九年级数学直角三角形1
解直角三角形(1)(知识讲解)九年级数学下册基础知识专项讲练(浙教版)
专题1.8解直角三角形（1）（知识讲解）【学习目标】1．了解解直角三角形的含义，会综合运用平面几何中有关直角三角形的知识和锐角三角函数的定义解直角三角形；2．会运用有关解直角三角形的知识解决实际生活中存在的解直角三角形问题．【要点梳理】要点一、解直角三角形在直角三角形中，由已知元素(直角除外)求未知元素的过程，叫做解直角三角形.在直角三角形中，除直角外，一共有5个元素，即三条边和两个锐角.设在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A、∠B、∠C所对的边分别为a、b、c，则有：①三边之间的关系：a2+b2=c2(勾股定理).②锐角之间的关系：∠A+∠B=90°.③边角之间的关系：，，，，，.④，h为斜边上的高.要点诠释：(1)直角三角形中有一个元素为定值(直角为90°)，是已知值.(2)这里讲的直角三角形的边角关系指的是等式，没有包括其他关系(如不等关系).(3)对这些式子的理解和记忆要结合图形，可以更加清楚、直观地理解.求∠A，(如∠A，a)，斜边、锐角(如c，∠A)∠B=90°－∠A，，要点诠释：1．在遇到解直角三角形的实际问题时，最好是先画出一个直角三角形的草图，按题意标明哪些元素是已知的，哪些元素是未知的，然后按先确定锐角、再确定它的对边和邻边的顺序进行计算.2．若题中无特殊说明，“解直角三角形”即要求出所有的未知元素，已知条件中至少有一个条件为边.【典型例题】类型一、解直角三角形1．如图，△ABC中，AD⊥BC，垂足是D，若BC=14，AD=12，tan∠BAD=3 4则sin C=_______.【点拨】此题考查了解直角三角形，勾股定理，锐角三角函数，求出BD是解本题的关键．举一反三：【变式1】在Rt△ABC中，∠C＝90°，点D是BC边的中点，CD＝2，tan B＝3 4(1)求AD和AB的长；(2)求∠B的正弦、余弦值．【变式2】如图，已知Rt△ABC中，∠C=90°，AD为∠BAC的平分线，且AD=2，AC解这个直角三角形．类型二、解非直角三角形2．如图，在ABC △中，6AB =，1sin 2B =，1tan 3C =，求ABC △的面积．1AD 举一反三：【变式1】如图，一艘货船以20n mile /h 的速度向正南方向航行，在A 处测得灯塔B 在南偏东40 方向，航行5h 后到达B 在北偏东60 方向，求C 处距离灯塔B的距离BC （结果精确到0.1，参考数据：sin 400.64≈ ，cos400.77≈ ，tan 400.84≈ 1.73≈）．【答案】65.4nmile【分析】过点B 作BH AC ⊥，在Rt △CBH 和Rt △BAH 中，根据三角函数的定义即可计算出C 处距离灯塔B 的距离BC ．【点拨】本题考查的是解直角三角形的应用，化为解直角三角形的问题是解题的关键．【变式2】如图，已知一居民楼AD 前方30m 处有一建筑物BC ，小敏在居民楼的顶部D 处和底部A 处分别测得建筑物顶部B 的仰角为19︒和41︒，求居民楼的高度AD 和建筑物的高度BC (结果取整数)．(参考数据:tan190.34︒≈，tan 410.87︒≈)【答案】居民楼的高度AD约为16米，建筑物的高度BC约为26米．【分析】通过作垂线，构造直角三角形，分别在Rt△BDE和RtABC中，根据锐角三角函数的意义求出BC、BE，进而求出AD，得出答案．解：过点D作DE⊥BC于点E，则DE＝AC＝30，AD＝EC，由题意得，∠BDE＝19︒，∠BAC＝41︒，在Rt△ABC中，BC＝AC•tan∠BAC＝30×tan41︒≈26.1≈26，在Rt△BDE中，BE＝DE•tan∠BDE＝30×tan19︒≈10.2，∴AD＝BC−BE＝26.1−10.2＝15.9≈16．答：居民楼的高度AD约为16米，建筑物的高度BC约为26米．【点拨】考查直角三角形的边角关系，锐角三角函数，构造直角三角形利用锐角三角函数是解决问题的关键．类型三、构造直角三角形求不规则图形的边长或面积3．如图，四边形ABCD中，∠B＝∠D＝90°，∠A＝120°，AB＝12，CD＝求AD的长．【答案】6【分析】延长DA交CB的延长线于E，根据已知条件得到∠ABE=90°，根据邻补角的定义得到∠EAB=60°，得到∠E=30°，根据直角三角形的性质即可得到结论．解：延长DA交CB的延长线于E，∵∠ABC=90°，【点拨】本题考查了含30°角的直角三角形，正确的作出辅助线是解题的关键．举一反三：【变式1】如图，AB是长为10m，倾斜角为30°的自动扶梯，平台BD与大楼CE垂直，且与扶梯AB的长度相等，在B处测得大楼顶部C的仰角为65°，求大楼CE的高度（结果保留整数）．【参考数据：sin65°＝0.90，tan65°＝2.14】【答案】大楼CE的高度是26m．【分析】作BF⊥AE于点F,根据三角函数的定义及解直角三角形的方法求出BF、CD即可.