n维向量的内积.ppt
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向量的内积
说明: 内积是两个向量之间的一种运算, 其结果是一个实数, 用 矩阵记号表示, 当x与y都是列向量时, 有 [x, y]=xTy.
向量的内积 设有n维向量x=(x1, x2, , xn)T, y=(y1, y2, , yn)T, 令 [x, y]=x1y1+x2y2+ +xnyn, [x, y]称为向量x与y的内积. 内积的性质 设x, y, z为n维向量, λ为实数, 则 (1)[x, y]=[y, x]; (2)[λx, y]=λ[x, y]; (3)[x+y, z]=[x, z]+[y, z]; (4)当x=0时, [x, x]=0; 当x≠0时, [x, x]>0; (5)[x, y]2≤[x, x][y, y]. ——施瓦茨不等式.
|| y||= yT y = xT PT Px = xT x =|| x|| .
这说明, 经正交变换线段的长度保持不变(从而三角形的 形状保持不变), 这是正交变换的优良特性.
第五章 相似矩阵及二次型
§5.2 方阵的特征值与特征向量
数 学 与 计 算 机 科 学 系
工程技术中的一些问题, 如振动问题和稳定性 问题, 常可归结为求一个方阵的特征值和特征向量 的问题. 数学中诸如方阵的对角化及解微分方程组 的问题, 也都要用到特征值的理论.
1 a2 =ξ1= 0 , 1
0 1 1 1 1 a2 =ξ 2 ξ1 = 1 0= 2 . 1 2 1 2 1 [ξ1, ξ1] [ξ1, ξ 2 ]
正交阵 如果n阶矩阵A满足ATA=E(即A1=AT), 那么称A为正交矩 阵, 简称正交阵. 方阵A为正交阵的充分必要条件是A的列(行)向量都是单 位向量, 且两两正交. n阶正交阵A的n个列(行)向量构成向量空间Rn 的一个规 范正交基. 1 1 1 1 2 2 2 2 1 1 1 1 正交矩阵举例: P = 2 2 2 2 . 1 1 0 0 2 2 0 0 1 1 2 2
线性代数第五章5.1向量的内积
, r 是Ｖ的一组基，则 1 , 2 ,
, r 就是
Ｖ的一组标准正交基.
上述方法称为施密特（Schmidt）正交化法.
注
上述方法中的两个向量组对任意的 1 k r ,
1 , 2 , , k 与 1 , 2 , , k 都是等价的.
四、应用举例 例1 把向量组
化为标准正交向量组. 解: 将 a1 , a2 , 3正交化, 取
i=1,2,
, am 线性无关.
定理 若向量β与 1 , 2 , 5、正交基 若正交向量组1 , 2 , 则称 1 , 2 , 6、标准正交基 若单位向量组 1 , 2 , 则称 为一个标准正交基.
, s 中每个向量都正交，则
β与 1 , 2 , , s 的任一线性组合也正交.
证: 设 a1 , a2 ,
, am 是正交向量组, 若有线性关系
k1a1 k2a2
ki ai , ai 0
ki 0,
故 a1 , a2 ,
km am 0,
用 a i 与等式两边作内积,得
i=1,2,
,m
,m .
则 ai 0, 有 ai , ai 0, 从而得
2、正交矩阵的充要条件 ① Ａ的列向量是标准正交组.
② Ａ的行向量是标准正交组. 3、正交矩阵的性质 ① A A1 即A的转置就是A的逆矩阵; ② 若Ａ是正交矩阵,则 A(或A1 )也是正交矩; ③ 两个同阶的正交阵的乘积仍是正交阵; ④ 正交阵的行列式等于1或-1. 注 正交矩阵Ａ的ｎ个列（行）向量构成向量空间R n 的一个标准正交基.
