竞赛辅导(功和能)例题试卷

物理竞赛辅导内容（功和能）

例1：半径为R 的圆柱体上缠绕一根细线，施加一水平恒力F 拉动轻绳，使圆柱体无滑滚动一周，则力F 做得功为 （ R F π4? ）

例2：已知力F ＝100牛，拉动物体在光滑的水平面上前进S ＝1米，其中线与水平面的夹角α＝60。

，求在此过程中，拉力做的功。

例3：已知：倾角为θ、长度为L 的斜面上放置一物块M,当物块匀速下滑至斜面底端时，斜面匀速向右运动了θ

cos 2L S = ，求各力

所作的功及斜面对物体作的功。（θ＝30）

例4： 截面呈圆环的玻璃管被弯成大圆环，并固定在竖直平面内，在玻璃管内的最低点

A 处有一直径略小于管径的小球，小球上连一轻绳，在外力F 的作用下，

小球以恒定的速度V 沿管壁作半径为R 的匀速圆周运动，已知小球与管内壁外侧的动摩擦因数为μ，而内侧是光滑的，若忽略管的内外半径之差，认为均为R,，试求小球从A 点运动至最高点B 过程中拉力F 作

的功。

例5：用锤击打钉，设木板对钉的阻力与钉子进入木板的深度成正比：f = k x ，每次击钉时，对钉子作的功相同，已知第一次击钉子时，钉子进入木板d 1＝1厘米，求第二次击钉子时，钉子进入木板的深度d 2＝？

例6：水平桌面上放一根绳，绳的一端接着一个小孔，下面的小木块拉着该绳向下滑动，已知绳的质量为m ，与桌子表面的动摩擦因数为μ，求摩擦力做的功。

例7：一台抽水机将水从深为H 的井中抽出，并以速度v 0喷出，已知在t 秒内抽出水为m ，则抽水机做功为多少？抽水机的平均功率为多少？

例8：一枝水枪均匀地喷洒半径为R=12米的农田，已知从h=4米深的井中每秒抽出80升的水喷出，求水泵的功率。（水枪的倾角为45度）

例9：如图所示，在一盛水的烧杯中漂浮着月质量为m 的物块，求若施加 外力将物块压入水底过程中压力作的功。

例10：跳水运动员从高于水面H=10米的跳台自由落下，假设运动员的体重为m ＝60kg ，其体型可等效为长度为L=1.0m ，直径d=0.30m 的圆柱体，略去空气阻力，入水后，水的等效阻力f 作用于圆柱体的下断面，阻力f 的量值随水的深度y 变化的函数曲线如图所示，此曲线可近似看作是椭圆的一部分，该椭圆的长、短半轴分别与坐标轴重合，椭圆与y 轴相交于Y=h 处，与f 轴相交于f=

mg 2

5处，为了确保运动员的安全，试计算池中

水的深度至少应为多少（ρ＝1.0×103

kg ∕m 3

）

例11：长为2L 的细线系住两个质量为m 的小钢球，放在光滑的桌面上，在线中央施加如图所示的

恒力F,试求

①钢球第一次相碰时在与力F 垂直方向上钢球对地的速度；

②经过若干次碰撞后最后两球一直处于接触状态，则失去的总能量为多少？

例12：如图所示，轨道的对称轴是过O 、E 两点的竖直线，轨道BEC 为120。的光滑圆弧，半径

为R=2.0米，O 为圆心，AB 、CD 两斜面与圆弧分别相切于B 、C 两点，一物体从高h=3.0米处以速率v 0=4.0m ∕s 的速度沿斜面运动，物体与两斜面的动摩擦因数为μ＝0.2，求物体在AB 、CD 两斜面上（不包含圆弧部分）通过的总路程。

例13：如图所示，一辆汽车通过一根跨过定滑轮的绳子PQ 提升井中质量为m 的物体，设绳子

的总长度始终不变，绳的质量，定滑轮的质量和尺寸，定滑轮的摩擦均不计，

开始时车在A 点，滑轮左右两侧的绳都已绷紧，且是竖直的，左侧绳长为H,提升物体时车加速向左运动，从A 运动到B 的距离为H, 车过B 点时车的速度为v ，求车由A 运动到B 的过程中，绳Q 端的拉力对物体做的功。若不计质量为M 的车从A 运动到B 过程中所受的摩擦阻力，求小车在此过程中，牵引力做了多少功？

