【公开课教案】人教A版高中数学必修四第一章1.2.1 任意角的三角函数教学设计

“任意角的三角函数”教学设计

一、教学内容解析

在角由“锐角”到“任意角”的推广过程中,研究的视角由“静态”到“动态”,同时研究的平台也由“平面图形”过渡到了“平面直角坐标系”.借助直角坐标系研究角,一方面引入象限角,使“角”的研究统一转化为“转动的边”的研究；另一方面也提供了用代数方法研究几何的思路.

“任意角三角函数”是“锐角三角函数”概念的因袭和扩张，但为什么要作这样的推广呢？更合适的理由是任意角三角函数是描述周期变化为重要数模型。

任意角三角函数是函数的下位概念,是刻划圆周运动规律的重要数学模型.“任意角三角函数”在圆周运动中,最基本、简单的情形是质点P绕着单位圆的圆心作匀速圆周运动,在此运动中,关键是抓住质点P的坐标（x,y）随旋转角θ的变化而变化的函数关系.这种关系是确定的,至于如何更好地表达,合理的命

y是θ的正切,名是非本质的内容.由于当角θ为锐角时,y是θ的正弦,x是θ的余弦,

x

因此可以以此为据,推广到任意角相应的三角函数定义.

引入锐角三角函数的概念,目的是为了研究三角形中的边角关系,因此定义侧重几何的角度,利用相似直角三角形的性质,得到锐角和三角形边与边的“比值”之间的确定关系；而引入任意角三角函数的概念,目的是为了研究周期变化现象,因此定义侧重代数的角度,在直角坐标系下,以单位圆为工具,得到角和它的终边与单位圆的交点坐标之间的确定关系.两者同时都是函数的下位概念,在弧度制下,归结为数集到数集的映射.

教材中对任意角三角函数的定义有两种——单位圆的定义和欧拉的传统定义[1].从任意角三角函数的使命看,单位圆的定义显得形式简单,便于研究性质,

同时借助圆周运动可以更直观地体现函数的周期性,某种意义上说,任意角三角函数就是圆的性质的几何表示.但两个定义本质相同,相互之间一点就通.

二、教学目标解析

1．理解任意角三角函数的定义,经历“单位圆法”定义三角函数的过程；

2．会用定义求特殊角的三角函数值,会求已知终边位置的角的三角函数值；

3．会从函数三要素的角度认识三角函数的对应法则、自变量、函数值；

4．体会定义三角函数过程中的数形结合、化归、数学模型等思想方法．

三、教学问题诊断分析

1．三角函数是一类特殊的函数,因此本节课侧重于在一般函数概念的指导下组织教学,让学生知道三角函数的是角与坐标（或比值）之间的对应关系.学生虽有锐角三角函数的概念,但其认识只停留在三角函数是反映直角三角形的角与边之间关系的层面上,有必要让学生从角与比值的对应角度重新认识.

2．锐角三角函数到任意角三角函数的推广,并非简单的特殊到一般意义上的推广,而是观念角度的变化,需要将直角三角形为载体的几何定义方式转化为以直角坐标系为载体的坐标定义方式.

3．将终边上的任意一点化归到单位圆上的点,不仅是求简,更是三角函数本质的体现,但学生的理解很难到位,需要在今后的学习中循序渐进.

4．在弧度制下（用单位圆的半径度量角）实现角的集合与实数集的一一对应,再实现数到坐标的对应,会造成一定的理解困难,为了突出重点,分散难点,本节课暂时不作过度的解释.

四、教学过程设计

(一)情景引入

游乐场内有一半径r=1米的摩天轮，中心位置O 距地面2米，点P 从初始位置A 出发（与O 处于同一水平位置），随着摩天轮逆时针转动5

π

α=后，相

对于地面的高度H 为多少？

当3

,4π

απ

α=

=

呢？

当旋转任意角α时，H 又如何用α表示呢？

设计意图：让学生清楚要用函数表示圆周运动的关键是把握圆周上点的坐标与相应角的数量关系，而研究往往从最熟悉、最简单的情形出发，在任意角是锐角的情形下，学生容易由数想形，构造直角三角形，并进一步由“特殊到一般”来猜想当锐角推广到任意角时结论也成立。 （二）概念探究

