高考数学一轮复习(讲+练+测)： 专题2.6 指数与指数函数(讲)
2025届高中数学一轮复习课件《指数函数》PPT
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求解与指数函数有关的复合函数问题时，首先要熟知指数函数的定义域、值域、单调性 等相关性质，其次要明确复合函数的构成，当涉及单调性问题时，要借助“同增异减”这一 性质分析判断．
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对点练 4(1)(2024·山东莱芜模拟)已知函数 f(x)＝|－2x－x＋15|，，xx≤>22，， 若函数 g(x)＝f(x)－
解析：∵y＝35x 是 R 上的减函数，∴35－13 >35－14 >350，即 a>b>1，又 c＝32－34 <320 ＝1，∴c<b<a.
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4．(2024·四川成都模拟)若函数 f(x)＝13－x2＋4ax 在区间(1,2)上单调递增，则 a 的取值范 围为___－__∞__，__12_ _．
在(4，＋∞)上单调递增．令12x≤4，得 x≥－2，令12x>4，得 x<－2， 代入外层函数的单调递减区间，得到自变量 x 的取值范围，这才是复合函数的单调递增 区间． 而函数 t＝12x 在 R 上单调递减，所以函数 y＝122x－8·12x＋17 的单调递增区间为[－2， ＋∞)．
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所谓“底大图高”，反映指数函数的排列规律．
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1．判断下列结论是否正确． (1)函数 y＝a－x(a>0，且 a≠1)是 R 上的增函数．( ) (2)函数 y＝ax(a>0，且 a≠1)与 x 轴有且只有一个交点．( ) (3)若 am>an，则 m>n.( ) (4)函数 y＝ax 与 y＝a－x(a>0，且 a≠1)的图象关于 y 轴对称．( √ )
高三数学一轮复习 2.6指数与指数函数课件
y＞1
0＜y＜1
性质 当x＞时，0＜y＜1； 当x＞0时，y＞1
；
x＜0时，_增_函__数_____ x＜0时，减__函__数__
在R上是 _______ 在R上是_______
[探究] 3.函数 y＝ax，y＝a|x|，y＝|ax|(a>0，a≠1)，y
＝1ax 之间有何关系？ 提示：y＝ax 与 y＝|ax|是同一个函数的不同表现形式；
1．化简下列各式(其中各字母均为正数)．
2
(1)a
3
·b－1 2
1 2
·a
1 2
·b
1 3
6 ,
a·b5)；
[备考方向要明了]
考什么
怎么考
1.了解指数函数模型的实际背景． 2.理解有理指数幂的含义，了解实
数指数幂的意义，掌握幂的运
1.主要以填空题的形式 考查指数函数的值域 以及指数函数的单调 性、图象三个方面的
算． 3.理解指数函数的概念，理解指数
问题，如2009年高考
函数的单调性，掌握指数函数图 T10.
答案：7
2．化简 a3b23 ab2 (a>0，b>0)的结果是________．
11 3 a 4 b 2 4
b a
解析：原式＝
1 3 10 8 1
54
a3b2a 3
ab2ba
1 3
b
2
3 3
a b
＝ 27
a3b3
2
＝a
3 2
a3
·b 3
7
b3
＝ab－1＝ab.
解析：由题意可知f(x)为减函数，而f(m)>f(n)，所以 m<n. 答案：m<n
【与名师对话】高考数学一轮复习 2.6指数与指数函数课件 文
答案：B
3 ．函数 y＝ax＋ 2 ________．
014
＋ 2 013(a>0 且 a≠1) 的图象恒过定点
解析：∵y＝ax(a>0 且 a≠1)恒过定点(0,1)， ∴y＝ax＋2 014＋2 013 恒过定点(－2 014,2 014)．
答案：(－2 014,2 014)
考 点
互 动 探 究
1x x，使函数 y＝x－a 的图象位于 y＝( ) 图象的下方．由图可知－ 2 a<1，即 a>－1.
【答案】 (1)D (2)D
(1)与指数函数有关的函数的图象的研究， 往往利用相应指数 函数的图象， 通过平移、 对称变换得到其图象； (2)一些指数方程、 不等式问题的求解， 往往利用相应的指数型函数图象数形结合求 解．
画与指数函数有关的图象时，注意特殊直线．
(1)函数 f(x)＝ax b 的图象如图所示，其中 a，b 为常数，则下
－
列结论正确的是( A．a>1，b<0 B．a>1，b>0 C．0<a<1，b>0 D．0<a<1，b<0
)
(2)(2015· 德州模拟)若存在正数 x 使 2x(x－a)<1 成立， 则a的 取值范围是( ) B．(－2，＋∞) D．(－1，＋∞)
r s
rs a ②(a ) ＝ (a>0，r、s∈Q)；
r s
r r a ③(ab) ＝ b (a>0，b>0，r∈Q)．
r
3．指数函数的图象与性质 y＝ax a>1 0<a<1
图象
问题探究1：指数函数y＝a 与y＝ 何关系？ 提示：关于y轴对称．
(江苏专版)2019年高考数学一轮复习 专题2.6 指数与指数函数(练)
专题2.6 指数与指数函数一、填空题1．函数f (x )＝ax －3＋m (a ＞1)恒过点(3,10)，则m ＝______. 【答案】9【解析】由图象平移知识及函数f (x )＝a x 过定点(0,1)知，m ＝9.2．若存在负实数使得方程2x －a ＝1x －1成立，则实数a 的取值范围是________． 【答案】(0,2)【解析】在同一坐标系内分别作出函数y ＝1x －1和y ＝2x －a 的图象，则由图知， 当a ∈(0,2)时符合要求． 3．设a ＝22.5，b ＝2.50，c ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12 2.5，则a ，b ，c 的大小关系是________． 【解析】a >1，b ＝1,0<c <1，所以a >b >c .【答案】a >b >c4．已知f (x )＝3x －b (2≤x ≤4，b 为常数)的图象经过点(2,1)，则f (x )的值域为________．【答案】[1,9]5．不等式2－x 2＋2x >⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＋4的解集为________． 【答案】{x |－1<x <4}【解析】不等式2－x 2＋2x >⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＋4可化为⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 2－2x >⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＋4，等价于x 2－2x <x ＋4，即x 2－3x －4<0， 解得－1<x <4.6．若函数f (x )＝a x－1(a >0，a ≠1)的定义域和值域都是[0,2]，则实数a ＝________. 【答案】 327．若函数f (x )＝a |2x －4|(a >0，且a ≠1)，满足f (1)＝19，则f (x )的单调递减区间是________． 【答案】[2，＋∞)【解析】由f (1)＝19，得a 2＝19，解得a ＝13或a ＝－13(舍去)，即f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13|2x －4|.