第七章 电场

第七章 电场7-1回答下列问题：（1）在电场中某一点的场强定义为0q =FE ，若该点没有检验电荷，那么该点的场强如何？如果电荷在电场中某点受到的电场力很大，该点的场强是否一定很大？提示：电场强度是电场的基本性质，由电荷的分布决定，而与试验电荷无关。

因而若该点没有试验电荷，场强并不发生变化；若该点的电场力很大，场强不一定很大。

（2）根据点电荷的场强公式：304q r πε＝r E ，从形式上看，当所考察的场点和点电荷的距离0→r 时，则按上述公式E →∞，但这是没有意义的。

对这个问题如何解释。

提示：点电荷的场强公式304q r πε＝r E 是由库仑定律0304qq F rπε=r 推导而来，而库仑定律是经验公式，当0→r 时，点电荷的模型不成立，库仑定律不成立，此时点电荷的场强公式也不成立。

7-2—个带正电荷的质点。

在电场力作用下从A 点出发经C 点运动到B 点，其运动轨迹如图7-2所示。

巳知质点运动的速率是递减的，下面关于C 点场强方向的四个图示中正确的是( )。

①质点沿曲线运动时，加速度的 方向总是指向曲线凹的一边； ②依题意，质点的切向加速度a τ与线速度υ反向；③电场强度E 的方向即为质点在该点加速度a 的方向，将a 分解为切向加速度a τ与法向加速度n a 提示：D7-3 如7-3题图所示，闭合曲面S 内有—点电荷q ，P 为S 面上一点，在S 面外A 点有—点电荷`q ，若将`q 移至B 点，则（ ）(A)穿过S 面的电通量改变、P 点的电场强度不变； (B)穿过S 面的电通量不变，P 点的电场强度改变； (C)穿过S 面的电通量和P 点的电场强度都不变； (D)穿过S 面的电通量和P 点的电场强度都改变。

提示：B7-4 在真空中有A 、B 两块板，板面积为S ，分别带有电量q +、q -，相距为d ，若忽略边缘效应，则两板间的相互作用力为多少？解：A 板上的电荷q +在B 板q 产生的场中，0022q E Sσεε==。

因此，A 板上的电荷q 所受的电场力为：20022A qq F qE q s sεε===（D ）同理：202B q F sε=这是一对作用力与反作用力。

7-5 在一个等边三角形的三个顶角处各放置一个电荷，电荷的大小和性质都相同，如果以这三角形的中心为球心，作一个包围这三个电荷的球形高斯面，问：(1)能否利用高斯定理求出它们所产生的场强? (2)高斯定理是否仍然成立?提示：(1)不能，由带电体所产生的静电场中，若场中场强的分布具有对称性(轴对称、平面对称、球面对称)，则可应用高斯定理求场强．因为在对称性的电场中，可作高斯面，使场强E 在高斯面上等值。

(2)仍然成立。

7-6如果通过闭合面S 的电通量为零，能否肯定S 面的场强处处为零? 提示：不能，只能说明场强的能量为零，不能认为场强处处为零。

7-7在带电量Q(Q ＞0)的物体A 附近放置一个不带电的导体B ，试判断带电体A 的电位V A 、导体B 的电位V B 、无穷远处的电位V ∞的大小关系。

提示：如7－7题图所示， 导体B 的电位将升高。

原来B 不带电，电位为零，当A 移近时，在B 上靠近A 的一端感应出负电荷，此负电荷与A 上的正电荷相联系。

在B 上远离A 的一端感应出正电荷，此正电荷发出的电力线伸向无限远。

取0V ∞=，由于电力线总是从电位高处指向电位低处，可知此时B 的电位大于零，即电位升高了。

7-8导体空腔内有点电荷，空腔内任一点的电势与空腔电势相同吗? 为什么?提示：由高斯定理可分别求出空腔及内外的电场，再由电势的定义式a aV d ∞=⎰E l 可知，空腔内任一点的电势与空腔电势不相同。

7-9关于静电场中的电位移矢量线，下列说法中，正确的是( )。

A 、起自正电荷，止于负电荷，不形成闭合线，不中断； B 、任何两条电位移矢量线互相平行；C 、起自正自由电荷，止于负自由电荷，任何两条电位移矢量线在无自由电荷的空间不相交；D 、电位移矢量线只出现在有电介质的空间。

提示：C 。

电位移线起于正自由电荷，止于负自由电荷，通过介质时不中断。

7-10在边长为a 的正六角形的六个顶点都放有电荷，如7-10题图所示，则六角形中心O 处的电场强度为多少？解：如7-10题图所示，由题可知，C 点与F 点的点电荷，B 点与E 点的点电荷在O 点产生的电场相互抵消。

因此O 点的电场仅由A 点和D 点的点电荷产生。

根据点电荷在空间某点产生的电场公式204q E rπε=可得：222000442O A D q q q E E E aaaπεπεπε=+=+=方向沿X 轴正方向。

7－7题图7-11一半径为R 的半圆细环上均匀地分布电荷Q ，求环心处的电场强度。

解：如图7-11题图所示，在带电半圆环上任取一线元dl Rd θ=，其电荷为：Q dq dlRπ=，此电荷元可视为点电荷，它在0点产生的电场强度大小为：2014dq dE rπε=，方向沿径向。

