偏微分方程差分方法汇总
偏微分方程的差分方法与数值解
显式差分格式
01
利用前一时间步长的温度值，通过差分公式计算下一
时间步长的温度分布。
隐式差分格式
02 需要求解线性方程组，但具有更好的稳定性，适用于
大时间步长。
Crank-Nicolson格式
03
结合了显式与隐式格式的优点，具有二阶精度和无条
件稳定性。
波动方程的数值解法
01
有限差分时间域（ FDTD）方法
数值解法的稳定性和收敛性需要仔细考虑，否则可能导致计算结果不准确 。
未来发展趋势和挑战
发展趋势
随着计算机技术的不断发展，更高性能的计算机和更先进的算法将使得偏微分方程的数值解法更加高效 和精确。
结合人工智能和机器学习技术，可以开发出更加智能化的数值解法，提高计算效率和精度。
未来发展趋势和挑战
未来发展趋势和挑战
数值解的应用
数值解在各个领域都有广泛的应用，如物理学中的波动方程、热传导方程和量子力学方程，化学中的 反应扩散方程，生物学中的生态模型和神经网络模型，以及工程学中的结构力学、流体力学和电磁场 问题等。
02
偏微分方程的基本概念和性质
偏微分方程的定义和分类
定义
偏微分方程是包含未知函数及其偏导数的方程。
分类
根据方程中未知函数的最高阶偏导数的阶数，可分为一阶、二阶和高阶偏微分方程；根据方程中是否包含未知函 数的非线性项，可分为线性和非线性偏微分方程。
偏微分方程的定解条件和适定性
定解条件
为了使偏微分方程的解唯一确定，需要 给出定解条件，如初始条件、边界条件 等。
VS
适定性
适定性是指偏微分方程定解问题的解的存 在性、唯一性和稳定性。对于线性偏微分 方程，通常可以通过能量方法等方法研究 其适定性；对于非线性偏微分方程，适定 性的研究更加复杂，需要运用不动点定理 、上下解方法、变分方法等工具。
偏微分方程的有限差分法
偏微分方程的有限差分法
有限差分法：是一种数学计算概念，是指在计算过程中，以差分的形势来代替微分，从而使整个计算过程具有有限差分法的出发点，以此达到微分议程和积分微分方式数值解的一种计算过程。
微分方程和积分微分方程数值解的方法。
基本思想是把连续的定解区域用有限个离散点构成的网格来代替，这些离散点称作网格的节点；把连续定解区域上的连续变量的函数用在网格上定义的离散变量函数来近似；把原方程和定解条件中的微商用差商来近似，积分用积分和来近似，于是原微分方程和定解条件就近似地代之以代数方程组，即有限差分方程组，解此方程组就可以得到原问题在离散点上的近似解。
然后再利用插值方法便可以从离散解得到定解问题在整个区域上的近似解。
在采用数值计算方法求解偏微分方程时，若将每一处导数由有限差分近似公式替代，从而把求解偏微分方程的问题转换成求解代数方程的问题，即所谓的有限差分法。
有限差分法求解偏微分方程的步骤如下：
1、区域离散化，即把所给偏微分方程的求解区域细分成由有限个格点组成的网格；
2、近似替代，即采用有限差分公式替代每一个格点的导数；
3、逼近求解。
换而言之，这一过程可以看作是用一个插值多项式及其微分来代替偏微分方程的解的过程（Leon，Lapidus，GeorgeF。
Pinder，1985）。
数值模拟偏微分方程的三种方法：FDM、FEM及FVM
数值模拟偏微分方程的三种方法：FDM、FEM及FVM偏微分方程数值模拟常用的方法主要有三种：有限差分方法（FDM）、有限元方法（FEM）、有限体积方法（FVM），本文将对这三种方法进行简单的介绍和比较。
有限差分方法有限差分方法(Finite Difference Methods)是数值模拟偏微分方程最早采用的方法，至今仍被广泛运用。
该方法包括区域剖分和差商代替导数两个过程。
具体地，首先将求解区域划分为差分网格，用有限个网格节点代替连续的求解区域。
其次，利用Taylor级数展开等方法将偏微分方程中的导数项在网格节点上用函数值的差商代替来进行离散，从而建立以网格节点上的值为未知量的代数方程组。
该方法是一种直接将微分问题变为代数问题的近似数值解法，数学概念直观，表达简单，是发展较早且比较成熟的数值方法。
差商代替导数后的格式称为有限差分格式，从格式的精度来考虑，有一阶格式、二阶格式和高阶格式。
从差分的空间离散形式来考虑，有中心格式和迎风格式。
对于瞬态方程，考虑时间方向的离散，有显格式、隐格式、交替显隐格式等。
目前常见的差分格式，主要是以上几种格式的组合，不同的组合构成不同的差分格式。
差分方法主要适用于结构网格，网格的步长一般根据问题模型和Courant稳定条件来决定。
请输入标题有限元方法(Finite Element Methods)的基础是变分原理和分片多项式插值。
