综合法与分析法
综合法和分析法
2012-2013高二年级数学选修2-3导学案 编制人 孔前方 审核人 杨国才 编号__________ 使用时间__________ 班级__________ 姓名__________ 小组__________ 组内评价__________ 教师评价__________三人行，必有我师——孔子 我没有什麽特别的才能，不过喜欢寻根刨底地追究问题罢了——爱因斯坦§2.2.1 综合法和分析法1.了解综合法的思维过程和特点，掌握综合法的解题步骤；会用综合法证明一些简单的命题。
1. 会用分析法证明问题；了解分析法的思考过程.2. 根据问题的特点，结合分析法的思考过程、特点，选择适当的证明方法.8591 复习1： 合情推理的特点；复习2：演绎推理的“三段式”模式；二、新课导学※ 学习探究探究任务一：综合法已知a>0,b>0, 求证abc a c b c b a 4)()(2222≥+++新知1：利用已知条件和某些数学定义、公理、定理等, 经过一系列的推理论证,最后推导出所要证明的结论成立,这种证明方法叫＿＿＿。
用P 表示已知条件、已有的定义、公理、定理等,Q 表示所要证明的结论. 则综合法用框图表示为:要点：由已知推导 结论；由因导果。
探究任务二：分析法问题：如何证明基本不等式(0,0)2a ba b +>>新知2：从要证明的结论出发，逐步寻找使它成立的充分条件，直至最后，把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件（已知条件、定理、定义、公理等）为止.框图表示要点：逆推证法；执果索因。
※ 合作探究：例1 在△ＡＢＣ中，三个内角Ａ、Ｂ、Ｃ对应的边分别为a 、b 、c ，且Ａ、Ｂ、Ｃ成等差数列，a 、b 、c 成等比数列，求证△ＡＢＣ为等边三角形．变式1 求证：对于任意角θ，θθθ2cos sin cos 44=-小结例2变式2：求证小结：三人行，必有我师——孔子 我没有什麽特别的才能，不过喜欢寻根刨底地追究问题罢了——爱因斯坦例3 在四面体S ABC -中,,SA ABC AB BC ⊥⊥面,过A 作SB 的垂线,垂足为E ,过E 作SC 的垂线,垂足为F ,求证AF SC ⊥.变式3： 如图,在三棱柱S-ABC 中，侧面SAB 与侧面SAC 均为等边三角形，<BAC=90。
高中数学—综合法与分析法
高中数学—综合法与分析法综合法与分析法是高中数学中常用的解题方法。
综合法强调整体把握和综合思考问题，而分析法则注重细致分析和逐步解决问题。
两者有各自的特点和应用场景，在解题过程中可以根据题目的要求和条件选择合适的方法。
综合法是先整体把握问题，然后思考解决方法的一种方法。
在解题过程中，先要明确问题的目标和条件，并将其整合为一个整体。
通过对整体的分析和思考，找出解决问题的关键点和方法。
综合法注重的是整体思考，不仅需要对问题进行全面的分析，还需要将各个条件和要求进行综合考虑，从而制定出解决问题的方案。
在高中数学中，综合法常常用于解决复杂的几何问题以及应用题中。
以解决几何问题为例，综合法的思路一般是先整体观察图形的性质和特点，然后从中找出关键的性质或定理，再利用这些性质或定理进行推理和证明。
通过整体把握，可以避免在解题过程中忽略一些重要的条件或关键点，从而提高解题的准确性和有效性。
分析法是逐步解决问题的一种方法。
分析法注重的是从问题中逐步抽象、归纳和推理，通过分解问题，逐步解决问题的各个部分，从而得到最终的解答。
分析法在高中数学中常常用于解决复杂的代数问题和一些特殊的几何问题。
以解决代数问题为例，分析法的思路一般是从已知条件出发，逐步推导出未知量的表达式或等式。
通过对问题的分析和推理，可以逐步解决问题，将复杂的问题分解为简单的步骤，提高解题的可行性和有效性。
在实际的解题过程中，综合法与分析法通常不是相互排斥的，而是相互补充的。
综合法注重整体把握，可以帮助我们快速了解问题的背景和要求；而分析法则注重细致分析，可以帮助我们逐步解决问题的各个部分。
在解题过程中，我们可以根据具体的情况综合运用这两种方法，选择合适的方法和策略来解决问题。
综合法与分析法在高中数学中的应用是非常广泛的。
通过综合法和分析法的学习和应用，我们可以更好地理解和掌握数学的基本概念和方法，提高解题的能力和水平。
同时，综合法和分析法也是培养我们综合思考和分析问题的能力的重要手段之一、通过不断的练习和实践，我们可以逐步提高综合法和分析法的应用水平，更好地解决数学问题。
综合法和分析法 课件
[典例] 设数列{an}的前 n 项和为 Sn，且(3－m)Sn＋2man ＝m＋3(n∈N*)，其中 m 为常数，且 m≠－3.