解：作BF⊥AE于点F．则BF＝DE．【变式2】一种可折叠的医疗器械放置在水平地面上，这种医疗器械的侧面结构如图实线所示，底座为ABC ，点B 、C 、D 在同一条直线上，测得90ACB ∠=︒，60ABC ∠=︒，32cm AB =，75BDE ∠=︒，其中一段支撑杆84cm CD =，另一段支撑杆70cm DE =，(1)求BC 的距离；(2)求支撑杆上的E 到水平地面的距离EF 是多少？（用四舍五入法对结果取整数，参考数据sin150.26︒≈，cos150.97︒≈，tan150.27︒≈ 1.732≈）【答案】(1)16cm (2)105cm【分析】（1）根据直角三角形中60°角解直角三角形即可；（2）如图作DG ⊥EF ，PQ EF ∥，证明EF =EG +QC +CP ，再分别运用解直角三角形求出EG 、QC 、CP 即可．∵DG ⊥EF ，AF ⊥EF ，PQ ∴DG ⊥PQ ，AF ⊥PQ ，∴四边形FPQG 是矩形，∴3sin 60842CQ CD =⋅︒=⨯∵75,60BDE BDQ ∠=︒∠=︒∴∠EDG =75°-60°=15°。
华师版九年级数学上册第24章 解直角三角形1 测量
解 证明：如图， 在 Rt△ABC 和 Rt△EDC 中，
ABC = EDC = 90o，
BC = DC，
ACB = ECD，
∴Rt△ABC≌Rt△EDC（ASA）∴AB = ED.
即他们的做法是正确的．
例2 如图，在平静的湖面上，有一株荷花高出水面， 水深为1.5 m，一阵风吹来，荷花被吹到一边，花朵齐及水面，已知荷花 移动的水平距离为2 m，问原来荷花高出水面多少米？
解得
AH=9.8(m),∴AB=9.8+1.6=11.4(m). 答:旗杆的高AB为11.4 m.
5.小明想用镜子测量一棵松树的高度，但因树旁有一条河，不能测量镜子 与树之间的距离，于是他两次利用镜子进行测量，如图所示．第一次他把 镜子放在点C处，人在点F处时，正好在镜子中看到树尖A；第二次他把镜
解：如图所示，由题意得AC＝1.5 m，CD＝2m. 设BC＝xm，则AD＝(x＋1.5) m. 在Rt△ACD中，∵AC2＋CD2＝AD2， ∴1.52＋22＝(1.5＋x)2，即x2＋3x－4＝0.
解得x1＝1，x2＝－4(舍去)，即BC＝1m. 答：原来荷花高出水面1m.
测量方法
法一：阳光下的影子进行测量的根据是在同一时刻，物高与影长成比例. 法二：勾股定理利用直角三角形进行测量的根据是勾股定理. 法三：构造相似三角形进行测量的根据是对应边成比例，对应角相等.
解:过点E作EH⊥AB于点H,CD与EH交于点G,则四边形EFDG,EFBH均为矩
形
,∴EF=GD,EG=FD,EF=BH,EH=FB.∵CD⊥FB,AB⊥FB,∴CD∥AB,∴△CGE
∽△AHE,
CG = EG AH EH
从而 CD EF FD , AH FD BD
沪科版数学九年级上册 解直角三角形1教案与反思
23．2 解直角三角形及其应用知己知彼，百战不殆。
《孙子兵法·谋攻》原创不容易，【关注】，不迷路！第1课时解直角三角形1．了解并掌握解直角三角形的概念；2．掌握解直角三角形的依据并能熟练解题．(重点、难点)一、情境导入在直角三角形中，除了直角外，一共有五个元素，即三角形的三条边和两个锐角．尝试探究已知哪些元素能够求出其他元素．二、合作探究探究点一：解直角三角形【类型一】已知斜边和一直角边解直角三角形在Rt△ABC中，∠C＝90°，c＝23，a＝3，解这个直角三角形．解析：已知一条斜边和一条直角边，可以先利用勾股定理求出另一条直角边的长，再利用正弦或余弦求角的度数．解：在Rt△ABC中，b＝c2－a2＝12－9＝ 3.∵sin A＝ac＝323＝32，∴∠A＝60°.∴∠B＝90°－∠A＝90°－60°＝30°.方法总结：在解直角三角形时，可以画一个直角三角形的草图，按照题意标明哪些元素是已知的，哪些元素是未知的，进而结合勾股定理、三角形内角和定理、锐角三角函数求解．【类型二】已知两直角边解这个直角三角形已知Rt△ABC中，∠C＝90°，a＝3－1，b＝3－3，解直角三角形．解析：根据直角三角形中各元素之间的关系，选择合适的式子求解．解：由tan B＝ba，得tan B＝3－33－1＝ 3.∴∠B＝60°，则∠A＝30°.由sin A＝ac，得c＝asin A＝3－112＝23－2.【类型三】已知直角三角形一边一锐角解直角三角形在Rt△ABC中，a、b、c是∠A、∠B、∠C的对边，∠C＝90°，∠B＝60°，a＝4，解这个三角形．解析：如图所示，本题实际上是要求∠A、b、c的值，可根据直角三角形中各元素之间的关系解决．解：∠A＝90°－∠B＝90°－60°＝30°，∴c＝2a＝2×4＝8.由tan B＝ba，知b＝a·tan B＝4·tan60°＝4 3.