利用变式训练 促进能力培养姜永文 毛明华

利用变式训练 促进能力培养 江山市上余镇初中 姜永文 毛明华 一、 题目：如图1，已知点E是正方形ABCD的边BC上的中点， ∠AEF=90°，且EF交正方形外角∠DCG的平分线CF于点F，求证：AE=EF

二、设计意图：在初三第一轮复习时，这是在很多资料上都能见到的一个基本习题，此题集正方形的性质、余角的性质、角平分线的性质、三角形全等或相似的判定和性质、添辅助线等知识与方法于一体，是一个很好的复习训练题。但在农村初中，根据笔者的经验，一个班级只有少数学生能较顺利地解决。而在2009年，山东省临沂市更是把此题进行改编，作为一个中考题（见下面）。为了在有限的复习时间内，让学生达到“做一题，通一类”及提高综合数学能力的教学效果，笔者在本学期复习时，以此题为基础，通过改编和创编，进行了一题多证、一题多变的教学设计，收到了较好的教学效果。 【附：2009年山东省临沂市数学中考第25题】数学课上，张老师出示了问题：如图1，四边形ABCD是正方形，点E是边BC的中点．90AEF，且EF交正方形外角DCG的平行线CF于点F，求证：AE=EF． 经过思考，小明展示了一种正确的解题思路：取AB的中点M，连接ME，则AM=EC，易证AMEECF△≌△，所以AEEF． 在此基础上，同学们作了进一步的研究： （1）小颖提出：如图2，如果把“点E是边BC的中点”改为“点E是边BC上（除B，C外）的任意一点”，其它条件不变，那么结论“AE=EF”仍然成立，你认为小颖的观点正确吗？如果正确，写出证明过程；如果不正确，请说明理由； （2）小华提出：如图3，点E是BC的延长线上（除C点外）的任意一点，其他条件不变，结论“AE=EF”仍然成立．你认为小华的观点正确吗？如果正确，写出证明过程；如果不正确，请说明理由．

A B C D G E

F

图1 三、使用情况：在教学过程中，笔者并不是把上述中考题和盘托出，而是先

给出最特殊的情形（即本文前的题目），让学生进行“一题多证”的探究，然后通过改变题目条件，进行“一题多变”的探究训练，使学生体验到数学题的神奇变化和本题的一般性规律，并享受到探究成功带来的愉悦之感。具体情况如下： 1.证法探究 教师：请认真分析题意和图形，相信你能找到证明的方法。 以下是三位学生的不同方法： 学生1：如图2，过F作FH⊥CG于H， 并设yECxFH，， 由题易知：xFHCH,yECBE, yAB2 ∵∠AEF=90°, ∴∠2+∠3=90° ∴∠1=∠3 ∴Rt△ABE∽Rt△EHF

∴xyyxyFHBEEHAB2，即：

化简得yx，即BE=FH ∴Rt△ABE≌Rt△EHF ∴AE=EF 学生2：如图3，过F作FH⊥CG于H ∵∠AEF=90° ∴∠2+∠3=90°

A D F C G E B 图1 A D F

C G E B 图2 A D F C G E B 图3

A B C D G E

F

图2 H 1

2 3

A B C D G E

F H 1

2 3 又∵∠1+∠2=90° ∴∠1=∠3 ∴Rt△ABE∽Rt△EHF ∴FHEHBEAB ∵E是BC的中点， ∴2BEAB 又∵CF平分∠DCG ∴∠FCH=∠CFH=45° ∴CH=FH ∴2CHCHEC ∴EC=CH ∴AB=BC=2EC=EH ∴Rt△ABE≌Rt△EHF ∴AE=EF 学生3：如图4，连结AC，过E作EP∥AC交AB于P ∵E是BC的中点 ∴EP是△ABC的中位线 ∴ECBCABAP2121，∠3=45° ∵CF是∠DCG的角平分线 ∴可得∠ECF=∠APE=135° 又∵∠AEF=90° ∴∠2+∠AEB=90° ∵∠1+∠AEB=90° ∴∠1=∠2 ∴△APE≌△ECF(ASA) ∴AE=EF

