第三章-关系代数与关系运算
05_关系代数
Yx：x在R中的象集，x = tr[X]
Ssm
关系代数
• 象集Zx 给定一个关系R（X，Z），X和Z为属性组。 当t[X]=x时，x在R中的象集（Images Set）为： Zx={t[Z]|t R，t[X]=x} 它表示R中属性组X上值为x的诸元组在Z上分 量的集合。
Ssm
学号 姓名 Sno Sname 95001 李勇 95002 刘晨 95003 王敏 95004 张立
性别 年龄 Ssex Sage 男 20 女 19 女 18 男 19
所在系 Sdept CS IS MA IS
课程号 Cno 1 2 3 4 5 6 7
Ssm
课程名 Cname 数据库 数学 信息系统 操作系统 数据结构 数据处理 PASCAL语言
ABC
S a1 b2 c2
a1 b3 c2
Ssm
a2 b2 c1
ABC a1 b1 c1 R∪S a1 b2 c2 a1 b3 c2 a2 b2 c1
关系代数
• 传统集合运算-差 关系R和关系S的差R - S仍为n目关系，由属于 R而不属于S的所有元组组成
R -S = { t|t R∧t S }
笛卡尔积
运算符
>
≧
<
比较运算符
≦
=
≠
选择
┐
投影
∧
逻辑运算符
连接
∨
除
含义 大于 大于等于 小于 小于等于 等于 不等于 非 与 或
关系代数
• 表示记号
R，tR，t[Ai]
设关系模式为R(A1，A2，…，An)，它的一个 关系设为R。
数据库关系代数与关系演算的应用
数据库关系代数与关系演算的应用数据库领域广泛应用着关系代数和关系演算这两种方法，以实现数据的存储、查询和处理。
关系代数通过一系列的操作符，如选择、投影、连接等，对关系进行操作；而关系演算则是一种基于谓词逻辑的查询方法。
本文将深入探讨这两种方法在数据库中的应用。
一、关系代数的应用1. 选择操作（Selection）：选择操作用于从关系中选择满足某一条件的元组。
例如，从学生表中选择出年龄大于等于18岁的学生信息。
选择操作在数据库中广泛用于过滤数据，实现查询结果的精确筛选。
2. 投影操作（Projection）：投影操作用于从关系中选择出指定的属性列。
例如，从学生表中选择出学生的姓名和成绩信息。
投影操作能够简化查询结果，提供所需的属性信息。
3. 连接操作（Join）：连接操作用于将两个或多个关系联接在一起，生成一个新的关系。
例如，通过学生表和课程表的连接操作，可以得到学生选修课程的相关信息。
连接操作在关系数据库中是非常重要的，能够实现多表查询，提供复杂的数据分析功能。
4. 并操作（Union）：并操作用于将两个关系的结果合并为一个。
例如，将两个部门员工列表的并操作，生成整个公司的员工列表。
并操作在数据库中常用于合并关系，实现数据的汇总和整合功能。
5. 差操作（Difference）：差操作用于从一个关系中删除另一个关系的所有元组。
例如，从全体学生表中删除已选课程的学生，得到未选课的学生列表。
差操作能够提供排除某些数据的功能，实现数据的筛选和去重。
二、关系演算的应用1. 元组关系演算（Tuple Relational Calculus）：元组关系演算是一种基于元组的查询方法，通过谓词逻辑来描述查询条件。
例如，查询成绩大于80分的学生信息，可以表示为{ s | ∃s (Student(s) ∧ s.成绩 > 80)}，其中Student(s)表示关系表，s表示元组，∧和∃分别表示逻辑与和存在量词。
元组关系演算适用于简单查询和条件判断，但不太适合复杂的数据操作和关联查询。
第03章：关系模型
每个属性有一个允许值的集合，称为该属性 的域或取值范围，即数据类型。例如：
• student_name：用D1表示所有学生姓名的集合 • student_number：用D2表示所有学生学号集合 • department_name：用D3表示学校所有系的集合
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6
