河海大学高等数学
[理学]河海大学高等数学高等数学下册1-15考试试卷及解答
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高等数学（下册）考试试卷（一）参考答案一、1、当10<<a 时，1022≤+<y x ；当1>a 时，122≥+y x ；2、负号；3、23;110⎰⎰⎰⎰-+=Dy e eydx dy d σ； 4、dt t t )()(22ψϕ'+'； 5、180π； 6、Cx xy=sin； 7、xxe C e C x C x C y 2423212sin 2cos -+++=； 8、1；二、1、D ； 2、D ； 3、C ； 4、B ； 5、D ； 6、B ； 7、A ； 8、C ； 三、1、21f y f x u '+'=∂∂；)(xy x g x yu +'=∂∂； 2、)()(t x f t x f x u --+=∂∂；)()(t x f t x f t u -++=∂∂； 四、1、)1(21420200220222-----===⎰⎰⎰⎰⎰e dy ye dx e dy dy e dx y y y x y ；2、⎰⎰⎰⎰⎰⎰=+=πππθθ2020212022132233142rdz r dr d dz r dr d I柱面坐标； 五、令2222,y x xQ y x y P +=+-=则xQy x x y y P ∂∂=+-=∂∂22222)(，)0,0(),(≠y x ； 于是①当L 所围成的区域D 中不含O （0，0）时，xQy P ∂∂∂∂,在D 内连续。
所以由Green 公式得：I=0；②当L 所围成的区域D 中含O （0，0）时，xQy P ∂∂∂∂,在D 内除O （0，0）外都连续，此时作曲线+l 为)10(222<<=+εεy x ，逆时针方向，并假设*D 为+L 及-l 所围成区域，则πε2)(222*=+∂∂-∂∂+=+-=⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰=+++-++++y x D ll L llL dxdy y Px Q Green I 公式六、由所给条件易得： 0)0()0(1)0(2)0(2=⇒-=f f f f又xx f x x f x f x ∆-∆+='→∆)()(lim )(0 =x x f x f x f x f x f x ∆-∆-∆+→∆)()()(1)()(lim 0xf x f x f x f x f x ∆-∆⋅∆-+=→∆)0()()()(1)(1lim 20 )](1)[0(2x f f +'= 即)0()(1)(2f x f x f '=+' c x f x f +⋅'=∴)0()(a r c t a n 即 ])0(tan[)(c x f x f +'= 又 0)0(=f 即Z k k c ∈=,π ))0(t a n ()(x f x f '=∴七、令t x =-2，考虑级数∑∞=++-11212)1(n n nn t212321232l i m t n t n t n n n =++++∞→ ∴当12<t 即1<t 时，亦即31<<x 时所给级数绝对收敛；当1<t 即3>x 或1<x 时，原级数发散；当1-=t 即1=x 时，级数∑∞=++-11121)1(n n n 收敛； 当1=t 即3=x 时，级数∑∞=+-1121)1(n nn 收敛； ∴级数的半径为R=1，收敛区间为[1，3]。
河海大学理学院《高等数学》10-4第一型面积分
1
高等数学（下）
dS 1 zx2 zy2dxdy
1 (2x)2 (2 y)2dxdy
原式 | xyz | dS 4 xyz dS
1
4 xy( x2 y2 ) 1 (2x)2 (2 y)2dxdy
Dxy
其中Dxy {( x, y) | x2 y2 1, x 0, y 0}
z
2 y
故
1
z
2 x
z
2 y
是曲面法线与
z 轴夹角的余弦
的倒数.
高等数学（下）
高等数学（下） ,
4
2 dt
1 r 2 cos t sin t r 2
1 4r 2rdr
0
0
2
2 sin 2tdt
r1 5
1 4r 2dr 令u 1 4r 2
0
0
1 5
41
u(u 1)2 du 125 5 1.
高等数学（下）
例4 设 为内接于球面 x2 y2 z2 a2的八面体 | x | | y | | z | a表面，面密度为到原点的距离的平
方，求此表面的质量。
解 密度 ( x, y, z) x2 y2 z2 , dm dS
质量M (x, y, z)dS 被积函数 ( x, y, z) x2 y2 z2 , 关于 x、y、z 均为偶函数 , 积分曲面也具有对称性 ,
若可分为分片光滑的曲面1及2 , 则
f ( x, y, z)dS f ( x, y, z)dS f ( x, y, z)dS.
2019河海大学理学院《高等数学》10-6gauss公式.ppt
P Q R 0 ( ) dv v n dS x y z
P Q R 1 ( )dv x y z V
P Q R 1 0 ) ( , , ) v n dS 由积分中值定理( x y z V P Q R 1 0 两边取极限, lim v n dS M M x y z V
---------- Gauss公式
高等数学（下）
由两类曲面积分之间的关系知
P Q R ( x y z )dv ( P cos Q cos R cos )dS .