由于y ＝|2x －4|在(－∞，2]上递减，在[2，＋∞)上递增，所以f (x )在(－∞，2]上递增，在[2，＋∞)上递减．8．已知max(a ，b )表示a ，b 两数中的最大值．若f (x )＝max{e |x |，e|x －2|}，则f (x )的最小值为________． 【答案】e【解析】f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ e x ，x ≥1，e|x －2|，x <1. 当x ≥1时，f (x )＝e x ≥e(x ＝1时，取等号)，当x <1时，f (x )＝e |x －2|＝e 2－x >e ，因此x ＝1时，f (x )有最小值f (1)＝e.二、解答题9．已知f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1a x －1＋12x 3(a >0，且a ≠1)． (1)讨论f (x )的奇偶性；(2)求a 的取值范围，使f (x )>0在定义域上恒成立．解 (1)由于a x －1≠0，则a x≠1，得x ≠0，所以函数f (x )的定义域为{x |x ≠0}．对于定义域内任意x ，有310．已知定义域为R 的函数f (x )＝－2x ＋b 2x ＋1＋a是奇函数． (1)求a ，b 的值；(2)解关于t 的不等式f (t 2－2t )＋f (2t 2－1)<0.解 (1)因为f (x )是定义在R 上的奇函数，所以f (0)＝0，即－1＋b 2＋a＝0，解得b ＝1， 所以f (x )＝－2x ＋12x ＋1＋a. 又由f (1)＝－f (－1)知－2＋14＋a ＝－－12＋11＋a，解得a ＝2. (2)由(1)知f (x )＝－2x＋12x ＋1＋2＝－12＋12x ＋1. 由上式易知f (x )在(－∞，＋∞)上为减函数(此处可用定义或导数法证明函数f (x )在R 上是减函数)． 又因为f (x )是奇函数，所以不等式f (t 2－2t )＋f (2t 2－1)<0等价于f (t 2－2t )<－f (2t 2－1)＝f (－2t 2＋1)． 因为f (x )是减函数，由上式推得t 2－2t >－2t 2＋1，4即3t 2－2t －1>0，解不等式可得t ＞1或t ＜－13， 故原不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫t |t >1或t <－13. 能力提升题组11．若存在正数x 使2x(x －a )<1成立，则a 的取值范围是________．【答案】(－1，＋∞)12．已知函数f (x )＝|2x －1|，a <b <c 且f (a )>f (c )>f (b )，则下列结论：①a <0，b <0，c <0；②a <0，b ≥0，c >0；③2－a <2c ；④2a ＋2c<2.其中一定成立的是________(填序号)．【答案】④【解析】作出函数f (x )＝|2x －1|的图象如图中实线所示，∵a <b <c ，且f (a )>f (c )>f (b )，结合图象知a <0,0<c <1，∴0<2a <1,1<2c <2，∴f (a )＝|2a －1|＝1－2a <1，∴f (c )＝|2c －1|＝2c －1，又f (a )>f (c )，即1－2a >2c －1，∴2a ＋2c <2.13．(2017·北京丰台一模)已知奇函数y ＝⎩⎪⎨⎪⎧ f x ，x >0，g x ，x <0.如果f (x )＝a x(a >0，且a ≠1)对应的图象如图所示，那么g (x )＝________.5【答案】－2x(x <0)【解析】依题意，f (1)＝12，∴a ＝12， ∴f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ，x >0.当x <0时，－x >0. ∴g (x )＝－f (－x )＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫12－x ＝－2x . 14．(2017·常州市教育学会期末)已知函数f (x )＝e x －e －x(x ∈R ，且e 为自然对数的底数)．(1)判断函数f (x )的单调性与奇偶性；(2)是否存在实数t ，使不等式f (x －t )＋f (x 2－t 2)≥0对一切x ∈R 都成立？若存在，求出t ；若不存在，请说明理由．。
高考数学一轮复习 专题2.6 指数与指数函数(测)
1 专题2.6 指数与指数函数 班级__________ 姓名_____________ 学号___________ 得分__________ (满分100分，测试时间50分钟) 一、填空题：请把答案直接填写在答题卡相应的位置．．．．．．．．上(共10题，每小题6分，共计60分)．
1．化简4a23·b－13÷－23a－13b23的结果为________． 【答案】－6ab 【解析】原式＝4÷－23a23－－13b－13－23 ＝－6ab－1＝－6ab. 2．函数y＝ax＋2－1(a>0且a≠1)的图象恒过的点是________． 【答案】(－2,0)
3．已知实数a，b满足等式2 016a＝2 017b，下列五个关系式：①0a＝b.其中不可能成立的关系式有________个．
【答案】2 【解析】设2 016a＝2 017b＝t，如图所示，由函数图象，可得若t>1，则有a>b>0；若t＝1，则有a＝b＝0；若0
4．若函数f(x)＝ ax， x>1，2－3ax＋1，x≤1是R上的减函数，则实数a的取值范围是________．
【答案】23，34
【解析】依题意，a应满足 02
解得235．函数y＝8－23－x(x≥0)的值域是________． 【答案】[0,8) 【解析】因为x≥0，所以3－x≤3， 所以0＜23－x≤23＝8，所以0≤8－23－x<8， 所以函数y＝8－23－x的值域为[0,8)． 6．指数函数y＝f(x)的图象经过点(m,3)，则f(0)＋f(－m)＝________.
【答案】43 【解析】设f(x)＝ax(a>0且a≠1)，所以f(0)＝a0＝1. 且f(m)＝am＝3.
所以f(0)＋f(－m)＝1＋a－m＝1＋1am＝43. 7．已知函数f(x)＝a－x(a>0，且a≠1)，且f(－2) >f(－3)，则a的取值范围是________． 【答案】(0,1)
(浙江版)高考数学一轮复习 专题2.6 指数与指数函数(练)-浙江版高三全册数学试题
第06节 指数与指数函数A 基础巩固训练1.【2017】已知函数1()3()3x xf x =-，则()f x（A ）是奇函数，且在R 上是增函数 （B ）是偶函数，且在R 上是增函数 （C ）是奇函数，且在R 上是减函数 （D ）是偶函数，且在R 上是减函数【答案】A【解析】()()113333xxx x f x f x --⎛⎫⎛⎫-=-=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以函数是奇函数，并且3x 是增函数，13x⎛⎫ ⎪⎝⎭是减函数，根据增函数-减函数=增函数，所以函数是增函数，故选A 2.【2017某某某某金伦中学模拟】函数()()ln 15x f x =-的定义域是（ ） A. (),0-∞ B. ()0,1 C. (),1-∞ D. ()0,+∞ 【答案】A3.若(),(),22x x x xe e e ef xg x --+-==则下列等式不正确的是（ ） A.2(2)2()1f x g x =+ B.22()()1f x g x -=C.22()()(2)f x g x f x += D.