高斯投影及高斯投影 坐标系
工程测量常用的坐标系统
工程测量常用的坐标系统工程测量是指在工程建设过程中，利用测量仪器和技术手段进行的各种测量工作。
在工程测量中，常常需要使用不同的坐标系统来描述和定位点位，以便准确地获取和处理测量数据。
本文将介绍工程测量中常用的坐标系统及其特点。
1. 地心坐标系统地心坐标系统是一种以地球质心为原点建立的坐标系统。
在工程测量中，常用的地心坐标系统有地心直角坐标系统（XYZ）和地心经纬度坐标系统（BLH）两种。
1.1 地心直角坐标系统（XYZ）地心直角坐标系统是一种以地球质心为原点，以地球自转轴方向为X轴，垂直于地球自转轴的平面为XY平面，同时与X轴和Y轴相交的Z轴垂直朝上的直角坐标系统。
该坐标系统常被用于大地测量、大地坐标转换等领域。
1.2 地心经纬度坐标系统（BLH）地心经纬度坐标系统是一种以地球质心为原点建立的坐标系统，以地球自转轴为Z轴，垂直于地球自转轴的平面为经度方向，同时与经度方向和Z轴所含平面为纬度方向的坐标系统。
该坐标系统常被用于导航、卫星定位等应用领域。
2. 大地坐标系统大地坐标系统是一种基于大地椭球模型的坐标系统。
在工程测量中，常用的大地坐标系统有高斯投影坐标系统、UTM坐标系统等。
2.1 高斯投影坐标系统高斯投影坐标系统是一种将地球表面的点通过某种投影方式投影到平面上的坐标系统。
该坐标系统常被用于大规模测量及工程测量中的平面坐标定位。
2.2 UTM坐标系统UTM（Universal Transverse Mercator）坐标系统是一种基于高斯投影的大地坐标系统，在全球范围内被广泛使用。
UTM坐标系统将地球表面分为60个纵向带和20个横向带，以每个带的中央经线作为Y轴，以赤道作为原点，以米为单位进行地图投影。
3. 工程坐标系统工程坐标系统是一种以工程项目为基准建立的坐标系统。
在工程测量中，常用的工程坐标系统有工程局部坐标系统和工程全局坐标系统。
3.1 工程局部坐标系统工程局部坐标系统是指以工程项目的某一特定点为原点，以特定方向为参考，建立的坐标系统。
高斯投影坐标系的基本原理与应用
高斯投影坐标系的基本原理与应用引言：高斯投影坐标系是一种广泛应用于测绘和地理信息领域的坐标系统。
它的发展源于数学家高斯的工作，并在19世纪得到了实际应用。
本文将介绍高斯投影坐标系的基本原理以及其在大地测量、地图制图和导航系统中的应用。
第一部分：高斯投影坐标系的基本原理高斯投影坐标系基于地球形状的近似模型，将地球表面投影到平面上，以便更方便地处理和计算地理信息。
它是一种平面直角坐标系，通过将地球划分为一系列小块，每个小块上的坐标系都是局部的，使得精度可以得到有效控制。
高斯投影坐标系采用的是两个基本参数：中央子午线和纬度原点。
中央子午线是经度的基准线，用来确定坐标起点的位置。
纬度原点是纬度的基准线，通常设在地理区域的中心位置。
这两个参数决定了一个地理位置在高斯投影坐标系中的坐标值。
高斯投影坐标系还采用了一种著名的圆柱投影方式，即横轴墨卡托投影。
这种投影方式将地球表面投影到一个圆柱体上，然后再展开成平面。
通过这种方式，可以有效地保持地图的形状和角度，但是面积会出现一定程度的变形。
第二部分：高斯投影坐标系的应用1. 大地测量：高斯投影坐标系在大地测量中被广泛应用。
通过在地球上各个位置设置坐标起点，并引入中央子午线和纬度原点，可以精确计算出两个地理位置之间的距离和方向。
