计算方法-常微分方程的差分方法实验
常微分方程与差分方程
数值解法的改进
高精度算法
随着计算机技术的发展，人们开发出了许多高精度、高效率的数值解法，如谱方法、有限元方法等。
自适应算法
自适应算法可以根据问题的复杂性和解的特性自动调整计算精度和计算量，提高了数值解法的可靠性和效率。
THANKS FOR WATCHING
感谢您的观看
常微分方程的解法
总结词
求解常微分方程的方法有多种，如分离变量法、积分 因子法、参数变易法等。
详细描述
求解常微分方程的方法有多种，其中分离变量法和积 分因子法是比较常用的方法。分离变量法是将方程中 的变量分离出来，转化为多个简单的微分方程，然后 分别求解。积分因子法是通过引入一个因子，将原方 程转化为易于求解的形式。此外，参数变易法也是求 解常微分方程的一种常用方法，它通过将参数引入到 原方程中，使得原方程转化为易于求解的形式。
VS
详细描述
根据形式和性质的不同，常微分方程可以 分为多种类型。常见的一阶常微分方程是 形式为dy/dx = f(x, y)的方程，其中f(x, y)是一个关于x和y的函数。二阶常微分方 程是形式为y'' = f(x, y')的方程，其中y'表 示y对x的导数。此外，根据是否含有线性 项和非线性项，常微分方程还可以分为线 性常微分方程和非线性常微分方程。
02 差分方程的基本概念
差分方程的定义
差分方程是描述离散变量之间关系的 数学模型，通常表示为离散时间点的 函数值的差分关系式。
它与微分方程类似，但时间变量是离 散的，而不是连续的。
差分方程的分类Leabharlann 01一阶差分方程只包含一个差分的方程，如 (y(n+1) - y(n) = f(n))。
常微分方程数值解法的误差分析汇总
淮北师范大学2013届学士学位论文常微分方程数值解法的误差分析学院、专业数学科学学院数学与应用数学研究方向计算数学学生姓名李娜学号 20091101070指导教师姓名陈昊指导教师职称讲师年月日常微分方程数值解法的误差分析李娜（淮北师范大学数学科学学院，淮北，235000）摘要自然界与工程技术中的很多现象，往往归结为常微分方程定解问题。
许多偏微分方程问题也可以化为常微分方程问题来近似求解。
因此，研究常微分方程的数值解法是有实际应用意义的。
数值解法是一种离散化的数学方法，可以求出函数的精确解在自变量一系列离散点处的近似值。
随着计算机计算能力的增强以及数值计算方法的发展，常微分方程的数值求解方法越来越多，比较成熟的有Euler 法、后退Euler法、梯形方法、Runge—Kutta方法、投影法和多步法，等等．本文将对这些解的误差进行分析,以求能够得到求解常微分数值解的精度更好的方法。
关键词：常微分方程, 数值解法, 单步法, 线性多步法, 局部截断误差Error Analysis of Numerical Method for Solving theOrdinary Differential EquationLi Na(School of Mathematical Science, Huaibei Normal University, Huaibei, 235000)AbstractIn nature and engineering have many phenomena , definite solution of the problem often boils down to ordinary differential equations. So study the numerical solution of ordinary differential equations is practical significance. The numerical method is a discrete mathematical methods, and exact solution of the function can be obtained in the approximation of a series of discrete points of the argument.With the enhanced computing power and the development of numerical methods,ordinary differential equations have more and more numerical solution,there are some mature methods. Such as Euler method, backward Euler method, trapezoidal method, Runge-Kutta