多项式函数的图形与多项式不等式
课本_多项式函数及其图形
3-2 多项式函数及其图形 137生活周遭事物的关系，经常是函数关系。
例如：人们在 等速运行电扶梯上所移动的距离 (y 米) 与站立时间 (x 秒)， 就是函数 y ＝kx ，k 为电扶梯每秒移动的速度。
本节中， 将介绍数学上基本的函数－多项式函数及其图形的 重要性质。
1 函 数我们会探究生活中的许多事物所 隐藏的对应关系，便于进行判断和预 测。
例如，据报载，台北捷运最长的电 扶梯在忠孝复兴站，已知运行速度为 每秒 0.5 米，每分钟平均运送约 90 位旅客。
为疏运旅客，拟加快运行速 度，当速度提升到每秒 0.65 米，北 捷预估调整后运输量可增加 30％，试问：这个预估是否合理？设时间 x 秒可运送旅客 y 人，依题意可知，电扶梯宽度固定，只需考虑电扶梯每米可站立的人数为900.560⨯＝3 (人)，故加速后可运送人数y ＝3×0.65×x ＝1.95x ，因此，每分钟可运送旅客 1.95×60＝117，则运量增加1179090-×100％＝30％，故北捷的预估是合理的。
由上可知，时间 x 秒与人数 y 的数学式可表为 y ＝1.95x 。
当 x 值给定时，恰有一个 y 值与之对应，我们称这种对应关系为 y 是 x 的函数。
-2 多项式函数及其图形此电扶梯长度有39.44米，高度有 19.72 米，约六层楼高。
137138 第3章 多项式函数上述例子时间与人数的函数，可记作 f (x )＝1.95x ，当 x ＝20 时，对应的函数值为 f (20)＝1.95×20＝39 (人)。
进一步，在坐标平面上，满足 y ＝f (x ) 之所有点 (x , y ) 聚集而成的图形，就称为函数 f (x ) 的图形。
函数图形让我们对函数的变化趋势有具象的掌握，有助于我们了解该函数的对应关系。
例如：观察图5可知，不论变量 x 如何变化，函数值 f (x ) 恒为 1，正是国中时所学过的常数函数。
多元函数的基本概念52774
E
定义： 如果点 P(可以属E于,也可不属E)于 的
任 一 邻 域 内 既 有 E的属点于 ,也 有 不 属 于E的 点,则 称P为E的 边 界.E点的 边 界 点 的 全 体 称 E的为边 界 ,记 为E.
P
E
定义：设E是平面上的一个,点 P是集平面上 的一个点 ,如果点P的任何一个邻域 内总有无限多个点点属集于 E,则称 P为E的聚点.
自变量、因变量等概念。
3、多元函数的图形（二元为例）
设函数z f (x, y)的定义域为 D,对于任意给定的 P(x, y)D,对应的函数值z为 f (x, y),这样,以x 为横坐标,以y为纵坐标,以z为竖坐标在空间就 确定一点M(x, y, z),当(x, y)取遍D上一切点时 ,得
到一个空间点x集, y, z) z f (x, y),(x, y)D,这
(2)找 两 种 不 同,趋 使li近 mf(方 x,y式 ) xx0 yy0 存 在 ,但 两 者,则 不 f(x等 ,y)在 点 (x0,y0) 处 极 限 不 . 存 在
四、多元函数的连续性
定义： 设n元函f(数 P)的定义域D 为 ,P0点 D集
是
其
聚 ,如点果 limf(P) PP0
（开集） （闭集） （都不属于）
6、区域与闭区域 定义：设D是开集 .如果对D于内任何两,都 点可 用折线连结起 ,且来该折线上的点都属 于D,则称开D集是连通(的 如下图 ).
y
连通的开集称为区域或开区域.
