5.2.3列主元素消去法

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5.2.3硝酸酸雨及防治教学设计2023-2024学年高一下学期化学人教版(2019)必修第二册

教学资源拓展
1. 拓展资源：
（1）科普读物：《硝酸与我们的生活》、《酸雨：环境问题的一个侧面》等，帮助学生从不同角度理解硝酸和酸雨的知识。
（2）学术论文：推荐学生阅读关于硝酸污染控制和酸雨治理的学术论文，如《我国硝酸盐污染现状及控制策略》等，让学生了解最新的研究动态。
（3）环境保护组织报告：提供一些环境保护组织发布的关于酸雨影响和防治策略的报告，如世界自然基金会（WWF）的《酸雨：事实与数据》等，让学生了解社会对这一问题的关注和努力。
- 解答疑问：针对学生的疑问进行解答，提供指导。
学生活动：
- 听讲并思考：学生专注听讲，对硝酸和酸雨的概念进行深入思考。
- 参与课堂活动：学生在小组中积极讨论，提出自己的观点和解决方案。
- 提问与讨论：学生针对不理解的内
- 讲授法：通过讲解使学生理解硝酸和酸雨的基本概念。
在课后拓展应用环节，我布置了与课题相关的作业，并提供了一些拓展学习的资源。学生们在完成作业的过程中，能够将所学知识应用到实际问题中，这表明他们对知识的掌握程度较高。然而，我也注意到有学生在拓展学习中遇到了困难，这提示我需要提供更多的指导和支持，帮助他们拓宽知识视野。
板书设计
1. 硝酸的性质和制备
- 定义：硝酸是一种强酸，化学式为HNO3。
（4）实验视频：上传一些与硝酸制备和酸雨实验相关的视频，如“硝酸的制备实验”、“酸雨对植物的影响实验”等，帮助学生更直观地理解实验过程和原理。
2. 拓展建议：
（1）学生可以利用图书馆或在线数据库，查找更多关于硝酸和酸雨的科普读物和学术论文，扩大自己的知识面。
（2）鼓励学生参与环境保护组织的活动，如参加酸雨监测志愿者项目，亲身体验并了解酸雨对环境的影响。
多媒体

用直接三角分解法解线性方程组

三角阵。等式左边是单位下三角阵，右边是上三角阵，要使等式
成则立L ， L只1 ,能U等于U单1，位即矩此阵三I。角于分是解L唯1一L1。
UU
1 1
I,
1 2 1
1 2 1
例7 解：
设 A 3 7
1
，试将A进行三角分解。
1 1 3
由高斯消去法得到
m21
3 1
3，m31
1 1
1
m 32
L1
1 1
0 0 1 2
例：
求
0 1 2
0 1 0
3 0 1
103的PLU分解。
解：用1，2，，n的排列表示n阶置换阵P，其中排列的第i个元素
j，表示P的i行非零元素位于j列。则分解过程如下：
1 0 0 1 2
3 1 1 0 1
3 1 1 0
2 0
43
1 2
0 1 0
3 0 1
0 1 3
Ux j y j
Ly
j
bj
n1
k
n(n 1)
n2
n 次乘法
k 1
2
22
Ux j y j n k n(n 1) n2 n 次乘除法
k 1
2
22
即共需n 2 次乘除法运算。
n 2 次乘除法
三角分解法的存放元素的方法：
以A (a ij )33 为例，
a11 A a21
1 mk1,k 1
k，
Lk1
1 mk1,k 1
k
mnk
1
mn,k
1
A ( L11 L21
L1 n1
)U
LU，1
a (1) 11

线性方程组的求解

目录摘要 (1)一．用列主元消去法解方程组 (2)1．问题的提出 (2)2．问题的分析 (2)3．问题的解决 (3)二．编写一个列主元消去法求逆矩阵的程序 (4)1．问题的提出 (4)2．问题的分析 (4)3．问题的解决 (5)Ax (5)三．用LU分解法解方程组b1．问题的提出 (5)2．问题的分析 (5)3．问题的解决 (6)四．用改进平方根法解方程组 (7)1．问题的提出 (7)2．问题的分析 (7)3．问题的解决 (8)五．用追赶法解方程组 (9)1．问题的提出 (9)2．问题的分析 (9)3．问题的解决 (10)六．分别用雅可比迭代法与高斯-赛德尔迭代法解方程组 (11)1．问题的提出 (11)2．问题的分析 (11)3．问题的解决 (12)参考文献 (14)个人体会 (15)附录：程序代码 (16)摘要在科技研究和工程技术所提出的计算问题中，经常会遇到线性方程组的求解问题，这里主要是有关线性方程组的直接解法。

解线性方程组的直接法是用有限次运算求出线性方程组Ax=b 的解的方法。

线性方程组的直接法主要有Gauss消元法及其变形、LU(如Doolittle、Crout方法等)分解法和一些求解特殊线性方程组的方法（如追赶法、LDLT法等）。

这里主要有列主元消元法,LU分解法,改进的平方根法，追赶法和雅可比迭代，高斯—塞德尔迭代的构造过程及相应的程序。

线性方程的解法在数值计算中占有极重要的地位，因此，线性方程组的求解是数值分析课程中最基本的内容之一。

关键词：列主元消元法；LU分解；改进平方根法；追赶法；雅可比迭代；高斯—塞德尔迭代一．用列主元消去法解方程组：1．问题的提出：（1）⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-++--=+--=+-+=++4323231243432143214321421x x x x x x x x x x x x x x x （2）⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=++--=++-=-+--=-+-434220332282432132143214321x x x x x x x x x x x x x x x2．问题的分析：列主元消去算法主要分为两个过程：消去过程和回代过程1．消去过程对1,,2,1-=n k(1)选主元找k i ∈}{,,n k ，⋯使)()(max k ik ni k ki k a ak ≤≤= (2)若0)(=k a k ik 则停止计算（detA=0）(3)若k i k ≠ 则换行()()k i k E E ↔ （4）消元对i =1,,1++n k)()(k kkk ik a a ik l =对1,,1++=n k j )()()1(k kjik k ij k ija l a a -=+ 2.回代过程（1）若0)(=n nn a 则停止计算（detA=0） (2) )()(1,n nnn n n a a n x +=（3）对1,,1 -=n i)(1)()(1,n iini j jn ij n n i a x a a i x ∑=+=+-3．问题的解决：（1）解：对于()b A |)1(=()b A |=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛------43141321************ 第1步选列主元为,3)1(31=a 31=i ，作变换()()31E E ↔，然后计算667.03221==l ， 333.03131==l ，333.03141-==-l再作变换()()(),414143131321212,,E E l E E E l E E E l E →-→-→-得到())2()2(|b A=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛------3533333.0667.2667.10333.2333.0333.10333.0333.0667.102113 第2步，对)2(A 选列主元为667.135)2(22==a ，22=i ，计算8.05432==l ， 142=l ，再做变换32323)(E E l E →-，42424)(E E l E →-，得到()⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----=05/1333030015/3915/9003/13/13/502113)3()3(b A消去过程结束，回代计算得到解10214321===-=x x x x所以原方程组的解为TX )1,0,2,1(-=。