Gauss公式的实质 表达了空间闭区域上的三重积分与 其边界曲面上的曲面积分之间的关系.
称为向量场 A( x , y , z ) 穿过曲面Σ 的流量.
高等数学（下）
Pdydz Qdzdx Rdxdy
P Q R 当 ( )dv 0时,表示Ω内有流体流出，称为“源” x y z
由Gauss公式： P Q R ( )dv Pdydz Qdzdx Rdxdy x y z
解答:
曲面应是分片光滑的闭曲面.
高等数学（下）
1
h
D xy
o
y
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
2( x y z )dv
x
h4 2 zdz dxdy 0 2 x y z
2 2 2
h
高等数学（下）
(也可)
2 dxdy
Dxy
h x y
2 2
zdz,
Dxy
( h x y ) dxdy
2 2 2
2 2 2
河海大学 高等数学 高等数学(下册)1-15考试试卷及解答
高等数学（下册）考试试卷（一）参考答案一、1、当10<<a 时，1022≤+<y x ；当1>a 时，122≥+y x ；2、负号；3、23;110⎰⎰⎰⎰-+=Dy e eydx dy d σ； 4、dt t t )()(22ψϕ'+'；5、180π；6、Cx xy =sin ；7、xxeC eC x C x C y 2423212sin 2cos-+++=； 8、1；二、1、D ； 2、D ； 3、C ； 4、B ； 5、D ； 6、B ； 7、A ； 8、C ； 三、1、21f y f x u '+'=∂∂；)(xy x g x yu +'=∂∂；2、)()(t x f t x f xu --+=∂∂；)()(t x f t x f tu -++=∂∂；四、1、)1(2142020220222-----===⎰⎰⎰⎰⎰edy yedx edy dy edx yyyxy；2、⎰⎰⎰⎰⎰⎰=+=πππθθ202212022132233142rdz r dr d dz r dr d I 柱面坐标；五、令2222,yx x Q yx y P +=+-=则xQ y x xy yP ∂∂=+-=∂∂22222)(，)0,0(),(≠y x ；于是①当L 所围成的区域D 中不含O （0，0）时，xQy P ∂∂∂∂,在D 内连续。
所以由Green公式得：I=0；②当L 所围成的区域D 中含O （0，0）时，xQy P ∂∂∂∂,在D 内除O （0，0）外都连续，此时作曲线+l 为)10(222<<=+εεy x ，逆时针方向，并假设*D 为+L 及-l 所围成区域，则 πε2)(222*=+∂∂-∂∂+=+-=⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰=+++-++++y x DllL llLdxdy yP xQ Green I 公式六、由所给条件易得： 0)0()0(1)0(2)0(2=⇒-=f f f f又xx f x x f x f x ∆-∆+='→∆)()(lim)(0=xx f x f x f x f x f x ∆-∆-∆+→∆)()()(1)()(limxf x f x f x f x f x ∆-∆⋅∆-+=→∆)0()()()(1)(1lim2)](1)[0(2x f f +'=即)0()(1)(2f x f x f '=+'c x f x f +⋅'=∴)0()(a r c t a n 即 ])0(tan[)(c x f x f +'= 又 0)0(=f 即Z k k c ∈=,π ))0(t a n ()(x f x f '=∴七、令t x =-2，考虑级数∑∞=++-11212)1(n n nn t212321232lim t n t n tn n n =++++∞→ ∴当12<t 即1<t 时，亦即31<<x 时所给级数绝对收敛；当1<t 即3>x 或1<x 时，原级数发散；当1-=t 即1=x 时，级数∑∞=++-11121)1(n n n 收敛；当1=t 即3=x 时，级数∑∞=+-1121)1(n nn 收敛；∴级数的半径为R=1，收敛区间为[1，3]。
河海大学理学院《高等数学》常用二次曲面图形
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图36：以下函数的图形：
z sin x cos y cosx y
0 x ,0 y
2
2
z sin x cos y cosx y 0 x ,0 y
2
2
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图37：锥面 z x2 y2 被柱面 z 2 2x
割下部分的曲面图形如下：
处的切平面及法线的图形如下：
P1,1,1
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40
图9：
（9）、 x t sin t, y 1 cos t, z 4 sin t , 2
在 1，1，2 2 处的切线和法平面如下 ：
2
x t sin t, y 1 cost, z 4sin t , 2
在 1，1，2 2 处的切线和法平面如下 ：
34
图6：
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图7：
（7）、x 0, y 0, z 0, y 1, z 4 2x2 y 2 ;
所围 图形如下：
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36
图7：
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37
图7：