3.1关系数据库的结构 §3.1关系数据库的结构
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3.1关系数据库的结构 §3.1关系数据库的结构
关系模式的主码
复合表(表的合并)
• 从实体集A到B的全部参与的、多对一的 联系集对应的表可以合并到“多”方实 体集A对应的表中。因此“多”方实体集 A的主码构成合并后的关系模式的主码；
多值属性
• 多值属性M可以表示为由相关实体集或联 系集的主码和保存单个M值的列C共同构 成的表。因此相关实体集或联系集的主 码与属性C共同构成多值模式的主码。
关系模式Teaching_schema
Teaching_schema=(teacher_number, course_name) 关系teaching(Teaching_schema)
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3.1关系数据库的结构 §3.1关系数据库的结构
关系模式的基础：E-R图
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3.1关系数据库的结构 §3.1关系数据库的结构
• 关系代数：它是过程化的； • 关系演算：它是非过程化的：
元组关系演算 域关系演算
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从数据库中 提取数据的 基本技术
3.2关系代数 §3.2关系代数
概述
关系代数包括一个运算集合。这些运算以一 个或两个关系作为输入，产生一个新的关系 作为结果； 关系代数的基本运算有：选择、投影、并、 集合差、笛卡尔积和命名；
关系代数
一、关系代数的9种操作：关系代数中包括了：并、交、差、乘、选择、投影、联接、除、自然联接等操作。
五个基本操作：并(∪)、差(-)、笛卡尔积(×)、投影(σ)、选择(π)四个组合操作：交(∩)、联接(等值联接)、自然联接(R S)、除法(÷)注2：等值连接表示先做笛卡尔积(×)之后，对相应列进行选择或等值关联后的结果(仅筛选行、不筛选列)注2：自然连接表示两个关系中若有相同名称的属性，则自动作为关联条件，且仅列出一列二、关系代数表达式：由关系代数运算经有限次复合而成的式子称为关系代数表达式。
这种表达式的运算结果仍然是一个关系。
可以用关系代数表达式表示对数据库的查询和更新操作。
三、举例说明：设教学数据库中有3个关系：学生关系S(SNO,SNAME,AGE,SEX)学习关系SC(SNO,CNO,GRADE)课程关系C(CNO,CNAME,TEACHER)(1) 检索学习课程号为C2的学生学号与成绩------------------------------------SELECT SNO,GRADEFROM SCWHERE CNO='C2'πSNO,GRADE(σCNO='C2'(SC))************************************(2) 检索学习课程号为C2的学生学号与姓名------------------------------------SELECT SC.SNO,S.SNAMEFROM SC,SWHERE SC.SNO=S.SNOAND O='C2'------------------------------------πSNO,SNAME(σCNO='C2'(S SC))此查询涉及S和SC，先进行自然连接，然后再执行选择投影操作。
----πSNO,SNAME（S）（πSNO(σCNO='C2'(SC))）自然连接的右分量为"学了C2课的学生学号的集合"。
第4讲关系代数(一)
AθB
– A和B分别是R和S上度数相等且可比的属性组，θ是比 较运算符。
第4讲 关系代数（一）
3.2 关系代数
• 专门的关系运算
– 连接运算
R ⋈ S ={⌒trts| tr∈R∧ts∈S∧tr[A] θts[B] }
AθB