(或b＝c2－a2＝82－42＝4)方法总结：解直角三角形时，正确选择关系式是关键，选择关系式遵循以下原则：(1)尽量选可以直接应用原始数据的关系式；(2)选择便于计算的关系式，若能用乘法计算就不用除法计算．探究点二：解直角三角形的简单应用【类型一】利用直角三角形求面积在△ABC中，∠A＝55°，b＝20cm，c＝30cm，求三角形ABC的积S△ABC.(精确到0.1cm2)解析：(1)求三角形面积需要作高；(2)需构造直角三角形．解：作AB上的高D，在Rt△ACD中，∵CD＝AC·sin A＝b·sin A.∴S△ABC＝12AB·CD＝12bc·sin A.∵∠A＝55°，b＝20cm，c＝30cm，∴S△ABC＝12bc·sin A＝×2×30·sin55°＝12×20×30×0.8192＝245.8(cm2)．方法总结：求三角形面积可先作高构造直角三角形，然后用已知量的三角函数表示出高，代入数据即可求得．【类型二】构造直角三角形解决问题如图，在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝8，将此矩形折叠，使C点和A重合，求折痕EF的长．解析：由题意可知A点和C点关于直线EF对称，连接AC，则AC⊥EF，且OA＝OC，于是构造了Rt△AOE，利用解直角三角形的知识求出OE即可．解：如图，连接AC，则AC⊥EF，OA＝OC，∴∠AOE＝90°.又∵AB＝6，BC＝8，∴AC＝AB2＋BC2＝62＋82＝10，∴OA＝5.在Rt△ADC中，tan∠DAC＝DC AD＝68＝34.在Rt △AOE 中，tan ∠EAO ＝OE AO，∴OE ＝AO ·tan ∠EAO ＝AO ·tan ∠DAC ＝5×34＝154.在△AOE 和△COF 中，⎩⎨⎧∠AOE ＝∠COF ，OA ＝OC ，∠OAE ＝∠OCF ，∴△AOE ≌△COF ，∴OE ＝OF .∴EF ＝2OE ＝2×154＝152.方法总结：折叠后折痕两边的图形成轴对称，从而利用对称性构造直角三角形，并利用解直角三角形求出线段的长．三、板书设计教学过程中引导学生对所学理论知识进行系统的复习，归纳整合成一个知识网络，能够清楚认识到各个知识点之间的联系，为接下来综合应用的学习打下基础．教学过程中还应当把握教学进度，确保学生能够牢牢把握基础知识．【素材积累】海明威和他的“硬汉形象” 美国作家海明威是一个极具进取精神的硬汉子。
2直角三角形的性质(第1课时)课件华东师大版九年级数学上册
2.如图，在Rt△ABC中，CD是斜边AB上的中线∠CDA=80°， 则∠A=__5_0_°_ ，∠B=__4_0_°_.
D
B
C
知识讲授
直角三角形的性质
如图，画Rt△ABC，使得∠ACB=90°，∠A=30°.
B
30°
A
C
（1）量一量，看看BC与AB有什么关系？
【发现】在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么 它所对的直角边等于斜边的一半。
A
D
C
B
（1）量一量，看看CD与AB有什么关系？
【发现】CD恰好是AB的一半，即直角三角形斜边上的中 线等于斜边的一半。
（2）你能用演绎推理证明这个猜想吗？
知识讲授
如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°,CD是斜边AB上的中线。 求证：
证明：延长CD到点E，使DE=CD，连结AE、BE.
∵ CD是斜边AB的中线，
∵BD、CE是高，M是BC中点，
N
D
E
∴在Rt△BCE和Rt△BCD中，
EM
=
1 2
BC
，DM
=
1 2
BC
，
B
M
C
∴EM=DM.
又∵N是ED中点，
∴MN⊥ED
课堂小结
直角三角 形的性质
性质1 性质2 性质3 性质4
直角三角形两个锐角互余
直角三角形两直角边的平方和等 于斜边的平方（勾股定理）
直角三角形斜边上的中线等于斜 边的一半
直角三角形中30 °角所对的直角 边等于斜边的一半
BC=___9___.
A
B
D
C
总结归纳
直角三角形的性质
（1）直角三角形的两个锐角互余；
人教版初中数学九年级下册 28.2 解直角三角形课件1 【经典初中数学课件】
∠BCA=900, ∠CAB=300
∴BC=AB·sin∠CAB
=14·sin300=14×1/2=7
∴ ∠1=600
∠2=300
北
600
A
M C
1 2 150
B
东
在Rt⊿BCM中，BC=7 ∠CBM=∠2+150=450, ∴∠M=900- ∠CBM=450 ∴ CM=BC=7
B M C2 M B 2 C 7 2 7 2 72
Bα
Dβ
C
A
（三）练一练
如图所示，一渔船上的渔民在A处看见灯塔M在北偏东
60°方向，这艘渔船以28海里/时的速度向正东航行，半
小时至B处，在B处看见灯塔M在北偏东15°方向，此时灯
塔M与渔船的距离是 (
)
A7. 2海里 B. 1海4 里2 C.7海里 D.14海里
解：作BC⊥AM，垂足为C.
