有限差分法求解偏微分方程
有限差分法解偏微分方程式
有限差分法解偏微分方程式第一節偏微分方程已知二階偏微分方程0,,,,22222=⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂∂∂+∂∂+∂∂∂+∂∂t u x u u t x f t u C t x u B x u A 若042=-AC B ，則稱上式為拋物線型偏微分方程。
若042>-AC B ，則稱上式為雙曲線型偏微分方程。
若042<-AC B ，則稱上式為橢圓型偏微分方程。
第二節Heat conduction 偏微分方程之數值解Heat Conduction Equation ：t u x u ∂∂=∂∂2221α，L x <<0，0>t 邊界條件與初始條件必須給定。
將x 分成n 段n L h x ==∆，並取t 方向增量tk ∆=【方法一】顯性近似法：考慮節點()j i ,處之差分公式：grid points：()j i t x ,，()ji ij t x u u ,=二階偏微分為中央差分近似2,1,,12,1,,12222h u u u x u u u x u j i j i j i j i j i j i +-+-+-≈∆+-≈∂∂一階偏微分為前向差分近似ku u t u u t u j i j i j i j i ,1,,1,-≈∆-≈∂∂++代入熱傳方程t u x u ∂∂=∂∂2221α，得k u u h u u u j i j i j i j i j i ,1,22,1,,112-=+-++-α移項整理得()j i j i j i j i j i u u u u u hk ,1,,1,,1222-=+-++-α令22*hk αα=代入，得節點()j i ,之有限差分近似公式()j i j i j i j i j i u u u u u ,1,,1,1,2*+-++-+=α，n i ,,2,1,0 =， ,2,1,0=j 其中0=j 為初始條件，0,i u 為給定。
移項得PDE finite difference formula for the heat equation：()ji j i j i j i u u u u ,1,,11,**21*+-++-+=ααα0=i 及n i =為邊界條件，j u ,0，j n u ,為給定。
有限差分法的原理与计算步骤
有限差分法的原理与计算步骤有限差分法（Finite Difference Method）是一种常用的数值计算方法，用于求解偏微分方程的数值解。
其基本原理是将连续的偏微分方程转化为差分方程，通过逼近导数，使用离散的点代替连续的点，从而将问题转化为代数问题。
下面将详细介绍有限差分法的原理和计算步骤：一、基本原理：有限差分法基于Taylor级数展开，通过利用函数在其中一点附近的导数信息来逼近函数在该点处的值。
该方法将连续的偏微分方程转化为差分方程，使用离散的点代替连续的点，从而将问题转化为代数问题。
在有限差分法中，常用的差分逼近方式有前向差分、后向差分和中心差分。
二、计算步骤：1.网格划分：将求解区域划分为有限个离散点，并定义网格上的节点和网格尺寸。
通常使用等距离网格，即每个网格点之间的间距相等。
2.离散化：将偏微分方程中的各个导数项进行逼近，利用差分近似来替代和求解。
一般采用中心差分逼近方式，即通过函数值在两侧点的差来逼近导数。
3.代数方程系统：利用离散化的差分方程，将偏微分方程转化为代数方程系统。
根据问题的边界条件和初值条件，构建代数方程系统的系数矩阵和常数向量。
4. 求解代数方程：利用求解线性方程组的方法求解代数方程系统，常用的方法有直接法（如高斯消元法、LU分解法）和迭代法（如Jacobi迭代法、Gauss-Seidel迭代法）。
求解得到各个离散点的解。
5.后处理：根据求解结果进行后处理，包括结果的插值和可视化。
将离散点的解通过插值方法进行平滑处理，并进行可视化展示，以得到连续的函数解。
三、优缺点：1.直观：有限差分法基于网格划分，易于理解和实现。
2.精度可控：可通过调整网格大小和差分逼近方式来控制计算的精度。
3.广泛适用性：可用于求解各种偏微分方程，适用于不同的边界条件和初值条件。
