轴的分布有关。 本实验将学习测量刚体转动惯量的基本方法,目的如下: 1.用实验方法验证刚体转动定律,并求其转动惯量; 2.观察刚体的转动惯量与质量分布的关系 3.学习作图的曲线改直法,并由作图法处理实验数据。 实验原理 1.刚体的转动定律 具有确定转轴的刚体,在外力矩的作用下,将获得角加速度β,其值与外力矩成正比,与刚体的转动惯量成反比,即有刚体的转动定律: M = Iβ (1) 利用转动定律,通过实验的方法,可求得难以用计算方法得到的转动惯量。 2.应用转动定律求转动惯量
如图所示,待测刚体由塔轮,伸杆及杆上的配重物组成。刚体将在砝码的拖动下绕竖直轴转动。 设细线不可伸长,砝码受到重力与细线的张力作用,从静止开始以加速度a下落,其运动方程为mg –t=ma,在t时间内下落的高度为h=at2/2。刚体受到张力的力矩为T r与轴摩擦力力矩M f。由转动定律可得到刚体的转动运动方程:T r - M f = Iβ。绳与塔轮间无相对滑动时有a = rβ,上述四个方程得到: m(g - a)r - M f = 2hI/rt2 (2) M f与张力矩相比可以忽略,砝码质量m比刚体的质量小的多时有a< 对几种刚体转动惯量的研究 摘要: 文章根据转动惯量的定义，计算了圆环的转动惯量及质量均匀细棒和质量不均匀细棒的转动惯量;研究了圆盘轴在不同位置时的转动惯量和椭圆盘以及圆柱和球体的转动惯量; 采用了投影法研究了六面体的转动惯量。从理论和计算上对刚体的转动惯量进行一个详细的研究。 关键词: 刚体; 转动惯量; 质量 1 引言 在大学物理的教学过程中， 有关刚体转动惯量的内容， 教材中推导了计算刚体转动惯量的公式dm J r ?=2 ， 给出了细棒、 圆盘、 圆柱和球体的转动惯量结论表示式， 但对各种刚体以及轴在不同位置和不同条件下的转动惯量没有详细的计算和推导， 本篇文章着重对这些刚体的转动惯量进行了详细的计算和研究。 2 圆环的转动惯量 质量为 m ， 半径为 R 的均匀圆环， 计算转动轴过环的圆心且垂直环面的转动惯量。 1. 1 将环分成由无数质量为 dm 的质元组成， (如图 1)由转动惯量的公式dm J r ?=2得R R m dm J m 2 02==? 图1 图2 2.2 将环分成无数长度为 dx 的小段(如图 2)， 也可得圆环转动惯量为 R R R m R R m dx J R 2220222===?ππλπ 3 细棒的转动惯量 3.1质量为 m 的均匀细棒， 长度为 l ， 计算转动轴在棒一端和转动轴在棒中间且垂直于棒的转动惯量。 3.1.1转动轴在棒的一端(如图 3) 由转动惯量的公式dm J r ?=2得.313|3123 103102l l x x m l m dx J ====?λλ 3.1.2 转动轴在棒的中间 (如图 4)同样由转动惯量的公式dm J r ?=2得l x m dx J l 22021212==?λ或l x m dx J l l 222121==?+- λ 图3 图4 测量刚体的转动惯量 实验目的： 1．用实验方法验证刚体转动定律，并求其转动惯量； 2．观察刚体的转动惯量与质量分布的关系 3．学习作图的曲线改直法，并由作图法处理实验数据。 二.实验原理: 1．刚体的转动定律 具有确定转轴的刚体，在外力矩的作用下，将获得角加速度β，其值与外力矩成正比，与刚体的转动惯量成反比，即有刚体的转动定律： M = Iβ(1) 利用转动定律，通过实验的方法，可求得难以用计算方法得到的转动惯量。 2．应用转动定律求转动惯量 如图所示，待测刚体由塔轮，伸杆及杆上的配重物组成。刚体将在砝码的拖动下绕竖直轴转动。 设细线不可伸长，砝码受到重力和细线的张力作用，从静止开始以加速度a下落，其运动方程为mg –t=ma，在t时间内下落的高度为h=at2/2。刚体受到张力的力矩为T r和轴摩擦力力矩M f。由转动定律可得到刚体的转动运动方程：T r- M f= Iβ。绳与塔轮间无相对滑动时有a = rβ，上述四个方程得到： m(g - a)r - M f = 2hI/rt2 (2) M f与张力矩相比可以忽略，砝码质量m比刚体的质量小的多时有a<对几种刚体转动惯量的研究
大学物理实验报告 量刚体的转动惯量