(完整版)第九章偏微分方程差分方法汇总,推荐文档
偏微分方程数值方法
偏微分方程数值方法偏微分方程（Partial Differential Equation, PDE）是数学中的一种重要的方程类型，它描述了一个函数的多个变量的变化关系。
解决偏微分方程的数值方法在科学和工程领域有着广泛的应用。
本文将介绍几种常见的偏微分方程数值方法，并对其进行详细阐述。
1. 差分法（Finite Difference Method）：差分法是最早也是最直接的一种数值方法，它基于连续函数在一些点的导数可以用它的前向、后向或中心的差商来近似的思想。
偏微分方程的差分格式包括向前差分法、向后差分法和中心差分法等。
对于二维的偏微分方程，可以采用网格化的方式将空间离散化，然后利用差分法进行近似求解。
2. 有限元法（Finite Element Method）：有限元法是一种基于原始形式或变分形式对偏微分方程进行离散化的方法。
在有限元法中，将求解域分割成许多小的、简单的几何单元，然后在每个单元上构建近似解函数和试验函数。
通过构建弱形式并应用基本的变分原理，可以得到离散化的方程组，并通过求解这个方程组来得到数值解。
3. 有限差分法（Finite Difference Method）：有限差分法是一种将连续的偏微分方程离散化成差分方程的方法。
它与差分法的主要区别在于有限差分法不需要对求解域进行网格化，而是直接在连续的求解域上进行离散化。
将偏微分方程中的导数通过差商来近似，然后通过求解离散化的差分方程来得到数值解。
4. 有限体积法（Finite Volume Method）：有限体积法是一种将偏微分方程离散化为离散体积元的方法。
在有限体积法中，将求解域划分成离散的控制体积，然后通过对控制体积的积分运算，将偏微分方程转化为离散的代数方程组。
然后通过求解得到的代数方程组，可以得到数值解。
以上介绍的只是几种常见的偏微分方程数值方法，实际上还有很多其他的方法，如边界元法（Boundary Element Method）、谱方法（Spectral Method）、逆问题方法（Inverse Problem Method）等。
第九章偏微分方程差分方法汇总
第9章 偏微分方程的差分方法含有偏导数的微分方程称为偏微分方程。
由于变量的增多和区域的复杂性，求偏微分方程的精确解一般是不可能的，经常采用数值方法求方程的近似解。
偏微分方程的数值方法种类较多，最常用的方法是差分方法。
差分方法具有格式简单，程序易于实现，计算量小等优点，特别适合于规则区域上偏微分方程的近似求解。
本章将以一些典型的偏微分方程为例，介绍差分方法的基本原理和具体实现方法。
9.1椭圆型方程边值问题的差分方法9.1.1 差分方程的建立最典型的椭圆型方程是Poisson （泊松）方程G y x y x f yux u u ∈=∂∂+∂∂-≡∆-),(),,()(2222 （9.1）G 是x ,y 平面上的有界区域，其边界Γ为分段光滑的闭曲线。
当f (x ,y )≡0时，方程（9.1）称为Laplace(拉普拉斯）方程。
椭圆型方程的定解条件主要有如下三种边界条件第一边值条件 ),(y x u α=Γ （9.2） 第二边值条件),(y x nuβ=∂∂Γ （9.3） 第三边值条件 ),()(y x ku nuγ=+∂∂Γ （9.4） 这里，n 表示Γ上单位外法向，α(x,y ),β(x,y ),γ(x,y )和k (x,y )都是已知的函数，k (x,y )≥0。
满足方程（9.1）和上述三种边值条件之一的光滑函数u (x ,y )称为椭圆型方程边值问题的解。
用差分方法求解偏微分方程，就是要求出精确解u (x ,y )在区域G 的一些离散节点（x i ，y i ）上的近似值u i ,j ≈(x i ，y i ）。
