关系映射反演原则

关(RMI 原则)1 RMI 原则的思想与含义关系映射反演法(简记为RMI 原则)的基本思想是转换思想，即把一种待解决或未解决的问题,通过某种转化过程，归结到一类已经解决或比较容易解决的问题中去,最终求得原问题的解答。

关系映射反演法是在这一转换思想指导下处理数学问题的一种具体手段与方式。

一般地可表述为：设S 为含有目标原像x 的、具有某种关系结构的集,若在S 中直接求x 有困难,可建立可逆映射φ，它满足：(1) S 在φ下的像φ(S)包含于另一个具有关系结构的集S*；且(2)S*中可以较容易地确定目标映像x*=φ(x) ，这样一来,就可以通过反演1-ϕ来确定x(即x=1-ϕ(x*))。

这个全过程可以概括为以下几个步骤:关系→映射→定映→反演→得解，并可用图表示如下：2关系映射反演原则在概率逼近中的应用用概率方法研究逼近中的问题，其关键是如何运用关系映射反演原则，即包括怎样把逼近中的有关问题适当地用概率语言描述，使其变成概率中的问题（此步即寻找关系映射φ）然后是如何应用概率论的方法把用概率语言描述的逼近问题进行处理,即求解（此步为映射功φ），最后是把定映后的概率语言翻译成我们所要解决的逼近问题（此步为反演1-φ）。

下面用图说明此过程。

由关系映射反演原则知：概率逼近的关键是如何通过原象关系，确定映射φ（用概率语言描述） 确定定映ψ（怎样在概率论中求解）和反演1-ϕ中（去掉概率语言）。

下面通过例子来说明关系映反演原则在概率逼近中的重要作用及应用。

3用概率论方法weiesrtrass 逼近定理定理：设)(x f 在ba ,上连续，那么对任意0>ε，总存在多项式)(x φ，使得：φ-f =εφ<-)()(sup x x fba x ,∈由数学分析教材只需考虑1,0,=b a 的情形即可,现在我们先应用概率知识来直观地解释一下weiesrtrass 定理的概率证明的想法及Bernstein 多项式的由来和关系映射反演原则的作用1设随机变量ξ的取值范围为{0,1}，对任意}1,0{∈x 它的分布律为x P x -==1)0(ξ，x P x ==)1(ξ (1) （此处及今后与x 有关的概率记作(.)x P )设1ξ，2ξ， n ξ总与ξ同分布，且相互独立。

对任意1,0∈x ，∑=nk 1ξ，服从二项分布)(1L P nk k x =∑=ξ Ln L L k L x x C P --=)1(L=0，1， ，n (2)2 对任意1,0∈x ，与x 有关的数学期望，方差分别记成(.)x E ，(.)x D ，则在上述记号下，由概率论知)6()1(1)1()5()1()4(1)1()3(1)1(01212211nx x D nn D x x E E D x E n n E x x x E k n k k n k k x x x x k nk k n k k x x -==-=-====⋅+-⋅=∑∑∑∑====ξξξξξξξξ3切贝晓夫不等式：设随机变量η的方差存在，则对任意正数δ，有不等式)7((2δηδηηD E P ≤≥-由切贝晓夫不等式及（4），（6）知，对任何1,0∈x 及任何0>δ有)8(41)1()1(1)|)1(1(|1(1222111∑∑∑∑====≤-=≤≥-=≥-n k k x nk k n k x k x n k k x n n x x n D n E n P x n P δδξδδξξδξ这就是说，当n 充分大时，∑=n k k n 11ξ与x 的误差δ≥的“可能性”很小，即∑=nk k n 11ξ与x 的误差δ<“可能性”很大。

