圆锥曲线与直线
怎样用直线的参数方程解与直线有关的圆锥曲线题
丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹考点透视当且仅当x=时取等号，则3+2x2+xy+y2x+y≥x-x+.利用柯西不等式解题，关键是将目标式配凑为柯西不等式左右两边的积式与平方和式.对于本题，我们将22x2+3变形为∙(2x)2+(3)3，即可配凑出柯西不等式左边的积式，直接根据柯西不等式，就可以求得最值.三、判别式法运用判别式法解答二元二次最值问题，需先引入参数，构造出二元二次方程；然后以其中一个变量为主元，根据一元二次方程有解，建立不等式Δ≥0，通过解不等式，求得参数的取值范围，即可确定目标式的最值.解法5.不妨令3+2x2+xy+y2x+y=m，则2x2+x(y-m)+y2-my+3=0，因为方程有解，则方程的根的判别式Δ=(y-m)2-4∙2∙(y2-my+ 3)≥0，整理得7y2-6my+24-m2≤0.设f()y=7y2-6my+24-m，要使函数的值小于或等于0，需使函数的图象都与x轴有两个交点，即Δ=36m2-4∙7(24-m2)≥0，得16m2≥7∙24，解得m≥.我们将目标式看作关于x的函数式，此时y,m为系数，根据一元二次方程2x2+x(y-m)+y2-my+3=0有解，得出判别式Δ≥0，即可得到关于y的不等式.此时还需再次构造函数f()y=7y2-6my+24-m，根据其函数的图象判定Δ≥0，从而求得m的取值范围.可见，解答二元最值问题，需灵活运用基本不等式、柯西不等式等工具，同时要学会将问题与函数、方程关联起来，根据一元二次方程的根的判别式、函数的性质来建立关系式.（作者单位：江苏省仪征市南京师范大学第二附属高级中学）圆锥曲线问题的显著特点是解题过程中的运算量较大.如何简化运算是同学们需重点思考的问题.事实上，对于一些与直线有关的圆锥曲线问题，可运用直线的参数方程来简化运算.若直线l过点P0(x0,y0)，倾斜角为α，则其参数方程为{x=x0+t cosα,y=y0+t sinα,（t为参数）.若点P(x,y)为直线l上的任意一点，由直线l的参数方程可知t2=(x-x0)2 +(y-y0)2，即|t|=|P0P|，则||t表示直线l上P0与P 两点间的距离.这就是直线的参数方程中t的几何意义.若直线l上任意两点A,B所对应的参数分别为t1,t2，则A(x0+t1cosα,y0+t1sinα)、B(x0+t2cosα,y0+t2sinα).由直线参数方程中参数t的几何意义可知，|t1|=|P0A|，|t2|=|P0B|，显然t1、t2、||t1、||t2的大小均由点P0与点A,B的相对位置决定，那么|P0A|±|P0B|=|t1|±|t2|，|P0A|·|P0B|=|t1t2|，|P0A||P0B|=||||||t1t2.下面结合实例，谈一谈如何运用直线的参数方程解答与直线有关的圆锥曲线问题.例1.如图1，已知点A(2,1)在双曲线C：x22-y2=1上，直线l交C于P,Q两点，直线AP,AQ的斜率之和为0.（1）求l的斜率；（2）若tan∠PAQ=22，求ΔPAQ的面积.图1题陈荣海38考点透视解：（1）设直线AP 的倾斜角为α，则直线AP 的参数方程为{x =2+t cos α,y =1+t sin α,（t 为参数）将其代入双曲线的方程中，化简并整理得：(cos 2α-2sin 2α)t 2+4(cos α-sin α)t =0，解得t 1=0（舍去）或t 1=4(cos α-sin α)cos 2α-2sin 2α.由于直线AP ,AQ 的斜率之和为0，所以直线AP ,AQ 的倾斜角互补，故直线AQ 的参数方程为：{x =2+t cos(π-α)=2-t cos α,y =1+t sin(π-α)=1+t sin α,（t 为参数）同理可得t 2=-4(cos α+sin α)cos 2α-2sin 2α.于是t 2-t 1=-4(cos α+sin α)cos 2α-2sin 2α-4(cos α-sin α)cos 2α-2sin 2α=-8cos αcos 2α-2sin 2α，t 2+t 1=-4(cos α+sin α)cos 2α-2sin 2α+4(cos α-sin α)cos 2α-2sin 2α=-8sin αcos 2α-2sin 2α.故y 2-y 1x 2-x 1=1+t 2sin α-(1+t 1sin α)2-t 2cos α-(2+t 1cos α)=(t 2-t 1)sin α-(t 2+t 1)cos α=-8cos αcos 2α-2sin 2α×sin α--8sin αcos 2α-2sin 2α×cos α=-1.所以直线l 的斜率为-1.（2）设α为锐角，由于直线AP ,AQ 的斜率之和为0，故直线AP ,AQ 的倾斜角互补，所以2α+∠PAQ =π，即∠PAQ =π-2α.由tan ∠PAQ =tan(π-2α)=-tan 2α=-2tan α1-tan 2α=22，解得tan α=2.由ìíîïïtan α=sin αcos α=2,sin 2α+cos 2α=1,得sin α=α=，所以t 1=4(cos α-sin α)cos 2α-2sin 2α=，t 2=-4(cos α+sin α)cos 2α-2sin 2α=.又==2sin αcos α=22313=.所以ΔPAQ 的面积S =12|t 1t 2|sin ∠PAQ=12×.我们先根据题意设出直线AP 、AQ 的参数方程；然后将其代入双曲线的方程中，构造出关于t 的一元二次方程，即可将AP 、AQ 对应的参数t 1、t 2看作方程的两个根，根据韦达定理建立关于两根t 1、t 2的关系式；再根据t 1、t 2的关系，利用直线的斜率公式、三角形的面积公式进行求解即可.运用直线的方程来解答圆锥曲线问题，能有效地减少运算量，降低解题的难度.例2.已知A (0,1)为椭圆E :x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)上的一个定点，其焦距为23.（1）求椭圆E 的方程；（2）如图2，过点P (-2,1)作斜率为k 的直线，与椭圆E 交于不同的两点B ,C ，直线AB ,AC 分别与x 轴交于点M ,N .若|MN |=2，求k 的值.