例 :{如 x ,(y )|1 x 2y2 4 }.
o
x
y
开区域连同它的边 起界 称一 为闭区 . 域
3多元函数的图形二元为例图形个点集称为二元函数的确定一点为竖坐标在空间就这样对应的函数值为对于任意给定的的定义域为设函数sinxy中的线性运算距离及重要子集类1线性运算线性组合的线性运算记为邻域是某一正数面上的一个点记为去心邻域称为中除去点常不写出以上不强调半径时的某一邻域如果存在点是平面上的一是平面上的一个点集记为的边界点的全体称为的边界的边界点也可不属于可以属于如果点内总有无限多个点属于的任何一个邻域如果点的一个点是平面上是平面上的一个点集1内点一定是聚点
多项式的概念及运算
多项式的除法运算
定义：多项式除以 除数 与被除数的每一项 分别相除，得到商 和余数
注意事项：除数不 能为0，否则无意 义
举例说明：多项式 除以单项式的具体 运算过程
多项式的代数式展开
第三章
代数式展开的概念
代数式展开是将多项式中的代数式按照一定的顺序进行展开，得到具体的数值或表达式。 代数式展开是多项式运算中的一种基本运算，是学习数学和其他学科的基础。 通过代数式展开，可以更好地理解多项式的结构和性质，掌握代数运算的技巧和方法。 代数式展开在解决实际问题中也有广泛应用，如求解方程、不等式、函数等。
多项式是由有限个 单项式通过加减运 算得到的代数式。
多项式的次数是所 有单项式中次数最 高的那一项的次数。
多项式中每一项的 系数不能为0。
多项式中单项式的 排列顺序不影响多 项式的值。
举例说明多项式的形式
二次多项式：ax² + bx + c
四次多项式：ax⁴ + bx³ + cx² + dx + e
添加标题
添加标题
添加标题
添加标题
三次多项式：ax³ + bx² + cx + d
任意次多项式：a_0 + a_1x + a_2x² + ... + a_nx^n
多项式的运算
第二章
多项式的加法运算
定义：将两个多项式的同类项的系数相加，得到新的多项式 举例：如 (2x^2 + 3x + 1) + (x^2 - 2x + 3) = 3x^2 + 1 注意事项：注意合并同类项时，系数相加，字母和字母的指数不变 运算律：满足交换律和结合律，即 (a+b)+c=a+(b+c)
二次多项式
二次多项式、二次函数、二次方程，二次不等式名称之间的关系 多项式a c bx x ++2(a ≠0),称为二次多项式的一般形式(或称为标准形式).其他像a 2x (相当于在a c bx x ++2中a ≠0，b=0,c=o), a bx x +2(相当于在a c bx x ++2中a ≠0，b ≠0,c=o), a c x +2(相当于在a c bx x ++2中a ≠0，b=0, c ≠o), 都可看作是多项式a c bx x ++2(a ≠0)的特殊形式，它们都称为二次多项式，由此，根据它们得到的函数:y= a c bx x ++2(a ≠0), y= a 2x (a ≠0), y= a bx x +2(a ≠0),y= a c x +2(a ≠0),都称为二次函数，其中y= a c bx x ++2(a ≠0) 称为二次函数的一般形式(或称为标准形式).至于在y= a c bx x ++2中，若a=0, b=0,则y= a c bx x ++2就变为y=c 了（其中常数的c 可以是-2、3、0等），这种情形下就不能称之为二次函数了，而应称之为常数函数。
在y= a c bx x ++2(a ≠0), y= a 2x (a ≠0), y= a bx x +2(a ≠0), y= a c x +2(a ≠0)中，令y=0，就得到了一元二次方程：a c bx x ++2=0(a ≠0),a 2x =0(a ≠0),a bx x +2=0(a ≠0),a c x +2=0(a ≠0)其中，a c bx x ++2=0(a ≠0)称为一元二次方程的一般形式(或称为标准形式).其它a 2x =0(a ≠0),a bx x +2=0(a ≠0),a c x +2=0(a ≠0)则称为一元二次方程的特殊形式。
