坐标系与参数方程典型例题含高考题答案详细

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2020年高考数学(文)二轮专项复习专题13 坐标系与参数方程含答案

专题13 坐标系与参数方程【知识要点】1．极坐标系的概念，极坐标系中点的表示．在平面内取一个定点O ，O 点出发的一条射线Ox ，一个长度单位及计算角度的正方向(通常取逆时针方向)，合称为一个极坐标系．O 称为极点，Ox 称为极轴．设M 是平面内任意一点，极点O 与点M 的距离｜OM |叫做点M 的极径，记作ρ ；以极轴Ox 为始边，射线OM 为终边的角xOM 叫做点M 的极角，记作θ ，有序数对(ρ ，θ )叫做点M 的极坐标．一般情况下，约定ρ ≥0．2．极坐标系与直角坐标系的互化．直角坐标化极坐标：x ＝ρ cos θ ，y ＝ρ sin θ ；极坐标化直角坐标：， 3．参数方程的概念设在平面上取定一个直角坐标系xOy ，把坐标x ，y 表示为第三个变量t 的函数……①，如果对于t 的每一个值(a ≤t ≤b )，①式所确定的点M (x ，y )都在一条曲线上；而这条曲线上任意一点M (x ，y )，都可由t 的某个值通过①式得到，则称①式为该曲线的参数方程，其中t 称为参数．4．参数方程与普通方程的互化把参数方程化为普通方程，需要根据其结构特征，选取适当的消参方法．常见的消参方法有：代入消元法；加减消参法；平方和(差)消参法；乘法消参法等．把曲线C 的普通方程F (x ，y )＝0化为参数方程的关键：一是适当选取参数；二是确保互化前后方程的等价性．要注意方程中的参数的变化范围． 5．直线、圆、椭圆的参数方程．(1)经过一定点P 0(x 0，y 0)，倾斜角为α 的直线l 的参数方程为(t 为参数)；(2)直线参数方程的一般形式为(t 为参数)；222y x +=ρ).0(tan =/=x xyθ⎩⎨⎧==)()(t g y t f x b t a ≤≤⎩⎨⎧+=+=ααsin ,cos 00t y y t x x ⎩⎨⎧+=+=bt y y at x x 00,(3)圆的参数方程为(θ 为参数)；(4)椭圆的参数方程为(θ 为参数)．【复习要求】1．理解坐标系的作用．2．能在极坐标系中用极坐标表示点的位置，理解在极坐标系和平面直角坐标系中表示点的位置的区别，能进行极坐标和直角坐标的互化．3．了解参数方程．4．能选择适当的参数写出直线、圆和圆锥曲线的参数方程，并会简单的应用．【例题分析】例1 (1)判断点是否在曲线上． (2)点P 的直角坐标为，则点P 的极坐标为______．(限定0＜θ ≤2π)(3)点P 的极坐标为，则点P 的直角坐标为______．解：(1)因为，所以点是在曲线上． (2)根据ρ 2＝x 2＋y 2，，得ρ ＝2，，又点P 在第四象限，，所以，所以点P 的极坐标为 (3)根据x ＝ρ cos θ ，y ＝ρ sin θ ，得，所以点P 的直角坐标为例2 (1)圆ρ ＝2(cos θ ＋sin θ )的半径为______．⎩⎨⎧+=+=θθsin ,cos 00r y y r x x )0(12222>>=+b a b y a x ⎩⎨⎧==θθsin ,cos b y a x )35π,23(-2cos θρ=)3,1(-)4π,3(-2365πcos2cos-==θ)35π,23(-2cos θρ=)0(tan =/=x xy θ3tan -=θ2π23π≤<θ35π=θ).3π5,2(223,223-==y x ).223,223(-(2)直线与圆ρ ＝2sin θ 交与A ，B 两点，则|AB |＝______．解：(1)由ρ ＝2(cos θ ＋sin θ )，得ρ 2＝2ρ (cos θ ＋sin θ )，所以，x 2＋y 2＝2x ＋2y ，即(x －1)2＋(y －1)2＝2，所以圆ρ ＝2(cos θ ＋sin θ )的半径为． (2)将直线与圆ρ ＝2sin θ 化为直角坐标方程，得由得，即，由ρ ＝2sin θ ，变形为ρ 2＝2ρ sin θ ，得x 2＋y 2＝2y ，即x 2＋(y －1)2＝1，因为圆的半径为1，圆心到直线的距离为，所以评述：(1)应熟练运用直角坐标与极坐标互化的方法解决有关极坐标的问题；(2)由直角坐标化极坐标时要注意点位于哪一个象限才能确定θ 的大小，如例1(2)，否则，极坐标不唯一； (3)例2也可以用极坐标有关知识直接解决．这需要知道一些直线与圆的极坐标方程的知识．如： ①过极点，倾斜角为α 的直线：θ ＝α (ρ ∈R )或写成θ ＝α 及θ ＝α ＋π． ②过A (a ，α)垂直于极轴的直线：ρ cos θ ＝a cos α ． ③以极点O 为圆心，a 为半径的圆(a ＞0)：ρ ＝a ．④若O (0，0)，A (2a ，0)，以OA 为直径的圆：ρ ＝2a cos θ ． ⑤若O (0，0)，A (2a ，)，以OA 为直径的圆：ρ ＝2a sin θ ．对于例2(2)，可以利用结论①⑤，作出直线与圆，通过解三角形的方法求|AB ｜，当然也可以用极坐标方程直接解ρ ，根据ρ 的几何意义求｜AB ｜．例3 圆O 1和圆O 2的极坐标方程分别为ρ ＝4cos θ ，ρ ＝－4sin θ ． (1)把圆O 1和圆O 2的极坐标方程化为直角坐标方程； (2)求经过圆O 1和圆O 2交点的直线的直角坐标方程．)(3πR ∈=ρθ2)(3πR ∈=ρθ3π=θxy=3πtan x y 3=21311=+=d .3)21(12||2=-=AB 2π解：(1)由ρ ＝4cos θ 得ρ 2＝4ρ cos θ ，根据x ＝ρ cos θ ，y ＝ρ sin θ ，所以x 2＋y 2＝4x ．即x 2＋y 2－4x ＝0为圆O 1的直角坐标方程，同理x 2＋y 2＋4y ＝0为圆O 2的直角坐标方程．(2)由解得即圆O 1和圆O 2交于点(0，0)和(2，－2)．过交点的直线的直角坐标方程为y ＝－x ．例4(1)曲线的参数方程是(t 为参数，t ≠0)，它的普通方程是________． (2)在平面直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为 (参数t ∈R )，圆C 的参数方程为(参数θ ∈[0，2π])，则圆C 的圆心坐标为______，圆心到直线l 的距离为______．解：(1)由得，带入y ＝1－t 2，得注意到，所以已知参数的普通方程为 (2)直线l 的普通方程为x ＋y －6＝0，圆C 的普通方程为x 2＋(y －2)2＝4，所以圆心坐标为(0，2)，圆心到直线l 的距离评述：(1)应熟练运用将参数方程化为普通方程的方法解决有关参数方程的问题；(2)在将参数方程化为普通方程的过程中应注意消参带来的范围变化问题．如例4(1)，若参数方程为(t 为参数，t ＞0)，则其普通方程为例5 求椭圆的内接矩形的最大面积．解：设内接矩形在第一象限内的顶点为P (a cos θ ，b sin θ )，P 点在两轴上的投影分别为A 、B ，则有S 内接矩形＝4S 矩形OAPB ＝4·a cos θ ·b sin θ ＝2ab sin2θ ．