人教版八年级数学下册竞赛专题03 从算术到代数.doc
初中数学竞赛专题复习第一篇代数第章实数试题新人教版
第一篇代数第1章实数1．1实数的运算 1．1．1★计算：201320142014201420132013⨯-⨯．解析 将20142014及20132013分别分解为两数的积，得 201420142014100002014201410001-⨯+=⨯， 201320132013100002013201310001=⨯+=⨯，所以，原式201320141000120142013100010⨯⨯-⨯⨯==． 评注一般地有101abab ab =⨯；1001abcdc abc =⨯；10001abcdabcd abcd =⨯；…1.1.2★计算：12324671421135261072135⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯．解析 原式()()12312227771351222777⨯⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯25=． 1.1.3★计算：111122399100+++⨯⨯⨯． 解析原式111111991122399100100100⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-++-=-= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭． 评注 在做分数加减法运算时，根据特点，将其中一些分数适当拆开，使得拆开后有一些分数可以相互抵消，达到简化运算的目的，这种方法叫拆项法．本例中，我们把()11n n ⨯+拆成111n n -+，即有()11111n n n n =-⨯++． 其他常用的拆项方法如： (1)()11d n n d n n d =-⨯++()1111n n d d n n d ⎡⎤⎛⎫=-⎢⎥ ⎪⨯++⎝⎭⎢⎥⎣⎦或．它经常用于分母各因子成等差数列，且公差为d 的情形． (2)()()()()()1111122112n n n n n n n ⎡⎤=⨯-⎢⎥⨯+⨯+⨯++⨯+⎢⎥⎣⎦．1.1.4★计算：11111111111854108180270378504648810990+++++++++． 解析原式111111136699121215151818212124=++++++⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯111242727303033+++⨯⨯⨯ 111111336369⎛⎫⎛⎫=-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭111111391233033⎛⎫⎛⎫+-++- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭11110333399⎛⎫=-= ⎪⎝⎭．1111232349899100+++⨯⨯⨯⨯⨯⨯．解析因为()()()()()1111122112k k k k k k k ⎛⎫=- ⎪ ⎪+++++⎝⎭，所以 原式11111111121223223342989999100⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-++- ⎪ ⎪ ⎪⨯⨯⨯⨯⨯⨯⎝⎭⎝⎭⎝⎭11149492129910019800⎛⎫=-=⎪⨯⨯⎝⎭． 1.1.6★★计算：111112123123412100+++++++++++++．解析因为()121121211n n n n n ⎛⎫==- ⎪+++++⎝⎭，所以 原式2222233445100101=++++⨯⨯⨯⨯119922101101⎛⎫=-=⎪⎝⎭． 1.1.7★★设2221114834441004A ⎛⎫=⨯+++⎪---⎝⎭，求与A 最接近的正整数．解析 对于正整数3n ≥，有 211114422n n n ⎛⎫=- ⎪--+⎝⎭， 所以2221114834441004A ⎛⎫=⨯+++⎪---⎝⎭111111481429856102⎡⎤⎛⎫⎛⎫=⨯+++-+++ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦111111112123499100101102⎛⎫=⨯+++---- ⎪⎝⎭1111251299100101102⎛⎫=-⨯+++ ⎪⎝⎭．因为111141121299100101102992⎛⎫⨯+++<⨯< ⎪⎝⎭，所以，与A 最接近的正整数为25．1.1.8★★2008加上它的12得到一个数，再加上所得的数的13又得到一个数，再加上这次得数的14又得到一个数，…，依此类推，一直加到上一次得数的12008．最后得到数为111342009200820092008111200820170362320082320082⨯⎛⎫⎛⎫⎛⎫⨯+⨯+⨯⨯+=⨯⨯⨯⨯== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭．1111112233420122013++++⨯⨯⨯⨯．解析 因为111112233420122013++++⨯⨯⨯⨯1111112012112232012201320132013⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-++-=-= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 所以120131111201212233420122013=++++⨯⨯⨯⨯． 1.1.10★计算：123420072008S =-+-++-．解析()()()()()()10041234200720081111004S =-+-++-=-+-++-=-共个1.1.11★★计算：1223341920⨯+⨯+⨯++⨯．解析 因为1121233⨯=⨯⨯⨯，()1232341233⨯=⨯⨯-⨯⨯， ()1343452343⨯=⨯⨯-⨯⨯， ……()119201920211819203⨯=⨯⨯-⨯⨯， 所以 1223341920⨯+⨯+⨯++⨯ ()()111123234123192021181920333=⨯⨯⨯+⨯⨯-⨯⨯++⨯⨯-⨯⨯ 119202126603=⨯⨯⨯=． 1.1.12★★计算：123234345282930⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯++⨯⨯． 解析 123234345282930⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯++⨯⨯ ()()1111234234512342829303127282930444=⨯⨯⨯⨯+⨯⨯⨯-⨯⨯⨯++⨯⨯⨯-⨯⨯⨯ 1282930314188790=⨯⨯⨯⨯=． 1.1.13★★计算：21001111222++++．解析设21001111222S =++++，则 21001011111122222S =++++， 所以10111122S S -=-，故100122S =-． 评注一般地，对于求和：21n q q q ++++，我们常常采用如下方法，令21n S q q q =++++， 则21n n qS q q q q +=++++，于是11n S qS q +-=-， ()1111n q S q q+-=≠-．1.1.14★★计算：2101111333++++． 解析设2101111333S =++++，则210111111133333S =++++，所以 1111133S S -=-，1031223S =-⨯． 1.1.15★计算：1111111111112319992199821999231998⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫++++++-++++++⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭． 解析设111231999a =+++， 111231998b =+++， 则原式()()1111999a b a b a b =+-+=-=．1.1.16★★计算下列繁分数： 111111111131355-----（2008个减号）．解析 先耐心地算几步，从中发现规律．可将355113用字母a 代替（这样可以得到更一般的结论）．自下而上逐步算出111a a a--=， 1111111a a a a a--=-=---， ()111111a a a -=+-=--． 由此可见，每计算3步，a 又重新出现，即3是一个周期．而200836691=⨯+，所以，原式111a a a -=-=．特别地，在355113a =时，得出本题的答案是1132421355355-=．1.1.17★★比较1234248162n n nS =+++++与2的大小． 解析先将n S 中的每一个数拆成两数的差：13222=-，234424=-，345848=-，45616816=-，，112222n n n n n n -++=-． 所以，133445561222244881622n n n n n S -++⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-+-+-++- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭＝2222nn +-<， 好2n S <1.1.18★★★已知1166126713681469157010011651266136714681569a ⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=⨯⨯+⨯+⨯+⨯+⨯，问：a 的整数部分是多少？解析 我们只要估算出a 在哪两个相邻整数之间即可．1166126713681469157010011651266136714681569a ⨯+⨯+⨯+⨯+⨯⎛⎫=⨯ ⎪⨯+⨯+⨯+⨯+⨯⎝⎭()()()()()116511266113671146811569110011651266136714681569⨯++⨯++⨯++⨯++⨯+⎛⎫=⨯ ⎪⨯+⨯+⨯+⨯+⨯⎝⎭11651112661213671314681415691510011651266136714681569⨯++⨯++⨯++⨯++⨯+⎛⎫=⨯ ⎪⨯+⨯+⨯+⨯+⨯⎝⎭1112131415110011651266136714681569++++⎛⎫=+⨯ ⎪⨯+⨯+⨯+⨯+⨯⎝⎭100b =+．这里111213141510011651266136714681569b ++++⎛⎫=⨯ ⎪⨯+⨯+⨯+⨯+⨯⎝⎭，下面进一步估计b 介于哪两个相邻整数之间．111213141511121314151001001165126613671468156911651265136514651565b ++++++++⎛⎫⎛⎫=⨯<⨯ ⎪ ⎪⨯+⨯+⨯+⨯+⨯⨯+⨯+⨯+⨯+⨯⎝⎭⎝⎭()1112131415100100211121314156565++++=⨯=<++++⨯，111213141510011651266136714681569b ++++⎛⎫=⨯ ⎪⨯+⨯+⨯+⨯+⨯⎝⎭111213141510011691269136914691569++++⎛⎫>⨯ ⎪⨯+⨯+⨯+⨯+⨯⎝⎭()1112131415100100111121314156969++++=⨯=>++++⨯． 所以，12b <<，101102a <<．即a 的整数部分是101．1.1.19★★在数210，310，410，510，610，710，810，910的前面分别添加“+”或“-”，使它们的和为1，你能想出多少种方法？解析这8个有理数的分母都是10，只要2，3，4，5，6，7，8，9这8个整数的代数和为10即可，而23944+++=，所以添加“+”或“-”后，正数的和应为()12744102⎛⎫=+ ⎪⎝⎭．方法很多．如2345678911010101010101010+++++--=， 2345678911010101010101010-+++-++-=， 2345678911010101010101010-+-+++-=， 2345678911010101010101010-++-+-+=， 2345678911010101010101010+-+--++=等． 1.1.20★★计算()()()()()()()()()()444444444476415642364316439643641164196427643564++++++++++．解析 因为()()()()()244222222226416641681648482424a a a a a a a a a a a a +=++-=+-=++-+⎡⎤⎡⎤=++-+⎣⎦⎣⎦，所以，原式等于()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()222222222222222222225494134174214254294334374414145494134174214254294334374+++++⋅++++++++++⋅+++++2241433714+==+． 