然而，有限差分法也存在一些缺点：1.精度依赖网格：计算结果的精度受到网格划分的影响，因此需要谨慎选择网格大小。
2.限制条件：有限差分法适用于边界对应点处导数有定义的问题，不适用于奇异点和非线性问题。
偏微分方程的数值方法
偏微分方程的数值方法偏微分方程（Partial Differential Equations，简称PDEs）是数学中研究的重要分支，广泛应用于物理学、工程学等领域中。
由于一些复杂的PDEs难以找到解析解，因此需要借助数值方法进行求解。
本文将介绍偏微分方程的数值解法，包括有限差分法、有限元法和谱方法等。
一、有限差分法（Finite Difference Method）有限差分法是解偏微分方程最常用的数值方法之一。
它将偏微分方程中的导数用差商来近似，将空间离散成若干个小区间和时间离散成若干个小时间步长。
通过求解离散化后的代数方程，可以得到原偏微分方程的数值解。
以二维的泊松方程为例，偏微分方程可以表示为：∂²u/∂x² + ∂²u/∂y² = f(x, y)其中，u(x, y)为未知函数，f(x, y)为已知函数。
我们可以将空间离散成Nx × Ny个小区间，时间离散成Nt个小时间步长。
利用中心差分法可以近似表示导数，我们可以得到离散化的代数方程组。
二、有限元法（Finite Element Method）有限元法是一种重要的数值解PDEs的方法。
它将求解区域离散化成一系列的单元，再通过插值函数将每个单元上的未知函数近似表达。
然后，利用加权残差方法，将PDEs转化成代数方程组。
在有限元法中，采用形函数来近似未知函数。
将偏微分方程转化为弱形式，通过选取适当的形函数和权函数，可以得到离散化后的代数方程组。
有限元法适用于求解各种各样的偏微分方程，包括静态和动态、线性和非线性、自由边界和固定边界等问题。
三、谱方法（Spectral Method）谱方法是一种基于特殊函数（如正交多项式）的数值方法，用于解PDEs。
谱方法在求解偏微分方程时，利用高阶连续函数拟合初始条件和边界条件，通过调整特殊函数的系数来近似求解解析解。
谱方法具有高精度和快速收敛的特点，适用于各种偏微分方程求解。
偏微分方程数值求解方法
偏微分方程数值求解方法偏微分方程数值求解方法是使用计算机算法来近似求解偏微分方程的过程。
偏微分方程是描述物理现象和自然现象的主要工具，但大多数偏微分方程不能通过解析方式求解，因此需要使用数值方法进行近似求解。
常用的偏微分方程数值求解方法包括有限差分法、有限元法、谱方法、边界元法和逆时空方法等。
1. 有限差分法有限差分法是一种最简单的数值求解方法，它将偏微分方程中的导数离散化为差分的形式，然后通过有限差分公式求解。
在有限差分法中，将求解区域离散化为网格，然后在每个节点上求解方程，通过节点之间的连通关系建立系数矩阵，最终利用线性代数方法求解线性方程组。
2. 有限元法有限元法是一种广泛运用的数值求解方法，它将求解区域离散化为有限个子域，然后在每个子域内近似求解方程。
有限元法是一种基于变分原理的方法，通过将偏微分方程转化为变分问题，然后在有限维的函数空间中建立逼近函数，最终利用变分方法求解方程。
3. 谱方法谱方法是一种基于傅里叶变换的数值求解方法，它将求解域上的函数表示为傅里叶级数的形式，然后通过求解系数来近似求解方程。
谱方法具有高精度、高效率的优点，但对于非周期边界和奇异性问题可能不适用。
4. 边界元法边界元法是一种基于积分方程的数值求解方法，它将偏微分方程转化为边界积分方程，然后在求解区域表面上求解方程。
边界元法不需要离散化求解区域，仅需在求解区域表面上采集节点，并通过节点之间的关系建立系数矩阵。
5. 逆时空方法逆时空方法是一种利用观测数据反演偏微分方程的数值求解方法，它通过最优化算法将观测数据反演为偏微分方程的参数。
逆时空方法对模型假设和观测数据的噪声较为敏感，但可以应用于各种偏微分方程的求解。
偏微分方程的数值求解方法
偏微分方程的数值求解方法偏微分方程是描述自然现象的重要工具，例如描述热传导、电磁波传播、流体运动等。
然而大多数情况下，这些方程很难通过解析方式求解，因此需要数值求解方法。