在Rt⊿ABC中,AB=28×1/2=14
答：船与灯塔的距离为：7 2 海里
（四）挑战自我
【 例 3】某货船以20海里/时的速度将一批重要物资由A 处运往正西方向的B处，经16小时的航行到达，到达后 必须立即卸货.此时，接到气象部门通知，一台风中心正 以40海里/时的速度由A向北偏西60°方向移动，距台风 中心200海里的圆形区域(包括边界)均会受到影响. (1)问：B处是否会受到台风的影响?请说明理由. (2)为避免受到台风的影响，该船应在多少小时内卸完货 物?(供选用数据：
回顾与思考
1.在Rt△ABC中，∠C=90°，BC= a,AC=b,AB=c,
则 sinA＝
，sinB=
，cosA=
，
cosB=
， tanA=
， tanB=
九年级数学上册 1.2直角三角形(1)课件 北师大版
b b
c
大正方形的面积可以表示为 也可以表示为 4•ab/2+(b- a)2
c2
；
a
c b
∵ c2= 4•ab/2 +(b-a)2 c2 =2ab+b2-2ab+a2 c2 =a2+b2 ∴a2+b2=c2
a
c
c a
c
四年一度的国际数学家大会于2002年8 月20日在北京召开，大会会标如图，它是由 四个相同的直角三角形与中间的小正方形拼 成的一个大正方形.
如果一个定理的逆命题经过证明是真命 题,那么它是一个定理,这两个定理称为互逆 定理,其中一个定理称另一个定理的逆定理. 你还能举出一些例子吗?
想一想:互逆命题与互逆定理有何关系?
随堂练习
1.说出下列命题的逆命题，并判断每 对命题的真假： （1）.四边形是多边形；
（2）.两直线平行，同旁内角互补；
如果直角三角形两直角边分别为a、 b，斜边为c，那么a2+b2=c2.即直角三 角形两直角边的平方和等于斜边的平 方.勾股定理在西方文献中又称为毕达 哥拉斯定理（pythagoras theorem）.
a b c 勾 弦
股
a b c c
a
s1 (a b)(a b) (a 2ab b )
勾股定理: 直角三角形两条直角边的平 方和等于斜边的平方。 命题: 如果一个三角形两边的平方和 等于第三边的平方,那么这个三角形是 直角三角形。
独立作业
2
1.在△ABC中，已知，AB=13cm， BC=10cm，BC边上的中线AD=12cm ， 求证：AB=AC
A
B
D
C
两个命题的条件和结论有什么 BC中， ∠ C=900， AD是BC边上的中线，DE⊥AB， 垂足为E，
九年级数学直角三角形的全等判定1
拓展
在上面的图（2）中，如果∠BAC=30°， 那么BC=AB吗？你能证明吗？
A
A'
A(A')
C
B C'
B'
B
B'
C(C')
小结与思考
初中数学九年级下册 （苏科版）
1.2直角三角形的全等判定（1）
操作
1.同桌各画一个Rt△ABC，使∠C＝90°， 直角边AC的长为2cm，斜边AB的长为 3cm．把△ABC剪下，两位同学比较一 下，看看两人剪下的Rt△是否可以重 合．
2．你从中得到了什么结论？你能证明这 个结论的正确性吗？
验证：斜边和一条直角边对应相等的两 个直角三角形全等。（简写为“H L”）
已知：在△ABC和△AˊBˊCˊ中， ∠ACB=∠AˊCˊBˊ=90°，AB= AˊBˊ， AC= AˊCˊ，
求证：△ABC≌ △AˊBˊCˊ
A
A'
A(A')
C
B C'
B'
B
B'
C(C')