(1)求证：{an}是等比数列； (2)若数列{an}的公比为 q＝f(m)，数列{bn}满足 b1＝a1， bn＝32f(bn－1)(n∈N*，n≥2)，求证：b1n为等差数列．
[活学活用] 已知△ABC 三边 a，b，c 的倒数成等差数列，求证：B 为锐角． 证明：要证 B 为锐角，根据余弦定理， 只需证明 cos B＝a2＋2ca2c－b2>0，即证 a2＋c2－b2>0. 由于 a2＋c2－b2≥2ac－b2，要证 a2＋c2－b2>0， 只需证 2ac－b2>0. ∵a，b，c 的倒数成等差数列，∴1a＋1c＝2b，即 2ac＝b(a＋c)． 要证 2ac－b2>0，只需证 b(a＋c)－b2>0，即 b(a＋c－b)>0， 上述不等式显然成立，∴B 为锐角.
∵△ABC 三个内角 A，B，C 成等差数列． ∴B＝60°. 由余弦定理，有 b2＝c2＋a2－2cacos 60°， 即 b2＝c2＋a2－ac. ∴c2＋a2＝ac＋b2 成立，命题得证． 法二：∵△ABC 三个内角 A，B，C 成等差数列． ∴B＝60°. 由余弦定理，有 b2＝c2＋a2－2cacos 60°， 即 b2＝c2＋a2－ac.
2.分析法 定义
从要证明的 结论出发，逐步寻 求使它成立的 充分条件 ，
直至最后，把要证明的结论归 结为判定一个明显成立的条件
(已知条件、 定理 、 定义 、 公理 等)为止．这种证明方法
叫做分析法
框图表示
Q⇐P1 → P1⇐P2 → P2⇐P3 →…→
得到一个明显 成立的条件
课件9：2.2.1 综合法和分析法
又∵a、b、c 是不全相等的正数， ∴a＋2 b·b＋2 c·a＋2 c＞ a2b2c2＝abc. 即：a＋2 b·b＋2 c·a＋2 c＞abc 成立． ∴logxa＋2 b＋logxb＋2 c＋logxa＋2 c＜logxa＋logxb＋logxc 成立．
规律总结 综合法推理清晰，易于书写，分析法从结 论入手，易于寻找解题思路．在实际解决问题中，分 析法与综合法往往结合起来使用，先分析由条件能产 生什么结论，再分析要得出需要的结论需要什么条件， 逐步探求两者之间的联系，寻找解答突破口，确定解 题步骤，然后用综合法写出解题的过程．
只需证2scino(sxx11＋coxs2x)2>1＋sinco(xs1(＋x1＋x2)x2). ∵x1，x2∈(0，π2)，∴x1＋x2∈(0，π)， ∴cosx1cosx2>0，sin(x1＋x2)>0,1＋cos(x1＋x2)>0， 故只需证 1＋cos(x1＋x2)>2cosx1cosx2，
命题方向1 ⇨用综合法证明不等式
例 1 (1)若 a>b>0，则下列不等式中，总成立的是 ( A )
A．a＋1b>b＋1a
B．ab>ba＋ ＋11
C．a＋a1>b＋1b
D．2aa＋＋2bb>ba
(2)在不等式“a2＋b2≥2ab”的证明中：因为 a2＋b2－2ab＝ (a－b)2≥0.所以 a2＋b2≥2ab.该证明用的方法是__综__合__法_____． (3)已知 a，b，c∈R，且 a＋b＋c＝1. 求证：a2＋b2＋c2≥31.