该方法的构造过程包括以下三个步骤。
首先，利用变分原理得到偏微分方程的弱形式(利用泛函分析的知识将求解空间扩大)。
其次，将计算区域划分为有限个互不重叠的单元(三角形、四边形、四面体、六面体等)。
再次，在每个单元内选择合适的节点作为求解函数的插值点，将偏微分方程中的变量改写成由各变量或其导数的节点值与所选用的分片插值基函数组成的线性表达式，得到微分方程的离散形式。
利用插值函数的局部支集性质及数值积分可以得到未知量的代数方程组。
有限元方法有较完善的理论基础，具有求解区域灵活(复杂区域)、单元类型灵活(适于结构网格和非结构网格)、程序代码通用(数值模拟软件多数基于有限元方法)等特点。
偏微分方程离散差分式差分方法等
(5)
6
3.1.3 差分方程的修正方程(续)
u ku 2 p 1u 2 pu k 2 p 1 2 p 1 2 p 2 p t k 1 x k x x p 0 p 1
基本解为 e ( i ) t eikx
(1) p 2 p k 2 p
u f (u ) 0 t x
相容的，且当时间和空间步长趋于零时，差分解一致有界，几乎处处收敛于 分片连续可微的函数，则这个收敛的函数就是守恒律的一个弱解。
推论：守恒型差分各式的收敛解能自动满足间断关系。 用途: (加上熵条件）可以得到正确的激波，研究中大量使用 例如：Lax-Friedrichs 格式，Lax-Wendroff格式，Mac Cormack格式
~n
1 J 2
~ t f n 1 t
J 2
再对n求和 :
j J n 1 j
~ x u x f k
j J k 0
N
1 J 2
~ t f k 1 t
k 0 J 2
N
可以看成是积分
x J 1 / 2
u ( x, t n 1 )dx
Fourier稳定性 : ikx ikx 2 ikx A A 1 (e e ) (e 2 e ikx ) 2 2 An 1 G n 1 i sin kx 2 (coskx 1) A G 1 1
n 1 n
•
1
称为CFL条件 (Courant, Friedrichs, Levy)
10
3.1.5 守恒型差分格式
• 流体力学方程组描述物理量的守恒性；守恒律组：
u d f 0 t i 1 xi
偏微分方程求解的基本方法及应用
偏微分方程求解的基本方法及应用偏微分方程（PDE）是数学界中一种重要的工具，可用于研究许多科学领域中的物理和工程问题。
求解偏微分方程是求解这些问题的关键步骤之一。
本文将介绍偏微分方程求解的基本方法及其在实际应用中的应用。
一、偏微分方程概述偏微分方程是一种包含未知函数及其偏导数的方程。
它们广泛应用于物理学、工程学、生物学、经济学等领域中的数学模型中。
偏微分方程的形式可以是线性或非线性的，同样适用于部分性质的描述，包括地理界、天气、机器、电路和量子物理学等。
举个例子，假设我们想要模拟一个电容器的充电过程。
该问题可以表示为偏微分方程：τVt + VRC = E(t)其中V表示电容器的电压，τ、R和C分别表示电容器的时间常数、电阻和电容，E(t)是外部电源函数。
解这个方程将得到电容器充电的渐进过程。
二、偏微分方程的求解方法1. 分离变量法分离变量法是求解常见偏微分方程的一种强大方法，它通常适用于偏微分方程的局部稳定分析。
该方法是使用传统的实分离变量方法，这样可以将偏微分方程转换为微分方程的线性组合，并形成一个简单的解析解。
例如，假设我们要求解一类亥姆霍兹方程（偏微分方程的形式为uxx + uyy + k2u = 0）。
我们可以将u(x, y)表示为分离变量的形式，即u(x, y) = X(x)Y(y)，用椭圆PDE的方程来得到解。
2. 有限差分法有限差分法是一种数值方法，它是将偏微分方程的连续形式转换为离散形式的数值解，然后计算整个网格上所有点的值。
该方法通常需要大量计算，但是可以得到一个非常准确的解。
有限差分法的核心是网格的选择和采样方法，通常取决于偏微分方程的性质和问题的特定条件。
例如，我们可以使用有限差分法来模拟波动方程。
该方程形式为：utt – c2uxx – c2uyy = 0其中c表示波速。
我们可以使用有限差分法来将偏微分方程离散化，这样可以找到网格中所有点的解。
三、偏微分方程的应用1. 电力工程偏微分方程在电力工程中有着广泛的应用。
详细版第四章偏微分方程的有限差分法.ppt
算
物 理
ui,k1 ui1,k (1 2 )ui,k ui1,k
学 ui,0 (ih)
u0,k g1(k ) ul,k g2 (k )
i=0,1, ,N k=0,1, ,M
.精品课件.