可见，一元二次方程相当于二次函数中函数值y=0时求自变量x 的值 在y= a c bx x ++2(a ≠0), y= a 2x (a ≠0), y= a bx x +2(a ≠0), y= a c x +2(a ≠0)中，令y ≥k ，或者y ＞k,或者y ＜k 或者y ≤k 或者y ≠k,(k 是常数，如-2，0，3等都可作为k 的取值),就得到一元二次不等式。
3-3 多项式函数的图形与多项式不等式[37页]
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範例 1 描點作圖
第3章第3節 6/37
在坐標平面上，利用描點作圖描繪三次函數 f（x）＝x3 的圖形。
解■ 函數 f（x）＝x3 的取值如下：
x －2 －1 0 1 2 f（x） －8 －1 0 1 8
將上表中的點描繪作圖，如右圖所示
範例 2 判斷 y＝ax3＋px 的圖形
下列四個圖形中，哪一個為 y＝2x3＋x 的圖形？
(2) f（－6）＝－3 ×（－4）×（－7）×（－10）＝105 8
主題 2 二次不等式
第3章第3節 14/37
二次不等式 ax2＋bx＋c＞0 的解，取決於 a 的正負與
(A)
(B)
(C)
第3章第3節 7/37
(D)
解■ ∵y＝2x3＋x 領導係數 2＞0 ∴右端上揚 又 x 項係數 1＞0 ∴在 x＝0 附近的走向往右增高 故選(A)
範例 3 y＝ax3＋px 圖形的平移
第3章第3節 8/37
已知 y＝2x3＋x 的圖形如右圖所示，
(1) 若 2x3＋12x2＋25x＋23＝2(x＋a)3＋b（x＋a）＋k，
❶ f＋2x＋1
＝（x2－2)(x＋1)(x－1)。 ＝－（x－1)(x＋1)3。
(2) 圖形性質：
多項式函數 f（x）＝anxn＋an－1xn－1＋……＋a1x＋a0 的圖形， ①若 an＞0，則圖形的最右方會上升到無限大；
若 an＜0，則圖形的最右方會下降到負無限大。 ②多項式函數的圖形是一條連續不間斷的曲線。
第3章第3節 2/37
2. y＝ax3＋px 的圖形： y＝ax3＋px 的圖形有以下特點： (1) 圖形必過原點 O（0 , 0）。 (2) 圖形對稱於原點 O（0 , 0)，其原點為對稱中心。 (3) 當 a＞0，函數圖形的最右方會上升到無限大， 最左方會下降到負無限大。當 a＜0 時則相反。 (4) 函數圖形在 x＝0 附近，當 p＞0 時是往右上走 的；當 p＜0 時是往右下走的。
构造函数法证明不等式的八种方法冷世平整理
构造函数法证明不等式的八种方法冷世平整理1.构造多项式函数法：通过构造一个多项式函数来证明不等式。
例如，要证明当$x>0$时，$x^3+x^2+x+1>0$，我们可以构造多项式$f(x)=x^3+x^2+x+1$，然后证明$f(x)$的系数全为正数，从而得到结论。
2. 构造变形函数法：通过构造一个特定的变形函数来证明不等式。
例如，要证明当$x>0$时，$x+\frac{1}{x}>2$，我们可以构造变形函数$f(x)=x+\frac{1}{x}-2$，然后证明$f(x)$的取值范围为正数，从而得到结论。
3. 构造反函数法：通过构造一个特定的反函数来证明不等式。
例如，要证明当$x>0$时，$\frac{1}{x}+\frac{1}{1-x}>2$，我们可以构造反函数$f(x)=\frac{1}{x}+\frac{1}{1-x}-2$，然后证明$f(x)$的取值范围为正数，从而得到结论。
4. 构造积分函数法：通过构造一个特定的积分函数来证明不等式。
例如，要证明当$x>0$时，$\int_{0}^{x}\sqrt{t}dt<x$，我们可以构造积分函数$f(x)=\int_{0}^{x}\sqrt{t}dt-x$，然后证明$f(x)$的取值范围为负数，从而得到结论。
