河海大学高等数学
[理学]河海大学高等数学高等数学下册1-15考试试卷及解答
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高等数学（下册）考试试卷（一）参考答案一、1、当10<<a 时，1022≤+<y x ；当1>a 时，122≥+y x ；2、负号；3、23;110⎰⎰⎰⎰-+=Dy e eydx dy d σ； 4、dt t t )()(22ψϕ'+'； 5、180π； 6、Cx xy=sin； 7、xxe C e C x C x C y 2423212sin 2cos -+++=； 8、1；二、1、D ； 2、D ； 3、C ； 4、B ； 5、D ； 6、B ； 7、A ； 8、C ； 三、1、21f y f x u '+'=∂∂；)(xy x g x yu +'=∂∂； 2、)()(t x f t x f x u --+=∂∂；)()(t x f t x f t u -++=∂∂； 四、1、)1(21420200220222-----===⎰⎰⎰⎰⎰e dy ye dx e dy dy e dx y y y x y ；2、⎰⎰⎰⎰⎰⎰=+=πππθθ2020212022132233142rdz r dr d dz r dr d I柱面坐标； 五、令2222,y x xQ y x y P +=+-=则xQy x x y y P ∂∂=+-=∂∂22222)(，)0,0(),(≠y x ； 于是①当L 所围成的区域D 中不含O （0，0）时，xQy P ∂∂∂∂,在D 内连续。
所以由Green 公式得：I=0；②当L 所围成的区域D 中含O （0，0）时，xQy P ∂∂∂∂,在D 内除O （0，0）外都连续，此时作曲线+l 为)10(222<<=+εεy x ，逆时针方向，并假设*D 为+L 及-l 所围成区域，则πε2)(222*=+∂∂-∂∂+=+-=⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰=+++-++++y x D ll L llL dxdy y Px Q Green I 公式六、由所给条件易得： 0)0()0(1)0(2)0(2=⇒-=f f f f又xx f x x f x f x ∆-∆+='→∆)()(lim )(0 =x x f x f x f x f x f x ∆-∆-∆+→∆)()()(1)()(lim 0xf x f x f x f x f x ∆-∆⋅∆-+=→∆)0()()()(1)(1lim 20 )](1)[0(2x f f +'= 即)0()(1)(2f x f x f '=+' c x f x f +⋅'=∴)0()(a r c t a n 即 ])0(tan[)(c x f x f +'= 又 0)0(=f 即Z k k c ∈=,π ))0(t a n ()(x f x f '=∴七、令t x =-2，考虑级数∑∞=++-11212)1(n n nn t212321232l i m t n t n t n n n =++++∞→ ∴当12<t 即1<t 时，亦即31<<x 时所给级数绝对收敛；当1<t 即3>x 或1<x 时，原级数发散；当1-=t 即1=x 时，级数∑∞=++-11121)1(n n n 收敛； 当1=t 即3=x 时，级数∑∞=+-1121)1(n nn 收敛； ∴级数的半径为R=1，收敛区间为[1，3]。
河海大学理学院《高等数学》10-4第一型面积分
1
高等数学（下）
dS 1 zx2 zy2dxdy
1 (2x)2 (2 y)2dxdy
原式 | xyz | dS 4 xyz dS
1
4 xy( x2 y2 ) 1 (2x)2 (2 y)2dxdy
Dxy
其中Dxy {( x, y) | x2 y2 1, x 0, y 0}
z
2 y
故
1
z
2 x
z
2 y
是曲面法线与
z 轴夹角的余弦
的倒数.
高等数学（下）
高等数学（下） ,
4
2 dt
1 r 2 cos t sin t r 2
1 4r 2rdr
0
0
2
2 sin 2tdt
r1 5
1 4r 2dr 令u 1 4r 2
0
0
1 5
41
u(u 1)2 du 125 5 1.