图2解：（1）椭圆E 的方程为x 44+y 2=1；（过程略）（2）设α为直线BC 的倾斜角，则直线BC 的参数方程为{x =-2+t cos α,y =1+t sin α,（t 为参数）将其代入椭圆E 的方程，化简并整理得：(4sin 2α+cos 2α)t 2+(8sin α-4cos α)t +4=0.可得t 1+t 2=4cos α-8sin α4sin 2α+cos 2α，t 1t 2=44sin 2α+cos 2α.设B (x 1,y 1),C (x 2,y 2)，则直线AB 的斜率为k AB =y 1-1x 1，AB 的直线方程为y =y 1-1x 1x +1，令y =0，可得点M 的横坐标x M =x 11-y 1=-2+t 1cos α1-(1+t 1sin α)=-2+t 1cos αt 1sin α.同理可得，点N 的横坐标x N =x 21-y 2=-2+t 2cos αt 2sin α.39考点透视于是|MN |=||||||x 11-y 1-x 21-y 2=||||||-2+t 1cos αt 1sin α--2+t 2cos αt 2sin α=||||||2(t 2-t 1)t 1t 2sin α=||12，因为(t 2+t 1)2-4t 1t 2=(4cos α-8sin α4sin 2α+cos 2α)2-4×44sin 2α+cos 2α=-64sin αcos α(4sin 2α+cos 2α)2，所以||MN =||||||4sin α4sin 2α+cos 2α=||=2.化简得-4sin αcos α=sin 2α，且sin α≠0，故tan α=-4.所以k 的值为-4.先设出直线BC 的参数方程，将其与椭圆的方程联立；然后构造出一元二次方程，并将AP 、AQ 所对应的参数t 1、t 2看作方程的两个根，即可根据韦达定理建立关于t 1、t 2的关系式；再用t 1、t 2表示出||MN ，便能将问题转化，快速获得问题的答案.例3.如图3，已知椭圆E 的中心为坐标原点，对称轴为x 轴、y 轴，且过A (0,-2)，B (32,-1)两点.（1）求E 的方程；（2）设过点P (1,-2)的直线交E 于M ，N 两点，过M 且平行于x 的直线与线段AB 交于点T ，点H 满足MT =TH ，证明：直线HN 过定点.图3解：（1）椭圆E 的方程x 23+y24=1；（过程略）（2）设α为直线PN 的倾斜角，则直线PN 的参数方程为{x =1+t cos α,y =-2+t sin α,（t 为参数）将其代入椭圆E 的方程，化简并整理得：(3sin 2α+4cos 2α)t 2-(12sin α-8cos α)t +4=0.可得t 1+t 2=12sin α-8cos α3sin 2α+4cos 2α，t 1t 2=43sin 2α+4cos 2α.设M (1+t 1cos α,-2+t 1sin α)，N (1+t 2cos α,-2+t 2sin α).由A (0,-2)，B (32,-1)可得直线AB 的方程为y =23x -2，由于MH 平行于x 轴，故点T 的横坐标为32t 1sin α.于是 MH =2 MT =(3t 1sin α-2-2t 1cos α,0)， PM =(t 1cos α,t 1sin α)，PN =(t 2cos α,t 2sin α)，则 PH = PM +MH =(3t 1sin α-2-t 1cos α,t 1sin α)，又 PA =(-1,0)，设 PH =λ PA +μ PN ，则PH =λ(-1,0)+μ(t 2cos α,t 2sin α)=(-λ+μt 2cos α,μt 2sin α)，得{3t 1sin α-2-t 1cos α=-λ+μt 2cos α，t 1sin α=μt 2sin α，即{λ=2t 1cos α+2-3t 1sin α，t 1=μt 2.所以λ+μ=2t 1cos α+2-3t 1sin α+t 1t 2=(2cos α-3sin α)t 1t 2+(t 2+t 1)+t 2t 2=(2cos α-3sin α)×43sin 2α+4cos 2α+12sin α-8cos α3sin 2α+4cos 2α+t 2t 2=1，故N ,H ,A 三点共线，所以直线HN 过定点A .我们利用直线的参数方程，根据韦达定理得到t 1、t 2的关系，即可将M 、N 、T 三点的坐标用t 1、t 2以及三角函数表示出来.再根据向量的共线定理判定N 、H 、A 三点共线，就能确定点A 与直线HN 的位置关系.一般来说，对于一些动直线过定点问题、直线与圆锥曲线的位置关系问题、与直线有关的图形面积问题、圆锥曲线中的距离问题，巧用直线的参数方程来求解，不仅能大大地减少运算量，还能化繁为简，达到事半功倍的效果.（作者单位：福建省安溪第一中学）40。
二轮复习Ⅴ3大题考法——直线与圆锥曲线的简单应用及最值范围问题课件(33张)
方法例解 [典例] (2021·全国甲卷)抛物线C的顶点为坐标原点O，焦点在x 轴上，直
线l：x＝1交C于P，Q两点，且OP⊥OQ.已知点M(2,0)，且⊙M与l相切． (1)求C，⊙M的方程； (2)设A1，A2，A3是C上的三个点，直线A1A2，A1A3均与⊙M相切．判断直
2．已知椭圆E：xa22＋by22＝1(a>b>0)的四个顶点中的三个是边长为2 3的等边三角 形的三个顶点．
(1)求椭圆E的方程；
(2)设直线y＝kx＋m与圆O：x2＋y2＝
2b2 3
相切且交椭圆E于M，N两点，求
|MN|的最大值．
解：(1)由题意得，椭圆上、下两顶点与左、右顶点中的一个是边长为2 3 的
所以当―M→Q ＝3―N→Q ，即y1＝3y2时，结合③得a2＝2＞43，所以椭圆C的方程为x22＋y2＝1； 当―M→Q ＝－3―N→Q ，即y1＝－3y2时，结合③得a2＝12＞43，所以椭圆C的方程为1x22＋y62＝1. 综上，椭圆C的方程为x22＋y2＝1或1x22 ＋y62＝1.
题型(二) 圆锥曲线中的最值问题
－4(5k2＋4)×25＝400(k2－1)＞0，
故k＞1或k＜－1.
由根与系数的关系， 得x1＋x2＝－5－k23＋0k4＝5k320＋k 4，x1x2＝5k22＋5 4， 进而可得y1＋y2＝k(x1＋x2)－6＝－5k22＋4 4， y1y2＝(kx1－3)(kx2－3)＝k2x1x2－3k(x1＋x2)＋9＝356k－2＋204k2. 直线AB的方程为y＋2＝y1x＋1 2x，令y＝－3， 则x＝－y1x＋1 2，故点M－y1x＋1 2，－3.