()()()()()f x y f x f y g x g y +=- 【答案】D【解析】22(22x x e e x f -+=），21221)(22222xx x x e e e e x g --+=+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⨯=+,即()12)2(2+=x g x f ，A 正确；1)()(22=-x g x f ,B成立；)2(2)()(2222x f e e x g x f xx =+=+-，C成立；x x y y x x y y x y x y x y y xe e e e e e e e e e e e e ef (x)f (y)g(x)g(y)222222--------++--++-=⨯-⨯==，()2yx y x e e y x f --++=+，显然不等，所以D 不正确，故选D.4．若 1.50.90.4814,8,2a b c -⎛⎫=== ⎪⎝⎭，则 （ ）A. c a b >>B. b a c >>C. a b c >>D. a c b >> 【答案】D5．已知2211,,22x p a q a -⎛⎫=+= ⎪-⎝⎭其中2,,a x R >∈则,p q 的大小关系是（ ）A. p q >B. p q ≥C. p q <D. p q ≤ 【答案】B【解析】由于12,2a p a a >=+-，于是可得()112222?2422p a a a a =-++≥-+=--，当且仅122a a -=-即3a =时取等号.由于R x ∈，于是有20x ≥，从而可得22211422x q --⎛⎫⎛⎫=≤= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，由上述可知4,4p q ≥≤，于是可以推出p q ≥，故选B. B 能力提升训练1．【2017某某揭阳二模】已知01a b c <<<<，则A. b a a a >B. a b c c >C. log log a b c c >D. log log b b c a > 【答案】C【解析】已知01a b c <<<<.由于xy a =为减函数，故b a a a <.由于xy c =为增函数，故a b c c <.由于log b y x =为减函数，故log log b b c a <.综上，排除,,A B D ，故选C .2．【2017三湘名校教育联盟】已知0a >且1a ≠，函数()13log ,0{,0xx x f x a b x >=+≤满足()02f =，()13f -=，则()()3f f -=（ ）A. -3B. -2C. 3D. 2 【答案】B【解析】由()02f =，()13f -=可得112,3b ab -+=+=，可得1,12a b ==，那么()()()3131319log 922f f f f -⎛⎫⎛⎫-=+===- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．故本题选B ．3．已知函数()y f x =的定义域为{|x x R ∈且2}x ≠，且()2y f x =+是偶函数，当2x < 时，()21x f x =-，那么当2x >时，函数()f x 的递减区间是 A ．()3,5 B ．()3,+∞ C ．(]2,4 D ．()2,+∞ 【答案】C4．【某某三十三校联考】已知函数1,01()12,12x x x f x x +≤<⎧⎪=⎨-≥⎪⎩，设0a b >≥，若()(b)f a f =，则()bf a 的取值X 围是____．【答案】3()24bf a ≤< 【解析】由图可知，112b ≤<，3()22f a ≤<，且,()b f a 的值依次增大，均为正值，所以3()24bf a ≤<．xy32o–1–2–3–41234–1–2–3–41234O5．【2017某某息县第一中学模拟】已知函数()2x f x m =-的图象与函数()y g x =的图象关于y 轴对称，若函数()y f x =与函数()y g x =在区间[]1,2上同时单调递增或同时单调递减，则实数m 的取值X 围是（ ）A. 1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦B. []2,4 C. ][1,4,2⎛⎫-∞⋃+∞ ⎪⎝⎭D. [)4,+∞【答案】A称的函数2x y m -=-不可能在[]1,2上为减函数，综上所述，122m ≤≤，故选A. C 思维拓展训练1.【2017某某虹口二模】已知函数()2x xe ef x --=，1x 、2x 、3x R ∈，且120x x +>，230x x +>，310x x +>，则()()()123f x f x f x ++的值（）A.一定等于零．B.一定大于零．C.一定小于零．D.正负都有可能． 【答案】B【解析】由已知可得()f x 为奇函数，且()f x 在R 上是增函数，由12120x x x x +>⇒>-⇒()()()122f x f x f x >-=-，同理可得()()23f x f x >-，()()()()3112f x f x f x f x >-⇒+()()()()()()()()32311230f x f x f x f x f x f x f x +>-++⇒++>.2．已知函数，若，则的取值X 围是（ ）A ．B CD ．【答案】C3．【2017某某陆川中学模拟】已知定义在R 上的函数()2xf x =，记()()()0.52log 2.2,log 0.5,0.5a f b f c f ===，则,,a b c 的大小关系为（ ）A. a b c <<B. c a b <<C. a c b <<D. c b a << 【答案】D【解析】由题意，得()2,02{2,0x xx x f x x -≥==<为偶函数，且在[)0,+∞上单调递增，而()()0.52log 2.2log 2.2a f f ==，()()()2log 0.511b f f f ==-=，()0.5c f =，因为2log 2.210.5>>，所以a b c >>；故选D.4.【2017某某，理15】若函数()x e f x （ 2.71828e =是自然对数的底数）在()f x 的定义域上单调递增，则称函数()f x 具有M 性质.下列函数中所有具有M 性质的函数的序号为. ①()2x f x -=②()3x f x -=③()3f x x =④()22f x x =+ 【答案】①④⎩⎨⎧>≤=0,log 0,2)(2x x x x f x 2)]([-≥x f f x]1,2[-),2[4+∞),2[]1,2[4+∞- ),2[]1,0[4+∞④()()22x x e f x e x =+，令()()22x g x e x =+，则()()()2222110x x x g x e x e x e x ⎡⎤'=++⋅=++>⎣⎦，∴()()22x x e f x e x =+在R 上单调递增，故()22f x x =+具有M 性质．5．【2017某某省某某二中三模】已知函数21()()log 3xf x x =-，，，实数是函数的一个零点．给出下列四个判断： ①；②；③；④．其中可能成立的是（填序号）【答案】①②④ 【解析】函数是单调递减函数，或，或，因此成立是①②④.()f x ()()()0a b c f a f b f c <<<∴>>()()()0f a f b f c <()()()0f a f b f c ∴>>>()()()0f a f b f c >>>()0f d a b d c=∴>>>d a b c >>>0a b c<<<0)()()(<c f b f a f d()f x a d <bd >c d <cd >。
2019-2020年高考数学一轮复习专题2.6指数与指数函数讲