而δ任意，所以可以认为：当n 充分大时，在上述意义下∑=n k k n 11ξ可以任意“逼近”x ，于是在上述意义下(f ∑=nk k n 11ξ) 可以任意逼近)(x f ，由于随机变量η的数学期望的直观意义为η的按概率平均所得的值，所以我们可以推测当n 充分大时，(f E x ∑=nk k n 11ξ）逼近(f E x x ）=)(x f 而由（2）及随机变量函数的数学期望的公式)9()1()()()1(001Ln L L n nL L n L n k k x x x C n Lf P n L f n f E -===-==∑∑∑ξ这就是Bernstein 多项式)(x B n 下面是这个近逼定理的概率证明 证：给定1,0∈x ，由（9）得)()1(1x B n f E n nk k x =∑=ξ又有数学期望的性质，)()(x f x f E x =，ηηE E ≥可得)10(21|)()(|)(|)()(||)()(|)(|)()(|)(|)()(||)()1(||)(1(|)1(|)(1(|)()(111011'1∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑+≥-=-+<-=-==-=-≤-=-=-=======εξεξξξξξx f nLf L P x f n Lf x f n Lf L P x f n Lf L P x f n Lf x f n f E x f n f E x f E n f E x f x B n k k x nk k x nk k x nL nk k x nk k xnk x k x n显然由（2）可得)11()(101εξε==≤∑∑∑==L P n L nk kx这需要估计∑2由于)(x f 在1,0连续，因在1,0上有界，设其界为M ，即对任何1,0∈x ，Mx f ≤)(于是)12()|)()1(1(2)()(|(2211∑∑∑∑==≥-+=≥-=≤nk k x nk k x x f n MP x f n Lf LP Mεξεξ由于)(x f 在1,0连续因而一致连续，即对任何0>ε，存在1,0∈x 无关的0>δ，使得对任何x ，1,0'∈x ，且当δ<-'x x 时，有ε<-)()('x f x f ，或当ε≥-)()('x f x f 时δ≥-'x x 成立，于是对任何1,0∈x ，)13(|1||)()11(|11δξεξ≥-⇒≥--∑∑==x n x f n f nk k n k k故由于k ξ是随机取值的，1ξ，2ξ，..........n ξ每次取值时，上述两个不等式可能成立，也可能不成立，所以他们是随机事件，记作⎭⎬⎫⎩⎨⎧≥-=∑=εξn i k x f n f A 1)()1( B=⎭⎬⎫⎩⎨⎧≥-=∑=δξn k k x n A 11。

由（13）知；B A ⊂因而由概率的性质得)()(B P A P ≤，再由（8）得2121141)1(1)|1(|))()1((πδξδδξεξ≤≤≥-≤≥-∑∑∑===n i k x n i k x n i k n n D x n P x f n f P （14） 故有（14) (12)得)15(2412222δδn Mn M≤≤∑由上述讨论知道，对任一0>α，去不等式（10）中2αξ=，取δ为满足（13）中的δ（由上面讨论知它是存在的）且取2αδMN >(与)1,0(∈α无关）， 于是由（10），（11），（15）知当N n >时，αααδα=+<+<-2222)(2n M x f B n 对任何1,0∈x 都成立。

即)(x B n 在(0,1)上一致收敛于)(x f ，故定理获证明显的看出关系映射反演原则在处理间题过程中的重要作用4 Kerovkin 定理的概率证明Kerovkin 定理：设线性正算子序列);(x f L n 满足条件 )(1),1(x x L n n α+= )(),(x x x t L n n β+=)(),(22x x x t L n n γ+= )(x n α，)(x n β，)(x n γ在这区间b a ,上一致收敛于零。

又设函数)(t f 有界且在区间ba ,上连续、于点a 为左连续，于点b 为右连续。

则在区间ba ,上序列),(x f L n一致收敛于函数)(x f 。

1证明不失一般性可设1),1(=x L n 2 由正线性算子⇒有界算子⇒连续算子 因为ba c f ,∈∀，)(max x f f =ba x ,∈1)(≤ft fba t ,∈而1),1(=x L n ，固由nL 的正线性知1),1(),)((=≤x L x ft f L n n即fx t f L n ≤)),((即nL 是有界算子，从而是连续算子3 由Riesz 表示定理，知⎰=ba x n n t dg x f x f L )()(),(,其中)(,t g x n 是关于t 的b a ,上的正规有界变差函数。

)(,=a g x n ，是正性算子但由L 是正性算子，)(,t g x n 是ba ,上的不减函数，又由1),1(=x L n 知1)(,=b g x n⎪⎩⎪⎨⎧>≤<≤=b t bt a x g a t t G x n x n 1)(0)(,,4)(,t G x n 是概率分布函数，)(,t G x n 确定的概率测度设为P ，再设随机变量P F b a ,,,∈ξ，服从此分布。

5⎰=b ax n n t dG t f x f L )()(),(,)())(()()()()(),(,x f f E t dG x f t f x f x f L b ax n n -=-=-⎰ξ6 由f 的一直连续性，0>∀ε，0>∃δ当δ≤-21t t 时2(21ε≤-t t f记)(max x f M =ba x ,∈xx t x P Mx t t dG M t dG t dG x f t f x f x f L x n ba x n x t x t x nb an ≥-≥-+≤≥-+≤+=-≤-⎰⎰⎰⎰⎰≥-<-)(22)(2)(2)()()()(),(,,,δξεδεδδ因为n n n ban x n x x x E x x x t L t tdG E βξβξξξβξ--≥--=-+===⎰)()(),()(,由概率的单调性及{}{}|)(||)(|||)(||x E w w x w w n βδξξδξ-≥-≤≥-知：))(()(x E P x P n βδξξδξ-≥-≤≥-由Tchcbycheff 不等式：2))(()((x D t E P n n βδξβδξξ-≤-≥-而)(2)()(),(),(22222x x x x x t L x t L E E D n n n n n γβγξξξ--=-=-=当∞→n 时，)(ξD 一致趋于0. 故)(),(x f x f L n →⇒ 定理证完。