这对于地理测量、地形分析和地震监测等方面都具有重要意义。
2. 地图制图：高斯投影坐标系被广泛用于地图制图中。
通过将地球表面投影到平面上，可以方便地绘制各种比例尺的地图。
高斯投影坐标系还提供了一种统一的坐标体系，使得不同地区的地图可以进行精确的对比和拼接。
3. 导航系统：高斯投影坐标系在导航系统中也有重要应用。
通过GPS技术和高斯投影坐标系的转换算法，可以实现精确定位和导航功能。
这对于交通导航、航空导航和地理定位等方面都具有重要意义。
结论：高斯投影坐标系是一种基于地球形状近似模型的坐标系统。
它的基本原理是通过将地球表面投影到平面上，方便处理和计算地理信息。
高斯投影原理
高斯投影原理高斯投影原理是地图投影中常用的一种方法，它是由德国数学家高斯在19世纪提出的。
高斯投影原理的基本思想是将地球表面上的经纬度坐标系投影到一个平面上，以便于制作地图和进行测量。
在实际应用中，高斯投影原理被广泛用于各种地图的制作和测量工作中。
高斯投影原理的核心是将地球表面上的三维坐标投影到一个二维平面上。
这种投影会引入一定的形变，但是可以通过适当的数学变换来减小形变的影响。
高斯投影原理的优势在于可以将地球表面上的曲线投影成直线或者近似直线，这样就方便了地图的制作和使用。
在高斯投影原理中，地球被看作是一个椭球体，而投影面通常是一个圆柱面或者圆锥面。
根据投影面的不同，高斯投影可以分为圆柱高斯投影和圆锥高斯投影两种。
在实际应用中，圆柱高斯投影常用于大范围的地图制作，而圆锥高斯投影常用于局部地图的制作。
高斯投影原理的具体数学表达可以通过一系列的数学公式来描述。
这些公式涉及到大量的数学知识，包括球面三角学、微积分、线性代数等。
通过这些数学公式，可以将地球表面上的经纬度坐标转换为平面坐标，或者将平面坐标转换为经纬度坐标。
在实际应用中，高斯投影原理需要考虑到地图的精度和形变的影响。
由于地球是一个椭球体，而不是一个完美的球体，因此在进行投影时需要考虑到椭球体的形状参数。
此外，由于地图投影会引入形变，因此需要通过一些数学手段来补偿这种形变，以保证地图的精度。
总的来说，高斯投影原理是地图投影中非常重要的一种方法。
它通过将地球表面上的经纬度坐标投影到一个平面上，方便了地图的制作和使用。
在实际应用中，需要考虑到地球的形状参数和形变的影响，以保证地图的精度。
通过高斯投影原理，我们可以更好地理解地图的制作和使用，为地理信息系统的发展提供了重要的理论基础。
高斯直角坐标系简介
高斯直角坐标系简介高斯直角坐标系简介1. 什么是高斯直角坐标系？高斯直角坐标系是一种在数学和物理学中常用的坐标系。
它由德国数学家卡尔·弗里德里希·高斯（Carl Friedrich Gauss）在19世纪初提出，用于描述平面和空间中的几何问题。
与传统的笛卡尔坐标系不同，高斯直角坐标系是利用参考点和参考方向来构建坐标系的。
2. 高斯直角坐标系的构建方式利用高斯直角坐标系，我们可以用一组有序的数来表示空间中的点。
该坐标系的构建方式如下：- 选择一个参考点作为坐标系的原点，通常选择地球表面的某一点作为参考点。
- 选择参考方向。
在二维情况下，参考方向可以是正北或正东；在三维情况下，参考方向可以是正北、正东和竖直向上。
这些参考方向构成了坐标系的三个轴。
- 以参考点为原点，根据参考方向确定坐标轴的正方向。
