专题一函数与导数文科数学
高中数学 文科 导数 第1课时 导数与函数的单调性文科(含答案)
第2节导数在研究函数中的应用一、选择题1.函数f(x)＝x－ln x的单调递减区间为()A.(0，1)B.(0，＋∞)C.(1，＋∞)D.(－∞，0)∪(1，＋∞)解析函数的定义域是(0，＋∞)，且f′(x)＝1－1x＝x－1x，令f′(x)<0，解得0<x<1，所以单调递减区间是(0，1).答案 A2.已知f(x)＝1＋x－sin x，则f(2)，f(3)，f(π)的大小关系正确的是()A.f(2)>f(3)>f(π)B.f(3)>f(2)>f(π)C.f(2)>f(π)>f(3)D.f(π)>f(3)>f(2)解析因为f(x)＝1＋x－sin x，所以f′(x)＝1－cos x，当x∈(0，π]时，f′(x)>0，所以f(x)在(0，π]上是增函数，所以f(π)>f(3)>f(2).答案 D3.(2014·课标全国Ⅱ卷)若函数f(x)＝kx－ln x在区间(1，＋∞)单调递增，则k的取值范围是()A.(－∞，－2]B.(－∞，－1]C.[2，＋∞)D.[1，＋∞)解析∵f′(x)＝k－1 x，依题意f′(x)≥0在(1，＋∞)上恒成立，∴k≥1x在x∈(1，＋∞)上恒成立，由x>1，得0<1x<1，所以k≥1.答案 D4.(2017·山东卷)若函数e x f(x)(e＝2.718 28…是自然对数的底数)在f(x)的定义域上单调递增，则称函数f (x )具有M 性质，下列函数中具有M 性质的是( )A.f (x )＝2－xB.f (x )＝x 2C.f (x )＝3－xD.f (x )＝cos x 解析 设函数g (x )＝e x ·f (x )，对于A ，g (x )＝e x ·2－x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫e 2x ，在定义域R 上为增函数，A 正确；对于B ，g (x )＝e x ·x 2，则g ′(x )＝x (x ＋2)e x ，由g ′(x )>0得x <－2或x >0，∴g (x )在定义域R 上不是增函数，B 不正确；对于C ，g (x )＝e x ·3－x＝⎝ ⎛⎭⎪⎫e 3x 在定义域R 上是减函数，C 不正确；对于D ，g (x )＝e x ·cos x ，则g ′(x )＝2e xcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4，g ′(x )>0在定义域R 上不恒成立，D 不正确.答案 A5.(2018·保定一中模拟)函数f (x )的定义域为R ，f (－1)＝2，对任意x ∈R ，f ′(x )>2，则f (x )>2x ＋4的解集为( )A.(－1，1)B.(－1，＋∞)C.(－∞，－1)D.(－∞，＋∞) 解析 由f (x )>2x ＋4，得f (x )－2x －4>0，设F (x )＝f (x )－2x －4，则F ′(x )＝f ′(x )－2， 因为f ′(x )>2，所以F ′(x )>0在R 上恒成立，所以F (x )在R 上单调递增.又F (－1)＝f (－1)－2×(－1)－4＝2＋2－4＝0，故不等式f (x )－2x －4>0等价于F (x )>F (－1)，所以x >－1.答案 B二、填空题6.已知函数f (x )＝(－x 2＋2x )e x (x ∈R ，e 为自然对数的底数)，则函数f (x )的单调递增区间为________.解析 因为f (x )＝(－x 2＋2x )e x ，所以f ′(x )＝(－2x ＋2)e x ＋(－x 2＋2x )e x＝(－x 2＋2)e x .令f ′(x )>0，即(－x 2＋2)e x >0，因为e x >0，所以－x 2＋2>0，解得－2<x <2，所以函数f (x )的单调递增区间为(－2，2).答案 (－2，2)7.(2018·安徽江南十校联考)设函数f (x )＝12x 2－9ln x 在区间[a －1，a ＋1]上单调递减，则实数a 的取值范围是________.解析 易知f (x )的定义域为(0，＋∞)，且f ′(x )＝x －9x .由f ′(x )＝x －9x <0，解得0<x <3.因为f (x )＝12x 2－9ln x 在[a －1，a ＋1]上单调递减，∴⎩⎨⎧a －1>0，a ＋1≤3，解得1<a ≤2. 答案 (1，2]8.(2018·银川诊断)若函数f (x )＝ax 3＋3x 2－x 恰好有三个单调区间，则实数a 的取值范围是________.解析 由题意知f ′(x )＝3ax 2＋6x －1，由函数f (x )恰好有三个单调区间，得f ′(x )有两个不相等的零点，所以3ax 2＋6x －1＝0需满足a ≠0，且Δ＝36＋12a >0，解得a >－3，所以实数a 的取值范围是(－3，0)∪(0，＋∞).答案 (－3，0)∪(0，＋∞)三、解答题9.已知函数f (x )＝x 3＋ax 2－x ＋c ，且a ＝f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫23. (1)求a 的值；(2)求函数f (x )的单调区间.解 (1)由f (x )＝x 3＋ax 2－x ＋c ，得f ′(x )＝3x 2＋2ax －1.当x ＝23时，得a ＝f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫23＝3×⎝ ⎛⎭⎪⎫232＋2a ×23－1， 解得a ＝－1.(2)由(1)可知f (x )＝x 3－x 2－x ＋c ，则f ′(x )＝3x 2－2x －1＝3⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋13(x －1)， 令f ′(x )>0，解得x >1或x <－13；令f ′(x )<0，解得－13<x <1.所以f (x )的单调递增区间是⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－13和(1，＋∞)； f (x )的单调递减区间是⎝ ⎛⎭⎪⎫－13，1. 10.已知a ∈R ，若函数f (x )＝(－x 2＋ax )e x (x ∈R ，e 为自然对数的底数)在(－1，1)上单调递增，求a 的取值范围.解 因为函数f (x )在(－1，1)上单调递增，所以f ′(x )≥0对x ∈(－1，1)都成立.因为f ′(x )＝(－2x ＋a )e x ＋(－x 2＋ax )e x ＝[－x 2＋(a －2)x ＋a ]e x ，所以[－x 2＋(a －2)x ＋a ]e x ≥0对x ∈(－1，1)都成立.因为e x ＞0，所以－x 2＋(a －2)x ＋a ≥0，则a ≥x 2＋2x x ＋1＝（x ＋1）2－1x ＋1＝(x ＋1)－1x ＋1对x ∈(－1，1)都成立. 令g (x )＝(x ＋1)－1x ＋1，则g ′(x )＝1＋1（x ＋1）2＞0， 所以g (x )＝(x ＋1)－1x ＋1在(－1，1)上单调递增， 所以g (x )＜g (1)＝(1＋1)－11＋1＝32， 所以a ≥32，又当a ＝32时，当且仅当x ＝0时，f ′(x )＝0，所以a 的取值范围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫32，＋∞. 能力提升题组(建议用时：20分钟)11.(2016·全国Ⅰ卷)若函数f (x )＝x －13sin 2x ＋a sin x 在(－∞，＋∞)单调递增，则a的取值范围是( )A.[－1，1]B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1，13 C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－13，13 D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1，－13 解析 ∵f (x )＝x －13sin 2x ＋a sin x ，∴f ′(x )＝1－23cos 2x ＋a cos x ＝1－23(2cos 2x －1)＋a cos x ＝－43cos 2 x ＋a cos x ＋53，由f (x )在R 上单调递增，则f ′(x )≥0在R 上恒成立.令t ＝cos x ，t ∈[－1，1]，则－43t 2＋at ＋53≥0.在t ∈[－1，1]上恒成立.∴4t 2－3at －5≤0在t ∈[－1，1]上恒成立.令g (t )＝4t 2－3at －5，则⎩⎨⎧g （1）＝－3a －1≤0，g （－1）＝3a －1≤0.解之得－13≤a ≤13. 答案 C12.函数f (x )在定义域R 内可导，若f (x )＝f (2－x )，且当x ∈(－∞，1)时，(x －1)f ′(x )<0，设a ＝f (0)，b ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，c ＝f (3)，则a ，b ，c 的大小关系是________(由小到大). 解析 依题意得，当x <1时，f ′(x )>0，则f (x )在(－∞，1)上为增函数；又f (3)＝f (－1)，且－1<0<12<1，因此有f (－1)<f (0)<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12， 即有f (3)<f (0)<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，c <a <b . 