因圆环上电荷对y 轴呈对称性分布，所以电场分布也是轴对称的。

则有：0x x E dE ==⎰；222001sin 42y y Q Q E dE Rd R R R πθθπεππε===⎰⎰电场强度的方向沿y 轴负向。

7-12设均匀电场的电场强度E 与半径为R 的半球面的轴平行，试计算通过此半球面S 1的电通量；若以半球面的边线为边线，另作一个任意形状的曲面S 2，则通过S 2面的电通量又是多少?解：由1s 和以R 为半径的大圆面0s 组成一个封闭曲面s ，由高斯定理知：10Sd qε⋅==∑⎰内E S而10ss s d d d =+=⎰⎰⎰ E s E s E s ，所以：112s eS s E d d S E R π=-Φ===⎰⎰ E s E s同理，212eS eS E R πΦ=Φ=7-13如7-13题图所示，电荷线密度为1λ的无限长均匀带电直线，其旁垂直放置电荷线密度为2λ的有限长均匀带电直线AB ，两者位于同一平面内。

则AB 所受静电作用力的大小为多少？解：方法一， 由题意可知，两直线均匀带电。

由于库仑定律只适用于点电荷系统．因此，需将两带电直线分成许多电荷元；建立如7-13题图(右)所示的直角坐标系，有11dq dy λ=，22dq dx λ=，根据库仑定律，可得1dq ，施加给2dq 的作用力为：122014dq dqdF r πε=r 为两电荷元之间的距离。

将dF 沿x 、y轴投影，得：cos x dF dF θ=，sin y dF dF θ=；根据对称性分析可知：y y F dF =⎰为零。

因此，F 只沿x 轴正向，即223cos 4a b x axdxdyF dF dF r λλθπε++∞-∞===⎰⎰⎰⎰121222320002ln 4()2a b adya b xdx x y aλλλλπεπε+∞+==+⎰⎰ 方法二： 由电场强度定义求解。

带电直线AB 处于无限长带电直线产生的电场中，若把带电直线AB 视为许多电荷元2dq 的集合，则电场对每个电荷元的作用力为2dF Edq =；各电荷元的dF 的矢量和，即为带电直线AB 所受的电场力。

如7-13题图(右)所示。

在距无限长带电直线x 处任取一电荷元22dq dx λ=，由无限长带电直线的场强公式可知2dq 处的场强为：102E xλπε=方向沿x 袖正向。

于是有122012dF Edq dx xλλπε==由于各电荷元所受力的方向均沿x 轴正向，所以：222200ln 22a bx adx a bF F dF x aλλλλπεπε++====⎰⎰若问题中的1λ和2λ异号，则F 沿x 轴负向。

根据作用力与反作用力的关系可知，无限长带电直线所受的作用力`F ，其大小与F 相等，其方向与F 相反。

7-14 求无限长均匀带电圆柱面内、外场强E 的空间分布。

设圆柱面半径为R 。

电荷面密度为σ。

解：如7-14题图所示，过圆柱面内、外任一点作高为l 的圆柱形高斯面，根据高斯定理1Sd q ε⋅=∑⎰内E S ，有：当r R <时，20E r l π=，0E =； 当r R ≥时，022R l E r l σππε= ，0RE r σε=；7-14题图7-15求均匀带电球体内、外的场强分布，已知球体半径为R ，所带总电荷为q 。

场强。

解：由于电荷分布是球对称的，所以电场强度的分布也是球对称的。

因此在电场强度的空间中任意点的电场强度的方向沿径矢，大小则依赖于从球心到场点的距离。

即在同一球面上的各点的电场强度的大小是相等的。

以球心到场点的距离为半径作一球面，则通过此球面的电通量为：24 e sE dS r E πΦ=⋅=⎰根据高斯定理，有：214 e sd r E επΦ=⋅==⎰E S q∑内(1)当场点在球体外，即r R ≥时，q∑内q =，由(1)式可得电场强度为：204qE r πε球外＝当场点在球体内时 即r R <时，q ∑内33334433qqr r R R ππ==，由(1)式可得电场强度为：304qrE Rπε球内＝ 7-16求均匀带电细棒中垂线上的电场和电势。

设棒长2l ，带电量为q 。

解：由于电势是标量，可由电势叠加原理，先求出带电直线在P 点的电势，再由场强与电势的微分关系求P 点的场强。

建立如7-16图所示的直角坐标系，并取带电直线中心为坐标原点O 。

则在带电直线上任取一电荷元2qdq dy dy lλ==，在P 点产生的电势为：p dV =因此，整个带电系统在P 点产生的电势为04l p l q dy q V dV l πε+-====⎰⎰⎰则该点的场强为：x y i j =+ E E E ，其中：x V E x ∂=-=∂，0y VE y∂=-=∂，所以，P 点的场强为：x E E i ==7-17求均匀带电球体的电势。

已知电荷q 均匀地分布在半径为R 的球体上，求空间个各点的电势。

解：由高斯定理可求出电场强度的分布⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤>R r R qr R r rqE 4 43020πεπε＝ 方向沿径向。

由电势的定义式rV E dl ∞=⋅⎰，可得：当r R ≥时，有： 2044rqq V dr rr πεπε∞=⎰球外＝当r R <时，有：223230000()4484Rr Rqrqq R r qV dr dr R r R R πεπεπεπε∞-+=+⎰⎰球内＝ 7-18 如7-18题图所示，2AB l =，OCD 是以B 为中心、l 为半径的半圆，A 点有点电荷q +，B 点有点电荷q -。

求（1）把单位正电荷从O 点沿OCD 移到D 点，电场力对它做了多少功? （2）单位负电荷从D 点沿AB 延长线移到无穷远处，电场力对它做了多少功? 解：由点电荷在空间某点产生的电势公式04q V rπε=可得：000043460O D V q q q V l l l V πεπεπε∞⎫=⎪⎪=-=-⎬⎪⎪=⎭由()ab a b W q U U =-可得： (1)01()6OD O D q W V V Lπε=⨯-=(2)0(1)()6D D q W V V Lπε∞∞=-⨯-=7-19 在玻尔的氢原子模型中，电子沿半径为100.5310m -⨯的圆周绕原子核旋转。