高等数学（下）
例4 设 为内接于球面 x2 y2 z2 a2的八面体 | x | | y | | z | a表面，面密度为到原点的距离的平
方，求此表面的质量。
解 密度 ( x, y, z) x2 y2 z2 , dm dS
质量M (x, y, z)dS 被积函数 ( x, y, z) x2 y2 z2 , 关于 x、y、z 均为偶函数 , 积分曲面也具有对称性 ,
若可分为分片光滑的曲面1及2 , 则
f ( x, y, z)dS f ( x, y, z)dS f ( x, y, z)dS.
2019河海大学理学院《高等数学》10-6gauss公式.ppt
P Q R 0 ( ) dv v n dS x y z
P Q R 1 ( )dv x y z V
P Q R 1 0 ) ( , , ) v n dS 由积分中值定理( x y z V P Q R 1 0 两边取极限, lim v n dS M M x y z V
---------- Gauss公式
高等数学（下）
由两类曲面积分之间的关系知
P Q R ( x y z )dv ( P cos Q cos R cos )dS .
Gauss公式的实质 表达了空间闭区域上的三重积分与 其边界曲面上的曲面积分之间的关系.
称为向量场 A( x , y , z ) 穿过曲面Σ 的流量.
高等数学（下）
Pdydz Qdzdx Rdxdy
P Q R 当 ( )dv 0时,表示Ω内有流体流出，称为“源” x y z
由Gauss公式： P Q R ( )dv Pdydz Qdzdx Rdxdy x y z
解答:
曲面应是分片光滑的闭曲面.
高等数学（下）
1
h
D xy
o
y
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
2( x y z )dv
x
h4 2 zdz dxdy 0 2 x y z
2 2 2
h
高等数学（下）
(也可)
2 dxdy
Dxy
h x y
2 2
zdz,
Dxy
( h x y ) dxdy
2 2 2
2 2 2
河海大学 高等数学 高等数学(下册)1-15考试试卷及解答
高等数学（下册）考试试卷（一）参考答案一、1、当10<<a 时，1022≤+<y x ；当1>a 时，122≥+y x ；2、负号；3、23;110⎰⎰⎰⎰-+=Dy e eydx dy d σ； 4、dt t t )()(22ψϕ'+'；5、180π；6、Cx xy =sin ；7、xxeC eC x C x C y 2423212sin 2cos-+++=； 8、1；二、1、D ； 2、D ； 3、C ； 4、B ； 5、D ； 6、B ； 7、A ； 8、C ； 三、1、21f y f x u '+'=∂∂；)(xy x g x yu +'=∂∂；2、)()(t x f t x f xu --+=∂∂；)()(t x f t x f tu -++=∂∂；四、1、)1(2142020220222-----===⎰⎰⎰⎰⎰edy yedx edy dy edx yyyxy；2、⎰⎰⎰⎰⎰⎰=+=πππθθ202212022132233142rdz r dr d dz r dr d I 柱面坐标；五、令2222,yx x Q yx y P +=+-=则xQ y x xy yP ∂∂=+-=∂∂22222)(，)0,0(),(≠y x ；于是①当L 所围成的区域D 中不含O （0，0）时，xQy P ∂∂∂∂,在D 内连续。
所以由Green公式得：I=0；②当L 所围成的区域D 中含O （0，0）时，xQy P ∂∂∂∂,在D 内除O （0，0）外都连续，此时作曲线+l 为)10(222<<=+εεy x ，逆时针方向，并假设*D 为+L 及-l 所围成区域，则 πε2)(222*=+∂∂-∂∂+=+-=⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰=+++-++++y x DllL llLdxdy yP xQ Green I 公式六、由所给条件易得： 0)0()0(1)0(2)0(2=⇒-=f f f f又xx f x x f x f x ∆-∆+='→∆)()(lim)(0=xx f x f x f x f x f x ∆-∆-∆+→∆)()()(1)()(limxf x f x f x f x f x ∆-∆⋅∆-+=→∆)0()()()(1)(1lim2)](1)[0(2x f f +'=即)0()(1)(2f x f x f '=+'c x f x f +⋅'=∴)0()(a r c t a n 即 ])0(tan[)(c x f x f +'= 又 0)0(=f 即Z k k c ∈=,π ))0(t a n ()(x f x f '=∴七、令t x =-2，考虑级数∑∞=++-11212)1(n n nn t212321232lim t n t n tn n n =++++∞→ ∴当12<t 即1<t 时，亦即31<<x 时所给级数绝对收敛；当1<t 即3>x 或1<x 时，原级数发散；当1-=t 即1=x 时，级数∑∞=++-11121)1(n n n 收敛；当1=t 即3=x 时，级数∑∞=+-1121)1(n nn 收敛；∴级数的半径为R=1，收敛区间为[1，3]。