r 1 , r r 1 r 1 , r 1
则 1 , 2 , 2）标准化 令 1
向量的内积
高等工程数学
Advanced Engineering Mathematics
第二章 矩阵分析
续
向量的内积
一、内积的定义
x1 y1 x2 y2 定义1.设有n维向量 x ， y ... ... x y n n 令 [ x , y ] x1 y1 x2 y 2 ... xn yn , 称 [ x , y ]为向 量 x 与 y 的内积。 内积用矩阵乘法可表示为[ x , y ] x y y x
3
aT 1 1 1 1 解：记 A T ，则 a3 满足齐 a 2 1 2 1 次线性方程 AxO x1 1 1 1 0 即 1 2 1 x2 0 x 3 x1 x3 1 1 1 1 0 1 由 A~ 得 ， ~ 0 3 0 0 1 0 x2 0 1 1 从而有基础解系 0 。 取 a 3 0 即为所求。 1 1
上式是以 为未知量的一元 n 次方程，称为 方阵 A 的特征方程。 其左端 A E 是 的 n 次多项式，记 为f ( ) ，称为方阵 A 的特征多项式。显然，A 的特征值就是特征方程的解。 n 阶矩阵 A 在复 数范围内有 n 个特征值. 设 n 阶矩阵 A (aij ) 的特征值为 1 , 2 ,..., n， 由多项式根与系数的关系，易得 (i) 1 2 ... n a11 a22 ... ann (ii) 1 2 ... n A
1 1 4 例 2.设a1 2 , a2 3 , a3 1 试用施密 1 1 0 特正交化法把上述向量组范正交化。 ∧ 规 解：取b1 a1 1 1 1 [a 2 , b 1 ] 4 5 b2 a2 b1 3 2 1 2 1 6 1 3 1 b1 [a3 , b1 ] [a3 , b2 ] b3 a3 b1 b2 2 2 b1 b2
Advanced Engineering Mathematics
第二章 矩阵分析
续
向量的内积
一、内积的定义
x1 y1 x2 y2 定义1.设有n维向量 x ， y ... ... x y n n 令 [ x , y ] x1 y1 x2 y 2 ... xn yn , 称 [ x , y ]为向 量 x 与 y 的内积。 内积用矩阵乘法可表示为[ x , y ] x y y x
3
aT 1 1 1 1 解：记 A T ，则 a3 满足齐 a 2 1 2 1 次线性方程 AxO x1 1 1 1 0 即 1 2 1 x2 0 x 3 x1 x3 1 1 1 1 0 1 由 A~ 得 ， ~ 0 3 0 0 1 0 x2 0 1 1 从而有基础解系 0 。 取 a 3 0 即为所求。 1 1
上式是以 为未知量的一元 n 次方程，称为 方阵 A 的特征方程。 其左端 A E 是 的 n 次多项式，记 为f ( ) ，称为方阵 A 的特征多项式。显然，A 的特征值就是特征方程的解。 n 阶矩阵 A 在复 数范围内有 n 个特征值. 设 n 阶矩阵 A (aij ) 的特征值为 1 , 2 ,..., n， 由多项式根与系数的关系，易得 (i) 1 2 ... n a11 a22 ... ann (ii) 1 2 ... n A
1 1 4 例 2.设a1 2 , a2 3 , a3 1 试用施密 1 1 0 特正交化法把上述向量组范正交化。 ∧ 规 解：取b1 a1 1 1 1 [a 2 , b 1 ] 4 5 b2 a2 b1 3 2 1 2 1 6 1 3 1 b1 [a3 , b1 ] [a3 , b2 ] b3 a3 b1 b2 2 2 b1 b2
向量的内积
[ , ]
0
§4.1 向量的内积
定义4： 、 为任意两个向量，若内积 设
[ , ] 0
则称 与 正交或互相垂直，记作 .
注：
① 零向量与任意向量正交. ②
2 , 即 co s 0
.
§4.1 向量的内积
例1. 已知
称 [ , ] 为内积.
注：内积可用矩阵乘积表示为
[ , ] .
T
§4.1 向量的内积
内积的基本性质
1) 2) 3) [ , ] [ , ]; [ k , ] k [ , ]; [ , ] [ , ] [ , ]; [ , ] 0，当且仅当 0 时, [ , ] 0 .
T T
T
化成单位正交的向量组. 解：令 1 1 (1, 1, 1, 1)
2 2
[ 2 , 1 ] [ 1 , 1 ]
T
正交化
1 ( 2 , 2 , 2 , 2 )T
[ 3 , 2 ] [ 2 , 2 ]
3 3
[ 3 , 1 ] [ 1 , 1 ]
4)
§4.1 向量的内积
向量的长度
定义2
( x 1 , x 2 , , x n ) ,
T
[ , ]
x1 x 2 x n ,
2 2 2
称为向量 的长度. 特别地，当 1时，称 为单位向量.