4.2 热传导方程的差分解法
计 显示差分递推公式的稳定性：
算
物 理
ui,k ui',k i,k k i,k
计
算 一维各向同性、均匀介质，且无热源的热传导方程：
物 理 学
u 2u
t x2
0t T 0 xl
为了求解u(x,t)，还必须利用边界条件和初 始条件。
定解条件：边界条件和初始条件。
定解问题：解存在、唯一并且连续依赖初始条件。
.精品课件.
4.2 热传导方程的差分解法
计 对于一维热传导问题（第一类边界条件）
计 同样，在节点（xi,tk）上
算
物
理 学
( x, t )
u xi ,tk u xi ,tk
t xxi
t tk
ui,k 1 ui,k
一阶向前差商O(h)
.精品课件.
4.2 热传导方程的差分解法
计 一维热传导方程可以近似为
算 物 理 学
ui,k 1 ui,k ui1,k 2ui,k ui1,k
理
学
u t0
f1(x, y, z)
u t
t0
f2 (x, y, z)
边界条件：边界受到外界的影响
常见的物理问题可以归结为三大类边界条件
.精品课件.
4.1 有限差分法原理
1 第一类边界条件（狄利克雷Dirichlet）
计
算
u u0(r,t)
第九章偏微分方程差分方法汇总
第9章 偏微分方程的差分方法含有偏导数的微分方程称为偏微分方程。
由于变量的增多和区域的复杂性，求偏微分方程的精确解一般是不可能的，经常采用数值方法求方程的近似解。
偏微分方程的数值方法种类较多，最常用的方法是差分方法。
差分方法具有格式简单，程序易于实现，计算量小等优点，特别适合于规则区域上偏微分方程的近似求解。
本章将以一些典型的偏微分方程为例，介绍差分方法的基本原理和具体实现方法。
9.1椭圆型方程边值问题的差分方法9.1.1 差分方程的建立最典型的椭圆型方程是Poisson （泊松）方程G y x y x f yux u u ∈=∂∂+∂∂-≡∆-),(),,()(2222 （9.1）G 是x ,y 平面上的有界区域，其边界Γ为分段光滑的闭曲线。
当f (x ,y )≡0时，方程（9.1）称为Laplace(拉普拉斯）方程。
椭圆型方程的定解条件主要有如下三种边界条件第一边值条件 ),(y x u α=Γ （9.2） 第二边值条件),(y x nuβ=∂∂Γ （9.3） 第三边值条件 ),()(y x ku nuγ=+∂∂Γ （9.4） 这里，n 表示Γ上单位外法向，α(x,y ),β(x,y ),γ(x,y )和k (x,y )都是已知的函数，k (x,y )≥0。
满足方程（9.1）和上述三种边值条件之一的光滑函数u (x ,y )称为椭圆型方程边值问题的解。
用差分方法求解偏微分方程，就是要求出精确解u (x ,y )在区域G 的一些离散节点（x i ，y i ）上的近似值u i ,j ≈(x i ，y i ）。
差分方法的基本思想是，对求解区域G 做网格剖分，将偏微分方程在网格节点上离散化，导出精确解在网格节点上近似值所满足的差分方程，最终通过求解差分方程，通常为一个线性方程组，得到精确解在离散节点上的近似值。
设G ={0<x <a , 0<y <b }为矩形区域，在x ,y 平面上用两组平行直线x =ih 1, i =0,1,…,N 1, h 1=a /N 1 y =jh 2, j =0,1,…,N 2, h 2=b /N 2将G 剖分为网格区域，见图9-1。
偏微分方程的数值解(差分法)
数值天气预报尝试。1922年,他在《Weather Prediction
by Numerical Process 》中,论述了数值预报的原理和可
能性,并且应用原始方程组,对欧洲地面气压场进行
了6小时预报。但结果很不理想：他预报气压在 6小
ijkvxyzuvwwuuwvu????????????????????????????????????????????wuuwvuijkyzzxxx????????????????????????????????????????????????????????????????21uvwvwudfuvwfvtxyzxyxzyzdypppxyyx????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????一
y f ( x x) f ( x) x x
y f ( x) f ( x x) 一阶向后差商为： x x
一阶中心差商为： y f ( x x) f ( x x)
x
2x
二阶差商多取中心式，即
2 y f ( x x) 2 f ( x) f ( x x) 2 x (x) 2
§2 差分原理
一.基本概念: 1.将连续求解域划分成差分网格（最简单的
差分网格是矩形网格），用有限个节点代
替原连续求解域；
2.用差商代替控制微分方程中的导数；
3.建立含有限个未知数的节点差分方程组； 4.代入初始和边界条件后求解差分方程组。
偏微分方程的数值解法
偏微分方程的数值解法偏微分方程（Partial Differential Equation, PDE）是数学和物理学中的重要概念，广泛应用于工程、科学和其他领域。
在很多情况下，准确解析解并不容易获得，因此需要利用数值方法求解偏微分方程。
本文将介绍几种常用的数值解法。
1. 有限差分法（Finite Difference Method）有限差分法是最常见和经典的数值解法之一。
基本思想是将偏微分方程在求解域上进行离散化，然后用差分近似代替微分运算。
通过求解差分方程组得到数值解。
有限差分法适用于边界条件简单且求解域规则的问题。
2. 有限元法（Finite Element Method）有限元法是适用于不规则边界条件和求解域的数值解法。
将求解域划分为多个小区域，并在每个小区域内选择适当的形状函数。