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38
图7：
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图8：
（8）、椭球面 2x2 3y2 z2 6 在点 P 1,1,1
其中： p, q 为正常数。
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椭圆抛物面的图形
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双曲抛物面（马鞍面） 方程
方程： 其中：
x2 y2 2z
pq p, q 为正常数。
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双曲抛物面（马鞍面） 图形
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河海大学理学院《高等数学》常用二次曲面图形
椭球面是一种中心在某一点的平面距 离都相等的点集，其形状类似于椭圆， 但具有三个不同轴。在几何学中，椭 球面常用于描述某些天体的形状。
在物理学中的应用
旋转抛物面
旋转抛物面是抛物线绕其对称轴旋转形成的曲面，在物理学中常用于描述光学透镜的形状和光学系统的成像原理。
双曲面
双曲面是中心在某一点的平面距离不相等的点集，分为椭圆双曲面和双曲线双曲面两种。在物理学中，双曲面常 用于描述电磁波的传播和波动现象。
性分析。
05
总结与展望
总结
二次曲面图形分类
二次曲面图形是高等数学中一个重要的知识点，根据其方程形式的不同可以分为椭球面、 抛物面和双曲面等类型。这些不同类型的曲面在几何形状、性质和应用方面都有所不同。
二次曲面图形的性质
每种类型的二次曲面图形都有其独特的性质，如对称性、曲率、渐近线等。了解这些性质 有助于更好地理解二次曲面图形的几何特征，为后续的学习和应用打下基础。
二次曲面图形在科技领域的应用前景
随着科技的发展，二次曲面图形在科技领域的应用前景将更加广阔。例如，在计算机图形学中，二次曲面图形可以用 于制作更加逼真的三维模型；在航天工程中，可以利用二次曲面图形来设计更加优化的飞行器外形。
二次曲面图形的教育价值
在高等数学教育中，二次曲面图形是一个重要的知识点，对于培养学生的空间想象能力和几何直觉具有 重要意义。未来，随着教育理念和教学方法的改进，二次曲面图形的教育价值将得到更加充分的体现。
04
几何特性
双曲面的几何特性包括对称性和 旋转对称性，它在三维空间中呈 现出规则的形状。
01 03
总结词
双曲面是一种常见的二次曲面图 形，它由两个主轴和两个副轴组 成，形状类似于马鞍形。
河海大学高等数学PPT
则
lim f [ ( k ) , ( k ) ]
0 k 1
n
n
注意 2 (t ) 2 (t ) 连续
lim f [ ( k ) , ( k ) ]
0 k 1
因此
说明:
(1) sk 0, t k 0, 因此积分限必须满足 !
弧长元素(弧微分) :
ds (dx) 2 (d y ) 2
2 (t ) 2 (t ) d t
因此所求弧长
s
2 (t ) 2 (t ) d t
(3) 曲线弧由极坐标方程给出:
令 x r ( ) cos , y r ( ) sin , 则得
弧长元素(弧微分) :
ds [ x( )]2 [ y ( )]2 d
r 2 ( ) r 2 ( ) d
因此所求弧长
s
r 2 ( ) r 2 ( ) d
第十章 曲线积分与曲面积分
积分学 定积分 二重积分 三重积分 曲线积分 曲面积分
积分域
区间域
取极限 W lim [ P ( i , i ) xi Q( i , i ) yi ]. 0
i 1
n
精确值
2. 定义. 设 L 为xoy 平面内从 A 到B 的一条有向光滑
弧, 在L 上定义了一个向量函数
若对 L 的任意分割和在局部弧段上任意取点,
0
极限
L L
( 3) f ( x , y )ds f ( x , y )ds f ( x , y )ds.
L L1 L2
( L L1 L2 ).
( s 为曲线弧 L 的长度)
2019河海大学理学院《高等数学》10-1第一型线积分.ppt
a 3
2
2 a ds 3 .
3
高等数学（下）
2 求 I x ds , 例6
x2 y2 z2 a2 , 其 中为 圆 周 y x.
a a 解 为 : x 2 cost , y 2 cost , z a sint . (0 t 2 )
1 1 x xdm, y 2．重心坐标： M M
2
ydm
3．转动惯量元：
dI 距离 dm
m1 m 2 0 r , df x df cos , 4．力：万有引力 d f f 2 r
高等数学（下）
(3) 曲线弧对x轴及 y轴的转动惯量 ,
I x y ds ,
第十章 曲线、曲面积分
高等数学（下）
高等数学（下）
河海大学理学院
第一节 第一型曲线积分
外形上 : f ( x , y, z )ds
高等数学（下）
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一、问题的提出
实例:曲线形构件的质量
y
均匀物体的之质量 M s .
B L M n 1 ( i ,i ) M i M2
2
2
解
令
a a x cos 0,2 2 2 . a y sin I = 2a2 2
高等数学（下）
思考题 求 x
L 2
y
2
ds，其中 L 为圆周 x2 y 2 ax.
2 2
解
令
I x y ds axds
L L
6ak 6 ak x 2 ； y ； 2 2 2 2 2 3a 4 k 3a 4 k 3k ( a 2 2 2 k 2 ) z . 2 2 2 3a 4 k