1) 2)
0， 0 0 ；
1
2 ( 1, 1, 1, 1)
T
§4.1 向量的内积
n维向量的内积.ppt
可表示为
1T
T2
Tn
(1,2 ,
,n
)
E
1
1
, 1
亦即 (iT j )nn (ij )nn
其中
(ij )nn
1 0
当i j 当i j (i, j 1,2, , n).
这说明，方阵A为正交矩阵的充要条件是
A的列向量都是单位向量，且两两正交.
考虑到 ATA E与 AAT E 等价， 所以上述结论
1
1 1
1 ,
2
1 2
2,
,
r
1 r
r
,
就得到V的一个标准正交向量组.如果 1,2 , ,r
是V的基，则 1,2 , ,r是V的标准正交基.
上述由线性无关向量组1,2 , ,r 导出正交化 向量组 1,2 , ,r 的施密特正交化的过程，不仅 满足1 ,2 , ,r与1,2 , ,r 等价，还满足：对
1 1
(2 , 1 ) (1 , 1 )
1
因此
2 k1
2
(2 (1
, 1 ) , 1 himidt)方法
定义4 一组两两正交的非零向量称为正交向量组.
由单位向量组成的正交向量组称为标准正交基.
由上述定义可知：
（1） 1,2 s是正交向量组 （i ,i） 0;(i , j) 0(i j).
任何 k(1 k r) ,向量组 1 ,2 , ,k与1 ,2 , ,k
等价.
例3
设
1
1 1,2
1 0,3
1 1 ,
试用施密特
1
1
0
正交化过程把这组向量标准正交化.
解
取
1 1 1 1;
线性代数§向量的内积
不同基下内积转换公式推导
不同基下内积转换公式
设α, β是向量空间V中的两个向量，在两组不同的基{e1, e2, ..., en}和{f1, f2, ..., fn}下的坐标分别为(x1, x2, ..., xn) 和(y1, y2, ..., yn)，则α和β的内积可以表示为∑(xi*yi)，其中i从1到n求和。这个公式可以用的 情况。
分量表示法
定义
将向量表示为分量形式，通过分量间的运算计算内积。
公式
对于向量A = (a1, a2, ..., an)和B = (b1, b2, ..., bn)，其内 积为A·B = (a1, a2, ..., an) · (b1, b2, ..., bn) = a1b1 + a2b2 + ... + anbn。
子空间划分和基选择策略
子空间划分
设W是数域P上的线性空间V的一个非空子集，若W对于V的加法和数乘也构成数域P上的线性空间， 则称W是V的一个线性子空间或子空间。子空间的划分可以根据不同的维度和基进行。
基选择策略
在线性空间中，基的选择对于内积运算具有重要影响。通常选择正交基作为内积运算的基础，因为正 交基具有良好的性质，如任意两个不同基向量的内积为零。
矩阵表示下内积计算简化方法
在矩阵表示下，两个向量的内 积可以通过矩阵乘法简化计算。
具体地，若A和B是两个向量， 则它们的内积可以表示为A^T * B，其中A^T是A的转置矩阵。
通过矩阵乘法，可以高效地计 算多个向量间的内积。
特征值与特征向量对内积影响分析
特征值和特征向量是线性变换的重要 性质，它们对向量的内积有重要影响。
夹角计算
通过内积可以计算两向量的夹角，即$costheta = frac{mathbf{a} cdot mathbf{b}}{|mathbf{a}| |mathbf{b}|}$。
第12讲 向量的内积.PPT
向量空间V的正交基.
例1 已知三维向量空间中两个向量
1
1
1
1,
2
2
1
1
正交，试求3 使1 ,2 ,3 构成三维空间的一个正交
基.
解 设3 x1, x2, x3 T 0,且分别与1,2正交.
则有 [1 ,3 ] [2 ,3 ] 0
即
[[21,,33
] ]
x1 x1
x2 x3 0 2x2 x3 0
这个基正交规范化， 也就是将一个线性无关 的向量组正交规范化.
将线性无关的向量组1,2, ,r正交规范化
（1）正交化
取 1 1,
2
2
1 , 1 ,
2 1
1
,
3
3
[1, [1,
3 1
] ]
1
[2, [2,
3 2
] ]
2
,
r
r
[1, [1,
r 1
] ]
1
[ [r
r 1
1 ,
,
r
r] 1 ]
e1
1 1 1,1,1,1 1 , 1 , 1 , 1
1 2
2 2 2 2
e2
2 2
1 0,2,1,3 0, 2 , 1 ,
14
14 14
3 14
e3
3 3
1 1,1,2,0
6
1, 6
1 , 2 ,0 6 6
3
3
[3, 21] 1
1
[3, 22] 2
2
4 1 0
a b c d 0,
0
2 0 1
2 0
是正交矩阵.