5. 构造递推函数法：通过构造一个特定的递推函数来证明不等式。
例如，要证明$n$个正实数的算术平均数大于等于它们的几何平均数，我们可以构造递推函数$f(n)=\frac{a_1+a_2+\dots+a_n}{n}-\sqrt[n]{a_1a_2\dots a_n}$，然后证明$f(n)$关于$n$的递推关系为非负数，从而得到结论。
6. 构造交换函数法：通过构造一个特定的交换函数来证明不等式。
例如，要证明当$x,y,z>0$时，$(x+y)(y+z)(z+x)\geq 8xyz$，我们可以构造交换函数$f(x,y,z)=(x+y)(y+z)(z+x)-8xyz$，然后证明$f(x,y,z)$在$x,y,z$的任意交换下都保持不变或增加，从而得到结论。
数学习作_多项式函数的图形与多项式不等式
2-4多项式函数的图形与多项式不等式一、多项式函数及其图形1.常数函数及一次函数的图形都是直线。
2.二次函数的图形都是拋物线。
3.高次（三次或三次以上）函数的图形都是连续曲线。
二、二次不等式1.设α＜β，则二次不等式，(1)（x－α）（x－β）＞0 的解为x＞β或x＜α。
(2)（x－α）（x－β）＜0 的解为α＜x＜β。
2.若二次函数f（x）＝ax2＋bx＋c的判别式D＝b2－4ac＜0，则：(1) a＞0 ⇔f（x）之值恒为正。
(2) a＜0 ⇔f（x）之值恒为负。
三、高次多项式不等式以不等式（x－1）（x－2）4（x－5）3（x－8）＞0 为例：（Step1）x＝﹨1，2，5，8（Step2）因为（x－2）4＞0，删除此因式，得不等式（x－1）（x－5）3（x－8）＞0；再者（x－5）3与（x－5）有相同正负，故不等式可进一步化简成（x－1）（x－5）（x－8）＞0（Step3）将数线区分成（－∞﹐1），（1﹐5），（5﹐8），（8﹐∞）讨论（x－1）（x－5）（x－8）的正负值，可求得解为1＜x＜5 或x＞8，且x＝﹨2四、简易分式不等式若P（x）、Q（x）为多项式，则分式不等式()()P xQ x≥0 的解与Q（x）＝﹨0且P（x）Q（x）≥0 的解相同。
例如：()()()211x xx+－－≥0 的解与（x＋1）（x－2）（x－1）≥0，（x－1）＝﹨0 的解相同，所以，解同为－1≤x＜1 或x≥2。
基础题1.解下列不等式：(1) x2＋5x－6＜0。
（4 分）(2) x2－2x－1≥0。
（4 分）解(1) x2＋5x－6＜0 ⇨（x－1）（x＋6）＜0 ⇨－6＜x＜1(2) x2－2x－1＝0 之两根为＝1故x2－2x－1≥0 ⇨（x－（1）（x－（1））≥0故x≤1或x≥12.试解下列不等式：(1) x2－6x＋9＞0。
（3 分）(2) 4x 2＋4x ＋1 ≤ 0。
（3 分）(3) －x 2＋2x －5＞0。
教师手册_ 多项式不等式
3-3 多项式不等式f-V-2认识多项式函数的图形特征，理解其特征的意义，认识以多项式函数为数学模型的关系或现象，并能用以沟通和解决问题。
a-V-4理解不等式之解区域的意涵，并能用以解决问题。
第1码为表现类别：a ( 代数)、f ( 函数)，第2码为学习阶段别：V ( 普通型高级中等学校) ，第3码流水号。
①如前所述，多项式不等式的求解关键正是方程式的实根。
然而，在这个版本的课纲，方程式的求根被弱化，也删去一次因式检验法，请老师要注意此点！因此，三次以上的多项不等式必须是已经分解。
此处，将方程式f (x)＝0的实根，与函数f (x) 的图形与x轴交点的x坐标连结起来，是为了后续利用几何意义来讨论不等式的求解。
①若情况允许，老师不妨可以和学生讨论x＝－2与x＝1的这两个根有何差异？进而可以引出奇数重根和偶数重根的概念或是等到后面高次不等式再来讨论。