这些坐标轴与参考方向垂直，并形成直角关系，因此得名高斯直角坐标系。
3. 高斯直角坐标系的应用领域高斯直角坐标系在测量学、地理学和地震学等领域被广泛应用。
在这些领域中，通过使用高斯直角坐标系，可以更方便地描述和计算地球表面或空间中的位置、距离、方向等物理量。
4. 高斯投影坐标系高斯直角坐标系的一种特殊形式是高斯投影坐标系。
高斯投影坐标系通过投影方式将地球表面上的经纬度位置投影到平面坐标系中。
在地图制作中，高斯投影坐标系常被用于绘制区域或国家的精确地图。
5. 高斯直角坐标系的优点和局限性高斯直角坐标系的优点是能够通过简单的数学计算得到点的位置、距离和方向，适用于各种几何计算。
然而，由于坐标轴的选择和原点的位置没有统一标准，不同地区和不同学科可能会采用不同的高斯直角坐标系，导致坐标值不可通用。
总结与回顾：通过本文，我们了解了高斯直角坐标系的基本概念和构建方式。
高斯直角坐标系在数学和物理学中具有广泛的应用，尤其在测量学、地理学和地震学等领域涉及到位置、距离和方向的计算时被频繁使用。
我们还了解到高斯投影坐标系作为高斯直角坐标系的一种特殊形式，常被用于地图制作。
高斯投影
高斯-克吕格投影高斯-克吕格(GAUSS-KRUGER)是等角横切椭圆柱投影，由德国数学家高斯提出，后经克吕格扩充并推倒出计算公式，故称为高斯-克吕格投影，简称高斯投影。
该投影以中央经线和赤道投影后为坐标轴，中央经线和赤道交点为坐标原点，纵坐标由坐标原点向北为正，向南为负，规定为X轴，横坐标从中央经线起算，向东为正，向西为负，规定为Y轴。
所以，高斯-克吕格坐标系的X、Y轴正好对应MAPGIS坐标系的Y和X。
为了控制变形，本投影采用分带的办法。
我国1:2.5-1:50万地形图均采用6度分带；1:1万及更大比例尺地形图采用3度分带，以保证必要的精度。
6度分带从格林威治零度经线起，每6度分为一个投影带，全球共分为60个投影带。
东半球的30个投影带的中央经线用L0=6n-3 计算（n为投影带带号），从0到180度，其编号为1-30。
西半球也有30个投影带，从-180度回到0度，其编号为31-60，各带的中央经线用L0=6(n-30)-3-180计算。
该投影带将地球划分为60个投影带，每带经差为6度，已被许多国家作为地形图的数学基础。
一般从南纬度80到北纬度84度的范围内使用该投影。
3度分带法从东经1度30分算起，每3度为一带。
这样分带的方法在于使6度带的中央经线均为3度带的中央经线。
但是，在标准比例尺图幅编号中，带号是从西经-180度算起，每6度为1带，自西向东1-60。
这样，我们国家的高斯带号在标准图幅编号中，要加30，如20带，表示为J50等。
6度分带投影区的代号与其所对应的经度范围如6度分带图表所示。
由于高斯-克吕格投影每一个投影带的坐标都是对本带坐标原点的相对值，所以各带的坐标完全相同，使用时只需变一个带号即可。
因此，计算一个带的坐标值，制成一个表，就可以供查取各投影带的坐标时使用，称为高斯坐标表，表中的值成为通用坐标值。
在高斯坐标系中，为了避免横坐标Y有负值，将其起算原点向西移动500公里，即对横坐标Y值按代数法加上500000米。
高斯投影
高斯坐标即高斯-克吕格坐标系（1）高斯-克吕格投影性质高斯-克吕格(Gauss-Kruger)投影简称“高斯投影”，又名"等角横切椭圆柱投影”，地球椭球面和平面间正形投影的一种。