通过将整个域看作这些小区域的组合来逼近原始方程，从而得到一个线性代数方程组。
有限元法具有较高的灵活性和适用性。
3. 有限体积法（Finite Volume Method）有限体积法是一种较新的数值解法，特别适用于物理量守恒问题。
它通过将求解域划分为多个控制体积，并在每个体积内计算守恒量的通量，来建立离散的方程。
通过求解这个方程组得到数值解。
有限体积法在处理守恒律方程和非结构化网格上有很大优势。
4. 局部网格法（Local Grid Method）局部网格法是一种多尺度分析方法，适用于具有高频振荡解的偏微分方程。
它将计算域划分为全局细网格和局部粗网格。
在全局细网格上进行计算，并在局部粗网格上进行局部评估。
通过对不同尺度的解进行耦合，得到更精确的数值解。
5. 谱方法（Spectral Method）谱方法是一种基于傅里叶级数展开的高精度数值解法。
通过选择适当的基函数来近似求解函数，将偏微分方程转化为代数方程。
谱方法在处理平滑解和周期性边界条件的问题上表现出色，但对于非平滑解和不连续解的情况可能会遇到困难。
6. 迭代法（Iterative Method）迭代法是一种通过多次迭代来逐步逼近精确解的求解方法。
偏微分方程求解-有限差分法
--以有限差分法为例偏微分方程数值求解1. 偏微分方程求解问题的描述教材P653[12.1.1]椭圆型教材P653[12.1.2]教材P664[12.2.1]双曲型教材P665[12.2.4]拉普拉斯泊松对流波动教材P684[12.3.1]抛物型教材P685[12.3.6]扩散对流扩散教材P686[12.3.8]二维扩散教材P678[12.2.23]二维对流⎪⎪⎪⎪⎭⎪⎪⎪⎪⎬⎫⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧≥≤≤==≥≤≤==≤≤=>≥≤≤≤≤⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+∂∂=∂∂0,0, ),(),,(),(),0,(0,0,),(),,(),(),,0(,0,),()0,,(0,0 , 0 , 0 21212222t L x t x v t L x u t x v t x u t L y t y t y L u t y t y u L y x y x y x u b t L y L x y u x u b t u μμϕΩ求解域初值条件边值条件),,(t y x u 未知函数⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎪⎪⎪⎪⎪⎬⎫⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎧≥<<-==≥<<==≥≤≤-==≥≤≤==≤≤==≤≤≤≤≤≤⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+∂∂=∂∂0 , 50 , sin 255sin ),(),5,(0 , 50 , 0),(),0,(0 , 50 , 5sin sin 25),(),,5(0 , 50 , 0),(),,0(5,0,0),()0,,( 10000 , 50 , 50 001.022********t x x x t x v t x u t x t x v t x u t y y y t y t y u t y t y t y u y x y x y x u t y x y u x u t u μμϕΩ求解域初值条件边值条件以具体问题为例演示具体的求解过程),,(t y x u 未知函数0x 1x 2x 3x 4x 0y 1y 2y 3y 4y 0t 1t 2t 3t 4t x j jh x =y k kh y =τn t n =xh x 区间的剖分步长τ区间的剖分步长t y h y 区间的剖分步长y x h h h ==0x 1x 2x 3x 4x 0y 1y 2y 3y 4y 0t 1t 2t 3t 4t jh x j =kh y k =τn t n =xh x 区间的剖分步长τ区间的剖分步长t y h y 区间的剖分步长y x h h h ==1x 2x 3x 4x 0y 1y 2y 3y 4y 0t 1t 2t 3t 4t 0x),,(n k j t y x ⎩⎨⎧===4..0 , 4..04..0j k n 0x 1x 2x 3x 4x 0y 1y 2y 3y 4y 0t 1t 2t 3t 4t ),,(211t y x ⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧≤≤≤≤≤≤=Ω100005050),,(t y x t y x ⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧====Ω4..04..04..0),,(j k n t y x n k j n kj0x 1x 2x 3x 4x 0y 1y 2y 3y 4y 0t 1t 2t 3t 4t ⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧≤≤≤≤≤≤=Ω100005050),,(t y x t y x ⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧====Ω4..04..04..0),,(j k n t y x n k j n kj ?),,(),,(=Ω∈t y x t y x u ?),,(),,(=Ω∈nkjn k j t y x n k j t y x u 