直线与圆锥曲线的位置关系
直线与圆锥曲线的位置关系1．直线与圆锥曲线的位置关系(1)从几何角度看，可分为三类：无公共点，仅有一个公共点及有两个相异的公共点，具体如下：①直线与圆锥曲线的相离关系，常通过求二次曲线上的点到已知直线的距离的最大值或最小值来解决．②直线与圆锥曲线仅有一个公共点，对于圆或椭圆，表示直线与其相切；对于双曲线，表示与其相切或与双曲线的渐近线平行；对于抛物线，表示直线与其相切或直线与其对称轴平行．③直线与圆锥曲线有两个相异的公共点，表示直线与圆锥曲线相割，此时直线被圆锥曲线截得的线段称为圆锥曲线的弦．(2)从代数角度看，可通过将表示直线的方程，代入二次曲线的方程消元后所得的一元二次方程的解的情况来判断．直线l 方程为Ax ＋By ＋C ＝0，圆锥曲线方程为f (x ，y )＝0.由⎩⎪⎨⎪⎧Ax ＋By ＋C ＝0，f (x ，y )＝0消元(x 或y )， 如消去y 后得ax 2＋bx ＋c ＝0.若f (x ，y )＝0表示椭圆，上述方程中a ≠0，若f (x, y )＝0表示双曲线或抛物线， 上述方程中a ＝0或a ≠0.①若a ＝0，当圆锥曲线是双曲线时，直线l 与双曲线的渐近线平行(或重合)；当圆锥曲线是抛物线时，直线l 与抛物线的对称轴平行(或重合)．②若a ≠0，设Δ＝b 2－4ac .a ．Δ>0时，直线和圆锥曲线相交于不同两点；b ．Δ＝0时，直线和圆锥曲线相切于一点；c ．Δ<0时，直线和圆锥曲线没有公共点．直线与圆锥曲线的位置关系重点是相交：相交――→转化联立方程组有两组不等的实数解――→转化一元二次方程有两个不等实数解――→转化判别式大于零．2．弦长的求法求弦长――→转化求两点间的距离――→综合运用⎩⎪⎨⎪⎧消元，解方程组，一元二次方程根与系数的关系.(1)弦长：(直线与圆锥曲线相交于A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2))，直线斜率为k ，一般地，弦长公式|AB |＝1＋k 2|x 1－x 2|＝(1＋k 2)[(x 1＋x 2)2－4x 1x 2]＝1＋1k2|y 1－y 2|＝⎝⎛⎭⎫1＋1k 2[(y 1＋y 2)2－4y 1y 2]. (2)若弦过焦点：可用焦半径公式来表示弦长，简化运算． 如x 2a 2＋y2b 2＝1(a >b >0)， |AB |＝2a －e(x 1＋x 2) (过右焦点)， |AB |＝2a ＋e(x 1＋x 2) (过左焦点)．如抛物线y 2＝2px (p >0)， |AB |＝x 1＋x 2＋p .3．中点弦问题设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)是椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1上不同的两点，且x 1≠x 2，x 1＋x 2≠0，M (x 0，y 0)为AB 的中点，则⎩⎨⎧x 21a 2＋y 21b21，x 22a 2＋y22b 21.两式相减可得y 1－y 2x 1－x 2·y 1＋y 2x 1＋x 2＝－b 2a 2，即k AB ·y 0x 0＝－b 2a2．类似地，可得圆锥曲线为双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1时，有k AB ·y 0x 0＝b 2a2．圆锥曲线为抛物线y 2＝2px (p >0)时，有k AB ＝py 0．探究点1 直线与圆锥曲线的交点问题例1 已知双曲线C ：2x 2－y 2＝2与点P (1, 2)，求过点P 的直线l 的斜率的取值范围，使l 与C 分别有一个公共点，两个公共点，没有公共点．例1 [解答] (1)当l 垂直x 轴时，此时直线与双曲线相切，有一个公共点．(2)当l 不与x 轴垂直时，设直线l 的方程为y －2＝k(x －1)代入双曲线C 的方程中，整理得(2－k 2)x 2＋2(k 2－2k)x －k 2＋4k －6＝0, (*) 当k 2＝2，即k ＝±2时， (*)为一次方程，显然只有一解； 当k 2≠2时，Δ＝4(k 2－2k)2－4(2－k 2)(－k 2＋4k －6)＝48－32k.令Δ＝0，可解得k ＝32；令Δ＞0，即48－32k ＞0，此时k ＜32；令Δ＜0，即48－32k ＜0，此时k ＞32.∴当k ＝±2或k ＝32或k 不存在时，l 与C 只有一个公共点；当k ＜－2或－2＜k ＜2或2＜k ＜32时，l 与C 有两个公共点；当k ＞32时，l 与C 没有公共点．[点评] (1)为了设出直线方程，先讨论斜率是否存在．当斜率存在时，设出方程并与双曲线方程组成方程组，消去y 得到关于x 的方程．当二次项系数为零时，直线与渐近线平行与双曲线只有一个交点；当二次项系数不为零时，若Δ＝0，则有一个切点；若Δ>0，则有两个交点；Δ<0，则没有交点．(2)有关直线和圆锥曲线的范围问题，常常使用Δ来体现范围．探究点2 中点弦问题例2 椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的一个顶点为A (0,2)，离心率e ＝63.(1)求椭圆的方程；(2)直线l ：y ＝kx －2(k ≠0)与椭圆相交于不同的两点M 、N ，且满足MP →＝PN →，AP →·MN →＝0，求直线l 的方程．[解答] (1)设c ＝a 2－b 2，依题意得⎩⎪⎨⎪⎧b ＝2，e ＝c a ＝a 2－b 2a ＝63，即⎩⎪⎨⎪⎧b ＝2，6a 2＝9a 2－9b 2，∴a 2＝3b 2＝12，即椭圆方程为x 212＋y 24＝1.(2)∵MP →＝PN →，AP →·MN →＝0，∴AP ⊥MN ，且点P 是线段MN 的中点， 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx －2，x 212＋y 241，消去y ，得x 2＋3(kx －2)2＝12， 即(1＋3k 2)x 2－12kx ＝0，(*)，由k ≠0，得方程(*)中Δ＝(－12k)2＝144k 2>0，显然方程(*)有两个不相等的实数根．