八年级数学等腰三角形课件.ppt
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人教版《等腰三角形》ppt课件初中数学1
一般地，判断三角形形状的关键在于要先求出三角形的 三个内角度数或三条边长,或找到角（边）所满足的重要数 量关系,然后再利用等腰（等边）三角形的判定方法,进行 三角形形状的判断.
初中数学
知识运用
二、运用等腰三角形的判定和性质进行边角等有关计算
初中数学
例 如图，在△ABC中,AB=AC,∠A=40°,DE垂直平分AB
2、特殊的等腰三角形：等边三角形
本课小结
AE=ED=DB=BC
A
D
C
等腰三角形：△AED,△EDB,△BCD.
初中数学
初中数学
变式: 如图,在△ABC中,∠ABC=120°,点D，E分别在AC和
AB上,且AE=ED=DB=BC,若∠A的度数为x°,则用x的代数
式表示∠C为__3_x_°_,并求∠A=_1_5__°.
初中数学
例 已知三角形△ABC的三边长为a,b,c.
(4)当满足(a-b)²+(b-c)²+(c-a)²=0时,则三角形的形状为 等边三角形 .
分析： ∵(a-b)²+(b-c)²+(c-a)²=0; (a-b)²,(b-c)²,(c-a)²均具有非负性, ∴(a-b)²=0,且(b-c)²=0,且(c-a)²=0. ∴a=b 且 b=c 且 c=a. 根据等边三角形定义,得△ABC是等边三角形.
初中数学
初中数学
例 如图,△ABC是等边三角形,AD⊥BC,DE⊥AB,垂足分别
为D,E.若AB=8,则BD=____4_,BE=____2_.
分析：
等边三角形△ABC
AB=AC=BC=8 ∠BAC=∠B=∠C=60°
A
AD⊥BC AD: 三线合一
DE⊥AB ∠BED=∠AED=90°
等腰三角形的判定 —初中数学课件PPT
线就是等腰三角形的对称轴。
如图，在△ABC中， AB=AC时，
(1) ∵AD⊥BC，∴∠B__A_D_= ∠C_A__D_，B__D_= _C_D_.
(2) ∵AD是中线，∴_A_D_⊥B__C_ ，∠B_A__D_ =∠_C_A__D. (3) ∵AD是角平分线，∴A__D_ ⊥_B_C_ ，_B_D__ =C__D__.
O
A
B
从而肯定两艘救生船以同样的速度同时出发， 大约能同时赶到出事地点。
例2、求证：如果三角形一个外角的平分线
平行于三角形的一边，那么这个三角形是等
腰三角形。
D
已知：AE是△ ABC的外角平分线, A
E
且AE ∥ BC.
求证:AB=AC
B
C
D
已知：AE是△ ABC的外角平分线,
且AE ∥ BC.
B
3、如图，AC和BD相交于点O，且 AB∥DC，OA=OB。
求证：OC=OD。
已知:在△ ABC中,AB=AC, ∠ABC和∠ACB 平分线交于点D.求:
(1)写出图中的等腰三角形？并证明 (2)过点D作EF∥BC,写出图中的等腰三角形，并证明
(3)直接写出EF,BE,CF的数量关系
(4)若AB≠AC,以上结论还成立吗?为什么?
小结
• 通过这节课的学习，你有哪些收获？ 1、等腰三角形的判定方法： 定义、判定定理
2、等腰三角形的判定及其在实际生活 中的应用
作业
必做：能力培养第二课时 选作：能培p57——10
等腰三角形的判定
1、等腰三角形是怎样定义的？
有两条边相等的三角形,叫做等腰三角形。
2、等腰三角形有哪些性质？来自A①等腰三角形的两个底角相等 (简写成“等边对等角”) 。
【课件】等腰三角形的性质+课件人教版数学八年级上学期
4. 如图，在△ABC中，AB＝AC，点D在AC上，且BD＝ BC＝AD，求∠A的度数．
解：设∠A＝x°. ∵BD＝AD， ∴∠ABD＝∠A＝x°. ∴∠BDC＝2x°. ∵BD＝BC， ∴∠C＝∠BDC＝2x°. ∵AB＝AC，∴∠ABC＝2x°. ∵∠A＋∠ABC＋∠C＝180°， ∴x＋2x＋2x＝180.∴x＝36. 即∠A＝36°.
(2)等腰三角形的一个角为70°，则它底角的度数为 _5_5_°__或__7_0_°___．
3. 如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝40°，MN是AB
的垂直平分线，求∠DBC的度数．
解：∵∠A＝40°，AB＝AC， ∴∠ABC＝∠ACB＝70°. ∵MN垂直平分AB， ∴DB＝AD. ∴∠ABD＝∠A＝40°. ∴∠DBC＝∠ABC－∠ABD＝70°－40°＝30°.