• tr[A] 、ts[B]分别表示关系R、S的元组t在属性 列A、B上诸分量的集合。
第4讲 关系代数（一）
3.2 关系代数
• 传统的集合运算
设R和S是相容关系，则定义并、差、交运算如下： – 并（Union）运算
• R∪S={t|t∈R∨t∈S}
– 差 (Difference)运算
• R－S={t|t∈R∧t S}
– 交（Intersection）运算
• R∩S={t|t∈R∧t∈S}
5 萧伟权 23 男 5 K5 90 5 萧伟权重2复3列 男 5 K1 92
第4讲 关系代数（一）
3.2 关系代数
S
SNO SNA AGE SEX 1 杜清 20 女 5 萧伟权 23 男
SC
SNO CNO G 1 K1 83 5 K5 90 5 K1 92
S SC
S.SNO=SC.SNO
S SC
每一个元素（d1，d2，…，dn）叫作一个n元组（ntuple），或简称为元组（Tuple）。
元素中的每一个di值叫作一个分量（Component）。
第4讲 关系代数（一）
3.2 关系代数
• 传统的集合运算
– 广义笛卡尔积
• 设关系R和关系S分别是m 目和n目关系，R中有k1 个元组，S中有k2个元组，R与S的广义笛卡尔积记 为RXS，它为一个m+n目的新关系，共有k1Xk2个 元组，且每个元组的前 m个分量是关系R的一个元 组，后n个分量是关系S的一个元组。
关系代数、
关系代数、关系代数是一种用于描述和操作关系的数学工具。
它主要侧重于关系的运算和转换，通过一系列的操作来处理关系。
关系代数不仅在数据库领域中广泛应用，还在计算机科学的其他领域中发挥着重要的作用。
在关系代数中，关系是由一个或多个元组组成的集合，每个元组包含了一系列属性和对应的取值。
关系代数提供了一系列操作符，用于对关系进行操作和变换。
常见的关系代数操作包括选择、投影、并、差、笛卡尔积等。
选择操作是从给定的关系中选择满足指定条件的元组。
它通过一个谓词来限制关系中的元组，只保留满足条件的元组。
例如，从一个学生关系中选择年龄大于18岁的学生，可以使用选择操作符来实现。
投影操作是从给定的关系中选择指定的属性。
它通过列出所需的属性，从关系中提取出这些属性的值，生成一个新的关系。
例如，从一个学生关系中选择只包含姓名和学号的属性，可以使用投影操作符来实现。
并操作是将两个关系合并成一个新的关系。
它将两个关系中的元组合并在一起，并去除重复的元组。
例如，将两个班级的学生关系合并成一个班级的学生关系，可以使用并操作符来实现。
差操作是从一个关系中去除满足指定条件的元组，生成一个新的关系。
它通过一个谓词来限制关系中的元组，去除满足条件的元组。
例如，从一个学生关系中去除年龄小于18岁的学生，可以使用差操作符来实现。
笛卡尔积操作是将两个关系的元组进行配对，生成一个新的关系。
它将两个关系中的每个元组进行配对，并生成一个新的关系，新关系中的每个元组由两个关系中的元组合并而成。
例如，将一个班级的学生关系和一个班级的课程关系进行笛卡尔积，可以得到一个包含每个学生和对应课程的关系。
除了以上常见的操作符，关系代数还包括连接、除、交等操作。
连接操作是将两个关系中满足指定条件的元组进行配对，生成一个新的关系。
除操作是从一个关系中去除另一个关系中的元组，生成一个新的关系。
交操作是取两个关系的交集，生成一个新的关系。
关系代数的操作可以通过使用操作符和操作数来实现。
《第讲关系代数》PPT课件
3） tr ts R为n目关系，S为m目关系。tr R，tsS， tr ts称为元组的连接。 它是一个n + m列的元组，前n个分量为R中的一个n元组，后m 个分量为S中的一个m元组。
4）象集 给定一个关系R(X, Z)，X和Z为属性组。当t[X]=x时，x在R中
的象集为： Zx={t[Z]|t R，t[X]=x}
它表示R中属性组X上值为x的诸元组在Z上分量的集合。
专门的关系运算：
σ
1. 选择（Selection）
σF(R) = {t |tR ∧ F(t)= '真'} 在关系R中选择满足给定条件F的诸元组；