2019-2020年高考数学一轮复习专题2.6指数与指数函数讲【考纲解读】【知识清单】1.根式和分数指数幂 1.根式(1)概念：式子na 叫做根式，其中n 叫做根指数，a 叫做被开方数.(2)性质：(na )n＝a (a 使n a 有意义)；当n 为奇数时，na n＝a ，当n 为偶数时，na n＝|a |＝⎩⎪⎨⎪⎧a ，a ≥0，－a ，a <0. 2.分数指数幂(1)规定：正数的正分数指数幂的意义是a mn ＝a >0，m ，n ∈N *，且n >1)；正数的负分数指数幂的意义是a －mn ＝1(a >0，m ，n ∈N *，且n >1)；0的正分数指数幂等于0；0的负分数指数幂没有意义.(2)有理指数幂的运算性质：a r a s＝a r ＋s；(a r )s ＝a rs ；(ab )r ＝a r b r，其中a >0，b >0，r ，s ∈Q .对点练习化简：(1)a 3b 23ab 2（a 14b 12）4a －13b 13(a >0，b >0)；(2)⎝ ⎛⎭⎪⎫－278－23＋(0.002)－12－10(5－2)－1＋(2－3)0. 【答案】 (1) ab －1.(2)－1679.＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－82723＋50012－10(5＋2)＋1 ＝49＋105－105－20＋1＝－1679. 2.指数函数及其性质(1)概念：函数y ＝a x(a >0且a ≠1)叫做指数函数，其中指数x 是变量，函数的定义域是R ，a 是底数.(2)指数函数的图象与性质对点练习【xx 广西桂林模拟】当x<0时，函数f(x)＝(2a －1)x的值恒大于1，则实数a 的取值范围是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1 B ．(1,2)C ．(1，＋∞)D ．(－∞，1)【答案】A【解析】由题意可得0<2a －1<1，解得12<a<1，故选A.【考点深度剖析】从近几年的高考试题来看，指数函数的图象和性质及其应用是高考的热点，题型多以选择题、填空题为主，偶尔有以大题中关键一步的形式出现，主要考查视图用图能力、数形结合思想的应用、函数单调性的应用、运算能力等．常常与对数函数综合考查.【重点难点突破】考点1 根式、指数幂的化简与求值 【1-1】化简的结果为（ ）A ．5B ．C ．﹣D ．﹣5 【答案】B 【解析】，故选【1-2】×0＋×－＝________. 【答案】【领悟技法】 指数幂的化简与求值(1)化简原则：①化根式为分数指数幂；②化负指数幂为正指数幂；③化小数为分数；④注意运算的先后顺序．提醒：有理数指数幂的运算性质中，其底数都大于零，否则不能用性质来运算．(2)结果要求：①若题目以根式形式给出，则结果用根式表示；②若题目以分数指数幂的形式给出，则结果用分数指数幂的形式表示；③结果不能同时含有根式和分数指数幂，也不能既有分母又有负分数指数幂． 【触类旁通】【答案】2【变式二】1.5－×0＋80.25×＋(×)6－【答案】【解析】原式＝113133234422 2223210811033⎛⎫⎛⎫⨯⨯=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭＋＋－. 考点2 根式、指数幂的条件求值 【2-1】已知，求下列各式的值. （1）；（2）；（3） 【答案】【解析】（1）将两边平方得，所以. （2）将两边平方得，所以. （3）由（1）（2）可得【2-2】已知是方程的两根，且求的值. 【答案】【解析】由已知，，所以21.5===因为 所以【领悟技法】根式、指数幂的条件求值，是代数式求值问题的常见题型，一般步骤是： (1)审题：从整体上把握已知条件和所求代数式的形式和特点； (2)化简：①化简已知条件；②化简所求代数式； （3）求值：往往通过整体代入，简化解题过程. 【触类旁通】【变式一】已知且，求11221122x y x y-+的值.【答案】考点3 指数函数的概念、图象、性质及其应用【3-1】【xx 山东德州一模】已知a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫3525，b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2535，c ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2525，则( )A.a <b <cB.c <b <aC.c <a <bD.b <c <a【答案】D【解析】∵在R 上为减函数，，∴. 又∵在上为增函数，，【3-2】【xx 河南安阳模拟】已知函数 (a >0，且a ≠1)，如果以P (x 1，f (x 1))，Q (x 2，f (x 2))为端点的线段的中点在y 轴上，那么f (x 1)·f (x 2)等于( ) A.1 B.a C.2D.a 2【答案】A【解析】∵以()()1122()()P x f x Q x f x ，，，为端点的线段的中点在轴上， ∴.又∵，∴()()0121212··1xxx xf x f x a a aa ＋＝＝＝＝.【3-3】函数y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12的值域为( )A.⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，＋∞B.⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，12C.⎝ ⎛⎦⎥⎤0，12 D ．(0,2] 【答案】A【3-4】指数函数y ＝(2－a)x在定义域内是减函数，则a 的取值范围是________. 【答案】 (1，2)【解析】由题意知0<2－a<1，解得1<a<2. 【领悟技法】1.比较幂值大小时，要注意区分底数相同还是指数相同．是用指数函数的单调性，还是用幂函数的单调性或指数函数的图象解决．要注意图象的应用，还应注意中间量0、1等的运用．指数函数的图象在第一象限内底大图高(逆时针方向底数依次变大)．当幂的底数不确定时，要注意讨论底数的不同取值情况.2.形如. 一类函数，有如下结论：（1）的定义域、奇偶性与的定义域、奇偶性相同；（2）先确定的值域，再利用指数函数的单调性，确定的值域；（3）的单调性具有规律“同增异减”，即的单调性相同时，是增函数，的单调性不同时，是减函数. 【触类旁通】【变式一】已知()()22,3xxf x f m -=+=,且,若()()()2,2,2a f m b f m c f m ===+,则的大小关系为（ ） A ． B ． C ． D ． 【答案】D【解析】由于,所以,72)22()2(2=-+=-m mm f ,而m m m m mm f c ----⋅-=⋅--=-⋅=+=241712241)23(44224)2(,由于,因此,所以,应选D ．【变式二】【xx 河北衡水中学模拟】若a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫23x，b ＝x 2，c ＝log 23x ，则当x >1时，a ，b ，c 的大小关系是( ) A.c <a <b B.c <b <a C.a <b <cD.a <c <b【答案】A【易错试题常警惕】易错典例1：计算下列各式的值．（1）；（2）；（3）；（4）.易错分析：，不注意的奇偶性对的影响，是导致错误出现的一个重要原因，要在理解的基础上，记准、记熟、会用、活用．温馨提醒：(1) 中实数的取值由的奇偶性确定，只要有意义，其值恒等于，即；(2) 是一个恒有意义的式子，不受的奇偶性限制，，但的值受的奇偶性影响.易错典例2：已知，求33221122a aa a----的值.易错分析：本题解答一是难以想到应用“立方差”公式，二是应用“立方差”公式时易出现错误．正确解析：由于，所以331111122222211112222()()a a a a a a a aa a a a--------++⋅=--=温馨提醒：条件求值问题，化简已知条件、所求代数式是进一步代入计算的基础，熟记公式，准确化简是关键.易错典例3：函数的单调递增区间是________．易错分析：本题解答往往忽视函数的定义域，而出现错误．正确解析：令，得函数定义域为，所以在上递增，在递减．根据“同增异减”的原则，函数的单调递增区间是. 温馨提醒：处理函数问题时，应注意遵循“定义域优先”的原则.【学科素养提升之思想方法篇】数形结合百般好，隔裂分家万事休——数形结合思想我国著名数学家华罗庚曾说过:"数形结合百般好，隔裂分家万事休。