差分方法的基本思想是，对求解区域G 做网格剖分，将偏微分方程在网格节点上离散化，导出精确解在网格节点上近似值所满足的差分方程，最终通过求解差分方程，通常为一个线性方程组，得到精确解在离散节点上的近似值。
设G ={0<x <a , 0<y <b }为矩形区域，在x ,y 平面上用两组平行直线x =ih 1, i =0,1,…,N 1, h 1=a /N 1 y =jh 2, j =0,1,…,N 2, h 2=b /N 2将G 剖分为网格区域，见图9-1。
偏微分方程的差分方法与数值解
显式差分格式
01
利用前一时间步长的温度值，通过差分公式计算下一
时间步长的温度分布。
隐式差分格式
02 需要求解线性方程组，但具有更好的稳定性，适用于
大时间步长。
Crank-Nicolson格式
03
结合了显式与隐式格式的优点，具有二阶精度和无条
件稳定性。
波动方程的数值解法
01
有限差分时间域（ FDTD）方法
数值解法的稳定性和收敛性需要仔细考虑，否则可能导致计算结果不准确 。
未来发展趋势和挑战
发展趋势
随着计算机技术的不断发展，更高性能的计算机和更先进的算法将使得偏微分方程的数值解法更加高效 和精确。
结合人工智能和机器学习技术，可以开发出更加智能化的数值解法，提高计算效率和精度。
未来发展趋势和挑战
未来发展趋势和挑战
数值解的应用
数值解在各个领域都有广泛的应用，如物理学中的波动方程、热传导方程和量子力学方程，化学中的 反应扩散方程，生物学中的生态模型和神经网络模型，以及工程学中的结构力学、流体力学和电磁场 问题等。
02
偏微分方程的基本概念和性质
偏微分方程的定义和分类
定义
偏微分方程是包含未知函数及其偏导数的方程。
分类
根据方程中未知函数的最高阶偏导数的阶数，可分为一阶、二阶和高阶偏微分方程；根据方程中是否包含未知函 数的非线性项，可分为线性和非线性偏微分方程。
偏微分方程的定解条件和适定性
定解条件
为了使偏微分方程的解唯一确定，需要 给出定解条件，如初始条件、边界条件 等。
VS
适定性
适定性是指偏微分方程定解问题的解的存 在性、唯一性和稳定性。对于线性偏微分 方程，通常可以通过能量方法等方法研究 其适定性；对于非线性偏微分方程，适定 性的研究更加复杂，需要运用不动点定理 、上下解方法、变分方法等工具。
偏微分方程的有限差分法
偏微分方程的有限差分法
有限差分法：是一种数学计算概念，是指在计算过程中，以差分的形势来代替微分，从而使整个计算过程具有有限差分法的出发点，以此达到微分议程和积分微分方式数值解的一种计算过程。
微分方程和积分微分方程数值解的方法。
基本思想是把连续的定解区域用有限个离散点构成的网格来代替，这些离散点称作网格的节点；把连续定解区域上的连续变量的函数用在网格上定义的离散变量函数来近似；把原方程和定解条件中的微商用差商来近似，积分用积分和来近似，于是原微分方程和定解条件就近似地代之以代数方程组，即有限差分方程组，解此方程组就可以得到原问题在离散点上的近似解。
然后再利用插值方法便可以从离散解得到定解问题在整个区域上的近似解。
在采用数值计算方法求解偏微分方程时，若将每一处导数由有限差分近似公式替代，从而把求解偏微分方程的问题转换成求解代数方程的问题，即所谓的有限差分法。
有限差分法求解偏微分方程的步骤如下：
1、区域离散化，即把所给偏微分方程的求解区域细分成由有限个格点组成的网格；
2、近似替代，即采用有限差分公式替代每一个格点的导数；
3、逼近求解。
换而言之，这一过程可以看作是用一个插值多项式及其微分来代替偏微分方程的解的过程（Leon，Lapidus，GeorgeF。
Pinder，1985）。
3-3 偏微分方程的有限差分法.
