2015届高考数学总复习 第二章 第六节对数与对数函数课时精练 理

第六节 对数与对数函数

1．(2013·浙江卷)已知x ，y 为正实数，则( )

A ．2lg x ＋lg y ＝2lg x ＋2lg y

B ．2lg (x ＋y )＝2lg x ·2lg y

C ．2lg x ·lg y ＝2lg x ＋2lg y

D ．2lg (xy )＝2lg x ·2

lg y

解析： 由指数和对数的运算法则，易知选项D 正确．

答案：D

2．函数f (x )＝2|log 2x |的图象大致是( )

解析：∵f (x )＝2|log 2x |＝⎩⎪⎨⎪⎧

x ，x ≥1，1x

，0

答案：C 3．给定函数：①y ＝x 12；②y ＝log 12

(x ＋1)；③y ＝|x －1|；④y ＝2x ＋1.其中在区间(0,1)上单调递减的函数是( )

A ．①②

B ．②③

C ．③④

D ．①④

答案：B

4. 已知a ，b ∈R ，则“lo g 2a ＞log 2b ”是 “⎝ ⎛⎭⎪⎫12a ＜⎝ ⎛⎭

⎪⎫12b ”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件

C ．充要条件

D ．既不充分也不必要条件

解析：由a >b >0⇒⎝ ⎛⎭⎪⎫12a <⎝ ⎛⎭⎪⎫12b ，但由⎝ ⎛⎭⎪⎫12a <⎝ ⎛⎭

⎪⎫12b ⇒a >b ⇒ / log 2a >log 2b .故选A. 答案：A

5．(2012·重庆卷)已知a ＝log 23＋log 23，b ＝log 29－log 23，c ＝log 32，则a ，b ，c 的大小关系是( )

A ．a ＝b ＜c

B ．a ＝b ＞c

C ．a ＜b ＜c

D ．a ＞b ＞c

解析：a ＝log 23＋log 23＝log 233，b ＝log 29－log 23＝log 233，因此a ＝b ， 而log 233＞log 22＝1，log 32＜log 33＝1，所以a ＝b ＞c ，故选B.

答案：B

6．已知f (x )＝|log 2x |，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫38＋f ⎝ ⎛⎭

⎪⎫32＝________.

解析：f ⎝ ⎛⎭⎪⎫38＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32＝⎪

⎪⎪⎪⎪⎪log 238＋⎪⎪⎪⎪⎪⎪log 232＝3－log 23＋log 23－1＝2. 答案：2

7．(2013·揭阳二模)若点(a ，－1)在函数y ＝log 13x 的图象上，则tan 4πa

的值为________．

解析：将x ＝a ，y ＝－1代入函数解析式得：－1＝log 13

a ，解得：a ＝3， 则tan 4πa ＝tan 4π3＝tan ⎝

⎛⎭⎪⎫π＋π 3＝tan π3＝ 3. 答案： 3

8．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ 3x ＋1，x ≤0，log 2x ，x ＞0，则使函数f (x )的图象位于直线y ＝1上方的x 的

取值范围是________．

解析：当x ≤0时， 3x ＋1＞1⇒x ＋1＞0，∴－1＜x ≤0；

当x ＞0时，log 2x ＞ 1⇒x ＞2，∴x ＞2.

综上所述，x 的取值范围为－1＜x ≤0或x ＞2.

答案：{x |－1＜x ≤0或x ＞2}

9．函数y ＝lg(3－4x ＋x 2)的定义域为M ，当x ∈M 时，求f (x )＝2x ＋2－3×4x 的最值．

解析：由3－4x ＋x 2＞0，得x ＞3或x ＜1，

∴M ＝{x |x ＞3或x ＜1}．

f (x )＝－3×(2x )2＋2x ＋2＝－3⎝

⎛⎭⎪⎫2x －162＋2512. ∵x ＞3或x ＜1，∴2x ＞8或0＜2x ＜2.

∴当2x ＝16，即x ＝log 216时，f (x )最大，最大值为2512

， f x 没有最小值．

10．(2013·北京东城区检测)已知函数f (x )＝log a (x ＋1)－log a (1－x )，a ＞0且a ≠1.

(1)求f (x )的定义域；

(2)判断f (x )的奇偶性并予以证明；

(3)若a ＞1时，求使f (x )＞0的x 的解集．

解析： (1)f (x )＝log a (x ＋1)－log a (1－x )，

则⎩

⎪⎨⎪⎧

x ＋1＞0，1－x ＞0，解得－1＜x ＜1. 故所求函数f (x )的定义域为{x |－1＜x ＜1}．

(2)由(1)知f (x )的定义域为{x |－1＜x ＜1}．

且f (－x )＝log a (－ x ＋1)－log a (1＋x )＝－[log a (x ＋1)－log a (1－x )]＝－f (x )， 故f (x )为奇函数．

(3)因为当a ＞1时，f (x )在定义域{x |－1＜x ＜1}内是增函数，

所以f (x )＞0⇔x ＋11－x

＞1.解得0＜x ＜1. 所以使f (x )＞0的x 的解集是{x |0＜x ＜1}．