本文将介绍偏微分方程的数值求解方法及其应用。
一、有限差分法有限差分法是一种常见的偏微分方程数值求解方法。
它将原本连续的区域离散化，将偏微分方程转化为差分方程。
例如对于一维热传导方程：$$\frac{\partial u}{\partial t} = \alpha\frac{\partial^2 u}{\partial x^2} $$其中 $u(x, t)$ 是温度，$\alpha$ 是热扩散系数。
我们可以选择将空间分成 $N$ 个网格，时间分成 $M$ 个步骤。
则有：$$u_i^{m+1} = u_i^m + \frac{\alpha\Delta t}{\Deltax^2}(u_{i+1}^m - 2u_i^m + u_{i-1}^m)$$其中 $u_i^m$ 表示在位置 $i\Delta x$，时间 $m\Delta t$ 时的温度值。
这是一个显式求解方程，可以直接按照时间步骤迭代计算。
不过由于它的误差可能会增长，因此需要小心选择时间步长和空间步长，以保证误差不会过大。
二、有限元法有限元法是一种更加通用的偏微分方程数值求解方法。
它将连续区域离散化成一些小段，称为单元。
然后针对每个单元，将其上的偏微分方程转化为局部插值函数的方程求解。
例如对于一维波动方程：$$\frac{\partial^2 u}{\partial t^2} = c^2 \frac{\partial^2 u}{\partialx^2}$$我们可以选择将空间分成 $N$ 个网格，用有限元方法将每个网格分成若干个单元。
则对于每个单元 $i$，我们可以得到一个局部插值函数 $u^i(x, t)$ 来近似解该单元上的偏微分方程。
这里不再赘述该函数的形式。
另外，我们还需要满足界面上的连续性和斜率匹配条件，以保证整体解是连续的。
科学计算中的偏微分方程有限差分法
科学计算中的偏微分方程有限差分法
偏微分方程是描述自然界中许多现象的重要工具，例如流体力学、电磁学和量子力学等。
然而，解析解通常只能得到一些简单的特例，因此需要使用数值方法来求解偏微分方程。
有限差分法是求解偏微分方程的一种常用数值方法。
它的主要思想是将偏微分方程中的连续空间变量离散化为有限个离散点，然后使用差分近似求解。
这样得到的数值解与真实解的误差随着离散化的细度逐渐减小，可以得到足够精确的近似解。
有限差分法的基本步骤包括网格生成、差分近似、边界条件处理和迭代求解。
其中，网格生成是将空间变量离散化的过程，差分近似是将偏微分方程中的微分算子用有限差分算子替代的过程，边界条件处理是将问题的边界情况考虑进来的过程，迭代求解是使用差分方程求解数值解的过程。
有限差分法在科学计算中有着广泛的应用，例如在流体力学中求解Navier-Stokes方程、在地球物理学中求解地震波方程、在量子力学中求解薛定谔方程等。
通过有限差分法，科学家可以得到更加精确的数值解，进一步深入理解自然界的规律。
- 1 -。
有限差分法解偏微分方程
有限差分法解偏微分方程综述绪论有限元方法最早应用于结构力学，后来随着计算机的发展慢慢用于流体力学的数值模拟。
在有限元方法中，把计算域离散剖分为有限个互不重叠且相互连接的单元，在每个单元内选择基函数，用单元基函数的线形组合来逼近单元中的真解，整个计算域上总体的基函数可以看为由每个单元基函数组成的，则整个计算域内的解可以看作是由所有单元上的近似解构成。
有限差分方法(FDM)是计算机数值模拟最早采用的方法，至今仍被广泛运用。
该方法将求解域划分为差分网格，用有限个网格节点代替连续的求解域。
有限差分法以Taylor 级数展开等方法，把控制方程中的导数用网格节点上的函数值的差商代替进行离散，从而建立以网格节点上的值为未知数的代数方程组。
该方法是一种直接将微分问题变为代数问题的近似数值解法，数学概念直观，表达简单，是发展较早且比较成熟的数值方法。
对于有限差分格式，从格式的精度来划分，有一阶格式、二阶格式和高阶格式。
从差分的空间形式来考虑，可分为中心格式和逆风格式。
考虑时间因子的影响，差分格式还可以分为显格式、隐格式、显隐交替格式等。
目前常见的差分格式，主要是上述几种形式的组合，不同的组合构成不同的差分格式。