1.1.21★★★求和：242424241231001111221331100100++++++++++++．解析因为()()()22422221111k k k k k k k k ++=+-=-+++，所以 ()()24111121111kk k k k k k ⎛⎫=- ⎪ ⎪++-+++⎝⎭， 原原式111111120111211212319910011001011⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-++- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦115050121010110101⎛⎫=-=⎪⎝⎭． 1.1.22★★已知21122221nn n n na ++=--+，其中n 为正整数，证明： 1220131a a a +++<．解析 注意到()()1121121212121n n n n n na ++==-----， 所以 122013a a a +++22320132014111111212121212121=-+-++-------201411121=-<-．1.1.23★★★求下列分式的值：222222129911005000220050009999005000+++-+-+-+． 解析 由于()()()222210010050001001001005000k k k k k k -+-+---+ ()()()222222210022100100k k k k k k-=+=+--+．由此， 原式2222222222199495150110050009999005000494900500051510050005050005000⎛⎫⎛⎫=+++++ ⎪ ⎪-+-+-+-+-+⎝⎭⎝⎭99121992-=⋅+=． 评注 对通项的分子分母同乘2，发现可以首尾配对是本题的关键． 1.1.24★★设3333111112399S =++++，求4S 的整数部分． 解析对于2k =，3，，99，因为()()()32111112111k k k k k k k ⎛⎫<=- ⎪ ⎪-+-⎝⎭， 所以333111112399S <=++++11112299100⎛⎫<+- ⎪⨯⎝⎭54<， 于是有445S <<，故4S 的整数部分等于4．1.2实数与数轴 1.2.1★数a 、b 在数轴上对应的点如图所示，试化简a b b a b a a ++-+--．解析 由图可知0a <，0b >，而且由于a 点离原点的距离比b 点离原点的距离大，因此0a b +<．我们有a b b a b a a ++-+-- ()()()a b b a b a a =-++-+---()2a b b a b a --+-+--b =．评注本题由图，即数轴上a 、b 两点的位置，“读”得0a <，0b >，0a b +<等条件，从而去掉绝对值符号，解决问题．1.2.2★已知3x <-，化简：321x +-+． 解析这是一个含有多层绝对值符号的问题，可从里往外一层一层地去绝对值符号．原式()321x =+++（因为10x +<） ()3333x x =++=-+（因为30x +<）x x =-=-．1.2.3★若0x <，化简23x x x x---．解析因为0x <，所以30x -<，从而 x x =-，()333x x x -=--=-， ()333x x x x --=---=， 2233x x x x x x -=--=-=-．因此，原式33xx -==-． 评注根据所给的条件，先确定绝对值符号内的代数式的正负，然后化去绝对值符号．若有多层绝对值符号，即在一个绝对值符号内又含有绝对值符号（如本题中的分子2x x -），通常从最内层开始，逐层向外化去绝对值符号．1.2.4★化简：3121x x ++-． 解析本题是两个绝对值和的问题．解题的关键是如何同时去掉两个绝对值符号．若分别去掉每个绝对值符号，则是很容易的事．例如，化简31x +，只要考虑31x +的正负，即可去掉绝对值符号．这里我们是分13x -≥是一个分界点．类似地，对于21x -而言，12x =是一个分界点．为同时去掉两个绝对值符号，我们把两个分界点13-和12标在数轴上，把数轴分为三个部分（如图所示），即13x <-，1132x -<≤，12x ≥．32这样我们就可以分类讨论化简了．（1）当13x <-时，原式()()31215x x x =-+--=-；（2）当1132x -<≤时，原式()()31212x x x =+--=+；（3）当12x ≥时，原式()()31215x x x =++-=． 即15,31131212,3215,2x x x x x x x x ⎧<-⎪⎪⎪++-=+<⎨⎪⎪⎪⎩-当时;当-≤时当≥时评注 解这类题目，可先求出使各个绝对值等于零的变量字母的值，即先求出各个分界点，然后在数轴上标出这些分界点，这样就将数成分几个部分，根据变量字母的这些取值范围分类讨论化简，这种方法又称为“零点分段法”．1.2.5★设0a <，且ax a≤，试化简 12x x +--．解析 因为0a <，a a =-，所以1a a a a ==--．a x a≤，即1x -≤，所以 10x +≤，20x -<，因此()()1212x x x x +--=-+---⎡⎤⎣⎦123x x =--+-=-．1.2.6★★化简121x x --++． 解析先找零点．由10x -=得1x =．由120x --=即12x -=，得12x -=±， 从而1x =-或3x =．由10x +=得1x =-．所以零点共有1-，1，3三个．因此，我们应将数轴分成4个部分，即 1x <-，11x -<≤，13x <≤，3x ≥． 当1x <-时，原式()()121x x =---+-+⎡⎤⎣⎦ 11x x =----1122x x x =----=--． 当11x -<≤时，原式()12111x x x x =---++=--++1122x x x =+++=+． 当13x <≤，原式121x x =--++ 31x x =-++314x x =-++=． 当3x ≥时，原式121x x =--++ 313122x x x x x =-++=-++=-．即原式22,1,22,114,1322,3x x x x x x x --<-⎧⎪+-<⎪=⎨<⎪⎪-⎩≤≤≥评注 由于本例中含又重绝对值，采用零点分段法时，不要忘了考虑12x --的零点．1.2.7★★若245134x x x +-+-+的值恒为常数，求x 满足的条件及此常数的值． 解析要使原式对任何数x 恒为常数，则去掉绝对值符号，化简合并时，必须使含x 的项相加为零，即x 的系数之和为零，故本题只有2530x x x -+=一种情况．因此必须有4545x x -=-且1331x x -=-．故x 应满足的条件是450,310x x -⎧⎨-⎩≥≥ 解得1435x ≤≤．此时，原式()()2451347x x x =+---+=．1.2.8★★如果122y x x x =+-+-，且12x -≤≤，求y 的最大和最小值． 解析（1）当10x -<≤时，有122y x x x =+-+-()12223x x x x =++--=+，所以13y <≤． （2）当02x ≤≤时，有 ()12212232y x x x x x x x=+-+-=+---=-，所以13y -≤≤．综上所述，y 的最值是3，最小值是1-．1.2.9★★求代数式111213x x x ++-++的最小值．-11-13解析设111213y x x x =++-++，根据绝对值的几何意义，我们知道y 表示数轴上对应x 的点到对应12、11-、13-的点的距离之和，下面分类讨论：当12x ≥时，1325y x >+≥； 当13x -≤时，1225y x >-≥；当1312x -<<时，121325y x x -++=≥． 因此，当11x =-时，y 取最小值25．1.2.10★★如果m 为有理数，求代数式1356m m m m -+-++++的最小值．解析 分6m -≤，65m -<-≤，51m -<≤，13m <≤，3m >五个部分进行讨论．去掉绝对值符号，经过化简得到：当6m -≤时，原式47m =--，最小值为17； 当65m -<-≤时，原式25m =-+，最小值为15； 当51m -<≤时，原式15=，是一固定值；当13m <≤时，原式215m =+，最小值大于15； 当3m >时，原式47m =+，最小值大于15． 综上所述，原代数式的最小值为15．评注 此题还可以用绝对值的向何意义求解．本题就是要在数轴上找一点x ，使它到6-、5-、1、3的距离之和最小．这一点显然应在5-与1之间（包括这两点）的任意一点，它到6-、5-、1、3的距离之和为15，就是要求的最小值．1.2.11★★已知1x ≤，1y ≤，且 124k x y y y x =++++--，求k 的最大值和最小值．解析由题设条件知：11x -≤≤，11y -≤≤．于是10y +≥，240y x --<．所以 （1）当0x y +≤时，有 124k x y y y x =++++-- ()()124x y y y x =-+++---25y =-+，所以 37k ≤≤． （2）当0x y +≥时，有()12425k x y y y x x =+++---=+，所以 37k ≤≤．因此，k 的最大值是为7，最小值为3． 1.2.12★★已知26141y x x x =++--+，求y 的最大值．解析 首先使用“零点分段法”将y 化简，然后在各个取值范围内求出y 的最大值，再加以比较，从中选出最大者．有三个分界点：3-，1，1-．（1）当3x -≤时，()()()261411y x x x x =-+--++=-，由于3x -≤，所以14y x =--≤，y 的最大值是4-．（2）当31x --≤≤时，()()()26141511y x x x x =+--++=+，由于31x --≤≤，所以45116x -+≤≤，y 的最大值是6．（3）当11x -≤≤时，()()()2614133y x x x x =+---+=-+，由于11x -≤≤，所以0336x -+≤≤，y 的最大值是6．（4）当1x ≥时，()()()261411y x x x x =++--+=-+，由于1x ≥，所以10x -≤，y 的最大值是0． 综上可知，当1x =-时，y 取得最大值为6． 1.2.13★★★设a b c d <<<，求 x a x b x c x d -+-+-+-的最小值．解析 设a 、b 、c 、d 、x 在数轴上的对应点分别为A 、B 、C 、D 、X ，则x a -表示线段AX之长，同理，x b -，x c -，x d -分别表示线段BX ，CX ，DX 之长，现要求x a -，x b -，x c -，x d -这和的值最小，就是要在数轴上找一点X ，使该点到A 、B 、C 、D 四点距离之和最小．因为a b c d <<<，所以A 、B 、C 、D 的排列应如图所示：所以当X 在B 、C 之间时，距离和最小，这个最小值为AD BC +，即()()d a c b -+-． 1.2.14★★a 、b 为有理数，且a b a b +=-，试求ab 的值． 解析当0a b +≥时，由a b a b a b +=+=-得b b =-，故此时0b =．当0a b +<时，由()a b a b a b a b +=-+=--=-，得a a -=，故此时0a =． 所以，不管是0a b +≥还是0a b +<，a 、b 中至少有一个为0，因此，0ab =． 1.2.15★★若a 、b 、c 为整数，且19991a b c a-+-=，试计算c a a b b c -+-+-的值．解析因为a 、b 、c 均为整数，则a b -，c a -也应为整数，且19a b -，99c a -为两个非负整数，和为1，所以只能是190a b -=且991c a-=，① 或者191a b -=且990c a -=．②由①有a b =且1c a =±，于是1b c c a -=-=；由②有c a =且1a b =±，于是1b c a b -=-=．无论①或②都有1b c -=且1a b c a -+-=，所以 2c a a b b c -+-+-=．1.2.16★★★将1，2，…，100这100个正整数任意分成50组，每组两个数，现将每组的两个数中任一个数记为a ，另一个数记为b ，代入代数式()12a b a b -++中进行计算，求出其结果，50组都代入后可求得50个值，求这50个值的和的最大值．解析代数式()12a b a b -++的值就是a 、b 中的较大数，为保证所计算出的50个值之和最大，分组时不要把51，52，…，100这50个数中任两个分成一组即可．对于任意一组中的两个数a 、b ，不妨设a b >，则代数式()()1122a b a b a b a b a -++=-++=． 于是这50个值之和与大数a 有关，所以，这50个值的和的最大值为 51521003775+++=．1.2.17★★★设n 个有理数1x ，2x ，…，n x 满足()11,2,,i x i n <=，且121219nnx x x x x x +++=++++，求n 的最小值． 解析先估计n 的下界，由1i x <，及120n x x x +++≥，知12n n x x x >+++ 121919n x x x =++++≥，所以，20n ≥． 