method, projection method and multi-step method and so on.Therefore, numerical solution of differential equation is of great practical significance. Through this paper, error of these solutions will be analyzed in order to get a the accuracy better way to solve the numerical solution of ordinary differential.Keywords:Ordinary differential equations, numerical solution methods, s ingle ste p methods, l inear multi-step methods, local truncation error目录引言 (1)一、常微分方程 (1)1、定义 (1)2、常微分方程初值问题描述 (2)3、数值解法的基本思想与途径 (2)4、数值解的分类 (3)5、问题(1)解的存在惟一性定理 (4)二、几种常用的数值解法及其误差分析 (4)1、单步法 (4)(一)、欧拉法 (5)(二)、向后EuIer方法 (6)(三)、- 法 (7)(四)、改进欧拉法 (7)(五)Runge—Kutta方法 (9)2、线性多步法 (14)总结 (16)参考文献: (17)引 言自然界中很多事物的运动规律可用微分方程来刻画。
常微分方程的差分的方法
对于二阶常微分方程 $y'' = f(t, y, y')$，可以采用隐式差分法或显式差 分法进行求解。
VS
隐式差分法需要解方程组，计算量大， 但精度高；显式差分法精度低但计算 量小。
复杂微分方程组的求解实例
对于多个一阶或二阶常微分方程组成的复杂微分方程组，可以采用耦合差分法或龙格-库塔法进行求 解。
差分方法的基本概念和原理
基本概念
差分方法的基本概念是将时间或空间离散化，将连续的微分方程转化为离散的差 分方程。在时间离散化中，我们使用向前、向后或中心差分近似微分项；在空间 离散化中，我们使用有限差分近似微分项。
原理
差分方法的原理是将连续的微分方程转化为离散的差分方程，然后通过迭代或递 推的方式求解该差分方程。在每一步迭代或递推中，我们使用已知的函数值和差 分近似来计算新的函数值，直到达到所需的精度或收敛条件。
耦合差分法是将多个微分方程转化为耦合的差分方程组进行求解；龙格-库塔法是一种迭代算法，通过 已知的$y_n$和$y'_n$来求解$y_{n+1}$。
THANKS
感谢观看
REPORTING
https://
改进的龙格-库塔方法
引入预估校正步骤
为了提高数值解的精度和稳定性，可以在龙 格-库塔方法中引入预估校正步骤。通过预 估和校正两个步骤的结合，可以减小数值误 差并提高方法的收敛速度。
考虑非线性项的处理
在求解二阶常微分方程时，非线性项的处理 对于数值解的精度和稳定性具有重要影响。 通过改进非线性项的处理方式，可以进一步 提高改进的龙格-库塔方法的性能。
有限差分法
有限差分法的原理
有限差分法是一种基于离散化的数值方法， 通过将微分方程转化为差分方程来求解。该 方法的关键在于选择合适的差分格式和离散 化方案，以保证数值解的精度和稳定性。
第三章常微分方程的差分方法15
1．教学内容：
Euler方法：Euler公式，单步显式公式极其局部截断误 差；后退Euler公式，单步隐式公式极其局部截断误差；梯 形公式，预测校正公式与改进Euler公式。
2．重点难点：
Euler公式，预测校正公式与改进Euler公式
3．教学目标：
了解欧拉方法的几何意义、对给出的初值问题，能利 用Euler公式，改进Euler公式进行数值求解
科学技术当中常常需要求解常微分方程的定解问题。这类
问题的最简单的形式，是本章着重要考察的一阶方程的初值 问题：
y ' f x, y
y
x0
y0
（1） （2）
本章中我们假定右函数适当光滑以保证初值问题解的存
在唯一。虽然求解常微分方程有各种各样的解析方法，但求 解从实际问题中归结出来的微分方程要靠数值解法。
（其解析解为） y 2x 1
解：设步长 h=0.1，由改进的欧拉格式（10）有：
y
p
yn
h( yn
2xn ) yn
yc
yn
h( y p
2 xn1 ) yp
yn
1
1 2
(yp
yc )
n=0时
yp
y(xn ))
替代方程
y' (xn1) f (xn1, y(xn1))
中的导数项 y'xn1 再离散化，即可导出下列格式
yn1 yn hf xn1, yn1