差分方法主要适用于有结构网格，网格的步长一般根据实际地形的情况和柯朗稳定条件来决定。
构造差分的方法有多种形式，目前主要采用的是泰勒级数展开方法。
其基本的差分表达式主要有三种形式：一阶向前差分、一阶向后差分、一阶中心差分和二阶中心差分等，其中前两种格式为一阶计算精度，后两种格式为二阶计算精度。
通过对时间和空间这几种不同差分格式的组合，可以组合成不同的差分计算格式。
有限元方法的基础是变分原理和加权余量法，其基本求解思想是把计算域划分为有限个互不重叠的单元，在每个单元内，选择一些合适的节点作为求解函数的插值点，将微分方程中的变量改写成由各变量或其导数的节点值与所选用的插值函数组成的线性表达式，借助于变分原理或加权余量法，将微分方程离散求解。
fdm有限差分法不能求解的方程
有限差分法（Finite Difference Method, FDM）是一种常见的数值方法，用于求解偏微分方程。
然而，并非所有的方程都可以通过有限差分法来求解。
本文将讨论有限差分法不能求解的方程，并探讨其原因。
一、有限差分法求解的方程类型有限差分法主要用于求解偏微分方程，尤其是常见的热传导方程、扩散方程和波动方程等。
这些方程通常可以通过有限差分法离散化空间和时间，从而转化为代数方程组，再通过迭代等方法求解。
二、有限差分法不能求解的方程类型然而，并非所有的偏微分方程都适合用有限差分法求解。
以下是一些有限差分法不能求解的方程类型：1. 非线性偏微分方程：有限差分法主要适用于线性偏微分方程，对于非线性偏微分方程，由于其复杂的性质和解的多样性，有限差分法往往难以适用。
2. 高阶偏微分方程：有限差分法通常只适用于一阶和二阶偏微分方程，对于高阶偏微分方程，需要进行更复杂的离散化处理，难以直接通过有限差分法求解。
3. 变系数偏微分方程：对于系数随空间或时间变化的偏微分方程，有限差分法往往难以准确描述其变化规律，因此难以求解。
4. 非线性边值问题：对于带有非线性边值条件的偏微分方程，有限差分法的稳定性和收敛性难以保证，因此难以求解。
三、原因分析有限差分法不能求解某些偏微分方程的原因主要包括以下几点：1. 离散化处理困难：一些复杂的方程很难通过简单的差分离散化处理转化为代数方程组，从而难以应用有限差分法求解。
2. 解的多样性：对于非线性偏微分方程和非线性边值条件，解的多样性导致有限差分法往往无法准确描述其解的特性。
3. 稳定性和收敛性难以保证：对于一些特殊的偏微分方程，由于有限差分法的稳定性和收敛性难以保证，因此难以求解。
四、解决方法针对有限差分法不能求解的方程，可以考虑以下解决方法：1. 使用其他数值方法：对于非线性偏微分方程和高阶偏微分方程，可以考虑使用有限元法、有限体积法等其他数值方法进行求解。
2. 手工推导精确解：对于一些特殊的偏微分方程，可以尝试手工推导其解析解，从而获得准确的解。
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替偏微分方程的解的过程。 从原则上说，这种方法仍然可以达到任意满意的计算精度。因为方程的连续 数值解可以通过减小独立变量离散取值的间格，或者通过离散点上的函数值进行 插值计算来近似得到。理论上，当网格步长趋近于零时，差分方程组的解应该收 敛于精确解，但由于机器字节的限制，网格步长不可能也没有必要取得无限小，
对于狄氏条件而言，给出了边界上各节点出的函数计算公式，直接代入节点
值计算即可，如下所示为矩形区域的边界点计算：
（左边界）
（右边界） （下边界）
（25）
（上边界）
导数边界条件： 以右边界点为例，对于右边界点，根据 Neumann 条件可得下式：
（26） 对于拉普拉斯方程，根据计算公式（22），对于边界上的点可得：
2 有限差分法理论基础
2.1 有限差分法的基本思想
当系统的数学模型建立后，我们面对的主要问题就是微分积分方程的求解。 基本思想是用离散的只含有限个未知量的差分方程组去近似地代替连续变量的 微分方程和定解条件，并把差分方程组的解作为微分方程定解问题的近似解。将 原方程及边界条件中的微分用差分来近似，对于方程中的积分用求和或及机械求 积公式来近似代替，从而把原微分积分方程和边界条件转化成差分方程组。有限 差分法求解偏微分方程的步骤主要有以下几步： 区域离散，即把所给偏微分方程的求解区域细分成由有限个格点组成的网格，