②国中已经会使用不等式的运算性质，但此节的重点在于能从几何意义出发，了解不等式的解与函数图形的关系，进而推广到高次不等式的求解。
所以，在此由简单的一次不等式开始，让学生能熟悉两者的关系。
方程式f (x)＝0的根即函数f (x) 的图形与x轴的交点，由图知，解为x＝－2或1。
①此处强调例题“首项系数为正”的目的有二：(1) 可以简化不等式题目的类型；(2) 学生只要学会处理系数为正的不等式情形。
当然，老师可以视情形让学生练习首项系数为负的题目。
②如前所述，此节的重点是从几何意义出发，了解不等式的解与函数图形的关系，希望能多强调此重点。
4x－1≤4＋2x⇒2x≤5 ⇒x≤52，也就是(－∞,52］。
①由于方程式f (x)＝0的根，是不等式求解的关键。
因此，重新强调二次方程式之根的情形就有其必要性。
方程式f (x)＝0的解即函数f (x) 的图形与x轴的交点，(1) 由图知，解为x＝－1或3。
(2) 由图知，不等式f (x)＜0的解为x＜－1或x＞3，也就是(－∞, －1 )∪( 3 ,∞)。
07_数学(1)无敌讲义_2-4 多项式函数的图形与多项式不等式[14页]
2-4 多項式函數的圖形與多項式不等式 109
8 例 題
解高次不等式
解下列不等式： 1 （x-1）（x-2）（x2+x+1）>0。 2 （x-1）（x-2）（2 x-3）3N0。
配合課本例題 3
解 1 因 x2+x+1>0 恆成立，原不等式可轉化為（x-1）（x-2）>0 令 f（x）=（x-1）（x-2） 由右圖可得
即 6kx2-5kx+kN0
又給定的二次不等式可改寫為 6x2-ax-bN0
因 6kx2-5kx+kN0 與 6x2-ax-bN0 同義，即係數成比例
比較之下，得到
6 =
6k
-a -5k
=
-b k
，因此，a=5，b=-1
7 例 題
解二次不等式@
設 a，b 為實數，且二次不等式-x2+ax+b<0 的解為 x>1 或 x<-2，試求 a，b 的值。
畫出概略圖形，標上正負號，表示如右
得解為 x>2 或 x<-5 2 將原不等式-2x2-5x+12M0 改寫成 2x2+5x-12N0 分解為（2x-3）（x+4）N0
在數線上標出 3 ，-4 兩點（不等式有等號，表包含此兩點，以實心表示） 2
（ ） （ ） 將數線分成區間（-9c-4），
1 若 an>0，則圖形的最右方會上升到無限大； 若 an<0，則圖形的最右方會下降到負無限大。
2 多項式函數的圖形是一條連續不間斷的曲線。
（配合課本 P.121～P.123）
1 例 題
由多項式函數圖形求方程式與不等式的解
右圖是函數 f（x）=x3-6x2+11x-6=（x-1）（x-2）（x-3）的圖 形，試就 x 討論 f（x）值的正負號。
多项式的基本性质与应用
多项式的基本性质与应用一、多项式的定义与表示1.多项式是由常数、变量及它们的运算符（加、减、乘、除）组成的表达式。
2.多项式中的每个单项式称为多项式的项。
3.多项式中最高次数的项的次数称为多项式的次数。
4.多项式可以表示为：P(x) = a0 + a1x + a2x^2 + … + anx^n，其中a0, a1, …, an为常数，x为变量。
二、多项式的基本性质1.多项式中，每个单项式的系数都是实数或复数。
2.多项式的系数可以为正、负或零。
3.多项式的次数非负。
4.多项式的每一项都有对应的次数。
5.两个多项式相加或相减时，对应的项才能相加或相减。
6.两个多项式相乘时，每个项都要与其他多项式的每个项相乘。
三、多项式的运算1.加法：将两个多项式的同类项相加。
2.减法：将两个多项式的同类项相减。
3.乘法：将两个多项式的每一项相乘，然后将结果相加。
4.除法：用一个多项式除以另一个多项式，得到商和余数。
四、多项式的应用1.解方程：将方程转化为多项式的形式，然后通过运算求解。
2.求解不等式：将不等式转化为多项式的形式，然后通过运算求解。