5.如图，点D，E在△ABC的边BC上，AB＝AC，
BD＝CE.求证：AD＝AE. 证明：∵AB＝AC，∴∠B＝∠C.
AB＝AC，
在△ABD和△ACE中，B＝C， ∴△ABD≌△ACE. BD＝CE， ∴AD＝AE.
6. 如图，点D，E在△ABC的边BC上，AB＝AC，AD＝ AE.求证：BD＝CE.
例2.已知等腰三角形的两边长分别为4和6，则周长为
_1__4_或__1_6_；
变式2.一等腰三角形的一个外角是110°，则它的底角的度 数为 70°或 55°．
例3.如图，点D在AC上，AB＝BD＝DC，∠C＝40°，
求∠A，∠ABD的度数．
解：∵BD＝DC， ∴∠DBC＝∠C＝40°.
∴∠BDA＝∠DBC＋∠C＝40°＋40°＝80°. 又 ∵AB＝BD， ∴∠A＝∠BDA＝80°. ∴∠ABD＝180°－∠A－∠BDA
人教版数学八年级上册13.3.1等腰三角形(一)-课件
AB=AC ( 已知 ) ∠1=∠2 ( 已作 )
B DC
AD=AD (公共边)
∴ △BAD ≌ △CAD (SAS).
∴ ∠ B= ∠C (全等三角形的对应角相等).
方法三：作底边的高线
等腰三角形的两个底角相等。
已知： 如图，在△ABC中，AB=AC.
求证： ∠B= ∠C.
证明：作底边的高线AD，则
(3) ∵AD是角平分线，∴_A__D_ ⊥__B_C_ ，__B_D__ =__C_D__.
知一线得二线
A
“三线合一”可以帮助我
们解决线段的垂直、相等
以及角的相等问题。
B
DC
2、等腰三角形一个底角为70°,它的顶角为4_0__°___.
3、等腰三角形一个角为70°,它的另外两个角为 7_0_°__,_4_0_°__或____5_5_°__,5_5.°
A
B
D
C
性质3 等腰三角形是轴对称图形，其顶角的平分
线（底边上的中线、底边上的高）所在的直线就是
等腰三角形的对称轴。
1. 根据等腰三角形性质2填空, 在△ABC中， AB=AC，
(1) ∵AD⊥BC，∴∠_B_A__D_ = ∠__C_A__D，_B_D__=C__D__.
(2) ∵AD是中线，∴_A_D__⊥_B__C_ ，∠__B_A_D_ =∠__C_A__D.
DF⊥AC于F
E
F 求证：DE＝DF
BD C
(2)如果DE、DF分别是AB,AC上的中线或∠ADB,
∠ADC的平分线，它们还相等吗？由等腰三角形是轴对
称图形，利用类似的方法，还可以得到等腰三角形中哪
些相等的线段？
活动5:反馈练习
练习1:小试牛刀
B DC
AD=AD (公共边)
∴ △BAD ≌ △CAD (SAS).
∴ ∠ B= ∠C (全等三角形的对应角相等).
方法三：作底边的高线
等腰三角形的两个底角相等。
已知： 如图，在△ABC中，AB=AC.
求证： ∠B= ∠C.
证明：作底边的高线AD，则
(3) ∵AD是角平分线，∴_A__D_ ⊥__B_C_ ，__B_D__ =__C_D__.
知一线得二线
A
“三线合一”可以帮助我
们解决线段的垂直、相等
以及角的相等问题。
B
DC
2、等腰三角形一个底角为70°,它的顶角为4_0__°___.
3、等腰三角形一个角为70°,它的另外两个角为 7_0_°__,_4_0_°__或____5_5_°__,5_5.°
A
B
D
C
性质3 等腰三角形是轴对称图形，其顶角的平分
线（底边上的中线、底边上的高）所在的直线就是
等腰三角形的对称轴。
1. 根据等腰三角形性质2填空, 在△ABC中， AB=AC，
(1) ∵AD⊥BC，∴∠_B_A__D_ = ∠__C_A__D，_B_D__=C__D__.
(2) ∵AD是中线，∴_A_D__⊥_B__C_ ，∠__B_A_D_ =∠__C_A__D.