例14：如图所示，一固定光滑的半圆形碗，半径为R,在光滑的碗的边缘两边通过一轻质的细线

挂着质量分别为M 和m 的两个小物体，M ＞m ，现让M 从靠近碗的边缘处

有静止开始沿碗的内壁下滑，求的物体M 下滑到碗的最低点的过程中，细线对物体M 做的功。

例15：质量为M 的列车正沿平直轨道匀速行驶，忽然尾部有一质量为m 的车厢脱钩，待司机发现并关闭油门时前部车厢已行驶的距离为L, 已知列车所受的阻力与其质量成正比（设比例常数为k ），列车启动后其牵引力不变，问前后两节车厢都停下时相距多远？

例16：水平桌面上放着一条伸长的柔软轻绳，绳的一端挨着桌面上的小孔，绳长为L,质量为m，一根细线通过小孔与绳头相连，下面悬挂一质量为m1的物体，开始用手按着轻绳使之处于静止，然后放开使之运动，设绳与桌面的动摩擦因数为μ，求绳尾滑到小孔时，绳子和物体

的速度为多少？

例17：在光滑的水平面上放着一质量为m1，高度为a的长方体滑块，长度为L（L＞a）的光滑轻杆靠在滑块的右上侧的棱上，且轻杆能绕O轴在竖直面内自由转动，

轻杆的上端固定一个质量为m2的小球，开始时系统静止，轻杆与水平面

的夹角为θ0,求系统释放后滑块的速度v1随θ角的变化。

例18：水平弹簧，一端固定，另一端系着质量为m的小球，小球的劲度系数为k，小球与水平面的动摩擦因数为μ，当弹簧为原长时，小球位于O点，开始小球位于O点的右边的A点，AO=L0,静止释放，则

①为使小球能且只能通过O点一次，则μ的取值范围如何？

②在上述条件下，设小球停在最左边时，与O点的最大距离如何？

例19：劲度系数为k1的轻弹簧两端分别与质量为m A和m B的两物体A

和B相连，劲度系数为k2的轻弹簧下端压在桌面上（不拴接），上端与

物体B拴接，整个系统处于平衡状态，现施加外力使物体A缓慢地向

上提起，直至弹簧B的下端刚离开桌面，在此过程中，物体B重力势

能增加了__________物体A的重力势能增加了___________

例20：质量为M=2千克的物体，其一端经过轻弹簧施加大小为30牛的水平恒力F,若弹簧的劲度系数k＝100N／M,，物体与水平面之间的动摩擦因数为μ＝0.3,求物体位移为2米时的速度。

例21：位于赤道上空r1＝6.5×103千米的卫星，转移到r2＝4.2×104千米的同步卫星轨道上，先要在短时间内给卫星加速，使之从近轨道转移到远点为r2＝4.2×104的椭圆轨道上，当达到远点时，再次加速，使之飞到大圆轨道，求两次加速时速度的增量。

例22：宇宙间某一惯性参考系，有两个质点A和B, 质量分别为m和M ，

相距为L0，开始时A静止，B具有沿AB连线延伸方向的速度v0，由于B

受力F,可以作匀速运动，求：①、AB间的最大距离；②、从A开始运动到

AB相距最远过程中，力F所做的功；③、分析结果并对①②的结果进行讨论；④若质点A不动，当质点A和B之间的距离由L0增加到L的过程中，则作用在匀速运动的质点B上的拉力F所做的功为多少？

例23：质量为m的物体位于质量可以忽略的竖直弹簧上方H处，该物体从静止开始落向弹簧，设弹簧的劲度系数为k，则物体可能获得的最大动能为____________；

例24：质量为m的钢板与直立的轻弹簧的上端相连接，弹簧下端固定在地上，平衡时弹簧压缩量为x0,一物块从钢板上方3x0处自由下落，打在钢板上并立刻和钢板一起向下运动，但不连接，它们到达最低点后，又向上运动，已知物块质量也为m时，它们恰能回到O点，若物块质量为2m，仍从原

处自由落下，则物块与钢板回到O点时，还具有向上的速度，求物块上升

的最高点与O点的距离。

例25：光滑的竖直圆环半径为R, 自然长度也为R的轻弹簧的一端固定在大圆环的顶点O,另一端与一个套在大圆环上的质量为m的小圆环相连，如图所示，先将小环移

至A点使弹簧保持自然长度，然后释放小环使其运动，求弹簧与竖直线成

θ角时小环的速度为多少？例28：如图所示，水平传送带AB长为L=1.0米，以v＝1米∕秒的速度匀速转动，把一质量为

m＝0.2千克的物体无初速地放在传送带上的A点，物体与传送带的

动摩擦因数为μ＝0.5,则在小物体由A运动到B的过程中，传送带

对物体做的功为________，系统产生的热能为__________;