因为，所以2θ ∈(0，π)，S 内接矩形的最大值为2ab ． ⎪⎩⎪⎨⎧=++=-+,04,042222y y x x y x ⎩⎨⎧==;0,011y x ⎩⎨⎧-==.2,222y x ⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧-=-=21,11t y t x ⎩⎨⎧-=+=t y t x 3,3⎩⎨⎧+==2sin 2,cos 2θθy x t x 11-=x t -=11,)1()2()11(122--=--=x x x x y 111=/-=t x ⋅--=2)1()2(x x x y .222|620|=-+=d ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=-=21,11t y t x ).1()1()2(2<--=x x x x y 12222=+by a x )2π,0(∈θ评述：圆锥曲线参数方程主要应用于利用参数方程设圆锥曲线上的点，从而讨论最值等有关问题．椭圆的参数方程为 (θ 为参数)．抛物线y 2＝2px (p ＞0)的参数方程为.例6 圆M 的参数方程为x 2＋y 2－4Rx cos α －4Ry sin α ＋3R 2＝0(R ＞0)． (1)求该圆的圆心坐标以及圆M 的半径；(2)当R 固定，α 变化时，求圆心M 的轨迹，并证明此时不论α 取什么值，所有的圆M 都外切于一个定圆．解：(1)依题意得圆M 的方程为(x －2R cos α )2＋(y －2R sin α )2＝R 2，故圆心的坐标为M (2R cos α ，2R sin α )，半径为R ．(2)当α 变化时，圆心M 的轨迹方程为 (α 为参数)，两式平方相加得x 2＋y 2＝4R 2，所以圆心M 的轨迹是圆心在原点，半径为2R 的圆．由于所以所有的圆M 都和定圆x 2＋y 2＝R 2外切，和定圆x 2＋y 2＝9R 2内切．例7 过P (5，－3)，倾斜角为α ，且的直线交圆x 2＋y 2＝25于P 1、P 2两点．(1)求|PP 1|·|PP 2｜的值；(2)求弦P 1P 2的中点M 的坐标．解：(1)由已知得所以已知直线的参数方程为…………………①(t 为参数)代入圆的方程化简，得…………………② ②的两个解t 1、t 2就是P 1、P 2对应的参数，由参数的几何意义及韦达定理知)0,0(12222>>=+b a b y a x ⎩⎨⎧==θθtan sec b y a x ⎩⎨⎧==pty ptx 222⎩⎨⎧==,sin 2,cos 2ααR y R x ,32)sin 2()cos 2(22R R R R R -==+αα,2)sin 2()cos 2(22R R R R R +==+αα53cos -=α53cos -=α,54sin =α⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+-=-=,543,535t y t x .095542=+-t t｜PP 1|·｜PP 2|＝|t 1|·|t 2|＝9．(2)设M (x ，y )为P 1P 2的中点，则点M 对应的参数，代入参数方程，得所以评述：根据直线的参数方程的标准式中t 的几何意义，有如下常用结论： ①直线与圆锥曲线相交，交点对应的参数分别为t 1，t 2，则弦长l ＝|t 1－t 2｜； ②定点M 0是弦M 1M 2的中点t 1＋t 2＝0；③设弦M 1M 2的中点为M ，则点M 对应的参数值，(由此可求得|M 2M |及中点坐标)．习题13一、选择题 1．极坐标的直角坐标为 (A)(1，)(B)(－，－1)(C)(－1，－)(D)(－1，)2．椭圆(θ 为参数)的焦距等于( )(A) (B)2 (C) (D)3．已知某条曲线的参数方程为(0≤t ≤5)，则该曲线是( )(A)线段 (B)圆弧 (C)双曲线的一支 (D)射线4．若是极坐标系中的一点，则四点中与P 重合的点有( )(A)1个(B)2个(C)3个(D)4个527221=+=t t t ,2533,2544==y x M PP PP ,9||||21=⋅).2533,2544(⇒221t t t M +=)34π(2,3333⎩⎨⎧==θθsin 5,cos 2y x 212129292⎪⎩⎪⎨⎧-=+=1,2322t y t x )3π,2(--P 、、、)3π5,2()3π8,2()3π2,2(-M R Q )3π5π2,2(-k N )(Z ∈k5．在极坐标系中，若等边△ABC 的两个顶点是，那么顶点C 的坐标可能是( ) (A) (B) (C)(D)(3，π)二、选择题6．过极点，倾斜角是的直线的极坐标方程为____________． 7．点M 的直角坐标(3，－3)化为极坐标是____________． 8．直线(t 为参数)过定点____________．9．曲线(t 为参数)与y 轴的交点坐标是____________．10．参数方程(θ 为参数)表示的曲线的普通方程是____________．三、解答题11．求过点，并且和极轴垂直的直线的极坐标方程．12．在椭圆上求一点，使点M 到直线的距离最小，并求出最小距离．13．设圆C 是以C (4，0)为圆心，半径等于4的圆．(1)求圆C 的极坐标方程；(2)从极点O 作圆C 的弦ON ，求ON 的中点M 的轨迹方程．)4π5,2()4π,2(B A 、)4π3,4()43π,32()π,32(6π⎩⎨⎧+-=+=t y at x 41,3⎩⎨⎧=+-=t y t x ,12⎩⎨⎧+==θθθcos sin ,2sin y x )4π,3(14922=+y x 021032=-+y x14．已知点M (2，1)和双曲线，求以M 为中点的双曲线右支的弦AB 所在直线l 的方程．专题13 坐标系与参数方程参考答案习题13一、选择题1．C 2．B 3．A 4．C 5．B 二、填空题 6．； 7．； 8．(3，－1)； 9．(0，1)，(0，－1)；三、解答题 11． 12．解：由题设知椭圆参数方程为(θ 为参数)．设M 的坐标(3cos θ ，2sin θ )由点到直线距离即d 的最小值为，此时．所以M 的坐标为13．解：(1)设P (ρ ，θ )为圆C 上任意一点，圆C 交极轴于另一点A ．由已知|OA |＝8，在Rt △ABC 中，|OP |＝|OA ｜cos θ ，即ρ ＝8cos θ ，这就是圆C 的方程．1222=-y x )(6πR ∈=ρθ)47π,23(⋅=223cos θρ⎩⎨⎧==θθsin 2,cos 3y x ,13|210)4πsin(26|13|210sin 6cos 6|-+=-+=θθθd 261344π=θ).2,223((2)连结CM ，因为M 是ON 的中点，所以CM ⊥ON ，故M 在以OC 为直径的圆上．由r ＝|OC |＝4，得动点M 的轨迹方程是ρ ＝4cos θ ．14．解：设AB 的方程为(t 为参数)，代入双曲线方程，得(2cos 2α －sin 2α )t 2＋(8cos α －2sin α )t ＋5＝0，由于M 为AB 的中点，则t 1＋t 2＝0，则tan α ＝4，从而AB 的方程为：4x －y －7＝0．⎩⎨⎧+=+=ααsin 1,cos 2t y t x。