（5）
该格式右端含有未知的 yn1 它实际上是个关于 yn1
的函数方程。故称该格式为隐式欧拉格式。
由于向前差商和向后差商具有同等精度，故隐式欧拉 格式也是一阶方法，精度与欧拉格式相当。但计算远 比显式格式困难得多。
常微分方程有限差分
常微分方程有限差分
常微分方程是描述自然界中许多现象的数学模型，它们通常用
于描述变化的速率和趋势。
而有限差分则是一种数值方法，用于对
微分方程进行离散化处理，从而可以通过计算机进行求解。
将这两
者结合起来，可以得到一种强大的工具，用于求解复杂的微分方程
问题。
在常微分方程有限差分的方法中，我们首先将微分方程转化为
差分方程，然后利用数值方法进行求解。
这种方法的优势在于，它
可以处理一些无法通过解析方法求解的复杂微分方程，同时也可以
通过计算机进行高效的数值求解。
常微分方程有限差分的方法在科学和工程领域有着广泛的应用。
例如，在物理学中，它可以用于描述物体的运动和变形；在工程领域，它可以用于分析电路的动态行为和控制系统的稳定性；在生物
学中，它可以用于描述生物种群的增长和衰减。
通过常微分方程有
限差分的方法，我们可以更好地理解和预测这些现象的变化规律。
总之，常微分方程有限差分是一种强大的数值方法，它为我们
解决复杂的微分方程问题提供了新的途径。
通过这种方法，我们可
以更深入地理解自然界中的各种现象，并且为科学和工程领域的发展提供了重要的数学工具。
第三章 常微分方程的差分方法
Euler法的求解过程是:从初始点 P0(即点(x0,y0))出发,作积分曲线 y=y(x)在P0点上切线 P0 P (其斜率 1 为 y( x0 ) f ( x0 , y0 ) ),与x=x1直线
x0
x1
xi
xi+1
自 动 化 工 程 学 院
School of Automation Engineering
第 三 章
P1 P1 P0
常微分方程的差分方法
Pi+1 Pn Pi Pi+1 Pi y=y(x) Pn
x0
x1
xi
xi+1
xn
由此获得了P2的坐标。重复以上过程,就可获得一系列的 点:P1,P1,…,Pn。对已求得点 Pn ( xn , y n ) 以 y ( xn ) = f ( xn , yn )为斜率作直线 当 x xn1 时,得 取 y( xn ) y n
第 三 章
常微分方程的差分方法
第三章 常微分方程的差分方法
引言
包含自变量、未知函数及未知函数的导数或微分的方
程称为微分方程。在微分方程中, 自变量的个数只有一个, 称为常微分方程。自变量的个数为两个或两个以上的微分 方程叫偏微分方程。微分方程中出现的未知函数最高阶导 数的阶数称为微分方程的阶数。如果未知函数y及其各阶导 数
对于初值问题
散化，建立求数值解的递推公式。递推公式通常有两类，一 类是计算yi+1时只用到xi+1, xi 和yi，即前一步的值，因此有了 初值以后就可以逐步往下计算，此类方法称为单步法；其代 表是龙格—库塔法。另一类是计算yi+1时，除用到xi+1,xi和yi以 外，还要用到 xi p , yi p ( p 1,2,, k ) ，即前面k步的值，此类 方法称为多步法；其代表是亚当斯法。
常微分方程差分解法、入门、多解法
毕业论文题目抛物型方程的差分解法学院数学科学学院专业信息与计算科学班级计算0802学生王丹丹学号20080901045指导教师王宣欣二〇一二年五月二十五日摘要偏微分方程的数值解法在数值分析中占有重要的地位，很多科学技术问题的数值计算包括了偏微分方程的数值解问题【1】。
近三十多年来，数值解法的理论和方法都有了很大的发展，而且在各个科学技术的领域中应用也愈来愈广泛。
本文的研究主要集中在依赖于时间的问题，借助于简单的常系数扩散方程，介绍抛物型方程的差分解法。
本文以基本概念和基本方法为主，同时结合算例实现算法。
第一部分介绍偏微分方程及差分解法的基本概念，引入本文的研究对象——常系数扩散方程：22,,0 u ua x R tt x∂∂=∈>∂∂第二部分介绍上述方程的几种差分格式及每种格式的相容性、收敛性与稳定性。
第三部分通过算例检验每种差分格式的可行性。