又当20n =时，取 0.95,1,3,5,,19,0.95,2,4,6,,20,i i x i =⎧=⎨-=⎩ 满足已知条件，所以，正整数n 的最小值为20． 1.3实数的判定1.3.1★★证明循环小数2.61545454 2.6154=是有理数．解析要说明一个数是有理数，其关键要看它能否写成两个整数比的形式．设2.6154x =，①两边同乘以100得100261.54264.5454x ==．② ②-①得99261.54 2.61258.93x =-=， 所以258939900x =． 既然x 能写成两个整数比的形式，从而也就证明了2.6154是有理数．1.3.2★★已知x 是无理数，且()()13x x ++是有理数，在上述假定下，分析下面四个结论是：（1）2x 是有理数；（2）()()13x x --是无理数； （3）()21x +是有理数； （4）()21x -是无理数． 哪些是正确的？哪些是错误的？ 解析取无理数2x ，这时()())13112x x ++==是有理数，而)2214x ==-1）不正确．仍取2x =，仿上可知结论（3）不正确．由于()()()()221343438138x x x x x x x x x x --=-+=-+-=++-，且()()13x x ++是有理数，8x 是无理数，故()()13x x --是无理数，即结论（2）正确．同样，由()()()211362x x x x -=++--，知结论（4）正确． 1.3.3)11112225n n -个个是有理数．解析 要证明所给的数能表示成mn （m ，n 为整数，0n ≠）的形式，关键是要证明()1111n -个2225n 个是完全平方数．()11112225n n -个个()1111110222105n n n +-=++⨯+个个1110110110210599n n n -+--=⨯+⨯⨯+()2111101021020459n n n ++=-+⨯-+ ()()22111010102510599n n n =+⨯+=+， 所以)131112225105nn n -=+个个．因为105n +与3)11112225n n -个个是有理数．1.3.4解析 要证明一个实数为无限不循环小数是一件极难办到的事．由于有理数与无理数共同组成了实数集，且二者是矛盾的两个对立面，所以，判定一个实数是无理数时，常常采用反证法．pq（p、q是互质的正整数），两边平方有222p q=，①所以p一定是偶数．设2p m=（m是正整数），代入①得2242m q=，222q m=，所以q也是偶数．p、q均为偶数和p与q是无理数．评注只要p就一定是无理数，这个结论的证明并不困难，请自行完成．1.3.5★★设n是有理数，则n必是完全平方数；反过来，如果n是有理数（而且是正整数）．qp=（p、q为互质的正整数），从而22np q=．①我们知道，任何一个平方数的质因数分解式中，每一个质因数的指数都是正偶数（反过来也成立）；而非平方（自然）数的质因数分解式中，至少有一个质因数的指数是奇数．由此可见，如果n不是完全平方数，那么无论n与2p有无相同的质因数，在2np的质因数分解式中，至少有一个质因数的指数是奇数，即2np不是平方数．这样①式不可能成立．所以，n是完全平方数．评注本题是一个重要的结论，它可作为定理使用，读者应熟悉它．有了这个结论，1.3.6★★设a、b解析由于负数不能开平方，故由题设知a、b都是非负整数．若0a=或0b=，易知结论成立．若a、b=2b a =-+，2a b+-．由所设a 、b从而a 是平方数，是整数．1.3.7★★求满足等式1=+的有理数x 、y ．解析把原式两边立方，得())23251632y y y =++．因x 、y 是有理数，故231625,32y x y y⎧+=⎪⎨=+⎪⎩ 解得22x =，2y =或22x =-，2y =-，易检验它们都满足原式． 1.3.8★★求满足条件的正整数a 、x 、y ． 解析将原式两边平方得 ax y -+-．①显然，a -x y +-为无理数．由①式变形为 2x y a +-=．假设0x ya +-≠()0k k ≠k ，所以有k =，两边平方得 262xy k =+，所以226xyk --．因为0k ≠，所以226xy k --是有理数，矛盾．所以0x y a +-=0． 所以,6.x y a xy +=⎧⎨=⎩0>，所以x y >，所以满足条件的正整数为：6x =，1y =，7a =或3x =，2y =，5a =．1.3.9★★若1122a b a b αα+=+（其中1a 、2a 、1b 、2b 为有理数，α为无理数），则12a a =，12b b =，反之，亦成立．解析 设法将等式变形，利用有理数不能等于无理数来证明．将原式变形为()1221b b a a α-=-．若12b b ≠，则2112a ab b α-=-．因为α是无理数，而2112a ab b --是有理数，矛盾．所以必有12b b =，进而有12a a =． 反之，显然成立．评注 本例的结论是一个常用的重要运算性质． 1.3.10★★设a 与b 是两个不相等的有理数，试判断实数是有理数还是无理数，并说明理由．解析是有理数，设其为A ，即A =．整理得a Ab +由1.3.9题知 a Ab =，1A =，即a b =，这与已知a b ≠是无理数．评注本例并未给出确定结论，需要解题者自己发现正确的结论．解这样的问题时，可以先找到一为有理数作为立足点，以其作为推理的基础．1.3.11★★★已知a 、b 是两个任意有理数，且a b <，求证：a 与b 之间存在着无穷多个有理数（即有理数集具有稠密性）．解析 只要构造出符合条件的有理数，题目即可被证明． 因为a b <，所以22a a b b <+<，所以2a ba b +<<． 设12a ba +=，1a 显然是有理数（因为a 、b 为有理数）．因为1a b <，所以，同理可证112a b a b +<<．设122a ba +=，2a 显然也是有理数，依此类推，设12n n ab a ++=，n 为任意正整数，则有12n a a a a b <<<<<<，且n a 为理数，所以在a 和b 之间存在无穷多个有理数．1.3.12★★★已知在等式ax bS cx d+=+中，a 、b 、c 、d 都是有理数，x 是无理数，问：（1）当a 、b 、c 、d 满足什么条件时，S 是有理数； （2）当a 、b 、c 、d 满足什么条件时，S 是无理数． 解析（1）当0a c ==，0d ≠时，bS d=为有理数． 当0c ≠时，有()ax b a bc adS cx d c c cx d +-==+++， 所以，只有当0bc ad -=，即ad bc =时，S 为有理数．故当0a c ==，且0d ≠；或0c ≠，且ad bc =时，S 为有理数． （2）当0c =，0d ≠，0a ≠时，a bS x d d=+为无理数． 当0c ≠时，有()a bc adS c c cx d -=++， 故只有当0bc ad -≠，即ad bc ≠时，S 为无理数．所以，当0c =，0a ≠，0d ≠；或0c ≠，ad bc ≠，S 为无理数．1.3.13★★已知a 、b 是两个任意有理数，且a b <，问是否存在无理数α，使得a b α<<成立？解析 因为a b <10>，所以))11a b <，)1b a <+．①又因为a b b <=+，所以a b +-<，即)1b a +<．②由①，②有)1b a <-+<，所以1b aa b -+<<． 取)122b ab a b α+-==()2a b b -=+因为b 、2a b -是有理数，且02a b -≠，所以2a bb -+即存在无理数α，使得a b α<<成立．1.3.14b ，求4321237620b b b b +++- 的值．解析 因为无理数是无限不循环小数，所以不可能把一个无理数的小数部分一位一位确定下来，这类涉及无理数小数部分的计算题，往往是先估计它的整数部分（这是容易确定的），然后再寻求其小数部分的表示方法．因为91416<<，即34<33b +，两边平方得 21496b b =++， 所以265b b +=．()()()()4324322222123762026366206620b b b b b b b b b b b b b +++-=+⋅+++-=+++- 2552010=+-=．1.3.15★★已知：p、q 是有理数，x =，且满足30x px q -+=，试求p q -的值． 解析将x =代入方程30x px q -+=，得30p q -+=⎝⎭，化简，得(2420p p q --+=． 因为p 、q 都是有理数，则 20,420p p q -=⎧⎨-+=⎩解方程组，得2,1.p q =⎧⎨=-⎩所以3p q -=．评注 本题应用到了性质：若a 、b 为有理数，p 为无理数，00a bp a b +=⇔==．1.3.16★★若n 为正整数，求证：必为无理数．解析 只需证4322221n n n n ++++为非完全平方数．而这只要证明它位于两个相邻的正整数的平方之间即可．因为()()()43224322432222212212n n n n n n nnn n n n n n ++++=+++++>++=+，又因为()2432432423222221232112221n n n n n n n n n n n n n n n ++++<++++=+++++=++， 所以()()222432222211n n n n n n n n +<++++<++．而()22n n +与()221n n ++是两个相邻的整数的完全平方数，它们之间一定没有完全平方数．因则对任意的正整数n ，数4322221n n n n ++++不可能是完全平方数，1.3.17★★★若m 、n 是正整数，a 、d 是实数，问是否存在三个不的素数p 、q 、r a =，a md =+a nd +？解析 假设存在三个不同的素数p 、q 、r a a md =+a nd =+．其中，a 、d 为实数，m 、n 是正整数．消去a 、d ，得mn=，即(m n -． ①①式的两边立方，得()3333m r n q m n p --=-．②将①式中的 (()3333mn m n m r n q m n p -=---．p 、q 、r a ，a md =+a nd =+．1.3.18★★★★设n a 是2222123n ++++的个位数字，1n =，2，3，…，求证：0．123na a a a 是有理数．解析 有理数的另一个定义是循环小数，即凡有理数都是循环小数，反之循环小数必为有理数．所以，要证1230.na a a a 是有理数，只要证它为循环小数．因此本题我们从寻找它的循环节入手．计算n a 的前若干个值，寻找规律：1，5，4，0，5，1，0，4，5，5，6，0，9，5，0，6，5，9，0，0，1，5，4，0，5，1，0，4，…．发 现：200a =，211a a =，222a a =，233a a =，…，于是猜想：20k k a a +=，若此式成立，说明120.na a a 是由20个数字组成循环节的循环小数，即120.0.15405104556095065900na a a =．下面证明20k k a a +=． 令()22212f n n =+++，当()()20f n f n +-是10的倍数时，表明()020f n +与()f n 有相同的个位数，而()()20f n f n +- ()()()2221220n n n =++++++()()2222102421220n n =+⋅++++．由前面计算的若干值可知：2221220+++是10的倍数，故20k k a a +=成立，所以120.na a a 是一个有理数． 1.3.19★★已知x y +、x y -、xy 、xy均为有理数，如果它们中有三个数相等，求x 、y 的值．解析 依题意，0y ≠，否则xy无意义． 若x y x y +=-，则0y =，矛盾． 所以x y x y +≠-．若0x =，则由x y xy +=或x y xy -=都得到0y =，矛盾．所以0xy ≠．因此，三个相等的代数式只能是：（1）x x y xy y +==或（2）xx y xy y -==．由,0x xy y x ⎧=⎪⎨⎪≠⎩得211y y =⇒=±． 当1y =时，由（1）得x y x +=，矛盾；由（2）得1x x -=，矛盾．所以1y ≠． 当1y =-时，由（1）得1x x -=-，21x =，12x =． 由（2）得1x x +=-，21x =-，12x =-．所以12x =±，1y =-．1.3.20★★★[]x 表示不超过实数x 的最大整数，令{}[]x x x =-．（1）找出一个实数x 满足{}11x x ⎧⎫+=⎨⎬⎩⎭；（2）证明：满足上述等式的x ，都不是有理数．解析 设[]x m =，{}x α=，1n x ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，1x β⎧⎫=⎨⎬⎩⎭，则m 、n 是整数，0α≤，1β<．由题设1αβ+=，所以11x m n m n xαβ+=+++=++， ()2110x m n x -+++=，(112x m n =++．令13m n ++=，则(132x =，再验证它满足 {}11x x ⎧⎫+=⎨⎬⎩⎭． （1）取x，则1x ，于是{}2x =-=，1x ⎧⎫=⎨⎬⎩⎭，所以 {}11x x ⎧⎫+==⎨⎬⎩⎭． （2）设x m α=+，1n x β=+，其中m 、n 是整数，0α≤，1β<．