高考数学压轴专题2020-2021备战高考《坐标系与参数方程》真题汇编及答案解析

新高考数学《坐标系与参数方程》练习题一、131．设x 、y 满足223412,x y +=则2x y +的最大值为（）A ．2B ．3C ．4D ．6【答案】C 【解析】【分析】由223412x y +=得出22143x y +=，表示椭圆，写出椭圆的参数方程，利用三角函数求2x y +的最大值.【详解】由题可得：22143x y +=则2cos (3sin x y θθθ=⎧⎪⎨=⎪⎩为参数），有22cos 23sin x y θθ+=+134sin 22con θθ⎛⎫=+ ⎪ ⎪⎝⎭4sin 6πθ⎛⎫=+⎪⎝⎭. 因为1sin 16πθ⎛⎫-≤+≤ ⎪⎝⎭，则： 44sin 46πθ⎛⎫-≤+≤ ⎪⎝⎭，所以2x y +的最大值为4. 故选：C. 【点睛】本题主要考查与椭圆上动点有关的最值问题，利用椭圆的参数方程，转化为三角函数求最值.2．在极坐标中，为极点，曲线：上两点对应的极角分别为，则的面积为 A ．B ．C ．D ．【答案】A 【解析】【分析】将、两点的极角代入曲线的极坐标方程，求出、，将、的极角作差取绝对值得出，最后利用三角形的面积公式可求出的面积。

