微分中值定理的证明

2014届本科毕业论文（设计）

题目：微分中值定理的证明及其应学院：数学科学学院

专业班级：数学09-3班

学生姓名：迪丽尼格尔.艾来提

指导教师：依力夏提

答辩日期：2014年月日

新疆师范大学教务处

目录

1 引言 (2)

1.1 最大最小定理 ........................................................ 错误！未定义书签。

1.2介值性定理.............................................................. 错误！未定义书签。

1.3 根的存在性定理...................................................... 错误！未定义书签。

1.4一致连续性定理....................................................... 错误！未定义书签。

1.5 费马定理 ............................................................... 错误！未定义书签。

1.6有界性定理............................................................. 错误！未定义书签。

2 微分中值定理错误！未定义书签。

2.1 罗尔中值定理 ........................................................ 错误！未定义书签。

2.2拉格朗日中值定理.................................................. 错误！未定义书签。

2.3 柯西中值定理 ......................................................... 错误！未定义书签。

3 微分中值定理的证明..........................................................................................错误！未定义书签。

3.1 罗尔中值定理的证明.............................................. 错误！未定义书签。

3.2拉格朗日中值定理的证明 ....................................... 错误！未定义书签。

3.3 柯西中值定理的证明.............................................. 错误！未定义书签。

4 微分中值定理的证明的几何解释........................................错误！未定义书签。

4 . 1 罗尔中值定理的几何解释................................................................................................

4.2拉格朗日中值定理的几何解释.............................................. 错误！未定义书签。

4.3柯西中值定理的几何解释 ....................................... 错误！未定义书签。

5 微分中值定理之间的关系及其深层简述......................................错误！未定义书签。

6 微分中值定理的应用................................................. 错误！未定义书签。

7 总结 ..............................

微分中值定理的证明及其应用

摘要：微分中值定理不仅是微分学的基本定理，而且它是微分学的理论核心。

本文主要介绍微分中值定理在等式的证明，不等式的证明，方程根的存在性及其求近似值等中的应用。

关键词：辅助函数；等式证明；不等式证明；方程根存在性；近似值；

1. 引言

微分中值定理是微分学的基本定理，在数学分析中有重要的地位，在

微积分教学与研究中具有承前局后的作用，是研究函数在某个区间内的整体性质的有力工具。本文是以罗尔中值定理，拉格朗日中值定理和柯西中值定理三个定理为研究对象，主要介绍微分中值定理的若干推广和应用。 1.1预备知识

最大最小定理（定理4.6） 若函数)(x f 在闭区间[]b a ,上连续，则)(x f 在[]b a ,上有最大与最小值。

介值性定理（定理 4.7） 设函数)(x f 在闭区间[]b a ,上连续，且)()(b f a f ≠。若μ为介于)(a f 与)(b f 之间的任何实数〔)(a f ＜μ＜)(b f 或)(a f ＞μ＞)(b f 〕，则至少存在一点()b a x ,0∈,使得μ=)(0x f 。 根的存在定理 若函数)(x f 在闭区间[]b a ,上连续，且)(a f 与)(b f 异点（既)(a f ,)(b f ＜0）,则至少存在一点()b a x ,0∈，使得0)(0=x f ，既方程)(x f =0在()b a ,内至少有一个跟。

一致连续性定理（定理4.9） 若函数)(x f 在闭区间[]b a ,上连续，则

)(x f 在[]b a ,上一致连续。

费马定理 （定理5.3） 设函数)(x f 在点0x 的某领域内有定义，且在点0x 可导，若点0x 为的极值点，则必有0)(0=x f 。

有界性定理 若函数)(x f 在闭区间[]b a ,上连续,则)(x f 在[]b a ,上有界，既存在常数M ＞0，使得任意的[]b a x ,∈ 有︱)(x f ︳M ≤。 ⒉ 微分中值定理

2.1罗日（Rolle ）中值定理

若函数)(x f 满足如下条件：（ⅰ）)(x f 在闭区间[]b a ,上连续。（ⅱ）)

(x f