德国数学家、物理学家、天文学家高斯（Carl FriedrichGauss，1777一1855）于十九世纪二十年代拟定，后经德国大地测量学家克吕格（Johannes Kruger，1857～1928）于1912年对投影公式加以补充，故名。
该投影按照投影带中央子午线投影为直线且长度不变和赤道投影为直线的条件，确定函数的形式，从而得到高斯一克吕格投影公式。
投影后，除中央子午线和赤道为直线外，其他子午线均为对称于中央子午线的曲线。
设想用一个椭圆柱横切于椭球面上投影带的中央子午线，按上述投影条件，将中央子午线两侧一定经差范围内的椭球面正形投影于椭圆柱面。
将椭圆柱面沿过南北极的母线剪开展平，即为高斯投影平面。
取中央子午线与赤道交点的投影为原点，中央子午线的投影为纵坐标x轴，赤道的投影为横坐标y轴，构成高斯克吕格平面直角坐标系。
高斯-克吕格投影在长度和面积上变形很小，中央经线无变形，自中央经线向投影带边缘，变形逐渐增加，变形最大之处在投影带内赤道的两端。
由于其投影精度高，变形小，而且计算简便（各投影带坐标一致，只要算出一个带的数据，其他各带都能应用），因此在大比例尺地形图中应用，可以满足军事上各种需要，能在图上进行精确的量测计算。
（2）高斯-克吕格投影分带按一定经差将地球椭球面划分成若干投影带,这是高斯投影中限制长度变形的最有效方法。
分带时既要控制长度变形使其不大于测图误差，又要使带数不致过多以减少换带计算工作，据此原则将地球椭球面沿子午线划分成经差相等的瓜瓣形地带,以便分带投影。
通常按经差6度或3度分为六度带或三度带。
六度带自0度子午线起每隔经差6度自西向东分带，带号依次编为第1、2…60带。
三度带是在六度带的基础上分成的，它的中央子午线与六度带的中央子午线和分带子午线重合，即自1.5度子午线起每隔经差3度自西向东分带，带号依次编为三度带第1、2…120带。
高斯投影高斯坐标系与大地坐标系的关系-资料
6.3 高斯—克吕格投影
Gauss — Kruger projection 3、分带的方法
三度带：在六度带基础上，其奇数带中央子午线 与六度带中央子午线一致；偶数带与六度带中央分 带子午线重合。
6.3 高斯—克吕格投影
Gauss — Kruger projection
Gauss — Kruger projection
一、高斯-克吕格投影概念 高斯投影三条件 正形条件 中央子午线投影为一直线 中央子午线投影后长度不变
x F1(B, L)
y
F2
(B,
L)
6.3 高斯—克吕格投影
Gauss — Kruger projection
二、高斯投影的分带（belt dispartion ） 1、为什么要分带
x y
F1(B, L) F2(B, L)
x
y
f1(q, l) f2 (q,l)
中央子午线
dq M dB r dl dL,(l L L0)
N
l
L0 P(B, L)
如何求f1，f2的
具体形式？
S 赤道
一、高斯投影正算公式
以弧度为单位
1、公式推导
的最大量级？
推导思路：级数展开，应
x（中央子午线 L 0 )
用高斯投影三个条件，待 定系数法求解。
x
y
f1(q, l) f2 (q,l)
近似值（q，0）
l LL0
y
P(B, L)
x
xm0m 1lm2l2m3l3m4l4..... o yn0n1ln2l2n3l3n4l4......