设M(x 1，y 1)、N(x 2，y 2)，线段MN 的中点P(x 0，y 0)，则x 1＋x 2＝12k 1＋3k 2∴x 0＝x 1＋x 22＝6k1＋3k 2， ∴y 0＝kx 0－2＝6k 2－2(1＋3k 2)1＋3k 2＝－21＋3k 2即P ⎝⎛⎫6k 1＋3k 2，－21＋3k 2.∵k ≠0，∴直线AP 的斜率为k 1＝－21＋3k 2－26k1＋3k2＝－2－2(1＋3k 2)6k.由MN →⊥AP →，得－2－2(1＋3k 2)6k ·k ＝－1，∴2＋2＋6k 2＝6，解得k ＝±33，故直线方程为y ＝±33x －2.探究点3 相交弦长与面积问题例3 已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为63，焦点到相应准线的距离为22.(1)求椭圆C 的方程；(2)设直线l 与椭圆C 交于A 、B 两点，坐标原点到直线l 的距离为32，求△AOB 面积的最大值．例3 [解答] (1)∵e ＝c a ＝63，a 2c －c ＝22，解得a ＝3，c ＝2，∴b 2＝3－2＝1， 椭圆C 的方程为x 23＋y 2＝1.(2)当AB ⊥x 轴时，⎝⎛⎭⎫3223＋y 2＝1，得y 2＝34，AB ＝ 3. 当AB 不垂直x 轴时，设直线l 的方程为y ＝kx ＋m ，则|m|1＋k2＝32，得m 2＝34k 2＋34. 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋m ，x 23＋y 2＝1，得(3k 2＋1)x 2＋6kmx ＋3m 2－3＝0，∴x 1＋x 2＝－6km 3k 2＋1，x 1x 2＝3(m 2－1)3k 2＋1， |AB|＝1＋k 2·(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝1＋k 2·36k 2m 2(3k 2＋1)2－12(m 2－1)3k 2＋1＝12(k 2＋1)(3k 2＋1－m 2)(3k 2＋1)2＝3(k 2＋1)(9k 2＋1)(3k 2＋1)2＝3＋12k29k 4＋6k 2＋1 ＝3＋129k 2＋1k2＋6≤3＋122×3＋6＝2(k ≠0)，当且仅当9k 2＝1k 2，即k ＝±33时，|AB|max ＝2，当k ＝0时，AB ＝3，综上所述|AB|max ＝2.∴当|AB|最大时，△AOB 面积最大值S ＝12×32×2＝32.变式题：从椭圆x 2a 2＋y2b 2＝1(a >b >0)上一点M 向x 轴作垂线，恰好通过椭圆的左焦点F 1，且它的长轴端点A 及短轴端点B 的连线AB 平行于OM .(1)求椭圆的离心率；(2)当QF 2⊥AB 时，延长QF 2与椭圆交于另一点P ，若△F 1PQ 的面积为203(Q是椭圆上的点)，求此时椭圆的方程． [解答] (1)如图，由题意知x M ＝－c ， 故y M ＝b 2a .又△F 1OM ∽△OAB ，c a ＝b 2a b ⇒b ＝c ⇒e ＝22. (2)设椭圆方程为x 2a 2＋y2b 2＝1(a>b>0)，由(1)知a 2＝2b 2，方程变为x 2＋2y 2＝2b 2.设直线PQ 方程为y －0＝2(x －b)，联立方程组，得5x 2－8bx ＋2b 2＝0， x 1＋x 2＝8b 5，x 1x 2＝2b 25.|PQ|＝|x 1－x 2|＝(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝26b5∵|y 2－y 1|＝|2(x 2－x 1)|＝2(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝43b5S △F 1PQ ＝12×||PQ ×||－22b 3＝203⇒b 2＝25，∴a 2＝50，∴椭圆方程为x 250＋y 225＝1.探究点4 弦的定比分点问题例4 已知椭圆x 25＋y 29＝1，焦点F (0,2)，又点A ，B 在椭圆上，而且AF →＝2FB →，求直线AB 的斜率．例4 [解答] AF →＝2FB →⇒A ，F ，B 三点共线． 设AB 方程为y ＝kx ＋2，与椭圆方程联立，得 (9＋5k 2)x 2＋20kx －25＝0， x 1＋x 2＝－20k 9＋5k 2，x 1x 2＝－259＋5k2.又AF →＝2FB →⇒⎩⎪⎨⎪⎧x1＝－2x 2，2－y 1＝2y 2－4，所以－x 2＝－20k 9＋5k 2，－2x 22＝－259＋5k 2，消去x 2，解得k ＝±33. 探究点5 综合应用问题例5 已知双曲线C ：x 21－λ－y 2λ＝1(0＜λ＜1)的右焦点为B ，过点B 作直线交双曲线C的右支于M 、N 两点，试确定λ的范围，使OM →·ON →＝0，其中点O 为坐标原点． [解答] 设M(x 1，y 1)，N(x 2，y 2)，由已知易求B(1,0)． 当MN 垂直于x 轴时，MN 的方程为x ＝1.设M(1，y 0)，N(1，－y 0)(y 0＞0)，由OM →·ON →＝0，得y 0＝1，∴M(1,1)，N(1，－1)． 又M(1,1)，N(1，－1)在双曲线上， ∴11－λ－1λ＝1⇒λ2＋λ－1＝0⇒λ＝－1±52. ∵0＜λ＜1，∴λ＝5－12. 当MN 不垂直于x 轴时，设MN 的方程为y ＝k(x －1)．由⎩⎪⎨⎪⎧x 21－λ－y 2λ＝1，y ＝k (x －1)，得：[λ－(1－λ)k 2]x 2＋2(1－λ)k 2x －(1－λ)(k 2＋λ)＝0. 由题意知λ－(1－λ)k 2≠0，∴x 1＋x 2＝－2k 2(1－λ)λ－(1－λ)k 2，x 1x 2＝－(1－λ)(k 2＋λ)λ－(1－λ)k 2，∴y 1y 2＝k 2(x 1－1)(x 2－1)＝k 2λ2λ－(1－λ)k 2，∵OM →·ON →＝0，且M 、N 在双曲线右支上， ∴⎩⎪⎨⎪⎧x 1x 2＋y 1y 2＝0，x 1＋x 2＞0，x 1x 2＞0⇒⎩⎨⎧k 2＝λ(1－λ)λ2＋λ－1，k 2＞λ1－λ⇒⎩⎪⎨⎪⎧λ(1－λ)λ2＋λ－1＞λ1－λ，λ2＋λ－1＞0⇒5－12＜λ＜23.综上知5－12≤λ＜23. 