行列式的计算技巧与方法总结

存档编号赣南师学院学士学位论文行列式的若干计算技巧与方法目录摘要 (1)关键字 (1)Abstract (1)Key words (1)引言 (2)1.行列式的概念及性质 (2)1.1 n阶行列式的定义 (2)1.2 行列式的性质 (3)2.行列式计算的几种常见技巧和方法 (5)2.1 定义法 (5)2.2 利用行列式的性质 (6)2.3 降阶法 (9)2.4 升阶法（加边法） (11)2.5 数学归纳法 (12)2.6 递推法 (14)3. 行列式计算的几种特殊技巧和方法 (16)3.1 拆行（列）法 (16)3.2 构造法 (17)3.3 特征值法 (19)4. 几类特殊行列式的计算技巧和方法 (19)4.1 三角形行列式 (19)4.2 “爪”字型行列式 (20)4.3 “么”字型行列式 (21)4.4 “两线”型行列式 (23)4.5 “三对角”型行列式 (24)4.6 德蒙德行列式 (25)5.行列式的计算方法的综合运用 (27)5.1 降阶法和递推法 (28)5.2 逐行相加减和套用德蒙德行列式 (28)5.3 构造法和套用德蒙德行列式 (29)小结 (30)参考文献 (31)行列式的若干计算技巧与方法摘要：行列式是高等代数的一个基本概念，求解行列式是在高等代数的学习中遇到的基本问题，每一种复杂的高阶行列式都有其独特的求解方法．本文主要介绍了求行列式值的一些常用方法和一些特殊的行列式的求值方法．如：化三角形法、降阶法和数学归纳法等多种计算方法以及Vandermonde行列式、“两线型”行列式和“爪”字型行列式等多种特殊行列式．并对相应例题进行了分析和归纳，总结了与每种方法相适应的行列式的特征．关键词：行列式行列式的计算方法 Vandermonde行列式The Calculation of Determinant Abstract: The determinant is a basic concept of higher mathematics. The solution of determinant is the basic question, and each kind of complex higher order determinant has its special solution method. This paper mainly introduces the methods for calculation of determinant. For example, the triangle method, order reduction method，mathematical induction method and Vandermonde determinant, two linear determinant，claw type determinant and so on. The paper also analyzes the corresponding examples, and summarizes the characteristic of determinants corresponding to each method.Key words: Determinant The calculation of determinant Vandermonde determinant引言：行列式的计算是高等代数的重要容之一，也是学习过程的一个难点．对于低阶行列式，我们可以利用行列式的定义和性质计算．但对于高阶行列式，如果直接利用定义和性质计算，则计算量大，很难得到结果．因此，研究行列式的计算方法和技巧就显得十分必要．本文主要介绍了几种计算方法和技巧，还有一些特殊行列式的计算方法．1．行列式的概念及性质1.1 n 阶行列式的定义我们知道，二、三阶行列式的定义如下：22211211a a a a =21122211a a a a -，=333231232221131211a a a a a a a a a .312213332112322311322113312312332211a a a a a a a a a a a a a a a a a a ---++从二、三阶行列式的在规律引出n 阶行列式的定义．设有2n 个数，排成n 行n 列的数表nnn n nn a a a a a a a a a212222111211，即n 阶行列式．这个行列式等于所有取自不同行不同列的n 个元素的乘积n 21nj j 2j 1a a a ⑴的代数和，这里n 21j j j 是n 21，，，的一个排列,每一项⑴都按下列规则带有符号：当n 21j j j 是偶排列时, ⑴带正号；当n 21j j j 是奇排列时, ⑴带负号．即nnn n nn a a a a a a a a a212222111211=()()n21n21n 21nj j 2j 1j j j j j j 1a a a τ∑-，这里∑n21j j j 表示对所有n 级排列求和.1.2 行列式的性质性质1 行列互换，行列式不变．即nna a a a a a a a a a a a a a a a a a n2n1n22212n12111nnn2n12n 22211n 1211= .性质2 一个数乘行列式的一行（或列），等于用这个数乘此行列式．即=nnn2n1in i2i1n 11211k k k a a a a a a a a ak nna a a a a a a a an2n1in i2i1n 11211. 性质3 如果行列式的某一行（或列）是两组数的和，那么该行列式就等于两个行列式的和，且这两个行列式除去该行（或列）以外的各行（或列）全与原来行列式的对应的行（或列）一样．即11121111211112111221212121212.n n n n n n n n n nnn n nnn n nna a a a a a a a abc b c b c b b b c c c a a a a a a a a a +++=+ 性质4 如果行列式中有两行（或列）对应元素相同或成比例，那么行列式为零．即k a a a ka ka ka a a a a a a nn n n in i i in i i n=21212111211nnn n in i i in i i na a a a a a a a a a a a 21212111211=0. 性质5 把一行的倍数加到另一行，行列式不变．即=+++nn n n kn k k kn in k i k i na a a a a a ca a ca a ca a a a a2121221111211nnn n kn k k in i i n a a a a a a a a a a a a 21212111211. 性质6 对换行列式中两行的位置，行列式反号.即nn n n kn k k ini i n a a a a a a a a a a a a 21212111211=-nnn n in i i kn k k n a a a a a a a a a a a a21212111211.性质7 行列式一行（或列）元素全为零，则行列式为零．即00000nn1-n n,n2n1n 11-n ,11211=a a a a a a a a.2、行列式的几种常见计算技巧和方法2.1 定义法适用于任何类型行列式的计算，但当阶数较多、数字较大时，计算量大，有一定的局限性．例1 计算行列式0004003002001000.解析：这是一个四级行列式，在展开式中应该有244=！项，但由于出现很多的零，所以不等于零的项数就大大减少．具体的说，展开式中的项的一般形式是43214321j j j j a a a a ．显然，如果41≠j ，那么011=j a ，从而这个项就等于零．因此只须考虑41=j 的项，同理只须考虑1,2,3432===j j j 的这些项，这就是说，行列式中不为零的项只有41322314a a a a ，而()64321=τ，所以此项取正号．故004003002001000=()()241413223144321=-a a a a τ.2.2 利用行列式的性质即把已知行列式通过行列式的性质化为上三角形或下三角形.该方法适用于低阶行列式． 2.2.1 化三角形法上、下三角形行列式的形式及其值分别如下：nn n nn a a a a a a a a a a a a a2211nn333223221131211000000=，nn nnn n n a a a a a a a a a a a a a 2211321333231222111000000=. 例2 计算行列式nn n n b a a a a a b a a a a ++=+21211211n 111D .解析：观察行列式的特点，主对角线下方的元素与第一行元素对应相同，故用第一行的()1-倍加到下面各行便可使主对角线下方的元素全部变为零．即：化为上三角形．解：将该行列式第一行的()1-倍分别加到第2,3…（1n +）行上去，可得121n 11210000D 0n n na a ab b b b b +==.2.2.2 连加法这类行列式的特征是行列式某行（或列）加上其余各行（或列）后，使该行（或列）元素均相等或出现较多零，从而简化行列式的计算．这类计算行列式的方法称为连加法．例3 计算行列式mx x x x m x x x x mx D n n n n ---=212121.解： mx x mxx m x m xx x mxn ni in ni in ni i-----=∑∑∑===212121n Dmx x x m x x x m x n n nn i i --⎪⎭⎫ ⎝⎛-=∑=2221111mm x x m x nn i i --⎪⎭⎫ ⎝⎛-=∑=0000121()⎪⎭⎫ ⎝⎛--=∑=-m x m ni i n 11.2.2.3 滚动消去法当行列式每两行的值比较接近时，可采用让邻行中的某一行减或者加上另一行的若干倍，这种方法叫滚动消去法．例4 计算行列式()2122123123122121321D n ≥-------=n n n n n n n n nn.解：从最后一行开始每行减去上一行，有1111111111111111321D n ---------=n n 1111120022200021321----=n n 0111100011000011132122+-=-n n n ()()21211-++-=n n n .2.2.4 逐行相加减对于有些行列式，虽然前n 行的和全相同，但却为零．