④a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋ac(a，b，c∈R)，由不等式a2＋ b2≥2ab，a2＋c2≥2ac，b2＋c2≥2bc，易得a2＋b2＋c2≥ab＋bc ＋ca，此结论是一个重要的不等式，在不等式的证明中的 使用频率很高；
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法三 1a＋1b＝a＋a b＋a＋b b＝1＋ba＋ab＋1≥2＋2 当 a＝b 时，取“＝”号．
ba·ab＝4.当且仅
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题型二 分析法的应用 【例 2】 设 a，b 为实数，求证： a2＋b2≥ 22(a＋b)．
[思路探索] 题目条件要求使用分析法证明不等式，只需要注 意分析法证明问题的格式即可．
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题型一 综合法的应用 【例 1】 设数列{an}的前 n 项和为 Sn，且(3－m)Sn＋2man＝m＋3(n
∈N*)，其中 m 为常数，且 m≠－3. (1)求证：{an}是等比数列； (2)若数列{an}的公比 q＝f(m)，数列{bn}满足 b1＝a1，bn＝32f(bn －1)(n∈N*，n≥2)，求证：b1n为等差数列．
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3．分析法 (1)定义：一般地，从要证明的 结论出发 ，逐步寻求使它成立 的 充分条件 ，直至最后，把要证明的结论归结为判定一个明显 成立的条件(已知条件 、 定理 、 定义 、 公理 等)为止，这种 证明方法叫做分析法． (2)框图表示：用Q表示要证明的结论，则分析法可用框图表示 为：
＋2 c·a＋2 c> a2b2c2＝abc.(10 分) 即a＋2 b·b＋2 c·a＋2 c>abc 成立． ∴logxa＋2 b＋logxb＋2 c＋logxa＋2 c<logxa＋logxb＋logxc 成立．(12 分)
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小学数学：分析法和综合法
分析法和综合法分析与综合都是思维的基本方法，无论是研究和解决一般问题，还是数学问题，分析和综合都是最基本的具有逻辑性的方法。
分析与综合本是两种思想方法，但因二者具有十分密切的联系，因此把二者结合起来阐述。
1. 分析法和综合法的概念。
分析是把研究对象的整体分解为若干部分、方面和因素，分别加以考察，找出各自的本质属性及彼此之间的联系。
综合是把研究对象的各个部分、方面和因素的认识结合起来，形成一个整体性认识的思维方法。
分析是综合的基础，综合是分析的整合，综合是与分析相反的思维过程。
在研究数学概念和性质时，往往先把研究对象分解成几个部分、方面和要素进行考察，再进行整合从整体上认识研究对象，形成理性认识。
实际上教师和学生都在经常有意识和无意识地运用了分析和综合的思维方法。
如认识等腰梯形时，可以从它的边和角等几个要素进行分析：它有几条边？几个角？四条边有什么关系？四个角有什么关系？再从整体上概括等腰梯形的性质。
数学中的分析法一般被理解为：在证明和解决问题时，从结论出发，一步一步地追溯到产生这一结论的条件是已知的为止，是一种“执果索因”的分析法。
综合法一般被理解为：在证明和解决问题时，从已知条件和某些定义、定理等出发，经过一系列的运算或推理，最终证明结论或解决问题，是一种“由因导果”的综合法。
如小学数学中的问题解决，可以由问题出发逐步逆推到已知条件，这是分析法；从已知条件出发，逐步求出所需答案，这是综合法。