求解目标求解目标离散化n kju4040====k k j j 或或或边界点：1x 2x 3x 4x 0y 1y 2y 3y4y 0t 1t 2t 3t 4t 0x4040≠≠≠≠k k j j 且且且内点：1x 2x 3x 4x 0y 1y 2y 3y4y 0t 1t 2t 3t 4t 0x1x 2x 3x 4x 0y 1y 2y 3y 4y 0t 1t 2t 3t 4t 0x 5,0,0)0,,(≤≤=y x y x u 初值条件0),,(04..04..00====t y x u uk j k j kj 0kju000u001u002u003u004u1x 2x 3x 4x 0y 1y 2y 3y 4y 0t 1t 2t 3t 4t 0x000u001u002u003u004u1x 2x 3x 4x 0y 1y 2y 3y 4y 0t 1t 2t 3t 4t 0x 010u011u012u013u014u000u 001u002u003u 004u1x 2x 3x 4x 0y 1y 2y 3y 4y 0t 1t 2t 3t 4t 0x 010u011u 012u 013u014u 020u021u022u023u024u000u 001u 002u 003u 004u 1x 2x 3x 4x 0y 1y 2y 3y 4y 0t 1t 2t 3t 4t 0x 010u 011u 012u 013u 014u 020u 021u 022u 023u 024u 030u031u032u033u034u000u 001u 002u 003u 004u 1x 2x 3x 4x 0y 1y 2y 3y 4y 0t 1t 2t 3t 4t 0x 010u 011u 012u 013u 014u 020u 021u 022u 023u 024u 030u 031u 032u033u 034u040u041u042u043u044u的存储设计计算数据0kju 1x 2x 3x 4x 0y 1y 2y 3y 4y 0t 1t 2t 3t 4t 0x 000u 001u 002u 003u 004u 010u 011u 012u 013u 014u 020u 021u 022u 023u 024u 030u 031u 032u033u 034u040u041u042u043u044u1234512345行号列号MATLAB矩阵U0的存储设计计算数据0kju 1x 2x 3x 4x 0y 1y 2y 3y 4y 0t 1t 2t 3t 4t 0x 000u 001u 002u 003u 004u 010u 011u 012u 013u 014u 020u 021u 022u 023u 024u 030u 031u 032u033u 034u040u041u042u043u044u012341234行号列号C 语言矩阵U0的图像计算结果可视化)0,,( :y x u 1x 2x 3x 4x 0y 1y 2y 3y 4y 0t 1t 2t 3t 4t 0x 000u 001u 002u 003u 004u 010u 011u 012u 013u 014u 020u 021u 022u 023u 024u 030u031u 032u 033u034u 040u041u042u043u044u1234512345行号列号MATLAB 矩阵U00kju),,()0,,(0kjk j u y x y x u 上的点4..0,4..0 ),,( :211===k j t y x u u k j kj求步第边值条件11104t x 103t x y 102t x y 101t x y 100t x y 0,50 , 0),,0(≥≤≤=t y t y u 0),,(104..00===t y x u uk k k边值条件1104tx 103t x y 102tx y 101tx y 10t x y 140u 130u 120u 110u 100u 0),,(104..010===t y x u uk k k 0,50 , 0),,0(≥≤≤=t y t y u边值条件25sin )()sin(25),,(2144..014k k k k k y y t y x u u-===14t 14t 14t x 141t x 140t x y 0,50 , 5sin sin 25),,5(2≥≤≤-=t y y y t y u边值条件25sin )()sin(25),,(2144..014k k k k k y y t y x u u-===14t 14t 14tx 141t x 14t x y 144u134u124u 114u104u 0,50 , 5sin sin 25),,5(2≥≤≤-=t y y y t y u边值条件3),,(103..110===t y x u uj j j 0,50 , 0),0,(≥<<=t x t x u 110t x y 120t x y 130t x y边值条件3),,(103..110===t y x u uj j j 110t x y 120tx y 130t x y 101u102u 103u 0,50 , 0),0,(≥<<=t x t x u边值条件411t x 12t x 13t x )sin(255sin )(),,(2143..114j j j j j x x t y x u u-===0,50 , sin 255sin ),5,(2≥<<-=t x x x t x u边值条件411t x 12t x 13t x )sin(255sin )(),,(2143..114j j j j j x x t y x u u-===0,50 , sin 255sin ),5,(2≥<<-=t