【详解】依题意得：、，，所以，故选：A 。

【点睛】本题考查利用极坐标求三角形的面积，理解极坐标中极径、极角的含义，体会数与形之间的关系，并充分利用正弦、余弦定理以及三角形面积公式求解弦长、角度问题以及面积问题，能起到简化计算的作用。

3．在符合互化条件的直角坐标系和极坐标系中，直线l ：20y kx ++=与曲线C ：2cos ρθ=相交，则k 的取值范围是( )A ．34k <-B ．34k ≥-C ．k R ∈D ．k R ∈但0k ≠【答案】A 【解析】分析：一般先将原极坐标方程2cos ρθ=两边同乘以ρ后，把极坐标系中的方程化成直角坐标方程，再利用直角坐标方程进行求解即可．详解：将原极坐标方程2cos ρθ=，化为：22cos ρρθ=，化成直角坐标方程为：2220x y x +-=，即22(1)1x y -+=．则圆心到直线的距离221k d k +=+由题意得：1d <，即2211k d k +=<+，解之得：34k <-．故选A ．点睛：本题考查点的极坐标和直角坐标的互化，利用直角坐标与极坐标间的关系，即利用cos x ρθ=，sin y ρθ=，222x y ρ=+，进行代换即得．4．若直线l ：y kx =与曲线C ：2cos sin x y θθ=+⎧⎨=⎩（θ为参数）有唯一的公共点，则实数k等于（） A 3B ．3C 3D ．3±【答案】D 【解析】【分析】根据题意，将曲线C 的参数方程消去θ，得到曲线C 的普通方程22(2)1x y -+=，可知曲线C 为圆，又知圆C 与直线相切，利用圆心到直线的距离等于半径，求得k 。

(完整word版)高考极坐标与参数方程大题题型汇总(附详细答案)

高考极坐标与参数方程大题题型汇总1．在直角坐标系xoy 中，圆C 的参数方程1cos (sin x y ϕϕϕ=+⎧⎨=⎩为参数）．以O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．（1）求圆C 的极坐标方程；（2）直线l 的极坐标方程是C 的交点为O 、P ,与直线l 的交点为Q ，求线段PQ 的长．解:(1)圆C 的普通方程是22(1)1x y -+=，又cos ,sin x y ρθρθ==; 所以圆C 的极坐标方程是2cos ρθ=. ---5分(2)设11(,)ρθ为点P 的极坐标，则有设22(,)ρθ为点Q 的极坐标，则有由于12θθ=，所以，所以线段PQ 的长为2.2．已知直线l 的参数方程为431x t ay t =-+⎧⎨=-⎩（t 为参数），在直角坐标系xOy 中，以O 点为极点，x 轴的非负半轴为极轴，以相同的长度单位建立极坐标系，设圆M 的方程为26sin 8ρρθ-=-．（1）求圆M 的直角坐标方程；（2）若直线l 截圆Ma 的值．解：（1）∵2222268(36si )n 81x y y x y ρρθ+--=-⇒=-⇒+-=， ∴圆M 的直角坐标方程为22(3)1x y +-=；(5分）（2）把直线l的参数方程431x t ay t=-+⎧⎨=-⎩（t为参数）化为普通方程得：34340x y a+-+=，∵直线l截圆M所得弦长为，且圆M的圆心(0,3)M到直线l的距离|163|19522ad a-===⇒=或376a=，∴376a=或92a=．(10分）3．已知曲线C的参数方程为⎪⎩⎪⎨⎧+=+=ααsin51cos52yx(α为参数)，以直角坐标系原点为极点，Ox轴正半轴为极轴建立极坐标系。

（1）求曲线c的极坐标方程（2）若直线l的极坐标方程为ρ(sinθ+cosθ)=1，求直线l被曲线c截得的弦长。

解：(1)∵曲线c的参数方程为⎪⎩⎪⎨⎧+=+=ααsin51cos52yx(α为参数)∴曲线c的普通方程为(x-2)2+(y-1)2=5将⎩⎨⎧==θρθρsincosyx代入并化简得：ρ=4cosθ+2sinθ即曲线c的极坐标方程为ρ=4cosθ+2sinθ(2)∵l的直角坐标方程为x+y-1=0∴圆心c到直线l的距离为d=22=2∴弦长为225-=234．已知曲线C：2219xy+=，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为sin()4πρθ-=（1）写出曲线C的参数方程，直线l的直角坐标方程；（2）设P是曲线C上任一点，求P到直线l的距离的最大值.解：（1）曲线C 的参数方程为3cos sin x y αα=⎧⎨=⎩（α为参数），直线l 的直角坐标方程为20x y -+= （2）设(3cos ,sin )P αα，P 到直线l的距离d =ϕ为锐角，且1tan 3ϕ=）当cos()1αϕ+=时，P 到直线l的距离的最大值max d =5．设经过点(1,0)P -的直线l 交曲线C：2cos x y θθ=⎧⎪⎨=⎪⎩(θ为参数)于A 、B 两点．（1）写出曲线C 的普通方程；（2）当直线l 的倾斜角60α=时，求||||PA PB +与||||PA PB ⋅的值．解：（1）C ：22143x y +=．（2）设l：112x t y t ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数）联立得：254120t t --=1216||||||5PA PB t t +=-==，1212||||||5PA PB t t ⋅==6．以直角坐标系的原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知点P 的直角坐标为(1,2)，点M 的极坐标为(3,)2π，若直线l 过点P ，且倾斜角为6π，圆C 以M 为圆心，3为半径．（1）求直线l 的参数方程和圆C 的极坐标方程；（2）设直线l 与圆C 相交于,A B 两点，求PA PB⋅．解：（1）直线l的参数方程为1,12,2x y t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩为参数）t (，（答案不唯一，可酌情给分）圆的极坐标方程为θρsin 6=. （2）把1,12,2x y t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩代入22(3)9x y +-=，得21)70t t +--=，127t t ∴=-，设点,A B 对应的参数分别为12,t t ，则12,PA t PB t ==,∴7.PA PB ⋅=7．在平面直角坐标系xOy 中，直线l的参数方程是2x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数），以原点O为极点，以x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，已知圆C的极坐标方程为)4ρθπ=+.（1）将圆C 的极坐标方程化为直角坐标方程；（2）若直线l 与圆C 交于A ，B 两点，点P 的坐标为(2,0)，试求11PA PB+的值.解：（1）由)4ρθπ=+，展开化为2(cos sin )4(cos sin )2ρρθρθρθρθ=-=-，将代入,得22440x y x y +-+-，所以，圆C 的直角坐标方程是22440x y x y +-+-. cos sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩（2）把直线l的参数方程2x y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数）代入圆的方程并整理，可得：240t +-=. 设A ，B 两点对应的参数分别为12,t t ，则121240t t t t +=-⋅=-<，所以12t t -==∴121212111142t t PA PB t t t t -+=+===⋅.8．已知曲线C 的极坐标方程为2sin cos 10ρθρθ+=，曲线13cos :2sin x C y αα=⎧⎨=⎩（α为参数）．（1）求曲线1C 的标准方程；（2）若点M 在曲线1C 上运动，试求出M 到曲线C 的距离的最小值．解：（1）曲线1C 的标准方程是：22194x y +=（2）曲线C 的标准方程是：2100x y +-= 设点(3cos ,2sin )M αα，由点到直线的距离公式得：)10d αϕ==--其中34cos ,sin 55ϕϕ==0αϕ∴-=时，mind =98(,)55M9．在平面直角坐标系xOy 中，直线l的参数方程为1222x t y ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩（t 为参数），直线l 与曲线C ：22(2)1y x --=交于A ，B 两点. （1）求AB的长；（2）在以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立的极坐标系中，设点P的极坐标为34π⎛⎫ ⎪⎝⎭，求点P 到线段AB 中点M 的距离.解：（1）直线l的参数方程为1222x t y ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩，，（t 为参数），代入曲线C 的方程得24100t t +-=．设点A ，B 对应的参数分别为12t t ，，则124t t +=-，1210t t =-，所以12||||AB t t =-=（2）由极坐标与直角坐标互化公式得点P 的直角坐标为(22)-，，所以点P 在直线l 上，中点M 对应参数为1222t t +=-，由参数t 的几何意义，所以点P 到线段AB 中点M 的距离||2PM =．10．已知直线l 经过点(1,1)P ,倾斜角6πα=，（1）写出直线l 的参数方程。