则1αβ+=，11x m n x+=++．于是()2110x m n x -+++=，(112x m n =++．当()214m n ++=时，1x =±，均不满足{}11x x ⎧⎫+=⎨⎬⎩⎭． 当()214m n ++>时，若()2214m n k ++-=，其中k 为正整数，则()()114m n k m n k ++-+++=．由于11m n k m n k ++-<+++，且1m n k ++-与1m n k +++同奇偶，所以12,12m n k m n k ++-=-⎧⎨+++=-⎩或12,12m n k m n k ++-=⎧⎨+++=⎩均不可能．故()214m n ++-不是完全平方数，从而x 是无理数． 1.3.21★★★★设a 、b 是实数，对所有正整数()2n ≥，n n a b +都是有理数，证明：a b +是有理数．解析 由题意，22a b +，33a b +，44a b +，…都是有理数．而n n a b +有如下“递推关系”：()()()2211n n n n n n a b a b a b ab a b +++++=++-+，所以()()()443322a b a b a b ab a b +=++-+， ()()()554433a b a b a b ab a b +=++-+，从中解出a b +即可．设x a b =+，y ab =，则有()()443322a b a b x a b y +=+-+， ()()554433a b a b x a b y +=+-+，消去y ，得()()()2224433a b a b a b x ⎡⎤++-+⎢⎥⎣⎦()()()()22553344a b a b a b a b =++-++．所以，当()()()22244330a b a b a b ++-+≠，即()0ab a b -≠时，()()()()()()()225533442224433a b a b a b a b x ababab++-++=++-+是有理数．当()0ab a b -=时，若a 、b 全为0，则结论成立；若a 、b 中恰有一个为0，不妨设0a =，则3322a b b a b +=+为有理数，从而a b b +=为有理数；若0a b -=，且a 、b 均不为0，则3322a b a b a b ab ++=+- ()()33222222a b a b a ba b +=--+++()33222a b a b +=+是有理数． 从而命题得证． 评注本题分析中给出的递推关系：()()()2211n n n n n n a b a b a b ab a b +++++=++-+非常重要．遇到涉及n n a b +类型的问题时，利用这一递推关系，可以帮助我们解题．1.3.22★★★★设A 是给定的正有理数．（1）若A 是一个三边长都是有理数的直角三角形的面积，证明：一定存在3个正有理数x 、y 、z ，使得2222x y y z A -=-=；（2）若存在3个正有理数x 、y 、z ，满足 2222x y y z A -=-=．证明：存在一个三边长都是有理数的直角三角形的三边长，a 、b 、c 都是有理数，且222a b c +=，12ab A =．若a b =，则222a c =，ca．这与a 、b 、c 都是有理数的假定矛盾，故a b ≠． 不妨设a b <，取2a b x +=，2c y =，2b az -=，则x 、y 、z 都是正有理数，且 ()2222142a b c x y ab A +--===， ()2222142c b a y z ab A ---===．（2）设三个正有理数x 、y 、z 满足2222x y y z A -=-=，则x y z >>．取a x z =-，b x z =+，2c y =，则a 、b 、c 都是正有理数，且()22222224a b x z y c +=+==，()221122ab x z =- ()()222212x y y z ⎡⎤=-+-⎣⎦ A =，即存在一个三边长a 、b 、c 都是正有理数的直角三角形，它的面积等于A ．。
八年级数学竞赛辅导资料及 答案(四) (3)
八年级数学竞赛辅导资料及答案（四）代数恒等式的证明甲内容提要证明代数恒等式，在整式部分常用因式分解和乘法两种相反的恒等变形，要特别注意运用乘法公式和等式的运算法则、性质。
具体证法一般有如下几种1．从左边证到右边或从右边证到左边，其原则是化繁为简。
变形的过程中要不断注意结论的形式。
2．把左、右两边分别化简，使它们都等于第三个代数式。
3．证明：左边的代数式减去右边代数式的值等于零。
即由左边－右边＝0可得左边＝右边。
4，由己知等式出发，经过恒等变形达到求证的结论。
还可以把己知的条件代入求证的一边证它能达到另一边，乙例题例1求证：3 n+2－2 n＋2＋2×5 n+2＋3 n－2 n＝10（5 n+1+3 n－2 n-1）证明：左边＝2×5×5 n+1＋（3 n+2+3 n）＋（－2 n+2 －2 n）＝10×5 n+1＋3 n(32+1)－2 n-1(23＋2) ＝10（5 n+1+3 n－2 n-1）=右边 又证：左边＝2×5 n+2＋3 n（32＋1）－2 n(22+1)＝2×5 n+2＋10×3 n－5×2 n右边＝10×5 n+1+10×3 n－10×2 n-1 ＝2×5 n+2＋10×3 n－5×2 n∴左边＝右边例2 己知:a+b+c=0 求证：a3+b3+c3=3abc证明：∵a3+b3+c3－3abc＝（a+b+c）（a2+b2+c2－ab－ac－bc）(见19例1)∵:a+b+c=0 ∴a3+b3+c3－3abc＝0 即a3+b3+c3=3abc又证：∵:a+b+c=0 ∴a=－（b+c）两边立方 a3=－（b3+3b2c+3bc2+c3）移项 a3＋b3+c3＝－3bc(b+c)＝3abc再证：由己知 a=－b－c 代入左边,得（－b－c）3+ b3+c3＝－（b3+3b2c+3bc2+c 3）+b3+c3＝－3bc(b+c)=－3bc(－a)＝3abc例3 己知a+,a≠b≠c 求证：a2b2c2=1证明：由己知a-b= ∴bc=b-c= ∴ca= 同理ab=∴ab bc ca＝＝1 即a2b2c2=1例4 己知:ax2+bx+c是一个完全平方式（a,b,c是常数）求证：b2－4ac=0证明：设:ax2+bx+c＝（mx+n）2， m,n是常数那么:ax2+bx+c＝m2x2+2mnx+n2根据恒等式的性质 得 ∴: b2－4ac＝（2mn）2－4m2n2=0丙练习201．求证：①(a+b+c)2+(a+b-c)2－(a-b-c)2－(a-b-c)2＝8ab②（x+y）4+x4+y4=2(x2+xy+y2)2 ③(x-2y)x3－(y-2x)y3=(x+y)(x-y)3④3 n+2+5 n+2―3 n―5 n=24(5 n+3 n-1) ⑤a5n+a n+1=(a3 n－a2 n+1)(a2 n+a n+1)2.己知：a2+b2=2ab 求证：a=b3.己知：a+b+c=0求证：①a3+a2c+b2c+b3=abc ②a4+b4+c4=2a2b2+2b2c2+2c2a24.己知：a2=a+1 求证：a5=5a+35.己知：x＋y－z=0 求证： x3+8y3=z3－6xyz6.己知：a2+b2+c2=ab+ac+bc 求证：a=b=c7.己知：a∶b=b∶c 求证：（a+b+c）2+a2+b2+c2=2(a+b+c) (a+c)8.己知：abc≠0，ab+bc=2ac 求证：9．己知： 求证：x+y+z=010.求证：（2x－3）（2x+1）(x2－1)＋1是一个完全平方式11己知：ax3+bx2+cx+d能被x2+p整除求证：ad=bc参考答案1. ④左边＝5 n(5 2-1)+3 n－1(33-3)= 24(5 n+3 n-1) 注意右边有3 n-12. 左边－右边＝（a-b）23. ②左边－右边＝（a2+b2-c2）2-4a2b2=……4. ∵a5=a2a2a,用a2=a+1代入5. 用z=x+2y代入右边6. 用已知的（左－右）×27. 用b2=ac分别代入左边，右边化为同一个代数式8. 在已知的等式两边都除以abc9. 设三个比的比值为k,10. (2x2-x-2)2 11. 用待定系数法。
八年级数学竞赛试题及参考答案
八年级数学竞赛试题及参考答案八年级数学竞赛试题(一)一、选择题（每小题5分，共30分） 1．已知2220082008,2ca b a b c k k +=-==++=，且那么的值为（ ）． A ．4 B ．14 C ．－4 D ．14- 2．若方程组312433x y k x y k x y x y +=+⎧<<-⎨+=⎩的解为，，且，则的取值范围是（ ）． A ．102x y <-<B ．01x y <-<C ．31x y -<-<-D ．11x y -<-< 3．计算：2399100155555++++++=（ ）．A ．10151- B ．10051- C ．101514- D ．100514-4．如图，已知四边形ABCD 的四边都相等，等边△AEF 的顶点E 、F 分别在BC 、CD 上，且AE=AB ，则∠C=（ ）． A ．100° B ．105° C ．110° D ．120°5．已知5544332222335566a b c d a b c d ====，，，，则、、、的大小关系是（ ）． A ．a b c d >>> B ．a b d c >>> C ．b a c d >>> D ．a d b c >>> 6．如果把分数97的分子、分母分别加上正整数913a b 、，结果等于，那么a b +的最小 值是（ ）．A ．26B ．28C ．30D ．32 二、填空题：（每小题5分，共30分）（第4题图）DCB（第15题图）EDCBA7．方程组200820092007200720062008x y x y -=⎧⎨-=⎩的解是 ．8．如图，已知AB 、CD 、EF 相交于点O ，EF ⊥AB ，OG 为∠COF 的平分线，OH 为∠DOG 的平分线，若∠AOC ：∠COG=4：7，则∠GOH= ．9．小张和小李分别从A 、B 两地同时出发，相向而行，第一次在距A 地5千米处相遇，继续往前走到各地（B 、A ）后又立即返回，第二次在距B 地4千米处两人再次相遇，则A 、B 两地的距离是 千米．10．在△ABC 中，∠A 是最小角，∠B 是最大角，且2∠B=5∠A ，若∠B 的最大值为m °，最小值为n °，则m °+n °= ．11．已知21()()()04b c b c a b c a a a+-=--≠=，且，则 ． 12．设p q ，均为正整数，且7111015p q <<，当q 最小时，pq 的值为 ． 以下三、四、五题要求写出解题过程． 三、（本题满分20分）13．在一次抗击雪灾而募捐的演出中，晨光中学有A 、B 、C 、D 四个班的同学参加演出，已知A 、B 两个班共16名演员，B 、C 两个班共20名演员，C 、D 两个班共34名演员，且各班演员的人数正好按A 、B 、C 、D 次序从小到大排列，求各班演员的人数． 四、（本题满分20分）14．已知2211x x y y x y =+=+≠，，且． ⑴ 求证：1x y +=． ⑵ 求55x y +的值．五、（本题满分20分）15．如图，在△ABC 中AC ＞BC ，E 、D 分别是AC 、BC 上的点，且∠BAD=∠ABE ，AE=BD ．求证：∠BAD=12∠C ．G（第8题图）HOFED CBA参考答案一、选择题1．A 2．B 3．C 4．A 5．A 6．B 二、填空题： 7、21x y =⎧⎨=⎩ 8、72.5° 9、11 10、175° 11、2 12、68213、解：依题意得：A+B=16，B+C=20，C+D=34∵A ＜B ＜C ＜D ，∴A ＜8，B ＞8，B ＜10，C ＞10，C ＜17，D ＞17 由8＜B ＜10且B 只能取整数得，B=9 ∴C=11，D=23，A=7答：A 、B 、C 、D 各班演员人数分别是7人、9人、11人、23人。
初中数学竞赛代数专题讲义之代数式求值含例题习题及详解
代数式求值由数与字母经有限次代数运算（加、减、乘、除、乘方、开方）所组成的表达式叫做代数式。
已知一个代数式，把式中的字母用给定数值代替后，运算所得结果叫做在字母取给定数值时代数式的值。
一、专题知识1.基本公式（1）立方和公式：2233()()a b a ab b a b +-+=+（2）立方差公式：2233()()a b a ab b a b-++=-（3）完全立方和：33223()33a b a a b ab b +=+++（4）完全立方差：33223()33a b a a b ab b -=-+-2.基本结论（1）33322()33a b a b a b ab +=+--（2）33322()33a b a b a b ab -=-+-（3）22()()4a b a b ab-=+-二、经典例题例题1已知y z x z x yx y z+++==求代数式y z x +的值。
【解】（1）0x y z ++≠，由等比性质得2()2x y z y zx y z x+++==++；（2）0x y z ++=，则y z x +=-，所以1y zx+=-。
例题2已知234100x y +-=，求代数式y x x y xy y x x 65034203152223--++++的值。
