数学人教B版必修4：2.2.3用平面向量坐标表示向量共线条件作业
第6章 6.2 6.2.3 平面向量的坐标及其运算-(新教材)人教B版(2019)高中数学必修第二册
(1)A [以向量 a，b 公共的起点为坐标原点，建立如图坐标系， 因为 e1＝(1,0)，e2＝(0,1)，
所以 2a＝(2,1)，b＝(1,3)， 所以 2a＋b＝(2,1)＋(1,3)＝(3,4)，即 2a＋b 在平面直角坐标系中 的坐标为(3,4)，故选 A.
]
(2)[解] ①作 AM⊥x 轴于点 M(图略)，
3，即
b＝－32，3
2
3.
②由①知B→A＝－A→B＝－b＝32，－3
2
3.
③O→B＝O→A＋A→B＝(2
2，2
2)＋－32，3
2
3
＝2
2－32，2
2＋3
2
3，
所以点 B 的坐标为2
2－32，2
2＋3
2
3.
求向量坐标的三个步骤
[跟进训练] 1．在直角坐标系 xOy 中，向量 a，b，c 的方 向如图所示，且|a|＝2，|b|＝3，|c|＝4，分别计算 出它们的坐标． [解] 设 a＝(x1，y1)， 则 x1＝2·cos 45°＝ 2，y1＝2·sin 45°＝ 2， ∴a＝( 2， 2)．
[解] (1)2a＋3b＝2(－1,2)＋3(2,1) ＝(－2,4)＋(6,3)＝(4,7)． (2)a－3b＝(－1,2)－3(2,1)＝(－1,2)－(6,3) ＝(－7，－1)． (3)21a－13b＝12(－1,2)－13(2,1) ＝－12，1－23，13＝－76，23.
向量坐标运算的综合应用 [探究问题] 1．已知点 O(0,0)，A(1,2)，B(4,5)，及O→P＝O→A＋tA→B.当 t 为何值 时，点 P 在 x 轴上？点 P 在 y 轴上？点 P 在第二象限？ [提示] ∵O→P＝O→A＋tA→B＝(1,2)＋t(3,3)＝(1＋3t,2＋3t)． 若点 P 在 x 轴上，则 2＋3t＝0，
高一数学人教B版必修4课件：2-2-1 向量的分解与向量的坐标运算
[解析]
设 c＝xa＋yb.
则 c ＝ x(3e1 － 2e2) ＋ y( － 2e1 ＋ e2) ＝ (3x － 2y)e1 ＋ ( － 2x ＋ y)e2＝7e1－4e2.
3x－2y＝7 ∵e1、e2 不共线，∴ －2x＋y＝－4 x＝1 解；该平面内的任意 一个向量a都可用e1、e2线性表示，并且这 种表示方式是惟一的；对基底的选取不惟 一，只要是同一平面内的两个不共线向量 都可以作为一组基底；定理的证明，课本 中是用作图法证明了它的存在性，又用反 证法证明了它的惟一性．平面向量基本定 理为我们用坐标表示平面向量提供了理论 依据．
•(
• [解析] 平面α内任一向量都可写成e1与e2的
线性组合形式，而不是空间内任一向量， 故B不正确；对任意实数λ1、λ2，向量λ1e1＋ λ2e2一定在平面α内；而对平面α中的任一向 量a，实数λ1、λ2是惟一的．
• 4．若a，b不共线，且λa＋μb＝0(λ，μ∈R)，
则
•( • • • •
• 3 ．如果 e1 、 e2 是平面 α 内所有向量的一组
基底，那么
•
•
• •
) A ．若实数 λ1 、 λ2 ，使 λ1e1 ＋ λ2e2 ＝ 0 ，则 λ1 ＝λ2＝0 B ．空间任一向量 a 可以表示为 a ＝ λ1e1 ＋ λ2e2，这里λ1、λ2是实数 C．对实数λ1、λ2，λ1e1＋λ2e2不一定在平面 α内 D ．对平面 α中的任一向量 a ，使 a ＝ λ1e1 ＋ λ2e2的实数λ1、λ2的实数λ1、λ2有无数对
• 2．直线方程的向量参数式 • 与 P 、 A 、 B 三点共线的条件是完全一致
的．其中线段中点的向量表达式，在用向 量解决平面几何总是时会经常用到，要熟 练掌握． • 3．要正确理解基底的概念 • 向量的基底是指平面内不共线的向量，事 实上，若 {e1 ， e2} 是基底，则必有 e1≠0 ， e2≠0 ， 且 e1 与 e2 不 共 线 ． 如 {0 ， e2} ， {e1,2e1} ， {e1 ＋ e2,2e1 ＋ 2e2} 等均不能构成 基底．
高二数学《平面向量的坐标表示》说课稿 3篇
