第6章 定积分

如果 f (x)≤ ， ∫ f (x)dx ≤ 0，此时 f (x)dx 0， 则 ∫
a
b
b
a
x 表示 由曲 y = f (x)， = a, x = b 及 x 轴所 线 围成的 曲
边梯形的面积A 负值， 边梯形的面积 的负值，即∫a f (x)dx = A .
y a O b x
b
-A
y=f (x)
b
b
我们补充如下规定： (2)定义中要求积分限 a < b ，我们补充如下规定： 定义中要求积分限 b 当 a = b 时，∫ f (x)dx = 0, 当 a > b 时，∫a f (x)dx = ∫b f (x)dx . 定积分的存在性： (3)定积分的存在性：当f (x) 在 [ a , b ] 上连续或只有有 定积分的存在性 [ 存在（ , 限个第一类间断点时 f (x) 在 a , b ] 上的定积分 存在（也称 可 积）.
∑ f (ξ )x ,
n i=1 i i
果 如 λ →0 时,上 极 存 （ ， 个 限 与 [ a , b ] 上 述 限 在 即 这 极 值 的 割 点 i 的 法 无 ） 则 此 限 为 数f (x) 在 分 及 ξ 取 均 关， 称 极 值 函 [ 上的定积分， 区间 a , b ] 上的定积分，记为
f (ξ1 )x1 + f (ξ2 )x2 + + f (ξn )xn = ∑ f (ξi )xi ;
ax (4) 取极限 令小区间长度的最大值λ = m≤n {xi } 1≤i
i =1
n
趋于零, 趋于零,则和式 的精确值， 的精确值，即
∑ f (ξ )x 的极限就是曲边梯形面积 A
i=1 i i
n
第六章 定积分
第一节 定积分的概念 第二节 微积分基本公式 第三节 定积分的积分方法 第四节 广义积分
第一节 定积分的概念
一、定积分的实际背景 二、定积分的概念 三、定积分的几何意义 四、定积分的性质
第一节 定积分的概念
一、定积分的实际背景
1. 曲边梯形的面积 曲边梯形:若图形的三条边是直线段 若图形的三条边是直线段， 曲边梯形 若图形的三条边是直线段，其中有两条垂直 于第三条底边，而其第四条边是曲线， 于第三条底边，而其第四条边是曲线，这样的图形称为曲 边梯形，如左下图所示. 边梯形，如左下图所示 y 推广为 M P A A Q N
性质6 定理） 上连续， 性质 6 （积 分中值 定理） 如果f (x) 在[a,b]上连续 ，
∫
b
a
f (x)dx = f (ξ )(b a).
将性质5 证 将性质 中不等式除以 b a ，得 1 b m≤ ∫a f (x)dx ≤M. ba 1 b [ 设 即 由于 ∫a f (x)dx = ,即m ≤ ≤ M .由于f (x) 为a,b] ba 区间上的连续函数,所以 所以,它能取到介于其最小值与最大 区间上的连续函数 所以 它能取到介于其最小值与最大 值 间 任 一 数 （ 就 连 函 的 值 理 . 之 的 何 个 值 这 是 续 数 介 定 ） [ 因此在 a,b] 上至少有一点 ξ ，使得 f (ξ ) = ，即 1 b ∫a f (x)dx = f (ξ), ba
A = lim∑ f (ξi )xi .
λ→0
i=1
n
2．变速直线运动的路程 ． 动， 设 某物 作 体 直线 动， 运 已知 度 = v(t) 是 间间 速 v 时 0， 上 的 续 数 且 隔 T1 ,T2 ]上 连 函 ， v(t) ≥ ， 计 这 时 内 [ 要 算 段 间 所 的 程 解 这 问 的 路 步 与 例 似 走 路 . 决 个 题 思 和 骤 上 类 ： T (1)分割 任取分点 1 =t0 <t1 <t2 <<tn1 <tn =T2，把 分割 [T ,T2 ]分成 n个小段，每小段长为 分成 个小段， 1 i ti = ti ti1 （ =1,2,, n ）; 上的运动视为匀速， (2)取近似 把每小段 ti1, ti ]上的运动视为匀速 取近似 把每小段[ 上的运动视为匀速， ξ v 任取时刻 i ∈ [ti 1 , ti ] ， 作乘积 (ξi )ti ， 显然这小段时 间 i 所走路程 si 可近似表示为 v(ξi )ti （ =1,2,, n ）; (3)求和 把 n 个 求和 小段时间 上的路 相加 就 程 ， 得到总 路程s 的近似值， 路程 的近似值，即
a b a
三、定积分的几何意义
如果 f (x) > 0 ，则∫ f (x)dx ≥ 0 , 此时∫ f (x)dx
a a b b
x 表示由曲线y = f (x)， = a, x = b及 x 轴所围成的 曲边
梯形的面积A， 梯形的面积 ，即∫a f (x)dx = A .
y
b
y=f (x)
A
O a b x
s ≈ ∑v(ξi )ti ;
i=1 n
ax (4)取极限 当 λ = m {ti } →0 时， 取极限 上述总和 的极限
的精确值， 就是s 的精确值，即s = lim∑v(ξi )ti .