2022届高三数学(理)一轮总复习练习-第十一章坐标系与参数方程 Word版含答案

课时规范训练1．(2022·高考全国乙卷)在直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为⎩⎨⎧x ＝a cos t ，y ＝1＋a sin t ，(t 为参数，a ＞0)．在以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C 2：ρ＝4cos θ.①说明C 1是哪一种曲线，并将C 1的方程化为极坐标方程；②直线C 3的极坐标方程为θ＝α0，其中α0满足tan α0＝2，若曲线C 1与C 2的公共点都在C 3上，求a .解：①消去参数t 得到C 1的一般方程为x 2＋(y －1)2＝a 2.所以C 1是以(0，1)为圆心，a 为半径的圆．将x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ代入C 1的一般方程中，得到C 1的极坐标方程为ρ2－2ρsin θ＋1－a 2＝0.②曲线C 1，C 2的公共点的极坐标满足方程组⎩⎪⎨⎪⎧ρ2－2ρsin θ＋1－a 2＝0，ρ＝4cos θ.若ρ≠0，由方程组得16cos 2θ－8sin θcos θ＋1－a 2＝0，由已知tan θ＝2，可得16cos 2θ－8sin θcos θ＝0，从而1－a 2＝0，解得a ＝－1(舍去)或a ＝1.当a ＝1时，极点也为C 1，C 2的公共点，且在C 3上．所以a ＝1.2．(2022·高考全国丙卷)在直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为⎩⎨⎧x ＝3cos α，y ＝sin α(α为参数)．以坐标原点为极点，以x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C 2的极坐标方程为ρsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝2 2.①写出C 1的一般方程和C 2的直角坐标方程；②设点P 在C 1上，点Q 在C 2上，求|PQ |的最小值及此时P 的直角坐标．解：①C 1的一般方程为x 23＋y 2＝1，C 2的直角坐标方程为x ＋y －4＝0.②由题意，可设点P 的直角坐标为(3cos α，sin α)．由于C 2是直线，所以|PQ |的最小值即为P 到C 2的距离d (α)的最小值，d (α)＝|3cos α＋sin α－4|2＝2|sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π3－2|. 当且仅当α＝2k π＋π6(k ∈Z )时，d (α)取得最小值，最小值为2，此时P 的直角坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫32，12.3．(2021·甘肃三校联考)在直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝1＋t cos α，y ＝2＋t sin α(t 为参数)，在极坐标系 (与直角坐标系xOy 取相同的长度单位，且以原点O 为极点，以x 轴正半轴为极轴)中，圆C 的方程为ρ＝6sin θ.(1)求圆C 的直角坐标方程；(2)设圆C 与直线l 交于点A ，B ，若点P 的坐标为(1，2)，求|P A |＋|PB |的最小值．解：(1)由ρ＝6sin θ得ρ2＝6ρsin θ，化为直角坐标方程为x 2＋y 2＝6y ，即x 2＋(y －3)2＝9. 所以圆C 的直角坐标方程为x 2＋(y －3)2＝9.(2)将l 的参数方程代入圆C 的直角坐标方程，得t 2＋2(cos α－sin α)t －7＝0. 由已知得Δ＝(2cos α－2sin α)2＋4×7＞0，所以可设t 1，t 2是上述方程的两根，则⎩⎪⎨⎪⎧t 1＋t 2＝－2（cos α－sin α），t 1·t 2＝－7.由题意得直线l 过点(1，2)，结合t 的几何意义得 |P A |＋|PB |＝|t 1|＋|t 2|＝|t 1－t 2| ＝（t 1＋t 2）2－4t 1t 2＝4（cos α－sin α）2＋28＝32－4sin 2α≥32－4＝27.所以|P A |＋|PB |的最小值为27.4．(2022·高考全国甲卷)在直角坐标系xOy 中，圆C 的方程为(x ＋6)2＋y 2＝25. (1)以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，求C 的极坐标方程；(2)直线l 的参数方程是⎩⎨⎧x ＝t cos αy ＝t sin α，(t 为参数)，l 与C 交于A ，B 两点，|AB |＝10，求l 的斜率．解：(1)由x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ可得圆C 的极坐标方程为ρ2＋12ρcos θ＋11＝0. (2)在(1)建立的极坐标系中，直线l 的极坐标方程为θ＝α(ρ∈R )．设A ，B 所对应的极径分别为ρ1，ρ2，将l 的极坐标方程代入C 的极坐标方程得ρ2＋12ρcosα＋11＝0.于是ρ1＋ρ2＝－12cos α，ρ1ρ2＝11. |AB |＝|ρ1－ρ2|＝（ρ1＋ρ2）2－4ρ1ρ2＝144cos 2α－44.由|AB |＝10得cos 2α＝38，tan α＝±153. 所以l 的斜率为153或－153.5．在直角坐标系xOy 中，以O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系．圆C 1，直线C 2的极坐标方程分别为ρ＝4sin θ，ρcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π4＝2 2.(1)求C 1与C 2交点的极坐标；(2)设P 为C 1的圆心，Q 为C 1与C 2交点连线的中点．已知直线PQ 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t 3＋a ，y ＝b 2t 3＋1(t ∈R 为参数)，求a ，b 的值．解：(1)圆C 1的直角坐标方程为x 2＋(y －2)2＝4，直线C 2的直角坐标方程为x ＋y －4＝0.解⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋（y －2）2＝4，x ＋y －4＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝0，y 1＝4，⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝2，y 2＝2.所以C 1与C 2交点的极坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫4，π2，⎝ ⎛⎭⎪⎫22，π4.注：极坐标系下点的表示不唯一．(2)由(1)可得，P 点与Q 点的直角坐标分别为(0，2)，(1，3)．故直线PQ 的直角坐标方程为x －y ＋2＝0，由参数方程可得y ＝b 2x －ab2＋1. 所以⎩⎪⎨⎪⎧b 2＝1，－ab 2＋1＝2，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，b ＝2.。

(完整word版)坐标系与参数方程高考真题学生用卷.docx

C
的参数方程
.(2)
设点
D
在
C
上
,C
在
D
处的切线与直线
l:y=x +2
,
∈
垂直根据
(1)中你得到的参数方程
,确定D的坐标.
7.已知直线
l
(t
),C
2
θ=1.
的参数方程为
为参数
的极坐标方程为
ρcos 2
曲线
求曲线C的直角坐标方程.求直线l被曲线C截得的弦长.
8.在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为（α为参数），以坐标原点为极点，以x轴的正半轴
+y2=1；
a=-1时，直线l的参数方程化为一般方程是：
x+4y-3=0；
联立方程
，
解得或，
所以椭圆C和直线l的交点为（3，0）和（-，）．
（2）l的参数方程（t为参数）化为一般方程是：x+4 y-a-4=0，
椭圆C上的任一点P可以表示成P（3cosθ，sinθ），θ∈[0，2π），所以点P到直线l的距离d为：
C2：ρ=4cos．θ
（Ⅰ）说明C1
是哪一种曲线，并将
C1的方程化为极坐标方程；
（Ⅱ）直线C3
的极坐标方程为θ=α0，其中α0满足tanα0=2，若曲线C1与C2的公共点都在
C3上，求a．
10.在平面直角坐标系xOy中，已知直线l的参数方程为（t为参数），直线l与抛物线y2=4x相交
于A，B两点，求线段AB的长．
∴点P的轨迹C2的直角坐标方程：（x-2）2+y2=4（x≠0）．
（2）点A的直角坐标为
A（1，
），显然点A在曲线C2上，|OA|=2，

2023届高考二轮总复习试题适用于老高考旧教材数学(理) 坐标系与参数方程(选修4—4)(含解析)

