2012全国各地模拟试题文科数学分类汇编4：导数(1)
2012年高考文科数学解析分类汇编：导数(逐题详解)
2012年高考文科数学解析分类汇编：导数一、选择题1 ．（2012年高考（重庆文））设函数()f x 在R 上可导,其导函数()f x ',且函数()f x 在2x =-处取得极小值,则函数()y xf x '=的图象可能是2 ．（2012年高考（浙江文））设a>0,b>0,e 是自然对数的底数（ ）A ．若e a +2a=e b+3b,则a>bB ．若e a +2a=e b+3b,则a<bC ．若e a -2a=e b-3b,则a>bD ．若e a -2a=e b-3b,则a<b3 ．（2012年高考（陕西文））设函数f(x)=2x+lnx 则 （ ）A ．x=12为f(x)的极大值点 B ． x=12为f(x)的极小值点 C ．x=2为 f(x)的极大值点D ．x=2为 f(x)的极小值点4 ．（2012年高考（山东文））设函数1()f x x=,2()g x x bx =-+.若()y f x =的图象与()y g x =的图象有且仅有两个不同的公共点1122(,),(,)A x y B x y ,则下列判断正确的是 （ ） A ．12120,0x x y y +>+> B ．12120,0x x y y +>+< C ．12120,0x x y y +<+>D ．12120,0x x y y +<+<5 ．（2012年高考（辽宁文））函数y=12x 2-㏑x 的单调递减区间为 （ ）A ．(-1,1]B ．(0,1]C ．[1,+∞)D ．(0,+∞)6 ．（2012年高考（湖北文））如图,在圆心角为直角的扇形OAB 中,分别以,OA OB 为直径作两个半圆. 在扇形OAB 内随机取一点,则此点取自阴影部分的概率是（ ）A ．112π- B ．1πC ．21π-D ．2π7 ．（2012年高考（福建文））已知32()69,f x x x x abc a b c =-+-<<,且()()()0f a f b f c ===.现给出如下结论:①(0)(1)0f f >;②(0)(1)0f f <;③(0)(3)0f f >;④(0)(3)0f f <. 其中正确结论的序号是 （ ）A ．①③B ．①④C ．②③D ．②④二、填空题8 ．（2012年高考（上海文））已知函数)(x f y =的图像是折线段ABC ,若中A (0,0),B (21,1),C (1,0). 函数)10()(≤≤=x x xf y 的图像与x 轴围成的图形的面积为_______ .9 ．（2012年高考（课标文））曲线(3ln 1)y x x =+在点(1,1)处的切线方程为________ 三、解答题10．（2012年高考（重庆文））已知函数3()f x ax bx c =++在2x =处取得极值为16c -(1)求a 、b 的值;(2)若()f x 有极大值28,求()f x 在[3,3]-上的最大值.11．（2012年高考（浙江文））已知a∈R,函数3()42f x x ax a =-+(1)求f(x)的单调区间(2)证明:当0≤x≤1时,f(x)+ 2a ->0.12．（2012年高考（天津文））已知函数3211()(0)32a f x x x ax a a -=+-->(I)求函数)(x f 的单调区间;(II)若函数)(x f 在区间(2,0)-内恰有两个零点,求a 的取值范围;(III)当1a =时,设函数)(x f 在区间]3,[+t t 上的最大值为()M t ,最小值为()m t ,记()()()g t M t m t =-,求函数()g t 在区间]1,3[--上的最小值.13．（2012年高考（陕西文））设函数()(,,)nn f x x bx cn N b c R +=++∈∈(1)设2n ≥,1,1b c ==-,证明:()n f x 在区间1,12⎛⎫⎪⎝⎭内存在唯一的零点;(2)设n 为偶数,(1)1f -≤,(1)1f ≤,求b+3c 的最小值和最大值;(3)设2n =,若对任意12,x x [1,1]∈-,有2122|()()|4f x f x -≤,求b 的取值范围;14．