（赤道) y
一、高斯投影正算公式 n1ddm 0 q,n21 2d dm 1q,n31 3ddm 2 q,n41 4ddm 3 q,
高斯投影及高斯投影 坐标系
8
3.1.2 地图投影变形及其表述
E 当A=0°或180 °，得经线方向长度比： mL N cos B
G 当A = 90°或270 °，得纬线方向长度比： mB N cos B
要使长度比与方向无关，只要：F = 0, E = G，
则长度比可表示为：
E G m N cos B N cos B
2 ds2 mL .( N cos Bdq) 2
2mB mL N 2 cos2 B cosdqdl
2 mB .( N cos Bdl) 2
dS
A
N cos Bdq
ds
N cos Bdqm L
N cos Bdl
对照第一基本形式，得：
2 2 E mL ( N cos B)2 G mB ( N cos B)2
2 m0
1 2 2 2 2 2 2 2 ( mB mL ) ( mB mL ) 4 mL mB sin 2 2
因此，最大长度比a与最小长度比b可表示为：
1 2 2 2 2 2 2 2 ( mB mL ) ( mB mL ) 4 mL mB sin 2 2 1 2 2 2 2 2 2 2 2 b ( mB mL ) ( mB mL ) 4 mL mB sin 2 2 a2
13
3.1.2 地图投影变形及其表述
不难得出下列关系：
2 2 a 2 b 2 mB mL
ab mL mB sin
2 2 (a b)2 mL 2mL mB sin mB 2 2 (a b)2 mL 2mL mB sin mB
14
2 2 2 2
由第二式解得：
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- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
其中：
E ( x )2 ( y )2
q
q
F ( x )(x ) ( y )(y ) q l q l
G ( x )2 ( y )2
l
l
8
3.1.2 地图投影变形及其表述
则，长度比公式为：
m2
ds2 dS 2
Edq2 2Fdqdl Gdl 2 N 2 cos2 B(dq2 dl 2 )
将 tgA N cos Bdl dl 代入上式，得： MdB dq
m2
E
cos2
A
2F cos Asin N 2 cos2 B
A G sin2
A
9
3.1.2 地图投影变形及其表述
14
3.1.2 地图投影变形及其表述
不难得出下列关系：
a2 b2 mB2 mL2
ab mLmB sin
(a b)2 mL2 2mLmB sin mB2 (a b)2 mL2 2mLmB sin mB2
15
3.1.2 地图投影变形及其表述
若对应于最大和最小长度比方向在椭球面上为x轴 和y轴方向，在投影面上为x1和y1方向，则有：
长度比与1之差，称为长度变形，即：
vm
m
1
ds dS dS
vm>0，投影后长度变大，反之，投影后长度变短。
11
3.1.2 地图投影变形及其表述
2、主方向和变形椭圆 主方向：在椭球面上正交的两个方向投影到平面上后仍 然正交，则这两个方向称为主方向。 性质：主方向投影后具有最大和最小尺度比。
23
3.1.3 地图投影的分类
横轴圆柱投影：投影圆柱面与某经线相切。 斜轴圆柱投影：用于小比例尺投影，将地球视为圆球，
投影圆柱体斜切于圆球进行投影。
(3). 圆锥投影：圆锥面与椭球面相切或相割，将椭球面上 物投影到圆锥面上，展开圆锥面得投影平 面。 根据圆锥顶点位置不同，分正圆锥 投影、斜圆锥投影。
a a
2
arcsin
b b
a a
19
3.1.2 地图投影变形及其表述
4、面积比与面积变形
椭球面上单位圆面积为 ，投影后的面积为ab，
则面积变形为：
n ab / ab
Vn n 1 ab 1
n mLmB sin
20
3.1.3 地图投影的分类
dL2 )
N 2 cos2 B(dq2 dL2 )
3
3.1.2 地图投影变形及其表述
上式中
dq MdB N cosB
q为等量纬度，计算公式为
q
B
MdB
dB
ln
tg(
B ) e . (1 e sin B)
0 N cos B
4 2 2 (1 e sin B)
引入等量纬度后，使相同角度量的dq与dL所 对应的椭球面上的弧长相同。
mB2
sin
2 A0
0
tg 使长度比为极值的方向： 2 A0
2mBmL cos
mB2 mL2
由三角公式得：
cos2A0
1
1 tg 2 2A0
mL2 mB2
(mB2 mL2 )2 4mL2mB2 sin 2
sin 2A0 1 cos2 2A0
4
3.1.2 地图投影变形及其表述
上式中