高二数学《平面向量的坐标表示》说课稿1各位老师好：我是户县二中的李敏，今天讲的课题是《平面向量的坐标的表示》，本节课是高中数学北师大版必修4第二章第4节的内容，下面我将从四个方面对本节课的教学设计来加以说明。
一、学情分析本节课是在学生已学知识的基础上进行展开学习的，也是对以前所学知识的巩固和发展，但对学生的知识准备情况来看，学生对相关基础知识掌握情况是很好，所以在复习时要及时对学生相关知识进行提问，然后开展对本节课的巩固性复习。
而本节课学生会遇到的困难有：数轴、坐标的表示；平面向量的坐标表示；平面向量的坐标运算。
二、高考的考点分析：在历年高考试题中，平面向量占有重要地位，近几年更是有所加强。
这些试题不仅平面向量的相关概念等基本知识，而且常考平面向量的运算；平面向量共线的条件；用坐标表示两个向量的夹角等知识的解题技能。
考查学生在数学学习和研究过程中知识的迁移、融会，进而考查学生的学习潜能和数学素养，为考生展现其创新意识和发挥创造能力提高广阔的空间，相关题型经常在高考试卷里出现，而且经常以选择、填空、解答题的形式出现。
三、复习目标1.会用坐标表示平面向量的加法、减法与数乘运算.2.理解用坐标表示的`平面向量共线的条件.3.掌握数量积的坐标表达式，会进行平面向量数量积的运算.4.能用坐标表示两个向量的夹角，理解用坐标表示的平面向量垂直的条件.教学重难点的确定与突破：根据《20xx高考大纲》和对近几年高考试题的分析，我确定本节的教学重点为：平面向量的坐标表示及运算。
难点为：平面向量坐标运算与表示的理解。
我将引导学生通过复习指导，归纳概念与运算规律，模仿例题解决习题等过程来达到突破重难点。
四、说教法根据本节课是复习课，我采用了“自学、指导、练习”的教学方法，即通过对知识点、考点的复习，围绕教学目标和重难点提出一系列精心设计的问题，在教师的指导下，用做题来复习和巩固旧知识点。
五、说学法根据平时作业中的问题来看，学生会本节课遇到的困难有：数轴、坐标的表示；平面向量的坐标表示；平面向量的坐标运算等方面。
数学：第二章《平面向量-综合》课件(新人教B版必修4)
3 x 2 3 x 2 a + b = (cos x + cos ) + (sin x − sin ) 2 2 2 2
= 2 + 2cos2x = 2 cos x π
2
Q x ∈ 0, ,∴cos x > 0. 2 ∴ a + b = 2 cos 2x
(2) f ( x) = cos 2 x − 4λ cos x, 即f ( x) = 2(cos x − λ ) 2 − 1 − 2λ2 .
1 3 3 ∴函数k = f (t) = t − t的减区间为(-1,1) 4 4
r r r r 总结：（）考察向量垂直的充要条件；⊥ b ⇔ a • b = 0； 1 a （）考察向量的加减及数乘和数量积的运算； 2 （3）利用导数确定函数的单调区间，注意适时运用； （）注意两个单调区间中间不能用并集符号“ ”。 4 U
第一课时
考点系统整合
一、知识整合
向量的运算
1、主要知识点有：向量的加法、减法运算；实数与向 主要知识点有：向量的加法、减法运算；
量的积； 量的积；两个向量数量积的运算以及向量的坐标表 示。 重点内容是：向量共线的条件； 重点内容是：向量共线的条件；向量的加减法运算 法则； 法则；数量积
a • b = a b cos θ
1 2 3 ) + , 2 4 r r 1 ∴ x = 时 , a − xb 的 值 最 小. 2
总结： 总结：
共线向量定理、 共线向量定理、平面向量基本 定理是解决向量共线、 定理是解决向量共线、共面的常用 工具，常用数量积解决向量长度、 工具，常用数量积解决向量长度、 夹角、位置关系问题。 夹角、位置关系问题。
r r 1 3 例2：已知平面向量a = ( 3, −1), b = ( , ), 2 2 r r (1)证明：⊥ b a ； r r 2 r （2）若存在不同时为零的实数k和t，使x=a + (t −3)b, u r r r r u r y = −ka + tb,且x ⊥ y,是求函数关系式k=f(t); (3)根据（）的结论，确定k=f(t)的单调区间。 2 r r 1 3 3 3 解析：(1)证明Qa • b = ( 3, −1) • ( , ) = − = 0 2 2 2 2 r r ∴a ⊥ b.