DF⊥AC于F
E
F 求证：DE＝DF
BD C
(2)如果DE、DF分别是AB,AC上的中线或∠ADB,
∠ADC的平分线，它们还相等吗？由等腰三角形是轴对
称图形，利用类似的方法，还可以得到等腰三角形中哪
些相等的线段？
活动5:反馈练习
练习1:小试牛刀
八年级数学《等腰三角形的性质》课件
基本训练：
1.等腰三角形的概念 2.请拿出一张的长方形纸片，试一试， 通过折叠一次，剪一次，是否可以剪出 一个等腰三角形呢？
动手操作
如图,把一张长方形的纸按图中虚线对折, 并剪去绿色部分, 再把它展 开,得到的△ABC有什么特点? B
A
AB=AC 等腰三角形
C
导新定向：
1.了解等腰三角形的概念，认识等腰三角形
折 演
示
证明：等腰三角形的两个底角相等 已知： △ ABC中，AB=AC.
作底边中线 A
求证： ∠B= ∠C.
作底边中线AD.
在△BAD和△CAD中，
证明： AB=AC
( 已知 ),
BD=CD ( 辅助线作法 )，
AD=ADபைடு நூலகம்(公共边) ,
BDC
∴ △BAD ≌ △CAD (SSS).
∴ ∠ B= ∠C (全等三角形的对应角相等). 思考:再通过做顶角平分线和底边上的高线，你能发现什么结论？
是轴对称图形 2.经历探究等腰三角形性质的过程，理解等 腰三角形的性质的证明 3.掌握等腰三角形的性质，能运用等腰三角 形的性质解决生活中简单的实际问题
观察你所得到等腰三角形，你能发现等
腰三角形具有哪些性质？
A
∠B＝∠C
等腰三角形的性质１：
B
C
等腰三角形的两个底角相等 D
（简写成“等边对等
对
角”）
5. 等腰三角形的两边长为3和6，则这个三角形的周长为
一、填空：
1、△ ABC中，AB=AC,∠A= 36◦,则∠B=____，∠C=____。
2、△ ABC中，AB=AC,∠B= 36◦,则∠A=___，∠C=____。
二、R t△ ABC，∠BAＣ=100◦，AB=AC， ＡＤ⊥ＢＣ，求∠BAＤ， ∠ＣAＤ ，∠B， Ｃ
1.等腰三角形的概念 2.请拿出一张的长方形纸片，试一试， 通过折叠一次，剪一次，是否可以剪出 一个等腰三角形呢？
动手操作
如图,把一张长方形的纸按图中虚线对折, 并剪去绿色部分, 再把它展 开,得到的△ABC有什么特点? B
A
AB=AC 等腰三角形
C
导新定向：
1.了解等腰三角形的概念，认识等腰三角形
折 演
示
证明：等腰三角形的两个底角相等 已知： △ ABC中，AB=AC.
作底边中线 A
求证： ∠B= ∠C.
作底边中线AD.
在△BAD和△CAD中，
证明： AB=AC
( 已知 ),
BD=CD ( 辅助线作法 )，
AD=ADபைடு நூலகம்(公共边) ,
BDC
∴ △BAD ≌ △CAD (SSS).
∴ ∠ B= ∠C (全等三角形的对应角相等). 思考:再通过做顶角平分线和底边上的高线，你能发现什么结论？
是轴对称图形 2.经历探究等腰三角形性质的过程，理解等 腰三角形的性质的证明 3.掌握等腰三角形的性质，能运用等腰三角 形的性质解决生活中简单的实际问题
观察你所得到等腰三角形，你能发现等
腰三角形具有哪些性质？
A
∠B＝∠C
等腰三角形的性质１：
B
C
等腰三角形的两个底角相等 D
（简写成“等边对等
对
角”）
5. 等腰三角形的两边长为3和6，则这个三角形的周长为
一、填空：
1、△ ABC中，AB=AC,∠A= 36◦,则∠B=____，∠C=____。
2、△ ABC中，AB=AC,∠B= 36◦,则∠A=___，∠C=____。
二、R t△ ABC，∠BAＣ=100◦，AB=AC， ＡＤ⊥ＢＣ，求∠BAＤ， ∠ＣAＤ ，∠B， Ｃ
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A
∴∠_B_A__D_ = ∠_C_A_D__，_B_D__= _C__D_.
(2) ∵AD是中线， ∴_A__D_⊥_B__C_ ，∠BA__D___ =C∠A_D____. B (3) ∵AD是角平分线， ∴_A_D__ ⊥_B__C_ ，__B_D__ =__C_D__.
DC
等腰三角形是不是轴对称图形?