考点突破练22 坐标系与参数方程(选修4—4)1.(2020·全国Ⅱ·理22)已知曲线C 1,C 2的参数方程分别为C 1:{x =4cos 2θ,y =4sin 2θ(θ为参数),C 2:{x =t +1t,y =t -1t(t 为参数).(1)将C 1,C 2的参数方程化为普通方程;(2)以坐标原点为极点,x 轴正半轴为极轴建立极坐标系,设C 1,C 2的交点为P ,求圆心在极轴上,且经过极点和P 的圆的极坐标方程.2.(2022·陕西榆林三模)在直角坐标系xOy 中,曲线C 的参数方程为{x =4cosθ,y =3sinθ(θ为参数).以坐标原点为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,直线l 的极坐标方程为ρcos θ+ρsin θ-12=0. (1)求C 的普通方程与直线l 的直角坐标方程.(2)若P 为C 上任意一点,A 为l 上任意一点,求|PA|的最小值.3.(2022·安徽怀南一模)在直角坐标系xOy 中,曲线C 的参数方程为{x =t 2,y =2t (t 为参数),以直角坐标系的原点为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,已知直线l 的极坐标方程为2cos α-sin α=4ρ. (1)求曲线C 的普通方程;(2)若直线l 与曲线C 交于A ,B 两点,求以AB 为直径的圆的极坐标方程.4.(2022·陕西榆林二模)在数学中,有许多方程都可以表示心型曲线,其中有著名的笛卡尔心型曲线.如图,在直角坐标系中,以原点O 为极点,x 轴正半轴为极轴建立极坐标系,图中的曲线就是笛卡尔心型曲线,其极坐标方程为ρ=1-sin θ(0≤θ<2π,ρ≥0),M 为该曲线上一动点. (1)当|OM|=12时,求M 的直角坐标;(2)若射线OM 逆时针旋转π2后与该曲线交于点N ,求△OMN 面积的最大值.5.(2022·安徽合肥二模)在直角坐标系xOy 中,直线l 的参数方程为{x =1+√2t ,y =1-√2t(t 为参数).以坐标原点为极点,x 轴正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C 的极坐标方程为ρ2=acos2θ(a>0,ρ∈R ). (1)求直线l 的极坐标方程和曲线C 的直角坐标方程;(2)若直线θ=π4(ρ∈R )与直线l 交于点M ,直线θ=π6(ρ∈R )与曲线C 交于点A ,B ,且AM ⊥BM ,求实数a 的值.6.(2022·安徽马鞍山一模)在平面直角坐标系xOy 中,曲线C 的参数方程为{x =2sinα,y =2cosα+1(α为参数),以坐标原点O 为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,直线l 的直角坐标方程为x+√3y-2√3=0. (1)写出曲线C 的普通方程和直线l 的极坐标方程;(2)若直线θ=π6(ρ∈R )与曲线C 交于A ,B 两点,与直线l 交于点M ,求|MA|·|MB|的值.7.(2022·河南郑州二模)在直角坐标系xOy 中,曲线C 1的参数方程为{x =1+cosα,y =sinα(α为参数).已知M是曲线C 1上的动点,将OM 绕点O 逆时针旋转90°得到ON ,设点N 的轨迹为曲线C 2.以坐标原点为极点,x 轴正半轴为极轴建立极坐标系. (1)求曲线C 1,C 2的极坐标方程;(2)设点Q (1,0),若射线l :θ=π3与曲线C 1,C 2分别相交于异于极点O 的A ,B 两点,求△ABQ 的面积.8.(2022·山西太原一模)在平面直角坐标系中,直线l 的参数方程为{x =-2+35t ,y =2+45t (t 为参数),以原点为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C 的极坐标方程为ρ2cos 2θ+4ρsin θ-3=0,点P 的极坐标为2√2,3π4.(1)求点P 的直角坐标和曲线C 的直角坐标方程;(2)若直线l 和曲线C 交于A ,B 两点,求点P 到线段AB 的中点M 的距离.考点突破练22 坐标系与参数方程(选修4—4)1.解 (1)C 1的普通方程为x+y=4(0≤x ≤4). 由C 2的参数方程得x 2=t 2+1t2+2,y 2=t 2+1t2-2, 所以x 2-y 2=4.故C 2的普通方程为x 2-y 2=4. (2)由{x +y =4,x 2-y 2=4得 {x =52,y =32,所以P 的直角坐标为(52,32). 设所求圆的圆心的直角坐标为(x 0,0),由题意得x 02=(x 0-52)2+94,解得x 0=1710.因此,所求圆的极坐标方程为ρ=175cos θ.2.解 (1)因为曲线C 的参数方程为{x =4cosθ,y =3sinθ(θ为参数),所以C 的普通方程为x 216+y 29=1.又因为直线l 的极坐标方程为ρcos θ+ρsin θ-12=0,所以直线l 的直角坐标方程为x+y-12=0. (2)设P (4cos θ,3sin θ),|PA|的最小值即点P 到直线l 的距离的最小值,由√2=√2≥7√22,其中tan φ=43.当且仅当θ+φ=π2+2k π,k ∈Z 时取等号,故|PA|的最小值为7√22. 3.解 (1)由{x =t 2,y =2t (t 为参数),得{x =t 2,y 2=t (t 为参数),消去参数t ,得y 2=4x ,即曲线C 的普通方程为y 2=4x.(2)由2cos α-sin α=4ρ,得2x-y=4, 联立{y 2=4x ,2x -y =4得A (1,-2),B (4,4),所以AB 的中点坐标为52,1,|AB|=√45=3√5,故以AB 为直径的圆的极坐标方程为(x -52)2+(y-1)2=454,即x 2+y 2-5x-2y-4=0,将{x =ρcosθ,y =ρsinθ代入,得ρ2-5ρcos θ-2ρsin θ-4=0.4.解 (1)令ρ=12,可得sin θ=12,所以θ=π6或θ=5π6,M 的直角坐标为±√34,14.(2)△OMN 的面积S=12ρ1ρ2=12(1-sin θ)1-sin θ+π2=12(1-sin θ)(1-cos θ)=12[1-(sin θ+cos θ)+sinθcos θ],令t=sin θ+cos θ=√2sin θ+π4∈[-√2,√2], S=121-t+t 2-12=14(t-1)2,当t=-√2时,S 取得最大值3+2√24. 5.解 (1)由{x =1+√2t ,y =1-√2t(t 为参数)得x+y=2,∴直线l 的极坐标方程为ρcos θ+ρsin θ=2.由ρ2=acos2θ,得ρ2cos 2θ=a ,∴ρ2(cos 2θ-sin 2θ)=a ,ρ2cos 2θ-ρ2sin 2θ=a , ∴x 2-y 2=a ,∴曲线C 的直角坐标方程为x 2-y 2=a.(2)直线l 的极坐标方程为ρcos θ+ρsin θ=2,将θ=π4代入直线l 的极坐标方程得ρ=√2,∴点M 的极坐标为√2,π4.将θ=π6代入曲线C 的极坐标方程ρ2=acos2θ,得ρ1=√2a ,ρ2=-√2a ,∴|AB|=|ρ1-ρ2|=2√2a . ∵AM ⊥BM ,且O 为线段AB 的中点, ∴|OM|=12|AB|=√2a ,即√2a =√2,得a=1.6.解 (1)由{x =2sinα,y -1=2cosα(α为参数),得曲线C 的普通方程为x 2+(y -1)2=4.由x+√3y-2√3=0,得直线l 的极坐标方程为ρcos θ+√3ρsin θ-2√3=0,即ρsin θ+π6=√3.(2)(方法1)曲线C :x 2+(y-1)2=4的极坐标方程为ρ2-2ρsin θ-3=0,将θ=π6代入曲线C 的极坐标方程,得ρ2-ρ-3=0,∴ρ1+ρ2=1,ρ1·ρ2=-3. 将θ=π6代入直线l 的极坐标方程,得ρ=2.|MA|·|MB|=|ρ-ρ1|·|ρ-ρ2|=|(2-ρ1)·(2-ρ2)|=|4-2(ρ1+ρ2)+ρ1·ρ2|=1.(方法2)直线θ=π6的普通方程为y=√33x ,与直线l :x+√3y-2√3=0的交点为M (√3,1),直线θ=π6的参数方程为{x =√3+√32t ,y =1+12t(t 为参数),代入曲线C :x 2+(y-1)2=4,得t 2+3t-1=0,则|MA|·|MB|=|t 1·t 2|=1.7.解 (1)C 1的普通方程为(x-1)2+y 2=1,则x 2+y 2-2x=0,由ρ2=x 2+y 2,x=ρcos θ,得ρ2=2ρcos θ,故C 1的极坐标方程为ρ=2cos θ.设N (ρ,θ),则M ρ,θ-π2,将M ρ,θ-π2代入ρ=2cos θ,得ρ=2cos θ-π2=2sin θ,即C 2的极坐标方程为ρ=2sin θ.(2)将θ=π3分别代入曲线C 1,C 2的极坐标方程,得|OA|=ρA =2cos π3=1,|OB|=ρB =2sin π3=√3, 所以|AB|=||OB|-|OA||=√3-1. 又Q 到射线l 的距离d=|OQ|sin π3=√32,故△ABQ 的面积为S=12×(√3-1)×√32=3-√34. 8.解 (1)点P 的极坐标为2√2,3π4,由{x =ρcosθ,y =ρsinθ可得点P 的直角坐标为(-2,2),曲线C :ρ2cos2θ+4ρsin θ-3=0,即ρ2cos 2θ-ρ2sin 2θ+4ρsin θ-3=0, 于是得曲线C 的直角坐标方程为x 2-y 2+4y-3=0. (2)显然点P (-2,2)在直线l 上,将直线l 的参数方程{x =-2+35t ,y =2+45t代入方程x 2-y 2+4y-3=0,得-2+35t 2-2+45t 2+42+45t -3=0,整理得725t 2+125t-5=0,。