高中数学第2章平面向量2.2.1平面向量基本定理教案含解析新人教B版必修4
2.2.1 平面向量基本定理1．平面向量基本定理 (1)平面向量基本定理：如果e 1和e 2是一平面内的两个不平行的向量，那么该平面内的任一向量a ，存在唯一的一对实数a 1，a 2，使a ＝a 1e 1＋a 2e 2.(2)基底：把不共线向量e 1，e 2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底，记为{e 1，e 2}．a 1e 1＋a 2e 2叫做向量a 关于基底{e 1，e 2}的分解式．2．直线的向量参数方程式 (1)向量参数方程式：已知A ，B 是直线l 上任意两点，O 是l 外一点(如图所示)，对直线l 上任意一点P ，一定存在唯一的实数t 满足向量等式OP →＝(1－t )OA →＋tOB →；反之，对每一个实数t ，在直线l 上都有唯一的一个点P 与之对应．向量等式OP →＝(1－t )OA →＋tOB →叫做直线l 的向量参数方程式，其中实数t 叫做参变数，简称参数．(2)线段中点的向量表达式：在向量等式OP →＝(1－t )OA →＋tOB →中，令t ＝12，点M 是AB 的中点，则OM →＝12(OA →＋OB →)．这是线段AB 的中点的向量表达式．思考：平面向量的基底选取有什么要求？它是唯一的吗？[提示] 平面内任意两个不共线的向量都可以作为基底，基底不唯一，但选取时应尽量选有利于解决问题的基底，并且基底一旦选中，给定向量沿基底的分解是唯一确定的．1．已知平行四边形ABCD ，则下列各组向量中，是该平面内所有向量基底的是( ) A.AB →，DC →B.AD →，BC →C.BC →，CB →D.AB →，DA →D [由于AB →，DA →不共线，所以是一组基底．]2．已知AD 为△ABC 的边BC 上的中线，则AD →等于( ) A.AB →＋AC →B.AB →－AC →C.12AB →－12AC → D.12AB →＋12AC → D [根据线段BC 的中点向量表达式可知AD →＝12(AB →＋AC →)＝12AB →＋12AC →，故选D.]3．下列关于基底的说法正确的是________(填序号)． ①平面内不共线的任意两个向量都可作为一组基底． ②基底中的向量可以是零向量．③平面内的基底一旦确定，该平面内的向量关于基底的线性分解形式也是唯一确定的． ①③ [①③正确；对于②，由于零向量与任意向量平行，所以基底中不能有零向量．]【例1】 设M ，N ，P 是△ABC 三边上的点，且BM ＝3BC ，CN ＝3CA ，AP ＝3AB ，若AB ＝a ，AC →＝b ，试用a ，b 将MN →，NP →，PM →表示出来．[思路探究] 把a ，b 看成基底，先将三角形三边上的有关向量表示出来，然后再根据向量加法或减法的三角形法则，即可将MN →，NP →，PM →用基底来表示．[解] NP →＝AP →－AN →＝13AB →－23AC →＝13a －23b .MN →＝CN →－CM →＝－13AC →－23CB →＝－13b －23(a －b )＝－23a ＋13b .PM →＝－MP →＝－(MN →＋NP →)＝13(a ＋b )．平面向量基本定理的作用以及注意点：(1)根据平面向量基本定理，任何一组基底都可以表示任意向量.用基底表示向量，实质上主要是利用三角形法则或平行四边形法则，进行向量的加减法运算.(2)要注意适当选择向量所在的三角形或平行四边形，利用已知向量表示未知向量，或找到已知向量与未知向量的关系，用方程的观点求出未知向量.1.如图，设点P ，Q 是线段AB 的三等分点，若OA →＝a ，OB →＝b ，则OP →＝________，OQ →＝________.