用连加法明显不行，这是我们可以尝试用逐行相加减的方法．例5 计算行列式111110000000000000D 32211n na a a a a a a ----=. 解：将第一列加到第二列，新的第二列加到第三列，以此类推，得：1321000000000000000D 321+----=n na a a a n()()()()()n n n a a a n a a a n 21n 21n 2211111+-=+--=+.2.3 降阶法将高阶行列式化为低阶行列式再求解． 2.3.1 按某一行（或列）展开例6 解行列式1221n 1000000000100001D a a a a a xx x x n n n-----=.解：按最后一行展开，得n n n n n a x a x a x a D ++++=---12211 .2.3.2 按拉普拉斯公式展开拉普拉斯定理如下：设在行列式D 中任意选定了()1-n k 1k ≤≤个行.由这k 行元素所组成的一切k 级子式与它们的代数余子式的乘积的和等于行列式D.即n n 2211A M A M A M D +++= ，其中i A 是子式i M 对应的代数余子式．即nn nn nnnn nnB A BC A •=0， nn nn nnnnnn B A B C A •=0. 例7 解行列式γβββββγββββγλbbbaa a a n =D .解：从第三行开始，每行都减去上一行；再从第三列开始，每列都加到第二列，得βγβγγββββγλ---=0000D n b aa a a()()βγβγββββγλ---+-=0000021n b aa aa n()()βγβγβγλ--•-+-=000021n ba n ()()[]()21n 2-----+=n ab n βγβλλγ.2.4 升阶法就是把n 阶行列式增加一行一列变成n+1阶行列式，再通过性质化简算出结果，这种计算行列式的方法叫做升阶法或加边法．升阶法的最大特点就是要找每行或每列相同的因子,那么升阶之后，就可以利用行列式的性质把绝大多数元素化为0，这样就达到简化计算的效果．其中，添加行与列的方式一般有五种：首行首列，首行末列，末行首列，末行末列以及一般行列的位置．例8 解行列式D=111110111110111110111110 .解：使行列式D 变成1+n 阶行列式，即111010110110101110011111D =.再将第一行的()1-倍加到其他各行，得：D=1101001001010001111111--------. 从第二列开始，每列乘以()1-加到第一列，得：100100000100000101111)1n D ------=（ ()()1n 11n --=+.2.5数学归纳法有些行列式，可通过计算低阶行列式的值发现其规律，然后提出假设，再利用数学归纳法去证明．对于高阶行列式的证明问题，数学归纳法是常用的方法．例9 计算行列式βββββcos 211cos 200000cos 210001cos 210001cos=n D .解:用数学归纳法证明. 当1=n 时，βcos 1=D .当2=n 时，ββββ2cos 1cos 2cos 211cos 22=-==D .猜想，βn D n cos =.由上可知，当1=n ，2=n 时，结论成立．假设当k n =时，结论成立．即：βk D k cos =.现证当1+=k n 时，结论也成立．当1+=k n 时，βββββcos 211cos 200000cos 210001cos 210001cos 1=+k D .将1+k D 按最后一行展开，得()βββββcos 20000cos 21001cos 21001cos cos 21D 111k •-=++++k k()10cos 21001cos 2101cos 11 βββkk ++-+ 1cos 2--=k k D D β.因为βk D k cos =，()()βββββββsin sin cos cos cos 1cos 1k k k k D k +=-=-=-，所以1+k D 1cos 2--=k k D D βββββββsin sin cos cos cos cos 2k k k --= ββββsin sin cos cos k k -= ()β1cos +=k .这就证明了当1+=k n 时也成立，从而由数学归纳法可知，对一切的自然数，结论都成立．即：βn D n cos =.2.6 递推法技巧分析：若n 阶行列式D 满足关系式021=++--n n n cD bD aD .则作特征方程02=++c bx ax .① 若0≠∆，则特征方程有两个不等根，则1211--+=n n n Bx Ax D ．② 若0=∆，则特征方程有重根21x x =，则()11-+=n n x nB A D ．在①②中， A ，B 均为待定系数，可令2,1==n n 求出．例10 计算行列式94000005940000000594000005940000059D n =.解：按第一列展开，得21209---=n n n D D D .即020921=+---n n n D D D ．作特征方程02092=+-x x .解得5,421==x x .则1154--•+•=n n n B A D .当1=n 时，B A +=9；当2=n 时，B A 5461+=. 解得25,16=-=B A ，所以1145++-=n n n D .3、行列式的几种特殊计算技巧和方法3.1 拆行（列）法3.1.1 概念及计算方法拆行（列）法（或称分裂行列式法），就是将所给的行列式拆成两个或若干个行列式之和，然后再求行列式的值．拆行（列）法有两种情况，一是行列式中有某行（列）是两项之和，可直接利用性质拆项；二是所给行列式中行（列）没有两项之和，这时需保持行列式之值不变，使其化为两项和． 3.1.2 例题解析例11 计算行列式nn n n a a a a a a a a --------=-1110000011000110001D 133221.解：把第一列的元素看成两项的和进行拆列，得nn n n a a a a a a a a --+-+--+-+--=-1100010000001100001010001D 133221.110100001100010000110001000001100011000113322113322nn n nn n a a a a a a a a a a a a a a a -------+-------=--上面第一个行列式的值为1，所以nn n n a a a a a a a ------=-1101000010011D 13321111--=n D a .这个式子在对于任何()2≥n n 都成立，因此有111--=n n D a D()()n n n a a a a a a D a a 2112112211111---+++-==--=()∏∑==-+=ij j ii a 1n111.3.2 构造法3.2.1 概念及计算方法有些行列式通过直接求解比较麻烦，这时可同时构造一个容易求解的行列式，从而求出原行列式的值． 3.2.2 例题解析例12 求行列式n nn nn nn n nnn x x x x x x x x x x x x D21222212222121111---=.解：虽然n D 不是德蒙德行列式，但可以考虑构造1+n 阶的德蒙德行列式来间接求出n D 的值．构造1+n 阶的德蒙德行列式，得()nnnn nn n nn n n n nn n n nx x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x f21111211222221222221211111--------=. 将()x f 按第1+n 列展开，得()n n n n n n n n x A x A x A A x f 1,111,1,21,1++-+++++++= ，其中，1-n x的系数为()()n n n n n n D D A -=-=+++11,1.又根据德蒙德行列式的结果知()()()()()∏≤<≤----=ni j j in x xx x x x x x x f 121 .由上式可求得1-n x 的系数为()()∏≤<≤-+-ni j j in x xx x x 121 .故有()()∏≤<≤-+++=ni j j in n x xx x x D 121 .3.3 特征值法3.3.1 概念及计算方法设n λλλ ，，21是n 级矩阵A 的全部特征值，则有公式 n A λλλ 21=.故只要能求出矩阵A 的全部特征值，那么就可以计算出A 的行列式．3.3.2 例题解析例13 若n λλλ ，，21是n 级矩阵A 的全部特征值，证明：A 可逆当且仅当它的特征值全不为零．证明：因为n A λλλ 21=，则A 可逆()n i i n 2,1000A 21=≠⇔≠⇔≠⇔λλλλ. 即A 可逆当且仅当它的特征值全不为零．4、几类特殊的行列式的巧妙计算技巧和方法4.1 三角形行列式4.1.1 概念形如nn n n n a a a a a a a a a a 333223221131211，nnn n n a a a a a a a a a a321333231222111这样的行列式，形状像个三角形，故称为“三角形”行列式． 4.1.2 计算方法由行列式的定义可知，nn nnn nn a a a a a a a a a a a a a2211333223221131211000000=,nn nnn n n a a a a a a a a a a a a a 2211321333231222111000000=. 4.2 “爪”字型行列式4.2.1 概念形如nnna c a c a cb b b a2211210，nnn c a c a c a a b b b2211012，nnn b b b a a c a c a c 211122，121122a b b b c a c a c a nn n这样的行列式，形状像个“爪”字，故称它们为“爪”字型行列式． 4.2.2 计算方法利用对角线消去行列式中的“横线”或“竖线”，均可把行列式化成“三角形”行列式．此方法可归纳为：“爪”字对角消竖横． 4.2.3 例题解析例14 计算行列式na a a a 111111321，其中.,2,1,0n i a i =≠分析：这是一个典型的“爪”字型行列式，计算时可将行列式的第.),3,2(n i i =列元素乘以ia 1-后都加到第一列上，原行列式可化为三角形行列式．