极坐标与参数方程经典题型(附含详细解答)

专题：极坐标与参数方程1、已知在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为14cos 24sin x y θθ=+⎧⎨=+⎩（θ为参数），直线l 经过定点(3,5)P ，倾斜角为3π. （1）写出直线l 的参数方程和曲线C 的标准方程；（2）设直线l 与曲线C 相交于A ，B 两点，求||||PA PB 的值.2、在直角坐标系中，以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线2:sin 2cos C ρθθ=，过点(2,1)P -的直线2cos 45:1sin 45x t l y t ⎧=+⎪⎨=-+⎪⎩（t 为参数）与曲线C 交于,M N 两点.（1）求曲线C 的直角坐标方程和直线l 的普通方程；（2）求22||||PM PN +的值.3、在平面直角坐标系xOy 中，已知曲线：23cos 3sin x y αα⎧=+⎪⎨=⎪⎩（α为参数），以平面直角坐标系xOy 的原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴，取相同的单位长度建立极坐标系，已知直线l ：(cos sin )6ρθθ-=.（1）求曲线C 上点P 到直线l 距离的最大值；（2）与直线l 平行的直线1l 交C 于,A B 两点，若||2AB =，求1l 的方程．4、在平面直角坐标系xOy 中，以原点为极点，轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线1C 的参数方程为22cos 2sin x y θθ⎧=⎪⎨=⎪⎩（为参数），曲线 2C 的极坐标方程为cos 2sin 40ρθρθ--=．（1）求曲线1C 的普通方程和曲线 2C 的直角坐标方程；（2）设P 为曲线1C 上一点，Q 为曲线2C 上一点，求||PQ 的最小值．5.在平面直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为2cos sin x y ϕϕ=⎧⎨=⎩（ϕ为参数），在以原点为极点，轴的正半轴为极轴，建立的极坐标系中，曲线2C 是圆心为3,2π⎛⎫⎪⎝⎭，半径为1的圆.（1）求曲线1C 的普通方程，2C 的直角坐标方程；（2）设M 为曲线1C 上的点，N 为曲线2C 上的点，求||MN 的取值范围.6. 在平面直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为2cos sin x y ϕϕ⎧=⎪⎨=⎪⎩（ϕ为参数），曲线2C ：2220x y y +-=，以原点为极点，轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，射线():0l θαρ=≥与曲线1C ，2C 分别交于,A B （均异于原点O ）.（1）求曲线1C ，2C 的极坐标方程；（2）当02πα<<时，求22||||OA OB +的取值范围.7. 在平面直角坐标系xOy 中，曲线1C 过点(,1)P a ，其参数方程为212x a ty t ⎧=+⎪⎨=+⎪⎩（t 为参数，a R ∈），以原点为极点，轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为2cos 4cos 0ρθθρ+-=.（1）求曲线1C 的普通方程和2C 的直角坐标方程；（2）已知曲线1C 与2C 交于,A B 两点，且||2||PA PB =，求实数a 的值.8. 在平面直角坐标系xOy 中，以原点为极点，轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为(sin 3cos )43ρθθ+=，若射线6πθ=，3πθ=，分别与l 交于,A B两点.（1）求||AB ；（2）设点P 是曲线2219y x +=上的动点，求ABP ∆面积的最大值.极坐标与参数方程——练习1.在平面直角坐标系xOy 中,已知直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋12t ，y ＝32t ，(t 为参数),椭圆C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos θ，y ＝2sin θ(θ为参数).设直线l 与椭圆C 相交于A,B 两点，求线段AB 的长.2.在直角坐标系xOy 中,曲线C 1：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝tcos α，y ＝tsin α(t 为参数,t≠0),其中0≤α＜π,在以O 为极点,x 轴正半轴为极轴的极坐标系中,曲线C 2：ρ＝2sin θ,C 3：ρ＝23cos θ.(1)求C 2与C 3交点的直角坐标；(2)若C 1与C 2相交于点A,C 1与C 3相交于点B ,求|AB |的最大值.3.在直角坐标系xOy 中,直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3＋12t ，y ＝32t(t 为参数).以原点为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,⊙C 的极坐标方程为ρ＝23sin θ.(1)写出⊙C 的直角坐标方程；(2)P 为直线l 上一动点,当P 到圆心C 的距离最小时,求P 的直角坐标.4.在平面直角坐标系xOy 中,曲线C 的方程为x 2－2x ＋y 2＝0,以原点为极点,x 轴正半轴为极轴建立极坐标系,直线l 的极坐标方程为θ＝π4(ρ∈R ).(1)写出C 的极坐标方程,并求l 与C 的交点M,N 的极坐标； (2)设P 是椭圆x 23＋y 2＝1上的动点,求△PMN 面积的最大值.5.直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋12t ，y ＝32t(t 为参数),曲线C 的极坐标方程为(1＋sin 2θ)ρ2＝2. (1)写出直线l 的普通方程与曲线C 的直角坐标方程.(2)设直线l 与曲线C 相交于A ,B 两点,若点P 为(1,0),求1|PA |2＋1|PB |2的值.6. 在直角坐标系xoy 中，直线l 的参数方程为325:45x t C y t ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数），以原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，圆C 的极坐标方程为sin a ρθ=．（1）若2a =，求圆C 的直角坐标方程与直线 l 的普通方程；（2）设直线l 截圆C 的弦长等于圆Ca 的值．7. 在直角坐标系xOy 中，直线1C ：y =，曲线2C 的参数方程是cos 2sin x y ϕϕ⎧=⎪⎨=-+⎪⎩（ϕ为参数），以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系．（1）求1C 的极坐标方程和2C 的普通方程；（2）把1C 绕坐标原点沿顺时针方向旋转3π得到直线3C ，3C 与2C 交于A ，B 两点，求||AB ．8.将圆x 2＋y 2＝1上每一点的横坐标保持不变，纵坐标变为原来的2倍,得曲线C. (1)写出C 的参数方程；(2)设直线l ：2x ＋y －2＝0与C 的交点为P 1,P 2,以坐标原点为极点,x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，求过线段P 1P 2的中点且与l 垂直的直线的极坐标方程.极坐标与参数方程参考答案1.【解答】解：（1）∵曲线C的参数方程为（θ为参数），消去参数θ，得曲线C的普通方程：（x﹣1）2+（y﹣2）2=16；∵直线l经过定点P（3，5），倾斜角为，∴直线l的参数方程为：，t为参数．（2）将直线l的参数方程代入曲线C的方程，得t2+（2+3）t﹣3=0，设t1、t2是方程的两个根，则t1t2=﹣3，∴|PA|•|PB|=|t1|•|t2|=|t1t2|=3．2．【解答】解：（1）曲线C：ρsin2θ=2cosθ，即ρ2sin2θ=2ρcosθ，∴曲线C的直角坐标方程为y2=2x；直线l：（t为参数），消去t，可得直线l的普通方程x﹣y﹣3=0；（2）将直线l：代入曲线C的标准方程：y2=2x得：t2﹣4t﹣6=0，∴|PM|2+|PN|2=|t1|2+|t2|2=（t1﹣t2）2+2t1t2=32．3、【解答】（1）直线l ：(cos sin )6ρθθ-=化成普通方程为60x y --=．曲线化成普通方程为22(2)3x y -+=∴圆心(2,0)C 到直线l 的距离为d ==∴曲线C 上点P 到直线l 距离的最大值为（2）设直线1l 的方程为0x y λ-+=， (2,0)C 到直线1l 的距离为d === ∴或∴直线1l 的方程为或4.【解答】（1）由曲线C 1的参数方程为（θ为参数），消去参数θ得，曲线C 1的普通方程得+=1．由ρcos θ﹣ρsin θ﹣4=0得，曲线C 2的直角坐标方程为x ﹣y ﹣4=0…（2）设P （2cos θ，2sin θ），则点P 到曲线C 2的距离为d==，当cos （θ+45°）=1时，d 有最小值0，所以|PQ|的最小值为0.5．【解答】解：（1）消去参数φ可得C1的直角坐标方程为+y2=1，∵曲线C2是圆心为（3，），半径为1的圆曲线C2的圆心的直角坐标为（0，3），∴C2的直角坐标方程为x2+（y﹣3）2=1；（2）设M（2cosφ，sinφ），则|MC2|====，∴﹣1≤sinφ≤1，∴由二次函数可知2≤|MC2|≤4，由题意结合图象可得|MN|的最小值为2﹣1=1，最大值为4+1=5，∴|MN|的取值范围为[1，5]6.【解答】解：（1）∵，∴，由得曲线C1的极坐标方程为，∵x2+y2﹣2y=0，∴曲线C2的极坐标方程为ρ=2sinθ；（2）由（1）得，|OB|2=ρ2=4sin2α，∴∵，∴1＜1+sin2α＜2，∴，∴|OA|2+|OB|2的取值范围为（2，5）．7．【解答】解：（1）曲线C1参数方程为，∴其普通方程x﹣y﹣a+1=0，由曲线C2的极坐标方程为ρcos2θ+4cosθ﹣ρ=0，∴ρ2cos2θ+4ρcosθ﹣ρ2=0∴x2+4x﹣x2﹣y2=0，即曲线C2的直角坐标方程y2=4x．（2）设A、B两点所对应参数分别为t1，t2，联解得要有两个不同的交点，则，即a＞0，由韦达定理有根据参数方程的几何意义可知|PA|=2|t1|，|PB|=2|t2|，又由|PA|=2|PB|可得2|t1|=2×2|t2|，即t1=2t2或t1=﹣2t2∴当t1=2t2时，有t1+t2=3t2=，t1t2=2t22=，∴a=＞0，符合题意．当t1=﹣2t2时，有t1+t2=﹣t2=，t1t2=﹣2t22=，∴a=＞0，符合题意．综上所述，实数a的值为或．8．【解答】解：（1）直线，令，解得，∴，令，解得ρ=4，∴又∵，∴，∴|AB|=2．（2）∵直线，曲线，∴=当且仅当，即时，取“=”，∴，∴△ABP面积的最大值为3．极坐标与参数方程——练习参考答案1．【解答】解：由，由②得，代入①并整理得，．由，得，两式平方相加得．联立，解得或．∴|AB|=．2．【解答】解：（1）曲线C2：ρ=2sinθ得ρ2=2ρsinθ，即x2+y2=2y，①C 3：ρ=2cosθ，则ρ2=2ρcosθ，即x2+y2=2x，②由①②得或，即C2与C3交点的直角坐标为（0，0），（，）；（2）曲线C1的直角坐标方程为y=tanαx，则极坐标方程为θ=α（ρ∈R，ρ≠0），其中0≤a＜π．因此A得到极坐标为（2sinα，α），B的极坐标为（2cosα，α）．所以|AB|=|2sinα﹣2cosα|=4|sin（α）|，当α=时，|AB|取得最大值，最大值为4．3．【解答】解：（1）由⊙C的极坐标方程为ρ=2sinθ．∴ρ2=2，化为x2+y2=，配方为=3．（2）设P，又C．∴|PC|==≥2，因此当t=0时，|PC|取得最小值2．此时P（3，0）．4．【解答】解：（1）因为x=ρcosθ，y=ρsinθ，所以C的极坐标方程为ρ=2cosθ，直线l的直角坐标方程为y=x，联立方程组，解得或，所以点M，N的极坐标分别为（0，0），（，）．（2）由（1）易得|MN|=因为P是椭圆+y2=1上的点，设P点坐标为（cosθ，sinθ），则P到直线y=x的距离d=，所以S△PMN==≤1，当θ=kπ﹣，k∈Z时，S△PMN取得最大值1．5．【解答】解：（1）直线l的参数方程为（t为参数），消去参数t得直线l的普通方程为x﹣y﹣=0，曲线C的极坐标方程ρ2+ρ2sin2θ=2，化成直角坐标方程为x2+2y2=2，即+y2=1．（2）将直线l的参数方程代入曲线C：x2+2y2=2，得7t2+4t﹣4=0．设A，B两点在直线l的参数方程中对应的参数分别为t1，t2，则t1+t2=﹣，t1t2=﹣，∴+=+==．6．【解答】解：（1）当a=2时，ρ=asinθ转化为ρ=2sinθ整理成直角坐标方程为：x2+（y﹣1）2=1直线的参数方程（t为参数）．转化成直角坐标方程为：4x+3y﹣8=0 （2）圆C的极坐标方程转化成直角坐标方程为：直线l截圆C的弦长等于圆C的半径长的倍，所以：2|3a﹣16|=5|a|，利用平方法解得：a=32或．7．【解答】解：（1）∵直线，∴直线C1的极坐标方程为，∵曲线C2的参数方程是（θ为参数），∴消去参数θ，得曲线C2的普通方程为．（2）∵把C1绕坐标原点沿逆时针方向旋转得到直线C3，∴C3的极坐标方程为，化为直角坐标方程为．圆C2的圆心（，2）到直线C3：的距离：．∴．8．【解答】解：（1）在曲线C上任意取一点（x，y），由题意可得点（x，）在圆x2+y2=1上，∴x2+=1，即曲线C的方程为x2+=1，化为参数方程为（0≤θ＜2π，θ为参数）．（2）由，可得，，不妨设P1（1，0）、P2（0，2），则线段P1P2的中点坐标为（，1），再根据与l垂直的直线的斜率为，故所求的直线的方程为y﹣1=（x﹣），即x﹣2y+ =0．再根据x=ρcosα、y=ρsinα可得所求的直线的极坐标方程为ρcosα﹣2ρsinα+=0，即ρ=．。