(用a ，b 表示)23a ＋13b 13a ＋23b [OP →＝AP →－AO →＝13AB →＋OA → ＝13(OB →－OA →)＋OA → ＝23OA →＋13OB →＝23a ＋13b . OQ →＝AQ →－AO →＝23AB →＋OA →＝23(OB →－OA →)＋OA →＝13OA →＋23OB →＝13a ＋23b .]【例2】 已知平面内两定点A ，B ，对该平面内任一动点C ，总有OC ＝3λOA ＋(1－3λ)OB (λ∈R ，点O 为直线AB 外一点)，则点C 的轨迹是什么图形？并说明理由．[思路探究] 将所给向量式与直线的向量参数方程式比较易得答案，也可以考虑将所给向量式化简后再观察特点．[解] 将已知向量等式两边同时减去OA →，得OC →－OA →＝(3λ－1)OA →＋(1－3λ)OB →＝(1－3λ)(OB →－OA →)＝(1－3λ)AB →，即AC →＝(1－3λ)AB →，λ∈R ，又AC →，AB →共始点， ∴A ，B ，C 三点共线， 即点C 的轨迹是直线AB .理解直线的向量参数方程式时要注意OP →＝(1－t )OA →＋tOB →中三向量共始点，左边向量的系数是1，右边两向量的系数之和为1，也可以结合向量加法的平行四边形法则进行理解.2.如图，设一直线上三点A ，B ，P 满足 AP →＝λPB →(λ≠－1)，O 是平面上任意一点，则( )A.OP →＝OA →＋λOB →1＋λ(λ≠－1)B.OP →＝OA →＋λOB →1－λC.OP →＝OA →－λOB →1＋λ(λ≠－1)D.OP →＝OA →－2λOB →1－λA [∵一条直线上三点A 、B 、P 满足AP →＝λPB →(λ≠－1)， ∴OP →－OA →＝λ(OB →－O P →)， 化为OP →＝OA →＋λOB →1＋λ(λ≠－1)．]1．在向量等式OP →＝xOA →＋yOB →中，若x ＋y ＝1，则三点P ，A ，B 具有什么样的位置关系？ [提示] 三点P ，A ，B 在同一直线上．在向量等式OP →＝xOA →＋yOB →中，若x ＋y ＝1，则P ，A ，B 三点共线；若P ，A ，B 三点共线，则x ＋y ＝1.2．平面向量基本定理的实质是什么？[提示] 平面向量基本定理的实质是把任一向量两个方向进行分解．【例3】 如图所示，在△OAB 中，OA →＝a ，OB →＝b ，点M 是AB 的靠近B 的一个三等分点，点N 是OA 的靠近A 的一个四等分点．若OM 与BN 相交于点P ，求OP →.[思路探究] 可利用OP →＝tOM →及OP →＝ON →＋NP →＝ON →＋sNB →两种形式来表示OP →，并都转化为以a ，b 为基底的表达式．根据任一向量基底表示的唯一性求得s ，t ，进而求得OP →.[解] OM →＝OA →＋A M →＝OA →＋23AB →＝OA →＋23(OB →－OA →)＝13a ＋23b .因为OP →与OM →共线， 故可设OP →＝tOM →＝t 3a ＋2t 3b .又NP →与NB →共线，可设NP →＝sNB →，OP →＝ON →＋sNB →＝34OA →＋s (OB →－ON →)＝34(1－s )a ＋s b ，所以⎩⎪⎨⎪⎧34(1－s )＝t 3，s ＝23t ，解得⎩⎪⎨⎪⎧t ＝910，s ＝35，所以OP →＝310a ＋35b .1．任意一向量基底表示的唯一性的理解：平面向量基本定理指出了平面内任一向量都可以表示为同一平面内两个不共线向量e 1，e 2的线性组合λ1e 1＋λ2e 2.在具体求λ1，λ2时有两种方法：(1)直接利用三角形法则、平行四边形法则及向量共线定理； (2)利用待定系数法，即利用定理中λ1，λ2的唯一性列方程组求解．3．如图所示，在△ABC 中，点M 是AB 的中点，且AN →＝12NC →，BN 与CM 相交于点E ，设AB →＝a ，AC →＝b ，试用基底a ，b 表示向量AE →.