(江苏专版)2019年高考数学一轮复习 专题2.6 指数与指数函数(练)
专题2.6 指数与指数函数一、填空题1．函数f (x )＝ax －3＋m (a ＞1)恒过点(3,10)，则m ＝______. 【答案】9【解析】由图象平移知识及函数f (x )＝a x 过定点(0,1)知，m ＝9.2．若存在负实数使得方程2x －a ＝1x －1成立，则实数a 的取值范围是________． 【答案】(0,2)【解析】在同一坐标系内分别作出函数y ＝1x －1和y ＝2x －a 的图象，则由图知， 当a ∈(0,2)时符合要求． 3．设a ＝22.5，b ＝2.50，c ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12 2.5，则a ，b ，c 的大小关系是________． 【解析】a >1，b ＝1,0<c <1，所以a >b >c .【答案】a >b >c4．已知f (x )＝3x －b (2≤x ≤4，b 为常数)的图象经过点(2,1)，则f (x )的值域为________．【答案】[1,9]5．不等式2－x 2＋2x >⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＋4的解集为________． 【答案】{x |－1<x <4}【解析】不等式2－x 2＋2x >⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＋4可化为⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 2－2x >⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＋4，等价于x 2－2x <x ＋4，即x 2－3x －4<0， 解得－1<x <4.6．若函数f (x )＝a x－1(a >0，a ≠1)的定义域和值域都是[0,2]，则实数a ＝________. 【答案】 37．若函数f (x )＝a |2x －4|(a >0，且a ≠1)，满足f (1)＝19，则f (x )的单调递减区间是________． 【答案】[2，＋∞)【解析】由f (1)＝19，得a 2＝19，解得a ＝13或a ＝－13(舍去)，即f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13|2x －4|.由于y ＝|2x －4|在(－∞，2]上递减，在[2，＋∞)上递增，所以f (x )在(－∞，2]上递增，在[2，＋∞)上递减．8．已知max(a ，b )表示a ，b 两数中的最大值．若f (x )＝max{e |x |，e|x －2|}，则f (x )的最小值为________． 【答案】e【解析】f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ e x ，x ≥1，e|x －2|，x <1. 当x ≥1时，f (x )＝e x ≥e(x ＝1时，取等号)，当x <1时，f (x )＝e |x －2|＝e 2－x >e ，因此x ＝1时，f (x )有最小值f (1)＝e.二、解答题9．已知f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1a x －1＋12x 3(a >0，且a ≠1)． (1)讨论f (x )的奇偶性；(2)求a 的取值范围，使f (x )>0在定义域上恒成立．解 (1)由于a x －1≠0，则a x ≠1，得x ≠0，所以函数f (x )的定义域为{x |x ≠0}．对于定义域内任意x ，有10．已知定义域为R 的函数f (x )＝－2x ＋b 2x ＋1＋a是奇函数． (1)求a ，b 的值；(2)解关于t 的不等式f (t 2－2t )＋f (2t 2－1)<0.解 (1)因为f (x )是定义在R 上的奇函数，所以f (0)＝0，即－1＋b 2＋a＝0，解得b ＝1， 所以f (x )＝－2x ＋12x ＋1＋a. 又由f (1)＝－f (－1)知－2＋14＋a ＝－－12＋11＋a，解得a ＝2. (2)由(1)知f (x )＝－2x ＋12x ＋1＋2＝－12＋12x ＋1. 由上式易知f (x )在(－∞，＋∞)上为减函数(此处可用定义或导数法证明函数f (x )在R 上是减函数)． 又因为f (x )是奇函数，所以不等式f (t 2－2t )＋f (2t 2－1)<0等价于f (t 2－2t )<－f (2t 2－1)＝f (－2t 2＋1)． 因为f (x )是减函数，由上式推得t 2－2t >－2t 2＋1，即3t 2－2t －1>0，解不等式可得t ＞1或t ＜－13， 故原不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫t |t >1或t <－13. 能力提升题组11．若存在正数x 使2x(x －a )<1成立，则a 的取值范围是________．【答案】(－1，＋∞)12．已知函数f (x )＝|2x －1|，a <b <c 且f (a )>f (c )>f (b )，则下列结论：①a <0，b <0，c <0；②a <0，b ≥0，c >0；③2－a <2c ；④2a ＋2c<2.其中一定成立的是________(填序号)．【答案】④【解析】作出函数f (x )＝|2x －1|的图象如图中实线所示，∵a <b <c ，且f (a )>f (c )>f (b )，结合图象知a <0,0<c <1，∴0<2a <1,1<2c <2，∴f (a )＝|2a －1|＝1－2a <1，∴f (c )＝|2c －1|＝2c －1，又f (a )>f (c )，即1－2a >2c －1，∴2a ＋2c <2.13．(2017·北京丰台一模)已知奇函数y ＝⎩⎪⎨⎪⎧ f x ，x >0，g x ，x <0.如果f (x )＝a x(a >0，且a ≠1)对应的图象如图所示，那么g (x )＝________.【答案】－2x(x <0)【解析】依题意，f (1)＝12，∴a ＝12， ∴f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ，x >0.当x <0时，－x >0. ∴g (x )＝－f (－x )＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫12－x ＝－2x . 14．(2017·常州市教育学会期末)已知函数f (x )＝e x －e －x(x ∈R ，且e 为自然对数的底数)．(1)判断函数f (x )的单调性与奇偶性；(2)是否存在实数t ，使不等式f (x －t )＋f (x 2－t 2)≥0对一切x ∈R 都成立？若存在，求出t ；若不存在，请说明理由．百度文库是百度发布的供网友在线分享文档的平台。
高考数学一轮复习讲解与练习 2.6指数与指数函数理 新人教A版.pdf