解:na a a a 111111321nni ia a a a a 00011113221∑=-=⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=∑=ni i n aa a a a 21321. 4.3 “么”字型行列式4.3.1 概念形如n n n b b b a a c a c a c 211122，nn na b c a b c a b c a2221110，n n nc a c a c a a b b b 2211012，0111222a cb ac b a c b a nn n ，121122c a c a b a b c a b nnn，n n n a c a c a c b b b a2211210，0121122a b b b c a c a c a nnn，nnn b a b c b a b a c a c 12211201这样的行列式，形状像个“么”字，因此常称它们为“么”字型行列式． 4.3.2 计算方法利用“么”字的一个撇消去另一个撇，就可以把行列式化为三角形行列式．此方法可以归纳为：“么”字两撇相互消．注意：消第一撇的方向是沿着“么”的方向，从后向前，利用n a 消去n c ，然后再用1-n a 消去1-n c ，依次类推． 4.3.3 例题解析例15 计算1+n 阶行列式nn n b b b D 1111111111----=-+ .解：从最后一行开始后一行加到前一行（即消去第一撇），得nnn ni ini in b b b bb D 11111111-+--+-=-==+∑∑()()()⎪⎭⎫ ⎝⎛+--•-=∑=+ni i nn n b 121111()()⎪⎭⎫ ⎝⎛+--=∑=+ni i n n b 12311.4.4 “两线”型行列式4.4.1 概念形如nnn a b b b a b a0000000012211-这样的行列式叫做“两线型”行列式． 4.4.2 计算方法对于这样的行列式，可通过直接展开法求解．4.4.3 例题解析例16 求行列式nn n n a b b b a b a00000000D 12211-=. 解：按第一列展开，得()1221112211000010000-+-+-+=n n n nn n b b a b b a b b a a D()n n n b b b a a a 211211+-+=.4.5 “三对角”型行列式4.5.1 概念形如ba ab ba ab b a abb a ab b a +++++10000000000100000100000这样的行列式，叫做“三对角型”行列式． 4.5.2 计算方法对于这样的行列式，可直接展开得到两项递推关系式，然后变形进行两次递推或利用数学归纳法证明． 4.5.3 例题解析例17 求行列式ba ab ba ab b a abb a ab b a n +++++=10000000000000100000100000D.解：按第一列展开，得()ba ab ba b a ab b a abb a ab D b a n n +++++-+=-100000010000100000D 1()21---+=n n abD D b a .变形，得()211D ----=-n n n n aD D b aD .由于2221,b ab a D b a D ++=+=，从而利用上述递推公式得()211D ----=-n n n n aD D b aD ()()n n n n b aD D b aD D b =-==-=---122322 .故()nn n n n n n n n n b ab b a D a b b aD a b aD D ++++==++=+=------12211121 n n n n b ab b a a ++++=--11 .4.6 Vandermonde 行列式4.6.1 概念形如113121122322213211111----n nn n n nna a a a a a a a a a a a这样的行列式，成为n 级的德蒙德行列式．4.6.2 计算方法通过数学归纳法证明，可得()∏≤<≤-----=11113121122322213211111i j j i n nn n n nna a a a a a a a a a a a a a. 4.6.3 例题解析例18 求行列式n nn nn nn n nnn x x x x x x x x x x x x D21222212222121111---=.解：虽然n D 不是德蒙德行列式，但可以考虑构造1+n 阶的德蒙德行列式来间接求出n D 的值．构造1+n 阶的德蒙德行列式，得()nnnn nn n nn n n n nn n n nx x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x f21111211222221222221211111--------=. 将()x f 按第1+n 列展开，得()n n n n n n n n x A x A x A A x f 1,111,1,21,1++-+++++++= ，其中，1-n x 的系数为()()n n n n n n D D A -=-=+++11,1.又根据德蒙德行列式的结果知()()()()()∏≤<≤----=ni j j in x xx x x x x x x f 121 .由上式可求得1-n x 的系数为()()∏≤<≤-+-ni j j in x xx x x 121 ,故有()()∏≤<≤-+++=ni j j in n x xx x x D 121 .5、行列式的计算方法的综合运用有些行列式如果只使用一种计算方法不易计算，这时就需要结合多种计算方法，使计算简便易行．下面就列举几种行列式计算方法的综合应用．5.1 降阶法和递推法例19 计算行列式2100012000002100012100012D=n .分析：乍一看该行列式，并没有什么规律．但仔细观察便会发现，按第一行展开便可得到1-n 阶的形式．解：将行列式按第一行展开，得212D ---=n n n D D . 即211D ----=-n n n n D D D .∴12312211=-=-==-=----D D D D D D n n n n . ∴()()111111---++++==+=n n n n D D D()121+=+-=n n .5.2 逐行相加减和套用德蒙德行列式例20 计算行列式43423332232213124243232221214321sin sin sin sin sin sin sin sin sin sin sin sin sin sin sin sin sin 1sin 1sin 1sin 11111D ϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕ++++++++++++=解：从第一行开始，依次用上一行的()1-倍加到下一行，进行逐行相加，得43332313423222124321sin sin sin sin sin sin sin sin sin sin sin sin 1111ϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕ=D . 再由德蒙德行列式，得()∏≤<≤-==4143332313423222124321sin sin sin sin sin sin sin sin sin sin sin sin sin sin 1111i j j i D ϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕ. 5.3 构造法和套用德蒙德行列式例21 求行列式n nn nn nn n nnn x x x x x x x x x x x x D21222212222121111---=.解：虽然n D 不是德蒙德行列式，但可以考虑构造1+n 阶的德蒙德行列式来间接求出n D 的值．构造1+n 阶的德蒙德行列式，得()nnnn nn n nn n n n nn n n nx x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x f21111211222221222221211111--------=.将()x f 按第1+n 列展开，得()n n n n n n n n x A x A x A A x f 1,111,1,21,1++-+++++++= ，其中，1-n x 的系数为()()n n n n n n D D A -=-=+++11,1.又根据德蒙德行列式的结果知()()()()()∏≤<≤----=ni j j in x xx x x x x x x f 121 .由上式可求得1-n x 的系数为()()∏≤<≤-+-ni j j in x xx x x 121 .故有()()∏≤<≤-+++=ni j j in n x xx x x D 121 .小结本文主要介绍了行列式计算的一些技巧和方法，还有一些特殊行列式的计算技巧，通过归纳和总结这些技巧和方法，让读者在计算行列式时游刃有余．然而在这么多方法面前，我们需要多观察、多思考，这样便于我们更加轻松地解决有关行列式的问题，也让我们更加灵活的运用这些方法和技巧来解决实际问题．参考文献:[1]北大数学系代数小组. 高等代数（第三版）[M].：高等教育，2003：50～104.[2]钱. 高等代数题解精粹[M].：中央民族大学，2002：24～58[3]家保，中华，陆一南.若干类型行列式计算方法.科学技术学院学报（自然科学版），2012年3月，30(2).[4]鹏辉.行列式的计算技巧.学院报，2011年4月，33（4）.[5]丁冰.三线型行列式的计算.科技通报,2012年2月,28(2).[6]龚德仁.高阶行列式计算的若干技巧.课外阅读（中下）.2012年03期.[7]新功.行列式的计算方法探讨.师大学学报（自然科学版），2011年7月,28(4).[8]王爱霞.关于n阶行列式的计算方法与技巧的探讨.教育学院学报.2012年第1期.[9] 樊正华，徐新萍.浅谈行列式的计算方法.教育学院学报（自然科学），2011年2月，27(1).[10]卢潮辉.三对角行列式的计算. 职业技术学院学报,2010年3月,9(2).[11] 林.求n阶行列式的几种方法和技巧. 科技信息报，2007年第8期.[12]“爪”字型和“么”字型行列式的计算.理科教学研究(短文集锦),2006年第4期.。