[解] 易得AN →＝13AC →＝13b ，AM →＝12AB →＝12a ，由N ，E ，B 三点共线，设存在实数m ， 满足AE →＝mAN →＋(1－m )AB →＝13m b ＋(1－m )a .由C ，E ，M 三点共线，设存在实数n 满足： AE →＝nAM →＋(1－n )AC →＝12n a ＋(1－n )b .所以13m b ＋(1－m )a ＝12n a ＋(1－n )b ，由于a ，b 为基底，所以⎩⎪⎨⎪⎧1－m ＝12n ，13m ＝1－n ，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝35，n ＝45，所以AE →＝25a ＋15b .(教师用书独具)1．基底的性质(1)不共线性：平面内两个不共线的向量才可以作为一组基底，基底不同，表示也不同．由于零向量与任何向量共线，所以零向量不可以作为基底．(2)不唯一性：对基底的选取不唯一，平面内任一向量a 都可被这个平面的一组基底e 1，e 2线性表示，且在基底确定后，这样的表示是唯一的．2．用基底表示向量的两种方法(1)运用向量的线性运算法则对待求向量不断进行转化，直至用基底表示为止． (2)通过列向量方程或方程组的形式，利用基底表示向量的唯一性求解.1．已知向量a ＝e 1－2e 2，b ＝2e 1＋e 2，其中e 1，e 2不共线，则a ＋b 与c ＝6e 1－2e 2的关系是( )A ．不共线B ．共线C ．相等D ．不确定B [∵a ＋b ＝3e 1－e 2，∴c ＝2(a ＋b )，∴a ＋b 与c 共线．]2．如果e 1，e 2是平面α内所有向量的一组基底，那么，下列命题正确的是( ) A ．若实数λ1，λ2，使λ1e 1＋λ2e 2＝0，则λ1＝λ2＝0B ．平面内任一向量a 都可以表示为a ＝λ1e 1＋λ2e 2，其中λ1，λ2∈RC ．λ1e 1＋λ2e 2不一定在平面α内，λ1，λ2∈RD ．对于平面α内任意一向量a ，使a ＝λ1e 1＋λ2e 2的实数λ1、λ2有无数对A [考查平面向量基本定理．因为e 1，e 2不共线，所以λ1e 1＋λ2e 2＝0，只能λ1＝λ2＝0.B 选项λ1，λ2∈R 不对，应该是唯一数对；C 选项λ1e 1＋λ2e 2一定在平面α内；D 选项应该是唯一一对．]3．已知A ，B ，D 三点共线，且对任意一点C ，有CD →＝43CA →＋λCB →，则λ＝________.－13[∵A ，B ，D 三点共线， ∴存在实数t ，使AD →＝tAB →，则CD →－CA →＝t (CB →－CA →)，即CD →＝CA →＋t (CB →－CA →)＝(1－t )CA →＋tCB →，∴⎩⎪⎨⎪⎧1－t ＝43，t ＝λ，即λ＝－13.]4．已知e 1，e 2是平面内两个不共线的向量，a ＝3e 1－2e 2，b ＝－2e 1＋e 2，c ＝7e 1－4e 2，试用向量a 和b 表示c .[解] ∵a ，b 不共线，∴可设c ＝x a ＋y b ， 则x a ＋y b ＝x (3e 1－2e 2)＋y (－2e 1＋e 2) ＝(3x －2y )e 1＋(－2x ＋y )e 2＝7e 1－4e 2. 又∵e 1，e 2不共线，∴⎩⎪⎨⎪⎧3x －2y ＝7，－2x ＋y ＝－4，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝－2，∴c ＝a －2b .。
高中数学 2.1.3《相等向量与共线向量——共线的条件与轴上向量坐标运算》教案人教版必修4
2.1.3向量共线的条件与轴上向量坐标运算─(新教改A版教材)教学目标：使学生掌握平面向量共线的条件及简单的证明过程,会使用该定理解题,掌握轴上向量的定义方法,会计算向量的坐标,利用向量的坐标解题。