2.3 有限差分方程的数学基础
2.3.1 一元函数导数的差分公式
一个函数在 x 点上的导数，可以近似地用它所临近的两点上的函数值的差分 来表示。函数在处的泰勒展式如下：
（2）
对一个单变量函数，以步长将区间等距划分，我们得到一系列节点：，，，（）， 然后求出 在这些节点上的近似值。与节点相邻的节点有和，因此在点处可以构 造如下形式的展开式：
（1） 其中，为弹性体上的某一特征物理量（连续函数）。当 A、B、C 都是常数时， （1）式称为准线性，有三种准线性方程形式： 如果，则称为椭圆型方程； 如果，则称为抛物型方程； 如果，则称为双曲型方程。 椭圆型方程主要用来处理稳态或静态问题，如热传导等问题；抛物线方程主 要用来处理瞬态问题，如渗透、扩散等问题；双曲型方程主要用来处理振动问题， 如玄震动、薄膜震动等问题。 除了上述微分方程外，必须给出定解条件，通常有如下三类： 第一类边界条件（Dirichlet 条件）：； 第二类边界条件（Neumann 条件）：； 第三类边界条件（Robin 条件）：； 其中，为求解域的边界，为的单位外法矢， 。第二类和第三类边界条件统 称为导数边界条件。
（27） 显然，上式中的在求解域外，是未知量。根据中心差分公式（10）可得到：
（28） 根据式（28）可得到逼近表示：，并且具有 2 阶逼近精度，代入式（27）可得下
式：
同理，对于其它边界可获得如下边界方程： （下边界） （上边界） （左边界）
（29） （30）
图 4 Neumann 条件算子
对于泊松方程和赫耳墨次方程同样根据上述方法，获得边界条件的线性方程， 然后将这些方程添加到式（22）~（24）所建立的方程组中，从而建立起个元的 线性方程组，解该方程组即可获得各节点的函数值。
有限差分法求解偏微分方程
摘要：本文主要使用有限差分法求解计算力学中的系统数学模型，推导了有限差分法的理
论基础，并在此基础上给出了部分有限差分法求解偏微分方程的算例验证了推导的正确性及 操作可行性。
关键词：计算力学，偏微分方程，有限差分法 Abstract：This dissertation mainly focuses on solving the mathematic model of computation
图 5 九点差分公式
3 有限差分法求解实例
根据上述推导有限差分法理论，对于不同类型的偏微分方程建立有限差分方 程组，采用 mat lab 编程给出一些计算实例如下： 1. 椭圆型方程 拉普拉斯方程：
；求解域： 下面分别给出拉普拉斯方程在不同的边界条件下的解。 a) 狄利克雷边界条件： 下边界： 上边界： 左边界： 右边界：
网 格 步 长 ： h=0.05 10
0
u(x,y)
-10
-20
-30 1.5
1 0.5
1.5 1 0.5
y
00
x
图 6 狄利克雷边界条件下拉普拉斯方程的解
b) Neumann 边界条件：
下边界： 上边界： 左边界： 右边界：
u(x,y)
800
700
600
500
400
300
200
100
0 1.5
1 0.5 00
那么差分法的收敛性或者说算法的稳定性就显得至关重要。因此，在运用有限差 分法时，除了要保证精度外，还必须要保证其收敛性。
2.2 系统微分方程的一般形式
由于大多数工程问题都是二维问题，所以得到的微分方程一般都是偏微分方 程，对于一维问题得到的是常微分方程，解法与偏微分方程类似，故为了不是一 般性，这里只讨论偏微分方程。由于工程中高阶偏微分较少出现，所以本文仅仅 给出二阶偏微分方程的一般形式，对于高阶的偏微分，可进行类似地推广。二阶 偏微分方程的一般形式如下：
傅里叶变换（冯诺依曼条件）以及能量估计等方法来判断，下面给出常用的冯诺
依曼条件： 向前差分：，绝对收敛； 向后差分：，绝对收敛； 中心差分：对任何的对不收敛；
假设求解域内方向网格划分的步长为，方向网格划分的步长为，将偏微分方
程化为标准形式，具体来说标准形式如下： 双曲方程：
对于式（31）所示的双曲方程，冯诺依曼条件为：. 抛物方程：