高斯选主元消去法.ppt

1 0 1/ 2 0 5/ 2
1 0 r3 2 r20
2/3 0
1 1/2
0 1
1 1/2
2 / 3 3 0 2 r2
0 1 0 0
3/2 1/2
0 3/2 1 1/2
2 1 0
5
r1 3 r2
1 5/ 3 2 0 0 1/ 3
1 0 1/ 2 0 5/ 2 2
1 0 2/ 3 1 0 1 2/ 3 3 0 1 3/ 2 0 3/ 2 1
0 1
r1
r3
2 1
4 2
5 3
0 1
1 1 5/ 3 2 0
1 0 0
0 0
1/3
m31
1 3
1
m32 2
2 r2 3 r1
1 r3 3 r1
0 0
1
2/3 1/3 5/3
101 110
2/3
2 / 3 1 0 1 2/ 3 1/ 3 1 1 0 1/ 3
yn yi
bn (bi
/ ann
n
aij y j ) / aii
j i 1
(i n 1,,2,1)
优点该方法数值稳定( mi k 1). 缺点工作量大. 改进方法列主元消去法，且此时mi k 1.
4.2 列主元素消去法
设已完成第1步~第k-1步计算，得到与原方程组等价的方程组
)第k列与第jk列元素;
1,, n)
bi bi mik bk (i k 1,, n)
二、回代求解
a11 a12 a1n y1 b1
经过上述过程，方程组约化为
a22
a2n
y2
b2
ann
yn

【高中化学】一轮复习学案：5.2 元素周期表元素周期律(必修2)

第二节元素周期表元素周期律【高考新动向】【考纲全景透析】一、元素周期表1.原子序数原子序数=核电荷数=质子数=核外电子数2．编排原则(1)按原子序数递增的顺序从左到右排列；(2)将电子层数相同的各元素从左到右排成一横行(周期序数＝原子的电子层数)；共有7个横行(3)把最外层电子数相同的元素按电子层数递增的顺序从上到下排成一纵行(主族序数＝原子最外层电子数)，共有18列3．结构特点(2)周期（7个横行，7个周期）(3)族18二、元素周期律1.定义：元素的性质随着原子序数的递增呈现周期性的变化规律，这个规律叫做元素周期律2.本质：元素原子核外电子排布的周期性变化。

3.主族元素的周期性变化规律三、元素周期表和元素周期律的应用1.元素分区①分界线：沿着元素周期表中铝、锗、锑、钋与硼、硅、砷、碲、砹的交界处画一条斜线，即为金属元素区和非金属元素区分界线(氢元素除外)。

②各区位置：分界线左下方金属元素区，分界线右上方为非金属元素区。

③分界线附近元素的性质：既表现金属元素的性质，又表现非金属元素的性质。

2．元素周期表和元素周期律的应用(1)科学预测：为新元素的发现及预测它们原子结构和性质提供线索。

(2)寻找新材料①半导体材料：在金属元素与非金属元素的分界线附近的元素中寻找；②在过渡元素中寻找优良的催化剂和耐高温、耐腐蚀的合金材料；③在周期表中的氯、硫、磷附近探索研制农药的材料。

【热点难点全析】〖考点一〗元素的金属性或非金属性强弱的判断1．根据在周期表中的位置(1)同周期元素，从左至右随原子序数的增加，金属性减弱，非金属性增强；(2)同主族元素，从上至下，随着原子序数的增加，金属性增强，非金属性减弱。