教学重点难点：重点是平行向量基本定理;难点是平行向量基本定理的应用.教学内容安排：定理形成x的绝对值等于a的长,当a与e同方向时,x是正数,当a与e反向时, x是负数.1.数轴上两点间的距离公式:21AB x x=-,2.轴上向量的坐标等于向量终点的坐标减去始点的坐标:21AB x x=-两点间的距离,所以以这两点为起终点的向量的所在线段的长度就应为下面的公式常重要的坐标表示的引理。
另一方面有助于发展学生的理性思维的能力，从简单的向量的知识开始，逐步深入，为平面向量的基本定理做好充分的准备。
例1.已知数轴上三点,,A B C的坐标分别是4,-2,-6,学生需要锻炼的能力之一,注意通过设问，引导学生体会解题思三.教学资源建议:可以参阅之前向量这一部分的参考资料，结合新教材B版的自有的参考资料共同完成。
四.教学方法与学习指导策略建议:本节的知识是在老教科书向量的坐标的基础上为学生能够更顺利的了解向量坐标的相关知识而最新设立的。
本小节的开始首先介绍向量共线（即平行）的判定定理。
即向量之间有线性关系即表示两个向量共线（即平行），它也是我们今后利用向量证明相关向量结论的基础定理，更是在立体几何使用空间向量来证明时的有力辅助工具。
在学习时要注意体会引入的过程，并且记牢。
总之，本小节所介绍的内容仍为向量的基本知识，是我们后边学习向量相关知识的基础和保证，一定要重视对这块知识的讲解和对学生的落实。
高中数学 平面向量的基本定理及坐标表示 第3课时 平面向量共线的坐标表示课件 新人教A必修4
❖ [解析] ∵λa＋b＝(λ，2λ)＋(2,3)＝(λ＋2,2λ ＋3)，
❖ ∴存在实数k，使(λ＋2,2λ＋3)＝k(－4，－ 7)，
❖ [例5] 已知A(－1,2)，B(1,4)． ❖ (1)求AB的中点M的坐标； ❖ (2)求AB的三等分点P、Q的坐标； ❖ (3)设D为直线AB上与A、B不重合的一点，
❖ 5．已知a＝(3,2)，b＝(2，－1)，若λa＋b 与a＋λb(λ∈R)平行，则λ＝________.
❖ [答案] 1或－1
❖ [解析] λa＋b＝λ(3,2)＋(2，－1)＝(3λ＋ 2,2λ－1)，a＋λb＝(3,2)＋λ(2，－1)＝(3＋ 2λ，2－λ)．
❖ ∵(λa＋b)∥(a＋λb)，
❖ 由(k－6,2k＋4)＝λ(14，－4)，得
❖ 故当k＝－1时，ka＋2b与2a－4b平行． ❖ [点评] 可由向量平行的坐标表示的充要
条件得
❖ (k－6)×(－4)－(2k＋4)×14＝0，得k＝－1.
❖ (08·全国Ⅱ)设向量a＝(1,2)，b＝(2,3)，若 向量λa＋b与向量c＝(－4，－7)共线，则λ ＝______.
❖ 3．[在证明直] 角由坐已标知条系件x得O，y内A→B，＝(已0,1)知－(A－(－2，2－，3)＝－(23,4)，)， A→BC(＝0,(12),5，)－C(－(22,，5)－，3)求＝(证4,8A)．、B、C三点共线．
∵2×8－4×4＝0，∴A→B∥A→C，
∵A→B与A→C有公共点 A，∴A、B、C 三点共线．
❖ 重点：用平面向量坐标表示向量共线条件．
❖ 难点：运用平面向量坐标表示向量共线条件 的应用，体会向量在解题中的工具性作用．
❖ 1．若a与b共线(b≠0)，则存在实数λ，使a ＝λb，这里b≠0的条件千万不可忽视，而 在坐标表示的共线条件中，若a＝(x1，y1)， b＝(x2，y2)，则a∥b⇔x1y2－x2y1＝0，对任 意向量a，b都成立，解题时，要区别应 用．
高中数学第二章平面向量2.3平面向量的数量积2.3.3向量数量积的坐标运算与度量公式课件新人教B版必修4
解: a=(3,-4),b=(2,x),a∥b⇔3x=2× (-4),
8 解得 x=- .c=(2,y),a⊥c⇔3× 2-4y=0, 3 3 解得 y= . 2 8 3 ∴b= 2,- ,c= 2, , 3 2 8 3 ∴b· c=2× 2- × =0, 3 2
∴<b,c>=90°.