F：选择条件，是一个逻辑表达式；由逻辑运算符连接比 较运算表达式 X1θY1组成；
X1θY1 θ：比较运算符（＞，≥，＜，≤，＝或<>）
《第讲关系代数》PPT课 件
2.4 关系代数
➢ 属于关系操作的一种； ➢ 用对关系的运算来表达查询； ➢ 运算对象、结果均为关系。
2.4.1 传统的集合操作（二目运算）
并、交、差运算的条件：两个关系 R 和 S 必须是相容的。 ➢ 具有相同的目n； ➢ 相应属性取自同一个域。
1.并（union） • R∪S＝{t|t∈R∨t∈S} • R 和 S 的并是由属于 R 或属于 S 的元组构成的集合。
RA
B
C
R×S A B C A B C
a1 b1 c1
a1 b1 c1 a1 b2 c2
a1 b2 c2
a1 b1 c1 a1 b3 c2
a2 b2 c1
a1 b1 c1 a2 b2 c1
a1 b2 c2 a1 b2 c2
S
A
B
C
数据库技术及应用 课件 第3章 关系数据库
第3章
关系数据库
3.1.3 关系的完整性 1. 关系模型的实体完整性
关系的实体完整性规则：若属性A是基本关系R的
主属性，则属性A的值不能为空值。 实体完整性规则规定：基本关系的所有主属性都 不能取空值，而不仅是主码不能取空值。实体完整性 的主要作用是： (1) 能够保证实体的惟一性。 (2) 能够保证实体的可区分性。
第3章
关系数据库
第3章 关系数据库
3.1 关系模型及其定义
3.2 关系代数
习题3
第3章
关系数据库
3.1 关系模型及其定义
3.1.1 关系数据结构 在关系模型中，无论是实体集，还是实体集之间 的联系均由单一的关系表示。由于关系模型是建立在 集合代数基础上的，因而一般从集合论角度对关系数 据结构进行定义。
第3章
关系数据库
1. 关系的数学定义 (1) 域。
域是一组具有相同数据类型的值的集合。
(2) 笛卡儿积。 (3) 关系。
第3章
关系数据库
表3-1 D1、D2、D3的笛卡儿积
第3章
关系数据库
表3-2 学 生 关 系
第3章
关系数据库
2. 关系中的基本名词 (1) 元组。 关系表中的每一横行称作一个元组，组成元组的 元素为分量。 (2) 属性。
门的关系运算符、比较运算符和逻辑运算符。
第3章
关系数据库
(1) 集合运算符：∪(并运算)，－(差运算)，∩(交运 算)，×(广义笛卡儿积)。 (2) 专门的关系运算符：σ(选择)，π(投影)，(连接)， ÷(除)。 (3) 比较运算符：＞(大于)，≥(大于等于)，＜(小
于)，≤(小于等于)，＝(等于)，≠(不等于)。
'计算机系'
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精品文档 随意编辑 第三章 关系代数与关系运算 关系数据语言有三类： 1．关系代数语言 2．关系演算语言（元组关系演算语言、域关系演算语言） 3．具有关系代数和关系演算双重特点的语言 如SQL 一．关系代数
关系代数：一种抽象的查询语言，是关系数据操纵语言的一种传统表达方式。用对关系的运算来表达查询。 运算：将一定的运算符作用于一定的运算对象上，得到预期的运算结果 运算三要素：运算符、运算对象、运算结果 关系代数的运算对象和结果都是：关系 关系代数运算符（四类）：集合运算符、专门的关系运算符、算术比较符和逻辑运算符 集合运算符：并（U）、差（—）、交（∩） 传统的集合运算符——从关系的“水平“方向即行的角度来进行 专门的关系运算符：广义笛卡尔积（ⅹ）、选择（σ）、投影（π）、连接、除 专门关系运算符不仅涉及行而且涉及列 比较运算符：>、<、=、≥、≤、≠ 逻辑运算符：￢∧∨ 用来辅助专门的关系运算符 精品文档
随意编辑 二．传统的集合运算符 传统集合运算符是二目运算符 设关系R和S具有相同的目n(即n个属性),且相应的属性取自同一个域 1．并（Union） 记作：RUS={t|t∈R∨t∈S} 结果仍是n目关系，由属于R或S的元组组成。 例：
（a） （b）