ti 1, j ti 1, j t 2 x 2x x i , j
属于二阶截断公式，比一阶公式精确。
4
3). 二阶导数的中心差分(Central
difference)
ti 1, j 2ti , j ti 1, j 2t 2 x 2 x 2 x i, j
14
10
整理得
ti或Leabharlann k 1a a k k k ( ti 1 ti 1 ) (1 2 2 )ti 2 x x
ti
k 1
Fo(ti1 ti1 ) (1 2Fo)ti
k
k
k
上式称为显式差分格式。
11
2）. 稳定性条件(Stability Criterion)
为了加快计算的进程而调整 x 和 的大 k 1 2 小时，必须遵守使上式中ti 的系数 大于 2 x 或至少等于零。即
1 2 x 2
二维非稳态导热均匀网格的显式差分格式， 稳定性条件为：
1 14 0 Fo 2 x 4
12
13
3）. 隐式差分格式（The implicit method)
同理
ti , j 1 2ti , j ti , j 1 2t 2 y 2 y 2 y i, j
5
二、 热传导问题的数值计算
1、二维稳态导热
t t 2 0 2 x y
2 2
t i 1 , j 2 t i , j t i 1 , j
6
2、边界节点方程式的建立(Boundary
偏微分方程离散差分式差分方法等
(5)
6
3.1.3 差分方程的修正方程(续)
u ku 2 p 1u 2 pu k 2 p 1 2 p 1 2 p 2 p t k 1 x k x x p 0 p 1
基本解为 e ( i ) t eikx
(1) p 2 p k 2 p
u f (u ) 0 t x
相容的，且当时间和空间步长趋于零时，差分解一致有界，几乎处处收敛于 分片连续可微的函数，则这个收敛的函数就是守恒律的一个弱解。
推论：守恒型差分各式的收敛解能自动满足间断关系。 用途: (加上熵条件）可以得到正确的激波，研究中大量使用 例如：Lax-Friedrichs 格式，Lax-Wendroff格式，Mac Cormack格式
~n
1 J 2
~ t f n 1 t
J 2
再对n求和 :
j J n 1 j
~ x u x f k
j J k 0
N
1 J 2
~ t f k 1 t
k 0 J 2
N
可以看成是积分
x J 1 / 2
u ( x, t n 1 )dx
Fourier稳定性 : ikx ikx 2 ikx A A 1 (e e ) (e 2 e ikx ) 2 2 An 1 G n 1 i sin kx 2 (coskx 1) A G 1 1
n 1 n
•
1
称为CFL条件 (Courant, Friedrichs, Levy)
10
3.1.5 守恒型差分格式
• 流体力学方程组描述物理量的守恒性；守恒律组：
u d f 0 t i 1 xi
偏微分方程的基本方法
偏微分方程的基本方法偏微分方程（Partial Differential Equations，简称PDE）是描述多变量函数的微分方程，其中函数的一个或多个变量是多维的。
在数学、物理学、工程学等领域中，偏微分方程被广泛应用于描述自然现象和物理规律。
解决偏微分方程的问题是这些领域中的重要课题之一。
本文将介绍偏微分方程的基本方法，包括分类、求解技巧和常见的数值方法。
### 一、偏微分方程的分类根据方程中未知函数的阶数和自变量的个数，偏微分方程可以分为几种基本类型：1. **椭圆型偏微分方程**：椭圆型偏微分方程的代表是拉普拉斯方程，通常用于描述稳态问题。
椭圆型方程的特点是解的光滑性好，边界条件唯一确定解。
2. **抛物型偏微分方程**：抛物型偏微分方程的代表是热传导方程和波动方程，通常用于描述随时间演化的问题。
抛物型方程的解需要给定初始条件和边界条件。
3. **双曲型偏微分方程**：双曲型偏微分方程的代表是波动方程，通常用于描述波动传播的问题。
双曲型方程的解需要给定初始条件和边界条件，解的行为受到波速的影响。
### 二、偏微分方程的求解方法解偏微分方程的方法主要包括解析解和数值解两种。
1. **解析解**：对于一些简单的偏微分方程，可以通过变量分离、特征线法、变换等方法求得解析解。
解析解的优点是精确性高，能够给出问题的精确解析解。