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选修4-4《坐标系与参数方程》复习讲义一、选考内容《坐标系与参数方程》高考考试大纲要求： 1．坐标系： ① 理解坐标系的作用. ② 了解在平面直角坐标系伸缩变换作用下平面图形的变化情况. ③ 能在极坐标系中用极坐标表示点的位置，理解在极坐标系和平面直角坐标系中表示点的位置的区别，能进行极坐标和直角坐标的互化. ④ 能在极坐标系中给出简单图形（如过极点的直线、过极点或圆心在极点的圆）的方程.通过比较这些图形在极坐标系和平面直角坐标系中的方程，理解用方程表示平面图形时选择适当坐标系的意义. 2．参数方程： ① 了解参数方程，了解参数的意义. ② 能选择适当的参数写出直线、圆和圆锥曲线的参数方程. 二、基础知识归纳总结： 1．伸缩变换：设点P(x,y)是平面直角坐标系中的任意一点，在变换).0(,yy0),(x,x:的作用下，点P(x,y)对应到点)y,x(P，称为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换，简称伸缩变换。 2.极坐标系的概念：在平面内取一个定点Ｏ，叫做极点；自极点Ｏ引一条射线Ｏｘ叫做极轴；再选定一个长度单位、一个角度单位(通常取弧度)及其正方向(通常取逆时针方向)，这样就建立了一个极坐标系。 3．点M的极坐标：设M是平面内一点，极点Ｏ与点M的距离OM叫做点M的极径，记为；以极轴Ｏx为始边，射线OM为终边的∠XOM叫做点M的极角，记为。有序数对),(叫做点M的极坐标，记为M),(. 极坐标),(与)Zk)(2k,(表示同一个点。极点O的坐标为)R)(,0(. 4.若0,则0,规定点),(与点),(关于极点对称，即),(与),(表示同一点。如果规定20,0，那么除极点外，平面内的点可用唯一的极坐标),(表示；同时，极坐标),(表示的点也是唯一确定的。 5．极坐标与直角坐标的互化： 6。圆的极坐标方程：在极坐标系中，以极点为圆心，r为半径的圆的极坐标方程是 r；在极坐标系中，以 )0,a(C(a>0)为圆心， a为半径的圆的极坐标方程是 2acos；在极坐标系中，以 )2,a(C(a>0)为圆心，a为半径的圆的极坐标方程是 2asin； 7.在极坐标系中，)0(表示以极点为起点的一条射线；)R(表示过极点的一条直线. 在极坐标系中，过点)0a)(0,a(A，且垂直于极轴的直线l的极坐标方程是acos. 8．参数方程的概念：在平面直角坐标系中，如果曲线上任意一点的坐标x,y都是某个变数t的函数),t(gy),t(fx 并且对于t 的每一个允许值，由这个方程所确定的点M(x,y)都在这条曲线上，那么这个方程就叫做这条曲线的参数方程，联系变数x,y的变数t 叫做参变数，简称参数。相对于参数方程而言，直接给出点的坐标间关系的方程叫做普通方程。

9．圆222r)by()ax(的参数方程可表示为

)(.rsinby,rcosax为参数







椭圆1byax2222(a>b>0)的参数方程可表示为)(.bsiny,acosx为参数







抛物线2pxy2的参数方程可表示为)t(.2pty,2ptx2为参数





经过点)y,x(MooO，倾斜角为的直线l的标准式参数方程可表示为.tsinyy,tcosxxoo（t为参数）。 10．在建立曲线的参数方程时，要注明参数及参数的取值范围。在参数方程与普通方程的互化中，必须使x,y的取值范围保持一致. 三、基础训练：

1.在平面直角坐标系中，方程1yx22所对应的图形经过

伸缩变换3yy2x,x后的图形所对应的方程是_________________. 2. 在同一平面直角坐标系中，经过伸缩变换yy3x,x后，曲线C变为曲线9y9x22，则曲线C的方程是_________________. 3．在同一平面直角坐标系中，使曲线2sin3xy变为曲线sinxy的伸缩变换是_________________.

4．在极坐标系中，过点)6,4(，并且和极轴平行的直线的极坐标方程是___________________. 5．在极坐标系中，圆心在)4A(1,，半径为1的圆的极坐标方程是_______________________. 6. 直角坐标方程 116y16x22化为极坐标方程是_________________________. 7. 极坐标方程4sin2cos化为直角坐标方程是_______________________.

8. 在极坐标系中，极点到直线22)4(sin的距离是____________. 9．极坐标系内，曲线2cos上的动点P与定点)2,1(Q

的最近距离等于____________. 10．柱坐标)1,32,2(对应的点的直角坐标是_____________. 11. 球坐标)3,6,2(对应的点的直角坐标是_______________. 12.参数方程)(.cos21y,cosx为参数化为普通方程是_________________________. 13.椭圆)(.3siny,5cosx为参数的焦点坐标是_________________________.

14．双曲线)t(.t1ty,t1tx为参数的离心率是_________________________. 15.曲线)(.siny,cos1x为参数上的点与定点A（-1，-1）距离的最小值是_____________. 16. 已知369y4x22，则y32x的最小值是_________________. 17．点M（x,y）在椭圆14y12x22上，则点M到直线04yx的最大距离为________, 此时，点M的坐标是_____________. 四、全国历届高考中的《坐标系与参数方程》试题选编： 1．设bababa则,62,,22R的最小值是（） A．22 B．335 C．－3 D．27 2.在极坐标系中，圆心在()2，且过极点的圆的方程为（） A.22cos B.22cos C.22sin D.22sin 3.极坐标方程ρ２ｃｏｓ２θ＝１所表示的曲线是（） A．两条相交直线B．圆 C．椭圆 D．双曲线 5．在极坐标系中，直线l的方程为ρsinθ=3，则点(2，π/6)到直线l的距离为． 6．点)0,1(P到曲线tytx22（其中参数Rt）上的点的最短距离为（）（A）0 （B）1 （C）2 （D）2 7.在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为)(33Rttytx参数，圆C的参数方程为)20(2sin2cos2，参数yx，则圆C的圆心坐标为，圆心到直线l的距离为 . 8．⊙O1和⊙O2的极坐标方程分别为4cos4sin，． (Ⅰ)把⊙O1和⊙O2的极坐标方程化为直角坐标方程；(Ⅱ)求经过⊙O1，⊙O2交点的直线的直角坐标方程．五．2014高考真题 1．[2014·广东卷] (坐标系与参数方程选做题)在极坐标系中，曲线C1与C2的方程分别为2ρcos2θ＝sin θ与ρcosθ＝1.以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x轴的正半轴，建立平面直角坐标系，则曲线C1与C2交点的直角坐标为________． 2．[2014·湖南卷] 在平面直角坐标系中，曲线C：x＝2＋22t，y＝1＋22t(t为参数)的普通方程为________．

3． [2014·陕西卷] (坐标系与参数方程选做题)在极坐标系中，点2，π6到直线ρ sinθ－π6＝1的距离是________． 3．[2014·江苏卷] C．[选修4-4：坐标系与参数方程] 在平面直角坐标系xOy中，已知直线l的参数方

程为x＝1－22t，y＝2＋22t(t为参数)，直线l与抛物线y2＝4x相交于A，B两点，求线段AB的长． 4．[2014·辽宁卷] 选修4-4：坐标系与参数方程将圆x2＋y2＝1上每一点的横坐标保持不变，纵坐标变为原来的2倍，得曲线C. (1)写出C的参数方程； (2)设直线l：2x＋y－2＝0与C的交点为P1，P2，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，求过线段P1P2的中点且与l垂直的直线的极坐标方程． 5．[2014·新课标全国卷Ⅱ] 选修4-4：坐标系与参数方程

在直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，半圆C的极坐标方程为

ρ＝2cos θ，θ∈0，π2.

(1)求C的参数方程； (2)设点D在C上，C在D处的切线与直线 l：y＝3x＋2垂直，根据(1)中你得到的参数方程，确定D的坐标． 6．[2014·全国新课标卷Ⅰ] 选修4－4：坐标系与参数方程

已知曲线C：x24＋y29＝1，直线l：x＝2＋t，y＝2－2t(t为参数)． (1)写出曲线C的参数方程、直线l的普通方程； (2)过曲线C上任意一点P作与l夹角为30°的直线，交l于点A，求|PA|的最大值与最小值．

选修4-4《坐标系与参数方程》复习讲义