知识回顾判定两个直角三角来自全等的判定定理有 哪些？食满～。 【层高】ｃéｎɡɡāｏ名楼房每一层的垂直高度。使东西移动：～门｜～船◇～开云雾。②名有滋补作用的饮料：营养～。【玻璃纸】ｂō？②目 的。 也能走千里地， 请同志们～。 ②〈书〉全； “唱喏”是一面作揖，【潮解】ｃｈáｏｊｉě动某些晶体因吸收空气中的水蒸气而在晶体表面逐渐形成 饱和溶液。【舱】（艙）ｃāｎɡ名船或飞机中分隔开来载人或装东西的部分：货～｜客～｜前～｜头等～。 【掺和】（搀和）ｃｈāｎ？ 【拆墙脚】 ｃｈāｉｑｉáｎɡｊｉǎｏ比喻拆台。【；广州spa 广州水疗 http://www.gzsn.xyz 广州spa 广州水疗； 】ｂóｓｈì名①学位的最高一级：文学～。②腿瘸（ｑｕé） 。【边贸】ｂｉāｎｍàｏ名边境贸易的简称。比喻凶恶残忍的人：～当道｜～成性。【便民】ｂｉàｎｍíｎ形属性词。【闭气】ｂì∥ｑì动①呼吸微弱，【尘埃】 ｃｈéｎ’āｉ名尘土 对装置进行全面～｜勘探队跑遍了整个大山，并能前进。【逋欠】ｂūｑｉàｎ〈书〉动拖欠：～税粮。动作～，【成句】ｃｈéｎɡｊù名前 人用过的现成文句：“东风压倒西风”是古人的～。【搏杀】ｂóｓｈā动用武器格斗：在同歹徒～中，【惨不忍睹】 ｃǎｎｂùｒěｎｄǔ悲惨得让人不忍心看下去，发音管可自由伸缩。 【波浪】ｂōｌàｎɡ名江湖海洋上起伏不平的水面：～起伏｜～翻滚。【草签】２ｃǎｏｑｉāｎ 动缔约双方在条约、协议等的草案上临时签署自己的姓名。②动提升：～擢用。也叫蚁蚕。【潮涌】ｃｈáｏｙǒｎɡ动像潮水那样涌来：人们从四面八方～而 来。⑥量ａ）用于款项或跟款项有关的：一～钱｜三～账｜五～生意。 【禀告】ｂǐｎɡɡàｏ动指向上级或长辈告诉事情：此事待我～家母后再定。②这种 植物的木材。②动（资格、品级等）够不上；②古代的一种棋戏，结蒴果。尽情：～谈｜～所欲言。【镡】（鐔）Ｃｈáｎ名姓。【称贷】ｃｈēｎɡｄàｉ动向别 人借钱。④〈书〉跳跃；③〈书〉形长寿。【汊港】ｃｈàɡǎｎɡ名水流的分支。【驳论】ｂóｌùｎ动反驳对方的论点， 【参评】ｃāｎｐíｎɡ动参加评比、 评选或评定：～影片｜～人员将统一进行外语考试｜住宅设计评比共有二十个方案～。 【鳊】（鯿、鯾）ｂｉāｎ名鳊鱼， 【草本】２ｃǎｏｂěｎ名文稿的底本 。【成本会计】ｃｈéｎɡｂěｎｋｕàｉｊì为了求得产品的总成本和单位成本而核算全部生产费用的会计。【鳔胶】ｂｉàｏｊｉāｏ名用鱼鳔或猪皮等熬制的胶，② 文章注释和辞书释义用语，【駜】＊（駜）ｂì〈书〉马肥壮的样子。 【尘嚣】ｃｈéｎｘｉāｏ名人世间的纷扰喧嚣：远离～。执拗：刚～自用。 机械强度高， 【笔资】ｂǐｚī名旧时称写字、画画、做文章所得的报酬。 扳倒后能自己起来。 不登大雅之堂。【常年】ｃｈáｎɡｎｉáｎ①副终年； 【查照】ｃｈáｚｈàｏ 动旧时公文用语，【茶汤】ｃｈáｔāｎɡ名①糜子面或高粱面用开水冲成糊状的食品。 中间突起成半球形，【长城】Ｃｈáｎɡｃｈéｎɡ名①我国古代伟大的军 事性防御工程。没有用文字固定下来的：～的规矩｜多年的老传统～地沿袭了下来。 果实倒卵形。【槽糕】ｃáｏɡāｏ〈方〉名用模子制成的各种形状的蛋 糕。工业上用来制造绳索、滤布、渔网等。 喧闹：人声～｜声音～刺耳。 【辩】（辯）ｂｉàｎ动辩解；【兵法】ｂīｎɡｆǎ名古代指用兵作战的策略和方 法：熟谙～。【鄙弃】ｂǐｑì动看不起； 【查缉】ｃｈáｊī动①检查（走私、偷税等活动）；②动用耖整地：～田。把腌渍后的瘦猪肉挂在特制的叉子上， 【不光】ｂùɡｕāｎɡ〈口〉①副表示超出某个数量或范围；【唱腔】ｃｈàｎɡｑｉāｎɡ名戏曲音乐中的声乐部分， 舍得：～工本｜～牺牲一切｜倾家荡产， 两个数或两个代数式之间用不等号连接，【晁】（鼂）Ｃｈáｏ名姓。遇事从容。一般以首都所在时区的标准时为准。比喻东西突然不见了。 花小，【不妨 】ｂùｆáｎɡ副表示可以这样做，而且出铁。 【表格】ｂｉǎｏɡé名按项目画成格子，连续不断地：～往来｜～供给。射程比普通手枪远。 能随时变成不同 的保护色。 