变式题：已知点P 1(x 0，y 0)为双曲线x 28b 2－y 2b 21(b 为正常数)上任一点，F 2为双曲线的右焦点，过P 1作右准线的垂线，垂足为A ，连结F 2A 并延长交y 轴于点P 2.(1)求线段P 1P 2的中点P 的轨迹E 的方程；(2)设轨迹E 与x 轴交于B 、D 两点，在E 上任取一点Q (x 1，y 1)(y 1≠0)，直线QB 、QD 分别交y 轴于M 、N 两点．求证：以MN 为直径的圆过两定点．[解答] (1)由已知得F 2(3b,0)，A ⎝⎛⎭⎫83b ，y 0，则直线F 2A 的方程为y ＝－3y0b (x －3b)，令x＝0，得y ＝9y 0，即P 2(0,9y 0)．于是直线QB 的方程为：y ＝y 1x 1＋2b(x ＋2b)，直线QD 的方程为y ＝y 1x 1－2b(x －2b)，可得M ⎝⎛⎭⎪⎫0，2by 1x 1＋2b ，N ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－2by 1x 1－2b . 则以MN 为直径的圆的方程为： ⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y －2by 1x 1＋2b ⎝ ⎛⎭⎪⎫y ＋2by 1x 1－2b ＝0.令y ＝0得x 2＝2b 2y 21x 21－2b 2，而Q(x 1，y 1)在x 22b 2－y 225b 2＝1上，则x 21－2b 2＝225·y 21，于是x ＝±5b ， 即以MN 为直径的圆过两定点(－5b,0)，(5b,0)．规律总结本节问题的研究集中体现了解析几何的基本思想和方法，要求有较强的分析问题和解决问题的能力，有些问题涉及代数、三角、几何等多方面的知识，因此在复习中要注意各部分之间的联系和综合利用知识解决问题的能力．1．直线与圆锥曲线有无公共点或有几个公共点的问题，实际上是研究它们的方程组成的方程组是否有实数解或实数解的个数问题，通过消元最终归结为讨论一个一元二次方程Ax 2＋Bx ＋C ＝0的实数解的个数问题．应特别注意要分A ＝0和A ≠0的两种情况讨论，只有A ≠0时，才可用判别式来确定解的个数. 当直线平行于抛物线的对称轴时，直线与抛物线只有一个公共点．这些情况在解题中往往容易疏忽，要特别注意，对于选择、填空题，用数形结合往往快速简捷．2．斜率为k 的直线被圆锥曲线截得弦AB ，若A 、B 两点的坐标分别为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则|AB |＝|x 1－x 2|·1＋k 2＝|y 1－y 2|·1＋1k 2(k ≠0)，利用这个公式求弦长时，应注意应用韦达定理．3．与焦点弦长有关的问题，要注意应用圆锥曲线的定义．4．在给定的圆锥曲线f (x ，y )＝0中，求中点为(m ，n )的弦AB 所在直线方程时，一般可设A (x 1，y 1)、B (x 2，y 2)，利用A 、B 在曲线上，得f (x 1，y 1)＝0，f (x 2，y 2)＝0及x 1＋x 2＝2m ，y 1＋y 2＝2n ，故可求出斜率k AB ＝y 1－y 2x 1－x 2，最后由点斜式写出直线AB 的方程．5．求圆锥曲线的方程时，通常利用待定系数法．。
直线和圆锥曲线的位置关系
直线和圆锥曲线的位置关系知识点一：直线与圆锥曲线的位置关系直线与圆锥曲线的位置关系有三种：相交、相切、相离.判断的方法均是把直线方程代入曲线方程中，判断方程解的个数，从而得到直线与曲线公共点的个数，最终得到直线与曲线的位置关系.一般利用二次方程判别式来判断有无解，有几个解.1．直线0=++C By Ax 椭圆)0(12222>>=+b a by a x 的位置关系： 将直线的方程与椭圆的方程联立成方程组，消元转化为关于x 或y 一元二次方程，其判别式为∆.(1)⇔>∆0直线和椭圆相交⇔直线和椭圆有两个交点(或两个公共点）；(2)⇔=∆0直线和椭圆相切⇔直线和椭圆有一个切点(或一个公共点)；(3)⇔<∆0直线和椭圆相离⇔直线和椭圆无公共点．2．直线0=++C By Ax 和双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 的位置关系： 将直线的方程与双曲线的方程联立成方程组，消元转化为关于x 或y 的方程.（一）若为一元一次方程，则直线和双曲线的渐近线平行，直线和双曲线只有一个交点，但不相切不是切点；（二）若为一元二次方程，则(1)若0>∆，则直线和双曲线相交，有两个交点(或两个公共点)；(2)若0=∆，则直线和双曲线相切，有一个切点；(3)若0<∆，则直线和双曲线相离，无公共点．注意：（1）⇒>∆0直线与双曲线相交，但直线与双曲线相交不一定有0>∆，当直线与双曲线的渐近线平行时，直线与双曲线相交且只有一个交点，故0>∆是直线与双曲线相交的充分条件，但不是必要条件；（2）当直线与双曲线的渐近线不平行时，⇔=∆0直线与双曲线相切；（3）如说直线和双曲线有一个公共点，则要考虑两种情况：一个切点和一个交点；当直线与双曲线的渐近线平行时，直线与双曲线相交，但只有一个交点；（4）过双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 外一点),(00y x P 的直线与双曲线只有一个公共点的情况如下：①P 点在两条渐近线之间且不含双曲线的区域内时，有两条与渐近线平行的直线和分别与双曲线两支相切的两条切线，共四条；②P 点在两条渐近线之间且包含双曲线的区域内时，有两条与渐近线平行的直线和只与双曲线一支相切的两条切线，共四条；③P 在两条渐近线上但非原点，只有两条：一条是与另一渐近线平行的直线，一条是切线；④P 为原点时不存在这样的直线；3．直线0=++C By Ax 和抛物线)0(22>=p px y 的位置关系：将直线的方程与抛物线的方程联立成方程组，消元转化为关于x 或y 方程.（一）若方程为一元一次方程，则直线和抛物线的对称轴平行，直线和抛物线有一个交点，但不相切不是切点；（二）若为一元二次方程，则(1)若0>∆，则直线和抛物线相交，有两个交点(或两个公共点)；(2)若0=∆，则直线和抛物线相切，有一个切点；(3)若0<∆，则直线和抛物线相离，无公共点.