答案 c <a <b13.(2016·四川卷节选)设函数f (x )＝ax 2－a －ln x ，g (x )＝1x －e e x ，其中a ∈R ，e ＝2.718…为自然对数的底数.(1)讨论f (x )的单调性；(2)证明：当x >1时，g (x )>0.(1)解 由题意得f ′(x )＝2ax －1x ＝2ax 2－1x (x >0).当a ≤0时，f ′(x )<0，f (x )在(0，＋∞)内单调递减.当a >0时，由f ′(x )＝0有x ＝12a， 当x ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，12a 时，f ′(x )<0，f (x )单调递减； 当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫12a ，＋∞时，f ′(x )>0，f (x )单调递增. (2)证明 令s (x )＝e x －1－x ，则s ′(x )＝e x －1－1.当x >1时，s ′(x )>0，所以s (x )>s (1)，即e x －1>x ，1 x－ee x＝e（e x－1－x）x e x>0.从而g(x)＝。
高三数学文科考几门知识点
高三数学文科考几门知识点高三文科生主要以文科为主要学习方向，但数学作为一门基础学科，也是高中阶段不可或缺的一部分。
在高三数学文科考试中，学生需要掌握并理解一些基本的数学知识点。
本文将介绍高三数学文科考试中的几个主要知识点。
一、函数与方程函数与方程是高中数学的重要内容之一。
高三文科生需要掌握函数的概念、性质和运算，能够灵活应用各种函数解决实际问题。
同时，要熟悉各种类型的方程，并能够使用适当的方法解决方程。
在考试中，可能会涉及到线性函数、二次函数、指数函数、对数函数等各种函数的性质和图像。
此外，文科生还需要掌握一元二次方程、一次方程组、二元二次方程等各种方程的解法。
二、统计与概率统计与概率也是高三数学文科考试的重要内容。
文科生需要了解基本的统计方法和思想，能够根据一组数据进行分析和描述，计算各种统计量，并能够运用统计知识解决实际问题。
概率是数学中的一门重要分支，文科生需要掌握概率的基本概念、性质和计算方法，能够计算概率，并能够应用概率知识解决实际问题。
三、数列与数列的应用数列是高中数学的基本内容之一，也是高三数学文科考试的重要知识点。
文科生需要了解等差数列和等比数列的性质和常用公式，掌握数列的通项公式和求和公式，能够计算数列中的任意一项和前n项的和。
此外，数列的应用也是考试的一部分，可能会涉及到数列在实际问题中的应用，如利润的计算、人口的增长等。
四、函数与导数函数与导数是高三数学文科考试中的一道难点。
文科生需要了解函数的导数的定义和基本性质，能够求出函数的导数，掌握导数的四则运算和求导法则，并能够应用导数解决实际问题。
在考试中，可能会涉及到求函数在某点的切线方程、求函数的最值、函数的增减性与凹凸性等问题。
五、三角函数与解三角形三角函数是高中数学的重点内容之一。
文科生需要了解各种三角函数的定义、性质和图像，能够应用三角函数解决实际问题。
解三角形是三角函数应用的一部分，文科生需要了解解三角形的基本原理和方法，能够根据给定条件求解三角形的各个边长和角度。
专题一 函数与导数 文科数学
文科数学专题一 函数与导数1.若点(a,b)在lg y x = 图像上，a ≠1,则下列点也在此图像上的是（A ）（a 1，b ） (B) (10a,1-b) (C) (a 10,b+1) (D)(a2,2b)2.(安徽文10) 函数()()n f x ax x 2=1-g 在区间〔0,1〕上的图像如图所示，则n 可能是（A ）1 (B) 2 (C) 3 (D) 4【答案】A 【命题意图】本题考查导数在研究函数单调性中的应用，考查函数图像，考查思维的综合能力.难度大. 3.（北京文8）已知点()0,2A ,()2,0B ,若点C 在函数2y x =的图象上，则使得ABC ∆的面积为2的点C 的个数为 A. 4B. 3C. 2D. 1【答案】A4.（福建文6）若关于x 的方程x2＋mx ＋1＝0有两个不相等的实数根，则实数m 的取值范围是 A ．（－1，1） B ．（－2，2） C ．（－∞，－2）∪（2，＋∞） D ．（－∞，－1）∪（1，＋∞） 【答案】C5.（福建文8）已知函数f(x)＝⎩⎨⎧2x ， x ＞0x ＋1，x≤0，若f(a)＋f(1)＝0，则实数a 的值等于A ．－3B ．－1C ．1D ．3 【答案】A6.（福建文10）若a ＞0，b ＞0，且函数f(x)＝4x3－ax2－2bx ＋2在x ＝1处有极值，则ab 的最大值等于A ．2B ．3C ．6D ．9 【答案】D7.（广东文4）函数1()lg(1)1f x x x =++-的定义域是 （ ）A ．(,1)-∞-B ．(1,)+∞C ．(1,1)(1,)-+∞D ．(,)-∞+∞ 【答案】C8.（广东文10）设)(),(),(x h x g x f 是R 上的任意实值函数．如下定义两个函数()()x g f 和()()x g f ∙；对任意R x ∈,()()())(x g f x g f = ；()()())(x g x f x g f =∙．则下列等式恒成立的是（ ）A ．()()()()()())(x h g h f x h g f ∙∙=∙B ．()()()()()())(x h g h f x h g f ∙=∙C ．()()()()()())(x h g h f x h g f =D ．()()()()()())(x h g h f x h g f ∙∙∙=∙∙【答案】B9.（湖南文7）曲线sin 1sin cos 2x y x x =-+在点(,0)4M π处的切线的斜率为（ ）A ．12-B ．12 C． D．【答案】B【解析】22cos (sin cos )sin (cos sin )1'(sin cos )(sin cos )x x x x x x y x x x x +--==++，所以2411'|2(sincos )44x y πππ===+。
高中数学函数与导数_高中数学函数与导数知识点汇总
高中数学函数与导数_高中数学函数与导数知识点汇总第一、求函数定义域题忽视细节函数的定义域是使函数有意义的自变量的取值范围，考生想要在考场上准确求出定义域，就要根据函数解析式把各种情况下的自变量的限制条件找出来，列成不等式组，不等式组的解集就是该函数的定义域。
在求一般函数定义域时，要注意以下几点：分母不为0;偶次被开放式非负;真数大于0以及0的0次幂无意义。
函数的定义域是非空的数集，在解答函数定义域类的题时千万别忘了这一点。
复合函数要注意外层函数的定义域由内层函数的值域决定。
第二、带绝对值的函数单调性判断错误带绝对值的函数实质上就是分段函数，判断分段函数的单调性有两种方法：第一，在各个段上根据函数的解析式所表示的函数的单调性求出单调区间，然后对各个段上的单调区间进行整合;第二，画出这个分段函数的图象，结合函数图象、性质能够进行直观的判断。
函数题离不开函数图象，而函数图象反应了函数的所有性质，考生在解答函数题时，要第一时间在脑海中画出函数图象，从图象上分析问题，解决问题。
对于函数不同的单调递增(减)区间，千万记住，不要使用并集，指明这几个区间是该函数的单调递增(减)区间即可。
第三、求函数奇偶性的常见错误求函数奇偶性类的题最常见的错误有求错函数定义域或忽视函数定义域，对函数具有奇偶性的前提条件不清，对分段函数奇偶性判断方法不当等等。
判断函数的奇偶性，首先要考虑函数的定义域，一个函数具备奇偶性的必要条件是这个函数的定义域区间关于原点对称，如果不具备这个条件，函数一定是非奇非偶的函数。
在定义域区间关于原点对称的前提下，再根据奇偶函数的定义进行判断。
在用定义进行判断时，要注意自变量在定义域区间内的任意性。
第四、抽象函数推理不严谨很多抽象函数问题都是以抽象出某一类函数的共同“特征”而设计的，在解答此类问题时，考生可以通过类比这类函数中一些具体函数的性质去解决抽象函数。
多用特殊赋值法，通过特殊赋可以找到函数的不变性质，这往往是问题的突破口。
高考文科数学试题分类汇编----函数与导数
