数列的通项公式的求法以及典型习题练习

数列的通项公式的求法以及典型习题练习
数列解题方法与研究顺序
一、累加法
累加法是最基本的两个数列解题方法之一，适用于广义的等差数列，即an+1=an+f(n)。

1.若an+1-an=f(n)（n≥2），且a2-a1=f(1)，则可得an+1-
a1=∑f(n)（k=1至n）。

例1：已知数列{an}满足an+1=an+2n+1，a1=1，求数列{an}的通项公式。

解：由题可知，f(n)=2n+1，故an+1-an=f(n)=2n+1，且a2-
a1=f(1)=3.
根据累加法得an+1-a1=∑f(n)=∑(2n+1)=n(n+1)+n= n^2+2n，即an=n^2+2n。

所数列{an}的通项公式为an=n^2+2n。

2.若an+1-an=f(n)，则可得an+1/an=f(n)。

例2：已知数列{an}满足an+1=an+2×3+1，a1=3，求数列{an}的通项公式。

解：由题可知，f(n)=2×3+1=7，故an+1-an=f(n)=7.
根据累乘法得an+1/an=f(n)=7，即an=3×7^(n-1)。

所以数列{an}的通项公式为an=3×7^(n-1)。

二、累乘法
累乘法是最基本的两个数列解题方法之二，适用于广义的等比数列，即an+1=f(n)×an。

1.若an+1/an=f(n)，则可得an+1/an=∏f(k)（k=1至n）。

例3：已知数列an=an-1/n，a1=2，求数列的通项公式。

解：由题可知，f(n)=1/n，故an+1/an=f(n)=1/n。

根据累乘法得an+1/an=∏f(k)=∏(1/k)=1/n。

即an=n!/n。

所以数列的通项公式为an=n!/n。

2.若an+1/an=f(n)，则可得an+1×an=f(n)。

例4：已知数列{an}满足an+1=2(n+1)5×an，a1=3，求数列{an}的通项公式。

解：由题可知，f(n)=2(n+1)5，故an+1/an=f(n)=2(n+1)5.
根据累乘法得
an+1×an=∏f(k)=∏2(k+1)5=2^(n+1)×3^(n(n+1)/2)，即
an=3^n×2^(n-1)。

所以数列{an}的通项公式为an=3^n×2^(n-1)。

三、待定系数法
待定系数法适用于an+1=qa(n)+f(n)的情况，基本思路是转化为等差数列或等比数列，因为数列的本质是一个函数，其定义域是自然数集的一个函数。

1.形如an+1=can+d（c≠1）型
1）若c=1时，数列{an}为等差数列；
2）若d=0时，数列{an}为等比数列；
3）若c≠1且d≠0时，数列{an}可以通过待定系数法求得通项公式。

2.形如an+1=qa(n)+f(n)（q≠1）型
可通过待定系数法转化为an+1-an=q(an-1-an)+f(n)，再利用累加法或累乘法求解。

例5：设n是首项为1的正项数列，且an+1/an+an/an+1=1（n=1，2，3，…），则它的通项公式是an=________。

解：将等式an+1/an+an/an+1=1化为an+1^2=an(an+1-an)，即an+1^2=an^2+an-an^2=an。

将an+1=an+1/an化为an+1^2=an(an+1)/an，即
an+1^2=an^2+an，即an+1^2-an^2=an。

根据待定系数法，假设an=n^2+an+b，则an+1=(n+1)^2+b，代入上式得2n+1=2n+b，解得b=1.
所以数列的通项公式为an=n^2+n+1.
为1，求数列{a
n
的通项公式。

首先，我们可以将递推公式改写为分式形式：
a
n 1
2a
n
a
2
a
n
a
1
1
将分式变换为倒数的形式，得到：1
a
n 1
1
2
a
n
1
a
1
1
再进行递推，得到：
1
a
n
1
2
n 1
a
1
1
2
n 1
因此，数列{a n
的通项公式为：a
n
2
n 1
的通项公式。

解：将递推式化简得4a n 2
4a
n 1
a
n
1，即a
n
4a
n 1
a
n 3
4.因此，设a
n
c
1
a
n 1
c
2
a
n 3
代入已知条件可得c 1
1/4，c
2
1/16.因此，a
n
1/4 a
n 1
1/16 a
n 3
且a
1
1，a
2
2，a
3
421/47/4.综上所述，数列{a n
的通项公式为a
n
1/4 a
n 1
1/16 a
n 3
且a
1
1，a
2
2，a
3
7/4.。