关键词：偏微分方程；抛物型；差分格式；收敛性；稳定性；算例ABSTRACTThe numerical solution of partial differential equation holds an important role in numerical analysis .Many problems of compution in the field of science and techology include the numerical solution of partial differential equation. For more than 30 years, the theory and method of the numerical computation made a great development and its applications in various fields of science and technology are more and more widely. This paper focuses on the problems based on time. I will use object-constant diffusion equation to introduces the finite difference method of parabolic equation. This paper mainly focus on the basic concept ,basic method and simple numerical example.The first part of this paper introduces partial differential equations and basic concepts of finite difference method.I will introduce the object-constant diffusion equation for thefirst time.22,,0 u ua x R tt x∂∂=∈>∂∂The second part of this paper introduces several difference schemes of the above equation and their compatibility ,convergence and stability.The third part tests the accuracy of each scheme.Key words:partial differential equation；parabolic；difference scheme；convergence；stability；application目录摘要 (I)ABSTRACT (II)目录 (III)1前言 (1)2基本概念和定理 (2)2.1抛物型方程的基本概念 (2)2.1.1偏微分方程的定义 (2)2.1.2抛物型方程的定义 (2)2.1.3初边值条件的定义 (3)2.2 差分方法的基本思想 (3)2.3网格剖分 (4)2.4截断误差的基本概念 (5)2.5相容性的基本概念 (7)2.6收敛性的基本概念 (7)2.7稳定性的基本概念 (8)2.7.1判断稳定性的直接法 (8)2.7.2判断稳定性的Fourier方法 (9)3常系数扩散方程的差分格式及其相容性、收敛性和稳定性分析 (12)3.1向前差分格式 (12)3.2向后差分格式 (13)3.3 Crank-Nicolson格式 (14)3.4 Richardson格式 (16)4差分解法的应用 (18)结论 (25)参考文献..................................................... .................. .. (26)致谢 (27)附录 (28)1前言微积分方程这门学科产生于十八世纪，欧拉在他的著作中最早提出了弦振动的二阶方程，随后不久，法国数学家达朗贝尔也在他的著作《论动力学》中提出了特殊的偏微分方程[2]。
计算方法常微分方程的差分方法
01
扰动值满足原来的差分方程，如果原差分方程的解是不增长的，即有
03
从而需要
02
这时就能保证Euler方法的稳定性。
04
Euler格式条件稳定
隐式Euler格式是恒稳定(无条件稳定)的
隐式Euler方法
由于λ<0，从而有 与 恒成立。
1
则：
2
而
3
显然：
4
校正后的误差
从而有：
事后估计式
令pn和cn分别代表第n步的预报值和校正值， 和
可作为pn+1和cn+1的改进值。在cn+1未确定前，可用pn-cn来代替pn+1-cn+1进行计算。
改进后的公式
Exercises 习题3的第13题。
设xn-x0=nh≤T(T为常数)，则
从而
显然，如果初值准确，则有h→0,en → 0.
1
Euler格式收敛。
2
04
03
01
02
稳定性
每一步的计算并不严格准确，存在计算误差的传播问题——扰动。
若
则称为稳定的。
Euler格式和隐式Euler格式
稳定性问题的讨论
Euler格式 设在节点值yn上有一扰动值εn，它的传播使节点值yn+1上产生大小为εn+1的扰动值。假设Euler方法的计算过程不再引入新的误差，则扰动值满足：