函数与导数一 选择题（辽宁文）（11）函数)(x f 的定义域为R ，2)1(=-f ，对任意R ∈x ，2)(>'x f ，则42)(+>x x f 的解集为（A ）（1-，1） （B ）（1-，+∞） （C ）（∞-，1-） （D ）（∞-，+∞）（重庆文）3．曲线223y x x =-+在点（1，2）处的切线方程为 A ．31y x =- B ．35y x =-+C ．35y x =+D ．2y x =（重庆文）6．设11333124log ,log ,log ,,,233a b c a b c ===则的大小关系是A ．a b c <<B ．c b a <<C ．b a c <<D ．b c a <<（重庆文）7．若函数1()2f x x n =+-(2)n >在x a =处取最小值，则a =A．1+ B．1 C ．3D ．4（辽宁文）（6）若函数))(12()(a x x xx f -+=为奇函数，则a =（A ）21 （B ）32 （C ）43（D ）1 （上海文）15．下列函数中，既是偶函数，又是在区间(0,)+∞上单调递减的函数为 A ．2y x -=B ．1y x -=C ．2y x =D ．13y x =（全国新课标文）（3）下列函数中，既是偶函数又在(0,)+∞单调递增的函数是（A ）3y x = （B ）||1y x =+ （C ）21y x =-+ （D ）||2x y -=（全国新课标文）（10）在下列区间中，函数()43xf x e x =+-的零点所在的区间为（A ）1(,0)4- （B ）1(0,)4 （C ）11(,)42 （D ）13(,)24（全国新课标文）（12）已知函数()y f x =的周期为2，当[1,1]x ∈-时2()f x x =，那么函数()y f x =的图象与函数|lg |y x =的图象的交点共有（A ）10个 （B ）9个 （C ）8个 （D ）1个 （全国大纲文）2．函数0)y x =≥的反函数为A ．2()4x y x R =∈ B ．2(0)4x y x =≥C ．24y x =()x R ∈D ．24(0)y x x =≥（全国大纲文）10．设()f x 是周期为2的奇函数，当0≤x≤1时，()f x =2(1)x x -，则5()2f -=A ．-12B ．1 4-C ．14D ．12（湖北文）3．若定义在R 上的偶函数()f x 和奇函数()g x 满足()()xf x gx e +=，则()g x =A ．xxe e-- B ．1()2x xe e -+ C ．1()2xx e e -- D ．1()2x xe e -- （福建文）6．若关于x 的方程x 2+mx+1=0有两个不相等的实数根，则实数m 的取值范围 A ．（-1,1） B ．（-2,2） C ．（-∞，-2）∪（2，+∞） D ．（-∞，-1）∪（1，+∞）（福建文）8．已知函数f （x ）=。
导数与函数的单调性——2021年高考文科数学一轮复习热点题型(附解析)
2021年高考文科数学一轮复习：题型全归纳与高效训练突破专题3.2 导数与函数的单调性目录一、题型全归纳 (1)题型一 利用导数判断(证明)函数的单调性 (1)题型二 求函数的单调区间 (2)题型三 函数单调性的应用 (3)命题角度一 比较大小或解不等式 (3)命题角度二 已知函数单调性求参数的取值范围 (3)题型四 分类讨论思想研究函数的单调性 (3)二、高效训练突破 (4)一、题型全归纳题型一 利用导数判断(证明)函数的单调性【题型要点】导数法证明函数f (x )在(a ，b )内的单调性的步骤(1)求f ′(x )．(2)确认f ′(x )在(a ，b )内的符号．(3)作出结论：f ′(x )>0时为增函数；f ′(x )<0时为减函数.【易错提醒】研究含参数函数的单调性时，需注意依据参数取值对不等式解集的影响进行分类讨论．【例1】(2020·高考全国卷一卷节选)已知函数()(2)x f x e a x =-+.当1a =时，讨论()f x 的单调性；【例2】.(2020·高考全国卷二卷节选)已知函数f （x ）=2ln x +1．设a >0时，讨论函数g （x ）=()()f x f a x a--的单调性． 题型二 求函数的单调区间【题型要点】利用导数求函数单调区间的方法(1)当导函数不等式可解时，解不等式f ′(x )＞0或f ′(x )＜0求出单调区间．(2)当方程f ′(x )＝0可解时，解出方程的实根，按实根把函数的定义域划分区间，确定各区间内f ′(x )的符号，从而确定单调区间．(3)当导函数的方程、不等式都不可解时，根据f ′(x )的结构特征，利用图象与性质确定f ′(x )的符号，从而确定单调区间．【易错提醒】所求函数的单调区间不止一个时，这些区间之间不能用“∪”及“或”连接，只能用“，”及“和”隔开．【例1】已知函数f (x )＝a ln x －x －a ＋1x(a ∪R )．求函数f (x )的单调区间．【例2】已知函数f (x )＝x 4＋54x －ln x －32，求函数f (x )的单调区间．题型三 函数单调性的应用命题角度一 比较大小或解不等式【题型要点】利用导数比较大小或解不等式的常用技巧利用题目条件，构造辅助函数，把比较大小或求解不等式的问题转化为先利用导数研究函数的单调性问题，再由单调性比较大小或解不等式．【例1】已知函数f ′(x )是函数f (x )的导函数，f (1)＝1e ，对任意实数都有f (x )－f ′(x )>0，设F (x )＝f （x ）e x ，则不等式F (x )<1e 2的解集为( ) A ．(－∞，1)B ．(1，＋∞)C ．(1，e)D ．(e ，＋∞)命题角度二 已知函数单调性求参数的取值范围【题型要点】利用函数的单调性求参数的取值范围的解题思路(1)由函数在区间[a ，b ]上单调递增(减)可知f ′(x )≥0(f ′(x )≤0)在区间[a ，b ]上恒成立，列出不等式．(2)利用分离参数法或函数的性质求解恒成立问题．(3)对等号单独检验，检验参数的取值能否使f ′(x )在整个区间恒等于0，若f ′(x )恒等于0，则参数的这个值应舍去；若只有在个别点处有f ′(x )＝0，则参数可取这个值．【例2】已知函数f (x )＝ln x ，g (x )＝12ax 2＋2x (a ≠0)． (1)若函数h (x )＝f (x )－g (x )存在单调递减区间，求a 的取值范围；(2)若函数h (x )＝f (x )－g (x )在[1，4]上单调递减，求a 的取值范围．题型四 分类讨论思想研究函数的单调性【题型要点】含参数函数的单调性问题一般要分类讨论，常见的分类讨论标准有以下几种可能：(1)方程f ′(x )＝0是否有根；(2)若f ′(x )＝0有根，求出根后是否在定义域内；(3)若根在定义域内且有两个，比较根的大小是常见的分类方法．【例】已知f (x )＝a (x －ln x )＋2x －1x 2，a >0.讨论f (x )的单调性．二、高效训练突破一、选择题1．函数f (x )＝e x －e x ，x ∪R 的单调递增区间是( )A ．(0，＋∞)B ．(－∞，0)C ．(－∞，1)D ．(1，＋∞)2.函数f (x )＝cos x －x 在(0，π)上的单调性是( )A ．先增后减B ．先减后增C ．增函数D ．减函数3．(2020·河北省九校第二次联考)函数y ＝x ＋3x＋2ln x 的单调递减区间是( ) A ．(－3，1)B ．(0，1)C ．(－1，3)D ．(0，3)4.已知f (x )＝a ln x ＋12x 2(a >0)，若对任意两个不相等的正实数x 1，x 2，都有f （x 1）－f （x 2）x 1－x 2>2恒成立，则a 的取值范围为( )A.(0，1]B.(1，＋∞)C.(0，1)D.[1，＋∞)5.函数f (x )＝e x x的图象大致为( )6.已知f (x )＝ln x x，则( ) A ．f (2)＞f (e)＞f (3)B ．f (3)＞f (e)＞f (2)C ．f (3)＞f (2)＞f (e)D ．f (e)＞f (3)＞f (2)7.(2020·唐山市摸底考试)设函数f (x )＝x (e x ＋e －x )，则f (x )( )A ．是奇函数，且在(0，＋∞)上是增函数B ．是偶函数，且在(0，＋∞)上是增函数C ．是奇函数，且在(0，＋∞)上是减函数D ．是偶函数，且在(0，＋∞)上是减函数8.(2020·郑州市第二次质量预测)函数f (x )是定义在(0，＋∞)上的可导函数，f ′(x )为其导函数，若xf ′(x )＋f (x )＝e x (x －2)且f (3)＝0，则不等式f (x )<0的解集为( )A ．(0，2)B ．(0，3)C ．(2，3)D ．(3，＋∞) 9.函数422y x x =-++的图像大致为10.(2020·江西七校第一次联考)若函数f (x )＝2x 3－3mx 2＋6x 在区间(1，＋∞)上为增函数，则实数m 的取值范围是( )A ．(－∞，1]B ．(－∞，1)C ．(－∞，2]D ．(－∞，2)二、填空题1.函数y ＝4x 2＋1x的单调递增区间为 ． 2．已知函数y ＝f (x )(x ∪R )的图象如图所示，则不等式xf ′(x )≥0的解集为 ．3．若f (x )＝x sin x ＋cos x ，则f (－3)，⎪⎭⎫ ⎝⎛2πf ，f (2)的大小关系为 (用“<”连接)． 4.设函数（a 为常数）．若f （x ）为奇函数，则a =________；若f （x ）是R 上的增函数，则a 的取值范围是___________．5.已知函数f (x )＝x 3＋mx 2＋nx －2的图象过点(－1，－6)，函数g (x )＝f ′(x )＋6x 的图象关于y 轴对称.则m ＝________，f (x )的单调递减区间为________.－3 (0，2)6.已知函数31()2e ex x f x x x =-+-，其中e 是自然对数的底数．若(1)f a -+2(2)0f a ≤，则实数a 的取值范围是 ．7.设函数f (x )＝x －1x ，且f (mx )＋mf (x )<0对任意x ∪[1，＋∞)恒成立，则实数m 的取值范围是 ． 三 解答题1.(2019·高考全国卷Ⅲ节选)已知函数f (x )＝2x 3－ax 2＋2.讨论f (x )的单调性．2.(2020·成都七中检测)设函数f (x )＝ax 2－a －ln x ，g (x )＝1x －e e x ，其中a ∪R ，e ＝2.718…为自然对数的底数． (1)讨论f (x )的单调性；(2)证明：当x >1时，g (x )>0.3．