2. **数值解**：对于大多数复杂的偏微分方程，往往无法得到解析解，需要借助数值方法进行求解。
常见的数值方法包括有限差分法、有限元法、谱方法等。
数值解的优点是适用范围广，可以处理各种复杂情况。
### 三、偏微分方程的常见数值方法1. **有限差分法**：有限差分法是一种常见的数值方法，将偏微分方程中的导数用差分近似代替，将偏微分方程转化为代数方程组。
通过迭代求解代数方程组，可以得到偏微分方程的数值解。
2. **有限元法**：有限元法是一种广泛应用的数值方法，将求解区域划分为有限个单元，通过建立单元之间的关系，将偏微分方程转化为代数方程组。
微分方程和差分方程方法课件
适用范围
01
适用于求解具有特定形式的一阶微分方程组。
解法描述
02 通过引入特征线的概念，将微分方程转化为常微分方
程沿特征线的积分，从而简化求解过程。
实例
03
以一阶微分方程组为例，通过特征线法可以得到通解
表达式。
幂级数法
适用范围
常用于求解具有特定形式的微分方程，如线性微分方程、常系数 线性微分方程等。
01
数学家贡献
众多数学家如牛顿、莱布尼茨、欧拉、 拉格朗日等都对微分方程的发展做出了 重要贡献。
02
03
现代应用
现代科学技术领域如物理学、生物学 、经济学等广泛使用微分方程来描述 和预测现象。
差分方程的历史与发展
早期起源
差分方程起源于17世纪，主要用于解决与离散序列有关的问题。
数学家贡献
欧拉、高斯等数学家对差分方程的发展做出了重要贡献。
02
微分方程的解法
分离变量法
01
适用范围
常用于求解具有特定形式的微分 方程，如波动方程、热传导方程 等。
02
03
解法描述
实例
将微分方程中的未知函数分离出 来，转化为几个常微分方程的组 合，然后分别求解。
以一维波动方程为例，通过分离 变量法可以得到波函数的形式为 y(x,t)=f(x)g(t)。
特征线法
化性能。
高性能计算与并行计算
利用高性能计算机和并行计算技术， 加速微分方程和差分方程的求解过程 。
多尺度方法
研究多尺度方法，处理不同尺度的微 分方程和差分方程，适应不同应用场 景的需求。
当前面临的挑战
算法复杂度与计算效率 由于微分方程和差分方程的复杂 性，往往需要设计高效的算法来 降低计算复杂度，提高计算效率 。
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第9章 偏微分方程的差分方法含有偏导数的微分方程称为偏微分方程。
由于变量的增多和区域的复杂性，求偏微分方程的精确解一般是不可能的，经常采用数值方法求方程的近似解。
偏微分方程的数值方法种类较多，最常用的方法是差分方法。
差分方法具有格式简单，程序易于实现，计算量小等优点，特别适合于规则区域上偏微分方程的近似求解。
本章将以一些典型的偏微分方程为例，介绍差分方法的基本原理和具体实现方法。
9.1椭圆型方程边值问题的差分方法9.1.1 差分方程的建立最典型的椭圆型方程是Poisson （泊松）方程（9.1）G y x y x f yux u u ∈=∂∂+∂∂-≡∆-),(),,()(2222G 是x ,y 平面上的有界区域，其边界Γ为分段光滑的闭曲线。
当f (x ,y )≡0时，方程（9.1）称为Laplace(拉普拉斯）方程。
椭圆型方程的定解条件主要有如下三种边界条件第一边值条件 （9.2）),(y x u α=Γ 第二边值条件（9.3）),(y x nuβ=∂∂Γ 第三边值条件 （9.4）),()(y x ku nuγ=+∂∂Γ这里，n 表示Γ上单位外法向，α(x,y ),β(x,y ),γ(x,y )和k (x,y )都是已知的函数，k (x,y )≥0。
满足方程（9.1）和上述三种边值条件之一的光滑函数u (x ,y )称为椭圆型方程边值问题的解。
用差分方法求解偏微分方程，就是要求出精确解u (x ,y )在区域G 的一些离散节点（x i ，y i ）上的近似值u i ,j ≈(x i ，y i ）。
差分方法的基本思想是，对求解区域G 做网格剖分，将偏微分方程在网格节点上离散化，导出精确解在网格节点上近似值所满足的差分方程，最终通过求解差分方程，通常为一个线性方程组，得到精确解在离散节点上的近似值。
