斯托克斯公式
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10.7 斯托克斯公式
四、向量微分算子
(1) 设 u u ( x, y, z ),
u
u x u i y
则
u j z
k
grad u
(2) A P( x, y, z ) i Q( x, y, z ) j R( x, y, z ) k , 则
A
P Q R x y z
S
dy dz dz dx dx dy x y z y z x
z
n
y
3 1,1,1 1,1,1 dS 3 S
o
x
3 a
2
6
二. 环流量与环流量密度
设向量场A x , y , z P x , y , z i Q x , y , z j R x , y , z k 则沿场A中某一封闭的有向曲线 C 上的曲线积分 C A ds C Pdx Qdy Rdz 称为向量场A沿曲线C 按所取方向的环流量 .
环流量:
环流量是刻画向量场绕闭曲线的旋转趋势大小的量 . 旋转程度不但与位置有关, 而且与旋转轴的方向有关.
环量密度:
当 S 很小时,向量场A沿 C 的环量 H 与小曲面 S 的面积之比
C
n
MS
的极限值表征了向量场 A在点M处 绕方向n旋转趋势的大小 .
斯托克斯公式 环量与旋度
一、斯托克斯公式
二、环流量与旋度 三、向量微分算子
四、空间曲线积分与路径无关的条件
一、 斯托克斯( Stokes ) 公式
定理1. 设光滑曲面 的边界 是分段光滑曲线, 的
侧与 的正向符合右手法则,
在包含 在内的一
斯托克斯公式
3
2
0
D xy
1
1
y
3(
1
2
1方 程 ； 2 x轴
3
)zdx
1
x
1
3 3 zdx 3 (1 x )dx 0 3 2
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例 1 计算
zdx xdy ydz ,
: x y z 1被
三坐标面所截成的三角形的整个边界,其正向与三 z 角形上侧符合右手规则.
z
n
o
y
x
3 ：x y z 2
4 3 dS 3 2 9 2 3 3dxdy . 2 D xy
x y
Dxy
x y 1 2
下 页
3 2
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二、*等价结论
1 推论 设G是空间 一维单连通区域， 、Q、R CG， P
A的旋度 R Q P R Q P rotA dS ( , , ) dS
物理意义: rotA穿过流向指定侧的流量 A沿 (正向)的环流量。
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Pdx Qdy Rdz A ds
0 D xy
1
x
1
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例 2 求 ( y 2 z 2 )dx ( z 2 x 2 )dy ( x 2 y 2 )dz ,是
3 x y z 截立方体:0 x 1 ,0 y 1 , 0 z 1 2
的表面所得截痕,从 Ox 轴正向看去取逆时针方向. 3 z n 解 取Σ : x y z ,上侧,被 2 0 1 (1,1,1) 所围部分. 则 n
斯托克斯公式公式
斯托克斯公式
斯托克斯公式(Stokes' formula)是一种用于计算物体在流体中的沉降速度的公式。
这个公式常用于计算圆柱形物体、球体或椭圆体在流体中的沉降速度。
斯托克斯公式的通常形式是：
v = gd^2(ρs - ρf)/18μ
其中：
v是物体的沉降速度(m/s)；
g是重力加速度(9.8 m/s^2)；
d是物体的直径(m)；
ρs是物体的密度(kg/m^3)；
ρf是流体的密度(kg/m^3)；
μ是流体的粘度(Pa·s)。
注意：斯托克斯公式仅适用于流体的流动是静态的、流动是匀速的、流体的流动是无流速场的情况。
例如，如果有一个圆柱形物体直径为0.1 m，密度为800 kg/m^3，流体密度为1000 kg/m^3，粘度为0.001 Pa·s，则其沉降速度为约0.15 m/s。
斯托克斯公式
Q Q P ( R )dydz + ( P R)dzdx + ( )dxdy ∫∫ y z z x x y Σ
= ∫ Pdx + Qdy + Rdz
Γ
---- 斯托克斯公式
证明思路
曲面积分 便于记忆形式 二重积分 曲线积分
∫∫
Σ
dydz dzdx dxdy = Pdx + Qdy + Rdz ∫Γ x y z P Q R cosα cos β cosγ ds = Pdx + Qdy + Rdz ∫Γ x y z P Q R
二、简单的应用
例1 计 曲 积 算 线 分
∫Γ zdx + xdy + ydz ,
中 其 Γ 是 面x + y + z = 1被 坐 面 截 的 平 三 标 所 成 角 的 个 界, 的 向 这 三 形 侧 三 形 整 边 ,它 正 与 个 角 上 界 z 则. 的 向 之 符 右 规 . 法 量 间 合 手 则
cosα = cos β = cosγ = 1 , 即 3 由斯托克斯公式
1 1 1 3 3 3 dS x y z y2 z2 z2 x2 x2 y2
1 2
y
x+ y = 3 2
I = ∫∫
Σ
o
x+ y = 1 2
一投： 一投： Σ 投影 得Dxy; , 二换： 二换： dS = 3 dxdy; 三代： 三代：x + y + z = 3 .