(2020·云南衡水实验中学阶段测试)设函数f (x )＝13x 3－a 2x 2＋bx ＋c ，曲线y ＝f (x )在点(0，f (0))处的切线方程为y ＝1.(1)求b ，c 的值；(2)若a ＞0，求函数f (x )的单调区间；(3)设函数g (x )＝f (x )＋2x ，且g (x )在区间(－2，－1)内存在单调递减区间，求实数a 的取值范围．2021年高考文科数学一轮复习：题型全归纳与高效训练突破专题3.2 导数与函数的单调性目录一、题型全归纳 (1)题型一 利用导数判断(证明)函数的单调性 (1)题型二 求函数的单调区间 (2)题型三 函数单调性的应用 (3)命题角度一 比较大小或解不等式 (3)命题角度二 已知函数单调性求参数的取值范围 (3)题型四 分类讨论思想研究函数的单调性 (3)二、高效训练突破 (4)一、题型全归纳题型一 利用导数判断(证明)函数的单调性【题型要点】导数法证明函数f (x )在(a ，b )内的单调性的步骤(1)求f ′(x )．(2)确认f ′(x )在(a ，b )内的符号．(3)作出结论：f ′(x )>0时为增函数；f ′(x )<0时为减函数.【易错提醒】研究含参数函数的单调性时，需注意依据参数取值对不等式解集的影响进行分类讨论．【例1】(2020·高考全国卷一卷节选)已知函数()(2)x f x e a x =-+.当1a =时，讨论()f x 的单调性；【答案】()f x 的减区间为(,0)-∞，增区间为(0,)+∞【解析】当1a =时，()(2)x f x e x =-+，'()1xf x e =-， 令'()0f x <，解得0x <，令'()0f x >，解得0x >，所以()f x 的减区间为(,0)-∞，增区间为(0,)+∞； 【例2】.(2020·高考全国卷二卷节选)已知函数f （x ）=2ln x +1．设a >0时，讨论函数g （x ）=()()f x f a x a--的单调性．【答案】()g x 在区间(0,)a 和(,)a +∞上单调递减，没有递增区间 【解析】2ln 1(2ln 1)2(ln ln )()(0x a x a g x x x a x a+---==>--且)x a ≠ 因此22(ln ln )()()x a x x x a g x x x a --+'=-，设()2(ln ln )m x x a x x x a =--+， 则有()2(ln ln )m x a x '=-，当x a >时，ln ln x a >，所以()0m x '<，()m x 单调递减，因此有()()0m x m a <=，即()0g x '<，所以()g x 单调递减；当0x a <<时，ln ln x a <，所以()0m x '>，()m x 单调递增，因此有()()0m x m a <=，即()0g x '<，所以()g x 单调递减，所以函数()g x 在区间(0,)a 和(,)a +∞上单调递减，没有递增区间.题型二 求函数的单调区间【题型要点】利用导数求函数单调区间的方法(1)当导函数不等式可解时，解不等式f ′(x )＞0或f ′(x )＜0求出单调区间．(2)当方程f ′(x )＝0可解时，解出方程的实根，按实根把函数的定义域划分区间，确定各区间内f ′(x )的符号，从而确定单调区间．(3)当导函数的方程、不等式都不可解时，根据f ′(x )的结构特征，利用图象与性质确定f ′(x )的符号，从而确定单调区间．【易错提醒】所求函数的单调区间不止一个时，这些区间之间不能用“∪”及“或”连接，只能用“，”及“和”隔开．【例1】已知函数f (x )＝a ln x －x －a ＋1x (a ∪R )．求函数f (x )的单调区间．【解】 f (x )的定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝a x －1＋1＋a x 2＝－x 2＋ax ＋1＋a x 2＝－（x ＋1）[x －（1＋a ）]x 2，∪当a ＋1>0，即a >－1时，在(0，1＋a )上f ′(x )>0，在(1＋a ，＋∞)上，f ′(x )<0，所以f (x )的单调递增区间是(0，1＋a )，单调递减区间是(1＋a ，＋∞)；∪当1＋a ≤0，即a ≤－1时，在(0，＋∞)上，f ′(x )<0，所以，函数f (x )的单调递减区间是(0，＋∞)，无单调递增区间．【例2】已知函数f (x )＝x 4＋54x －ln x －32，求函数f (x )的单调区间．【解】：f (x )＝x 4＋54x －ln x －32，x ∪(0，＋∞)，则f ′(x )＝x 2－4x －54x 2.令f ′(x )＝0，解得x ＝－1或x ＝5.因为x ＝－1不在f (x )的定义域(0，＋∞)内，故舍去．当x ∪(0，5)时，f ′(x )<0，故f (x )在(0，5)内为减函数；当x ∪(5，＋∞)时，f ′(x )>0，故f (x )在(5，＋∞)内为增函数．故函数f (x )的单调递增区间为(5，＋∞)，单调递减区间为(0，5)．题型三 函数单调性的应用命题角度一 比较大小或解不等式【题型要点】利用导数比较大小或解不等式的常用技巧利用题目条件，构造辅助函数，把比较大小或求解不等式的问题转化为先利用导数研究函数的单调性问题，再由单调性比较大小或解不等式．【例1】已知函数f ′(x )是函数f (x )的导函数，f (1)＝1e ，对任意实数都有f (x )－f ′(x )>0，设F (x )＝f （x ）e x ，则不等式F (x )<1e 2的解集为( ) A ．(－∞，1)B ．(1，＋∞)C ．(1，e)D ．(e ，＋∞)【答案】 B【解析】 F ′(x )＝f ′（x ）e x －e x f （x ）（e x ）2＝f ′（x ）－f （x ）e x ， 又f (x )－f ′(x )>0，知F ′(x )<0，所以F (x )在R 上单调递减．由F (x )<1e 2＝F (1)，得x >1， 所以不等式F (x )<1e 2的解集为(1，＋∞)． 命题角度二 已知函数单调性求参数的取值范围【题型要点】利用函数的单调性求参数的取值范围的解题思路(1)由函数在区间[a ，b ]上单调递增(减)可知f ′(x )≥0(f ′(x )≤0)在区间[a ，b ]上恒成立，列出不等式．(2)利用分离参数法或函数的性质求解恒成立问题．(3)对等号单独检验，检验参数的取值能否使f ′(x )在整个区间恒等于0，若f ′(x )恒等于0，则参数的这个值应舍去；若只有在个别点处有f ′(x )＝0，则参数可取这个值．【例2】已知函数f (x )＝ln x ，g (x )＝12ax 2＋2x (a ≠0)．(1)若函数h (x )＝f (x )－g (x )存在单调递减区间，求a 的取值范围；(2)若函数h (x )＝f (x )－g (x )在[1，4]上单调递减，求a 的取值范围．【解析】(1)h (x )＝ln x －12ax 2－2x ，x ∪(0，＋∞)，所以h ′(x )＝1x －ax －2，由于h (x )在(0，＋∞)上存在单调递减区间，所以当x ∪(0，＋∞)时，1x －ax －2<0有解．即a ＞1x 2－2x 有解，设G (x )＝1x 2－2x ，所以只要a ＞G (x )min 即可．而G (x )＝211⎪⎭⎫ ⎝⎛-x －1，所以G (x )min ＝－1.所以a ＞－1，即a 的取值范围是(－1，＋∞)．(2)由h (x )在[1，4]上单调递减得，当x ∪[1，4]时，h ′(x )＝1x －ax －2≤0恒成立，即a ≥1x 2－2x 恒成立．所以a ≥G (x )max ，而G (x )＝211⎪⎭⎫⎝⎛-x －1，因为x ∪[1，4]，所以1x ∪⎥⎦⎤⎢⎣⎡1,41，。
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高中文科数学公式及知识点速记一、函数、导数1、函数的单调性(1)设2121],,[x x b a x x <∈、那么],[)(0)()(21b a x f x f x f 在⇔<-上是增函数； ],[)(0)()(21b a x f x f x f 在⇔>-上是减函数.(2)设函数)(x f y =在某个区间内可导，若0)(>'x f ，则)(x f 为增函数；若0)(<'x f ，则)(x f 为减函数.2、函数的奇偶性对于定义域内任意的x ，都有)()(x f x f =-，则)(x f 是偶函数； 对于定义域内任意的x ，都有)()(x f x f -=-，则)(x f 是奇函数。
奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于y 轴对称。