再如分析法和综合法在中学数学作为直接证明的基本方法，应用比较普遍。
因此，分析法和综合法是数学学习中应用较为普遍的相互依赖、相互渗透的思想方法。
2. 分析法和综合法的重要意义。
大纲时代的小学数学教育，比较重视逻辑思维能力的培养，在教学过程中重视培养学生的分析、综合、抽象、概括、判断和推理能力，其中培养学生分析和综合的能力、推理能力是很重要的方面，如在解答应用题时重视分析法和综合法的运用，也就是说可以先从应用题的问题出发，找出解决问题需要的条件中哪些是已知的、哪些是未知的，未知的条件又需要什么条件解决，这样一步一步倒推，直到利用最原始的已知条件解决。
综合法和分析法
x 3 x 2
x 4,
2
展开得 2x 5 2 x 1 x 4 2x 5 2 x 3 x 2, 即
x 1 x 4 x 3 x 2 ，
2 2
只需证 x 1 x 4 x 3 x 2 ， 即证x2-5x+4<x2-5x+6,即4<6，这显然成立. ∴当x≥4时， x 1
(4)a2+b2+c2≥ab+bc+ca(a,b,c∈R), (5)a+b+c,a2+b2+c2,ab+bc+ca这三个式子之间的关系，由 (a+b+c)2=a2+b2+c2+2(ab+bc+ca)得出.三式中已知两式，
第三式即可由设等式用另两式表示出来.
例2：在△ＡＢＣ中，三个内角Ａ、Ｂ、Ｃ对应的边分别 为a、b、c，且Ａ、Ｂ、Ｃ成等差数列，a、b、c成等比数 列，求证△ＡＢＣ为等边三角形．
2 2
练习:当x≥4时，证明： x 1 x 2 证明:欲证 只需证 即证
x 3 x 4.
x 1 x 2 x 3 x 4 (x≥4)，
x 1 x 4 x 3 x 2 x 4 ，
x 1 x 4
2 B A C 证明： B 3 A B C
b ac a c 2ac cos B ac
2 2 2
a 2ac c 0 a c
2 2
∴△ＡＢＣ为等边三角形．
练习：在锐角三角形中，A、B、C为三角形内角，求证： sinA+sinB+sinC>cosA+cosB+cosC.
分析与综合法
AD BD
1
4．前进型分析法 这种分析法，其思路是从整体物中已经成立的某 一部分出发，运用已有的知识逐步寻找并扩展到 其它部分成立的条件，最终挺进到原事物成立的 必要条件，也就是原命题成立的必要条件。
数论常用的方法
例3 设在一个由实数组成的有限数列中，任意7个相继项的 和都是负数，而任意11个相继项的和都是正数，试问，这 样的数列最多能包含多少项。 解：从已经明确的部分出发，即（最小项） ∵a1+…+a7＜0，a1+a2+…+a11＞0， ∴a8+a9+…+a11＞0。（由已知：到11项是已成立的部分） 顺序往前推进，可得a11+a12+…+a14＞0，则有 a8+a9+…+2a11+…+a14＞0。 但∵ a8+a9+…+a14＜0，∴a11＞0。（从11进到14，得a11＞0） 用同样的方法，顺序往前推进，可得a12＞0，a13＞0，因 而a11+a12+a13＞0，(推至16项)但因为a11+a12+…+a17＜0， ∴a14+…+a17＜0。(考察17项) 另一方面，从a7+…+a17＞0及a7+…+a13＜0，可得 a14+…+a17＞0。与前矛盾，因此项数≤16。(从11前进到17项， 第17项不成立，故只能是≤16)
分析与综合法
一、分析法与数学解题的分析法 1、分析法：把研究的对象分为各个组成部分，各个不同的 因素、不同的层次，然后分别地加以研究探索，从而认识 和理解事物的一种方法，这是方法论中的分析法，也是数 学思想方法中的分析法。 2、数学解题中的分析法： 指从结果追溯到其产生的原因的思维方法，它是从所需要 论证的结论出发，以一系列的已知定义、定理为依据逐步 逆推，从而达到已知条件（也叫执果索因）
综合法与分析法 课件
跟踪训练1 已知a，b，c∈R，且它们互不相等，求证a4＋b4＋c4＞a2b2 ＋b2c2＋c2a2.