斯托克斯公式成立的条件
z
1
n = 1 {1, 1, 1}. 3
1
o
1
y
x
z
解 取 为 面x + y + z = 3 Σ 平 2
= ∫ Pdx + Qdy + Rdz
Γ
---- 斯托克斯公式
证明思路
曲面积分 便于记忆形式 二重积分 曲线积分
∫∫
Σ
dydz dzdx dxdy = Pdx + Qdy + Rdz ∫Γ x y z P Q R cosα cos β cosγ ds = Pdx + Qdy + Rdz ∫Γ x y z P Q R
二、简单的应用
例1 计 曲 积 算 线 分
∫Γ zdx + xdy + ydz ,
中 其 Γ 是 面x + y + z = 1被 坐 面 截 的 平 三 标 所 成 角 的 个 界, 的 向 这 三 形 侧 三 形 整 边 ,它 正 与 个 角 上 界 z 则. 的 向 之 符 右 规 . 法 量 间 合 手 则
cosα = cos β = cosγ = 1 , 即 3 由斯托克斯公式
1 1 1 3 3 3 dS x y z y2 z2 z2 x2 x2 y2
1 2
y
x+ y = 3 2
I = ∫∫
Σ
o
x+ y = 1 2
一投： 一投： Σ 投影 得Dxy; , 二换： 二换： dS = 3 dxdy; 三代： 三代：x + y + z = 3 .
斯托克斯公式成立的条件
z
1
n = 1 {1, 1, 1}. 3
1
o
1
y
x
z
解 取 为 面x + y + z = 3 Σ 平 2
第十章 Stokes 公式【高等数学+同济大学】
R
rotA ndS A t ds
斯托克斯公式成立的条件
斯托克斯公式的物理意义
练习题
一、 计 算 3 ydx xzdy yz 2dz , 其 中 是 圆 周 x2 y2 2z , z 2 若从z 轴正向看去,这圆周是 逆时针方向 .
二、 计 算 y 2dx z 2dy x 2dz , 其 中 是 球 面 x 2 y 2 z 2 a 2 和 园 柱 面 x 2 y 2 ax 的 交 线 (a 0 , z 0),从x 轴正向看去,曲线为逆时针方
C
a
a
( x y)d[b(1 x )]
a
C
[(1
b) a
y
b]dx
[b
(1
b) a
x]dy
D
2(1
b a
)dxdy
2a(a b)
Green公式
三、空间曲线积分与路径无关的条件
前面我们利用Green公式得到了平面曲线积分
与路径无关的条件，完全类似地，利用Stokes 公 式可推得空间曲线积分与路径无关的条件
x2 y2 a2
x z 1 ab
消去 x 得
(z
b)2 b2
y2 a2
1
dydz dydz ab （椭圆面积）
D yz
在 xoy 面的投影：x2 y2 a2
dxdy dxdy a2
Dxy
（圆面积）
Pdx Qdy Rdz 2a(a b)
斯托克斯公式
三角形的整个边界, 它的正向与这个三角形上侧
的法向量之间符合右手规则. 解 法一 按斯托克斯公式,有
z
1 n
zdx xdy y dz
Dxy O
1y
dydz dzdx dxdy
x1
x
y
z
dydz dzdx dxdy
zxy
: 平面x y z 1
dydz dzdx dxdy
PQR
其中n (cos ,cos ,cos )
旋度的定义
ij 称向量 x y
k
为向量场的旋度(rotA).
z
PQR
i jk
旋度
rotA
x y z
PQR
(R
Q
)i
(P
R
)
j
(Q
P
)k .
y z z x x y
例 计算曲线积分 zdx xdy ydz,
其中是平面x y z 1 被三坐标面所截成的
R x
dzdx
Q x
P y
dxdy
Pdx Qdy Rdz
斯托克斯公式
即有
R y
Q z
cos
P z
R x
cos
Q x
P y
cos
dS
Pdx Qdy Rdz
其中 cos ,cos ,cos 是Σ指定一侧的法向量
方向余弦.