改进的思路：
01
先用欧拉方法求得一个初步的近似值，记为 (预报值)，代替右侧的yn+1直接计算，得到校正值yn+1。
02
改进的Euler公式
03
或如下平均化形式
例题
精度分析
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
实验三 常微分方程的差分方法实验
一. 实验目的
（1）深入理解常微分方程的差分方法的原理，学会用差分方法解决某些实际的常微分方程问题，比较这些方法解题的不同之处。
（2）熟悉Matlab 编程环境，利用Matlab 实现具体的常微分方程。
二. 实验要求
用Matlab 软件实现欧拉方法、改进的欧拉方法、龙格-库塔方法和亚当姆斯方法，并用实例在计算机上计算。
三. 实验内容
1. 实验题目
（1）取h =0.1，用欧拉方法、改进的欧拉方法、四阶龙格-库塔方法求解初值问题：
⎪⎩⎪⎨⎧=-+='0
)0(21122y y x y 40≤≤x 并与精确解2
1x x y +=比较计算结果 A.欧拉方法：
a ．编写文件Euler.m,内容如下所示：
b.B
b.编写文件
f3.m:
c.编写文件
solvef3(x):
d.运行如下所示：
可见精度是比较粗糙的，具有两位有效数字；
B．改进的欧拉方法
a．编写文件MendEuler.m,内容如下所示：
c．运行如下：
可见部分值具有3为有效数字了
C．四阶龙格-库塔方法
a．编写文件Rungkuta4.m,内容如下所示：
b．运行如下所示：
（2）分别用二阶亚当姆斯预估校正系统、改进的四阶亚当姆斯预估校正系统求解初
值问题0)0(1=-='y y y ，，取181.0)2.0(2.0==y h ，，计算)0.1(y 。
a.编写文件Adams2PC.m,即为二阶亚当姆斯预估校正系统的程序：
b.编写改进的四阶亚当姆斯预估校正系统的程序，如下所示：
C ．编写文件f5.m,即为微分方程的程序；编写文件solvef5.m ，为解函数的程序，用以比较结果：
d．运行
从上面的输出可以看到CA4(:,2)和CA4的输出时不同的，前面一个值输入矩阵的第二列；
2. 设计思想
要求针对上述题目，详细分析每种算法的设计思想。
首先差分方法是一类离散化方法，这类方法将寻求解y（x）的分析问题转化为计算离散值y的代数问题，使问题得到实质性的简化；差分方法在解初值问题时采取步进式，进一步将计算模型化归为仅含一个变元的代数方程——差分格式
A．欧拉方法：确定步长，施行离散化手续，用差商代替倒数；
B．改进的欧拉方法：在欧拉方法的基础上，改变倒数项，通过首尾两点的倒数的一半来作为平均倒数，从而改善精度；
C．龙格-库塔方法：在每一步上多预报几个点的斜率，然后将它们加权平均作为平均斜率K*，即该平均斜率将比上面两种方法更加精确，则有可能构造出更高精
度的计算格式；
D．二阶亚当姆斯预估校正系统：充分利用先前计算出来的老信息来为新信息服务，期望来达到减少计算量的目的；预报过程采用松弛手续，来校正产生的值，使
值的精度更高；
E．改进的四阶亚当姆斯预估校正系统：在二阶的基础上，更近一步地改善精度，更加充分地利用来信息，又不失二阶时的预报校正的优点。
四.实验体会
对实验过程进行分析总结，对比求解常微分方程的不同方法，指出每种算法的设计要点及应注意的事项，以及自己通过实验所获得的对常微分方程的差分方法的理解。
在实验的过程也是一次对书本进行复习的过程，通过实验可以更加地理解和学会利用已知的结论来求解初值问题。
算法的计算是建立在使用价值上的，如上面的设计思想中可以看出，每一种算法的建立都是在满足一定的实用价值上的，既要有一定的精度，也要控制在一定的计算范围之内。
利用松弛手续来提高精度，这种设计是优秀的。
编写程序时，以前并不是很注意结尾要不要分号，但这个细节有时必须要注意，正如在运行窗口下时，要想得出计算结果是不能带分号的，假如你带了分号就会自动换行，
提示继续输入，如，而当去了分号后就可以运行了；当然这个道理前面几个实验已经知道；这次实验的情况是微分方程是另外存在一个函数文件中的，那么这个文件的结尾到底要不要分号呢？从习惯上还是提倡写上分号，假如在这次中忘了写的话，在其它“.m”文件中引用该函数时，虽然只是中间结果，但每用一次就好输出一次，使输出内容与预知的多了些；
还有一点是，像上面的内容假如直接复制，粘贴再运行会出错，因为把“>>”也复制上了，粘贴的“>>”和换行时自动出现的符号在意义上是不同的，故会出错，不过在最新版本的matlab上就没有这个问题，在粘贴时自动把多出的符号删去。
实验中二阶亚当姆斯预估校正系统题目中给了两个初值，从而使得程序更加地简单，不必利用其它的方法来求得初值再启动运行。