（c） （d） (e) 2.差 精品文档 随意编辑 关系R与S的差记作：R-S={t|t∈R∧t∈S} 结果仍是n目，由属于R而不属于S的所有元组组成。 如图E 3.交 关系R与S的交记作：R∩S = { t | t∈R ∧t∈S } 结果仍是n目，由即属于R又属于S的所有元组组成。如图D 可以用差来表示 R∩S=R-(R-S) 4．广义笛卡尔积 两个分别为n目和m目的关系R和S的广义笛卡尔积是一个（m+n）列的元组的集合。元组的前n列是关系R的一个元组，后m列是关系S的一个元组。若R有k1个元组，S有k2个元组，那么关系R与S的广义笛卡尔积有k1 x k2个元组，记作 R×S = { trts | tr∈R ∧ts∈S } 结果是m+n目 如图例
总结：集合运算符主要研究的是元组，即对表中的行进行研究、操作。 三．专门的关系运算符 包括选择、投影、连接、除等，为叙述上方便引入几个记号 1）设关系模式为R(A1,A2,…，An)。它的一个关系为R。t∈R表示t是R的一个元组。精品文档 随意编辑 t［Ai］则表示元组t中相应于属性Ai的一个分量。
例： 关系R（A,B,C）中 t[B2]=b2 2）若A={Ai1，Ai2，…，Aik}，其中Ai1，Ai2，…，Aik是A1，A2，…，An中的一部分，则A称为属性列或域列。t［A］=（t［Ai1］，t［Ai2］…，t［Aik］）表示元组t在属性列A上诸分量的集合。A则表示{A1，A2，…，An}中去掉{Ai1，Ai2，…，Aik}后剩余的属性组。
3)R是n目关系，S是m目关系。tr∈R，ts∈S，trts 称为元组的连接（Concatenation）。它是一个 n＋m列的元组，前n个分量为R中的一个 n元组，后m个分量为S中的一个m元组。具体例的后面讲解
4）给定一个关系R(X,Z),X和Z为属性组，定义，当t[X]=x时，x在R中的象集为： Zx ={ t［Z］ | t ∈ R，t[X] = x }
它表示R中属性组X上值为x的诸元组在Z上分量的集合。 如：Z=(B,C) R=(A,Z), x=a1则 Zx={(b1,c1)(b2,c2)}
1.选择（selection）:又称限制，是在关系R中选择满足给定条件的元组
记作：бF（R）= { t | t ∈ R ∧ F(t) =’真’ } F：表示选择条件，是一个逻辑表达式，逻辑值只有“真”和“假”，由逻辑运算符连接算术表达式组成。 算术表达式基本形式：X1 θ Y1 ，其中θ表示比较运算符，它可以是＞，≥，＜，≤，=或≠。X1，Y1等是属性名，或为常量，或为简单函数；属性名也可以用它的序号来代替。
例：学生—课程数据库， 包括学生关系Student（学号、姓名、性别、年龄、所在系）， 精品文档 随意编辑 课程关系Course(课程号，课程名，先行课，学分) 选修关系SC(成绩) 画出上面数据库中的E-R图，先由学生画出，然后给出结果 E-R图结果如下：
根据E-R图设计其表如下： （a） （b） 精品文档
随意编辑 （c） 下面的例子要现场建立一个数据表,在SQL SERVER中测试查询语句。 例1：查询信息系统（IS系）全体学生 σSdept=’IS’(Student) 或 σ5=’IS’(Student) 其中下角标“ 5”为 Sdept的属性序号。结果如图
对应SQL语句为：SELECT * FROM Student where Sdept=”IS”; 例2：查询年龄小于20岁的学生 σSage<20 (Student) 或σ4<20(Student) 结果如下图
对应的SQL语句为：SELECT * FROM Student WHERE Sage<20; 2.投影（从列的角度进行运算） 关系R上的投影是从R中选择若干属性列组成新的关系：记作πA（R）= { t[A] | t∈R }，其中A为R中的属性列。查询结果会取消有重复的列 例3：查询学生的姓名和所在系，即求Student关系在学生姓名和系上的投影。 精品文档 随意编辑 代数式为：πSname,Sdept（Student） 或 π2, 5（Student），结果如图：