例1 如图，在△ ABC中，AB=AC，点D在AC上，
且BD=BC=AD。求△ ABC各角的度数。
A
1 2
B
D
3
Cቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
解：∵ AB=AC BD=BC=AD
∴ ∠ABC= ∠ C= ∠ 3 ∠ A= ∠1(等边对等角)
设 ∠ A=x，则 ∠ 3= ∠ A+ ∠ 1=2x
从而 ∠ ABC= ∠ C= ∠ 3=2x 于是在△ ABC中，有
AD平分∠BAC
顶角平分线、
12
BD=CD
AD是BC的中线
底边上的中线、
∠ADB= ∠ ADC=900
AD垂直于BC
是底边上的高，
性质2:
C
等腰三角形的顶角平分线、底边上 B
D
的中线、底边上的高相互重合。
简称“等腰三角形三线合一”.
根据等腰三角形性质定理2,在△ABC中， AB=AC时，
(1) ∵AD⊥BC，
作底边的高线
证明：等腰三角形的两个底角相等
A
已知： △ ABC中，AB=AC.
求证： ∠B= ∠C.
证明：作底边高线AD. 在Rt△BAD和△RtCAD中，
B DC
AB=AC ( 已知 ),
AD=AD (公共边) , ∴ Rt △BAD ≌ Rt △CAD (HL). ∴ ∠ B= ∠C (全等三角形的对应角相等).
江西省赣县二中 肖斌
A
顶 腰角 腰
底角
B
C
底边
定义：两条边相等的三角形叫做等腰三角形.
请拿出一张的长方形纸片，试一试， 通过折叠一次，剪一次，是否可以剪出 一个等腰三角形呢？
观察你所得到等腰三角形，你能发现等 腰三角形具有哪些性质？
观察你所得到等腰三角形，你能发现等
腰三角形具有哪些性质？
3、等腰三角形一个内角为70°,它的另外两个角为 70°,40°或55°__,5_5_°______________.
4、等腰三角形一个内角为100°,它的另外两个角为_4_0__°__，__40__°_.
观察我们刚才的探索与证明过程，你发现等腰三角 形两底角相等外，你还发现了哪些等量关系？
A
∠1= ∠ 2
∠ A+ ∠ ABC+ ∠ C=x+2x+2x=1800 解得 x=360 在 △ABC中， ∠ A=360， ∠ ABC= ∠ C=720
已知：如图， △ ABC中， ∠ABC=50 º, ∠ACB=80 º,延长
CB至D,使BD=BA,延长BC至E,使CE=CA .连结AD、AE.
求∠D、∠E、∠DAE的度数 .
C
A
B
等
腰
等边对等角
三
角
形
的 性
等腰三角形
质
三线合一
作 课本:P56页 业 ： 第4、7题
等腰三角形的性质１：
等腰三角形的两个底角相等
（简写成“等边对等角”） A
注意：等边对等角是指
在 一个 三角形中 。
用符号语言表示为：
在△ABC中，
B
C
∵ AB=AC
∴ ∠B=∠C (等边对等角）
1、等腰三角形一个顶角为70°,其它两个角为_5_5_°__，__5_5_°.
2、等腰三角形一个底角为70°,它的顶角为___4_0_°_.
A
∠B＝∠C
等腰三角形两个底角相等.
B
C
D
作顶角的平分线
证明：等腰三角形的两个底角相等 A
已知： △ ABC中，AB=AC.
12
求证： ∠B= ∠C.
BD C 证明： 作顶角的平分线AD. 在△BAD和△CAD中，
AB=AC ( 已知 ), ∠ 1= ∠ 2 ( 辅助线作法 )， AD=AD (公共边) , ∴ △BAD ≌ △CAD (SAS). ∴ ∠ B= ∠C (全等三角形的对应角相等).
作底边中线
证明：等腰三角形的两个底角相等
A
已知： △ ABC中，AB=AC.
求证： ∠B= ∠C.
证明：作底边中线AD. 在△BAD和△CAD中，
B DC
AB=AC ( 已知 ),
BD=CD ( 辅助线作法 )，
AD=AD (公共边) , ∴ △BAD ≌ △CAD (SSS). ∴ ∠ B= ∠C (全等三角形的对应角相等).
A
解：∵BD=CD
∴∠D=∠DAB
∵ ∠ABC=∠D+∠DAB ∴∠D= _1_∠ABC=250
2 ∵CE=CA
D
B
C
E
∴∠E=∠CAE ∵ ∠ACB=∠E+∠CAE
∴∠E= _1_∠ACB=400
2
∵ ∠DAE+∠E+∠D=1800 ∴∠DAE= 1800-250-400=1150
小明练习册上的一个等腰三角形被墨迹污染了， 只有它的底边AB和∠B还保留着。你怎样画出练 习册上原来的等腰三角形形状呢？