初一数学动点问题专练
七年级数学动点问题专题训练
1、如图，已知△ ABC 中，AB=AC=10厘米，BC=8厘米，点D 为AB 的中点. (1) 如果点P 在线段BC 上以3厘米/秒的速度由B 点向C 点运动，同时，点Q 在线段CA 上由C 点向A 点运动.
①若点Q 的运动速度与点P 的运动速度相等，经过1秒后，△ BPD 与厶CQP 是否全等，请说明理由；
②若点Q 的运动速度与点P 的运动速度不相等，当点 Q 的运动速度为多少时，能够使 △ BPD 与厶CQP 全等？ (2) 若点Q 以②中的运动速度从点C 出发，点P 以原来 的运动速度从点B 同时出发，都逆时针沿 △ ABC 三边运 动，求经过多长时间点P 与点Q 第一次在△ ABC 的哪条边 上相遇?
解：（1 ［①：t =1 秒， ??? BP =CQ =3 1 =3厘米,
??? AB =10厘米，点D 为AB 的中点，??? BD =5厘米. 又??? PC=BC-BP, BC =8厘米， ? PC =8-3=5厘米, ? PC =BD .
?经过80秒点P 与点Q 第一次在边 AB 上相遇.
3
2、( 09齐齐哈尔)直线y = _3x ? 6与坐标轴分别交于A 、B 两点，动点P 、Q 同时
4
从O 点出发，同时到达A 点，运动停止.点Q 沿线段OA 运动，速度为每秒1个 单
位长度，点P 沿路线O f B f A 运动.
又AB = AC ， ?匸B = C ，
? △ BPD CQP .
（4分）
②??? V p = V Q ,
BP = CQ ,
又??? △ BPD CQP ， B 二 C ， 则 BP = PC =4, CQ =BD =5，
???点
BP 4
P ，点Q 运动的时间t 二竺秒,
3
3
CQ
（7 分）
(2)设经过 x 秒后点
15
P 与点Q 第一次相遇，由题意，得 15^3x 2 10 ,
4
???点P 共运动了 80 3=80厘米.
3
?/ 80 =2 28 24 ,
???点P 、点Q 在AB 边上相遇,
（12 分）
（1） 直接写出A 、B 两点的坐标；
（2） 设点Q 的运动时间为t 秒，△ OPQ 的面积为S ，求出S 与t 之间的函数关系式;
⑶当S =48时，求出点p
的坐标，并直接写出以点
解（1） A （8，0） B （0，6） 1 分
（2）：?OA =8, OB =6
. AB =10
点Q 由O 到A 的时间是8 =8 （秒）
1
.点P 的速度是=2 （单位/秒） 1分
8
当P 在线段OB 上运动（或0 < t < 3 ）时，
OQ 二 t ， OP 二 2t S =t 2
当P 在线段BA 上运动（或3 :：: t < 8 ）时, 如图，作PD _OA 于点D ，由ED =竺，得PD =48
_6t
BO AB
5
S
冷OQ P ^-l t2 T t
3、如图，在平面直角坐标系中，直线I : y= — 2x — 8分别与X 轴，y 轴相交于A ， B 两点，点P （0，k ）是y 轴的负半轴上的一个动点，以 P 为圆心，3为半 径作O P.
（1） 连结PA 若PA=PB,试判断O P 与x 轴的位置关系，并说明理由； （2） 当k 为何值时，以O P 与直线I 的两个交点和圆心P 为顶点的三角形
是正三角形？
解:
蒂用图
边形的第四个顶点M 的坐标.
OQ =t ， AP =6 T0 _2t =16 _2t , （自变量取值范围写对给
⑶P 8，空
5，5 兰24
55I 1 M 2
1分，否则不给分.）
O 、P 、Q 为顶点的平行四
12
~~5
与y轴交于B (0,—8),
/? OA=4, OB8.
由题意，Of=—k, ??? PB=PA=8+k.
在Rt △ AOP中, k2+42=(8+ k)2,
? k=—3,「. OP等于O P的半径, ???O P与x轴相切. (2)设0 P与直线I交于C, D两点，连结PC PD当圆心P 在线段OB
上时，作PE! CD于E
?/△ PCD为正三角形，? DE=】CD=3, PD=3 ,
2 2
? PE=二.
2
?// AOB/ PEB=90°
/ ABO/ PBE
? △ AOB^ PEB
3、/3
? 卫,即4_ =丄,
AB PB 4.5 PB
3 15
…PB ,
2
?- PO 二BO —PB =8 —^15 ,
2
3届
?- P(0, 8),
2
? k="8.
2
当圆心P在线段OB延长线上时，同理可得R0, ——8),
2 ? k=—症—8,
2
.?.当k=3^5—8或k=—3空—8时，以O P与直线I的两个交点和圆心P为顶点的三
2 2
角形是正三角形.
4、如图1,在平面直角坐标系中，点O是坐标原点，四边形ABCO是菱形，点A 的坐标为(一3 , 4),
点C在x轴的正半轴上,直线AC交y轴于点M AB边交y 轴于点H.