1
2 2
例1 已知三维向量空间中两个向量
1
1
1
1,
2
2
1
1
正交，试求3 使1 ,2 ,3 构成三维空间的一个正交
基.
解 设3 x1, x2, x3 T 0,且分别与1,2正交.
则有 [1 ,3 ] [2 ,3 ] 0
即
[[21,,33
] ]
x1 x1
x2 x3 0 2x2 x3 0
这个基正交规范化， 也就是将一个线性无关 的向量组正交规范化.
将线性无关的向量组1,2, ,r正交规范化
（1）正交化
取 1 1,
2
2
1 , 1 ,
2 1
1
,
3
3
[1, [1,
3 1
] ]
1
[2, [2,
3 2
] ]
2
,
r
r
[1, [1,
r 1
] ]
1
[ [r
r 1
1 ,
,
r
r] 1 ]
e1
1 1 1,1,1,1 1 , 1 , 1 , 1
1 2
2 2 2 2
e2
2 2
1 0,2,1,3 0, 2 , 1 ,
14
14 14
3 14
e3
3 3
1 1,1,2,0
6
1, 6
1 , 2 ,0 6 6
3
3
[3, 21] 1
1
[3, 22] 2
2
4 1 0
a b c d 0,
0
2 0 1
2 0
是正交矩阵.
1
2 2
§1 向量的内积、长度及正交性PPT课件
(2) [ x, y ]= [ x, y];
(3) [x+y, z ]= [ x, z]+ [ y, z];
(4) 当 x = 时, [ x, x ]= 0; 当 x 时, [ x, x ] 0.
施瓦茨(Schwarz)不等式: [ x, y ]2 [ x, x ] [ y, y].
二、向量的长度及性质
1 2 1 2 0 0
e1
1
002,e2
100
2,e3
1 02,e4 1 2
0 12
.
1 2
同理可知：初始单位向量组
1 0 0 0
1
00,
2
10,
3
10,
4
00.
0 0 0 1
也为R4的一个规范正交. 基
6、 求规范正交基的方法
设1,2,,r是向量空V的 间一个,要 基求V
解得：
x1 x2
x3 0
,
令 x3=1, 得: 3=(1,0,1)T,
则1,2,3 构成R3的一个正交基.
5. 规范 (标准) 正交基
定义 设n维向量 e1,e2,,er是向量空 V(V间 Rn)的一个,如 基果 e1,e2,,er两两正交且都是 向量 ,则称 e1,e2,,er是V的一个规范.正交基 例如
例 求向 (1 ,2 ,2 ,3 量 )T 与 (3 ,1 ,5 ,1 )T 的.夹
解 cos||[||,||] ||
18 3 2 6
2, 2
.
4
三、正交向量组的概念及求法
1.当[ x, y ]= 0 时, 称向量 x 与 y 的正交 . 例 x ( 0 , 1 , 1 如 , 1 ) T 与 y ( 8 , 1 , 2 , 1 ) T , 有 [ x, y ]= 0 , 故向量 x 与 y 正交 .
(3) [x+y, z ]= [ x, z]+ [ y, z];
(4) 当 x = 时, [ x, x ]= 0; 当 x 时, [ x, x ] 0.
施瓦茨(Schwarz)不等式: [ x, y ]2 [ x, x ] [ y, y].
二、向量的长度及性质
1 2 1 2 0 0
e1
1
002,e2
100
2,e3
1 02,e4 1 2
0 12
.
1 2
同理可知：初始单位向量组
1 0 0 0
1
00,
2
10,
3
10,
4
00.
0 0 0 1
也为R4的一个规范正交. 基
6、 求规范正交基的方法
设1,2,,r是向量空V的 间一个,要 基求V
解得：
x1 x2
x3 0
,
令 x3=1, 得: 3=(1,0,1)T,
则1,2,3 构成R3的一个正交基.
