第一章 结晶学基础

第一章 结晶学基础

例 题

1-1 作图阐明表示晶面符号的Miller 指数。

解： 图1-2的晶体，晶面XYZ 在三个结晶轴上的截距依次为OX 、OY 、OZ 。已知轴率为a ： b ： c 。该晶面在结晶轴上的截距系数为2a 、3b 、6c 。根据Miller 指数的含意则：

h ：k ：l ＝OX a ：OY b ：OZ c ＝a a 2：b b 3：c c

3＝3：2：1

因此，该晶面的晶面符号为（321）。

图1-2 例题1-1附图

1-2 在面心立方和体心立方中，最密排的平面的Miller 符号是什么？

解：在面心立方堆积中，有（100）、（010）和（001）三个面的对角线所所构成的平面是最密排的面。因此，它的Miller 符号为（111）。

在体心立方堆积中，由（001）面的对角线和c 轴构成的平面是最密排的面。因此，它的Miller 符号

为（110）。(答案是否唯一？)

1-3 金属铝为面心立方结构，晶胞参数为0.4049nm 求d （200）和d （220）各为多少？（d （200）为（200）面

之间的距离）。

解：d （200）为（200）面之间的距离，根据米氏符号的定义d （200）应为21

d （100）。因为铝是立方结构，因

此d （100）即为晶胞参数0.4049nm 。所以d （200）＝0.2025 nm 。

同理，(100))200(d 21d ＝。在立方体中，d （100） 为（001）面对角线的1/2 。根据几何关系可得：

)100(d 2

＝0.4049nm 所以d （100）＝0.2863nm ，则

(220)d d （220）＝0.1432nm 。 1-4 为何等轴晶系有原始、面心、体心格子，而没有单面心格子？

解：如果等轴晶系总存在单面心格子，那么等轴晶系所特有的4L 3对称要素将不再存在。因此单面心

格子不符合等轴晶系的对称特点，它不能存在于等轴晶系中。

1-5 图示为面心正交格子去掉上下单面心后的结点排列情况，该图在三维空间无限重复，能否形成一

空间点阵？

解：不能形成一空间点阵。根据空间点阵的基本特征可知，相互平行的行列，其结点间距必定相等。但图中AB 行列平行于ab 行列，它们的结点间距显然不同。因此，这个图在三维空间无限重复，并不能构成一空间点阵。

图1-3 例题1-5附图 图1-4 例题1-6附图

1-6 以NaCl 晶胞为例，说明面心立方紧密堆积总的八面体和四面体空隙的位置和数量。

解：在NaCl 晶体结构中，Cl -

为面心立方紧密堆积，Na +处于八面体空隙位置中。以NaCl 晶胞体中心

的Na +为例，它处于6个Cl -的八面体中心。晶胞中其它Na +的位置也就是八面体中心。因此，NaCl 晶胞中全部八面体的位置和数量为：体中心一个，每条棱的中心皆为八面体空隙位置。但属于单位晶胞的仅为1/4。位于棱中心的八面体空隙位置共有12个，因此，属于单位晶胞的这种空隙为12×41

＝3。加上体中心一个，单位晶胞中共有4个八面体空隙。

四面体空隙处于单位晶胞的体对角线方向，属于单位晶胞的共有8个四面体空隙。

NaCl 晶胞中，作为立方紧密堆积的Cl -

离子，在单位晶胞总共有4个。因此，这种紧密堆积中，质点

数与八面体空隙之比为1：1，与四面体空隙树之比为1：2。

1-7 有一个AB 型面心立方结构的晶体，密度为8.94g/cm 3，计算其晶胞参数和原子间距。

解：设该晶体的原子相对质量为M ，晶胞体积为V 。在面心立方紧密堆积晶胞中，原子数为n ＝4。据

此可求得晶胞体积： 32304743nm 6.02108.94nM M V M N ⨯⨯⨯＝

＝＝（）ρ

晶胞参数： 1/3337439.06nm a V M M 0＝＝＝（）

在面心立方密堆中原子半径与晶格参数之间有如下关系：

022a r ＝

式中r 为原子半径。设原子间距为d ＝2r 。

则 1/30d 2

nm 22M ＝（ 6.4（）

1-8 铝为一立方结构，a 0＝0.4049nm ，在一个厚度为0.005cm ，面积为25cm 2的薄片内有多少单位晶

胞？该薄片质量为0.3378g ，问该薄片有多少个铝原子构成？单位晶胞中有几个原子？

解：薄片得体积为：

V f ＝25×0.005＝0.125cm 3＝0.125×1021nm 3

单位晶胞的体积为：

V 0＝（0.4049）3＝0.06638nm 3

薄片内的单位晶胞数为：

n ＝V f / V 0＝0.125×1021/0.06638＝1.88×1021个

此外，可按质量计算薄片的Al 原子数。

已知薄片质量为0.3378g ，Al 原子相对质量为26.98。

按阿弗加德罗常数可得薄片中Al 原子数：

2321230.3378

0.3378 6.0210/26.987.531026.986.0210n ⨯⨯⨯⨯＝＝＝个

根据薄片中得原子数和单位晶胞数可求得单位晶胞中的铝原子数n Al 为：

n Al ＝7.53×1021/1.88×1021＝4

因此Al 的单位晶胞由4个原子构成，可知金属铝为面心立方结构。

1-9 对于具有面心立方结构和体心立方结构的同质多晶原子晶体，根据面心立方结构的原子半径，计

算转变成体心立方结构时的原子半径，假设晶体的体积不变。

解：面心立方结构的晶胞体积为：

33311V a ＝＝（）＝ 体心立方结构的晶胞体积为：

3332222V a ＝＝（）＝

面心立方和体心立方晶体的密度分别为：

ρ1＝n 1/V 1；ρ2＝n 2/V 2

已知晶型转变时体积不变，也即密度不变。

则 ρ1＝ρ2

n 1/V 1＝n 2/V 2

式中面心立方结构n 1＝4，体心立方结构n 2＝2，因此：

32264

1/32110.972r r r ＝＝

1-10 用晶体场理论解释FeCr 2O 4和Fe 3O 4分别为正型结构和反型尖晶石结构的原因。

解：在Fe[Cr 2]O 4晶体结构中，由表查得Cr 3+的八面体择位能OSPE 值为195.53J/mol ，而Fe 2+的八面

体择位能OSPE 值仅为16.33J/mol 。两者相比，Cr 3+的OSPE 值远大于Fe 2+的 OSPE 值，Cr 3+必然优先占有八面体空隙而成为正型尖晶石结构。

在Fe 3O 4晶体中，按尖晶石结构中得离子分布关系可写成Fe 3+[Fe 2+Fe 3+]O 4。由表查得，Fe 2+的OSPE

值为16.33J/mol ，而Fe 3+的OSPE 值等于0。因而，Fe 2+的OSPE 值大于Fe 3+的OSPE 值，Fe 2+占有八面体空隙，而Fe 3+只能占有四面体空隙和余下的一半八面体空隙，而成为反型尖晶石结构。