18.5 相似三角形的判定 同步练习(含答案)

18.5 相似三角形的判定

基础能力训练 ◆相似三角形的判定

1.已知菱形ABCD 的边长是6,点E 在直线AD 上,DE=3,联结BE 与对角线AC 相交于点M,则

AM

MC

的值是______. 2.如图19－5－4所示,E 是平行四边形ABCD 的一边BA 延长线上的一点,CE 交AD 于点F,图中共有______对相似三角形,按对应顶点写出图中的相似三角形____________________.

3.如图19－5－5所示,已知△ABC 中,AB=AC,∠A=36°,BD 平分∠ABC,则BD=_______=_______.

4.如图19－5－6所示,∠l=∠2,若再增加一个条件就能使结论“AB·DE=AD·BC”成立,则这个条件可以是_______.

5.如图19－5－7所示,△ACD 和△ABC 具备下列哪个条件时,它们相似( ) A.

BC AB

CD AC = B.AC

BC AD CD = C.CB 2=AD ·BD D.AC 2=AD ·AB 6.用—个放大镜看一个直角三角形,该直角三角形的边长放大到原来

的5倍后,下列结论正确的是( ) A.每个内角是原来的5倍 B.周长是原来的5倍 C.面积是原来的5倍

D.两条直角边的比值是原来的5倍

7.下列条件能判别△ABC～△DEF 的是( )

A.AB=4 cm,AC=3.2 cm,DE=2 cm,DF=1.6 cm,∠B=∠E=50°

B.AB=6 cm,BC=9 cm,AC=7.5 cm,DE=8 cm,EF=12 cm.DF=10 cm

C.∠A=∠D=70°,∠B =50°,∠E=60°

D.∠B=∠E=90°,

EF

BC

DF AB =

8.某班在布置新年联欢会会场时,需要将直角三角形彩纸裁成长度不等的矩形纸条,如图19－5－8所示,在Rt△ABC 中,∠C =90°,AC=30 cm,AB=50 cm,依次裁下宽为1 cm 的纸条a 1、a 2、a 3、…,若使裁得的矩形纸条长度不小于5 cm,则每张直角三角形彩纸能裁成矩形纸条的条数为( )

A.24

B.25

C.26

D.27

9.已知,如图19－5－9,Rt△∠ABC 和Rt△A′B′C′中∠C=∠C′=90°,'

'''C A AC

B A AB =.△AB

C 与△A′B′C′是否相似,并说明理由.

10.如图19－5－10所示,四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点O,∠1=∠2,∠3=∠4,指出图中哪些三角形相似,并说明理由.

11.如图19－5－11所示,点C、D在线段AB上,△PCD是等边三角形.(1)当AC、CD、DB满足怎样的关系时,△ACP~△PDB?(2)当△ACP～△PDB 时,求∠APB.

12.如图19－5－12所示,在△ABC中,AH是BC边上的高,四边形DEFG 是△ABC的内接矩形,DG交AH于点I,则图中相似的三角形共有多少对?分别表示出来.

13.如果两个三角形中有两边和其中一边上的高对应成比例,则这两个三角形相似吗?

综合创新训练

◆创新训练

14.已知：如图19－5－13,在平面直角坐标系中,矩形AOBC有两个顶点的坐标分别是A(0,6),C(8,6),x轴的正半轴上有一动点E(E与B不重合),作直线AE交对角线OC于D,或AE与BC相交于点F.

当点E在O、B间运动到某些位置时,作直线AE后,图中会出现相似不全等的三角形,请你把这个相似三角形写出来：_______；当E点运动到B点的右边时,请你写出此时图中三对相似而不全等的三角形：__________________.

15.如图19－5－14所示,在△ABC中,AB=8 am,BC=16 cm,点P从点A 开始沿AB边向点B以2cm/s的速度移动,点Q从点B开始沿BC边向点C以4 cm/s的速度移动.如果P、Q分别从A、B同时出发,经过几秒钟△PBQ与原△ABC相似?

16.一个圆柱形油桶,半径为1米,高为1.5米,用一根2米长的木棒从

桶盖小口斜插桶内,另一端在小口处,抽出木棒后,量得上面没浸油的部分为1.2米,试求：

(1)油面的高度是多少?

(2)桶内有油多少升?(1立方分米=1升, 取3.14,取后结果精确到1升)

◆开放探索

17.如图19－5－15,在△ABC中,∠C=90°,P为AB上一点且点不与点A重合.过点P作PE⊥AB交AC边于E,点E不与点C重合.若AB=10,AC=8,设AP的长为x,四边形PECB的周长为y,试用x的代数式表示y.

参考答案

1答案：2或3

2 解析：当点E 在线段AD 上时，如图(1)，因为AB ∥CD ，所以△ABE～△DFE.所以ED

AE

DF AB =

，故DF=6.又因为△AMB ～△CMF ，所以

26

12

===AB CF AM MC . 当点E 在线段AD 的延长线上时，如图(2)，容易得到△BCM ～△EAM ， ∴

3

2

366=+==AE BC AM MC .