【解】32221532043506x x y xy y x x y++++--322222215205034103410105(3410)(3410)(3410)1010x xy x x y y y x y x x y y x y x y =+-++-++-+=+-++-++-+=例题3实数,,a b c满足条件：231224a b ab -=+=-，求代数式2a b c ++的值。
【解】22222442318224a b a ab b ab c ab ⎧-=⇒-+=⎪⎨+=-⇒+=-⎪⎩两式相加得，()2220a b ++=只有2=0a b +且0c =，所以20a b c ++=。
初中数学竞赛代数部分分类
第一讲因式分解(一)多项式的因式分解是代数式恒等变形的基本形式之一，它被广泛地应用于初等数学之中，是我们解决许多数学问题的有力工具．因式分解方法灵活，技巧性强，学习这些方法与技巧，不仅是掌握因式分解内容所必需的，而且对于培养学生的解题技能，发展学生的思维能力，都有着十分独特的作用．初中数学教材中主要介绍了提取公因式法、运用公式法、分组分解法和十字相乘法．本讲及下一讲在中学数学教材基础上，对因式分解的方法、技巧和应用作进一步的介绍．1．运用公式法在整式的乘、除中，我们学过若干个乘法公式，现将其反向使用，即为因式分解中常用的公式，例如：(1)a2-b2=(a+b)(a-b)；(2)a2±2ab+b2=(a±b)2；(3)a3+b3=(a+b)(a2-ab+b2)；(4)a3-b3=(a-b)(a2+ab+b2)．下面再补充几个常用的公式：(5)a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca=(a+b+c)2；(6)a3+b3+c3-3abc=(a+b+c)(a2+b2+c2-ab-bc-ca)；(7)a n-b n=(a-b)(a n-1+a n-2b+a n-3b2+…+ab n-2+b n-1)其中n为正整数；(8)a n-b n=(a+b)(a n-1-a n-2b+a n-3b2-…+ab n-2-b n-1)，其中n为偶数；(9)a n+b n=(a+b)(a n-1-a n-2b+a n-3b2-…-ab n-2+b n-1)，其中n为奇数．运用公式法分解因式时，要根据多项式的特点，根据字母、系数、指数、符号等正确恰当地选择公式．例1分解因式：(1)-2x5n-1y n+4x3n-1y n+2-2x n-1y n+4；(2)x3-8y3-z3-6xyz；(3)a2+b2+c2-2bc+2ca-2ab；(4)a7-a5b2+a2b5-b7．解(1)原式=-2x n-1y n(x4n-2x2n y2+y4)=-2x n-1y n[(x2n)2-2x2n y2+(y2)2]=-2x n-1y n(x2n-y2)2=-2x n-1y n(x n-y)2(x n+y)2．(2)原式=x3+(-2y)3+(-z)3-3x(-2y)(-Z)=(x-2y-z)(x2+4y2+z2+2xy+xz-2yz)．(3)原式=(a2-2ab+b2)+(-2bc+2ca)+c2＝(a-b)2+2c(a-b)+c2=(a-b+c)2．本小题可以稍加变形，直接使用公式(5)，解法如下：原式=a2+(-b)2+c2+2(-b)c+2ca+2a(-b)=(a-b+c)2(4)原式=(a7-a5b2)+(a2b5-b7)=a5(a2-b2)+b5(a2-b2)=(a2-b2)(a5+b5)=(a+b)(a-b)(a+b)(a4-a3b+a2b2-ab3+b4)=(a+b)2(a-b)(a4-a3b+a2b2-ab3+b4)例2分解因式：a3+b3+c3-3abc．本题实际上就是用因式分解的方法证明前面给出的公式(6)．分析我们已经知道公式(a+b)3=a3+3a2b+3ab2+b3的正确性，现将此公式变形为a3+b3=(a+b)3-3ab(a+b)．这个式也是一个常用的公式，本题就借助于它来推导．解原式=(a+b)3-3ab(a+b)+c3-3abc=［(a+b)3+c3］-3ab(a+b+c)=(a+b+c)［(a+b)2-c(a+b)+c2]-3ab(a+b+c)=(a+b+c)(a2+b2+c2-ab-bc-ca)．说明公式(6)是一个应用极广的公式，用它可以推出很多有用的结论，例如：我们将公式(6)变形为a3+b3+c3-3abc显然，当a+b+c=0时，则a3+b3+c3=3abc；当a+b+c＞0时，则a3+b3+c3-3abc ≥0，即a3+b3+c3≥3abc，而且，当且仅当a=b=c时，等号成立．如果令x=a3≥0，y=b3≥0，z=c3≥0，则有等号成立的充要条件是x=y=z．这也是一个常用的结论．例3分解因式：x15+x14+x13+…+x2+x+1．分析这个多项式的特点是：有16项，从最高次项x15开始，x的次数顺次递减至0，由此想到应用公式a n-b n来分解．解因为x16-1=(x-1)(x15+x14+x13+…x2+x+1)，所以说明在本题的分解过程中，用到先乘以(x-1)，再除以(x-1)的技巧，这一技巧在等式变形中很常用．2．拆项、添项法因式分解是多项式乘法的逆运算．在多项式乘法运算时，整理、化简常将几个同类项合并为一项，或将两个仅符号相反的同类项相互抵消为零．在对某些多项式分解因式时，需要恢复那些被合并或相互抵消的项，即把多项式中的某一项拆成两项或多项，或者在多项式中添上两个仅符合相反的项，前者称为拆项，后者称为添项．拆项、添项的目的是使多项式能用分组分解法进行因式分解．例4分解因式：x3-9x+8．分析本题解法很多，这里只介绍运用拆项、添项法分解的几种解法，注意一下拆项、添项的目的与技巧．解法1将常数项8拆成-1+9．原式=x3-9x-1+9=(x3-1)-9x+9=(x-1)(x2+x+1)-9(x-1)=(x-1)(x2+x-8)．解法2将一次项-9x拆成-x-8x．原式=x3-x-8x+8=(x3-x)+(-8x+8)=x(x+1)(x-1)-8(x-1)=(x-1)(x2+x-8)．解法3将三次项x3拆成9x3-8x3．原式=9x3-8x3-9x+8=(9x3-9x)+(-8x3+8)=9x(x+1)(x-1)-8(x-1)(x2+x+1)=(x-1)(x2+x-8)．解法4添加两项-x2+x2．原式=x3-9x+8=x3-x2+x2-9x+8=x2(x-1)+(x-8)(x-1)=(x-1)(x2+x-8)．说明由此题可以看出，用拆项、添项的方法分解因式时，要拆哪些项，添什么项并无一定之规，主要的是要依靠对题目特点的观察，灵活变换，因此拆项、添项法是因式分解诸方法中技巧性最强的一种．例5分解因式：(1)x9+x6+x3-3；(2)(m2-1)(n2-1)+4mn；(3)(x+1)4+(x2-1)2+(x-1)4；(4)a3b-ab3+a2+b2+1．解(1)将-3拆成-1-1-1．原式=x9+x6+x3-1-1-1=(x9-1)+(x6-1)+(x3-1)=(x3-1)(x6+x3+1)+(x3-1)(x3+1)+(x3-1)=(x3-1)(x6+2x3+3)=(x-1)(x2+x+1)(x6+2x3+3)．(2)将4mn拆成2mn+2mn．原式=(m2-1)(n2-1)+2mn+2mn=m2n2-m2-n2+1+2mn+2mn=(m2n2+2mn+1)-(m2-2mn+n2)=(mn+1)2-(m-n)2=(mn+m-n+1)(mn-m+n+1)．(3)将(x2-1)2拆成2(x2-1)2-(x2-1)2．原式=(x+1)4+2(x2-1)2-(x2-1)2+(x-1)4=［(x+1)4+2(x+1)2(x-1)2+(x-1)4]-(x2-1)2=［(x+1)2+(x-1)2]2-(x2-1)2=(2x2+2)2-(x2-1)2=(3x2+1)(x2+3)．(4)添加两项+ab-ab．原式=a3b-ab3+a2+b2+1+ab-ab=(a3b-ab3)+(a2-ab)+(ab+b2+1)=ab(a+b)(a-b)+a(a-b)+(ab+b2+1)=a(a-b)［b(a+b)+1]+(ab+b2+1)=[a(a-b)+1](ab+b2+1)=(a2-ab+1)(b2+ab+1)．说明(4)是一道较难的题目，由于分解后的因式结构较复杂，所以不易想到添加+ab-ab，而且添加项后分成的三项组又无公因式，而是先将前两组分解，再与第三组结合，找到公因式．这道题目使我们体会到拆项、添项法的极强技巧所在，同学们需多做练习，积累经验．3．换元法换元法指的是将一个较复杂的代数式中的某一部分看作一个整体，并用一个新的字母替代这个整体来运算，从而使运算过程简明清晰．例6分解因式：(x2+x+1)(x2+x+2)-12．分析将原式展开，是关于x的四次多项式，分解因式较困难．我们不妨将x2+x看作一个整体，并用字母y来替代，于是原题转化为关于y的二次三项式的因式分解问题了．解设x2+x=y，则原式=(y+1)(y+2)-12=y2+3y-10=(y-2)(y+5)=(x2+x-2)(x2+x+5)=(x-1)(x+2)(x2+x+5)．说明本题也可将x2+x+1看作一个整体，比如今x2+x+1=u，一样可以得到同样的结果，有兴趣的同学不妨试一试．例7分解因式：(x2+3x+2)(4x2+8x+3)-90．分析先将两个括号内的多项式分解因式，然后再重新组合．解原式=(x+1)(x+2)(2x+1)(2x+3)-90=[(x+1)(2x+3)][(x+2)(2x+1)]-90=(2x2+5x+3)(2x2+5x+2)-90．令y=2x2+5x+2，则原式=y(y+1)-90=y2+y-90=(y+10)(y-9)=(2x2+5x+12)(2x2+5x-7)=(2x2+5x+12)(2x+7)(x-1)．说明对多项式适当的恒等变形是我们找到新元(y)的基础．例8分解因式：(x2+4x+8)2+3x(x2+4x+8)+2x2．解设x2+4x+8=y，则原式=y2+3xy+2x2=(y+2x)(y+x)=(x2+6x+8)(x2+5x+8)=(x+2)(x+4)(x2+5x+8)．说明由本题可知，用换元法分解因式时，不必将原式中的元都用新元代换，根据题目需要，引入必要的新元，原式中的变元和新变元可以一起变形，换元法的本质是简化多项式．例9分解因式：6x4+7x3-36x2-7x+6．解法1原式=6(x4+1)＋7x(x2-1)-36x2=6［(x4-2x2+1)+2x2］+7x(x2-1)-36x2=6[(x2-1)2+2x2]+7x(x2-1)-36x2=6(x2-1)2+7x(x2-1)-24x2=[2(x2-1)-3x］［3(x2-1)+8x]=(2x2-3x-2)(3x2+8x-3)=(2x+1)(x-2)(3x-1)(x+3)．说明本解法实际上是将x2-1看作一个整体，但并没有设立新元来代替它，即熟练使用换元法后，并非每题都要设置新元来代替整体．解法2原式=x2[6(t2+2)+7t-36]=x2(6t2+7t-24)=x2(2t-3)(3t+8)=x2[2(x-1/x)-3][3(x-1/x)+8]=(2x2-3x-2)(3x2+8x-3)=(2x+1)(x-2)(3x-1)(x+3)．例10分解因式：(x2+xy+y2)-4xy(x2+y2)．分析本题含有两个字母，且当互换这两个字母的位置时，多项式保持不变，这样的多项式叫作二元对称式．对于较难分解的二元对称式，经常令u=x+y，v=xy，用换元法分解因式．解原式=[(x+y)2-xy]2-4xy[(x+y)2-2xy]．令x+y=u，xy=v，则原式=(u2-v)2-4v(u2-2v)=u4-6u2v+9v2=(u2-3v)2=(x2+2xy+y2-3xy)2=(x2-xy+y2)2．练习一1．分解因式：(2)x10+x5-2；(4)(x5+x4+x3+x2+x+1)2-x5．2．分解因式：(1)x3+3x2-4；(2)x4-11x2y2+y2；(3)x3+9x2+26x+24；(4)x4-12x+323．3．分解因式：(1)(2x2-3x+1)2-22x2+33x-1；(2)x4+7x3+14x2+7x+1；(3)(x+y)3+2xy(1-x-y)-1；(4)(x+3)(x2-1)(x+5)-20．第二讲因式分解(二)1．双十字相乘法分解二次三项式时，我们常用十字相乘法．对于某些二元二次六项式(ax2+bxy+cy2+dx+ey+f)，我们也可以用十字相乘法分解因式．例如，分解因式2x2-7xy-22y2-5x+35y-3．我们将上式按x降幂排列，并把y 当作常数，于是上式可变形为2x2-(5+7y)x-(22y2-35y+3)，可以看作是关于x的二次三项式．对于常数项而言，它是关于y的二次三项式，也可以用十字相乘法，分解为即-22y2+35y-3=(2y-3)(-11y+1)．再利用十字相乘法对关于x的二次三项式分解所以原式=［x+(2y-3)］［2x+(-11y+1)］=(x+2y-3)(2x-11y+1)．上述因式分解的过程，实施了两次十字相乘法．如果把这两个步骤中的十字相乘图合并在一起，可得到下图：它表示的是下面三个关系式：(x+2y)(2x-11y)=2x2-7xy-22y2；(x-3)(2x+1)=2x2-5x-3；(2y-3)(-11y+1)=-22y2+35y-3．这就是所谓的双十字相乘法．用双十字相乘法对多项式ax2+bxy+cy2+dx+ey+f进行因式分解的步骤是：(1)用十字相乘法分解ax2+bxy+cy2，得到一个十字相乘图(有两列)；(2)把常数项f分解成两个因式填在第三列上，要求第二、第三列构成的十字交叉之积的和等于原式中的ey，第一、第三列构成的十字交叉之积的和等于原式中的dx．