3.函数图像：将多项式表示为函数，然后绘制其图像。
4.最大公因式：找出两个或多个多项式的最大公因式，用于简化运算。
5.因式分解：将多项式分解为几个因式的乘积，便于理解和运算。
6.代数恒等式：运用多项式的运算性质，证明恒等式。
五、多项式的特殊形式1.一次多项式：次数为1的多项式，形式为P(x) = ax + b。
2.二次多项式：次数为2的多项式，形式为P(x) = ax^2 + bx + c。
3.三次多项式：次数为3的多项式，形式为P(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d。
4.常数多项式：次数为0的多项式，形式为P(x) = a0。
六、多项式的项的性质1.同类项：具有相同变量的指数的项。
2.单项式：只有一个项的多项式。
3.多项式：有两个或多个项的代数表达式。
七、多项式的系数1.常数项：没有变量的项，其系数为常数。
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多项式函数的图形与多项式不等式主题一多项式函数的图形多项式函数的图形：(1) 一次函数f（x）＝ax＋b的图形是一条直线。
(2) 二次函数f（x）＝ax2＋bx＋c的图形是一条拋物线。
(3) 三次或三次以上函数的图形可以用描点法画出大略的图形。
(4) 多项式函数f（x）＝a n x n＋a n－1x n－1＋……＋a1x＋a0的图形，①若a n＞0，则图形的最右方会上升到无限大；若a n＜0，则图形的最右方会下降到负无限大。
②多项式函数的图形是一条连续不间断的曲线。
例题1由多项式函数图形求方程式与不等式的解下图是函数f（x）＝x3－6x2＋11x－6＝（x－1）（x－2）（x－3）的图形，试就x讨论f（x）值的正负号。
解观察函数图形可得(1) 若x＜1 或2＜x＜3，则f（x）＜0(2)若x＝1，2 或3，则f（x）＝0(3)若1＜x＜2 或x＞3，则f（x）＞0类题下图是函数f（x）＝－x3－x2＋2x＝－x（x＋2）（x－1）的图形，试就x讨论f（x）值的正负号。
解观察函数图形可得(1)若x＜－2 或0＜x＜1，则f（x）＞0(2)若x＝－2，0 或1，则f（x）＝0(3)若－2＜x＜0 或x＞1，则f（x）＜0主题二一次不等式（配合课本P.123～P.124）1. (1)设f（x）为多项式，则f（x）＞0（或f（x）≧0，f（x）＜0，f（x）≦0）称为多项式不等式。
(2)解多项式不等式的意思是求出使得不等式成立的所有x值。
2. (1)一次不等式形如ax＋b＞0（或ax＋b≧0，ax＋b＜0，ax＋b≦0）。
(2)解一次不等式只要移项即可，但要注意同乘或同除一个负数时，不等号要改变方向。
例题2解一元一次不等式配合课本P.124 随堂练习(1)试解不等式4x－5＜2x＋7。
(2)設不等式ax－3≧3x＋1 之解為x≦－2，試求a之值。
解(1) 4x－5＜2x＋7移项得 4x －2x ＜7＋5 ⇨ 2x ＜12 ⇨ x ＜6(2) ax －3≧3x ＋1⇨（a －3）x ≧4……（＊）因 x ≦－2 ()2−−−−→同乘－ －2x ≧4 与（＊）式比较 ⇨ a －3＝－2 ⇨ a ＝1类题(1) 试解不等式－x ＋1≦3x－3。
(2) 設不等式 3x －2＞ax ＋4 之解為 x ＞3，試求 a 之值。
解(1) －x ＋1≦3x －3同乘 3 得－3x ＋3≦x －9 移项得－3x －x ≦－9－3 ⇨ －4x ≦－12 ⇨ x ≧3(2) 3x －2＞ax ＋4 ⇨（3－a ）x ＞6……（＊）因 x ＞3 −−−→同乘22x ＞6 与（＊）式比较 ⇨ 3－a ＝2 ⇨ a ＝1主题三 二次不等式（配合课本 P.124～P.126）1. 二次不等式形如 ax 2＋bx ＋c ＞0（或≧，＜，≦），其中 a ≠0。