5. 规范 (标准) 正交基
定义 设n维向量 e1,e2,,er是向量空 V(V间 Rn)的一个,如 基果 e1,e2,,er两两正交且都是 向量 ,则称 e1,e2,,er是V的一个规范.正交基 例如
例 求向 (1 ,2 ,2 ,3 量 )T 与 (3 ,1 ,5 ,1 )T 的.夹
解 cos||[||,||] ||
18 3 2 6
2, 2
.
4
三、正交向量组的概念及求法
1.当[ x, y ]= 0 时, 称向量 x 与 y 的正交 . 例 x ( 0 , 1 , 1 如 , 1 ) T 与 y ( 8 , 1 , 2 , 1 ) T , 有 [ x, y ]= 0 , 故向量 x 与 y 正交 .
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由于1,2 , ,s两两正交， 当i j时，（i , j） 0， 所以ki (i ,i ) 0
因i 0,(i ,i ) 0,故ki 0(i 1,2, ,s), 这表明 1,2 , ,s 线性无关.
定义5 设1,2 , ,r是向量空间V（V R n） 的一组基，若它们两两正交，则称 1,2 , ,r 是向量空间V的一组正交基； 当正交基 1,2 , ,r 是单位向量时，则称 这组正交基为向量空间V的一组标准正交基 （或称规范正交基）.
4
则由正交条件得到齐次线性方程组：
1 1 1 1 x1
1 1
2 1
1 1
0 0
x2 x3 x4
0
1 1 1 1
1 1 1 1
1
2
1
0
rr32 rr11
0 1 0 1
1 1 1 0
0 0 0 1
1 0 1 2
1 0 1 0
r1 r2
010
-
1
rr122r3r3
对A的行向量也成立. 由此可见，正交矩阵A的n个
列（行）向量构成向量空间 R n 的一个标准正交基.
例5 设
1 3
2 3
2 3
2 0 0
A
2 3
1 3
2 3
,
B 0
1 2
1 2
2 3
2 3
1 3
0
1 2
1 2
则A的每个列（行）向量都是单位向量，而且
两两正交，所以A是正交矩阵。 B的各列（行）
2
1 , 3
2
(1 (1
, ,
2 1
) )
1
.
由于
(1 ,2 ) 1,(1,1 ) 2,
于是得
2
1 0 ,3 1
0 1 1
1 2
1 0 1
1 2
1 2 . 1
三、正交矩阵和正交变换
定义6 如果n阶矩阵A满足：ATA E(即A1 AT ),
则称A为正交矩阵.
若A按列分块表示为A= (1,2 , ,n ),则 ATA E
的计算公式：
3
a b aibi
i 1
于是我们可以相仿地引入 Rn中的内积概念。
定义1 设n维实向量
称实数
a1
aa32 ,
b1
bb32 ,
n
aibi a1b1 a2b 2 anbn
i1
为向量 与 的内积，记作（，），
即
n
（，） aibi a1b1 a 2b 2 a nbn . i 1
1 1
(2 , 1 ) (1 , 1 )
1
因此
2 k1
2
(2 (1
, 1 ) , 1 )
1
2
与1正交.
二、标准正交基与施密特（Schimidt)方法
定义4 一组两两正交的非零向量称为正交向量组.
由单位向量组成的正交向量组称为标准正交基.
由上述定义可知：
（1） 1,2 s是正交向量组 （i ,i） 0;(i , j) 0(i j).
一，内积
我们知道，几何空间中两个向量a,b的内积（数量 积）定义为：
a b a b cos ,
其 中a , b 分别是向量a,b的长度，是a与b的 夹 角.
R n 中的向量尚未定义长度和夹角，因此不能仿照上
式来定义内积。回顾在中建立直角坐标系后，有向量
a (a1 , a2 , a3 ), b (b1 , b2 , b3 )
即A+E可逆.
在第三章的例2中我们曾介绍了的线性变换y=Px, 现在又引进了正交矩阵的概念，于是有： 定义7
若P为正交矩阵，则y=Px线性变换称为正交变换. 设y=Px为正交变换，则有
y (y, y) yT y xTPTPx xTx (x,x) x .
这里 x 表示向量的长度，相当于线段的长度，
解：由2 k1与1正交知（2 k1，1） 0，
即（2，1） k（1，1） 0.
1
,
线性无关，
2
1
0，（1，1）０.
从而可以解出： k （（12，，11））.
n=2的几何解释：
2
2
设 1与 2上的投影向量为 ,
则2 1(如图5.1）. 其中
1
图5.1
( 2
cos ) 1 1
2
(2,1) 2 1
y x 说明经正交变换后，线段的长度保持不变，
这是正交变换的优良特征.