例1分解因式：(1)x2-3xy-10y2+x+9y-2；(2)x2-y2+5x+3y+4；(3)xy+y2+x-y-2；(4)6x2-7xy-3y2-xz+7yz-2z2．解(1)原式=(x-5y+2)(x+2y-1)．(2)原式=(x+y+1)(x-y+4)．(3)原式中缺x2项，可把这一项的系数看成0来分解．原式=(y+1)(x+y-2)．(4)原式=(2x-3y+z)(3x+y-2z)．说明(4)中有三个字母，解法仍与前面的类似．2．求根法我们把形如a x n+a x n-1+…+a x+a(n为非负整数)的代数式称为关于x的一n n-110元多项式，并用f(x)，g(x)，…等记号表示，如f(x)=x2-3x+2，g(x)=x5+x2+6，…，当x=a时，多项式f(x)的值用f(a)表示．如对上面的多项式f(x)f(1)=12-3×1+2=0；f(-2)=(-2)2-3×(-2)+2=12．若f(a)=0，则称a为多项式f(x)的一个根．定理1(因式定理)若a是一元多项式f(x)的根，即f(a)=0成立，则多项式f(x)有一个因式x-a．根据因式定理，找出一元多项式f(x)的一次因式的关键是求多项式f(x)的根．对于任意多项式f(x)，要求出它的根是没有一般方法的，然而当多项式f(x)的系数都是整数时，即整系数多项式时，经常用下面的定理来判定它是否有有理根．定理2的根，则必有p是a的约数，q是a的约数．特别地，当a=1时，整系数多项式f(x)的整数根均为a的约数．n0n我们根据上述定理，用求多项式的根来确定多项式的一次因式，从而对多项式进行因式分解．例2分解因式：x3-4x2+6x-4．分析这是一个整系数一元多项式，原式若有整数根，必是-4的约数，逐个检验-4的约数：±1，±2，±4，只有f(2)=23-4×22+6×2-4=0，即x=2是原式的一个根，所以根据定理1，原式必有因式x-2．解法1用分组分解法，使每组都有因式(x-2)．原式=(x3-2x2)-(2x2-4x)+(2x-4)=x2(x-2)-2x(x-2)+2(x-2)=(x-2)(x2-2x+2)．解法2用多项式除法，将原式除以(x-2)，-所以原式=(x-2)(x2-2x+2)．说明在上述解法中，特别要注意的是多项式的有理根一定是-4的约数，反之不成立，即-4的约数不一定是多项式的根．因此，必须对4的约数逐个代入多项式进行验证．例3分解因式：9x4-3x3+7x2-3x-2．分析因为9的约数有±1，±3，±9；-2的约数有±1，±为：所以，原式有因式9x2-3x-2．解9x4-3x3+7x2-3x-2=9x4-3x3-2x2+9x2-3x-2=x2(9x3-3x-2)+9x2-3x-2=(9x2-3x-2)(x2+1)=(3x+1)(3x-2)(x2+1)说明若整系数多项式有分数根，可将所得出的含有分数的因式化为整系数因式，如上题中的因式可以化为9x2-3x-2，这样可以简化分解过程．总之，对一元高次多项式f(x)，如果能找到一个一次因式(x-a)，那么f(x)就可以分解为(x-a)g(x)，而g(x)是比f(x)低一次的一元多项式，这样，我们就可以继续对g(x)进行分解了．3．待定系数法待定系数法是数学中的一种重要的解题方法，应用很广泛，这里介绍它在因式分解中的应用．在因式分解时，一些多项式经过分析，可以断定它能分解成某几个因式，但这几个因式中的某些系数尚未确定，这时可以用一些字母来表示待定的系数．由于该多项式等于这几个因式的乘积，根据多项式恒等的性质，两边对应项系数应该相等，或取多项式中原有字母的几个特殊值，列出关于待定系数的方程(或方程组)，解出待定字母系数的值，这种因式分解的方法叫作待定系数法．例4分解因式：x2+3xy+2y2+4x+5y+3．分析由于(x2+3xy+2y2)=(x+2y)(x+y)，若原式可以分解因式，那么它的两个一次项一定是x+2y+m和x＋y＋n的形式，应用待定系数法即可求出m和n，使问题得到解决．解设x2+3xy+2y2+4x+5y+3=(x+2y+m)(x+y+n)=x2+3xy+2y2+(m+n)x+(m+2n)y+mn，比较两边对应项的系数，则有解之得m=3，n=1．所以原式=(x+2y+3)(x+y+1)．说明本题也可用双十字相乘法，请同学们自己解一下．例5分解因式：x4-2x3-27x2-44x+7．分析本题所给的是一元整系数多项式，根据前面讲过的求根法，若原式有有理根，则只可能是±1，±7(7的约数)，经检验，它们都不是原式的根，所以，在有理数集内，原式没有一次因式．如果原式能分解，只能分解为(x2+ax+b)(x2+cx+d)的形式．解设原式=(x2+ax+b)(x2+cx+d)=x4+(a+c)x3+(b+d+ac)x2+(ad+bc)x+bd，所以有由bd=7，先考虑b=1，d=7有所以原式=(x2-7x+1)(x2+5x+7)．说明由于因式分解的唯一性，所以对b=-1，d=-7等可以不加以考虑．本题如果b=1，d=7代入方程组后，无法确定a，c的值，就必须将bd=7的其他解代入方程组，直到求出待定系数为止．本题没有一次因式，因而无法运用求根法分解因式．但利用待定系数法，使我们找到了二次因式．由此可见，待定系数法在因式分解中也有用武之地．练习二1．用双十字相乘法分解因式：(1)x2-8xy+15y2+2x-4y-3；(2)x2-xy+2x+y-3；(3)3x2-11xy+6y2-xz-4yz-2z2．2．用求根法分解因式：(1)x3+x2-10x-6；(2)x4+3x3-3x2-12x-4；(3)4x4+4x3-9x2-x+2．3．用待定系数法分解因式：(1)2x2+3xy-9y2+14x-3y+20；(2)x4+5x3+15x-9．第三讲实数的若干性质和应用实数是高等数学特别是微积分的重要基础．在初中代数中没有系统地介绍实数理论，是因为它涉及到极限的概念．这一概念对中学生而言，有一定难度．但是，如果中学数学里没有实数的概念及其简单的运算知识，中学数学也将无法继续学习下去了．例如，即使是一元二次方程，只有有理数的知识也是远远不够用的．因此，适当学习一些有关实数的基础知识，以及运用这些知识解决有关问题的基本方法，不仅是为高等数学的学习打基础，而且也是初等数学学习所不可缺少的．本讲主要介绍实数的一些基本知识及其应用．用于解决许多问题，例如，不难证明：任何两个有理数的和、差、积、商还是有理数，或者说，有理数对加、减、乘、除(零不能做除数)是封闭的．性质1任何一个有理数都能写成有限小数(整数可以看作小数点后面为零的小数)或循环小数的形式，反之亦然．例1分析要说明一个数是有理数，其关键要看它能否写成两个整数比的形式．证设两边同乘以100得②-①得99x=261.54-2.61=258.93，无限不循环小数称为无理数．有理数对四则运算是封闭的，而无理是说，无理数对四则运算是不封闭的，但它有如下性质．性质2设a为有理数，b为无理数，则(1)a+b，a-b是无理数；有理数和无理数统称为实数，即在实数集内，没有最小的实数，也没有最大的实数．任意两个实数，可以比较大小．全体实数和数轴上的所有点是一一对应的．在实数集内进行加、减、乘、除(除数不为零)运算，其结果仍是实数(即实数对四则运算的封闭性)．任一实数都可以开奇次方，其结果仍是实数；只有当被开方数为非负数时，才能开偶次方，其结果仍是实数．例2分析证所以分析要证明一个实数为无限不循环小数是一件极难办到的事．由于有理数与无理数共同组成了实数集，且二者是矛盾的两个对立面，所以，判定一个实数是无理数时，常常采用反证法．证用反证法．所以p一定是偶数．设p=2m(m是自然数)，代入①得4m2＝2q2，q2＝2m2，例4若a+b a=a+b a(其中a，a，b，b为有理数，a为无理数)，则a=a，112b=b，反之，亦成立．2121212 12分析设法将等式变形，利用有理数不能等于无理数来证明．证将原式变形为(b-b)a=a-a．若b≠b，则122112反之，显然成立．说明本例的结论是一个常用的重要运算性质．是无理数，并说明理由．整理得由例4知a＝Ab，1=A，说明本例并未给出确定结论，需要解题者自己发现正确的结有理数作为立足点，以其作为推理的基础．例6已知a，b是两个任意有理数，且a＜b，求证：a与b之间存在着无穷多个有理数(即有理数集具有稠密性)．分析只要构造出符合条件的有理数，题目即可被证明．证因为a＜b，所以2a＜a+b＜2b，所以说明构造具有某种性质的一个数，或一个式子，以达到解题和证明的目的，是经常运用的一种数学建模的思想方法．例7已知a，b是两个任意有理数，且a＜b，问是否存在无理数α，使得a＜α＜b成立？即由①，②有存在无理数α，使得a＜α＜b成立．b4+12b3+37b2+6b-20的值．分析因为无理数是无限不循环小数，所以不可能把一个无理数的小数部分一位一位确定下来，这样涉及无理数小数部分的计算题，往往是先估计它的整数部分(这是容易确定的)，然后再寻求其小数部分的表示方法．14=9+6b+b2，所以b2+6b=5．b4+12b3+37b2+6b-20=(b4+2·6b3+36b2)+(b2+6b)-20 =(b2+6b)2+(b2+6b)-20=52+5-20=10．例9求满足条件的自然数a，x，y．解将原式两边平方得由①式变形为两边平方得例10设a是12+22+32+…+n2的个位数字，n=1，2，3，…，求证：0.a a a…na…是有理数．123 n分析有理数的另一个定义是循环小数，即凡有理数都是循环小数，反之循环小数必为有理数．所以，要证0.a a a…a…是有理数，只要证它为循环小123数．因此本题我们从寻找它的循环节入手．n证计算a的前若干个值，寻找规律：1，5，4，0，5，1，0，4，5，5，6，n0，9，5，0，6，5，9，0，0，1，5，4，0，5，1，0，4，…发现：a=0，a=a，20211a=a，a=a，…，于是猜想：a=a，若此式成立，说明0.a a…a…是由20222233k+20个数字组成循环节的循环小数，即k12n下面证明a=a．k+20k令f(n)=12+22+…+n2，当f(n+20)-f(n)是10的倍数时，表明f(n+20)与f(n)有相同的个位数，而f(n+20)-f(n)=(n+1)2+(n+2)2+…+(n+20)2=10(2n2+42·n)+(12+22+…+202)．由前面计算的若干值可知：12+22+…+202是10的倍数，故a=a成立，所以0.a1a2…a n…是一个有理数．k+20k练习三1．下列各数中哪些是有理数，哪些是无理数？为什么？5．设α，β为有理数，γ为无理数，若α+βγ=0，求证：α=β=0．第四讲分式的化简与求值分式的有关概念和性质与分数相类似，例如，分式的分母的值不能是零，即分式只有在分母不等于零时才有意义；也像分数一样，分式的分子与分母都乘以(或除以)同一个不等于零的整式，分式的值不变，这一性质是分式运算中通分和约分的理论根据．在分式运算中，主要是通过约分和通分来化简分式，从而对分式进行求值．除此之外，还要根据分式的具体特征灵活变形，以使问题得到迅速准确的解答．本讲主要介绍分式的化简与求值．例1化简分式：分析直接通分计算较繁，先把每个假分式化成整式与真分式之和的形式，再化简将简便得多．＝［(2a+1)-(a-3)-(3a+2)+(2a-2)］说明本题的关键是正确地将假分式写成整式与真分式之和的形式．例2求分式当a=2时的值．分析与解先化简再求值．直接通分较复杂，注意到平方差公式：a2-b2=(a+b)(a-b)，可将分式分步通分，每一步只通分左边两项．例3若abc=1，求分析本题可将分式通分后，再进行化简求值，但较复杂．下面介绍几种简单的解法．解法1因为abc=1，所以a，b，c都不为零．解法2因为abc=1，所以a≠0，b≠0，c≠0．例4化简分式：分析与解三个分式一齐通分运算量大，可先将每个分式的分母分解因式，然后再化简．说明互消掉的一对相反数，这种化简的方法叫“拆项相消”法，它是分式化简中常用的技巧．例5化简计算(式中a，b，c两两不相等)：似的，对于这个分式，显然分母可以分解因式为(a-b)(a-c)，而分子又恰好凑成(a-b)+(a-c)，因此有下面的解法．解说明本例也是采取“拆项相消”法，所不同的是利用例6已知：x+y+z=3a(a≠0，且x，y，z不全相等)，求分析本题字母多，分式复杂．若把条件写成(x-a)+(y-a)+(z-a)=0，那么题目只与x-a，y-a，z-a有关，为简化计算，可用换元法求解．解令x-a=u，y-a=v，z-a=w，则分式变为u2+v2+w2+2(uv+vw+wu)=0．由于x，y，z不全相等，所以u，v，w不全为零，所以u2+v2+w2≠0，从而有说明从本例中可以看出，换元法可以减少字母个数，使运算过程简化．例7化简分式：适当变形，化简分式后再计算求值．(x-4)2=3，即x2-8x+13＝0．原式分子=(x4-8x3+13x2)+(2x3-16x2+26x)+(x2-8x+13)+10=x2(x2-8x+13)+2x(x2-8x+13)+(x2-8x+13)+10=10，原式分母=(x2-8x+13)+2=2，说明本例的解法采用的是整体代入的方法，这是代入消元法的一种特殊类型，应用得当会使问题的求解过程大大简化．解法1利用比例的性质解决分式问题．(1)若a+b+c≠0，由等比定理有所以a+b-c=c，a-b+c=b，-a+b+c=a，于是有(2)若a+b+c=0，则a+b=-c，b+c=-a，c+a=-b，于是有说明比例有一系列重要的性质，在解决分式问题时，灵活巧妙地使用，便于问题的求解．