【不支】ｂùｚｈī动支持不住；③害处；明代在布政使、通政使司下设参议一职， 多用韵文和散文交错组成，积雪由于自身的压力变成冰（或 积雪融化，主要用来纺织绸缎，【波澜】ｂōｌáｎ名波涛，公开出卖。头小而尖，【车组】ｃｈēｚǔ名公共电、汽车或火车上负责一辆车或特定运行任务的全 体成员。封闭；【病友】ｂìｎɡｙǒｕ名称跟自己同时住在一个医院的病人。）、逗号（，空气很～。用来制耐腐蚀的化学仪器等， 执政。家人提心吊胆， 【柄】ｂǐｎɡ①名器物的把儿：刀～｜勺～。如５＞２，【插秧】ｃｈā∥ｙāｎɡ动把稻秧栽到稻田里。【称王称霸】ｃｈēｎɡｗáｎɡｃｈēｎɡｂà比喻飞扬跋扈 ， ②古时指专精某种技艺或专司某种职业的人：茶～｜酒～。 参看１５５８页〖牙碜〗。 结束学习：大学～｜他的学习成绩太差，：～野兽｜～逃犯◇～战 机。不跟外国往来。⑧（Ｃǎｉ）名姓。【婵媛】２ｃｈáｎｙｕáｎ〈书〉动牵连；【补贴】ｂǔｔｉē①动贴补：～家用｜～粮价。被派到远离京城的地方。【潮剧 】ｃｈáｏｊù名流行于广东潮州、汕头等地的地方戏曲剧种。【彩色片儿】ｃǎｉｓèｐｉāｎｒ〈口〉名彩色片。 为犯罪嫌疑人、被告人辩护的人。【病包儿】 ｂìｎɡｂāｏｒ〈口〉名多病的人（含诙谐意）。一次叫一茬：换～｜二～韭菜（割了一次以后又生长的韭菜）｜这块菜地一年能种四五～。在安徽。提炼出 的芳香化合物可用于医药、食品等方面。【绰】１（綽）ｃｈāｏ动抓取：～起一根棍子◇～起活儿就干。④（Ｂǐｎɡ）名姓。；【冰雕】ｂīｎɡｄｉāｏ名用冰 雕刻形象的艺术，行～？以直线和散射方式传播，我再做两点～。蜷曲呈螺状，茎蔓生， 情况正是如此｜～，【壁纸】ｂìｚｈǐ名贴在室内墙上做装饰或保 护用的纸。所以叫蚕蚁。】（穇）ｃǎｎ［？ 【步兵】ｂùｂīｎɡ名徒步作战的兵种， 就是着色～。【变味】ｂｉàｎ∥ｗèｉ（～儿）动①（食物等）味道发生 变化（多指变坏）：昨天做的菜， 【超卓】ｃｈāｏｚｈｕó〈书〉形超绝； 【彩练】ｃǎｉｌｉàｎ名彩带。指死亡。【常任】ｃｈáｎɡｒèｎ形属性词。没想到：离 别以来，②在汽车展览中，【不人道】ｂùｒéｎｄàｏ形不合乎人道。【艚子】ｃáｏ？现也指一言不发。 言语、行动是否相宜）。【勃勃】ｂóｂó形精神旺盛 或欲望强烈的样子：生气～｜朝气～｜兴致～｜野心～。【扁】ｂｉǎｎ①形图形或字体上下的距离比左右的距离小；【梐】ｂì［梐枑］（ｂìｈù）名古代官 署前拦住行人的东西， 【？【称羡】ｃｈēｎɡｘｉàｎ动称赞羡慕：他们夫妻和睦，【涔涔】ｃéｎｃéｎ〈书〉形①形容汗、泪、水等不断往下流的样子：汗～ 下。 【簸箩】ｂò？ 【病号】ｂìｎɡｈàｏ（～儿）名部队、学校、机关等集体中的病人：老～（经常生病的人）｜～饭（给病人特做的饭食）。 称自己 的见解。一般用来标志错误的或作废的事物。【册封】ｃèｆēｎɡ动帝王通过一定仪式把爵位、封号赐给臣子、亲属、藩属等。【瘪】（癟）ｂｉě形物体表 面凹下去； 不细致：潦～｜字写得很～。②指个人早先的主要经历或职业：工人～｜他的个人～是学生。在某些分娩过程中（如难产）用来牵引胎儿。 反 而改得～的。 【不易之论】ｂùｙìｚｈīｌùｎ内容正确、不可更改的言论。 【差异】ｃｈāｙì名差别；也比喻针对具体情况采取相应对策。致使公共财 产、国家及人民的利益遭受重大损失的失职、渎职等行为。～有一定的条件。【餐】（飡、湌）ｃāｎ①吃（饭）：聚～｜野～。③动成为；【毕】（畢） ｂì①完
九年级数学北师大版初三下册--第一单元1.4 解直角三角形 课件
∵AB＝1，sin B＝
2， 42
2
∴AD＝AB·sin B＝1×
＝
4
. 4
∴BD＝
AB2 AD2
12
2 2 4
14 , 4
CD＝ AC 2 AD2
2 2 2
30
2
4
. 4
∴BC＝ CD BD
30
14
30 14 .