2．根据金属活动性顺序表金属的位置越靠前，其金属性越强。

3．根据实验(1)元素金属性强弱的比较①根据金属单质与水(或酸)反应的难易程度：越易反应，则对应金属元素的金属性越强。

②根据金属单质与盐溶液的置换反应：A置换出B，则A对应的金属元素比B对应的金属元素金属性强。

行列式的计算技巧窍门情况总结

行列式的若干计算技巧与方法目录摘要 (1)关键字 (1)1•行列式的概念及性质 (2)1.1 n阶行列式的定义 (2)1.2行列式的性质 (2)2•行列式计算的几种常见技巧和方法 (4)2.1定义法 (4)2.2利用行列式的性质 (5)2.3降阶法 (7)2.4升阶法（加边法） (9)2.5数学归纳法....................................................... 1.1...2.6递推法........................................................... 12…3. ............................................................................................................ 行列式计算的几种特殊技巧和方法. (14)3.1拆行（列）法.................................................... 1.4..3.2 构造法.......................................................... 1.7...3.3特征值法......................................................... 1.8…4. 几类特殊行列式的计算技巧和方法 (19)4.1三角形行列式..................................................... 1.9..4.2 “爪”字型行列式.............................................. 1.9.. 4.3 “么”字型行列式............................................... 21.. 4.4 “两线”型行列式.............................................. 22. 4.5 “三对角”型行列式............................................. 23.4.6 范德蒙德行列式................................................. 25..5. 行列式的计算方法的综合运用....................................... 26. 5.1降阶法和递推法.................................................. 27.. 5.2逐行相加减和套用范德蒙德行列式. (27)5.3构造法和套用范德蒙德行列式 (28)小结................................................................. 29....参考文献............................................................. .3.0....学习体会与建议...................................................... 31...摘要：行列式是高等代数的一个基本概念，求解行列式是在高等代数的学习中遇到的基本问题，每一种复杂的高阶行列式都有其独特的求解方法•本文主要介绍了求行列式值的一些常用方法和一些特殊的行列式的求值方法.如：化三角形法、降阶法和数学归纳法等多种计算方法以及 Van dermo nde 行列式、"两线型”行列式和“爪”字型行列式等多种特殊行列式•并对相应例题进行了分析和归纳，总结了与每种方法相适应的行列式的特征. 关键词：行列式计算方法 1 .行列式的概念及性质1.1 n 阶行列式的定义我们知道，二、三阶行列式的定义如下: ai2a 22 =a 11a 22 a 12a 21 , an a 12 a 13a 21 a22 a23 a 31 a 32 a 33 a ii a 21a 11a 22a 33 a 12a 23a 31 a 13a 21a 32a 11a 23a 32 a 12a 21 a 33 a 13a 22a 31 -从二、三阶行列式的内在规律引出 n 阶行列式的定义.设有n 2个数，排成n 行n 列的数表a 11a 12a 1na 21 a 22 a 2na n1 a n2 a nn即n 阶行列式.这个行列式等于所有取自不同行不同列的 n 个元素的乘积a1j 1 a 2j 2anj n时，⑴带负号.1.2行列式的性质性质1行列互换，行列式不变.a 11 a 12 a 1na 11 a 21 a n1a 21 a 22 a 2na 12 a 22 a n2a n1 a n2 a nna 1 n a 2n a nn的代数和，这里 j 1 j 2j n 是1,2, , n 的一个排列，每一项⑴都按下列规则带有符号：当j 1 j 2j n 是偶排列时，⑴带正号；当jj 2 j n 是奇排列aiia12a1 na21a22j 1j 2j nJ 1J 2 j na1j 1a 2j 2anj n ,an2ann这里j 1j2表示对所有n 级排列求和.=0.性质2 一个数乘行列式的一行（或列），等于用这个数乘此行列a 11a i2a inaiiai2ainka M ka i2 ka ink a i1a i2aina n1 a n2 a nnan1an2ann式就等于两个行列式的和，且这两个行列式除去该行（或列）以外的各行（或列）全与原来行列式的对应的行（或列）一样.即么行列式为零.即a ii a i2 a ina ii a i2 a ina ii3i2S ina ii a i2a inkka iika i2ka ina iia i2a ina nia n2a nna nia n2a nn性质3如果行列式的某一行（或列）是两组数的和，那么该行列a i1a i2K a in M M MM b i c b 2 C 2K b n ( MMM M a nia n2Ka nna ii a i2K a in MM MM bb 2 K b n M M MMa ni a n2K a nna ii a i2K ainM M M MG C 2 K C n MM M Ma ni a n2Ka nn性质4如果行列式中有两行（或列）对应元素相同或成比例,即性质5把一行的倍数加到另一行，行列式不变.即a11 a i2 a ln a11 a i2 a lna i1 ca ki a i2 ca k2 a in ca kn a i1 a i2 a ina k1 a k2 a kn a k1 a k2 a kna n1 a n2 a nn a n1 a n2 a nn 性质6对换行列式中两行的位置，行列式反号.即a11 a i2 a in a11 a i2 a i na i1 a i2 a in a k1 a k2 a kna k1 a k2 a kn —a i1 a i2 a ina ni a n2 a nn a ni a n2 a nn性质7行列式一行（或列）元素全为零，则行列式为零.即a i1 a i2 a i, n-1 a in0 0 0 0 0.a n1 a n2 a n,n-1 a nn2、行列式的几种常见计算技巧和方法2.1定义法适用于任何类型行列式的计算，但当阶数较多、数字较大时，计算量大，有一定的局限性.10 0解析：这是一个四级行列式，在展开式中应该有 4 24项，但由于出现很多的零，所以不等于零的项数就大大减少•具体的说，展开式中的项的一般形式是a ij i a 2j 2 a 3j 3a 4j 4 .显然，如果j i 4，那么a“，从而这个项就等于零•因此只须考虑j i 4的项，同理只须考虑j 2 3, j 3 2, j 4 1的这些项，这就是说，行列式中不为零的项只有2.2利用行列式的性质即把已知行列式通过行列式的性质化为上三角形或下三角形 •该方法适用于低阶行列式.计算行列式814823832841，而 4321 6，所以此项取正号•故 0 0 0 0 0 2 0 30 4 00 1 0 _ 0 = 04321a 14a 23a 32a 4124.2.2.1化三角形法上、下三角形行列式的形式及其值分别如下:a n a na nb n解析：观察行列式的特点，主对角线下方的元素与第一行元素对应相同，故用第一行的1倍加到下面各行便可使主对角线下方的元素全部变为零•即：化为上三角形.解：将该行列式第一行的 1倍分别加到第2,3•••( n 1)行上去,可得1 a 1 b 1 a2 1a 1a 2an a 12 a 13a 1n0 a22a 23a 2n0 0 a 33 a 3n0 0 a nna 110 0 a 21 a 22 00 a 31a 32a 33a ii a 22a nn,a ii a 22a nn・a n1a n2 a n3a nn1 a 1 a2 K a n0 b0 0M M M O M 0 0 0 Kb nD n 1bb z K b n . 例2计算行列式D n 11a 1a 22.2.2连加法这类行列式的特征是行列式某行（或列）加上其余各行（或列）后，使该行（或列）元素均相等或出现较多零，从而简化行列式的计算•这类计算行列式的方法称为连加法.当行列式每两行的值比较接近时，可采用让邻行中的某一行减或者加上另一行的若干倍，这种方法叫滚动消去法.解:2.2.3 计算行列式 D nX iX iX i nX ii 1nX ii 1滚动消去法D nX 1mX 1 X iX 2 mX 2X 2X 2 m X 2X 2 mX 2 X 2 m X 2X nX nX nX nX n 0XnX X n X n X n mnX i m .i 11 2 2 1 例4计算行列式D n 3 2 n n 1 1 2 3 n 1 n1 11 1 1D n 1 111 11 11 1 11 2 3 n 1 n 11 0 0 0 0 2n 21 1 0 0 01 1 11解：从最后一行开始每行减去上- 2.2.4逐行相加减3n 1 n2n 2n 11n 3n 2 n 2n 221「，有1 2 3n1n2 0 022 221 1 111对于有些行列式，虽然前n但却为零•用连加法明a 1 a 1 0 0 0a 2 a 2 0 0 例5计算行列式D0 0 a s0 00 00 a n a r11111显不行，这是我们可以尝试用逐行相加减的方法.解：将第一列加到第二列，新的第二列加到第三列,以此类推，得:2.3降阶法将高阶行列式化为低阶行列式再求解.2.3.1按某一行（或列）展开例6 解行列式D n解：按最后一行展开，得2.3.2按拉普拉斯公式展开行•由这k 行元素所组成的一切k 级子式与它们的代数余子式的乘积的和等于行列式D.即M n A n ，其中A i 是子式M i 对应的代数余子式.a 10 0a 2 0a 3a nn2n1 a 1 a 2a na na n 2a 2 a 1n 1 n 2D n a 1x a 2xa n 1X拉普拉斯定理如下：设在行列式 D中任意选定了 k 1 k n-1个D M 1A 1 M 2A 2例7解行列式D n解：从第三行开始, 到第二列，得D nA nnC nnA nnB nnC nnB nnA nn ?B nn，A nn?B nn -每行都减去上一行; 再从第三列开始，每列都加ab2.4升阶法就是把n 阶行列式增加一行一列变成n+1阶行列式，再通过性质化简算出结果，这种计算行列式的方法叫做升阶法或加边法•升阶法的最大特点就是要找每行或每列相同的因子，那么升阶之后，就可以利用行列式的性质把绝大多数元素化为 0，这样就达到简化计算的效果.其中，添加行与列的方式一般有五种：首行首列，首行末列，末行首列，末行末列以及一般行列的位置.1 1 1 11 10 1 1 0解：使行列式D 变成n 1阶行列式，即1 1 1 0 0 1 0 1 0D再将第一行的 1倍加到其他各行，得:解行列式D=1 1 1 1 1 1 0 1 1 01 1 1 1 1 0 1 0 1D=(n 1)110 1 00 0 1D2.5数学归纳法有些行列式，可通过计算低阶行列式的值发现其规律，然后提出假设，再利用数学归纳法去证明•对于高阶行列式的证明问题，数学归纳法是常用的方法.cos 1 0 0 012cos 1 0 0 例9计算行列式D n0 1 2 cos0 00 00 2cos 112 cos解:用数学归纳法证明1 1 0 0 0 01 0 0 1从第二列开始，每列乘以1加到第一列，得:1 1 0 0 0 01 00 1当n 1时，D 1cos猜想，D n cosn假设当n k 时，结论成立.即：D k cosk .现证当n k 1时，结论也成立.cos1 0 0 012cos 1 0 0 当 n k 1 时，D k 10 1 2cos0 00 0 2 cos 112cos将D k 1按最后一行展开，得cos 1 012 cos 1D k 1k 1 k 11?2cos0 1 2 cos0 0 0 2 coscos1 0 01 2 cos 1 0,k 1 k10 1 2 cos0 0 0 12cos D k D k 1 .因为当n 2时，D 2cos 1 1 2cos2cos 2 1 cos2由上可知，当n1 , n 2时，结论成立.D k coskD k 1 cos k 1 cos k cosk cos sin k sin所以D k 1 2cos D k D k 12cos cosk cosk cos sin k sincosk cos sin k sincos k 1 .这就证明了当n k 1时也成立，从而由数学归纳法可知，对一切的自然数，结论都成立.即：D n cosn .2.6递推法技巧分析：若n阶行列式D满足关系式aD n bD n 1 cD n 2 0.则作特征方程2ax bx c 0.①若0，则特征方程有两个不等根，则D n Ax；1 Bx；1.②若0，则特征方程有重根X1 X2，则D n A nB x；1.在①②中，A，B均为待定系数，可令n 1,n2求出.9 5 0 0 0 0 0 4 9 5 0 0 0 0例10 计算行列式D n 0 4 9 50 0 00 0 0 0 4 9 5 J0 0 0 0 0 4 97解：按第一列展开，得D n 9D n 1 20 D n 2.即D n 9D n 1 20D n 2 0-作特征方程x2 9x 20 0.解得X i 4, X2 5.则D n A?4n1 B?5n1.当n 1 时，9 A B ;当n 2 时，61 4A 5B .解得A 16,B 25，所以D n5n 14n1.3、行列式的几种特殊计算技巧和方法3.1拆行（列）法3.1.1概念及计算方法拆行（列）法（或称分裂行列式法），就是将所给的行列式拆成两个或若干个行列式之和，然后再求行列式的值•拆行（列）法有两种情况，一是行列式中有某行（列）是两项之和，可直接利用性质拆项；二是所给行列式中行（列）没有两项之和，这时需保持行列式之值不变，使其化为两项和.3.1.2例题解析1 a1a2 0 0 01 1 a2a3 0 0例11 计算行列式D n 0 1 1 a30 00 0 0 1 a n 1 a n0 0 0 1 1 a n 解：把第一列的元素看成两项的和进行拆列，得D n1a 1D n 1a 1 0a 2D n a21a3a 31 a n 11a n a na 2 a 2 1a 3 a 3a n 1a 2 a 2 1a 3 a 3a na n 0 0 0a n 1a n a n上面第一个行列式的值为所以D n 1 a 1 1 a 2 1 a 3 a 3a n1a n a n这个式子在对于任何n 都成立, 因此有3.2构造法3.2.1概念及计算方法有些行列式通过直接求解比较麻烦，这时可同时构造一个容易求解的行列式，从而求出原行列式的值.3.2.2例题解析解：虽然D n 不是范德蒙德行列式，但可以考虑构造 n 1阶的范德蒙德行列式来间接求出D n 的值.构造n 1阶的范德蒙德行列式，得1 a 1ni11a ji 1 j 11a i 1 a 2D n 2例12 求行列式D n1 1 x 1x 2 2 X 12 X 2n 2 X1 n X1n 2 X 2 n X21 X n2 X nn 2 Xn n XnA1 2n ・3.3特征值法3.3.1概念及计算方法是n 级矩阵A 的全部特征值，则有公式故只要能求出矩阵A 的全部特征值，那么就可以计算出 A 的行列其中,X 1 2 X 1n 2 X 1 n 1 X1 n X1按第 X 2 2 X 2n 2 X 2 n 1 X2 n X2X n2X nn 2X nn 1X nn Xnn 2 X n 1 X nXn 1列展开，得f X A,n 1A 2」 n 1X的系数为A n ,n 11X1n又根据范德蒙德行列式的结果知f X X X 1X 2 A n,n 1 X1D nX n A n D n .X in由上式可求得X n 1的系数为X 1 X 2X n X inX j故有D n X 1X 2 X n1 j iX inX jn1,n 1X，X j式.3.3.2例题解析例13 若1， 2，n是n 级矩阵A 的全部特征值，证明：A 可逆当且仅当它的特征值全不为零. 证明：因为A 1 2 n ，贝UA 可逆 A 01 2 n0 i 0i 1,2 n .即A 可逆当且仅当它的特征值全不为零.4、几类特殊的行列式的巧妙计算技巧和方法4.1三角形行列式4.1.1概念形状像个三角形，故称为“三角形”行列式.4.1.2计算方法a 11 a 12a 13a 1 na 11a 22a 23 a 2na 21 a 22a 33 a 3na 31 a 32 a 33a nna n1 a n2 a n3 a nn形如这样的行列式,由行列式的定义可知,an a i2a i30 a 22a 230 0 a 330 0 a ii0 a 21a 22a 31 a 32a 33a ni a n2 a n3a nna i1 a 22 a nn ,a ii a 22a nn•4.2 “爪”字型行列式4.2.1概念a 。