[备考方向要明了] 考 什 么怎 么 考1.了解指数函数模型的实际背景． 2.理解有理指数幂的含义，了解实数指数幂的意义，掌握幂的运算． 3.理解指数函数的概念，理解指数函数的单调性，掌握指数函数图象通过的特殊点． 4.知道指数函数是一类重要的函数模型.1.主要以选择题或填空题的形式考查指数函数的值域以及指数函数的单调性、图象三个方面的问题，如2012年上海T7. 2.常与其他问题相结合进行综合考查，如与对数的运算、数值的大小比较等相结合. [归纳·知识整合] 1．根式 (1)根式的概念： 根式的概念符号表示备注如果xn＝a，那么x叫做a的n次方根n＞1且nN*当n是奇数时，正数的n次方根是一个正数，负数的n次方根是一个负数零的n次方根是零当n是偶数时，正数的n次方根有两个，这两个数互为相反数±(a>0)负数没有偶次方根 (2)两个重要公式： ＝ ()n＝a(注意a必须使有意义)． [探究] 1.＝a成立的条件是什么？ 提示：当n为奇数时，aR；当n为偶数时，a≥0. 2．有理数指数幂 (1)幂的有关概念： ①正分数指数幂：a＝(a＞0，m，nN*，且n＞1)； ②负分数指数幂：a＝＝(a＞0，m，nN*，且n＞1)； 0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂无意义． (2)有理数指数幂的性质： aras＝ar＋s(a＞0，r，sQ)； (ar)s＝ars(a＞0，r，sQ)； (ab)r＝arbr(a＞0，b＞0，rQ)． 3．指数函数的图象与性质 y＝axa＞10＜a＜1图象定义域R值域(0，＋∞)性质(1)过定点(0,1)(2)当x＞0时，y＞1；x＜0时，0＜y＜1(2)当x＞0时，0＜y＜1；x＜0时，y＞1(3)在R上是增函数(3)在R上是减函数 [探究] 2．如图是指数函数(1)y＝ax，(2)y＝bx，(3)y＝cx，(4)y＝dx的图象，底数a，b，c，d与1之间的大小关系如何？你能得到什么规律？ 提示：图中直线x＝1与它们图象交点的纵坐标即为它们各自底数的值，即c1>d1>1>a1>b1，所以，c>d>1>a>b，即无论在y轴的左侧还是右侧，底数按逆时针方向变大． 3．函数y＝ax，y＝a|x|，y＝|ax|(a>0，a≠1)，y＝x之间有何关系？ 提示：y＝ax与y＝|ax|是同一个函数的不同表现形式；函数y＝a|x|与y＝ax不同，前者是一个偶函数，其图象关于y轴对称，当x≥0时两函数图象相同；y＝ax与y＝x的图象关于y轴对称． [自测·牛刀小试] 1．(教材习题改编)化简[(－2)6]－(－1)0的结果为( ) A．－9 B．－10 C．9 D．7 解析：选D [(－2)6]－(－1)0＝(26)－1＝8－1＝7. 2．化简(a>0，b>0)的结果是( ) A. B．ab C．a2b D. 解析：选D 原式＝＝＝＝ab－1＝. 3．函数f(x)＝2|x－1|的图象是( ) 解析：选B f(x)＝ 根据分段函数即可画出函数图象． 4．(教材习题改编)函数y＝ 的定义域为________． 解析：要使函数有意义，需1－x≥0，即x≤1， x≥0，即定义域为[0，＋∞)． 答案：[0，＋∞) 5．若函数f(x)＝ax－1(a>0，a≠1)的定义域和值域都是[0,2]，则实数a＝________. 解析：当a>1时，f(x)＝ax－1在[0,2]上为增函数， 则a2－1＝2，a＝±.又a>1，a＝. 当0b)，若f(x)的图象如图所示，则函数g(x)＝ax＋b的图象是( ) (2)若曲线|y|＝2x＋1与直线y＝b没有公共点，则b的取值范围是________． [自主解答] (1)由已知并结合图象可知00，a≠1)的图象，应抓住三个关键点：(1，a)，(0,1)，. ?2?与指数函数有关的函数的图象的研究，往往利用相应指数函数的图象，通过平移、对称变换得到其图象.?3?一些指数方程、不等式问题的求解，往往利用相应的指数型函数图象数形结合求解. 2．(2012·四川高考)函数y＝ax－a(a>0，且a≠1)的图象可能是( ) 解析：选C 当x＝1时，y＝a1－a＝0， 函数y＝ax－a的图象过定点(1,0)， 结合图象可知选C. 3．(2013·盐城模拟)已知过点O的直线与函数y＝3x的图象交于A，B两点，点A在线段OB上，过A作y轴的平行线交函数y＝9x的图象于C点，当BC平行于x轴时，点A的横坐标是________． 解析：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由题意可得，C(x1，y2)，所以有又A，O，B三点共线，所以kAO＝kBO，即＝，代入可得，＝＝，即＝，所以x1＝log32. 答案：log32 指数函数的性质及应用 [例3] 已知函数f(x)＝ax2－4x＋3 (1)若a＝－1，求f(x)的单调区间； (2)若f(x)有最大值3，求a的值； (3)若f(x)的值域是(0，＋∞)，求a的值． [自主解答] (1)当a＝－1时， f(x)＝－x2－4x＋3， 令g(x)＝－x2－4x＋3， 由于g(x)在(－∞，－2)上单调递增，在(－2，＋∞)上单调递减，而y＝t在R上单调递减， 所以f(x)在(－∞，－2)上单调递减，在(－2，＋∞)上单调递增，即函数f(x)的单调递增区间是(－2，＋∞)，单调递减区间是(－∞，－2)． (2)令h(x)＝ax2－4x＋3，f(x)＝h(x)， 由于f(x)有最大值3，所以h(x)应有最小值－1， 因此必有解得a＝1， 即当f(x)有最大值3时，a的值等于1. (3)由指数函数的性质知，要使y＝h(x)的值域为(0，＋∞)．应使h(x)＝ax2－4x＋3的值域为R， 因此只能a＝0(因为若a≠0，则h(x)为二次函数，其值域不可能为R)．故a的值为0. ——————————————————— 利用指数函数的性质解决问题的方法 求解与指数函数有关的复合函数问题，首先要熟知指数函数的定义域、值域、单调性等相关性质，其次要明确复合函数的构成，涉及值域、单调区间、最值等问题时，都要借助“同增异减”这一性质分析判断，最终将问题归结为内层函数相关的问题加以解决． 4．设a>0且a≠1，函数y＝a2x＋2ax－1在[－1,1]上的最大值是14，求a的值． 解：令t＝ax(a>0且a≠1)， 则原函数化为y＝(t＋1)2－2(t>0)． 当00，所以a＝. 当a>1时，x[－1,1]，t＝ax， 此时f(t)在上是增函数． 所以f(t)max＝f(a)＝(a＋1)2－2＝14， 解得a＝3(a＝－5舍去)．综上得a＝或a＝3. 1个关系——分数指数幂与根式的关系 根式与分数指数幂的实质是相同的，分数指数幂与根式可以互化，通常利用分数指数幂进行根式的化简运算． 2个应用——指数函数单调性的应用 (1)比较指数式的大小 若两个指数式的底数相同、指数不同，则根据底数与1的大小，利用指数函数的单调性，通过自变量的大小关系判断相应函数值的大小；若两个指数式的底数不同、指数也不同，则常借助1,0等中间量进行比较． (2)解指数不等式 形如ax>ab的不等式，借助于函数y＝ax的单调性求解，如果a的取值不确定，需分a>1与0b的不等式，需先将b转化为以a为底的指数幂的形式． 3个注意——指数式的化简及指数函数的应用需注意的问题 (1)在进行指数幂的运算时，一般用分数指数幂的形式表示，并且结果不能同时含有根号和分数指数幂，也不能既有分母又含有负指数． (2)指数函数y＝ax(a>0，a≠1)的图象和性质跟a的取值有关，要特别注意区分a>1与00，b>0， 2a＋2a＝2b＋3b>2b＋2b. 令f(x)＝2x＋2x(x>0)，则函数f(x)为单调增函数． a>b. [答案] A 1．本题有以下创新点 (1)命题方式的创新：本题没有直接给出指数函数模型，而是通过观察题目特点构造相应的函数关系式． (2)考查内容的创新：本题将指数函数、一次函数的单调性与放缩法、导数法的应用巧妙结合，考查了考生观察分析问题的能力及转化与化归的数学思想． 