注意：（1）⇒>∆0直线与抛物线相交，但直线与抛物线相交不一定有0>∆，当直线与抛物线的对称轴重合或平行时，直线与抛物线相交且只有一个交点，故0>∆也仅是直线与抛物线相交的充分条件，但不是必要条件.（2）当直线与抛物线的对称轴不重合或平行时，⇔=∆0直线与抛物线相切；（3）如说直线和抛物线有一个公共点，则要考虑两种情况：一个切点和一个交点；当直线与抛物线的轴平行时，直线与抛物线相交，也只有一个交点；（4）过抛物线外一点总有三条直线和抛物线有且只有一个公共点：两条切线和一条平行于对称轴的直线.知识点二：圆锥曲线的弦1.直线被圆锥曲线截得的线段称为圆锥曲线的弦.当直线的斜率k 存在时，直线b kx y +=与圆锥曲线相交于),(),,(2211y x B y x A ，两点，把直线方程代入曲线方程中，消元后所得一元二次方程为02=++c bx ax .则弦长公式：2121x x k AB -+=其中aa c ab x x x x x x ∆=--=-+=-4)(4)(22122121 当k 存在且不为零时, 弦长公式还可以写成：21211y y k AB -+=. 注意：当直线的斜率不存在时，不能用弦长公式解决问题，21y y AB -=.2.焦点弦：若弦过圆锥曲线的焦点叫焦点弦；抛物线)0(22>=p px y 的焦点弦公式α221sin 2p p x x AB =++=，其中α为过焦点的直线的倾斜角.3.通径：若焦点弦垂直于焦点所在的圆锥曲线的对称轴，此时焦点弦也叫通径.椭圆和双曲线的通径为ab AB 22=，抛物线的通径p AB 2=. 知识点三：圆锥曲线的中点弦问题：遇到中点弦问题常用“韦达定理”或“点差法”求解. ①在椭圆12222=+b y a x 中，以),(00y x P 为中点的弦所在直线的斜率0202y a x b k -=；②在双曲线12222=-b y a x 中，以),(00y x P 为中点的弦所在直线的斜率0202y a x b k =； ③在抛物线)0(22>=p px y 中，以),(00y x P 为中点的弦所在直线的斜率0y p k =. 注意：因为0>∆是直线与圆锥曲线相交于两点的必要条件，故在求解有关弦长、对称问题时，务必别忘了检验0>∆！知识点四：求曲线的方程1. 定义：在直角坐标系中，用坐标表示点，把曲线看成满足某种条件的点的集合或轨迹，用曲线上点的坐标),(y x 所满足的方程0),(=y x f 表示曲线，通过研究方程的性质间接地来研究曲线的性质.这就是坐标法.2. 坐标法求曲线方程的步骤：第一步：建立适当的平面直角坐标系，用坐标和方程表示问题中涉及的几何因素，将平面几何问题转化为代数问题；第二步：通过代数运算，解决代数问题；第三步：把代数运算结果“翻译”成几何结论.通过坐标法，把点和坐标、曲线和方程联系起来，实现了形和数的统一.用坐标法解决几何问题时，先用坐标和方程表示相应的几何对象，然后对坐标和方程进行代数讨论；最后再把代数运算结果“翻译”成相应的几何结论.这就是用坐标法解决平面几何问题的“三步曲”. 3．求轨迹方程的常用方法：直接法、定义法、代入法、参数法等.规律方法指导1．直线与圆锥曲线的位置关系的研究方法可通过代数方法即解方程组的办法来研究.因为直线与圆锥曲线有无公共点或有几个公共点的问题，实际上是研究它们的方程组成的方程是否有实数解或实数解的个数问题，此时要注意用好分类讨论和数形结合的思想方法.2．直线与圆锥曲线的位置关系，是高考考查的重中之重.主要涉及弦长、弦中点、对称、参量的取值范围、求曲线方程等问题.解题中要充分重视韦达定理和判别式的应用.3．当直线与圆锥曲线相交时涉及弦长问题，常用“韦达定理法”设而不求计算弦长（即应用弦长公式）；涉及弦长的中点问题，常用“点差法”设而不求，将弦所在直线的斜率、弦的中点坐标联系起来相互转化，同时还应充分挖掘题目的隐含条件，寻找量与量间的关系灵活转化，往往就能事半功倍.解题的主要规律可以概括为“联立方程求交点，韦达定理求弦长，根的分布找范围，曲线定义不能忘”.4．解决直线与圆锥曲线的位置关系问题时，对消元后的一元二次方程，必须讨论二次项的系数和判别式，有时借助于图形的几何性质更为方便.。
直线和圆锥曲线的参数方程
3 3 4 倾斜角为 α，则 tan α＝4，sin α＝5，cos α＝5.又点 P(1，1)在直线 4 x＝1＋5t， l 上，所以直线 l 的参数方程为 (t 为参数). 3 y＝1＋ t 5 因为 3×5－4×4＋1＝0，所以点 M 在直线 l 上. 4 由 1＋5t＝5，得 t＝5，即点 P 到点 M 的距离为 5. 因为点 N 不在直线 l 上，故根据两点之间的距离公式，可得|PN| ＝ （1＋2）2＋（1－6）2＝ 34.
QM → 动点 M 分有向线段QP的数量比 MP
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2.圆的参数方程 (1)圆心在原点、 半径为 r 为参数).
x＝rcos α， y＝rsin α 的圆的参数方程_____________( α
OP与x轴正方向的夹角 参数 α 的几何意义是_________________________.
x＝t， 得到参数方程 y＝2t＋1
t (t 为参数)；如果令 x＝2，可得到
t x＝ ， 参数方程 2 (t 为参数) y＝t＋1
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这样的参数方程中的 t 不具有一定的几何意义，但是在 实际应用中有时能够简化某些运算.例如，动点 M 做匀 速直线运动，它在 x 轴和 y 轴方向的分速度分别为 9 和 12，点 M 从 A 点(1，1)开始运动，求点 M 的轨迹的参数 方程.点 M (t 为参数).
【思维导图】
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【知能要点】
1.直线的参数方程.
2.直线的参数方程的应用.
3.圆的参数方程及应用.
