3变限积分函数的性质及其应用

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§3 变限积分函数的性质及其应用

由于定积分概念是利用极限工具给出的，所以利用定积分的定义计算定积分是十分困难的，有时甚至是不可能的。为了让定积分概念能得到实际应用，必须寻找简便有效的计算定积分的方法，那么我们必须探求定积分更加深刻的性质。本节将介绍两个重要的定理，通过沟通定积分与不定积分的关系，给出了一个解决定积分计算问题的有效途径。 3.1 变限积分

定积分有一个十分特殊而重要的性质，它对进一步考察微分和积分的关系起十分关键的作用。但需要先介绍一个概念：

注 由于

⎰⎰

-=x

b

b

x

dt t f dt t f )()(，因此，只要讨论变上限函数即可。

证 利用连续函数的定义及定积分的性质即可证得。

对[a ，b ]上的任一点x ，只要[],x x a b +∆∈，按照Φ的定义有 ()()x x x a

a

x x x fdt f dt +∆∆Φ=Φ+∆-Φ=-

⎰

⎰

。

又函数

)

(x f 在[a ， b ]上可积，则

)

(x f 在[a ， b ]上有界，即存在正数M ，对

一切[],x a b ∈有()f x M ≤。又当0x ∆≥时有

x x x x x x x

x

x

f d t f d t M d t

M x

+∆+∆+∆∆Φ=≤≤=∆⎰

⎰

⎰

。

405

又不难验证，当0x ∆<时，上述不等式M x ∆Φ≤∆仍然成立。从而有

lim 0x ∆→∆Φ=。这就证得Φ在[],a b 上的连续性。

3.2 微积分学基本定理

1 变限积分的可微性 ——微积分学基本定理

当函数得可积性问题获得解决后，接着是要找到一种计算定积分得有效方法。下面将通过揭示定积分与不定积分之间的内在联系来完成这一任务。下面的两个定理，由于所起的重要作用而被称为微积分学基本原理。

证 ],[b a x ∈∀，任取0≠∆x ，且],[b a x x ∈∆+，则

⎰

⎰

-

=

Φ-∆+Φ=∆Φ∆+x a

x x a

t d t f t d t f x x x )()()()(

⎰

⎰

⎰

⎰

∆+∆+=

-

+

=

x x x

x a

x x x

x a

t d t f t d t f t d t f t d t f )()()()(，

由积分中值定理知，存在ξ 介于x 与x +∆x 之间，使得

x f ∆=∆Φ)(ξ， 由于x x

→⇒→∆ξ0，再由导数定义及)

(x f 的连续性知

)()(l i m )(l i m l i m )(00x f f f x x x

x x ===∆∆Φ

=Φ'→→∆→∆ξξξ。 注 (1) 当],[b a C f ∈时， ⎰

=

Φx

a

dt

t f x )()(可导且在点∈x ] , [b a 的导数

恰为被积函数在上限的值。 亦即 )(x Φ是)(x f 的一个原函数。即连续函数必有原函数，因此定理1又称原函数存在定理。

(2) 变上限函数与分段函数有点类似，是一个难点，从而也是一个考试的热点，它常与极限、求导、最值等知识结合出现形成综合性的题目，应与重视。我们将这里拓宽一下。

若)(x ϕ可导，则)(x ϕ与变上限函数)(x Φ构成了复合函数⎰)

()(x a t d t f ϕ，由复

合函数求导法则知

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)()]([)()

(x x f t d t f dx d x a

ϕϕϕ'=⎰。 (3.2) 例3.1 设

⎰+=2

sin 2

1)(x

t dt

x f ，求

)6

(πf '。 解 ⎰+-=x

t dt

x f sin 22

1)(，2

21cos )(sin 11)(t x

x t x f +-='+-

='，3

5

2

)6(-

='πf 。

注 一般地有公式：

)()(])([)(x x f dt t f a

x ϕϕ'-='⎰；

(3.3)

)]

()([)(])([)

()(x x x f dt t f x x φϕϕφ'-'='⎰。 (3.4)

例3.2 设)(x f 在[0，+∞]内连续，且)(x f > 0，求证函数⎰⎰=x

x

dt

t f dt

t f t x F 00)()()(在

[0，+∞]内为单调增加函数。

证 ∀x >0，由)(x f >0，得0)(0>⎰x

dt t f ，所以)(x F 在(0，+∞)内有定义，且

2

002

000])([)()()(]

)([)()()()()(⎰⎰-=

⎰⎰-⎰=

'x

x

x

x

x dt t f dt

t f t x x f dt t f dt

t f t x f dt t f x xf x F 。

因)(x f >0， ⇒ 在),0(x 内 0))((>-t x t f ，又)((t

x t f -连续， ⇒

⎰

>-x

dt t x t f 0

0))((，⇒在区间) , 0 (∞+内0)(>'x F ⇒ )(x F 在区间) , 0 (∞+内

严格递增。

2 Newton — Leibniz 公式

证 已知函数)(x F 是连续函数)(x f 的一个原函数，又根据定理3.2知道，变上限函数⎰=Φx a t d t f x )()(也是)(x f 的一个原函数。于是这两个原函数之差为某个常数，即