λ→0
1≤i≤n n
二、定积分的概念
i=1
定义 设函数 y = f (x) 在[ a, b ]上有定义，任取分点 上有定义， 上有定义
如果 f (x) 在[ a , b ] 上有 有负 ， ∫ f (x)dx 表示 时 则 正 由 a 线 曲 y = f (x)， 线x = a, x = b 直 及 x 轴所围成的平面图形的 于x 上 面 积位 于 轴 方的 积减 面 去 于x 下方 面积 如右 面积， 位 于 轴 的 ， 图 所示， 所示，即
∫
b
a
f (x)dx = ∫ f (x)dx + ∫ f (x)dx.
a c
b b
c
b
性质4 积分的比较性质） 性质 4 （积分的比较性质） 在[ a, b] 上若 f (x)≥ g(x)，则∫ f (x)dx ≥∫ g(x)dx.
a a
性质5 积分估值性质） 性质 5 （积分估值性质）设 M 与 m 分别是 f (x)在 上的最大值与最小值， [ a,b]上的最大值与最小值，则 m(b a)≤∫ f (x)dx≤M(b a).
x2
思考题
1.如何表述定积分的几何意义 根据定积分的几何 如何表述定积分的几何意义？ 如何表述定积分的几何意义？ 意义推证下列积分的值： 意义推证下列积分的值：
(1) (3)
∫ ∫
1
1 2π
xdx; cos xdx;
(2) (4)
0
∫ ∫
R
R 1
R2 x2dx;x) ≤ (x) ，问下面两个式子是 g 若当 ≤ 有 否 成立， 什么 均成立 为 么？ ， ？
b
y
Ay = f (x) 1
+
a
A 3
+
A2
O
b x
∫
b a
f (x)dx = A A + A . 1 2 3
四、定积分的性质
性质1 函数的代数和可逐项积分， 性质 1 函数的代数和可逐项积分，即
∫ [ f (x) ± g(x)]dx = ∫
a
b
b
a
f (x)dx ± ∫ g(x)dx.
a
b
质2 面， 性 2 被积 函 的常 因 可提 质 分 数 数 子 到积 号外 ， 分 面 b b k 为常数） 即∫a kf (x)dx = k ∫a f (x)dx（ 为常数）. 性质3 （积分区间的分割性质） 若 a < c < b，则 性质 3 积分区间的分割性质 ） b c b ∫ f (x)dx = ∫ f (x)dx + ∫ f (x)dx.
a = x1 < x2 < x3 << xn1 < xn= b ,分 a , b ] 为 n 个小区间 分 [ , [ x i 1 , x i ] (i = 1 2,, n).记
xi = xi xi1(i =1,2,, n), λ = max{xi },
1≤i≤n
[ 再在每个小区间 xi 1 , x i ] 上任取一点 ξi ，作乘积 f (ξi )xi 的和式： 的和式：
O
x0 x1 x 2 x0 = a xn =b
xn
x
曲边梯形面积的确定步骤： 曲边梯形面积的确定步骤： (1)分割 (1)分割 任取分点a = x0 < x1 < x2 << xn1 < xn = b 把底边[ , ]分成n 个小区间[ 把底边[a,b]分成 个小区间[x1 , x2 ](i =1,2,, n) . 小区间长度记为 xi = xi xi1(i =1,2,, n); ξ 在每个小区间[ (2) 取近似 在每个小区间[xi1, xi ] 上任取一点 i 竖起高线 f (ξi ) ,则得小长条面积 Ai 的近似值为 Ai ≈ f (ξi )xi (i =1,2,, n ); 个小矩形面积相加(即阶梯形面积) (3) 求和 把 n 个小矩形面积相加(即阶梯形面积) 就得到曲边梯形面积A 就得到曲边梯形面积 的近似值
a a c
三点的任何其他相对位置 上述性 ， 注： 对于 a, b, c 三点的任何其他相对位置， 质仍成立， 譬如： 质仍成立，譬如：a < b < c ，则
∫
c
a
f (x)dx = ∫ f (x)dx + ∫ f (x)dx = ∫ f (x)dx ∫ f (x)dx,
a b a c
b
c
b
b
仍有
a b
M 题设） 由性质4 ，由性质 证 因为 m ≤ f (x) ≤ （题设） 由性质 得 ，