x x x t x u 141u 142u143u141u 142u 143u 101u 102u 103u 144u 134u 124u 114u 104u 140u 130u 120u 110u 100u1,,+n j k t x y nj k t x y ,,1+nj k t x y ,,1-nj k t x y ,,1-nj k t x y ,,1+nj k t x y ,,策略”1,,+n jk t x y nj k t x y ,,1+n j k tx y ,,1-njk t x y ,,1-nj k t x y,,1+nj kt x y ,,2,1,121,1,22hu u ubhu u ubuujk kj jk j k kj j k kjkj-+-++-++-=-τ策略”1+n kj u nkj u nj k u 1,-nj k u 1,+nj u ,njk u ,1+策略”1+n kjun kjun j k u1,-n j k u 1,+n jk u,1-n jk u,1+2,1,121,1,22hu u ubhu u ubuujk kj jk j k kj j k kjkj-+-++-++-=-τ策略”1+n kjun kjun j k u1,-n j k u 1,+n jk u,1-n jk u,1+2,1,121,1,22hu u ubhu u ubuujk kj jk j k kj j k kjkj-+-++-++-=-τ策略”1+n kjun kjun j k u1,-n j k u 1,+n jk u,1-n jk u,1+2,1,121,1,22hu u ubhu u ubuujk kj jk j k kj j k kjkj-+-++-++-=-τ)(, 22.3.12,41:22h PDE h b +O =−−−→−≤ττ误差估计的解原偏微分方程求出的近似解按显式差分格式当可证收敛并稳定{}1..1,1-=+M j k n kj u {}Mj k nkj u ..0,=目标{}Mj M k n kju 或或或001==+“隐式差1,,+n j k t x y 11,,++n j k t x y 11,,+-n j k t x y 11,,+-n j k t x y 11,,++n j k t x y nj k t x y ,,“隐式差1,,+n jk t x y 11,,++n j k t x y 11,,+-n j k t x y 11,,+-n j k t x y 11,,++n j k t x yn j k t x y ,,“隐式差11,+-n j k u11,++n j k u 1,1++n jk u 1,1+-n jk unjk u ,1+n kj u“隐式差11,+-n j k u11,++n j k u 1,1++n jk u 1,1+-n jk unjk u,1+n kjuτn kjn kjuu-+1=211,1,11,2h uuub n j k n j k n j k +-++++-21,11,1,12h uuub n j k n j k n jk +-++++-+2hbc τ=标准化nj k n j k n j k n j k n j k n j k u u c u c u c u c u c ,1,111,1,11,1,1)41(=∙-∙-++∙-∙-++++++-+-“隐式差11,+-n j k u11,++n j k u 1,1++n jk u 1,1+-n jk un jk u,1+n kjun jk n jk n j k n jk n j k n jk uuc uc uc uc uc ,1,111,1,11,1,1)41(=∙-∙-++∙-∙-++++++-+-2hbc τ=“隐式差11,+-n j k u11,++n j k u 1,1++n jk u 1,1+-n jk un jk u,1+n kjun jk n jk n j k n jk n j k n jk uuc uc uc uc uc ,1,111,1,11,1,1)41(=∙-∙-++∙-∙-++++++-+-2hbc τ=+1kjn“隐式差+1kjn n n n n n n uuc uc uc uc uc 11111)41(=∙-∙-++∙-∙-+++++111+n u110+n u112+n u 121+n u 101+n unu11列差分方程层的内点值基于例如111:+n u t n n n n n n uuc uc uc uc uc 11121112111110101)41(=∙-∙-++∙-∙-+++++列差分方程基于内点值111+n u “隐式差n n n n n n uuc uc uc uc uc 11111)41(=∙-∙-++∙-∙-+++++112+n u111+n u113+n u122+n u102+n u n u 12列差分方程层的内点值基于例如121:+n u t n n n n n n uuc uc uc uc uc 12122113112111102)41(=∙-∙-++∙-∙-+++++列差分方程基于内点值112+n u “隐式差n n n n n n uuc uc uc uc uc 11111)41(=∙-∙-++∙-∙-+++++112+n u111+n u113+n u 122+n u132+n u121+n u131+n u123+n u133+n un 12un 11un 13un 22un 32un 21un 31un 23un 33u线性方程组“隐式差n n n n n n uuc uc uc uc uc 11111)41(=∙-∙-++∙-∙-+++++红色标志方程组的未知量绿色标志方程组的已知量个差分方程列出个内点值层的基于9)3..1,3..1(911==++j k ut n kjn112+n u111+n u113+n u 122+n u132+n u121+n u131+n u123+n u133+n un12u n 11u n 13u n 22u n 32un 21u n 31u n 23u n 33u线性方程组“隐式差n n n n n n uuc uc uc uc uc 11111)41(=∙-∙-++∙-∙-+++++红色标志方程组的未知量绿色标志方程组的已知量个差分方程列出个内点值层的基于9)3..1,3..1(911==++j k ut n kjn )( 32.3.12:2h PDE +O =−−−−→−τ误差估计的解原偏微分方程求出的近似解按隐式差分格式可证收敛并绝对稳定。