2. 利用图形解二次不等式：(1) 依判别式 b 2－4ac 的正负，可得图形及相对应的函数值正负号如下表所示：(2) 解不等式时，可先由判别式 b 2－4ac 得知概略的图形，然后依照题目的条件来选择相对应的正确范围。
通常会调整让最高次方的系数为正，较容易思考。
3. 分析每个因式的正负号解二次不等式：(1) 观察每个因式的正负变化，依正负号改变的点，分段讨论。
(2) 此法较适用于解高次不等式。
例题3 b 2－4ac ＞0 的情形配合课本例题 2解下列二次不等式：(1)x2＋3x－10＞0。
(2)－2x2－5x＋12≧0。
解(1) 原不等式分解为（x＋5）（x－2）＞0在数在线标出－5，2 两点（不等式没有等号，表不含此两点，以空心表示）将数线分成区间（－∞，－5），（－5，2）及（2，＋∞）画出概略图形，标上正负号，表示如右得解为x＞2 或x＜－5(2)将原不等式－2x2－5x＋12≧0 改写成2x2＋5x－12≦0分解为（2x－3）（x＋4）≦0在数在线标出32，－4 两点（不等式有等号，表包含此两点，以实心表示）将数线分成区间（－∞，－4），342⎛⎫⎪⎝⎭－，及32⎛⎫∞⎪⎝⎭，＋画出概略图形，标上正负号，表示如右得解为－4≦x≦3 2类题解下列二次不等式：(1)x2－7x＋12＜0。
(2)－2x2＋x＋3≧0。
解(1) 原不等式分解为（x－3）（x－4）＜0 在数在线标出3，4 两点（不等式没有等号，表不含此两点，以空心表示）将数线分成区间（－∞，3），（3，4）及（4，＋∞）画出概略图形，标上正负号，表示如右得解为3＜x＜4(2)将原不等式改写成2x2－x－3≦0，不等式分解为（2x－3）（x＋1）≦0在数在线标出32，－1 两点（不等式有等号，表包含此两点，以实心表示）将数线分成区间（－∞，－1），312⎛⎫⎪⎝⎭－，及32⎛⎫∞⎪⎝⎭＋，画出概略图形，标上正负号，表示如右，得解为－1≦x≦3 2例题4b2－4ac＝0 的情形配合课本例题2解下列二次不等式：(1)x2－6x＋9≧0。
(2)－9x2－6x－1＞0。
解(1) 如图（一），不等式配方得（x－3）2≧0对任意实数x，（x－3）2≧0故此不等式的解为所有实数(2)将原不等式改写成9x2＋6x＋1＜0如图（二），不等式配方得（3x＋1）2＜0但对任意实数x，（3x＋1）2≧0故所有实数都不是此不等式的解即此不等式没有实数解图（一）图（二）类题解下列二次不等式：(1)4x2－4x＋1≦0。
(2)－16x2＋24x－9＜0。
解(1) 如图（一），不等式配方得（2x－1）2≦0对实数x≠12，（2x－1）2＞0 不满足此不等式故不等式的解是x＝1 2(2)如图（二），不等式先移项（或乘上－1）得16x2－24x＋9＞0配方得（4x－3）2＞0对实数x≠34，（4x－3）2＞0 皆满足不等式故不等式的解是x∈，但x≠34图（一）图（二）例题5b2－4ac＜0 的情形配合课本例题2解下列二次不等式：(1)x2－2x＋2＞0。
(2)－4x2－4x＞5。
解(1) 如图（一），由判别式b2－4ac＝（－2）2－4×1×2＝－4＜0且x2项的系数为1＞0，表示x2－2x＋2＞0 恒成立故此不等式的解为所有实数(2)如图（二），将不等式改写成4x2＋4x＋5＜0由判别式b2－4ac＝42－4×4×5＝－64＜0且x2项的系数为4＞0，表示4x2＋4x＋5＞0 恒成立故此不等式没有实数解图（一）图（二）类题解下列二次不等式：(1)x2－6x＋10＜0。
(2)－9x2＋6x－4＜0解(1) 如图（一），由判别式b2－4ac＝（－6）2－4×1×10＝－4＜0且x2项的系数为1＞0，表示x2－6x＋10＞0 恒成立故此不等式没有实数解(2)如图（二），将不等式改写成9x2－6x＋4＞0由判别式b2－4ac＝（－6）2－4×9×4＝－108＜0且x2项的系数为9＞0，表示9x2－6x＋4＞0 恒成立故此不等式的解为所有实数图（一）图（二）例题6解二次不等式（一）设a，b为实数，且二次不等式－2x2＋ax＋b＞0 的解是－1＜x＜32，试求a，b的值。