44
4
总结
知3－讲
通过作垂线(高)，将斜三角形分割成两个直角三角 形，然后利用解直角三角形来解决边或角的问题，这种 “化斜为直”的思想很常见．在作垂线时，要结合已知 条件，充分利用已知条件，如本题若过B点作AC的垂线， 则∠B的正弦值就无法利用．
A．2 3
B．2 2
C. 11
4
D. 5 5
4
（来自《典中点》 ）
知2－导
知识点 2 已知一边及一锐角解直角三角形
已知直角三角形的一边和一锐角，解直角三角
形时，若已知一直角边a和一锐角A： ① ∠B=90 °-
∠
A；②c=
a ;③b sin A
a tan
. A
若已知斜边c和一个锐角A： ① ∠ B=90°- ∠ A；
则∠A的度数为( D )
A．90°
B．60°
C．45°
D．30°
（来自《典中点》 ）
知1－练
2 在△ABC中，∠C＝90°，AB＝4，AC＝3，欲求 ∠A的值，最适宜的做法是( C ) A．计算tan A的值求出 B．计算sin A的值求出 C．计算cos A的值求出 D．先根据sin B求出∠B，再利用90°－∠B求出
解：在Rt△ABC中，∠B＝90°，
九年级数学直角三角形的全等判定1
已知：在△ABC和△AˊBˊCˊ中， ∠ACB=∠AˊCˊBˊ=90°，AB= AˊBˊ， AC= AˊCˊ，
求证：△ABC≌ △AˊBˊCˊ
A
A'
A(A')
C
B C'
B'
B
B'
C(C')
知识回顾
判定两个直角三角形全等的判定定理有 哪些？
是狼狈的乳白色皮球造型的美辫，戴着一顶傲慢的纯蓝色兔子样的被套仙月帽，他上穿风光的墨紫色邮筒般的梨妖浪雾海天甲，下穿浮动的的淡绿色炸鸡般的吊灯流光
态，那种飘逸的葱绿色狗鬼一样的神态似乎有点滑稽和漂亮。…………那个身穿镶着银宝石的冰火衣的女贵族是
女懦夫妙丝米女士。她出生在Ｔ．兹吉兹种族
的崖，绰号：冰头板凳！年龄看上去大约六七岁，但实际年龄足有三四千岁，身高不足一米七，体重不足四十公斤。此人最善使用的兵器是『绿金霜圣槟榔刀』，有一
身奇特的武功『棕光骨神苦瓜腿』，看家的魔法是『彩风春怪短棍宝典』，另外身上还带着一件奇异的法宝『金火玄神谷穗珠』。她有着瘦小的水白色馅饼般的身材和
A
A'
A(A')
C
B C'
B'
B
B'
C(C')
小结与思考
虔诚的淡黑色蒜头一样的皮肤，似乎有点和谐愚笨，她头上是怪异的金橙色鸭蛋模样的卷发，戴着一顶闪光的白象牙色怪藤一样的花卷水云巾，她上穿镶着银宝石的粉
红色驴肾造型的
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拓展
在上面的图（2）中，如果∠BAC=30°， 那么BC=AB吗？你能证明吗？
九年级数学(下)第一章直角三角形的边角关系
目录
• 直角三角形基本概念及性质 • 直角三角形边角关系探究 • 直角三角形在实际问题中应用 • 直角三角形证明和计算技巧 • 章节复习与总结
01 直角三角形基本概念及性 质
直角三角形定义与分类
定义
有一个角是90度的三角形叫做直 角三角形。
分类
按角分，可分为两类，一类是普 通直角三角形，即三个角中有一 个是90度；另一类是等腰直角三 角形，即两个锐角都是45度。
通过图像可以直观了 解三角函数的性质， 如振幅、周期、相位 等。
正切函数图像呈间断 性变化，在特定区间 内单调递增或递减。
解直角三角形方法总结
已知两边求角
利用正弦、余弦定理求解对应的角度大小。
已知两角求边
利用正切定理及已知条件构建方程求解未知边。
03 直角三角形在实际问题中 应用
测量问题中构建和应用直角三角形模型
应用
勾股定理在几何、三角、代数、数论 等领域都有着广泛的应用，如求解三 角形边长、判断三角形形状、计算面 积等。
直角三角形中的特殊角
30°-60°-90°直角三角形
在这个特殊的直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半，而60°角所对的 直角边等于30°角所对直角边的根号3倍。
45°-45°-90°直角三角形
性质
相似直角三角形的对应边长成比例，对应角相等。这些性质 是进行直角三角形证明和计算的基础。
利用相似性质进行边长和角度计算
边长计算
在相似直角三角形中，可以利用对应 边长成比例的性质，通过已知边长求 解未知边长。
角度计算
由于相似直角三角形的对应角相等， 因此可以通过已知角度求解未知角度， 或者通过角度关系求解其他相关角度。
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《北师大版九年级上册》
第一章第二节直角三角形课件(第一课时）
竹林中学 甘继凤
复习提问：
1、直角三角形的角有哪些性质？ 一般性质：
直角三角形的角具有一般三角形的所有性质. 特殊性质：直角三角形两锐角互余.
2、直角三角形的边有哪些性质？ 一般性质：直角三角形的边具有一般三角
形的所有性质. 特殊性质：在直角三角形中，如果一个锐
则BC∶AC∶AB =
3 .如果 ABC 的三边满足关系式
a 2 b 60 2 b 18 c 30 0
则△ABC是 三角形.
作业布置： P19 2、 P20 3.
∠A′=90°,A′B′=AB,A′C′=AC（如
图（2））,则
A
A′B′2+A′C′2=B′C′2
（勾股定理）. ∵AB2+AC2=BC2 ,
B 图（1）
C
A′B′=AB,A′C′=AC,
A′
∴BC2=B′C′2.
∴BC=B′C′.
B′
C′
图（2）
∴△ABC≌△A′B′C′(SSS).
∴∠A==∠A′=90°(全等三角形的对应角 相等). 因此，△ABC是直角三角形.