斯托克斯公式常用形式
Pdx Qdy Rdz
(的法向量
n
(1,1,1).cos
cos
cos
1
)
3
的法向量的三个方向余弦都为正.
zdx xdy ydz
dydz dzdx dxdy 对称性
12-7 斯托克斯(stokes)公式
y
1
Dxy如图
3 zdx xdy ydz 2
D xy
o
1
x
E-mail: xuxin@
例 2 计算曲线积分
(y
2
z )dx ( z x )dy ( x y )dz
2 2 2 2 2
3 其中 是平面 x y z 截立方体:0 x 1 , 2 0 y 1 ,0 z 1 的表面所得的截痕,若从 ox
P P P P dzdx dxdy ( cos cos )ds y z y z
又 cos f y cos , 代入上式得
P P P P dzdx dxdy ( f y ) cosds y y z z
R Q P R Q P ＝ ( ) cos ( ) cos ( ) cos dS y z z x x y
E-mail: xuxin@
n
右手法则
正向边界曲线
z
是有向曲面 的
n
z
解 按斯托克斯公式, 有
1
zdx xdy ydz
dydz dzdx dxdy
n
y
0
D xy
1
x
1
E-mail: xuxin@
由于的法向量的三个方向余弦都为正，
再由对称性知：
dydz dzdx dxdy 3 d
Dxy
的侧符合右手规则, 函数 P ( x , y , z ) ,Q ( x , y , z ) ,
R( x , y , z ) 在包含曲面 在内的一个空间区域内具
斯托克斯公式环流量与旋度
环流量与旋度的关系式
斯托克斯公式
∮F·dr=∫(curlF)·dS，其中∮表示线积分符 号，∫表示面积分符号，dS表示微分面积。
VS
解释
斯托克斯公式表明，矢量场中封闭曲线上 的线积分等于该曲线所围成的面积上旋度 的面积分。即，矢量场穿过封闭曲线的线 段数等于矢量场在围成该曲线的各点处的 旋转程度在面积上的积分。
证明过程
利用数学归纳法证明斯托克斯公式的正确性，通过逐 步推导和归纳，最终得出结论。
结论
斯托克斯公式可以通过数学归纳法证明，证明了其在 数学上的严谨性和正确性。
05 斯托克斯公式的扩展与推 广
适用于非牛顿流体的推广
总结词
斯托克斯公式在非牛顿流体中的推广主要考虑了流体的非线性性质，包括剪切稀化和弹 性等特性。
基于电动力学公式的推导
电动力学公式
01
描述电磁场对带电粒子的作用电动力学公式分析流体微团在
磁场中受到的作用力，从而推导出斯托克斯公式。
结论
03
斯托克斯公式可以通过电动力学公式推导得出，适用于分析粘
性流体在磁场中的运动。
基于数学归纳法的证明
数学归纳法
一种证明数学命题的方法，通过递推关系证明无限序 列的结论。
物理意义
斯托克斯公式揭示了流体的动量守恒和角动量守恒两个基本物理规律，是流体力学中的基本方程之一 。
解释
通过斯托克斯公式，我们可以理解流体在粘性力作用下的运动行为，包括旋涡的形成、流体绕过障碍 物的流动以及流体内部的剪切力等。
02 环流量与旋度的关系
环流量的定义与计算
环流量定义
环流量是矢量场中封闭曲线上的线积 分，表示矢量场中穿过封闭曲线的矢 量线段数。
详细描述
斯托克斯公式
为了方便记忆，斯托克斯公式可写为：
Γ
∫ Pdx + Qdy + Rdz
∂R ∂Q ∂P ∂R ∂ Q ∂P − )dydz + ( − )dzdx + ( − )dxdy = ∫∫ ( ∂z ∂z ∂x ∂x ∂y Σ ∂y
dydz dzdx dxdy
= ∫∫ ∂ Σ ∂x
∂ ∂y Q
∂ ∂z R
∵ Σ 取上侧 ∴ cos γ > 0
∴ n
0=
1 − − − （ − 1， 1， 1） 3
1 1 1 = ( , ) , 3 3 3
= (cos α , cos β , cos γ )
1 1 1 ∴ cos α = , cos β = , cos γ = 3 3 3
∴ 由斯托克斯公式，得
Γ
( y 2 − z 2 )dx + ( z 2 − x 2 )dy + ( x 2 − y 2 )dz ∫
Γ Γ
(1) (2) (3)
∂R ∂R ∫ Rdz = ∫∫ ∂y dydz − ∂x dzdx Σ
先证: (1)式成立。
1、简单情形 设 Σ 与平行于 z 轴的直线至多交于一点。
z
n Σ
Γ
Σ : z = z( x , y )
( i ) Σ 取上侧
±（ z x ，z y ， 1） −
y
1 + zx + z y
Γ
1
y
x
D xy
例2 利用斯托克斯公式计算
Γ
( y 2 − z 2 )dx + ( z 2 − x 2 )dy + ( x 2 − y 2 )dz ∫
3 其中 Γ 为平面 x + y + z = 2 截立方体：
斯托克斯(stokes)公式
Q x
P y
cos
dS
Pdx Qdy Rdz
其中 cos ,cos ,cos 是Σ指定一侧的法向量
方向余弦.