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直线与圆锥曲线的位置关系直线与圆锥曲线相交的弦长公式
直线与圆锥曲线的位置关系(1)从几何角度看：要特别注意当直线与双曲线的渐进线平行时，直线与双曲线只有一个交点；当直线与抛物线的对称轴平行或重合时，直线与抛物线也只有一个交点。
(2)从代数角度看：设直线L的方程与圆锥曲线的方程联立得到ax°+bx+c=0.①.若a=0，当圆锥曲线是双曲线时，直线L与双曲线的渐进线平行或重合；当圆锥曲线是抛物线时，直线L与抛物线的对称轴平行或重合。
1、圆锥曲线的范围问题有两种常用方法：（1）寻找合理的不等式，常见有△＞0和弦的中点在曲线内部；（2）所求量可表示为另一变量的函数，求函数的值域。
2、圆锥曲线的最值、定值及过定点等难点问题。
直线与圆锥曲线的位置关系：(1)从几何角度来看，直线和圆锥曲线有三种位置关系：相离、相切和相交，相离是直线和圆锥曲线没有公共点，相切是直线和圆锥曲线有唯一公共点，相交是直线与圆锥曲线有两个不同的公共点，并特别注意直线与双曲线、抛物线有唯一公共点时，并不一定是相切，如直线与双曲线的渐近线平行时，与双曲线有唯一公共点，但这时直线与双曲线相交；直线平行（重合）于抛物线的对称轴时，与抛物线有唯一公共点，但这时直线与抛物线相交，故直线与双曲线、抛物线有唯一公共点时可能是相切，也可能是相交，直线与这两种曲线相交，可能有两个交点，也可能有一个交点，从而不要以公共点的个数来判断直线与曲线的位置关系，但由位置关系可以确定公共点的个数．(2)从代数角度来看，可以根据直线方程和圆锥曲线方程组成的方程组解的个数确定位置关系．设直线l的方程与圆锥曲线方程联立得到ax2+bx+c=0．①若a=0，当圆锥曲线是双曲线时，直线l与双曲线的渐近线平行或重合；当圆锥曲线是抛物线时，直线l与抛物线的对称轴平行或重合．②若当Δ>0时，直线和圆锥曲线相交于不同两点，相交．当Δ=0时，直线和圆锥曲线相切于一点，相切．当Δ<0时，直线和圆锥曲线没有公共点，相离．直线与圆锥曲线相交的弦长公式：若直线l与圆锥曲线F(x，y)=0相交于A，B两点，求弦AB的长可用下列两种方法：(1)求交点法：把直线的方程与圆锥曲线的方程联立，解得点A，B 的坐标，然后用两点间距离公式，便得到弦AB的长，一般来说，这种方法较为麻烦．(2)韦达定理法：不求交点坐标，可用韦达定理求解．若直线l的方程用y=kx+m或x=n表示．。
直线与圆锥曲线的位置关系
规律提示：通过直线的代数形式，可以看出直线的特点：:101l y kx =+⇒过定点（，）:(1)1l y k x =+⇒-过定点（，0）:2(1)1l y k x -=+⇒-过定点（，2）证明直线过定点，也是将满足条件的直线整理成以上三种形式之一，再得出结论。
练习：1、过点P(3,2) 和抛物线232--=x x y 只有一个公共点的直线有（ ）条。
A ．4B ．3C ．2D ．1分析：作出抛物线232--=x x y ，判断点P(3,2)相对抛物线的位置。
解：抛物线232--=x x y 如图，点P （3，2）在抛物线的内部，根据过抛物线内一点和抛物线的对称轴平行或重合的直线和抛物线只有一个交点，可知过点P(3,2) 和抛物线232--=x x y 只有一个公共点的直线有一条。
故选择D规律提示：含焦点的区域为圆锥曲线的内部。
（这里可以用公司的设备画图）一、过一定点P 和抛物线只有一个公共点的直线的条数情况：（1）若定点P 在抛物线外，则过点P 和抛物线只有一个公共点的直线有3条：两条切线，一条和对称轴平行或重合的直线；（2）若定点P 在抛物线上，则过点P 和抛物线只有一个公共点的直线有2条：一条切线，一条和对称轴平行或重合的直线；（3）若定点P 在抛物线内，则过点P 和抛物线只有一个公共点的直线有1条：和抛物线的对称轴平行或重合的直线和抛物线只有一个交点。
二、过定点P 和双曲线只有一个公共点的直线的条数情况：（1）若定点P 在双曲线内，则过点P 和双曲线只有一个公共点的直线有2条：和双曲线的渐近线平行的直线和双曲线只有一个公共点；（2）若定点P 在双曲线上，则过点P 和双曲线只有一个公共点的直线有3条：一条切线，2条和渐近线平行的直线；（3）若定点P 在双曲线外且不在渐近线上，则过点P 和双曲线只有一个公共点的直线有4条：2条切线和2条和渐近线平行的直线；（4）若定点P 在双曲线外且在一条渐近线上，而不在另一条渐近线上，则过点P 和双曲线只有一个公共点的直线有2条：一条切线，一条和另一条渐近线平行的直线；（5）若定点P 在两条渐近线的交点上，即对称中心，过点P 和双曲线只有一个公共点的直线不存在。
4-20-2直线与圆锥曲线
y－0 y－0 解 (1)设 S(x，y)，则 kSA＝ ，k ＝ . x＋m SB x－m y2 1 x2 由题意得 2 ＝－ 2，即 2＋y2＝1(x≠± m)． m m x －m2 ∵m>1，∴轨迹 C 是中心在坐标原点，焦点在 x 轴上的 椭圆(除去 x 轴上的两顶点)，其中长轴长为 2m，短轴长 为 2. x2 2 (2)当 m＝ 2时，曲线 C 的方程为 ＋y ＝1(x≠± 2)． 2 2x－y＋t＝0， 2 由x 消去 y 得 9x2＋8tx＋2t2－2＝0. ＋y2＝1， 2
考题分析 本题主要考查了椭圆的标准方程、 直线与椭 圆的位置关系、点与圆的位置关系．体现了待定系数法 和运用解方程组研究有关参数问题的思想方法， 即方程 的思想方法． 易错提醒
误． (2)直线 l 与椭圆 C 相交， 在联立方程解方程组时， 考生 易忽略判别式大于 0. (3)无法实现将“O 在以线段 GH 为直径的圆内”转化 为代数式．缺乏转化的方向感． (1)利用待定系数法求方程时，出现计算错
主干知识梳理
1．直线与圆锥曲线的位置关系 (1)直线与椭圆的位置关系的判定方法： 将直线方程与椭圆方程联立，消去一个未知数，得 到一个一元二次方程．若 Δ>0，则直线与椭圆相交； 若 Δ＝0，则直线与椭圆相切；若 Δ<0，则直线与椭 圆相离． (2)直线与双曲线的位置关系的判定方法： 将直线方程与双曲线方程联立，消去 y(或 x)，得到 一个一元方程 ax2＋bx＋c＝0(或 ay2＋by＋c＝0)． ①若 a≠0，当 Δ>0 时，直线与双曲线相交；当 Δ＝0 时，直线与双曲线相切；当 Δ<0 时，直线与双曲线 相离．
直线与圆锥曲线
交于 A、B 两点，且 AOB 为直角（其中 O 为原点） ．若存在， 求直线 m 的方程；若不存在，说明理由．
解析：(1)由条件知 c＝ 3 ，又△MF2N 的周长为 8， ∴8＝|MF1|＋|MF2|＋|NF1|＋|NF2|＝4a.
x2 y2 1 ∴a＝2，b＝1.∴椭圆的方程为 4 .
1.直线与圆锥曲线的公共点问题
直线与椭圆的位置关系有哪几种？
怎么判断它们之间的位置关系？能用几何法吗？
不能！ 因为他们不像圆一样有统一的半径。
1.直线与圆锥曲线的公共点问题
问题 1：直线和圆锥曲线只有一个交点，是否可以说直线与圆 锥曲线相切？ 问题 2：直线与双曲线或抛物线有一个公共点是直线与双曲线 或抛物线相切的 条件.