3、函数)(x f y =在点0x 处的导数的几何意义函数)(x f y =在点0x 处的导数是曲线)(x f y =在))(,(00x f x P 处的切线的斜率)(0x f '，相应的切线方程是))((000x x x f y y -'=-.*二次函数： （1）顶点坐标为24(,)24b ac b a a --；（2）焦点的坐标为241(,)24b ac b a a-+- 4、几种常见函数的导数①'C 0=；②1')(-=n n nx x ； ③x x cos )(sin '=；④x x sin )(cos '-=；⑤a a a x x ln )('=；⑥xx e e =')(； ⑦a x x a ln 1)(log '=；⑧xx 1)(ln '= 5、导数的运算法则（1）'''()u v u v ±=±. （2）'''()uv u v uv =+. （3）'''2()(0)u u v uv v v v -=≠. 6、会用导数求单调区间、极值、最值7、求函数()y f x =的极值的方法是：解方程()0f x '=．当()00f x '=时： (1) 如果在0x 附近的左侧()0f x '>，右侧()0f x '<，那么()0f x 是极大值； (2) 如果在0x 附近的左侧()0f x '<，右侧()0f x '>，那么()0f x 是极小值． 指数函数、对数函数分数指数幂(1)m na =0,,a m n N *>∈，且1n >）.(2)1m nm naa-==0,,a m n N *>∈，且1n >）.根式的性质（1）当na =； 当n,0||,0a a a a a ≥⎧=⎨-<⎩.有理指数幂的运算性质(1) r sa a⋅=(2) ()r s rsa a=(3)()r rab a b=注：若a＞0，指数幂都适用..(0,1,0)a a N>≠>..1a≠,0m>,且1m≠,0N>).对数恒等式：).推论log m nab).常见的函数图象822sin cosθθ+9απ±kα看成锐角时该函数的符号；αππ±+2kα看成锐角时该函数的符号。
2023年高考数学(文科)一轮复习——导数的概念及运算
第1节导数的概念及运算考试要求 1.了解导数概念的实际背景；2.通过函数图象直观理解导数的几何意义；3.能根据导数的定义求函数y＝c(c为常数)，y＝x，y＝1x，y＝x2，y＝x3，y＝x 的导数；4.能利用基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数.1.函数y＝f(x)在x＝x0处的导数(1)定义：称函数y＝f(x)在x＝x0处的瞬时变化率为函数y＝f(x)在x＝x0处的导数，记作f′(x0)或y′|x＝x0，即(2)几何意义：函数f(x)在点x0处的导数f′(x0)的几何意义是在曲线y＝f(x)上点(x0，f(x0))处的切线的斜率.相应地，切线方程为y－y0＝f′(x0)(x－x0).2.函数y＝f(x)的导函数如果函数y＝f(x)在开区间(a，b)内的每一点处都有导数，当x＝x0时，f′(x0)是一个确定的数，当x变化时，f′(x)便是x的一个函数，称它为f(x)的导函数(简称导数)，y＝f(x)的导函数有时也记作y′，即f′(x)＝y′＝limΔx→0f（x＋Δx）－f（x）Δx.3.基本初等函数的导数公式基本初等函数导函数f (x )＝c (c 为常数) f ′(x )＝0 f (x )＝x α(α∈Q *) f ′(x )＝αx α－1 f (x )＝sin x f ′(x )＝cos__x f (x )＝cos x f ′(x )＝－sin__x f (x )＝e x f ′(x )＝e x f (x )＝a x (a ＞0，a ≠1)f ′(x )＝a x ln__a f (x )＝ln xf ′(x )＝1x f (x )＝log a x (a ＞0，a ≠1)f ′(x )＝1x ln a4.导数的运算法则 若f ′(x )，g ′(x )存在，则有： (1)[f (x )±g (x )]′＝f ′(x )±g ′(x )； (2)[f (x )·g (x )]′＝f ′(x )g (x )＋f (x )g ′(x )；(3)⎣⎢⎡⎦⎥⎤f （x ）g （x ）′＝f ′（x ）g （x ）－f （x ）g ′（x ）[g （x ）]2(g (x )≠0).1.f ′(x 0)代表函数f (x )在x ＝x 0处的导数值；(f (x 0))′是函数值f (x 0)的导数，且(f (x 0))′＝0.2.⎣⎢⎡⎦⎥⎤1f （x ）′＝－f ′（x ）[f （x ）]2(f (x )≠0).3.曲线的切线与曲线的公共点的个数不一定只有一个，而直线与二次曲线相切只有一个公共点.4.函数y ＝f (x )的导数f ′(x )反映了函数f (x )的瞬时变化趋势，其正负号反映了变化的方向，其大小|f ′(x )|反映了变化的快慢，|f ′(x )|越大，曲线在这点处的切线越“陡”.1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”)(1)f ′(x 0)是函数y ＝f (x )在x ＝x 0附近的平均变化率.( )(2)函数f (x )＝sin(－x )的导数f ′(x )＝cos x .( ) (3)求f ′(x 0)时，可先求f (x 0)，再求f ′(x 0).( )(4)曲线y ＝f (x )在某点处的切线与曲线y ＝f (x )过某点的切线意义是相同的.( ) 答案 (1)× (2)× (3)× (4)×解析 (1)f ′(x 0)表示y ＝f (x )在x ＝x 0处的瞬时变化率，(1)错. (2)f (x )＝sin(－x )＝－sin x ，则f ′(x )＝－cos x ，(2)错. (3)求f ′(x 0)时，应先求f ′(x )，再代入求值，(3)错.(4)“在某点”的切线是指以该点为切点的切线，因此此点横坐标处的导数值为切线的斜率；而对于“过某点”的切线，则该点不一定是切点，要利用解方程组的思想求切线的方程，在曲线上某点处的切线只有一条，但过某点的切线可以不止一条，(4)错.2.某跳水运动员离开跳板后，他达到的高度与时间的函数关系式是h (t )＝10－4.9t 2＋8t (距离单位：米，时间单位：秒)，则他在0.5秒时的瞬时速度为( ) A.9.1米/秒 B.6.75米/秒 C.3.1米/秒D.2.75米/秒答案 C解析 h ′(t )＝－9.8t ＋8， ∴h ′(0.5)＝－9.8×0.5＋8＝3.1.3.(2022·银川质检)已知函数f (x )＝⎩⎨⎧x 2＋2x ，x ≤0，－x 2＋ax ，x >0为奇函数，则曲线f (x )在x ＝2处的切线斜率等于( ) A.6 B.－2C.－6D.－8答案 B解析 f (x )为奇函数，则f (－x )＝－f (x ). 取x >0，得x 2－2x ＝－(－x 2＋ax )，则a ＝2. 当x >0时，f ′(x )＝－2x ＋2.∴f ′(2)＝－2.4.(2020·全国Ⅲ卷)设函数f (x )＝e x x ＋a .若f ′(1)＝e4，则a ＝________.答案 1 解析 由f ′(x )＝e x （x ＋a ）－e x（x ＋a ）2，可得f ′(1)＝e a （1＋a ）2＝e 4，即a （1＋a ）2＝14，解得a ＝1.5.(2021·全国甲卷)曲线y ＝2x －1x ＋2在点(－1，－3)处的切线方程为________.答案 5x －y ＋2＝0解析 y ′＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫2x －1x ＋2′＝（2x －1）′（x ＋2）－（2x －1）（x ＋2）′（x ＋2）2＝5（x ＋2）2， 所以k ＝y ′|x ＝－1＝5（－1＋2）2＝5，所以切线方程为y ＋3＝5(x ＋1)，即5x －y ＋2＝0.6.(易错题)设函数f (x )的导数为f ′(x )，且f (x )＝f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫π2sin x ＋cos x ，则f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝________.答案 － 2解析 由f (x )＝f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫π2sin x ＋cos x ，得f ′(x )＝f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫π2cos x －sin x ，则f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＝f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫π2·cos π2－sin π2，解得f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＝－1，所以f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝－cos π4－sin π4＝－ 2.考点一 导数的运算1.下列求导运算不正确的是( ) A.(sin a )′＝cos a (a 为常数)B.(sin 2x )′＝2cos 2xC.(x )′＝12xD.(e x －ln x ＋2x 2)′＝e x －1x ＋4x 答案 A解析 ∵a 为常数，∴sin a 为常数，∴(sin a )′＝0，故A 错误.由导数公式及运算法则知B 、C 、D 正确.2.若f (x )＝x 3＋2x －x 2ln x －1x 2，则f ′(x )＝________.答案 1－1x －2x 2＋2x 3解析 由已知f (x )＝x －ln x ＋2x －1x 2.∴f ′(x )＝1－1x －2x 2＋2x 3.3.设f ′(x )是函数f (x )＝cos xe x ＋x 的导函数，则f ′(0)的值为________. 