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第9章 偏微分方程的差分方法含有偏导数的微分方程称为偏微分方程。
由于变量的增多和区域的复杂性，求偏微分方程的精确解一般是不可能的，经常采用数值方法求方程的近似解。
偏微分方程的数值方法种类较多，最常用的方法是差分方法。
差分方法具有格式简单，程序易于实现，计算量小等优点，特别适合于规则区域上偏微分方程的近似求解。
本章将以一些典型的偏微分方程为例，介绍差分方法的基本原理和具体实现方法。
9.1椭圆型方程边值问题的差分方法9.1.1 差分方程的建立最典型的椭圆型方程是Poisson （泊松）方程G y x y x f yux u u ∈=∂∂+∂∂-≡∆-),(),,()(2222 （9.1）G 是x ,y 平面上的有界区域，其边界Γ为分段光滑的闭曲线。
当f (x ,y )≡0时，方程（9.1）称为Laplace(拉普拉斯）方程。
椭圆型方程的定解条件主要有如下三种边界条件第一边值条件 ),(y x u α=Γ （9.2） 第二边值条件),(y x nuβ=∂∂Γ （9.3） 第三边值条件 ),()(y x ku nuγ=+∂∂Γ （9.4） 这里，n 表示Γ上单位外法向，α(x,y ),β(x,y ),γ(x,y )和k (x,y )都是已知的函数，k (x,y )≥0。
满足方程（9.1）和上述三种边值条件之一的光滑函数u (x ,y )称为椭圆型方程边值问题的解。
用差分方法求解偏微分方程，就是要求出精确解u (x ,y )在区域G 的一些离散节点（x i ，y i ）上的近似值u i ,j ≈(x i ，y i ）。
差分方法的基本思想是，对求解区域G 做网格剖分，将偏微分方程在网格节点上离散化，导出精确解在网格节点上近似值所满足的差分方程，最终通过求解差分方程，通常为一个线性方程组，得到精确解在离散节点上的近似值。
设G ={0<x <a , 0<y <b }为矩形区域，在x ,y 平面上用两组平行直线x =ih 1, i =0,1,…,N 1, h 1=a /N 1 y =jh 2, j =0,1,…,N 2, h 2=b /N 2将G 剖分为网格区域，见图9-1。
h 1，h 2分别称为x 方向和y 方向的剖分步长，网格交点（x i ，y i ）称为剖分节点（区域内节点集合记为G h ={（x i ，y i ）; （x i ，y i ）∈G }）,网格线与边界Γ的交点称为边界点，边界点集合记为Γh 。
现在将微分方程（9.1）在每一个内节点（x i ，y i ）上进行离散。
在节点（x i ，y i ）处，方程（9.1）为h i i i i i i i i G y x y x f y x yuy x x u ∈=∂∂+∂∂-),(),,()],(),([2222 （9.5） 需进一步离散（9.5）中的二阶偏导数。
为简化记号，简记节点（x i ，y i ）=(i ,j )，节点函数值u （x i ，y i ）=u (i ,j )。
利用一元函数的Taylor 展开公式，推得二阶偏导数的差商表达式代入（9.5）式中，得到方程（9.1）在节点(i ,j )处的离散形式其中),(,i i j i y x f f =。
舍去高阶小项)(02221h h +，就导出了u (i ,j )的近似值u i ,j 所满足的差分方程h j i j i j i j i j i j i j i G j i f u u u h u u u h ∈=+--+---+-+),(,]2[1]2[1,1,,1,22,1,,121 （9.6） 在节点(i ,j )处方程（9.6）逼近偏微分方程（9.1）的误差为)(2221h h O +，它关于剖分步长是二阶的。
这个误差称为差分方程逼近偏微分方程的截断误差，它的大小将影响近似解的精度。
在差分方程（9.6）中，每一个节点(i ,j )处的方程仅涉及五个节点未知量u i ,j ，u i +1,j ，u i -1,j ，u i ,j +1，u i ,j -1，因此通常称（9.6）式为五点差分格式，当h 1= h 2=h 时，它简化为差分方程（9.6）中，方程个数等于内节点总数，但未知量除内节点值u i ,j ,(i ,j )∈G h 外，还包括边界点值。
例如，点(1,j )处方程就含有边界点未知量u 0,j 。
因此，还要利用给定的边值条件补充上边界点未知量的方程。
对于第一边值条件式（9.2），可直接取u i ,j =α（x i ，y i ）， (i ,j )∈Γh （9.7） 对于第三（k =0时为第二）边值条件式（9.4）， 以左边界点(1,j )为例，见图9-2, 利用一阶差商公式则得到边界点(0,j )处的差分方程jj j jj r u k h u u ,0,0,01,1,0=+-（9.8）联立差分方程（9.6）与（9.7）或（9.8）就形成了求解Poisson 方程边值问题的差分方程组，它实质上是一个关于未知量{u i ,j }的线性代数方程组，可采用第2，3章介绍的方法进行求解。