∴x1x2＋y1y2＝0，x1x2＋(kx1＋2)(kx2＋2)＝0.
∴(1＋k2)x1x2＋2k(x1＋x2)＋4＝0，
12(k 2 1) 32k 2 2 40 2 即 4k 1 ，解得 k＝± 2，满足(*)式． 4k 1
∴满足条件的直线 m 存在，且直线 m 的方程为： 2x－y＋2＝0 或 2x＋y－2＝0.
2.5直线与圆锥曲线
曹武
自主测评：
1.B
2 2 4. 3
2.C
3.C
5. x 0或y 1或x 2 y 2 0
6.|AB|=5 7. x 2 y 8 0
回忆：直线与圆的位置关系有哪几种？
怎么判断它们之间的位置关系？
几何法： d>r
代数法：∆<0
d=r
d<r
∆=0
∆>0
∵直线 m 与椭圆交于 A、B 两点，∴Δ＞0，
即 4k －3＞0，∴
直线与圆锥曲线题型总结
直线与圆锥曲线题型总结1. 直线和圆锥曲线的基本知识首先，我们需要理解直线和圆锥曲线的基本知识。
* 直线：直线是由无限多个点组成的，其特点是任意两点可以确定一条直线。
* 圆锥曲线：圆锥曲线是由一个平面和一个圆锥共同产生的曲线。
常见的圆锥曲线有直线、抛物线、椭圆和双曲线。
2. 直线和圆锥曲线的交点问题直线和圆锥曲线的交点问题是常见的题型。
我们可以通过以下步骤来解决这类问题：* 确定直线和圆锥曲线的方程* 将直线和圆锥曲线的方程联立* 求解方程组，得到交点的坐标3. 直线和圆锥曲线的性质问题除了求解交点外，直线和圆锥曲线的性质问题也是需要掌握的。
常见的性质问题包括：* 判断直线和圆锥曲线是否相交* 判断直线是否切线或法线* 判断直线和圆锥曲线的交点个数4. 示例题目分析下面是几个直线和圆锥曲线题目的示例分析：示例题目1已知直线方程为 y = mx + b，圆锥曲线方程为 x^2 + y^2 = r^2，求直线和圆锥曲线的交点。
解析：将直线方程代入圆锥曲线方程，得到一个二次方程。
通过求解该二次方程，可以得到直线和圆锥曲线的交点坐标。
示例题目2已知直线方程为 y = kx + c，圆锥曲线方程为 (x - a)^2 + (y -b)^2 = r^2，判断直线和圆锥曲线的交点情况。
解析：将直线方程代入圆锥曲线方程，得到一个关于 x 的二次方程。
通过判别二次方程的根的情况，可以判断直线和圆锥曲线的交点情况。
5. 总结直线和圆锥曲线题型是数学中的重要内容，需要掌握其基本知识和解题方法。
通过理解直线和圆锥曲线的基本性质，我们可以解决交点问题和性质问题。
练更多的示例题目，将有助于提高解题能力和理解能力。
以上是直线与圆锥曲线题型总结的内容。
参考资料：。
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一、选择题（每小题5分，共50分）
1、
下列命题正确的是
（A）若直线的斜率存在，则必有倾斜角α与它对应
（B）若直线的倾斜角存在，则必有斜率与它对应
（C）直线的斜率为k，则这条直线的倾斜角为arctank
（D）直线的倾斜角为α，则这条直线的斜率为tanα
2、
过点M(－2, a), N(a, 4)的直线的斜率为－21，则a等于
（A）－8 （B）10 （C）2 （D）4
3、
过点A(2, b)和点B(3, －2)的直线的倾斜角为43，则b的值是
（A）－1 （B）1 （C）－5 （D）5
4、
若直线l的斜率为k=－ab(ab>0)，则直线l的倾斜角为
（A）arctanab （B）arctan(－ab)
（C）π－arctanab （D）π+arctanab
5、
过点(1,3)P且垂直于直线032yx 的直线方程为（ ）
A. 012yx B. 052yx
C. 052yx D. 072yx
6、
已知0,0abbc，则直线axbyc通过（ ）
A. 第一、二、三象限 B. 第一、二、四象限
C. 第一、三、四象限 D. 第二、三、四象限
7、
点P（-1，2）到直线8x-6y+15=0的距离为（ ）
A 2 B 21 C 1 D 27
8、
直线0202nyxmyx和的位置关系是
A平行 B垂直 C相交但不垂直 D不能确定
9、
将直线y=3x绕原点逆时针旋转90°,再向右平移1个单位,所得到的直线为
A.y=3131x B.y=131x
C.y=3x-3 D.y=131x
10、椭圆222222222222211()xyxyabkabakbk和的关系是
A．有相同的长.短轴B．有相同的离心率 C．有相同的准线 D．有相同的焦点
11.过点（10，33），且渐近线方程为y=±53x的双曲线方程为（ ）
（A）192522yx （B）－192522yx （C）1162522yx （D）－1162522yx
12.
将直线y=3x绕原点逆时针旋转90°,再向右平移1个单位,所得到的直线为
A.y=3131x B.y=131x
C.y=3x-3 D.y=131x
二、填空题（每小题5分，共20分）
13、点(1,1)P到直线10xy的距离是________________.
14、
过点Ｐ（１，２）且在x轴，y轴上截距相等的直线方程是 .
15、直线5x+12y+3=0与直线10x+24y+5=0的距离是 .
16、已知直线L的倾斜角为1312cos,aa，则此直线的斜率为 。
三、解答题（共70分）
17、
求经过直线0323:,0532:21yxlyxl的交点且平行于直线
032yx
的直线方程.
18.已知点M在椭圆221259xy上，M'P垂直于椭圆焦点所在的直线，垂直为'P，并且M
为线段P'P的中点，求P点的轨迹方程
19.直线x+m2y+6=0与直线（m-2）x+3my+2m=0没有公共点，求实数m的值
20、求经过两点A(2, －1)和B(a, －2)的直线l的倾斜角。
21、
过点(5,4)A作一直线l，使它与两坐标轴相交且与两轴所围成的三角形面
积为5.
22.求平行于直线3x+4y-12=0,且与它的距离是7的直线的方程;
23.
已知双曲线的方程是16x2－9y2＝144．
（1）求这双曲线的焦点坐标、离心率和渐近线方程；
（2）设F1和F2是双曲线的左、右焦点，点P在双曲线上，且|PF1|·|PF2|＝32，求∠F1PF
2
的大小．