答案 0 解析 因为f (x )＝cos xe x＋x ， 所以f ′(x )＝（cos x ）′e x －（e x ）′cos x （e x ）2＋1＝－sin x －cos xe x ＋1， 所以f ′(0)＝－1e 0＋1＝0.4.已知函数f (x )的导函数为f ′(x )，且满足关系式f (x )＝x 2＋3xf ′(2)＋ln x ，则f (1)＝________. 答案 －234解析 因为f (x )＝x 2＋3xf ′(2)＋ln x ， ∴f ′(x )＝2x ＋3f ′(2)＋1x .令x ＝2，得f ′(2)＝4＋3f ′(2)＋12，则f ′(2)＝－94. ∴f (1)＝1＋3×1×⎝ ⎛⎭⎪⎫－94＋0＝－234.感悟提升 1.求函数的导数要准确地把函数拆分成基本初等函数的和、差、积、商，再利用运算法则求导.2.抽象函数求导，恰当赋值是关键，然后活用方程思想求解. 考点二 导数的几何意义 角度1 求切线的方程例1 (1)曲线y ＝3(x 2＋x )e x 在点(0，0)处的切线方程为________.(2)已知函数f (x )＝x ln x ，若直线l 过点(0，－1)，并且与曲线y ＝f (x )相切，则直线l 的方程为________.答案 (1)3x －y ＝0 (2)x －y －1＝0 解析 (1)y ′＝3(2x ＋1)e x ＋3(x 2＋x )e x ＝3e x (x 2＋3x ＋1)，所以曲线在点(0，0)处的切线的斜率k ＝e 0×3＝3，所以所求切线方程为3x －y ＝0.(2)∵点(0，－1)不在曲线f (x )＝x ln x 上， ∴设切点为(x 0，y 0). 又∵f ′(x )＝1＋ln x ，∴直线l 的方程为y ＋1＝(1＋ln x 0)x . ∴由⎩⎪⎨⎪⎧y 0＝x 0ln x 0，y 0＋1＝（1＋ln x 0）x 0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝1，y 0＝0.∴直线l 的方程为y ＝x －1，即x －y －1＝0. 角度2 求曲线的切点坐标例2 (2022·皖豫名校联考)若曲线y ＝e x ＋2x 在其上一点(x 0，y 0)处的切线的斜率为4，则x 0＝( ) A.2 B.ln 4 C.ln 2D.－ln 2答案 C解析 ∵y ′＝e x ＋2，∴e x 0＋2＝4，∴e x 0＝2，x 0＝ln 2. 角度3 导数与函数图象问题例3 已知y ＝f (x )是可导函数，如图，直线y ＝kx ＋2是曲线y ＝f (x )在x ＝3处的切线，令g (x )＝xf (x )，g ′(x )是g (x )的导函数，则g ′(3)＝________.答案 0解析 由题图可知曲线y ＝f (x )在x ＝3处切线的斜率等于－13，∴f ′(3)＝－13. ∵g (x )＝xf (x )， ∴g ′(x )＝f (x )＋xf ′(x )， ∴g ′(3)＝f (3)＋3f ′(3)， 又由题意可知f (3)＝1， ∴g ′(3)＝1＋3×⎝ ⎛⎭⎪⎫－13＝0.感悟提升 1.求曲线在点P (x 0，y 0)处的切线，则表明P 点是切点，只需求出函数在P 处的导数，然后利用点斜式写出切线方程，若在该点P 处的导数不存在，则切线垂直于x 轴，切线方程为x ＝x 0.2.求曲线的切线方程要分清“在点处”与“过点处”的切线方程的不同.切点坐标不知道，要设出切点坐标，根据斜率相等建立方程(组)求解，求出切点坐标是解题的关键.训练1 (1)(2022·沈阳模拟)曲线f (x )＝2e x sin x 在点(0，f (0))处的切线方程为( ) A.y ＝0 B.y ＝2x C.y ＝xD.y ＝－2x(2)(2021·长沙检测)如图所示，y＝f(x)是可导函数，直线l：y＝kx＋3是曲线y＝f(x)在x＝1处的切线，令h(x)＝f（x）x，h′(x)是h(x)的导函数，则h′(1)的值是()A.2B.1C.－1D.－3答案(1)B(2)D解析(1)∵f(x)＝2e x sin x，∴f(0)＝0，f′(x)＝2e x(sin x＋cos x)，∴f′(0)＝2，∴所求切线方程为y＝2x.(2)由图象知，直线l经过点(1，2).则k＋3＝2，k＝－1，从而f′(1)＝－1，且f(1)＝2，由h(x)＝f（x）x，得h′(x)＝xf′（x）－f（x）x2，所以h′(1)＝f′(1)－f(1)＝－1－2＝－3.考点三导数几何意义的应用例4 (1)已知曲线f(x)＝x ln x在点(e，f(e))处的切线与曲线y＝x2＋a相切，则实数a 的值为________.(2)(2022·河南名校联考)若函数f(x)＝ln x＋2x2－ax的图象上存在与直线2x－y＝0平行的切线，则实数a的取值范围是________.答案(1)1－e(2)[2，＋∞)解析(1)因为f′(x)＝ln x＋1，所以曲线f(x)＝x ln x在x＝e处的切线斜率为k＝2，又f(e)＝e，则曲线f (x )＝x ln x 在点(e ，f (e))处的切线方程为y ＝2x －e. 由于切线与曲线y ＝x 2＋a 相切，故可联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x 2＋a ，y ＝2x －e ，得x 2－2x ＋a ＋e ＝0，所以由Δ＝4－4(a ＋e)＝0，解得a ＝1－e. (2)∵直线2x －y ＝0的斜率为k ＝2，又曲线f (x )上存在与直线2x －y ＝0平行的切线，∴f ′(x )＝1x ＋4x －a ＝2在(0，＋∞)内有解，则a ＝4x ＋1x －2，x >0. 又4x ＋1x ≥24x ·1x ＝4，当且仅当x ＝12时取“＝”.∴a ≥4－2＝2.∴a 的取值范围是[2，＋∞).感悟提升 1.处理与切线有关的参数问题，通常根据曲线、切线、切点的三个关系列出参数的方程(组)并解出参数：(1)切点处的导数是切线的斜率；(2)切点在切线上；(3)切点在曲线上.2.利用导数的几何意义求参数范围时，注意化归与转化思想的应用.训练2 (1)(2021·洛阳检测)函数f (x )＝ln x －ax 在x ＝2处的切线与直线ax －y －1＝0平行，则实数a ＝( ) A.－1 B.14 C.12D.1(2)直线y ＝kx ＋1与曲线y ＝x 3＋ax ＋b 相切于点A (1，3)，则2a ＋b ＝________. 答案 (1)B (2)1解析 (1)∵f (x )＝ln x －ax ，∴f ′(x )＝1x －a .又曲线y ＝f (x )在x ＝2处切线的斜率k ＝f ′(2)， 因此12－a ＝a ，∴a ＝14.(2)y ＝x 3＋ax ＋b 的导数为y ′＝3x 2＋a ， 可得在点(1，1)处切线的斜率为k ＝3＋a ，又k ＋1＝3，1＋a ＋b ＝3，解得k ＝2，a ＝－1，b ＝3，即有2a ＋b ＝－2＋3＝1.公切线问题求两条曲线的公切线，如果同时考虑两条曲线与直线相切，头绪会比较乱，为了使思路更清晰，一般是把两条曲线分开考虑，先分析其中一条曲线与直线相切，再分析另一条曲线与直线相切，其中直线与抛物线相切可用判别式法. 一、共切点的公切线问题例1 设点P 为函数f (x )＝12x 2＋2ax 与g (x )＝3a 2ln x ＋2b (a >0)的图象的公共点，以P 为切点可作直线l 与两曲线都相切，则实数b 的最大值为( ) A.23e 34 B.32e 34 C.43e 23D.34e 23答案 D解析 设P (x 0，y 0)，由于P 为公共点， 则12x 20＋2ax 0＝3a 2ln x 0＋2b .又点P 处的切线相同，则f ′(x 0)＝g ′(x 0)， 即x 0＋2a ＝3a 2x 0，即(x 0＋3a )(x 0－a )＝0.又a >0，x 0>0，则x 0＝a ，于是2b ＝52a 2－3a 2ln a .设h (x )＝52x 2－3x 2ln x ，x >0， 则h ′(x )＝2x (1－3ln x ).可知：当x ∈(0，e 13)时，h (x )单调递增；当x ∈(e 13，＋∞)时，h (x )单调递减. 故h (x )max ＝h (e 13)＝32e 23， 于是b 的最大值为34e 23，选D. 二、切点不同的公切线问题例2 曲线y ＝－1x (x <0)与曲线y ＝ln x 的公切线的条数为________. 答案 1解析 设(x 1，y 1)是公切线和曲线y ＝－1x 的切点， 则切线斜率k 1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－1x ′|x ＝x 1＝1x 21，切线方程为y ＋1x 1＝1x 21(x －x 1)，整理得y ＝1x 21·x －2x 1.设(x 2，y 2)是公切线和曲线y ＝ln x 的切点， 则切线斜率k 2＝(ln x )′|x ＝x 2＝1x 2，切线方程为y －ln x 2＝1x 2(x －x 2)，整理得y ＝1x 2·x ＋ln x 2－1.令1x 21＝1x 2，－2x 1＝ln x 2－1，消去x 2得－2x 1＝ln x 21－1.设t ＝－x 1>0，即2ln t －2t －1＝0，只需探究此方程解的个数.易知函数f (x )＝2ln x －2x －1在(0，＋∞)上单调递增，f (1)＝－3<0，f (e)＝1－2e >0，于是f (x )＝0有唯一解，于是两曲线的公切线的条数为1.1.