对于上述过程建立的线性方程组的求解，可采用多种方法，比如 Jacob 迭代
法、Gauss-Seidel 迭代法、超松弛迭代法（SOR 法）、高斯消元法等方法求解。
2.4 有限差分法的收敛性和稳定性
由于迭代法必须保证收敛性，所以在解有限差分方程组时还应保证其收敛性，
也就是通常所说的算法稳定性。有限差分法的算法稳定性可以通过特征值方法、
但是，由于式（11）中的各阶导数均使用的是向前差分，导致用到的节点不 相邻，同时为了均衡误差，将节点处用到的一阶差分换成向后差分，则式（11） 修正为：
同理，根据上述推导过程，可得到任意阶的差分公式： n 阶向前差分：
（14）
n 阶向后差分：
（15）
n 阶中心差分：
（16）
（17） 说明，上述公式中各节点处前一阶导数的代入可能存在不一致，可能是向前 差分、向后差分或者中心差分，从而使最终的公式在系数上存在差别。当然，也 可以对各相邻节点进行需要阶数的泰勒展开，从而建立方程组直接求各阶导数。
y
网 格 步 长 ： h=0.05
0.5
1
1.5
x
图 7 Neumann 边界条件下拉普拉斯方程的解
泊松方程： ；求解域：.
狄利克雷边界条件： 下边界： 上边界： 左边界： 右边界：
网 格 步ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ长 ： h=0.05
u(x,y)
20 10
0 -10
-20 -30
-40 2 1.5
1 0.5
y
00
利用中心差分公式（18），由于式（18）在点处具有二阶精度（），所以式（18） 可近似改写成下式：
根据椭圆方程的具体形式可以将其分为以下三种形式： 拉普拉斯（Laplace）方程： 泊松（Poison）方程： 赫耳墨次（Helmholtz）方程：
根据式（21），可建立三种不同形式椭圆方程的代数方程如下： 拉普拉斯方程：
（18）
图 1 五点差分公式
式（18）也称为五点差分公式，同理根据式（12）和式（13）可分别得到向 前差分公式（19）和向后差分公式（20），如图（2 所示）。
向前差分 向后差分
（19） （20）
图 2 向前差分（左）和向后差分（右）
图 3 中心差分、向前差分和向后差分的拉普拉斯算子表示
求解这些数学模型的方法大致分为解析法和数值法两种，而解析法的局限性 众所周知，当系统的边界条件和受载情况复杂一点，往往求不出问题的解析解或 近似解。另一方面，计算机技术的发展使得计算更精确、更迅速。因此，对于绝 大多数工程问题，研究其数值解法更具有实用价值。对于微分方程而言，主要分 为差分法和积分法两种，本论文主要讨论差分法。
（4） （3） （5） （6） （7）
（8） （9） （10）
（11） （12） （13）
差分公式（13）是以相隔 2h 的两结点处的函数值来表示中间结点处的一阶 导数值，可称为中点导数公式。式（11）和式（12）是以相邻三结点处的函数值 来表示一个端点处的一阶导数值，可称为端点导数公式。应当指出：中点导数公 式与端点导数公式相比，精度较高。因为前者反映了结点两边的函数变化，而后 者却只反映了结点一边的函数变化。因此，我们总是尽可能应用前者，而只有在 无法应用前者时才不得不应用后者。
Key words：Computation Mechanics, Partial Differential Equations, Finite-Difference Method
1 引言
机械系统设计常常需要从力学观点进行结构设计以及结构分析，而这些分析 的前提就是建立工程问题的数学模型。通过对机械系统应用自然的基本定律和原 理得到带有相关边界条件和初始条件的微分积分方程，这些微分积分方程构成了 系统的数学模型。
1 0.5
x
2 1.5
图 8 狄利克雷边界条件下泊松方程的解
2.3.2 微分方程转化为线性方程
由于三种类型的微分方程解法类似，故这里仅以椭圆型微分方程为例，将微 分方程转化为代数方程，对于双曲型和抛物型方程依次类推即可。不妨记：（称 为拉普拉斯算子），和是求解域上的连续函数。假设求解区域为：，将求解区域划 分成个网格，其中：，如图 1 所示。记，则根据式（14）可得到：