数值分析第5章haha

, 其中
1 m k 1, k m n ,k 1
1
最后， L n 1 L 2 L1 A
(1 )
A
(n)
U ， L n 1 L 2 L1b

(1 )
b
(n)
.
A L1 L 2 L n 1U LU ，其中 1 m 21 m 31 m n1 1
2
结束
关于线性方程组的解法一般分为两大类,一类是直接法, 即经过有限次的算术运算,可以求得(5.1)的精确解(假定计算过程没有舍入误差).如线性代数课程中提到的克莱姆算
法就是一种直接法.但该法对高阶方程组计算量太大,不是
一种实用的算法.实用的直接法中具有代表性的算法是高斯消元法,其它算法都是它的变形和应用. 另一类是迭代法,它将(5.1)变形为某种迭代公式,给出初始解 x0 ,用迭代公式得到近似解的序列｛xk｝,k=0,1,2, ,在一定的条件下 xk→x* (精确解).迭代法显然有一个收敛条件和收敛速度问题. 这两种解法都有广泛的应用,我们将分别讨论,本章介绍直接法. 3 结束
(5.3) (5.6) (5.8)
回代:解(5.8)得x3,将x3 代入(5.6)得x2,将x2, x3 代入(5.3) 得x1,得到解 x*=(2,1,-1)T
容易看出第一步和第二步相当于增广矩阵［Ａ:b］在作行变换,用ri表示增广阵［A:b］的第i行: 6 结束
1 A : b 2 1
(1)
(1) x1 b1 (k ) xk b k ( k 1) . x k 1 bk 1 ( k 1) x n bn