证明 ∵a4＋b4≥2a2b2，b4＋c4≥2b2c2，a4＋c4≥2a2c2， ∴2(a4＋b4＋c4)≥2(a2b2＋b2c2＋c2a2)， 即a4＋b4＋c4≥a2b2＋b2c2＋c2a2. 又∵a，b，c互不相等. ∴a4＋b4＋c4＞a2b2＋b2c2＋c2a2.
a＋b
b＋c
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
a＋c
求证：logx 2 ＋logx 2 ＋logx 2 <logxa＋logxb＋logxc.
跟踪训练3 设a，b，c为任意三角形的三边长，I＝a＋b＋c，S＝ab＋bc ＋ca，试证明：3S≤I2＜4S.
易错易混 因误用证明依据而出错 a2b2＋b2c2＋c2a2
例 4 已知 a，b，c 均为正实数，求证 a＋b＋c ≥abc.
3.分析法的证明格式 要证…，只需证…，只需证…，…，因为…成立，所以…成立. 思考 分析法与综合法有哪些异同点？
答案 相同点：两者都是直接利用原命题的条件(或结论)，逐步推得命 题成立的证明方法——直接证明法. 不同点：证法1，由因导果，使用综合法； 证法2，执果索因，使用分析法.
题型一 综合法的应用 例 1 已知 a，b 是正数，且 a＋b＝1，求证：1a＋1b≥4.
知识点二 分析法 1.分析法 一般地，从要证明的 结论 出发，逐步寻求使它成立的 充分 条件，直 至最后，把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件(已知条件、 定理、定义、公理等)为止，这种证明方法叫做分析法. 2.基本模式 用Q表示要证明的结论，P表示条件，则分析法可用框图表示为：
Q⇐P1 → P1⇐P2 → P2⇐P3 →…→ 得到一个明显成立的条件
课件4：2.2.1 综合法和分析法
C.1a＋1b＋1c≥2 3 D．abc(a＋b＋c)≤13
[答案] B
[解析] 因为a2＋b2≥2ab，a2＋c2≥2ac，b2＋c2≥2bc，将 三式相加得2(a2＋b2＋c2)≥2ab＋2ac＋2bc，
即a2＋b2＋c2≥1 又因为(a＋b＋c)2＝a2＋b2＋c2＋2ab＋ 2ac＋2bc 所以(a＋b＋c)2≥1＋2×1＝3，B成立．故应选B.
只需证 (a＋1)(a－2)< a(a－1)， 只需证(a＋1)(a－2)<a(a－1)， 即证－2<0，而－2<0 显然成立， 所以 a＋1－ a< a－1－ a－2成立.
[例3] △ABC的三个内角A、B、C成等差数列，A、B、C的对 边分别为a、b、c.
求证：a＋1 b＋b＋1 c＝a＋3b＋c.
c2a＋c2b)＝(a＋b＋c)(a2＋b2＋c2)． ∴a3＋b3＋c3≥13(a2＋b2＋c2)(a＋b＋c)．
已知 a、b、c∈R＋且 a＋b＋c＝1，
求证：1a－1·1b－1·1c－1≥8.
[证明] ∵1a－11b－11c－1 ＝(b＋c)(aa＋bcc)(a＋b)
≥2
bc·2 ac·2 abc
＝lg2(n＋lg1n)－lg(lng＋n·l1g)(n＋2)
∵n(n＋2)<(n＋1)2 ∴lg[n(n＋2)]<lg(n＋1)2 ∵lgnlg(n＋2)<lgn＋lg2(n＋2)2 ＝lgn(n2＋2)2<lg(n＋2 1)22＝lg2(n＋1) ∴logn(n＋1)－logn＋1(n＋2)>0 ∴logn(n＋1)>logn＋1(n＋2)．
已知 a，b 是不等正数，且 a3－b3＝a2－b2，求证：1<a ＋b<43.