2答案：3 △EAF ～△EBC ，△EAF ～△CDF ，△EBC ～△CDF 3答案：BC AD

4答案：∠B=∠D ，或∠C=∠AED ，或AD ：AB=AE ：AC 解析：本题实质就是构造使△ADE 与△ABC 相似的条件. 5答案：D 解析：由AC 2=AD ·AB 可得AC

AB

AD AC =

.又∠A=∠A ，所以△ACD ～△ABC. 6答案：B

7答案：B 解析：因为4

3

===DF AC EF BC DE AB ，三边对应成比例，所以两三角形相似.

8答案：C 解析：设第n 条的长度恰好为5cm ，且该矩形纸条与AC 的交点为P 点，与AB 的交点为Q 点，则PQ=5cm ，设AP=x cm ，则△

APQ ～△ACB,得

BC

PQ AC AP =

，即405

30=x ，解得：x=3.75， ∴CP=30－x=26.25.∵矩形宽为1 cm ，取整数，可知矩形纸条为26条.

9答案：解析：相似，理由如下：∵

'

'''C A AC B A AB =,∴'''

'C A B A AC AB =

，两边平方，得22

22''''C A B A AC AB =，所以222222''''''C A C A B A AC AC AB -=-，由勾股定理得2

222C'A'''C B AC BC =，因为AC BC ，''''C A C B 均为正数，则C'A'''C B AC BC =，即'

'''C A AC C B BC =，而∠C=∠C ′=90°，故Rt △ABC ～Rt △A'B'C'.

10答案：解析：(1)△ABO ～△DCO ，因为∠1=∠2，∠AOB=∠DOC ，所以△ABO ～△DCO.

(2)△AOD ～△BOC ，由(1)知△ABO ～△DCO ，则CO

BO

DO AO =

.又因为∠AOD=∠BOC ，所以△AOD ～△BOC.

(3)△ACD ～△BCE ，由(2)知△AOD ～△BOC ，则∠DAO=∠CBO ，又因为∠3=∠4，所以△ACD～△BCE.

(4)△ABC ～△DEC ，因为∠3=∠4，所以∠3+∠ECO=∠4+∠ECO ，即∠BCA=∠ECD.又因为∠1=∠2，所以△ABC ～△DEC.

11答案：解析：(1)∵△PCD 是等边三角形，∴PC=CD=PD ，∠PCD=∠PDC=60°，即∠PCA=∠PDB=120°，∴只要满足BD

PC

PD AC =

，就有△ACP ～△PDB ，∴关系式为

BD

CD

CD AC =或CD 2=AC ·BD. (2)∵△ACP ～△PDB ，∴∠1=∠A ，∠2=∠B.又∵∠PDC=∠1+∠B=60°，∴∠1+∠2=60°，∴∠APB=∠1+∠2+∠CPD=60°+60°=120° 12答案：解析：7对，分别是△ADG～△ABC，△BDE～△BAH，△ADI～

△ABH，△ADI～△DBE，△AIG～△AHC，△AIG～△GFE，△GFC～△AHC. 13答案：解析：(1)当△ABC 和△A ′B ′C ′都是锐角三角形时，可得△ABC ～△A ′B ′C ′，如图①.

(2)当两个三角形都是直角三角形时，也可得△ABC ～△A'B'C'. (3)当两个三角形都是钝角三角形时，如图②，可得△ABC ～△A'B'C'. (4)当△ABC 为锐角三角形，△A ′B ′C ′为钝角三角形.虽然两个三角形有两边和其中一边上的高对应成比例，但两个三角形不相似.如图③.

14答案：△ADC ～△EDO △ADC ～△EDO ，△AOD ～△FCD ，△BEF ～△OEA ，△AFC ～△EAO 等等

15答案：解析：分两种情况，设经过x s △PBQ 与原△ABC 相似.

(1)△BPQ ～△BAC ，则

BC BQ BA BP =，即16

4828t

t =-得t=2s ；

(2)△BQP ～△BAC ，则BC BP

BA BQ =，即16

2884t t -=得t=0.8s. ∴经过0.8s 或2s 时，△PBQ 与原△ABC 相似. 16答案：(1)0.6米 (2)1 884升

17答案：解析：∵PE ⊥AB ，∠C=90°，∴∠EPA=∠C=90°.又∵∠A

为公共角，∴△AEP~△ABC ，∴BC

EP

AC AP AB AE =

=.又∵∠C=90°,AB=10，AC=8，可知BC=6.

∴

6

810PE x AE =

=，∴x PE 43=，x AE 45=，x EC 45

8-=， BP=10－x ，∴242

3

10645843+-=-++-+=x x x x y ,

∴242

3

+-=x y .

设点E 与点C 重合，有CP ⊥AB.又∠ACB=90°，∴CA 2=AP ·AB ，即

82=10AP ，解之，得5

32

=

AP ，故由P 点与A 点不重合，点E 与点C 不重合知x 的取值范围是0

.

∴y 与x 之间的关系式为:)5

32

0(2423<<+-=x x y .