2．解决本题的关键有以下两点 (1)通过放缩，将等式问题转化为不等式问题． (2)构造函数，并利用其单调性解决问题． 1．若函数f(x)＝则不等式－≤f(x)≤的解集为( ) A．[－1,2)[3，＋) B．(－，－3][1，＋∞) C. D．(1， ][3，＋∞) 解析：选B 函数f(x)＝和函数g(x)＝±的图象如图所示，从图象上可以看出不等式的解集是两个无限区间．当x1)．当K＝时，函数fK(x)在下列区间上单调递减的是( ) A．(－∞，0) B．(－a，＋∞) C．(－∞，－1) D．(1，＋∞) 解析：选D 函数f(x)＝a－|x|(a>1)的图象为右图中实线部分，y＝K＝的图象为右图中虚线部分，由图象知fK(x)在(1，＋∞)上为减函数. 1．化简的结果是( ) A．－ B. C．－ D. 解析：选A 依题意知x<0，＝－＝－. 2．(2012·天津高考)已知a＝212，b＝－0.5，c＝2log52，则a，b，c的大小关系为( ) A．cc. 3．函数y＝x2 的值域是( ) A．(0，＋∞) B．(0,1) C．(0,1] D．[1，＋∞) 解析：选C x2≥0，x2≤1，即值域是(0,1]． 4．(2013·广州模拟)定义运算ab＝，则f(x)＝2x2－x的图象是( ) 解析：选C x≥0时，2x≥1≥2－x>0； x<0时，0<2x<1<2－x. f(x)＝2x2－x＝ 5．设函数f(x)定义在实数集上，它的图象关于直线x＝1对称，且当x≥1时，f(x)＝3x－1，则有( ) A．f<f<f B．f<f<f C．f<f<f D．f<f<f 解析：选B 由题设知，当x≥1时，f(x)＝3x－1单调递增，因其图象关于直线x＝1对称，当x≤1时，f(x)单调递减．f＝f＝f.f<f<f，即f<f0时，直线y＝mx始终与函数y＝2－x(x≤0)的图象有一个公共点，故要使直线y＝mx与函数f(x)的图象有三个公共点，必须使直线y＝mx与函数y＝x2＋1(x>0)的图象有两个公共点，即方程mx＝x2＋1在x>0时有两个不相等的实数根，即方程x2－2mx＋2＝0的判别式Δ＝4m2－4×2>0，解得m>.故所求实数m的取值范围是(，＋∞)． 二、填空题(本大题共3小题，每小题5分，共15分) 7．已知函数f(x)＝4＋ax－1的图象恒过定点P，则点P的坐标是________． 解析：令x－1＝0，即x＝1，则f(1)＝5. 图象恒过定点P(1,5)． 答案：(1,5) 8．函数y＝x－3x在区间[－1,1]上的最大值等于________． 解析：由y＝x是减函数，y＝3x是增函数，可知 y＝x－3x是减函数，故当x＝－1时函数有最大值. 答案： 9．对于函数f(x)，如果存在函数g(x)＝ax＋b(a，b为常数)，使得对于区间D上的一切实数x都有f(x)≤g(x)成立，则称函数g(x)为函数f(x)在区间D上的一个“覆盖函数”，设f(x)＝2x，g(x)＝2x，若函数g(x)为函数f(x)在区间[m，n]上的一个“覆盖函数”，则|m－n|的最大值为________． 解析：因为函数f(x)＝2x与g(x)＝2x的图象相交于点A(1,2)，B(2,4)，由图可知，[m，n][1,2]，故 |m－n|max＝2－1＝1. 答案：1 三、解答题(本大题共3小题，每小题12分，共36分) 10．已知f(x)＝ex－e－x，g(x)＝ex＋e－x(e＝2.718 28…)． (1)求[f(x)]2－[g(x)]2的值； (2)若f(x)f(y)＝4，g(x)g(y)＝8，求的值． 解：(1)[f(x)]2－[g(x)]2＝(ex－e－x)2－(ex＋e－x)2 ＝(e2x－2＋e－2x)－(e2x＋2＋e－2x)＝－4. (2)f(x)f(y)＝(ex－e－x)(ey－e－y) ＝ex＋y＋e－x－y－ex－y－e－x＋y ＝[ex＋y＋e－(x＋y)]－[ex－y＋e－(x－y)] ＝g(x＋y)－g(x－y)， g(x＋y)－g(x－y)＝4. 同理，由g(x)g(y)＝8，可得g(x＋y)＋g(x－y)＝8. 由解得g(x＋y)＝6，g(x－y)＝2，＝3. 11．若函数y＝lg(3－4x＋x2)的定义域为M.当xM时，求f(x)＝2x＋2－3×4x的最值及相应的x的值． 解：y＝lg (3－4x＋x2)，3－4x＋x2>0， 解得x3.M＝{x|x3}． f(x)＝2x＋2－3×4x＝4×2x－3×(2x)2. 令2x＝t，x3，t>8或0<t8或0<t<2)． 由二次函数性质可知： 当0<t8时，f(t)(－∞，－160)， 当2x＝t＝，即x＝log2时，f(x)max＝. 综上可知，当x＝log2时，f(x)取到最大值为，无最小值． 12．已知函数f(x)＝3x－. (1)若f(x)＝2，求x的值； (2)判断x>0时，f(x)的单调性； (3)若3tf(2t)＋mf(t)≥0对于t恒成立，求m的取值范围． 解：(1)当x≤0时，f(x)＝3x－3x＝0， f(x)＝2无解． 当x>0时，f(x)＝3x－，令3x－＝2. (3x)2－2·3x－1＝0，解得3x＝1±. 3x>0，3x＝1＋. x＝log3(1＋)． (2)y＝3x在(0，＋∞)上单调递增，y＝在(0，＋∞)上单调递减，f(x)＝3x－在(0，＋∞)上单调递增． (3)t∈，f(t)＝3t－>0. 3tf(2t)＋mf(t)≥0化为 3t＋m≥0， 即3t＋m≥0，即m≥－32t－1. 令g(t)＝－32t－1，则g(t)在上递减， g(x)max＝－4. 所求实数m的取值范围是[－4，＋∞)． 1．函数y＝x＋1的图象关于直线y＝x对称的图象大致是( ) 解析：选A 先通过平移变换作出函数y＝x＋1的图象，再作关于直线y＝x对称的图象即可． 2．已知x＋x＝3，求的值． 解：x＋x＝3，x＋x－1＝7. x2＋x－2＝(x＋x－1)2－2＝72－2＝47. 又x＋x＝(x＋x)3－3(x＋x)＝27－9＝18. 原式＝＝3. 3．比较下列各题中两个值的大小： (1)1.72.5,1.73；(2)0.8－0.1,0.8－0.2；(3)1.70.3,0.93.1. 解：(1)考察函数y＝1.7x，因为1.7>1，所以指数函数y＝1.7x在R上是增函数．因为2.5<3，所以1.72.5<1.73. (2)考察函数y＝0.8x，因为0<0.8－0.2，所以0.8－0.11.70＝1,0.93.10.93.1. 4．已知定义域为R的函数f(x)＝是奇函数． (1)求a，b的值； (2)若对任意的tR，不等式f(t2－2t)＋f(2t2－k)<0恒成立，求k的取值范围． 解：(1)因为f(x)是R上的奇函数， 所以f(0)＝0，即＝0，解得b＝1. 从而有f(x)＝. 又由f(1)＝－f(－1)知＝－， 解得a＝2. (2)由(1)知f(x)＝＝－＋， 由上式易知f(x)在R上为减函数，又因为f(x)是奇函数，从而不等式f(t2－2t)＋f(2t2－k)<0等价于f(t2－2t)－2t2＋k. 即对一切tR有3t2－2t－k>0， 从而Δ＝4＋12k<0，解得k<－.。
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第- 1 -页 共9页 第06节指数与指数函数 【考纲解读】 考点 考纲内容 5年统计 分析预测
指数幂的运算 1.了解指数幂的含义，掌握有理指数幂的运算。 2．理解指数函数的概念，掌握指数函数的图象、性质及应用. 3.了解指数函数的变化特征. 2019•浙江理3； 2019•浙江文8；理7； 2019•浙江理12； 2019•浙江文7；理12； 2019•浙江5. 1.指数幂的运算； 2.指数函数的图象和性质的应用. 3.备考重点： （1）指数函数单调性的应用，如比较函数值的大小； （2）图象过定点； （3）底数分类讨论问题.