河海大学理学院《高等数学》常用二次曲面图形
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图36：以下函数的图形：
z sin x cos y cosx y
0 x ,0 y
2
2
z sin x cos y cosx y 0 x ,0 y
2
2
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图37：锥面 z x2 y2 被柱面 z 2 2x
割下部分的曲面图形如下：
处的切平面及法线的图形如下：
P1,1,1
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图9：
（9）、 x t sin t, y 1 cos t, z 4 sin t , 2
在 1，1，2 2 处的切线和法平面如下 ：
2
x t sin t, y 1 cost, z 4sin t , 2
在 1，1，2 2 处的切线和法平面如下 ：
34
图6：
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图7：
（7）、x 0, y 0, z 0, y 1, z 4 2x2 y 2 ;
所围 图形如下：
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图7：
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37
图7：
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38
图7：
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图8：
（8）、椭球面 2x2 3y2 z2 6 在点 P 1,1,1
其中： p, q 为正常数。
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椭圆抛物面的图形
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双曲抛物面（马鞍面） 方程
方程： 其中：
x2 y2 2z
pq p, q 为正常数。
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双曲抛物面（马鞍面） 图形
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河海大学理学院《高等数学》常用二次曲面图形
椭球面是一种中心在某一点的平面距 离都相等的点集，其形状类似于椭圆， 但具有三个不同轴。在几何学中，椭 球面常用于描述某些天体的形状。
在物理学中的应用
旋转抛物面
旋转抛物面是抛物线绕其对称轴旋转形成的曲面，在物理学中常用于描述光学透镜的形状和光学系统的成像原理。
双曲面
双曲面是中心在某一点的平面距离不相等的点集，分为椭圆双曲面和双曲线双曲面两种。在物理学中，双曲面常 用于描述电磁波的传播和波动现象。
性分析。
05
总结与展望
总结
二次曲面图形分类
二次曲面图形是高等数学中一个重要的知识点，根据其方程形式的不同可以分为椭球面、 抛物面和双曲面等类型。这些不同类型的曲面在几何形状、性质和应用方面都有所不同。
二次曲面图形的性质
每种类型的二次曲面图形都有其独特的性质，如对称性、曲率、渐近线等。了解这些性质 有助于更好地理解二次曲面图形的几何特征，为后续的学习和应用打下基础。
二次曲面图形在科技领域的应用前景
随着科技的发展，二次曲面图形在科技领域的应用前景将更加广阔。例如，在计算机图形学中，二次曲面图形可以用 于制作更加逼真的三维模型；在航天工程中，可以利用二次曲面图形来设计更加优化的飞行器外形。
二次曲面图形的教育价值
在高等数学教育中，二次曲面图形是一个重要的知识点，对于培养学生的空间想象能力和几何直觉具有 重要意义。未来，随着教育理念和教学方法的改进，二次曲面图形的教育价值将得到更加充分的体现。
04
几何特性
双曲面的几何特性包括对称性和 旋转对称性，它在三维空间中呈 现出规则的形状。
01 03
总结词
双曲面是一种常见的二次曲面图 形，它由两个主轴和两个副轴组 成，形状类似于马鞍形。
河海大学高等数学PPT
则
lim f [ ( k ) , ( k ) ]
0 k 1
n
n
注意 2 (t ) 2 (t ) 连续
lim f [ ( k ) , ( k ) ]
0 k 1
因此
说明:
(1) sk 0, t k 0, 因此积分限必须满足 !