dq MdB N cosB
q为等量纬度，计算公式为
q
B
MdB
dB
ln
tg(
B ) e . (1 e sin B)
0 N cos B
4 2 2 (1 e sin B)
引入等量纬度后，使相同角度量的dq与dL所 对应的椭球面上的弧长相同。
2
3.1.2 地图投影变形及其表述
1、投影长度比、等量纬度及其表示式 长度比：投影平面上微分长度与椭球面上相应微分长度之比。 m ds dS
投影平面上微分长度： ds2 dx2 dy2
椭球面上微分长度：
dS 2
M
2dB2
N
2
cos2
BdL2
N
2
cos2
B(
M 2dB2 N 2 cos2 B
3、方向变形与角度变形
某方向（以主方向起始） 投影后为1，则有：
tg1
y1 x1
by ax
b tg
a
由三角公式，得：
tg1
tg
ba a
tg
sin(1 ) cos1 cos
tg1
tg
ba a
tg
sin(1 ) cos1 cos
sin(1
x iy f (q il) Z x iy, W q il Z f (W )
其反函数也是复变函数，可以写成：
q il F(x iy) W F(Z)
29
3.2.2 高斯-克吕格投影的条件和性质
高斯-克吕格投影的条件： 1. 是正形投影 2. 中央子午线不变形
3.2.1 正形投影的概念和投影方程
长度比与方位角无关的投影称为正形投影，必须满足 条件E = G, F = 0，即：
x q
2
y q
2
x l
2
y l
2
x x y y 0 q l q l
ds2 mL2.( N cos Bdq)2
2mBmL N 2 cos2 B cosdqdl
mB2 .( N cos Bdl)2
对照第一基本形式，得：
N cosBdq dS A N cosBdl
ds N cos BdqmL
N cos BdlmB
E mL2 (N cosB)2 G mB2 (N cosB)2
Px, y
P1x1, y1
椭球面上
投影面上
x1 ax y1 by,
x2 y2 1
x12 a2
y12 b2
1
m
x12 y12
a2x2 b2 y2
a2 cos 2 b2 sin 2
x2 y2
x2 y2
16
3.1.2 地图投影变形及其表述
F mBmL N 2 cos2 B cos
且： cos F
EG
12
3.1.2 地图投影变形及其表述
代入长度比公式，得：
m2 mL2 cos2 A mBmL cos sin 2A mB2 sin2 A
若使：d dA
(m2 )
mL2
sin
2 A0
2mBmL
cos
c os2 A0
1、按投影变形的性质分类
(1). 等面积投影 ab=1
(2). 等角投影 a=b
(3). 等距离投影 某一方向的长度比为1。
21
3.1.3 地图投影的分类
2、按采用的投影面和投影方式分类 (1). 方位投影 投影面与椭球面相切，切点为投影中心，按一定 条件将椭球面上的物投影到平面上。
x cos f (Z ) cos y sin f (Z ) sin
3.1.2 地图投影变形及其表述
上式中
dq MdB N cosB
q为等量纬度，计算公式为
q
B
MdB
dB
ln
tg(
B ) e . (1 e sin B)
0 N cos B
4 2 2 (1 e sin B)
引入等量纬度后，使相同角度量的dq与dL所 对应的椭球面上的弧长相同。
22
3.1.3 地图投影的分类
(2). 正轴或斜、横轴圆柱投影 正轴圆柱投影：投影圆柱面与某纬线相切(切圆柱投
影)、或相割(割圆柱投影) 切圆柱投影：投影圆柱面与赤道相切，纬线投影成 一组平行直线，经线投影成与纬线正交 的另一组平行直线。 割圆柱投影：投影圆柱面与两条对称纬线相割，纬线 投影成一组平行直线，经线投影成与纬 线正交的另一组平行直线。
第三章 高斯 投影及高斯平面直角坐标 系
§3.1 地图投影概述
3.1.1 地图投影的意义与实现
由椭球面投影到平面,大地经纬度B,L，与平面坐标x,y的关系
x F1(B, L) y F2 (B, L)
因椭球面是不可展曲面,要建立一一对应的关系,必 然会产生投影变形，控制投影变形有各种不同的方 法，对应于不同的投影。
(mB2 mL2 )2 4mL2mB2 sin 2
因此，最大长度比a与最小长度比b可表示为：
a2
1 2
(mB2
mL2 )
(mB2 mL2 )2 4mL2mB2 sin 2
b2
1 2
(mB2
mL2 )
(mB2 mL2 )2 4mL2mB2 sin 2
2mLmB cos (mB2 mL2 )2 4mL2mB2 sin2
13
3.1.2 地图投影变形及其表述
由此得，长度比极值为：
m02
mB2
mL2 2
mL2
mB2 2
cos 2A0
mBmL
cos
sin 2A0