的向量1,2 , ,r ,可用施密特正交化方法转换成
一组正交向量组1,2 , ,r , 其中
1 1;
2
2
(1 , 2 (1 ,1
) )
1
;
r
r
(1 , r (1 ,1
) )
1
( 2 ( 2
,r ,2
) )
2
(r1 , r ) (r1 ,r1 )
r1
而且 1,2 , ,r与1,2 , ,r 等价，进而令
的任一向量 应能由 1,2 , ,r 线性表示，
设表示式为 k11 k22 krr .
为求其中的系数
可用 i与上式两端
作内积：
(,i ) k1(1,i ) ki(i ,i ) kr (r ,i ) ki (i ,i ) ki
即 ki (,i )
从而 (,1 )1 (,2 )2 (,r )r , 即是说，在标准正交基下，向量的坐标可以 通过内积简单地表示出来.
1
3
1 2
0
1 2
3
3
(1 ,3 ) (1 ,1 )
1
( 2 ( 2
,3 ,2
) )
2
1 1 0
2 3
1 1 1
1 3
6 9
1 3
2 3
1 3
1 2
0
1 2
再把它们单位化，取
1
1
1 1
1
1 3
1, 1
1
2
1 2
2
1 6
2 1
,
2
3
1 3
3
1
2
0 ,
即有 ( .
若线性无关 对任何实数k,
都有k 由内积的性质得
(k k ( k2 2(k ( 0, 此式说明实系数方程
( x 2 2(,x (
无实数根，其判别式：
4( 4(
即（ 2 2
证毕
长度为1的向量称为单位向量。由长度的正定性及 齐次性可知：
（2）
1,2 s是标准正交向量组
（i , j）
ij
1, 0,
i j .
i j
定理1 若n维向量 1,2, ,s是一组两两正交
的非零向量，则 1,2 , ,s线性无关.
证明：若有常数k1, k2 ,
,
k
使
s
k11 k22 kss 0,
则上式两端与2 kss ,i ) k1(1,i ) k2(2 ,i ) ks(s ,i )
2
1,2 ,3 即为所求.
1
例4
已知向量1 为正交向量组.
1, 1
在R
3中求1
,
2
,
使1
,
2
,
3
解 由 (1,2 ) 0,(1,3 ) 0 可知 1,2
应满足方程 1T 0, 即 1 2 3 0.
其基础解系为 0
0
1 1 ,2 1 .
1
1
把基础解系正交化即为所求， 亦即取
内积是向量的一种运算，用矩阵表示，有
b1
（，）
a1 , a 2
,an
b2 b3
T.
性质：
（1）对称性： (, ) (, )
（2）线性性： ( , ) (, ) (, ), (k,) k(,);
（3）正定性： (,) 0,且当 0时有(, ) 0.
由正定性可以引出向量的长度概念。
0
10
0 ,
0 0 0 - 1
0 0 0 1
得简化的齐次线性方程组
x1
x
2
x3 x2
0 0,
x4 0
得其基础解系为 (1,0,1,0)T
故得与，，都正交的所有向量为： k(1,0,1,0)T , k R.
例2 设1,2( Rn ) 线性无关，求常数k，使 2 k1与1正交 .并就n 2对所得结果 作出几何解释.
例如：
1 2
1 2
0
0
1
1 2
0
0
, 2
1 2
0
0
, 3
0
1
2
1 2
, 4
0
1
.
2
1 2
就是R4的一组标准正交基 .
1 (1,0, ,0)T ,2 (0,1, ,0)T , ,nT (0,0, ,1)T 是R n 中一组典型的标准正交基。
若 1,2 , ,r 是V的一组标准正交基，那么V中
记作 .
由定义2知： (1) 若 0，则与任何向量都正交；
(2) 0;
(3) 对于非零向量，， 与的夹k角 i(i1,2,r) 为 . 2
例1 设α (1,1,1,1)T,β (1,2,1,0)T,γ (1,1,1,0)T,求：
(1) 与的夹角1及与的夹角2; (2) 与,, 都正交的所有向量.
当 0 时，
1 1 1,
此时表明
1
是单位向量。由非零向量
得到单位向量 1 的过程称为单位化或标准化.
有了柯西-许瓦兹不等式，就可以在 Rn 中
定义向量间的夹角.