弧长元素(弧微分) :
ds (dx) 2 (d y ) 2
2 (t ) 2 (t ) d t
因此所求弧长
s
2 (t ) 2 (t ) d t
(3) 曲线弧由极坐标方程给出:
令 x r ( ) cos , y r ( ) sin , 则得
弧长元素(弧微分) :
ds [ x( )]2 [ y ( )]2 d
r 2 ( ) r 2 ( ) d
因此所求弧长
s
r 2 ( ) r 2 ( ) d
第十章 曲线积分与曲面积分
积分学 定积分 二重积分 三重积分 曲线积分 曲面积分
积分域
区间域
取极限 W lim [ P ( i , i ) xi Q( i , i ) yi ]. 0
i 1
n
精确值
2. 定义. 设 L 为xoy 平面内从 A 到B 的一条有向光滑
弧, 在L 上定义了一个向量函数
若对 L 的任意分割和在局部弧段上任意取点,
0
极限
L L
( 3) f ( x , y )ds f ( x , y )ds f ( x , y )ds.
L L1 L2
( L L1 L2 ).
( s 为曲线弧 L 的长度)
2019河海大学理学院《高等数学》10-1第一型线积分.ppt
a 3
2
2 a ds 3 .
3
高等数学（下）
2 求 I x ds , 例6
x2 y2 z2 a2 , 其 中为 圆 周 y x.
a a 解 为 : x 2 cost , y 2 cost , z a sint . (0 t 2 )
1 1 x xdm, y 2．重心坐标： M M
2
ydm
3．转动惯量元：
dI 距离 dm
m1 m 2 0 r , df x df cos , 4．力：万有引力 d f f 2 r
高等数学（下）
(3) 曲线弧对x轴及 y轴的转动惯量 ,
I x y ds ,
第十章 曲线、曲面积分
高等数学（下）
高等数学（下）
河海大学理学院
第一节 第一型曲线积分
外形上 : f ( x , y, z )ds
高等数学（下）
河海大学理学院
一、问题的提出
实例:曲线形构件的质量
y
均匀物体的之质量 M s .
B L M n 1 ( i ,i ) M i M2
2
2
解
令
a a x cos 0,2 2 2 . a y sin I = 2a2 2
高等数学（下）
思考题 求 x
L 2
y
2
ds，其中 L 为圆周 x2 y 2 ax.
2 2
解
令
I x y ds axds
L L
6ak 6 ak x 2 ； y ； 2 2 2 2 2 3a 4 k 3a 4 k 3k ( a 2 2 2 k 2 ) z . 2 2 2 3a 4 k
河海高数ch1习题答案
第一章 函数、极限与连续Ex1 函数一、1．× 2. √ 3.√二、1．（－∞，＋∞），a a f =)( 2．f （x ）与h （x ）3．（1）[－1，1]（2）[1, 10]（3）[－2，－1]4．,2)1(+-=+x xx f x x f f =)]([ 5．65)(2+-=x x x f 6．2)(2-=x x f 7．x x x f -=-1log )(21，其定义域为（0，1）8．偶函数 9．⎩⎨⎧=≠=0001sgn 2x x x⎪⎩⎪⎨⎧∈-∈--∈-=]2,1(1]1,1[)1,2[1)(x x xx x F 三、⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥≤≤-+-≤<-≤≤=4643108311210)(22x x x x x x x x x S 四、⎩⎨⎧>-≤≤=50525.050015.0x x x xy 五、 ⎩⎨⎧+<≤<≤--=ππππππ)12(20222)(n x n n x n n x x f 六、⎪⎩⎪⎨⎧-<---=>-=-110111x x x x x x f ）（七、八、将x 换成x1，可解方程组得⎪⎭⎫⎝⎛--=bcx x ac b a x f 221)(，是奇函数。