探究一
探究二
探究三
易错辨析
反思感悟因为两个非零向量a,b的夹角θ满足0°≤θ≤180°,所以用 ������· ������ cos θ = 来判断,可将 θ :cos θ=1,θ=0°;cos θ=0, |������ ||分五种情况 ������| θ=90°;cos θ=-1,θ=180°;cos θ<0,且cos θ≠-1,θ为钝角;cos θ>0,且 cos θ≠1,θ为锐角.
(1)求������������, ������������ 的坐标; (2)求|������������|,|������������ |及 cos<������������, ������������ >,������������ ·������������ .
提示: (1)������������=(2,0),������������ =(2,2). (2)|������������|=2,|������������ |=2 2,|������������ |=2, 由此得△ABC 为直角三角形. ∴cos<������������, ������������ >= , ∴������������ ·������������ =|������������|· |������������ |cos<������������, ������������ >=2× 2 2×
数学：2.2.1《平面向量基本定理(一)》教案(新人教B版必修4)
2.2.1平面向量基本定理(人大附中 乜全力)
一、教学目标 1。
知识与技能
（1）了解平面向量基本定理及其意义，并利用其进行正交分解； （2）理解平面内三点共线的充要条件及线段中点的向量表达式。
2。
过程与方法
通过平面向量基本定理得出的过程，体会由特殊到一般的方法，培养学生“数”与“形”相互转化的思想方法。
3。
情感态度与价值观
通过本节课的教学，培养学生严肃认真的科学态度与积极探索的良好学习品质． 二、教学重点与难点
重点：平面向量基本定理的应用；
难点：平面向量在给定基向量上分解的唯一性． 三、教学方法
探究学习——本节课的教学内容是在学生已经学过向量加法与减法，以及平面向量线性运算的基础上，通过研究向量的分解，探究平面向量基本定理，为向量的坐标运算构建理论基础． 四、教学过程
点出发，以初速度υ
2. OC s s =+
2s 和为水平方向和
、e 是同一平面内两e 、e 是同一平面内两个不共14EF -=e 2GH =-e 2. 自主探索作图的方法. 总结作图步骤，CM //OB 与直线OA 交于M ，过C
11
a =e ,
11a =+a e 设存在实数如果（课本P97
例1） 11
教师提问：能否用a,b 成过程，培养学生分析问.tOB
根据平面向量基本定
()t OB OA +- (1)t OA tOB -+OM P。
高中数学(人教B版)必修第二册：平面向量的坐标及其运算【精品课件】
(3)给定一个向量,它的坐标是唯一的,给定一对实数,由于向量可以
平移,以这对实数为坐标的向量有无穷多个.
(4)两个向量相等,当且仅当它们的坐标相同.
激趣诱思
知识点拨
2.向量的坐标的注意点
(1)向量的坐标与其终点的坐标不一定相同.由于自由向量的起点可
以任意选取,如果向量是以坐标原点为始点的,则向量的坐标就与
探究一
探究二
探究三
当堂检测
反思感悟求向量的模的基本策略
坐标表示下的运算:
若a=(x,y),则a·
a=a2=|a|2=x2+y2,于是有|a|=
2 + 2.
探究一
探究二
探究三
当堂检测
变式训练1若向量a的始点为A(-2,4),终点为B(2,1),求:
(1)向量a的模;
(2)与a平行的单位向量的坐标.
(2)中点坐标公式:AB 的中点坐标为
1 + 2 1 +2
2
4.向量平行的坐标表示
设a=(x1,y1),b=(x2,y2),则a∥b⇔x2y1=x1y2.
,
2
.
激趣诱思
知识点拨
名师点析描述两向量共线的三种方法
(1)几何表示法:若非零向量a与b共线,则存在唯一实数λ,使得b=λa.
它体现了向量a与b的大小及方向之间的关系.
(数学抽象、数学运算)
激趣诱思
知识点拨
在物理的学习中我们知道:飞机沿仰角为α的方向起飞的速度v,可
分解为水平方向的速度vcos α和竖直方向的速度vsin α.
把一个向量分解到两个不同的方向,特别是在两个互相垂直的方向
分解,可使许多度量问题变得较为简单,这就是向量的正交分解.