这个方程组的解就称为偏微分方程的差分近似解，简称差分解。
考虑更一般形式的二阶椭圆型方程G y x y x f Eu yu D x u C y u B y x u A x ∈=+∂∂+∂∂+∂∂∂∂+∂∂∂∂-),(),,(])()([（9.9） 其中A (x ,y )≥A m in >0, B (x ,y ) ≥B m in >0, E(x ,y ) ≥0。
引进半节点,12121h x xi i ±=±,22121h y yi i ±=±利用一阶中心差商公式，在节点（i ,j ）处可有)(2),1(),1(),()(]),1(),(),(),1([1)()],21)((),21)([(1),)((211211,211,211211h O h j i u j i u j i x u h O h j i u j i u A h j i u j i u A h h O j i x u A j i x u A h j i x u A x j i j i +--+=∂∂+----+=+-∂∂-+∂∂=∂∂∂∂-+对yu y u B y ∂∂∂∂∂∂),(类似处理，就可推得求解方程（9.9）的差分方程 hj i j i j i j i j i j i j i j i j i j i G j i j i f u a u a u a u a u a ∈=-+++---++---+),(),,(][,,1,1,1,1,,1,1,1,1 （9.10）其中⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎧++++=-=+=-=+=-+--+----+-+---+-+ji j i j i j i j i j i j i j i j i j i j i j i j i j i j i j i j i j i E B B h A A h a D h B h a D h B h a C h A h a C h A h a ,21,21,22,21,2121,,221,221,,221,221,,1,2121,1,1,2121,1)()()2()2()2()2( （9.11） 显然，当系数函数A (x ,y )=B (x ,y )=1, C (x ,y )=D (x ,y )=E (x ,y )=0时，椭圆型方程（9.9）就成为Poisson 方程（9.1），而差分方程（9.10）就成为差分方程（9.6）。
容易看出，差分方程（9.10）的截断误差为)(2221h h O +阶。
9.1.2 一般区域的边界条件处理前面已假设G 为矩形区域，现在考虑G 为一般区域情形，这里主要涉及边界条件的处理。
考虑Poisson 方程第一边值问题⎩⎨⎧Γ∈=∈=∆-),(),,(),(),,(y x y x u Gy x y x f u α （9.12） 其中G 可为平面上一般区域，例如为曲边区域。
仍然用两组平行直线：x =x 0+ih 1,y =y 0+jh 2,i ,j =0,±1,…,对区域G 进行矩形网格剖分，见图9-3。
如果一个内节点（i ,j ）的四个相邻节点（i +1,j ），（i -1,j ），（i ,j +1）和（i ,j -1）属于Γ⋃=G G ，则称其为正则内点，见图9-3中打“。
”号者；如果一个节点（i ,j ）属于G 且不为正则内点，则称其为非正则内点，见图9-3中打“.”号者。
记正则内点集合为hG '，非正则内点集合为h Γ'。
显然，当G 为矩形区域时，h h h hG G Γ=Γ'=',成立。
在正则内点（i ,j ）处，完全同矩形区域情形，可建立五点差分格式h j i j i j i j i j i j i j i G j i f u u u h u u u h '∈=+--+---+-+),(,]2[1]2[1,1,,1,22,1,,121 （9.13） 在方程（9.13）中，当（i ,j ）点临近边界时，将出现非正则内点上的未知量，因此必须补充非正则内点处的方程。
若非正则内点恰好是边界点，如图9-4中 D 点，则利用边界条件可取u D =α(D)对于不是边界点的非正则内点，如图9-4中B 点，一般可采用如下两种处理方法。
a.直接转移法.取与点B 距离最近的边界点（如图9-4中E 点）上的u 的值作为u (B )的近似值u B ，即u B =u (E)=α(E)直接转移法的优点是简单易行，但精度较低，只为一阶近似。
b .线性插值法.取B 点的两个相邻点（如图9-4中边界点A 和正则内点C 作为插值节点对u (B )进行线性插值 则得到点B 处的方程线性插值法精度较高，为二阶近似。
对每一个非正则内点进行上述处理，将所得到的方程与（9.13）式联立，就组成了方程个数与未知量个数相一致的线性代数方程组。
求解此方程组就可得到一般区域上边值问题（9.12）的差分近似解。
对于一般区域上二阶椭圆型方程（9.9）的第一边值问题，可完全类似处理。
第二、三边值条件的处理较为复杂，这里不再讨论。
9.2 抛物型方程的差分方法本节介绍抛物型方程的差分方法，重点讨论差分格式的构造和稳定性分析。
9.2.1 一维问题作为模型，考虑一维热传导的初边值问题T t l x t x f xua t u ≤<<<+∂∂=∂∂0,0),,(22 （9.14） l x x x u <<=0),()0,(ϕ （9.15）T t t g t l u t g t u ≤≤==0),(),(),(),0(21 （9.16）其中a 是正常数，)()(),(),,(21t g t g x t x f 和ϕ都是已知的连续的函数。