设G ={0<x <a , 0<y <b }为矩形区域，在x ,y 平面上用两组平行直线x =ih 1, i =0,1,…,N 1, h 1=a /N 1 y =jh 2, j =0,1,…,N 2, h 2=b /N 2将G 剖分为网格区域，见图9-1。
h 1，h 2分别称为x 方向和y 方向的剖分步长，网格交点（x i ，y i ）称为剖分节点（区域内节点集合记为G h ={（x i ，y i ）; （x i ，y i ）∈G }）,网格线与边界Γ的交点称为边界点，边界点集合记为Γh 。
现在将微分方程（9.1）在每一个内节点（x i ，y i ）上进行离散。
在节点（x i ，y i ）处，方程（9.1）为（9.5）h i i i i i i i i G y x y x f y x yuy x x u ∈=∂∂+∂∂-),(),,()],(),([2222需进一步离散（9.5）中的二阶偏导数。
为简化记号，简记节点（x i ，y i ）=(i ,j )，节点函数值u （x i ，y i ）=u (i ,j )。
利用一元函数的Taylor 展开公式，推得二阶偏导数的差商表达式)(0)]1,(),(2)1,([1),()(0)],1(),(2),1([1),(222222212122h j i u j i u j i u h j i y u h j i u j i u j i u h j i x u +-+-++=∂∂+-+-++=∂∂代入（9.5）式中，得到方程（9.1）在节点(i ,j )处的离散形式h j i G j i h h f j i u j i u j i u h j i u j i u j i u h ∈++=-+-+--+-+-),(),(0)]1,(),(2)1,([1)],1(),(2),1([12221,2221其中。
舍去高阶小项，就导出了u (i ,j )的近似值u i ,j 所),(,i i j i y x f f =)(02221h h +满足的差分方程h j i j i j i j i j i j i j i G j i f u u u h u u u h ∈=+--+---+-+),(,]2[1]2[1,1,,1,22,1,,121（9.6）在节点(i ,j )处方程（9.6）逼近偏微分方程（9.1）的误差为，它关于)(2221h h O +剖分步长是二阶的。
这个误差称为差分方程逼近偏微分方程的截断误差，它的大小将影响近似解的精度。
在差分方程（9.6）中，每一个节点(i ,j )处的方程仅涉及五个节点未知量u i ,j ，u i +1,j ，u i -1,j ，u i ,j +1，u i ,j -1，因此通常称（9.6）式为五点差分格式，当h 1= h 2=h 时，它简化为h j i j i j i j i j i j i G j i f u u u u u h∈=-+++--+-+),(,]4[1,,1,1,,1,12差分方程（9.6）中，方程个数等于内节点总数，但未知量除内节点值u i ,j,(i ,j )∈G h 外，还包括边界点值。
例如，点(1,j )处方程就含有边界点未知量u 0,j 。
因此，还要利用给定的边值条件补充上边界点未知量的方程。
对于第一边值条件式（9.2），可直接取u i ,j =α（x i ，y i ）， (i ,j )∈Γh （9.7）对于第三（k =0时为第二）边值条件式（9.4），以左边界点(1,j )为例，见图9-2,利用一阶差商公式)(),1(),0(),0(11h O h j u j u j n u +-=∂∂则得到边界点(0,j )处的差分方程（9.8）j j j jj r u k h u u ,0,0,01,1,0=+-联立差分方程（9.6）与（9.7）或（9.8）就形成了求解Poisson 方程边值问题的差分方程组，它实质上是一个关于未知量{u i ,j }的线性代数方程组，可采用第2，3章介绍的方法进行求解。
这个方程组的解就称为偏微分方程的差分近似解，简称差分解。
考虑更一般形式的二阶椭圆型方程（9.9）G y x y x f Eu yu D x u C y u B y x u A x ∈=+∂∂+∂∂+∂∂∂∂+∂∂∂∂-),(),,(](([其中A (x ,y )≥A m in >0,B (x ,y )≥B m in>0,E(x ,y )≥0。