例29：如图所示，质量均为m的小球A、B、C,用两条长度为L的细线相连，置于高度为h的光滑水平桌面上，且L＞h，小球A刚跨过桌边，若A和B两球落地后

均不反弹，则C球离开桌面时其速度为多大？

例28：将不可伸长的细线的一端固定于天花板上的C点，另一端系一质量为m的小球，以角速度ω绕竖直轴做匀速圆周运动，细线与竖直轴的之间的夹角为θ，如图所示，已

知A和B为某一直径上的两点，则小球从A到B的过程中细线对小球的拉力T

的冲量为多少。

例29：一枚质量为M的火箭，依靠向下方喷气在空中保持静止，如果喷出

的气体速度为v，则火箭发动机的功率为多大？

例30：质量为M的车在光滑的水平面上以速度v0向左行驶，一质量

为m的小球自高h处自由下落，与小车碰撞后反弹上升的高度仍为h，

设M 〉〉m，碰撞的弹力为N 〉〉mg ，球与车的摩擦系数为μ，则

小球弹起后水平速度为__________ 例31：已知m〈M ，m离地面的高度为h，现将物体m举高h，使其自由下落，求M上升的最大高度。

窗帘问题

例32：一根细线长为L, 质量为m，对折悬挂，一端固定，自由释放另一端，讨论在下落过程中钉上的拉力与其下落距离的关系。

例33：如图所示的传送带，与水平方向成30度的倾角，现有沙子自h ＝0.5米处自由下落，传送带始终以V＝1米∕秒的速度运转，若

沙子落到传送带上的流量为Q=40kg/s，传送带的有效长度为L=10

米，电动机的效率η＝80%，则至少需要多大功率的电动机；

（g=10m/s2）

例34：如图所示，质量为m 的人从长为L ，质量为M 的铁板的一端匀加速跑向另一端，并在另一端

骤然停止，已知铁板与地面的动摩擦因数为μ1，人与铁板之间的

动摩擦因数为μ2（μ2 ）〉μ1），试求人铁板向其运动方向移动的最大距离。

例35：质量为m 的青蛙从木板AB 的左端E 跳向木板的另一端F,已知木板的质量为M,自由地放

在光滑的平面上，已知EF ＝L, 求青蛙的起跳速度v 0 。

例36：一人站在平板车上，人和车的总质量为M=40kg ，车以v ＝10m/s 的速度匀速行驶，此人在车运动至某一位置时抛出一个质量为m ＝10kg 的铅球，使球水平地通过一固定圆环，如图所示，已知圆环中心距手的高度的距离为H=5m ，球抛出时相对人的速度为u ＝s m /55，若

2

/10s m g =，则求：

① 抛球时距环的水平距离是多少？

② 若人抛球时，作用时间为s t 2.0=，则车对地面的压力为多少？

例37：N 个相同的，质量均为m 的小物体排成一行静止在光滑的水平面上，各物体之间有间距，

现一质量为M （M ＞m ）的物块以速度u 从左方沿N 个滑块的连线方向射向小物体，并与之正碰，假设物体间的碰撞都为完全弹性碰撞，

试求所有物体的最后的速度。

例38：水平放置的圆环形刚性窄槽固定在水平桌面上，槽内镶着三个大小相同的刚性小球，

其质量分别为m 1、m 2、m 3 ，其中m 2 =m 3 =2m 1 ,小球与槽的两壁刚好接触，且无摩擦，开始时小球处于等距的A 、B 、C 三点，m 2、m 3静

止，而m 1以初速度2

0R

v π=沿轨道运动，R 为圆环半径与小球半径的

和，设球之间的碰撞均为弹性碰撞，求碰撞 周期T ；

例39：两块光滑竖直板固定在光滑水平桌面上，形成夹角为α＝20的V形空间，一小球从OB 边上C处以v＝2米∕秒并与OB成θ＝600的方向开始运动，与OA碰后返回与OB碰，已知

OC=4米，设所有碰撞均为弹性碰撞，则

①小球碰撞多少次后回到C点；

②此过程经历的时间；

③过程中小球距O的最近距离；

例40：两块相同的木板长度均为L, 重叠放在光滑水平面上，第三块相同的木块沿水平桌面运

动并与叠放在下面的木块发生完全非弹性碰撞（碰后并不再分开），木

块间的动摩擦因数为μ，若要求木块最后完全移到第三块上并完全对

齐，则第三块的初速度应为多大？例41：如图所示，A是由某种材料制成的小球，B为某种材料制成的均匀刚性薄球壳，假设A 与B的碰撞为完全弹性碰撞，B与桌面的碰撞为完全非弹性碰撞，已知球壳B的质量为m，内半径为a，放在水平桌面上，小球A的质量也为m，通过一自然长度