斯托克斯公式常用形式
Pdx Qdy Rdz
R y
Q z
dydz
P z
(的法向量
n
(1,1,1). cos
cos
cos
1
)
3
的法向量的三个方向余 弦都为正.
zdx xdy ydz
dydz dzdx dxdy 对称性
3
dxdy
3
1 2
3 2
.
Dxy
y
1
x y1
Dxy
O
1x
法二 按斯托克斯公式,有
1 3
(1
y
1
1)
dS
1
x y1
Dxy
O
1x
第七节 斯托克斯(stokes)公式
定理 设 为分段光滑的空间有向闭曲线, 是以
为 边界的分片光滑的有向闭曲面, 的正向与
的侧符合右手规则，函数P( x, y, z), Q( x, y, z), R( x, y, z)在包含曲面在内的一个空间区域内 具有一阶连续偏导数, 则有公式
R y
Q z
dydz
P z
R x
dzdx
Q x
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Pdx Qdy Rdz
斯托克 斯公式
R Q P R Q P ( ) dydz ( ) dzdx ( ) dxdy y z z x x y
或
将斯托克斯公式分为三式
P P (1) dzdx dxdy P ( x , y , z )dx z y
en
1 (rot F e n ) dS A
取下侧, 则其法线方向余弦
z
I
cos α cos β cos γ x y z d S y2 x y xz
o x
2
0.
y
(方法2) 将：
z
y
o x
参数化：
2
[(1 sin t )2 ( sin t ) 2 cos t (1 sin t ) cos t ]d t
第十章
第七节 斯托克斯(Stokes)公式 环量与旋度
一、斯托克斯公式
二、环量与旋度
★
三、空间曲线积分与路径无关的条件
一、斯托克斯公式
有向曲面的正向边界曲线： 的正向与的侧符合右手法则，如图.
n
右手法则
是有向曲面的 正向边界曲线
定理10.8 设Σ是光滑或分片光滑的有向曲面, 如果函数 一阶连续偏导数, 则
2π
0
[(1 sin t )2 ( sin t ) 2 cos t (1 sin t ) cos t ]d t
2π
0
( 3 sin 3 t 4 sin 2 t sin t 2) d t
in 3 ( π u) 4 sin 2 ( π u) sin( π u) 2]( d u)
的整个边界, 它的正方向与这个三角形上侧的法向 量之间符合右手规则.
解 记三角形域为, 取上侧,
d yd z
d zd x
y
d xd y
z
x
d y d z d z d x d x d y
z
x
y
利用轮换对称性
3 d x d y
3
3 d x d y . 2 D
x
i j rot v x y ω y ωx
k z 0
(0, 0, 2ω)
除去一个常数因子 2外，恰好等于物 体旋转的角速度.
2ω
线速度场中任一点处的旋度
等于刚体旋转角速度的2倍，
这就是“旋度”一词的由来.
向量场F 定义在区域内，M为 内一点， e n 为内单位向量. 过M以 e n 为法向量做平面 ，
于一点的几部分, 在每一部分上应用斯托克 斯公式, 然后相加, 由于沿辅助曲线方向相 反的两个曲线积分相加刚好抵消, 所以对这 类曲面斯托克斯公式仍成立.
注 1º 斯托克斯公式的实质: 表达了有向曲面上的曲面积分与其 边界曲线上的曲线积分之间的关系. 2º 斯托克斯公式便于记忆的形式: 或 P d x Q d y R d z
Γ
3 解 取为平面x y z 的上侧被 Γ 所围的部分， 2
1 1, 1, 1, 的单位法向量 n 3 1 即 cos cos cos 3 1 1 1 3 3 3
I
x
y
dS 4 ( x y z )dS 3 z
（的正向与的侧符合右手法则） .