引进半节点,12121h x xi i ±=±利用一阶中心差商公式，在节点（i ,j ）处可有,22121h y yi i ±=±)(2),1(),1(),()(),1(),(),(),1([1)()],21)((),21)([(1),)((211211,211211211h O h j i u j i u j i x u h O h j i u j i u A h j i u j i u A h h O j i x u A j i x u A h j i x u A x j i j i +--+=∂∂+----+=+-∂∂-+∂∂=∂∂∂∂-+对类似处理，就可推得求解方程（9.9）的差分方程yuy u B y ∂∂∂∂∂∂),( （9.10）hj i j i j i j i j i j i j i j i j i j i G j i j i f u a u a u a u a u a ∈=-+++---++---+),(),,(][,,1,1,1,1,,1,1,1,1其中（9.11）⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎧++++=-=+=-=+=-+--+----+-+---+-+ji j i j i j i j i j i j i j i j i j i j i j i j i j i j i j i j i j i E B B h A A h a D h B h a D h B h a C h A h a C h A h a ,21,21,22,21,2121,,221,221,,221,221,,1,2121,1,1,2121,1)()()2()2()2()2(显然，当系数函数A (x ,y )=B (x ,y )=1, C (x ,y )=D (x ,y )=E (x ,y )=0时，椭圆型方程（9.9）就成为Poisson 方程（9.1），而差分方程（9.10）就成为差分方程（9.6）。
容易看出，差分方程（9.10）的截断误差为阶。
)(2221h h O +9.1.2 一般区域的边界条件处理前面已假设G 为矩形区域，现在考虑G 为一般区域情形，这里主要涉及边界条件的处理。
考虑Poisson 方程第一边值问题（9.12）⎩⎨⎧Γ∈=∈=∆-),(),,(),(),,(y x y x u Gy x y x f u α其中G 可为平面上一般区域，例如为曲边区域。
仍然用两组平行直线：x =x 0+ih 1,y =y 0+jh 2,i ,j =0,±1,…,对区域G 进行矩形网格剖分，见图9-3。
如果一个内节点（i ,j ）的四个相邻节点（i +1,j ），（i -1,j ），（i ,j +1）和（i ,j -1）属于，则称其为正则内点，见图9-3中打“。
”号者；如果一个节点Γ⋃=G G （i ,j ）属于且不为正则内点，则称其为非正则内点，见图9-3中打“.”号者。
G 记正则内点集合为，非正则内点集合为。
显然，当G 为矩形区域时，h G 'h Γ'成立。
h h h hG G Γ=Γ'=',在正则内点（i ,j ）处，完全同矩形区域情形，可建立五点差分格式h j i j i j i j i j i j i j i G j i f u u u h u u u h '∈=+--+---+-+),(,]2[1]2[1,1,,1,22,1,,121（9.13）在方程（9.13）中，当（i ,j ）点临近边界时，将出现非正则内点上的未知量，因此必须补充非正则内点处的方程。
若非正则内点恰好是边界点，如图9-4中D 点，则利用边界条件可取u D =α(D)对于不是边界点的非正则内点，如图9-4中B 点，一般可采用如下两种处理方法。
a.直接转移法.取与点B 距离最近的边界点（如图9-4中E 点）上的u 的值作为u (B )的近似值u B ，即u B =u (E)=α(E)直接转移法的优点是简单易行，但精度较低，只为一阶近似。
b .线性插值法.取B 点的两个相邻点（如图9-4中边界点A 和正则内点C 作为插值节点对u (B )进行线性插值)()()()(21h O C u x x x x A u x x x x B u AC AB AC B C +--+--=则得到点B 处的方程 AB C B x x u h A h h u -=+++=δδδαδ,)(111线性插值法精度较高，为二阶近似。