对应的SQL语句为：SELECT Sname,Sdept FROM Student 例4：查询学生关系中有哪些系？ 代数式为：πSdept（Student） 或 π5（Student），结果如上图： 对应的SQL语句为：SELECT Sdept FROM Student 3．连接（又称θ连接） 它是从两个关系的笛卡尔积中选取属性间的满足一定条件的元组。
记作：}][][|{||BtAtStRtttSRsrsrsrBA
期中A和B分别为R和S上度数相同且可比的属性组。θ是比较运算符。连接运算从R和S的广义笛卡尔积RxS中选取在A属性祖上的值与在B属性组上值满足比较关系θ的元组。 重要两种的连接：等值连接（equijoin）、自然连接(natural join) 1)等值连接：θ为“=“的连接运算，是从关系R与S的广义笛卡尔积中选取A,B属性
值相等的那些元组，即：}][][|{||BtAtStRtttSRsrsrsrBA 2）自然连接：一种特殊的等值连接，要求两个关系中进行比较的分量必须是相同的属性组，并且结果中把重复的属性列去掉。即若R和S具有相同的属性组B,则自然连接可记
作：}][][|{||BtAtStRtttSRsrsrsrBA 一般的连接从行的角度，自然连接要取消重复列，是从行和列的角度进行运算。 连接对应后面的SQL语句的嵌套查询等 精品文档 随意编辑 例：有关系关系R和关系 S如图（a）(b) ，则SREC|| 如图（c）等值连接SRBSBR||..的结果为图（d），自然连接结果为（e）
（a） （b） （c） （d） （e） 4．除——从行和列的角度进行运算 给定关系R(X,Y)和S(Y,Z),其中X,Y,Z为属性组。R中的Y与S中的Y可以有不同的属性名，但必须出自相同的域集。 R与S的除运算得到一个新的关系P(X),P是R中满足下列条件的元组在X属性列上的投影：元组在X上分量值x的象集Yx包含S在Y上投影的集合。
记作： 其中Yx为x在R中的象集x=tr[X].
例6：关系R和S如图 精品文档
随意编辑 (a) (b) (c) 对应概念中有R(A,Y)和S(Y,D)其中， Y为属性列组（B,C） 关系R中A可以取四个值{a1,a2,a3,a4}其中 a1的象集为{（b1,c2）,(b2,c3),(b2,c1)} a2的象集为{(b3,c7),(b2,c3)} a3的象集为{(b4,c6)} a4的象集为{(b6,c6)} S在(B,C)上的投影为{(b1,c2),(b2,c1),(b2,c3)} a1的象集(B,C)a1包含了S在(B,C)属性组上的投影，故R÷S={a1}
Cno 1 3 精品文档 随意编辑 综合练习： 例7：查询至少选修1号课程和3号课程的学生学号. 先建立一个临时关系K，然后求：πSno,Cno(SC)÷K 结果为{95001} 例8：查询选修了2号课程的学生的学号 πSno(бcno=’2’(SC))={ 95001,95002 } 例9：查询至少选修了一门其直接先行课为5号课程的学生的姓名 分解：先查询先行课为5号课程的课程，然后再查询选修的学生 πSname,(бCpno=’5’(Course) |×| SC |×|πSno,Sname(Student)) 或 πSname,( πSno(бCpno=’5’(Course) |×| SC) |×|πSno,Sname(Student)) 例10：查询选修了全部课程的学生学号和姓名 πSno,Cno(SC) ÷ πCno(Course) |×| πSno,Sname(Student) 课下练习、作业 总结：掌握各种运算符的运算规则和使用方法 四、关系演算只要给学生讲解概念就可，具体的运算语言不作讲解 关系演算以数理逻辑谓词为基础的。 分为：元组关系演算和域关系演算 以元组为变量的关系演算称为元组关系演算 以域为变量的关系演算称为域关系演算 对应的典型语言分别是元组关系演算语言ALPHA、域关系演算语言QBE(Query By Example)
作业：80页课后习题5、6