5º 旋度的力学意义 设某刚体绕定轴 l 转动, 角速度为,
M 为刚体上任一点, 建立坐标系如图, 则
ω (0, 0, ω),
点 M 的线速度为
i
r ( x, y, z )
z l
o
r
M
y
j y
k z
v ω r 0 x
0 ω ( ω y , ω x , 0)
在斯托克斯公式中，是以为边界的任意 分片光滑曲面(只要P，Q，R在包含的一个空 间区域内具有一阶连续的偏导数即可).
通常，取为平面或球面等法向量的方向
余弦易求的曲面.
例1 利用斯托克斯公式计算
其中为平面 x+ y+ z = 1 被三坐标面所截三角形
zd x xd y yd z
Γ
R Q Q P P R dydz dxdy dzdx y z z x x y
Pdx Qdy Rdz
(2) 曲面 与平行 z 轴的直线交点多于一个,
则可通过作辅助线面把 分成与z 轴只交
Γ
Q Q ( 2) dxdy dydz Q( x , y , z )dy x z
Γ
R R ( 3) dydz dzdx R( x , y , z )dz y x
Γ
证明思路: 第二类曲面积分 第二类曲面积分 首先证明第一式. 二重积分
第一类曲面积分
P P dzdx dxdy P x , y , f ( x , y ) dx 成立 z y c
D xy
P P 即 dzdx dxdy P ( x , y , z ) dx 成立 z y Γ
注 若取下侧，Γ也相应改成相反方向， 上式仍成立.
F
由哈密尔顿 算符的定义
注 1º 向量场F 总伴随着另一个向量场 rot F . 2º 若rot F 0, 称向量场F 为无旋场.
3º 利用旋度, 可将斯托克斯公式写为
rot F dS F dr
4º 斯托克斯公式的物理解释:
向量场F 沿有向闭曲线的环流量 等于向量 场 F 的旋度场通过所张的曲面的通量.
在π上任取包围M的闭曲线 ，
所围部分为 ，满足右手法则 .
en
.M
π
面积为A.
1 1 F dr rot F dS A A
根据斯托克斯公式和积分中值定理
1 1 F dr rot F dS A A
P P P P fy 左边 fy dxdy cos γdS z y z y
P P P x , y , f ( x , y ) fy y y z
P P P P fy 左边 fy dxdy cos γdS z y z y P P P x , y , f ( x , y ) fy y y z P x , y , f ( x , y ) dxdy P x , y , f ( x , y ) dx y c
第二类曲线积分
证
P P (1) dzdx dxdy P ( x , y , z )dx z y
Γ
: z f ( x , y ) , ( x , y ) Dx y
与平行 z 轴的直线
方向为上侧
只交于一点,
的正向边界曲线
在xOy面上的投影为C
C所围成的闭区域为D xy .
F P ( x , y , z ) i Q ( x , y , z ) j R( x , y , z ) k
沿有向闭曲线 的第二类曲线积分
F dr Pdx Qdy Rdz
称为 向量场F 沿曲线 的环量.
注 改变Γ的环行方向时,环量要变号.
xy
1 3 1 2 8 4
9 I . 2
例3 为柱面 x 2 y 2 2 y 与平面 y = z 的交线从 z
2 I y 轴正向看为顺时针, 计算 d x xy d y xz d z .
解(方法1) 设为平面 z = y 上被 所围椭圆域且
P P P P 左边 dzdx dxdy cos β cos γ dS z y y z
cos β
fy 1 fx f y
2 2
, cos γ
1 1 f x2 f y2
故有 cos β f y cos γ
y2 z2 z2 x2 x2 y2
4 3 3 3 dx S 6 取为平面 y2 z 的上侧被 Γ 所围的部分， 3 3 xd y上, x xyy z ) (d 在 3 2 2 2
D xy
I 6 xy
其中Dxy为在xOy平面上的投影区域， xy为 Dxy的面积.
Q P 0 0 ( )d x d y x y
z
n
O
Q( x , y ,0) P ( x , y ,0) ( )d x d y x y
D
x
D y = L
P ( x, y,0) d x Q( x, y,0) d y
L
这正是格林公式.
事实上，设 ：xOy面上的区域 D，上侧 ；
：xOy面上的区域 D的边界L，逆时针 .
z
Pdx Qdy Rdz P ( x , y ,0) d x Q( x , y ,0) d y
L
n
O
x
= L
y
在yOz面, zOx面上的投影为零
R Q P R Q P ( ) dydz ( ) dzdx ( ) dxdy y z z x x y