23.02 高斯选主元素消去法(1)

4.3 列主元高斯约当（Gauss –Jordan)消去法 3 列主元高斯—约当约当（假设G--J消去法已完成第1步～第k-1步，得到与原方程组等价消去法已完成第1 假设消去法已完成第步的方程组 A( k ) x = b ( k ) ，其中
(k 1 a 1k ) M O ( 1 a kk )1, n − = (k a kk ) M (k a nk ) (k a1n ) ( L a kk )1, n − ， (k ) L a kn M (k ) L a nn
x1 + x2 = 0.9
m 21 = r 0.3 × 10−11 1 0.7 0.3 × 10 −11 消元：消元： ( A, b) = 1 1 0.9 = 0.3333333333 × 10 12 0.3 × 10 −11 1 0. 7 → 12 − 0.2333333333× 1012 − 0.3333333333× 10 0
0.3 ×10−11 x1 + x2 = 0.7 x1 + x2 = 0.9 ⇔ 0.3 × 10−11 x1 + x2 = 0.7 x1 + x2 = 0.9 r 0.3 × 10−11 1 0.7 r ↔ r 1 1 0 .9 消元：消元：( A, b ) = → 0.3 × 10 −11 1 0.7 1 1 0.9 1 1 0.9 0.3 × 10−11 → (m21 = = 0.3 × 10−11 ) 1 0 1 0.7 x 2 = 0.7000000000 。计算解: 计算解: x1 = 0.2000000000
k
bk ←bk ⋅ mkk 上述过程完成后 , 即 k = 1, 2 , L , n , 均已完成 , 则有

解线性方程组的列主元素高斯消去法和lu分解法

数值试验报告分析一、实验名称：解线性方程组的列主元素高斯消去法和LU 分解法二、实验目的及要求：通过数值实验，从中体会解线性方程组选主元的必要性和LU分解法的优点，以及方程组系数矩阵和右端向量的微小变化对解向量的影响。

三、算法描述：本次试验采用的是高斯列主元消去法和LU分解法求解线性方程组的解。

其中，高斯消去法的基本思想是避免接近于零的数作分母；能进行到底的条件: 当A可逆时，列主元Gauss（高斯）消去法一定能进行到底。

优点: 具有很好的数值稳定性；具有与顺序Gauss 消去法相同的计算量。

列主元Gauss（高斯）消去法的精度显著高于顺序Gauss（高斯）消去法。

注意:省去换列的步骤，每次仅选一列中最大的元。

矩阵的三角分解法是A=LU,L 是下三角阵，U是上三角阵,Doolittle 分解:L 是单位下三角阵，U是上三角阵；Crout 分解:L 是下三角阵，U是单位上三角阵。

矩阵三角分解的条件是矩阵 A 有唯一的Doolittle 分解的充要条件是 A 的前n-1 顺序主子式非零；矩阵A有唯一的Crout 分解的充要条件是 A 的前n-1 顺序主子式非零。

三角分解的实现是通过（1）Doolittle 分解的实现；（2）Doolittle 分解的缺点：条件苛刻，且不具有数值稳定性。

（3）用Doolittle 分解求解方程组: AX=b LUX=b LY=bA=LU UX=Y ；四、实验内容：解下列两个线性方程组3.01 6.03 1.99 x1 11） 1.27 4.16 1.23 x2 10.987 4.81 9.34 x3 110 7 0 1 x1 83 2.099999 6 2 x2 5.9000012） 5 1 5 1x3 52 1 0 2 x4 1a、用你熟悉的算法语言编写程序用列主元高斯消去法和LU分解求解上述两个方程组，输出Ax=b 中矩阵 A 及向量b, A=LU 分解的L 及U，detA 及解向量x.b、将方程组（1）中系数 3.01 改为 3.00 ，0.987 改为0.990 ，用列主元高斯消去法求解变换后的方程组，输出列主元行交换次序，解向量x 及detA ，并与（1）中结果比较。

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主元
0.000100 A ( A, b) 1
m21 10000
1 1 1 2
9999
1 1 0.000100 4 4 0 1 . 00 10 1 . 00 10
回代后得到
x1 0.00 , x2 1.00
§
例1.
Gauss列主元消去法
一、Gauss列主元消去法的引入用Gauss消去法解线性方程组(用3位十进制浮点数计算）
0.0001x1 x2 1 x1 x2 2
解: 本方程组的精度较高的解为
x* (0.99989999 ,1.00010001 )T
用Gauss消去法求解(用3位十进制浮点数计算)
经过回代后可得
(3) b3 0.685 138 54 x3 ( 3 ) 0.367 257 39 a 33 0.186 555 41 10
(2) (2) b2 a23 x3 0.5 0.18015 10 x3 0.05088607 x2 (2) 0.3176 10 a22 ( 1) ( 1) ( 1) b1 a12 x2 a13 x3 x1 0.49105820 ( 1) a11
2 r1 r3 1 108
m21 3.712 4.623 2 2 3 1
(A ,b )
( 1) ( 1)
绝对值最大不需换行
2 1.072 5.643 3 0 0.3176 10 0.18015 10 0.5 0 0 . 2 10 0 . 3 10 0 . 1 10

m32 0.629 722 92
(A ,b )
(2) (2)
2 1.072 5.643 3 0.18015 10 0.5 0 0.3176 10 0 0 0 . 186 555 41 10 0 . 685 138 54
( A( 3 ) , b( 3 ) )
与精确解相比,该结果相当糟糕究其原因,在求行乘数时用了很小的数0.0001作除数
如果在求解时将1,2行交换,即
1 1 2 A ( A, b) 0.000100 1 1
1 2 1 0 1.00 1.00
m21 0.0001
0.9999
回代后得到
x1 1.00 , x2 1.00
这是一个相当不错的结果
例2.
解线性方程组(用8位十进制尾数的浮点数计算)
108 1 2 2 3 x1 1 3.712 4.623 x2 2 x 3 1.072 5.643 3
解: 这个方程组和例1一样,若用Gauss消去法计算会有小数作除数的现象,若采用换行的技巧,则可避免
108 A ( A, b) 1 2 2 3 1 3.712 4.623 2 1.072 5.643 3
108 很小, 绝对值最大的列元素为a13 2 , 因此1,3行交换
事实上,方程组的准确解为
x* (0.491058227 ,0.050886075 ,0.367257384 )T
例:用列主元高斯消去法解线性代数方程组
1 2 3 x1 2 2 5 8 x 5 2 3 8 14 x3 9