复变函数与积分变换解读

复变函数与积分变换

课程名称：复变函数与积分变换

英文译名：Complex Function and Integral Transformation

课程编码：070102B06

适用专业：信息与计算科学

课程类别：专业必修

学时数：48 学分：3

编写执笔人：韩仲明审定人：刘晓华

编写日期：2005年4月

一、本课程的内容、目的和任务：

复变函数与积分变换是高等师范院校数学专业的基础课程之一，是数学分析的后续课程，其任务是使学生获得复变函数与积分变换的基本理论与方法。它在微分方程、概率论、力学等学科中都有应用，其方法是自动控制、自动化、信号处理的常用方法之一，本课程主要讨论复变函数和积分变换。内容主要包括：复数运算，解析函数，初等函数，复变函数积分理论，级数展开及留数理论，保形映射，拉普拉斯变换，富里叶变换。复变函数与积分变换是微积分学在复数域上的推广和发展，通过本课程的学习能使学生对微积分学的某些内容加深理解，提高认识。复变函数与积分变换在联系和指导中学数学教学方面也有重要的作用，通过学习，学生对中学数学的某些知识有比较透彻的理解与认识，从而增加做好中学数学教育工作的能力。

二、课程教学内容及教学基本要求

由于该课程的基础课地位，及在应用科学中的重要性，要求学生应对本课程有基本的理解与掌握。凡涉及自动化或自动控制专业、信号处理的各类专业，都要用复变函数与积分变换的理论，因此学生必须熟练掌握

（1）复变解析函数理论

（2）复变函数的积分理论及留数理论

（3）拉氏变换与富氏变换理论。

学生还应掌握复变函数的一些基础理论如罗朗级数理论及奇点理论。

学生还应理解调和函数理论。

学生还应初步了解保形映射的理论。

第一章复数与复变函数(4学时)

1、教学内容

复数的概念；复球面、无穷远点及扩充复平面。区域、简单曲线、单连同区域与多连同区域；复变函数的概念；复变函数的极限与连续的概念、性质。

2、教学目的和要求：

理解复数、区域、单连通区域、复连通区域、逐段光滑曲线、无穷远点、扩充复平面等概念。理解复数的性质、会应用模和辐角的性质，会作点集的图形。进一步认识复数域的结构，并联系中学的复数教学。

第二章解析函数(6学时)

1、教学内容

解析函数。柯西-黎曼方程；调和函数，复变初等函数及其主要性质。

2、教学目的和要求：

理解导数、解析函数的定义、性质及充要条件。理解函数在一点解析与函数在一点可导的区别。熟练掌握利用C—R条件判别解析函数的方法。熟练掌握已知解析函数的实部或虚部，求该解析函数的方法。熟练求多值函数的支点、及满足条件的分支在指定点处的函数值。联系中学教学、认识复变函数中各类基本初等函数与相应初等函数的异同。

第三章复积分理论(8学时)

1、教学内容：

复积分；柯西-古萨定理，牛顿莱不尼茨公式。复合闭路原理，柯西积分公式及高阶导数公式，平面调和函数理论。

2、教学目的和要求：

理解复积分的概念；掌握柯西积分定理和柯西积分公式以及高阶导数公式及其应用；理解刘维尔定理、莫勒拉定理；熟练掌握利用柯西积分定理和积分公式计算函数的各种积分。

第四章复变函数的级数理论(6学时)

1、教学内容

复数列的极限；级数理论泰勒展开定理。罗朗级数，罗朗展开定理。

2、教学目的与要求

理解一致收敛、内闭一致收敛、幂级数、泰勒展式、收敛半径、收敛圆的概念。理解复变函数项级数的逐项可导性，与微积分学的相应定理比较，认识其条件结论的强弱。熟练掌握幂级数收敛半径和收敛圆的求法。熟练掌握将函数在指定点展成幂级数的方法。熟练掌握解析函数零点和级别的求法。理解罗朗级数、孤立奇点可去奇点、极点、本性奇点的概念。熟练掌握求函数在孤立奇点去心邻域上的罗朗展式。

第五章 留数(6学时)

1、教学内容

留数及其计算。留数定理，()θθθπ

d R ⎰20sin ,cos 、()()⎰∞

+∞-dx x Q x P 及()()⎰∞+∞-dx e x Q x P iax 型积分。 2、教学目的和要求：

理解留数的定义。熟练掌握计算留数的方法。理解留数基本定理，会用留数理论计算积分

第六章 保形映射(4学时)

1、教学内容

保形映射、分式线性映射及其性质，导数的几何意义、保域性、保角性、保形性、保域性定理、最大模原理。几个初等函数的映射性质。

2、教学目的和要求：

理解导数的几何意义及保形映射、分式线性映射、保圆性、对称点等概念。掌握分式线性映射的性

质和几个典型映射。理解W=Z n 、W=n z 、W=e z 、W=lnZ 的映射性质。

第七章 富里叶变换(8学时)

1、教学内容

周期函数的傅里叶级数极其复数形式，傅氏变换及其逆变换；卷积及卷积定理。

2、教学目的和要求。

了解周期函数的傅里叶级数极其复数形式，熟悉富氏积分定理； 理解傅氏变换及其逆变换的概念；理解()t δ的概念和性质； 掌握傅氏变换的线性、位移、积分以及微分性质，熟练运用傅氏变换的性质求函数的傅氏变换及其逆变换；理解卷积的概念，掌握并能运用卷积定理

第八章 拉普拉斯变换(6学时)

1、教学内容

拉氏变换及其逆变换。复反演积分公式。常系数线性微分方程（组）的拉氏变换解法。

2、教学目的和要求:

理解拉氏变换及其逆变换的概念，了解拉氏变换与傅氏变换的区别； 熟练运用拉氏变换的性质求函数的拉氏变换及其逆变换；熟练掌握应用留数计算像原函数的方法； 熟练掌握常系数线性微分方程（组）的拉氏变换解法。

三、课程教学环节

课堂教学应是启发式，习题课教学应是讨论式。每次课均布置作业，根据学生情况不定期答疑.闭卷考试。