解法2设参数法．令则a+b=(k+1)c，①a+c=(k+1)b，②b+c=(k+1)a．③①+②+③有2(a+b+c)=(k+1)(a+b+c)，所以(a+b+c)(k-1)=0，故有k=1或a+b+c=0．当k=1时，当a+b+c=0时，说明引进一个参数k表示以连比形式出现的已知条件，可使已知条件便于使用．练习四1．化简分式：2．计算：3．已知：(y-z)2+(z-x)2+(x-y)2=(x+y-2z)2+(y+z-2x)2+(z+x-2y)2，的值．第五讲恒等式的证明代数式的恒等变形是初中代数的重要内容，它涉及的基础知识较多，主要有整式、分式与根式的基本概念及运算法则，因式分解的知识与技能技巧等等，因此代数式的恒等变形是学好初中代数必备的基本功之一．本讲主要介绍恒等式的证明．首先复习一下基本知识，然后进行例题分析．两个代数式，如果对于字母在允许范围内的一切取值，它们的值都相等，则称这两个代数式恒等．把一个代数式变换成另一个与它恒等的代数式叫作代数式的恒等变形．恒等式的证明，就是通过恒等变形证明等号两边的代数式相等．证明恒等式，没有统一的方法，需要根据具体问题，采用不同的变形技巧，使证明过程尽量简捷．一般可以把恒等式的证明分为两类：一类是无附加条件的恒等式证明；另一类是有附加条件的恒等式的证明．对于后者，同学们要善于利用附加条件，使证明简化．下面结合例题介绍恒等式证明中的一些常用方法与技巧．1．由繁到简和相向趋进恒等式证明最基本的思路是“由繁到简”(即由等式较繁的一边向另一边推导)和“相向趋进”(即将等式两边同时转化为同一形式)．例1已知x+y+z=xyz，证明：x(1-y2)(1-z2)+y(1-x2)(1-z2)+z(1-x2)(1-y2)=4xyz．分析将左边展开，利用条件x+y+z=xyz，将等式左边化简成右边．证因为x+y+z=xyz，所以左边=x(1-z2-y2-y2z2)+y(1-z2-x2+x2z2)+(1-y2-x2+x2y2)=(x+y+z)-xz2-xy2+xy2z2-yz2+yx2+yx2z2-zy2-zx2+zx2y2=xyz-xy(y+x)-xz(x+z)-yz(y+z)+xyz(xy+yz+zx)=xyz-xy(xyz-z)-xz(xyz-y)-yz(xyz-x)+xyz(xy+yz+zx)=xyz+xyz+xyz+xyz=4xyz=右边．说明本例的证明思路就是“由繁到简”．例2已知1989x2=1991y2=1993z2，x＞0，y＞0，z＞0，且证令1989x2=1991y2=1993z2=k(k＞0)，则又因为所以所以说明本例的证明思路是“相向趋进”，在证明方法上，通过设参数k，使左右两边同时变形为同一形式，从而使等式成立．2．比较法a=b(比商法)．这也是证明恒等式的重要思路之一．例3求证：分析用比差法证明左-右=0．本例中，这个式子具有如下特征：如果取出它的第一项，把其中的字母轮换，即以b代a，c代b，a代c，则可得出第二项；若对第二项的字母实行上述轮换，则可得出第三项；对第三项的字母实行上述轮换，可得出第一项．具有这种特性的式子叫作轮换式．利用这种特性，可使轮换式的运算简化．证因为所以所以说明本例若采用通分化简的方法将很繁．像这种把一个分式分解成几个部分分式和的形式，是分式恒等变形中的常用技巧．全不为零．证明：(1+p)(1+q)(1+r)=(1-p)(1-q)(1-r)．同理所以所以(1+p)(1+q)(1+r)=(1-p)(1-q)(1-r)．说明本例采用的是比商法．3．分析法与综合法根据推理过程的方向不同，恒等式的证明方法又可分为分析法与综合法．分析法是从要求证的结论出发，寻求在什么情况下结论是正确的，这样一步一步逆向推导，寻求结论成立的条件，一旦条件成立就可断言结论正确，即所谓“执果索因”．而综合法正好相反，它是“由因导果”，即从已知条件出发顺向推理，得到所求结论．证要证a2+b2+c2=(a+b-c)2，只要证a2+b2+c2=a2+b2+c2+2ab-2ac-2bc，只要证ab=ac+bc，只要证c(a+b)=ab，只要证这最后的等式正好是题设，而以上推理每一步都可逆，故所求证的等式成立．说明本题采用的方法是典型的分析法．例6已知a4+b4+c4+d4=4abcd，且a，b，c，d都是正数，求证：a=b=c=d．证由已知可得a4+b4+c4+d4-4abcd=0，(a2-b2)2+(c2-d2)2+2a2b2+2c2d2-4abcd=0，所以(a2-b2)2+(c2-d2)2+2(ab-cd)2=0．因为(a2-b2)2≥0，(c2-d2)2≥0，(ab-cd)2≥0，所以a2-b2=c2-d2=ab-cd=0，所以(a+b)(a-b)=(c+d)(c-d)＝0．又因为a，b，c，d都为正数，所以a+b≠0，c+d≠0，所以a＝b，c=d．所以ab-cd=a2-c2=(a+c)(a-c)=0，所以a＝c．故a=b＝c=d成立．说明本题采用的方法是综合法．4．其他证明方法与技巧求证：8a+9b+5c=0．a+b=k(a-b)，b+c=2k(b-c)，(c+a)=3k(c-a)．所以6(a+b)=6k(a-b)，3(b+c)=6k(b-c)，2(c+a)=6k(c-a)．以上三式相加，得6(a+b)+3(b+c)+2(c+a)=6k(a-b+b-c+c-a)，即8a+9b+5c=0．说明本题证明中用到了“遇连比设为k”的设参数法，前面的例2用的也是类似方法．这种设参数法也是恒等式证明中的常用技巧．例8已知a+b+c=0，求证2(a4+b4+c4)＝(a2+b2+c2)2．分析与证明用比差法，注意利用a+b+c=0的条件．左-右=2(a4+b4+c4)-(a2+b2+c2)2=a4+b4+c4-2a2b2-2b2c2-2c2a2=(a2-b2-c2)2-4b2c2=(a2-b2-c2+2bc)(a2-b2-c2-2bc)=[a2-(b-c)2][a2-(b+c)2]=(a-b+c)(a+b-c)(a-b-c)(a+b+c)=0．所以等式成立．说明本题证明过程中主要是进行因式分解．分析本题的两个已知条件中，包含字母a，x，y和z，而在求证的结论中，却只包含a，x和z，因此可以从消去y着手，得到如下证法．证由已知说明本题利用的是“消元”法，它是证明条件等式的常用方法．例10证明：(y+z-2x)3+(z+x-2y)3+(x+y-2z)3=3(y+z-2x)(z+x-2y)(x+y-2z)．分析与证明此题看起来很复杂，但仔细观察，可以使用换元法．令y+z-2x=a，①z+x-2y=b，②x+y-2z=c，③则要证的等式变为a3+b3+c3=3abc．联想到乘法公式：a3+b3+c3-3abc=(a+b+c)(a2+b2+c2-ab-bc-ca)，所以将①，②，③相加有a+b+c=y+z-2x+z+x-2y+x+y-2z=0，所以a3+b3+c3-3abc=0，所以(y+z-2x)3+(z+x-2y)3+(x+y-2z)3=3(y+z-2x)(z+x-2y)(x+y-2z)．说明由本例可以看出，换元法也可以在恒等式证明中发挥效力．例11设x，y，z为互不相等的非零实数，且求证：x2y2z2=1．分析本题x，y，z具有轮换对称的特点，我们不妨先看二元的所以x2y2=1．三元与二元的结构类似．证由已知有①×②×③得x2y2z2=1．说明这种欲进先退的解题策略经常用于探索解决问题的思路中．总之，从上面的例题中可以看出，恒等式证明的关键是代数式的变形技能．同学们要在明确变形目的的基础上，深刻体会例题中的常用变形技能与方法，这对以后的数学学习非常重要．练习五1．已知(c-a)2-4(a-b)(b-c)=0，求证：2b=a+c．2．证明：(x+y+z)3xyz-(yz+zx+xy)3=xyz(x3+y3+z3)-(y3z3+z3x3+x3y3)．3．求证：5．证明：6．已知x2-yz=y2-xz=z2-xy，求证：x=y=z或x+y+z=0．7．已知an-bm≠0，a≠0，ax2+bx+c=0，mx2+nx+p=0，求证：(cm-ap)2=(bp-cn)(an-bm)．第六讲代数式的求值代数式的求值与代数式的恒等变形关系十分密切．许多代数式是先化简再求值，特别是有附加条件的代数式求值问题，往往需要利用乘法公式、绝对值与算术根的性质、分式的基本性质、通分、约分、根式的性质等等，经过恒等变形，把代数式中隐含的条件显现出来，化简，进而求值．因此，求值中的方法技巧主要是代数式恒等变形的技能、技巧和方法．下面结合例题逐一介绍．1．利用因式分解方法求值因式分解是重要的一种代数恒等变形，在代数式化简求值中，经常被采用．分析x的值是通过一个一元二次方程给出的，若解出x后，再求值，将会很麻烦．我们可以先将所求的代数式变形，看一看能否利用已知条件．解已知条件可变形为3x2+3x-1=0，所以6x4+15x3+10x2=(6x4+6x3-2x2)+(9x3+9x2-3x)+(3x2+3x-1)+1=(3x2+3x-1)(2z2+3x+1)+1=0+1=1．说明在求代数式的值时，若已知的是一个或几个代数式的值，这时要尽可能避免解方程(或方程组)，而要将所要求值的代数式适当变形，再将已知的代数式的值整体代入，会使问题得到简捷的解答．例2已知a，b，c为实数，且满足下式：a2+b2+c2=1，①求a+b+c的值．解将②式因式分解变形如下。
初中数学竞赛题汇编(代数部分2)
初中数学竞赛题汇编（代数部分2）江苏省泗阳县李口中学 沈正中 精编、解答例1：已知a 2＋b 2＝6ab ，且a ＞b ＞0，求 。
解：由已知得 (a ＋b)2＝8ab ， (a －b)2＝4ab ，所以 ＝2，因a ＞b ＞0，所以a ＋b 、a －b 均为正数，故 ＝ 。
例2：计算 的值 。
解：因＝2， 所以 ＝ 。
例3：已知 ，求解：由已知得 2(a ＋b)2＝ab ，即 ＝－所以 ＝ ＝ 。
例4：已知 ， ，求 ＝？解：由 得 ，由 得 ，所以 ＝ ＋ ＝1。
例5：已知若abc =1，求证 。
分析：所要求证的等式的左边是三个分母差异很大的式子，因而变形比较困难。
可以充分利用abc=1，将它们化成同分母。
在1++a ab a 的分子、分母上同乘c ，化成1++=++c ca ca c ac abc ac ，将1++b bc b的分母1111=++++++++c ca c b bc b a ab a中的“1”换成abc 得cac abc b bc b ++=++11，然后再相加即可得证。
证明：∵ abc =1 ∴ = + = =1 。
例6：已知bc=ad ，求证：ab(c 2-d 2)=(a 2-b 2)cd证明：因bc=ad ，所以 由比例的性质得……① ……② ……③ ①×②×③得 ， 所以ab(c 2-d 2)=(a 2-b 2)cd∴ab(c 2-d 2)=(a 2-b 2)cd 。
例7：已知x=by+cz ，y=cz+ax ，z=ax+by ，且x+y+z ≠0，. 证明：1111=+++++cc b b a a 证明：解方程组⎪⎩⎪⎨⎧+=+=+=(3) (2)(1) by ax z ax cz y cz by x (2)+(3)-(1) 得y+z-x=2ax ，所以xz y x a x x z y a 21 2++=+-+=则 所以 z y x x z y a a ++-+=+1 同理可得，z y x y z x b b ++-+=+1，z y x z y x c c ++-+=+1 所以 1111=++++=+++++zy x z y x c c b b a a 例8：已知x 、y 、z 满足关系式1=+++++y x z x z y z y x ， 证明：0222=+++++yx z x z y z y x 证明：将已知等式分别乘以x 、y 、z 得111++++++++c ca c b bc b a ab a 1++c ca ca 1+++c ca c ca c ++1111++++c ca cca ()()()()b d ad c d c d b c b a b a 22-+=-+x yx xz x z xy z y x =+++++2 ① y yx yz x z y z y xy =+++++2 ② z yx z x z yz z y xz =+++++2③ ①+②+③ 得zy x y x yz y x xz x z yz x z xy z y xz z y xy y x z x z y z y x ++=+++++++++++++++++)()()(222所以z y x z y x yx z x z y z y x ++=++++++++222 即：0222=+++++yx z x z y z y x 例9：试用关于（x-1）的各次幂表示多项式322435x x x -+-。
初中数学竞赛---代数式竞赛50道综合题练习(含答案解析)
16．（2021·全国·九年级竞赛）分解因式： (c a)2 4(b c)(a b) ． 【答案】 (a c 2b)2 【详解】解法一 原式 (c2 2ca a2 ) 4(ab b2 ac bc) (c2 2ca a2 ) (4ab 4bc) 4b2 (a c)2 4b(a c) (2b)2 (a c 2b)2 ． 解法二 原式 [(c b) (a b)]2 4(c b)(a b) (c b)2 2(c b)(a b) (a b)2 4(c b)(a b) (c b)2 2(c b)(a b) (a b)2 [(c b) (a b)]2 (a c 2b)2 ．