结果点评：“在数学解题教学中，如果教师有足够的时间给学生，将可能有

A B C D G E

F

图4 H 1

3 2

P 意想不到得收获。”在上述三种证法中，第一和第三种都是教师课前未曾预设的。出乎意料的是没有一个学生采用“直接取AB的中点”法，笔者分析这主要是平常遇到大多的添辅助线，常常是连结线段、延长线段、作垂线段、作平行线等，在一条线段上截取一段的方法，现在的习题不是很多。另外，由于AE刚好处在一个直角三角形中，所以学生比较容易地想到去构造新的直角三角形。 以上方法的共同点是：通过添辅助线，比较容易地得到三角形全等或相似的角相等的条件，剩下来的关键是找到三角形的边相等。 2. 教师点拨 由于在几何证明中，证明角相等比证明线段相等的知识和方法要多的多，我们能否在添辅助线的时候，直接创造线段相等从而得到证明呢？ 经过思考，不少学生豁然开朗，举手 讲述了第四种解题思路： 学生4：如图5，取AB的中 点M，连接ME，则AM=EC，易证 AMEECF△≌△，所以AEEF． 比较一：这种方法与上述三种方法相比，哪种更简洁？ 比较二：这种方法与上述第三种方法相比，有没有共同之处？

3.变式训练 变式一：如图6，如果把“点E是BC国的中点”改为“点E是BC边上(除B、C外)的任意一点”，其他条件不变，那么结论“AE=EF”是否仍然成立？为什么？ （1）有了前面的经验，不少学生很快 就有了以下证法：

学生5：如图7，在AB上截取AM=EC， A

B C D G E

F

图6

A B C D G E

F

图5 H M 由题知AB=BC，∠B=90° ∴BM=BE ∴∠3=45° ∴∠AME=135° 根据前面的证明可知： ∠ECF=135°且∠1=∠2 ∴△AEM≌△EFC(ASA) ∴AE=EF （2）教师启发：本题能否像原来的题目一样，通过过F点作BG的垂线段得到证明？ 学生通过探究发现，可以得到证明，只不过步骤要麻烦的多。以下是一位学生的证明过程： 学生6：如图8，过F作FH⊥CG于H， 由前面证明可知：△ABE∽△EHF ∴HFEHBEAB 易知：AB=BC=BE+EC EH=EC+CH，且CH=FH ∴FHFHECBEECBE

∴FHECBEEC11 ∴BE=FH 从而可证得Rt△ABE≌Rt△EHF ∴AE=EF 变式二：如图9，如果点E是取 边的延长线上的任意一点，而其他 条件不变，结论“AE=EF”是否仍然 成立？为什么？

学生7：如图10，

A B C

D G E

F 图9

A B C D G E

F

图7 M

1

2 3

A B C D G E F 图8 H 在BA的延长线上截取AM=CE 连结ME ∴BE=BM ∴∠M==∠FCE=45° ∵AD∥BE ∴∠1=∠2 ∴∠MAE=∠CEF ∴△AME≌△ECF(ASA) ∴AE=EF 变式三：如图11，如果点E是CB边延长线上的任意一点，∠AEF=90°，且EF交正方形外角∠BCG的平分线CF于点F，结论“AE=EF”还成立吗？为什么？

学生8：如图12：在AB的延长线上截取BM=BE 连结ME 则有∠M=∠BCF=45°，且AM=EC ∵∠AEF=90° ∴∠1+∠2=∠2+∠3=90° ∴∠1=∠3 ∴△AEM≌△EFC(ASA) ∴AE=EF 有了前面的经验，对变式二和变式三，发现学生 还是很快就找到了分别延长BA,使AM=CE和延长AB,使BM=BE的方法。 4.拓展探索

A B C D

G E F 图11

A B C

D G E

F 图10 M

1

2

A B C D

G E F 图12 M

2 3

1 拓展一：如图13，点M是正三角形ABC的边BC所在直线上的任意一点(除B、C外)，作∠AMN=60°，射线MN与三角形外角∠ACD的平分线交于点N，试探究AM与MN有怎样的数量关系？ 拓展二：如图14，M是正五边形ABCDE的边BC所在直线上的任意一点(除B、C外)，作∠AMN=108°，射线MN与外角∠DCF的平分线交于点N，结论“AM=MN”还成立吗？

拓展三：如图15，点M是正n边形n21AAA的边32AA所在直线上的任意一点(除2A，3A外)，3211AAAMNA，射线MN与外角BAA34的平分线交于点N，则结论“MNMA1”还成立吗？

四、课后体会：本节课从一道习题出发，通过对题目条件不断的增强或减弱，探寻出“不同条件下解决问题的共同思路”。从中我们可以得到这样的启发：在平常的习题教学中，对于教材中的例题或典型的习题，不能仅仅停留在初步解决的层面上，习题解决后，要多反思多变式，充分挖掘它们的内在功能，力求达到“做一题，通一类”的教学目标，这样取得的效果反而比多做几个题要好得多。正所谓“题不在多，做精才行”。

五、改进与拓展：为更好的培养学生的发散思维和创新探究能力，本案例可

A B C M N D 图13 A B C D E M N F 图14

A3 A1 A2 A4 A5 An M N 图15