(1)求直线AC的解析式；
(2)连接BM如图2,动点P从点A出发,沿折线ABC 方向以2个单位/ 秒的速度向终点C匀速运动,设厶PMB勺面积为S( S M 0),点P的运动时间为t 秒，求S与t之间的函数关系式(要求写出自变量t的取值范围)；
(3)在(2)的条件下,当t为何值时,/ MPBf/ BCC互为余角,并求此
时直线OP与直线AC所夹锐角的正切值.
解:
分
Ml
2分 1分
恥BC 詣凸5-竖2
B
E
Q
5k+b
=0
-
3L+b =4
日卫
BP=^
氛⑴过点A 作AE 丄i [轴 垂足为E (如图1)
vA(-3t 4) .\AE=4 0E=3 J +OA=VAE Z +OE 1 舟
Tis 边形 ABCO 菱形
/.OC=CB^BA=OA=5 .-.C(5(0)"
.皐扌BM 咔护功卜才 ,'S=-^-t+^-(0^Ky } 2 井
当F 点机C 边上酬时用为P] viOOtZKM OHS CM=CM /.AOMCaiBHC ￡MOC=￡MBC=9 .■S=yP|B -BM=J-(2t-5)^ +畤申冷) ⑶设OP 与肚相交于点6连接0WAC 于点K '/AAOtiABC .-^AOM=￡ABM
■/ZMPB+2.BCO=$O n
Z3AO 諾BCO
ZBAO+IAOEI^F .\ZMPB=Z,WH 會PJ S 在腿社运跚Jto 图2 V ZMFB=2.MBH V MHIFB 、 ;.PH=HB=2 ：.PA=AH-PH4 ,-.t=l - ?“ I 分 T AB#OC .'.iPAQ=￡OCQ ■.ZAQP^CQO MAQP7UJO ?琲誓扌 在RliAEC 中 也価乔叫耐=4VF 斤 .吩竽竖晋： 在 RliOHB 中 0B=VHBW =V W =2VI V ACIOB OK=KB AK=Ct ;.0K=VT AK=KC=2V T ,;QK=AK-AQ=^^ /J 当 PiS 左 BCitt 运酬农町■, ZBHM 5Z .?=W , 1 1 ；?iat￡Mra=l?i￡KBH '^-=^ 壽#
设饑扰蹦臓为:曲+b ■ 髀
也的髓蚪忙卜兮 ⑵由⑴帥融励（0寺）训: 嫌油P 点鮎验上运动时 由题解
0H=4
卄T 分
5、在 Rt △ ABC 中, Z C=90° AC = 3, AB = 5.点
y
7 P
H B
L \
E
0 CX i ］分
ffl2
1
7
y H B
R
o
K s
Y^L
1
'￡MFB=￡MBH
P 从点C 出发沿CA 以每秒1个单位长的速度向点A 匀速运动，到达点A 后立刻 以原来的速度沿AC 返回；点Q 从点A 出发沿AB 以每秒1个单位长的速度向点B 匀速运动?伴随着P 、Q 的运动，DE 保持垂直平分PQ 且交PQ 于点D,交折线
QBBGCP 于点E .点P 、Q 同时出发，当点Q 到达点B 时停止运动，点P 也随之 停止.设点P 、Q 运动的时间是t 秒(t >0).
(1) _____________________ 当t = 2时，AP = ________ ，点Q 到AC 的距离是 __________________________ ;
(2) 在点P 从C 向A 运动的过程中，求△ APQ 的面积S 与
t 的函数关系式；(不必写出t 的取值范围)
(3) 在点E 从B 向C 运动的过程中，四边形 QBED 能否成
为直角梯形？若能，求t 的值.若不能，请说明理由； (4) 当DE 经过点C 时，请直接写出t 的值.
解：(1) 1，8 ;
5
(2)作Q 吐AC 于点F ，如图3,
AQ = Cl = t ， — AP =3 _t .
???DEL PQ ??? PQL QB 此时/ AQP 90 °
由厶APQ^A ABC 得竺=竺
AC AB
即1 =3 1 .解得t .
3
5
8
②如图5，当PQ/ BC 时，DEL BC 四边形 QBE 是直角梯形. 此时/ APQ =90°
由厶AQP^^ ABC 得竺=竺 AB AC 即-E .解得t =& .
5
3 8
①点P 由C 向A 运动，DE 经过点C. 连接QC 作QG_BC 于点G 如图6.
2
2 1
2
3
2 ]
4 2 PC 二t ， QC 2
=QG 2
CG 2
=[ (5 -t)]
[4 (5 -t)].
5
5
由 PC 2
二QC 2
，得 t 2 二[3(5 -t)]2 [4 -4(5 -t)]2，解得 t 」.
5
5
2
得QF
t
-— . 4 ? QF =
t . 4 5 5
…S =
1
(3 -t 4
r-t ， 即S
2
5 (3)能.
①当 DE/ QB 时，如
图
4.
由厶AQ? ABC 2t 2
- 6t .
5 5
BC = .52
- 32 = 4， 四边形QBE ［是直角梯形.
图5
R