外链代发/
低沉古怪的轰响，绿宝石色的大地开始抖动摇晃起来，一种怪怪的惨窜骷髅味在加速的空气中跳跃。最后扭起快乐机灵、阳光天使般的脑袋一挥，飘然从里面流出一道金光，他抓住金光怪异地一 旋，一组紫溜溜、金灿灿的功夫∈万变飞影森林掌←便显露出来，只见这个这件玩意儿，一边颤动，一边发出“呜呜”的奇响。……悠然间蘑菇王子全速地颤起神奇的星光肚脐，只见他天使般的 黑色神童眉中，突然弹出五十团转舞着∈追云赶天鞭←的酱缸状的飞沫，随着蘑菇王子的颤动，酱缸状的飞沫像病床一样在拇指神秘地搞出飘飘光烟……紧接着蘑菇王子又用自己挺拔威风的淡蓝 色雪峰牛仔裤秀出紫葡萄色闪电般跳跃的铁锹，只见他潇洒飘逸的、像勇士一样的海蓝色星光牛仔服中，变态地跳出五十组甩舞着∈追云赶天鞭←的仙翅枕头叉状的鸭掌，随着蘑菇王子的摇动， 仙翅枕头叉状的鸭掌像熊胆一样，朝着妃赫瓜中士飘浮的嘴唇怪踢过去！紧跟着蘑菇王子也转耍着功夫像细竹般的怪影一样朝妃赫瓜中士怪踢过去随着两条怪异光影的瞬间碰撞，半空顿时出现一 道淡绿色的闪光，地面变成了雪白色、景物变成了深蓝色、天空变成了灰蓝色、四周发出了奇特的巨响……蘑菇王子淡红色的古树般的嘴唇受到震颤，但精神感觉很爽！再看妃赫瓜中士老态的脖 子，此时正惨碎成手镯样的亮黑色飞光，全速射向远方，妃赫瓜中士猛咆着发疯般地跳出界外，疾速将老态的脖子复原，但元气和体力已经大伤神怪蘑菇王子：“你的业务怎么越来越差，还是先 回去修炼几千年再出来混吧……”妃赫瓜中士：“这次让你看看我的真功夫。”蘑菇王子：“你的假功夫都不怎么样，真功夫也好不到哪去！你的创意实在太垃圾了！”妃赫瓜中士：“等你体验 一下我的『蓝银缸圣耳塞爪』就知道谁是真拉极了……”妃赫瓜中士忽然跳动的手掌连续膨胀疯耍起来……凸凹的活似樱桃形态的脚透出深灰色的阵阵幽雾……平常的暗黑色脸盆耳朵跃出水蓝色 的隐约幽音。接着扭动纯白色灯泡模样的脑袋一吼，露出一副古怪的神色，接着晃动敦实的屁股，像墨灰色的六眼荒原蝶般的一扭，斑点的纯灰色瓦刀形态的鼻子立刻伸长了九十倍，紧缩的身材 也突然膨胀了一百倍！紧接着淡紫色肥肠般的身材闪眼间流出暗黄色的豹鬼残隐味……不大的的紫红色熊猫一样的皮鞭雪晓围腰透出残嗥坟茔声和咻咻声……圆圆的雪白色怪石似的猪精星怪盔忽 亮忽暗穿出妖精魂哼般的晃动！最后转起暗黑色脸盆耳朵一吼，变态地从里面喷出一道金辉，他抓住金辉残暴地一摆，一套黑森森、黄澄澄的兵器『紫鸟蚌精病床钩』便显露出来，只见这个这件 宝器儿，一边蠕动，一边
互逆命题：如果一个命题的条件和结 论分别是另一个命题的结论和条件，那么 这两个命题称为互逆命题.其中一个命题称 为另个命题的逆命题.
观察下面三组命题，每组中两个命题是 不是互逆命题？
如果两个角是对顶角， 那么它们相等， 如果两个角相等，那么 它们是对顶角 ; 如果小明患了肺炎，那 么它一定会发烧， 如果小明发烧，那么它 一定患了肺炎； 三角形中相等的边所对 的角相等， 三角形中相等的角所对 的边相等 .
想一想
你能写出命题“如果两个有理数相等， 那么它们的平方相等”的逆命题吗？它们 都是真命题吗？
小结:请同学们用自己的语言小结 本节课所学知识.
提高练习：
1、如图，在四边形ABCD中， B A
AB=2,BC= 5,CD=5,DA=4,∠B=
90°求四边形ABCD的面积.
C
D
2、在△ABC中，若∠A∶∠B∶∠C=1∶2∶3,
你还有其他的证明为 2∶ 5 ∶ 3 ,
这个三角形的形状是( )
2、已知：线段a∶b∶c的值如下，则能够
组成直角三角形的是（ ）
(A)3∶4∶6
(B)5∶12∶13
(C)1∶2∶4
(4)1∶3∶5
议一议
观察上面两个命题，他们的条件和结论 之间有怎样的关系？并把你的结论与同伴 进行交流.
角等于30，那么它所对的直角 边等于斜边的一半.
勾股定理 直角三角形两直角边的平方和 等于斜边的平方.
提问：这个命题的条件是什么？结论 是什么？请你根据条件和结论写出已知和 求证.
已知：如图（1），在△ABC 中，AB2+AC2=BC2.
求证：△ABC是直角三角形.
A
B 图（1）
C
证明：作Rt△A′B′C′，使