一元二次方程学习要点

“一元二次方程”学习要点

一、本章知识结构

1、知识结构梳理

2、定理公式总结

(1)一元二次方程的一般形式为ax 2+bx+c=0(a ≠0)

(2)一元二次方程ax 2+bx+c=0(a ≠0)的求根公式：).04(2422≥--±-=ac b a

ac b b x (3)一元二次方程的根的判别式：△=b 2-4ac 。

* 原载于《教材全程全解同步精讲精练》(初三代数全一册)，中国少年儿童出版社,2004年5月。

(4)一元二次方程的根的判别式定理：

△＞0⇔方程有两个不相等的实数根；

△＝0⇔方程有两个相等的实数根；

△＜0⇔方程没有实数根；

△≥0⇔方程有两个实数根。

(5)一元二次方程根与系数的关系定理：

如果一元二次方程ax 2+bx+c=0(a ≠0)的两个实数根是x 1，x 2，那么

x 1+x 2=.,21a

c x x a b =- 推论1：如果方程x 2+px+q=0的两个实数根是x 1，x 2，那么x 1+x 2=-p ，x 1x 2=q.

推论2：以x 1，x 2为根的一元二次方程（二次项系数为1）是：x 2-( x 1+x 2)x+ x 1x 2=0

(6)二次三项式因式分解公式：ax 2+bx+c=a(x-x 1)(x-x 2)。其中x 1，x 2是一元二次方程 ax 2+bx+c=0(a ≠0)的两个根。

(7)求一元二次方程两根x 1，x 2的对称式的值，常用公式： ①x 12+x 22=(x 1+x 2)2-2x 1x 2；

②(x 1-x 2)2=(x 1+x 2)2-4x 1x 2

二、数学规律总结

1、我们已学过的方程和方程组有整式方程（一元一次方程，一元二次方程）、分式方程，二元一次方程组，二元二次方程组，它们都属于代数方程中的有理方程。

在我们学过的方程中，一元一次方程和一元二次方程是解方程（组）的最基本的知识和技能。熟练地解一元一次方程和一元二次方程是解代数方程（组）的关键和前提，因此，我们必须将这部分知识扎实地学好。

2、本章介绍了一元二次方程的四种解法——直接开平方法、

次方程都适用，是解一元二次方程的通法，掌握用公式法求一元二次方程根的方法，关键是要正确理解公式的具体推导过程（即配方法），充分认识该知识的产生过程和来龙去脉，然后要牢固记住公式的形式、结构和内涵，用公式求方程的根时，就是运用二次根式的有关知识求两个二次根式的值。但是，在解一元二次方程时，应具体分析方程的特点，选择适当的方法，以使解题过程简便。

一般地，一元二次方程解法的选择顺序是：先考虑直接开平方法，再考虑因式分解法，最后考虑公式法，配方法是推导求根公式的工具，掌握公式法之后，就可以直接用公式法解一元二次方程了。因此，解一元二次方程一般不用配方法（除题目中要求用配方法解方程外），但配方法除了用于推导一元二次方程的求根公式以外，在学习其他数学内容时，也有广泛的应用，因此配方法是一种很重要的数学方法，我们一定要正确理解配方的意图，掌握配方的方法，把这部分知识学好学活。

3、二次三项式ax2+bx+c在实数范围能够分解的条件

⇔b2-4ac≥0

4、一元二次方程ax2+bx+c=0有实根的条件⇔b2-4ac≥0

三、思想方法总结

1、转化思想

在本章中，“转化”思想象一条红线贯穿于始终。解一元二次方程需转化为一元一次方程；解分式方程需转化为整式方程；解二元二次方程组需转化为二元一次方程组或一元二次方程。在实数范围内二次三项式的因式分解，需将之转化成解对应的一元二次方程的问题来解决，此外方程中字母系数的确定也是通过转化为解方程问题而解决的。具体转化过程及转化方法如下图所示：

转化思想是初中数学中常见的一种数学思想，它的应用十分广泛，我们在解数学题时，常常运用转化思想，将复杂问题转化成简单的问题，将生疏的问题转化为熟悉的问题。

2、方程思想

在解数学计算时，往往通过已知和未知的联系，建立起方程或方程组，通过解方程或方程组，求出未知量的数值，从而使问题得以解决，这种通过列方程沟通已知和未知联系的数学思想，通常称为方程思想。

方程思想在本章主要体现在列方程(组)解应用题、利用判别式和韦达定理确定一元二次方程中待定系数(字母系数)、二次三项式的因式分解、利用根与系数关系解形如⎩

⎨⎧==+b xy a y x 的“Ⅱ—Ⅰ”型方程组等。

3、公式化与分类讨论的思想

在数学中，对那些有规律可循“成型的”数学问题，我们总

希望找到一个公式，在解题时，只要把已知数代进去，就可以求出问题的结果(结论)，从而达到准确、高速解决该“模块”的目的。如圆面积公式，梯形面积公式，由时间和速度求距离的公式S=Vt等等，在这个思想指导下，我们通过配方，求出了一

元二次方程的求根公式x=

a ac

b b

2

4 2-

±

-

。

可是，在我们的公式中，有一个二次根式，它的被开方数为△=b2-4ac，当△≥0时，根式有意义，公式才能成立，才能应用；那么，当△＜0时，公式就不能用了。这时，说明什么问题？方

程ax2+bx+c=0(a≠0)没有根．吗？不能这样说，因为公式的推导过程已经表明，只有在△≥0时，才能得到求根公式，也就是说，只有△≥0时，才可用求根公式法解一元二次方程，求出实数根。

若△＜0时，不能用公式求实数根

．．．，也许可以用别的方法求出来。这就提出了一个问题：能否在不解方程的情况下，判断方程是否有实数根？通过仔细分析配方过程，终于弄清了“△”对判别一元二次方程实数根的作用：

对于方程ax2+bx+c=0(a≠0)来说，记△=b2-4ac，那么：

(1)若△＞0，则方程有不相等的实数根

．．．；

(2)若△=0，则方程有两个相等的实数根

．．．；

(3)若△＜0，则方程没有实数根

．．．。

反之亦然

由于△＞0，△=0，△＜0，是对△值的完全的分类，它同方程有不等实根，有相等实根和没有实根(也是对方程根的情况是完全分类)三种情况一一对应，这就为分类讨论打下了基础。此外，我们在遇有含有字母的方程时，我们要对字母系数分情况进行讨论，再根据各情形的知识进行研究探索、求解等等。(前面已举例)