O

r=1

5

πα=

P M

2米

5

sin

2π

+=H 4

sin

2π

+=H 3

sin

2π

+=H α

sin 2+=H

建立平面直角坐标系，单位圆：中心在原点，以单位长度为半径的圆 把角α“放在”坐标系中，设角α的终边与单位圆交于点P （x,y ）,

锐角三角函数的另一种定义方式：设锐角α的终边与单位圆交于点P （x,y ）

定义：

(三)概念生成

任意角的三角函数定义

设α是一个任意角时，点P (x ,y )是α的终边与单位圆的交点，则y 就称为锐角α的正弦，x 就称为锐角α的余弦，x

y

就称为锐角α的正切. 记为sin α=y , c o s α=x ，x

y

=αtan

OM r

OM

==

αcos x

y

OM PM ==

αtan y =αsin x =αcos x

y =

αtan x

=r

正弦，余弦，正切都是以角为自变量，以单位圆上点的坐标或坐标的比值为函数值的函数，我们将它们称为三角函数.由于角的集合与实数集之间可以建立一一对应关系，三角函数可以看成是自变量为实数的函数.

设计意图：定义可以由教师明确给出，关键是让学生理解其合理性，理解概念的背景和生成过程.完整的概念生成后,再与已有相关知识建立联系,促进新旧知识的分化,加深新知识的理解. （四）概念应用

当摩天轮旋转任意角时，猜想点P 相对于地面的高度：

根据任意角三角函数的定义：

此时：H=2+y, 可以用来表示点P 相对于地面的高度。

任意角的三角函数可以用来描述客观世界中物体作”周而复始“运动时的变化规律。

设计意图：通过对前面猜想的合理的解释，让学生体会学习任意角的三角函数的意义，对后面学习三角函数的图像和性质打下基础。 （五）例题讲解

x

αsin 2+=H y

=αsin

例1 求π3

5

的正弦、余弦和正切值。

分析：根据定义求解，先利用锐角三角函数知识求出点

P 的坐标，再根据定义求解。

解：如图5，可知∠OPC=30o ，所以OC=2

1

，CP=

23，所以点P 的坐标是)2

3,21(-。 根据定义可得：

设计意图：巩固对定义的理解。

例2 已知角α的终边经过点P （－3，－4），求角α的正弦、余弦和正切值。 解: 作单位圆与α的终边交于点),(111

y x P 利用相似三角形可求出

只需计算：

变式1：已知角α的终边经过点P （－6，－8），求角α的正弦、余弦和正切值。

P 0(-3,-4)

O

y .

1

P 0

M 0

N 1

M 1

N 5

4,5311-

=-=y x 34tan =

α5

4

sin -

=α53cos -=α5

)4()3(2

20=-+-==OP r sin y αr

=

54-=cos x r α=5

3-=tan y

x α=34=

变式2：已知角α的终边经过点P （x ，y ），求角α的正弦、余弦和正切值。

设计意图：通过变式训练1,2，让学生总结规律，把任意角的三角函数的定义进行推广 定义推广：

设角α是一个任意角，P （x ，y ）终边上的任意一点，点P 与原点的距离

22y x r +=

那么：r y 叫做α的正弦，即r

y =

αsin r

x 叫做α的余弦，即r x =αcos

x

y 叫做α的正切，即x y

=αtan

（六）小结反思

（1）任意角的三角函数的定义及其推广； （2）利用三角函数的定义求三角函数值；

（3）三角函数是用来研究“周而复始”运动的一种函数. (七)目标检测

1.求π6

7

的正弦、余弦、正切值.

2.已知角α的终边在直线y =x 上,求角θ的三个三角函数值.

思考题：当α的终边落在不同象限时，三角函数值得符号怎么讨论？ （八）教学反思

任意角的三角函数定义的生成是一个逐步化归过程，即由直角三角形中边的比到直角坐标系中坐标比，再到单位圆上点的坐标定义三角函数，教学过程应充分考虑到这一点，从学生最近发展区出发，借助几何画板展示和层层递进的探究，使学生的学习建立在已有认知经验的基础上，对任意角的三角函数定义的理解才能全面、深刻，更好地完成本节课的教学目标。