指数函数的图象和性质
【知识清单】 1.根式和分数指数幂 1.根式
(1)概念：式子na叫做根式，其中n叫做根指数，a叫做被开方数. (2)性质：(na)n＝a(a使na有意义)；当n为奇数时，nan＝a，当n为偶数时，nan＝|a|＝
a，a≥0，
－a，a<0. 2.分数指数幂
(1)规定：正数的正分数指数幂的意义是amn＝nam(a>0，m，n∈N*，且n>1)；正数的负分数指数幂的意义是a－mn＝1nam(a>0，m，n∈N*，且n>1)；0的正分数指数幂等于0；0的负分数指数幂没有意义. (2)有理指数幂的运算性质：aras＝ar＋s；(ar)s＝ars；(ab)r＝arbr，其中a>0，b>0，r，s∈Q.
对点练习
化简：(1)a3b23ab2（a14b12）4a－13b13(a>0，b>0)； 第- 2 -页 共9页
(2)－278－23＋(0.002)－12－10(5－2)－1＋(2－3)0. 【答案】(1)ab－1.(2)－1679.
＝－82723＋50012－10(5＋2)＋1 ＝49＋105－105－20＋1＝－1679. 2.指数函数及其性质 (1)概念：函数y＝ax(a>0且a≠1)叫做指数函数，其中指数x是变量，函数的定义域是R，a是底数. (2)指数函数的图象与性质 a>1 0<1
图象 定义域 R 值域 (0，＋∞)
性质 过定点(0，1)，即x＝0时，y＝1 当x>0时，y>1； 当x<0时，01； 当x>0时，0在(－∞，＋∞)上是增函数 在(－∞，＋∞)上是减函数
对点练习 当x<0时，函数f(x)＝(2a－1)x的值恒大于1，则实数a的取值范围是()
A.12，1 B．(1,2) C．(1，＋∞) D．(－∞，1) 第- 3 -页 共9页
【答案】A 【解析】由题意可得0<2a－1<1，解得12【考点深度剖析】 从近几年的高考试题来看，指数函数的图象和性质及其应用是高考的热点，题型多以选择题、填空题为主，偶尔有以大题中关键一步的形式出现，主要考查视图用图能力、数形结合思想的应用、函数单调性的应用、运算能力等．常常与对数函数综合考查. 【重点难点突破】 考点1根式、指数幂的化简与求值
【1-1】化简3234[(5)]的结果为（） A．5B．C．﹣D．﹣5 【答案】B
【解析】3234[(5)]，故选B 【1-2】1332×760＋148×42－2323＝________. 【答案】2
【领悟技法】 指数幂的化简与求值 (1)化简原则：①化根式为分数指数幂；②化负指数幂为正指数幂；③化小数为分数；④注意运算的先后顺序． 提醒：有理数指数幂的运算性质中，其底数都大于零，否则不能用性质来运算． (2)结果要求：①若题目以根式形式给出，则结果用根式表示；②若题目以分数指数幂的形式给出，则结果用分数指数幂的形式表示；③结果不能同时含有根式和分数指数幂，也不能既有分母又有负分数指数幂．
【触类旁通】
【变式一】11320.25331181()lg4lg825. 第- 4 -页 共9页
【答案】2 【变式二】1.5－13×760＋80.25×42＋(32×3)6－2323 【答案】110 【解析】原式＝113133234422 2223210811033＋＋－. 考点2根式、指数幂的条件求值 【2-1】已知11223aa，求下列各式的值. （1）11aa；（2）22aa；（3）22111aaaa 【答案】(1)7;(2)47;(3)6. 【解析】（1）将11223aa两边平方得1129aa，所以117aa. （2）将117aa两边平方得22249aa，所以2247aa.
（3）由（1）（2）可得22114716.171aaaa
【2-2】已知,ab是方程2640xx的两根，且0,ab求abab的值. 【答案】55 【解析】由已知，64abab， 所以226241().52624abababababab 因为0,,abab 所以5.5abab 第- 5 -页 共9页
【领悟技法】 根式、指数幂的条件求值，是代数式求值问题的常见题型，一般步骤是： (1)审题：从整体上把握已知条件和所求代数式的形式和特点； (2)化简：①化简已知条件；②化简所求代数式； （3）求值：往往通过整体代入，简化解题过程.
【触类旁通】
【变式一】已知12,9,xyxy且xy，求11221122xyxy的值.
【答案】33
考点3指数函数的概念、图象、性质及其应用 【3-1】已知a＝3525，b＝2535，c＝2525，则() A.aC.c【答案】D
【解析】∵2()5xy在R上为减函数，3255，∴bc.
又∵25yx在(0)，＋上为增函数，3255， .acbca， 【3-2】已知函数xfxa＝(a>0，且a≠1)，如果以P(x1，f(x1))，Q(x2，f(x2))为端点的线段的中点在y轴上，那么f(x1)·f(x2)等于() 第- 6 -页 共9页
A.1 B.a C.2 D.a2 【答案】A 【解析】∵以1122()()PxfxQxfx，，，为端点的线段的中点在y轴上， ∴120xx＋＝.又∵xfxa＝， ∴0121212··1xxxxfxfxaaaa＋＝＝＝＝.
【3-3】函数y＝1222xx－的值域为() A.12，＋∞B.－∞，12C.0，12D．(0,2] 【答案】A
【3-4】指数函数y＝(2－a)x在定义域内是减函数，则a的取值范围是________. 【答案】(1，2) 【解析】由题意知0<2－a<1，解得1
【领悟技法】 1.比较幂值大小时，要注意区分底数相同还是指数相同．是用指数函数的单调性，还是用幂函数的单调性或指数函数的图象解决．要注意图象的应用，还应注意中间量0、1等的运用．指数函数的图象在第一象限内底大图高(逆时针方向底数依次变大)．当幂的底数不确定时，要注意讨论底数的不同取值情况. 2.形如.()(0,1)fxyaaa＝一类函数，有如下结论： （1）()(0,1)fxyaaa＝的定义域、奇偶性与()fx的定义域、奇偶性相同； （2）先确定()fx的值域，再利用指数函数的单调性，确定()(0,1)fxyaaa＝的值域； （3）()(0,1)fxyaaa＝的单调性具有规律“同增异减”，即(),uufxya的单调性相同时，()(0,1)fxyaaa＝是增函数，(),uufxya的单调性不同时，()(0,1)fxyaaa＝是减函数.
【触类旁通】 【变式一】已知22,3xxfxfm,且0m,若 第- 7 -页 共9页
2,2,2afmbfmcfm,则,,abc的大小关系为（）
A．cbaB．acb C．abcD．bac 【答案】D 【解析】由于322)(mmmf,所以6)(2mf,72)22()2(2mmmf,而
mmmmmmfc241712241)23(44224)2(,由于
120,0mm,因此743141712c,所以bac,应选D．
【变式二】若a＝23x，b＝x2，c＝log23x，则当x>1时，a，b，c的大小关系是() A.cC.a【答案】A
【易错试题常警惕】 易错典例1：计算下列各式的值．
（1）33(8)；（2）2(10)；（3）44(3)；（4）2()()abab.
易错分析：,||,nnanaan为奇数为偶数，不注意n的奇偶性对nna的影响，是导致错误出现的一个重要原因，要在理解的基础上，记准、记熟、会用、活用．
温馨提醒： (1)()nna中实数a的取值由n的奇偶性确定，只要()nna有意义，其值恒等于a，即