注意先由－1＜x＜32反推二次不等式f（x）＜0，再利用f（x）＜0 与－2x2＋ax＋b＞0 同义，求得a，b之值解以－1＜x ＜32为解的二次不等式为 k （x ＋1）32x ⎛⎫ ⎪⎝⎭－＜0，其中 k ＞0即 2kx 2－kx －3k ＜0又给定的二次不等式可改写为 2x 2－ax －b ＜0因 2kx 2－kx －3k ＜0 与 2x 2－ax －b ＜0 同义，即系数成比例比较之下，得到 22k ＝k a --＝3kb--因此，a ＝1，b ＝3类题设 a ，b 为实数，且二次不等式－6x 2＋ax ＋b ≧0 的解是 13≦x ≦12，试求 a ，b 的值。
解以13≦x ≦12为解的二次不等式为 k 13x ⎛⎫ ⎪⎝⎭－12x ⎛⎫ ⎪⎝⎭－≦0，其中 k ＞0即 6kx 2－5kx ＋k ≦0又给定的二次不等式可改写为 6x 2－ax －b ≦0因 6kx 2－5kx ＋k ≦0 与 6x 2－ax －b ≦0 同义，即系数成比例比较之下，得到 66k ＝5ak--＝b k -，因此，a ＝5，b ＝－1例题7 解二次不等式（二）设 a ，b 为实数，且二次不等式－x 2＋ax ＋b ＜0 的解为 x ＞1 或 x ＜－2，试求 a ，b 的值。
解 以 x ＞1 或 x ＜－2 为解的二次不等式为 k （x －1）（x ＋2）＞0，其中 k ＞0 即 kx 2＋kx －2k ＞0，k ＞0又给定的二次不等式可改写为 x 2－ax －b ＞0因 kx 2＋kx －2k ＞0 与 x 2－ax －b ＞0 同义，即系数成比例比较之下，得到 1k ＝k a -＝2kb--，因此，a ＝－1，b ＝2类题设 a ，b 为实数，且二次不等式 ax 2－3x ＋b ≦0 的解为 x ≧2 或 x ≦－5，试求 a ，b 的值。
解 以 x ≧2 或 x ≦－5 为解的二次不等式为 k （x －2）（x ＋5）≧0，其中 k ＞0 展开得 kx 2＋3kx －10k ≧0又给定的二次不等式可改写为－ax 2＋3x －b ≧0因 kx 2＋3kx －10k ≧0 与－ax 2＋3x －b ≧0 同义，即系数成比例比较之下，得到 k a -＝33k ＝10kb--，因此，a ＝－1，b ＝10主题四 高次不等式 （配合课本 P.126～P.128）解题原则：(1) 先使多项式的首项系数为正。
(2) 再将多项式分解成实系数一次或二次的因式乘积。
(3) 将多项式方程式的实根标示在数在线。
(4) 画出概略函数图形。
(5) 依函数图形，讨论不等式的解。
例题8解高次不等式配合课本例题3解下列不等式：(1)（x－1）（x－2）（x2＋x＋1）＞0。
(2)（x－1）（x－2）2（x－3）3≦0。
解(1) 因x2＋x＋1＞0 恒成立，原不等式可转化为（x－1）（x－2）＞0 令f（x）＝（x－1）（x－2）由右图可得原不等式的解为x＞2 或x＜1(2)令f（x）＝（x－1）（x－2）2（x－3）3由右图可得原不等式的解为1≦x≦3类题解下列不等式：(1)（x－2）（x＋3）（x2－x＋3）≦0。
(2)（x＋1）2（x＋2）（x＋3）＞0。
解(1)因x2－x＋3＞0 恒成立，原不等式可转化为（x－2）（x＋3）≦0 令f（x）＝（x－2）（x＋3）由右可得原不等式的解为－3≦x≦2(2)令f（x）＝（x＋1）2（x＋2）（x＋3）由右图可得原不等式的解为x＜－3 或－2＜x＜－1 或x＞－1例题9虚根成对应用于解高次不等式配合课本例题4已知多项式方程式f（x）＝x4－5x3＋3x2＋19x－30＝0 有一虚根2＋i，试解f（x）＜0。