Ex2 数列极限的概念一、1、,N ∃ 当n ＞N 时， 记为 )(lim ∞→→=∞→n A u A u n n n 或 2、只要ε21>n ， 取⎥⎦⎤⎢⎣⎡=ε21N ， 13．只要ε999.0log >n ，取[]ε999.0log =N ， 即有极限 = 0 二、1． C 2. C 3. B三、1.证：要 n n n n 1)13((31341314222<+=-++ <ε, 取⎥⎦⎤⎢⎣⎡=ε1N , 则当n > N 时,就有 ε<-++34131422n n .2. 证：要επ<<-++n n n 20)1(2cos1 , 取⎥⎦⎤⎢⎣⎡=ε2N ,3、证：{}n x Θ有界，M x N n M n ≤∈∀>∃∴|,,0都有对；又0lim =∞→n n y ，My N n N n εε<>∃>∀∴都有当对,,,0因此，对上述N ，当n ＞N 时，就有ε<n n y x ，0lim =∴∞→n n n y x .Ex3 函数极限的概念一、1．证：.sin ,,01,1,1sin ,022εεεεε<>>=><<>∀xxX x X x x x x 就有时则当故取则有要使得对 0sin lim =∴+∞→xxx 2．证：.1,,01,1,1111,022εεεεε<-+>>=><<++=-+>∀x x X x X x xx x x x 就有时则当故取则有要使得对0)1(lim 3=-+∴→x x x3. 证：.1153,20,03,32,231153,0εδεδεεε<-+<-<>=<-<-=-+>∀x x x x x 就有时则当故取则有要使得对 11)53(lim 2=+∴→x x .9,30,01,7min ,79,13,3,339,0:.4222εδεδεεε<-<-<<>⎭⎬⎫⎩⎨⎧=<-<-∴→<+-=->∀x x x x x x x x 就有时 则当故取因此可以限制 要使得 对证Θ9lim 23=∴→x x ,1lim 0=+→xx x Θ二、证： ,1lim 0-=-→x xxx x x 0lim→∴不存在。
高等数学河海大学教材
高等数学河海大学教材高等数学是河海大学数学系的一门重要课程，它是一门理论性较强，内容较为深入的数学学科。
作为一所著名的工科院校，河海大学的高等数学教材承载了培养优秀工程技术人才的使命和责任。
本文将对河海大学高等数学教材的特点、内容以及其对学生的重要性等方面进行探讨。
一、河海大学高等数学教材的特点河海大学高等数学教材的编写经过深入研究和反复修改，具有以下几个特点：1. 强调理论联系：河海大学高等数学教材注重理论与实际的联系，力求将抽象的数学概念与工程技术实际相结合，使学生能够更好地应用所学知识解决实际问题。
2. 突出问题解决能力培养：教材中注重培养学生的问题解决能力，通过大量的例题和习题，锻炼学生的推理和分析能力，培养学生发现问题、解决问题的能力。
3. 增强应用意识：河海大学高等数学教材注重培养学生的应用意识，通过实例和案例的引入，让学生了解数学在工程技术中的重要性，激发学生学习的兴趣和动力。
二、河海大学高等数学教材的内容河海大学高等数学教材内容丰富，全面覆盖了高等数学的基本理论和方法。
主要包括以下几个方面：1. 数列与函数：介绍了数列的概念和性质，以及一元函数的极限、连续性和可导性等基本概念和定理。
2. 一元函数的微积分学：涵盖了一元函数的微分学和积分学，包括导数和微分、不定积分、定积分和反常积分等内容。
3. 多元函数与偏导数：介绍了多元函数的概念和性质，以及多元函数的偏导数、方向导数和全微分等内容。
4. 微分方程：讲解了一阶和高阶微分方程的基本理论和解法，包括常微分方程和偏微分方程等。
5. 无穷级数与幂级数：介绍了无穷级数和幂级数的概念、性质和求和等问题。
三、河海大学高等数学教材的重要性河海大学高等数学教材对学生的学习具有重要的影响和意义：1. 培养扎实的数学基础：高等数学是工科专业的基础课程，良好的高等数学基础对于学生的后续学习和研究具有重要的作用。
河海大学的高等数学教材通过系统的理论讲解和大量的例题习题，能够帮助学生建立起扎实的数学基础。