为a的柔软弹性轻绳悬挂在球壳内壁的最高处，弹性绳拉长时相当于劲

度系数为k的弹簧，且mg

ka

2

9

=，将小球拉到球壳内最低处由静止释放，试定量讨论以后小球的运动状态。

例42：如图所示，小球K的质量为kg

m4.0

=，在水平外力F的作用下，从光滑水平面上的

A点由静止开始向B点运动，到达B点时突然撤去外力F,小球K随即冲上半径为R=0.4m的

4

1光滑圆弧曲面小车，小车即沿光滑水平面PQ运动，设开始时平面AB与圆弧CD相切，A、B、C三点在同一水平面上，令AB连线为x轴，且AB=d＝64cm，小球K在AB上运动时，动量随位移x的变化关系为s

m

kg

x

p/

6.1?

=，小车质量M=3.6kg，不计能量损耗，则：

①判断小球K能否到达D点，若能，试计算此时小车和小球

的速度各是多少？

②小球K能否第二次通过C点，试分析说明，若能，请计算

出小球第二次通过C点时，小车和小球的速度又分别为多

少？

例43：如图所示，质量为m的小球用长为L的轻绳悬挂于支架上的O点上，支架固定在平板上，平板与支架的总质量为M,平板放在光滑的水平桌面上，将小球拉至A点，使绳拉直并水

平，在小球与板均静止时释放小球，求：

①小球在从A点到最低点C的过程中，绳子对小球做的

功；

②当小球运动到B点（绳子与竖直方向的夹角为θ＝60

度）时，板的运动速度；

例44：质量为M的火箭以速度V0水平飞行，若以相对自身速度u向反方向排出质量为m的气流，则火箭的速度为多少？系统的机械能增加多少？

例45：设在自由空间（物体不受任何外力作用的理想空间）里，有一质量为kg

M1

=的演示小火箭，以s

m

v/

100

=的速度作匀速飞行，所带的燃料kg

m6.0

=，为了作加速运动，火箭的发动机向后喷射高度的气体燃烧物，已知火箭每次喷射的燃烧物的质量kg

m2.0

=，气体相对于火箭的速度的大小为s

m

u/

800

=，求燃气喷完后火箭所能达到的速度为多少？（设每次燃气喷出的时间可忽略不计）

例46：一长直光滑薄板AB放在平台上，OB伸出台面，在板的左侧的D点放一质量为m1的小

铁块，铁块以速度v向右运动，假设薄板相对于桌面不发生滑动，经过

时间T0后薄板将翻倒，现让薄板恢复原状，并在薄板上的O点放另一

个质量为m2的小物体，如图所示，同样让m1从D点开始以速度v向右

运动，并与m2发生正碰，那么从m1开始滑动经过多长时间后薄板将翻

倒？

例47：质量为m A的半圆槽A原来静止在水平面上，圆槽的半径为R,将一质量为m B的物体B由静

止释放，若不计一切摩擦，求物体A的最大位移；

例48：质量为1千克的箱子静止在光滑的水平面上，箱底的长度为L=1米，质量为1千克的小物体从箱子中央以v0=5米∕秒的速度开始运动，若μ＝0.05,物体与箱子的碰撞为

弹性碰撞，则可以发生多少次碰撞？当两者相对静止时，箱子的水平位移为

多少？

例49：一人手持一质量为m的小球坐在热气球下的吊篮里，气球、吊篮和人的总的

质量为M, 气球以速度v0匀速上升，人突然将小球向上抛出，经过时间t0后小球又返

回的人的手中,若人手抛、接小球时相对吊篮的位置不变，试求：①抛球过程中人所

做的功W；②抛球者看到小球上升的最大的高度h；例50：长为L 的光滑平台固定在地面上，平台中央放有小物体A和B,两者彼此接触，了A的上部是半径为R的半圆形轨道，轨道顶端距台面的高度为h，在此处有一小球C,，其中A、B、C的

质量均为m，在系统静止时释放小球C,已知在运动过程中，A和C始

终保持接触，求：

①物体A与B分离时物体B的速度；

②物体A与b分离后物体C上升的高度；

③试判断物体A从平台的哪边落地，并计算从A与B分离后到

落地所经历的时间；

例51：两根长度均为L的刚性轻杆，一端通过质量为m的球形绞链链

接，另一端分别与质量为m和2m的小球连接，将此装置的两杆并拢，

绞链向上竖直地放在桌上，然后轻敲一下，使球向两边滑，但两杆始终

保持在竖直面内，忽略一切摩擦力，求：①绞链碰到桌面前的速度；

④当两杆的夹角为90度时，质量为2m的小球的速度；

③当两杆的夹角为90度时，质量为2m的小球的位移；