向量内积优秀课件

*. 已知△ABC中, AB=a, AC=b, 当 a· b <0, a· b =0时,
a· b >0, △ ABC各是什么三角形？
*. 已知△ABC中, BC=a, CA=b, 当 a· b <0, a· b =0时,
a· b >0 △ ABC各是什么三角形？
给出下列命题 : (1)若a与b共线, 则有且仅有一个实数 , 使得a b; ( 2)若a 0, 且a b 0, 则b 0; ( 3)若a b a c , 则当且仅当a 0; ( 4)若a 0且a b a c , 则b c . 其中真命题的个数为 ( A.0 B .1 C .2
4运算律:
例1 辨析题:
1.若a≠0,且a ·b=a ·c,则b=c.
2.(a ·b) c=a (b ·c).
3.若a2+b2=0,则a=b=0
4.若 |a ·b|≥|a| ·|b|， 则a∥b.
向量的数 量积不满 足结合律
ị. 已知|a|=5,|b|=4, a和b的夹角为60°,求a· b.
3.性 质:
a ·b =| a || b |cos
设a，b都是非零向量，e是与b方向相同的单 位向量，是a与e的夹角,则 a⊥b= 2 cos=0 (1) e ·a = a · e= | a |cos. | a || b |cos=0 (2)a⊥b a ·b =0. a ·b =0
b 解： ( 3a ) ( ) 36, a b 60 5
60 1 cos 10 12 2 ab
ab
例：已知 a 8, b 10, 且 a b 16
••• 求a , b的夹角。 cos
a b 256 ••
“
a ·b =| a || b |cos
·”不能省略不写，也不能写为“×”，数学 中“ a × b”表示两个向量的向量积(或外积)
·b表示数量而不表示向量，与实数a ·b不 同, a+b 、 a-b表示向量；
a 规定:
0 ·a=0
2. 几 何 意 义:
B b O
数量积:
a ·b =| a || b |cos
a ·b=|a|· |b|cos =5×4×cos60° =10
变式练习：若θ=120 °呢？ θ=90°呢？
Δ.
设|a|=12,|b|=9, a· b=-54√2 求a和b的夹角.
- 54 √2 a ·b = cos= |a|· |b| 12×9 -√2 ∴ =135° cos =
2
变式练习： 若a·b=108√2 呢？
(3)当a与b同向时,a ·b=|a||b|;当a与b反向时,a· b=-|a||b|
特别地,a ·a =a 2=| a |2或| a |=√a ·a .
a ·b (4)cos= |a| |b|
(5)| a ·b |≤| a || b |.
向量a与b共线 | a ·b |=| a || b |
b 在 a 的方向上的投影B | b |cos B
θ
a
b
B1
ห้องสมุดไป่ตู้
θ
O
a
b
θ
a
A
B1
A
O
A
| b |cos 0
| b |cos 0
| b |cos 0
O
B
A
B O
A
| b |cos b
| b |cos = b
数量积 a ·b 等于a 的长度| a |与 b 在 a 的方 向上的投影| b |cos 的乘积.
B
).
D.a b 0 2.已知a , b是两个非零向量, e是单位向量,是a与e
C .a // b a b
以下各命题为真命题的有 __________ __ .
1,2,4
3.若a , b, c为任意向量, m R, 则下列等式 不一定成立的是( D ).
C .m a b m a m b
A. a b c a b c
B. a b c a c b c
D .a b c a b c

4.(1)在边长为2的等边ABC中, AB CA的值是 __________ ___; ( 2)菱形ABCD中, AB AD AB AD ____.
F
功： W=|F||s|cos

┓
s
1. 概 念: (1)夹角:
(2)数量积: a ·b =| a || b |cos
已知两个非零向量 a 和 b ，
b a
它们的夹角为 ，把数量
|a| · |b|cos叫做a与b 的数量 积。（或内积） 记作：a · b
B b
O
a
A
注意： 数量积:
A
) D .3
1.已知a, b都是单位向量, 下列结论正确的是( A.a b 1 B.a b
的夹角. (1)a e e a a cos ; ( 2)a b a b 0; ( 3) a b a b ; (4) cos ae a .
2 2
13
2. 设|a|=|b|=1 |3a-2b|=3,则|3a+b|=____
| 3a b | ( 3a b)
2
2
2
9a 6a b b
b 例：已知 a 10, b 12, 且( 3a ) ( ) 36, 5
••• 求a , b的夹角。
cos
ab a b

5.若向量a, b, c满足a b c 0, 且 a 3, b 5, c 4, 求: a b bc c a
题型 : 长度与角度(垂直)的计算 例 设向量a , b的长度分别为 4,3,它们的夹角为 2 2 60, 试求 | a b |,| a b | .
| a | | a | a
2
2
| a b | | a b | (a b)
(a b) a 2a b b
2 2
2
4 2a b 3
2
2
2
4 2 a b cos 60 3
o
2
| a 3b | (a 3b)
2
2
2
a 6a b 9b