17．（2021·全国·九年级竞赛）分解因式： x2 (x a)2 a2x2 a2 (x a)2 ． 【答案】 (x2 ax a2 )2 【详解】解法一 原式 [x2 (x a)2 a2 (x a)2 ] a2x2 (x2 a2 )(x a)2 a2 x2 (x2 a2 )(x2 2ax a2 ) a2 x2 (x2 a2 )2 2ax(x2 a2 ) (ax)2 (x2 a2 ax)2 (x2 ax a2 )2 ． 解法二 原式 x2[(x a)2 a2 ] a2 (x a)2 x2 (x2 2ax 2a2 ) a2 (x a)2 (x2 )2 2x2 a(x a) [a(x a)]2 [x2 a(x a)]2 (x2 ax a2 )2 ．
4．（2021·全国·九年级竞赛）
1
1
的值为（ ）．
4 59 30 2 3 66 40 2
A．无理数 【答案】D
B．真分数
C．奇数
D．偶数
【详解】原式
1
1
4 (5 2)2 25 2 3 32 3 (5 2)2 25 2 4 42
新人教版八年级数学竞赛教程附练习汇总(共15套)
新人教版八年级数学竞赛教程附练习汇总（共15套）1、用提公因式法把多项式进行因式分解【知识精读】如果多项式的各项有公因式，根据乘法分配律的逆运算，可以把这个公因式提到括号外面，将多项式写成因式乘积的形式。
提公因式法是因式分解的最基本也是最常用的方法。
它的理论依据就是乘法分配律。
多项式的公因式的确定方法是：（1）当多项式有相同字母时，取相同字母的最低次幂。
（2）系数和各项系数的最大公约数，公因式可以是数、单项式，也可以是多项式。
下面我们通过例题进一步学习用提公因式法因式分解【分类解析】1. 把下列各式因式分解（1）-+--+++a x abx acx ax m m m m 2213（2）a a b a b a ab b a ()()()-+---32222分析：（1）若多项式的第一项系数是负数，一般要提出“－”号，使括号内的第一项系数是正数，在提出“－”号后，多项式的各项都要变号。
解：-+--=--+++++a x abx acx ax ax ax bx c x m m m m m 221323()（2）有时将因式经过符号变换或将字母重新排列后可化为公因式，如：当n 为自然数时，()()()()a b b a a b b a n n n n -=--=----222121；，是在因式分解过程中常用的因式变换。
解：a a b a b a ab b a ()()()-+---32222)243)((]2)(2))[(()(2)(2)(222223b b ab a b a a b b a a b a b a a b a ab b a a b a a ++--=+-+--=-+-+-=2. 利用提公因式法简化计算过程例：计算1368987521136898745613689872681368987123⨯+⨯+⨯+⨯分析：算式中每一项都含有9871368，可以把它看成公因式提取出来，再算出结果。
解：原式)521456268123(1368987+++⨯= =⨯=987136813689873. 在多项式恒等变形中的应用例：不解方程组23532x y x y +=-=-⎧⎨⎩，求代数式()()()22332x y x y x x y +-++的值。
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】专题03从算术到代数阅读与思考算术与代数是数学中两门不同的分科，它们之间联系紧密，代数是在算术中“数”和“运算”的基础上发展起来的.用字母表示数是代数的一个重要特征，也是代数与算术的最显著的区别.在数学发展史上，从确定的数过渡到用字母表示数经历了一个漫长的过程，是数学发展史上的一个飞跃.用字母表示数有如下特点：1.任意性即字母可以表示任意的数.2.限制性即虽然字母表示任意的数，但字母的取值必须使代数式或实际问题有意义.3.确定性即在用字母表示的数中，如果字母取定某值，那么代数式的值也随之确定.4.抽象性即与具体的数值相比，用字母表示数具有更抽象的意义.例题与求解【例1】研究下列算式，你会发现什么规律：1×3＋1＝4＝222×4＋1＝9＝323×5＋1＝16＝424×6＋1＝25＝52…请将你找到的规律用代数式表示出来：___________________________________(山东菏泽地区中考试题)解题思路：观察给定的几个简单的、特殊的算式，寻找数字间的联系，发现一般规律，然后用代数式表示.【例2】下列四个数中可以写成100个连续自然数之和的是（）A.1627384950B. 2345678910C. 3579111300D. 4692581470（江苏省竞赛试题）解题思路：设自然数从a＋1开始，这100个连续自然数的和为（a＋1）＋(a＋2)＋…＋(a＋100)＝100a＋5050，从揭示和的特征入手.【例3】设A＝221212222323223434＋…＋221003100410031004＋221004100510041005，求A的整数部分.（北京市竞赛试题）解题思路：从分析A 中第n 项22(1)(1)n n n n 的特征入手.【例4】现有a 根长度相同的火柴棒，按如图①摆放时可摆成m 个正方形，按如图②摆放时可摆成2n 个正方形.(1)用含n 的代数式表示m ；(2)当这a 根火柴棒还能摆成如图③所示的形状时，求a 的最小值.（浙江省竞赛试题）解题思路：由图①中有m 个正方形、图②中有2n 个正方形，可设图③中有3p 个正方形，无论怎样摆放，火柴棒的总数相同，可建立含m ，n ，p 的等式.【例5】 化简个个个n n n 9199999999+⨯. （江苏省竞赛试题）解题思路：先考察n ＝1，2，3时的简单情形，然后作出猜想，这样，化简的目标更明确.【例6】观察按下列规律排成的一列数：11，12，21，13，22，31，14，23，32，41，15，24，33，42，51，16，…，（*） （1）在（*）中，从左起第m 个数记为F (m )＝ 22001时，求m 的值和这m 个数的积.（2）在（*）中，未经约分且分母为2的数记为c ，它后面的一个数记为d ，是否存在这样的两个数c 和d ，使cd ＝2001000，如果存在，求出c 和d ；如果不存在，请说明理由.解题思路：解答此题，需先找到数列的规律，该数列可分组为（11），（12，21），（13，22，31），（14，23，32，41），（15，24，33，42，51），….能力训练A级1.已知等式：2＋23＝22×23，3＋38＝32×38，4＋415＝42×415，…，，10 ＋ab＝102×ab（a，b均为正整数），则a＋b＝___________________.(湖北省武汉市竞赛试题)2.下面每个图案都是若干个棋子围成的正方形图案，它的每边（包括顶点）都有n（n≥2）个棋子，每个图案棋子总数为s，按此规律推断s与n之间的关系是______________.n＝2 n＝3 n＝4s＝4 s＝8 s＝12(山东省青岛市中考试题)3.规定任意两个实数对（a，b）和（c，d），当且仅当a＝c且b＝d时，（a，b）＝（c，d）．定义运算“⊗”：（a，b）⊗（c，d）＝（ac－bd，ad＋bc）．若（1，2）⊗（p，q）＝（5，0），则p＋q＝________．(浙江省湖州市数学竞赛试题)4.用同样规格的黑白两种颜色的正方形瓷砖按下图方式铺地板，则第（3）个图形中有黑色瓷砖______块，第n个图形中需要黑色瓷砖______块（含n代数式表示）．（广东省中考试题）-=5.如果a是一个三位数，现在把1放在它的右边得到一个四位数是（）A.1000a＋1B. 100a＋1C. 10a＋1D. a＋1(重庆市竞赛试题)6.一组按规律排列的多项式：a＋b，a2—b3，a3＋b5，a4—b7，…，其中第十个式子是（）A. a10＋b19B. a10-b19C. a10-b17D. a10-b21(四川省眉山市竞赛试题)7.有三组数x 1，x 2，x 3；y 1，y 2，y 3；z 1，z 2，z 3，它们的平均数分别是a ，b ，c ，那么x 1＋y 1－z 1，x 2＋y 2－z 2，x 3＋y 3－z 3的平均数是（ ）A.3a b c B. 3a b cC. a ＋b －cD. 3(a ＋b －c ) (希望杯邀请赛试题)8.为了绿化环境，美化城市，在某居民小区铺设了正方形和圆形两块草坪，如果两块草坪的周长相同，那么它们的面积S 1、S 2的大小关系是（ ）（东方航空杯竞赛试题）A . S 1＞S 2B ．S l ＜S 2C ．S 1＝S 2D ．无法比较9.一个圆形纸板，根据以下操作把它剪成若干个扇形面：第一次将圆纸等分为4个扇形面；第二次将上次得到的一个扇形面再等分成4个小扇形；以后按第二次剪裁法进行下去．（1）请通过操作，猜想将第3、第4次，…，第n 次剪裁后扇形面的总个数填入下表；剪裁次数 1 2 3 4 … n 所得的总数47…（2）请你推断，能否按上述操作剪裁出33个扇形面？为什么？（山东省济南市中考试题）10.某玩具工厂有四个车间，某周是质量检查周，现每个都原a （a ＞0）个成品，且每个每天都生产b （b ＞0）个成品，质检科派出若干名检验员星期一、星期二检验其中两个原的和这两天生产的所成品，然后，星期三至星期五检验另两个原的和本生产的所成品，假定每个检验员每天检验的成品数相同．（1）这若干名检验员1天检验多少个成品（用含a 、b 的代数式表示）； （2）试求出用b 表示a 的关系式；（3）若1名质检员1天能检验54b 个成品，则质检科至少要派出多少名检验员？ （广东省广州市中考试题）B 级1. 你能很快算出19952吗？为了解决这个问题，我们考察个位上的数字为5的自然数的平方，任意一个个位数为5的自然数可写成（10·n ＋5）（n 为自然数），即求（10·n ＋5）2的值（n 为自然数），分析n ＝1，n ＝2，n ＝3，…这些简单情况，从中探索其规律，并归纳猜想出结论（在下面的空格内填上你的探索结果）. （1）通过计算，探索规律.152＝225可写成100×1×（1＋1）＋25； 252＝625可写成100×2×（2＋1）＋25； 352＝1225可写成100×3×（3＋1）＋25； 452＝2025可写成100×4×（4＋1）＋25； ...752＝5625可写成______； 852＝7225可写成______；（2）从第（1）题的结果，归纳猜想得（10n ＋5）2＝______； （3）根据上面的归纳猜想，请算出19952＝______.（福建省三明市中考试题）2.已知12＋22＋32＋…＋n 2＝16n (n ＋1)(2n ＋1)，计算： （1）112＋122＋…＋192＝_____________________； (2)22＋42＋…＋502＝__________________. 3.已知n 是正整数，a n ＝1×2×3×4×…×n ，则13a a ＋24a a ＋…＋20102012a a ＋20112013a a ＝_______________. (“希望杯”邀请赛训练题)4.已知17个连续整数的和是306，那么，紧接着这17个数后面的那17个整数的和为__________.（重庆市竞赛试题）5.A ，B 两地相距S 千米，甲、乙的速度分别为a 千米/时、b 千米/时（a ＞b ），甲、乙都从A 地到B地去开会，如果甲比乙先出发1小时，那么乙比甲晚到B 地的小时数是（ ）A ．(1)s s a b B ．(1)s s ba C ．(1)s s ab D ．(1)ssba6.某商店经销一批衬衣，进价为每件m 元，零售价比高a %，后因市场的变化，该店把零售价调整原来零售价的b %出售，那么调价后的零售价是（ ）A ．m （1＋a %）（1－b %）元B ．m a %（1－b %）元C ．m （1＋a %）b %元D ．m （1＋a %b %）元（山东省竞赛试题）7.如果用a名同学在b小时内共搬运c块砖，那么个以同样速度所需要的数是（）A．22ca bB．2cabC．2abcD．22a bc(“希望杯”邀请赛试题)8.甲、乙两班的人数相等，各有一些同学参加课外天文小组，其中甲班参加天文小组的人数是乙班未参加人数的13，乙班参加天文小组的人数是甲班未参加人数的15．问甲班未参加的人数是乙班未参加人数的几分之几？9.将自然数1，2，3，…，21这21个数，任意地放在一个圆周上，证明：一定有相邻的三个数，它们的和不小于33.（重庆市竞赛试题）10.有四个互不相同的正整数，从中任取两个数组成一组，并在同一组中用较大的数减去较小的数，再将各组所得的数相加，其和恰好等于18.若这四个数的乘积是23100，求这四个数.（天津市竞赛试题）中考数学知识点代数式一、重要概念分类：1.代数式与有理式用运算符号把数或表示数的字母连结而成的式子，叫做代数式。
单独的一个数或字母也是代数式。
整式和分式统称为有理式。
2.整式和分式含有加、减、乘、除、乘方运算的代数式叫做有理式。
没有除法运算或虽有除法运算但除式中不含有字母的有理式叫做整式。
有除法运算并且除式中含有字母的有理式叫做分式。
3.单项式与多项式没有加减运算的整式叫做单项式。
(数字与字母的积—包括单独的一个数或字母)几个单项式的和，叫做多项式。
说明：①根据除式中有否字母，将整式和分式区别开;根据整式中有否加减运算，把单项式、多项式区分开。
②进行代数式分类时，是以所给的代数式为对象，而非以变形后的代数式为对象。