函数f (x )＝x 2＋ln x ＋sin x ＋1的导函数f ′(x )＝( ) A.2x ＋1x ＋cos x ＋1 B.2x －1x ＋cos x C.2x ＋1x －cos xD.2x ＋1x ＋cos x答案 D解析 由f (x )＝x 2＋ln x ＋sin x ＋1得f ′(x )＝2x ＋1x ＋cos x . 2.曲线y ＝x ＋1x －1在点(3，2)处的切线的斜率是( )A.2B.－2C.12D.－12答案 D解析 y ′＝（x ＋1）′（x －1）－（x ＋1）（x －1）′（x －1）2＝－2（x －1）2，故曲线在点(3，2)处的切线的斜率k ＝y ′|x ＝3＝－2（3－1）2＝－12. 3.(2021·安徽皖江名校联考)已知f (x )＝x 3＋2xf ′(0)，则f ′(1)＝( ) A.2 B.3C.4D.5答案 B解析 f ′(x )＝3x 2＋2f ′(0)， ∴f ′(0)＝2f ′(0)，解得f ′(0)＝0， ∴f ′(x )＝3x 2，∴f ′(1)＝3.4.(2022·豫北十校联考)已知f (x )＝x 2，则过点P (－1，0)，曲线y ＝f (x )的切线方程为( ) A.y ＝0 B.4x ＋y ＋4＝0 C.4x －y ＋4＝0 D.y ＝0或4x ＋y ＋4＝0 答案 D解析 易知点P (－1，0)不在f (x )＝x 2上，设切点坐标为(x 0，x 20)，由f (x )＝x 2可得f ′(x )＝2x ，∴切线的斜率k ＝f ′(x 0)＝2x 0. ∵切线过点P (－1，0)，∴k ＝x 20x 0＋1＝2x 0，解得x 0＝0或x 0＝－2，∴k ＝0或－4，故所求切线方程为y ＝0或4x ＋y ＋4＝0.5.(2022·昆明诊断)若直线y ＝ax 与曲线y ＝ln x －1相切，则a ＝( ) A.e B.1C.1eD.1e 2答案 D解析 由y ＝ln x －1，得y ′＝1x ，设切点为(x 0，ln x 0－1)，则⎩⎨⎧ax 0＝ln x 0－1，a ＝1x 0，解得a ＝1e 2. 6.已知函数f (x )在R 上可导，其部分图象如图所示，设f （4）－f （2）4－2＝a ，则下列不等式正确的是( )A.a <f ′(2)<f ′(4)B.f ′(2)<a <f ′(4)C.f ′(4)<f ′(2)<aD.f ′(2)<f ′(4)<a 答案 B解析 由函数f (x )的图象可知，在[0，＋∞)上，函数值的增长越来越快，故该函数图象在[0，＋∞)上的切线斜率也越来越大. 因为f （4）－f （2）4－2＝a ，所以f ′(2)<a <f ′(4).7.函数f (x )＝(2x －1)e x 的图象在点(0，f (0))处的切线的倾斜角为________. 答案 π4解析 由f (x )＝(2x －1)e x ， 得f ′(x )＝(2x ＋1)e x ，∴f ′(0)＝1，则切线的斜率k ＝1， 又切线倾斜角θ∈[0，π)， 因此切线的倾斜角θ＝π4.8.已知曲线f (x )＝13x 3－x 2－ax ＋1存在两条斜率为3的切线，则实数a 的取值范围是________. 答案 (－4，＋∞) 解析 f ′(x )＝x 2－2x －a ，依题意知x 2－2x －a ＝3有两个实数解， 即a ＝x 2－2x －3＝(x －1)2－4有两个实数解， ∴y ＝a 与y ＝(x －1)2－4的图象有两个交点， ∴a >－4.9.(2021·济南检测)曲线y ＝f (x )在点P (－1，f (－1))处的切线l 如图所示，则f ′(－1)＋f (－1)＝________.答案－2解析∵直线l过点(－2，0)和(0，－2)，∴直线l的斜率f′(－1)＝0＋2－2－0＝－1，直线l的方程为y＝－x－2.则f(－1)＝1－2＝－1.故f′(－1)＋f(－1)＝－1－1＝－2.10.已知函数f(x)＝x3－4x2＋5x－4.(1)求曲线f(x)在点(2，f(2))处的切线方程；(2)求经过点A(2，－2)的曲线f(x)的切线方程.解(1)因为f′(x)＝3x2－8x＋5，所以f′(2)＝1，又f(2)＝－2，所以曲线f(x)在点(2，f(2))处的切线方程为y－(－2)＝x－2，即x－y －4＝0.(2)设切点坐标为(x0，x30－4x20＋5x0－4)，因为f′(x0)＝3x20－8x0＋5，所以切线方程为y－(－2)＝(3x20－8x0＋5)(x－2)，又切线过点(x0，x30－4x20＋5x0－4)，所以x30－4x20＋5x0－2＝(3x20－8x0＋5)·(x0－2)，整理得(x0－2)2(x0－1)＝0，解得x0＝2或x0＝1，所以经过点A(2，－2)的曲线f(x)的切线方程为x－y－4＝0或y＋2＝0.11.已知函数f(x)＝x3＋x－16.(1)求曲线y＝f(x)在点(2，－6)处的切线方程；(2)直线l为曲线y＝f(x)的切线，且经过原点，求直线l的方程及切点坐标.解(1)根据题意，得f′(x)＝3x2＋1.所以曲线y＝f(x)在点(2，－6)处的切线的斜率k＝f′(2)＝13，所以所求的切线方程为13x－y－32＝0.(2)设切点为(x0，y0)，则直线l的斜率为f′(x0)＝3x20＋1，所以直线l的方程为y＝(3x20＋1)(x－x0)＋x30＋x0－16.又直线l过点(0，0)，则(3x20＋1)(0－x0)＋x30＋x0－16＝0，整理得x30＝－8，解得x0＝－2，所以y0＝(－2)3＋(－2)－16＝－26，l的斜率k′＝13，所以直线l的方程为y＝13x，切点坐标为(－2，－26).12.若函数f(x)＝a ln x(a∈R)与函数g(x)＝x在公共点处有共同的切线，则实数a 的值为()A.4B.12 C.e2 D.e答案 C解析由已知得f′(x)＝ax，g′(x)＝12x，设切点横坐标为t，∴⎩⎨⎧a ln t＝t，at＝12t，解得t＝e2，a＝e2.13.曲线y＝x2－ln x上的点到直线x－y－2＝0的最短距离是________. 答案 2解析设曲线在点P(x0，y0)(x0>0)处的切线与直线x－y－2＝0平行，则y′|x＝x0＝⎝⎛⎭⎪⎫2x－1x| x＝x0＝2x0－1x0＝1.∴x0＝1，y0＝1，则P(1，1)，则曲线y＝x2－ln x上的点到直线x－y－2＝0的最短距离d＝|1－1－2|12＋（－1）2＝ 2.14.(2021·宜昌质检)已知函数f(x)＝1x＋1＋x＋a－1的图象是以点(－1，－1)为对称中心的中心对称图形，g(x)＝e x＋ax2＋bx，若曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线与曲线y＝g(x)在点(0，g(0))处的切线互相垂直，求a＋b的值.解由y＝x＋1x的图象关于点(0，0)对称，且y＝f(x)的图象可由y＝x＋1x的图象平移得到，且函数f(x)＝1x＋1＋x＋a－1＝1x＋1＋(x＋1)＋a－2的图象是以点(－1，－1)为对称中心的中心对称图形，得a－2＝－1，即a＝1，所以f(x)＝1x＋1＋x.对f(x)求导，得f′(x)＝1－1（x＋1）2，则曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线斜率k1＝f′(1)＝1－14＝3 4.对g(x)求导，得g′(x)＝e x＋2x＋b，则曲线y＝g(x)在点(0，g(0))处的切线斜率k2＝g′(0)＝b＋1.由两曲线的切线互相垂直，得(b＋1)×34＝－1，即b＝－73，所以a＋b＝1－73＝－43.。
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文科数学专题一 函数与导数1.若点(a,b)在lg y x = 图像上，a ≠1,则下列点也在此图像上的是（A ）（a 1，b ） (B) (10a,1-b) (C) (a 10,b+1) (D)(a2,2b)2.(安徽文10) 函数()()n f x ax x 2=1-在区间〔0,1〕上的图像如图所示，则n 可 能是（A ）1 (B) 2 (C) 3 (D) 4【答案】A 【命题意图】本题考查导数在研究函数单调性中的应用，考查函数图像，考查思维的综合能力.难度大. 3.（北京文8）已知点()0,2A ,()2,0B ,若点C 在函数2y x =的图象上，则使得ABC ∆的面积为2的点C 的个数为 A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 【答案】A4.（福建文6）若关于x 的方程x2＋mx ＋1＝0有两个不相等的实数根，则实数m 的取值范围是 A ．（－1，1） B ．（－2，2） C ．（－∞，－2）∪（2，＋∞） D ．（－∞，－1）∪（1，＋∞） 【答案】C5.（福建文8）已知函数f(x)＝⎩⎨⎧2x ， x ＞0x ＋1，x≤0，若f(a)＋f(1)＝0，则实数a 的值等于A ．－3B ．－1C ．1D ．3 【答案】A6.（福建文10）若a ＞0，b ＞0，且函数f(x)＝4x3－ax2－2bx ＋2在x ＝1处有极值，则ab的最大值等于A ．2B ．3C ．6D ．9 【答案】D7.（广东文4）函数1()lg(1)1f x x x =++-的定义域是 （ ）A ．(,1)-∞-B ．(1,)+∞C ．(1,1)(1,)-+∞ D ．(,)-∞+∞【答案】C8.（广东文10）设)(),(),(x h x g x f 是R 上的任意实值函数．如下定义两个函数()()x g f 和()()x g f •；对任意R x ∈,()()())(x g f x g f = ；()()())(x g x f x g f =•．则下列等式恒成立的是（ ）A ．()()()()()())(x h g h f x h g f ••=•B ．()()()()()())(x h g h f x h g f •=•C ．()()()()()())(x h g h f x h g f =D ． ()()()()()())(x h g h f x h g f •••=•• 【答案】B9.（湖南文7）曲线sin 1sin cos 2x y x x =-+在点(,0)4M π处的切线的斜率为（ ）A ．12-B ．12 C．2-D．2【答案】B【解析】22cos (sin cos )sin (cos sin )1'(sin cos )(sin cos )x x x x x x y x x x x +--==++，所以2411'|2(sincos )44x y πππ===+。
10.（湖南文8）已知函数2()1,()43,x f x e g x x x =-=-+-若有()(),f a g b =则b 的取值范围为A．[22 B．(22-+ C ．[1,3] D ．(1,3) 【答案】B【解析】由题可知()11x f x e =->-，22()43(2)11g x x x x =-+-=--+≤，若有()(),f a g b =则()(1,1]g b ∈-，即2431b b -+->-，解得22b <<+11.（江西文3）若121()log (21)f x x =+，则()f x 的定义域为( )1(,0)2- B.1(,)2-+∞ C.1(,0)(0,)2-⋃+∞ D.1(,2)2-【答案】C12.（江西文4）曲线xy e =在点A （0,1）处的切线斜率为（ ）A.1B.2C.eD.1e【答案】A13.（江西文6）观察下列各式：则234749,7343,72401===，…，则20117的末两位数字为（ ）A.01B.43C.07D.49 【答案】B14.（辽宁文6）若函数))(12()(a x x xx f -+=为奇函数，则a=A ．21B ．32C ．43D ．1【答案】A15.（全国Ⅰ文4）曲线2y 21x x =-+在点（1,0）处的切线方程为 （A ）1y x =- （B ）1y x =-+ （C ）22y x =- （D ）22y x =-+ 【答案】A16. (全国Ⅰ文9)设偶函数f(x)满足f(x)=2x-4 (x ≥0），则(){}20xf x ->=（A ）{}24x x x <->或 （B ）{}04 x x x <>或 （C ）{}06 x x x <>或 （D ）{}22 x x x <->或【答案】B17.（山东文4）曲线311y x =+在点P(1，12)处的切线与y 轴交点的纵坐标是 （A ）-9 （B ）-3 （C ）9 （D ）15【答案】C18.（陕西文4） 函数13y x =的图像是 （ ）【答案】B【分析】已知函数解析式和图像，可以用取点验证的方法判断．19.（四川文4）函数1()12x y =+的图象关于直线y=x 对称的图象像大致是【答案】A20.（天津文4）函数()e 2x f x x =+-的零点所在的一个区间是（ ）． Ａ．()2,1--Ｂ．()1,0-Ｃ．()0,1Ｄ．()1,2【答案】C 21.（天津文6）设5log 4a =，()25log 3b =，4log 5c =，则（ ）．Ａ．a c b << Ｂ．b c a << Ｃ．a b c << Ｄ．b a c << 【答案】D22.（天津文10）设函数()22g x x =-()x ∈R ，()()()()()4,,,,g x x x g x f x g x x x g x ++<⎧⎪=⎨-≥⎪⎩则()f x 的值域是（ ）．Ａ．()9,01,4⎡⎤-+∞⎢⎥⎣⎦Ｂ．[)0,+∞，Ｃ．9,4⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭ Ｄ．()9,02,4⎡⎤-+∞⎢⎥⎣⎦【答案】D23. (重庆文3)曲线在点,处的切线方程为 A(A) (B)(C)(D)24. (重庆文6)设,,,则,,的大小关系是 (A) (B) (C) (D)【答案】B25. (重庆文7)若函数在处取最小值,则(A)(B)(C)3 (D)4 【答案】C 二、填空题26. (重庆文15)若实数,,满足,，则的最大值是 . 【答案】22log 3-27.（浙江文11）设函数k4()1f x x =+ ,若()2f a =,则实数a =________________________【答案】-128.（天津文16）设函数()1f x x x =-．对任意[)1,x ∈+∞，()()0f mx mf x +<恒成立，则实数m 的取值范围是 ． 【答案】(),1-∞-．29.（上海文3）若函数()21f x x =+的反函数为1()f x -，则1(2)f --= 【答案】32-30.（上海文14）设()g x 是定义在R 上，以1为周期的函数，若函数()()f x x g x =+在区间[0,1]上的值域为[2,5]-，则()f x 在区间[0,3]上的值域为【答案】[2,7] -31.（陕西文11）设lg,0()10,0xx xf xx>⎧=⎨⎩，则((2))f f-=______.【答案】2-32.（辽宁文16）已知函数a x e x f x+-=2)(有零点，则a 的取值范围是___________． 【答案】(,2ln 22]-∞-33.（湖南文12）已知()f x 为奇函数，()()9,(2)3,(2)g x f x g f =+-==则 ． 【答案】634.（湖北文15）里氏震级M 的计算公式为：0l g l g M A A =-，其中A 是测震仪记录的地震曲线的最大振幅是相应的标准地震的振幅，假设在一次地震中，测震仪记录的最大振幅是1000,此时标准地震的振幅为0.001，则此次地震的震级为__________级；9级地震的最大的振幅是5级地震最大振幅的__________倍。
【答案】6，1000035.（广东文12）设函数.1cos )(3+=x x x f 若11)(=a f ，则=-)(a f ． 【答案】-936.（安徽文13）函数y =的定义域是 .【答案】（－3,2）【命题意图】本题考查函数的定义域，考查一元二次不等式的解法. 37.（北京文18）已知函数()()xf x x k e =-，（I ）求()f x 的单调区间；（II ）求()f x 在区间[]0,1上的最小值。
解：（I ）/()(1)x f x x k e =-+，令/()01f x x k =⇒=-；所以()f x 在(,1)k -∞-上递减，在(1,)k -+∞上递增； （II ）当10,1k k -≤≤即时，函数()f x 在区间[]0,1上递增，所以min()(0)f x f k==-；当011k <-≤即12k <≤时，由（I ）知，函数()f x 在区间[]0,1k -上递减，(1,1]k -上递增，所以1min ()(1)k f x f k e -=-=-；当11,2k k ->>即时，函数()f x 在区间[]0,1上递减，所以min()(1)(1)f x f k e==-。
38.（福建文22）已知a 、b 为常数，且a≠0，函数f(x)＝－ax ＋b ＋axlnx ，f(e)＝2，（e＝2.71828…是自然对数的底数）。
（Ⅰ）求实数b 的值；（Ⅱ）求函数f(x)的单调区间； 解：（Ⅰ）b ＝2；（Ⅱ）a ＞0时单调递增区间是（1，＋∞），单调递减区间是（0，1），a ＜0时单调递增区间是（0，1），单调递减区间是（1，＋∞）39.（广东文19） 设0>a ,讨论函数x a x a a x x f )1(2)1(ln )(2---+=的单调性． 解：函数f(x)的定义域为（0，+∞）221212122(1)2(1)1'(),112(1)2(1)1012(1)()310,'()23110,220'()0,()(0,)(,)a a x a x f x xa a a x a x a a a f x x x a a x x x x f x f x x x ---+=≠---+=∆=--<∆>=>=<<>>+∞当时，方程的判别式①当0<时，有个零点且当或时，在与内为增函数121212'()0,(),)110,'()0,()(0,)311'()0(0),()(0,)1110,0,0,'()22x x x f x f x x x a f x f x a f x x f x xa x x f x x a a <<<≤<∆≤≥+∞==>>+∞>∆>==+；当时，在(内为减函数当时，在内为增函数；当时，在内为增函数；当时，所以在定义域内有唯一零点②③④11111;0'()0,()(0,)'()0,()(,)x x f x f x x x x f x f x x <<>><+∞且当时，在内为增函数；当时，在内为减函数；综上所述，f(x)的单调区间如下表：（其中121122x x a a ==）40.（湖北文20）设函数32()2f x x a x b x a =+++，2()32gx x x =-+，其中x R ∈，a 、b 为常数，已知曲线()y f x =与()y g x =在点（2,0）处有相同的切线l 。