（2012年高考（山东文））已知函数ln ()(e xx kf x k +=为常数,e=2.71828是自然对数的底数),曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线与x 轴平行. (Ⅰ)求k 的值;(Ⅱ)求()f x 的单调区间;(Ⅲ)设()()g x xf x '=,其中()f x '为()f x 的导函数.证明:对任意20,()1e x g x -><+.[15．（2012年高考（辽宁文））设()ln 1f x x x =+-,证明:(Ⅰ)当x ﹥1时,()f x ﹤32( 1x -) (Ⅱ)当13x <<时,9(1)()5x f x x -<+16．（2012年高考（课标文））设函数f (x )= e x-ax -2(Ⅰ)求f (x )的单调区间(Ⅱ)若a =1,k 为整数,且当x >0时,(x -k ) f´(x )+x +1>0,求k 的最大值17．（2012年高考（江西文））已知函数2()()xf x ax bx c e =++在[]0,1上单调递减且满足(0)1,(0)0f f ==.(1)求a 的取值范围;(2)设()()()g x f x f x '=--,求()g x 在[]0,1上的最大值和最小值.18．（2012年高考（湖南文））已知函数f(x)=e x-ax,其中a>0.[@、中国^教育出版&网~](1)若对一切x∈R,f(x) ≥1恒成立,求a 的取值集合;[z(2)在函数f(x)的图像上去定点A(x 1, f(x 1)),B(x 2, f(x 2))(x 1<x 2),记直线AB 的斜率为k ,证明:存在x 0∈(x 1,x 2),使0()f x k '=恒成立.19．（2012年高考（湖北文））设函数()(1)(0)nf x ax x b x =-+>,n 为正整数,,a b 为常数,曲线()y f x =在(1,(1))f 处的切线方程为1x y +=.(1)求,a b 的值; (2)求函数()f x 的最大值; (3)证明:1()f x ne<. 20．（2012年高考（广东文））(不等式、导数)设1a <,集合{}0A x R x =∈>,(){}223160B x R x a x a =∈-++>,D A B = .(Ⅰ)求集合D (用区间表示);(Ⅱ)求函数()()322316f x x a x ax =-++在D 内的极值点.21．（2012年高考（福建文））已知函数3()sin (),2f x ax x a R =-∈且在]2,0[π上的最大值为32π-,(1)求函数()f x 的解析式;(2)判断函数()f x 在(0,)π内的零点个数,并加以证明.22．（2012年高考（大纲文））已知函数321()3f x x x ax =++.(Ⅰ)讨论()f x 的单调性;(Ⅱ)设()f x 有两个极值点12,x x ,若过两点11(,())x f x ,22(,())x f x 的直线l 与x 轴的交点在曲线()y f x =上,求a 的值.23．（2012年高考（北京文））已知函数2()1f x ax =+(0a >),3()g x x bx =+.(1)若曲线()y f x =与曲线()y g x =在它们的交点(1,c )处具有公共切线,求,a b 的值;(2)当3,9a b ==-时,求函数()()f x g x +在区间[,2]k 上的最大值为28,求k 的取值范围.24．（2012年高考（安徽文））设定义在(0,+∞)上的函数1()(0)f x ax b a ax=++> (Ⅰ)求()f x 的最小值;(II)若曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程为32y x =,求,a b 的值.2012年高考文科数学解析分类汇编：导数参考答案一、选择题 1. 【答案】:C【解析】:由函数()f x 在2x =-处取得极小值可知2x <-,()0f x '<,则()0xf x '>;2x >-,()0f x '>则20x -<<时()0xf x '<,0x >时()0xf x '>【考点定位】本题考查函数的图象,函数单调性与导数的关系,属于基础题. 2. 【答案】A【命题意图】本题主要考查了函数复合单调性的综合应用,通过构造法技巧性方法确定函数的单调性.【解析】若23a b e a e b +=+,必有22a b e a e b +>+.构造函数:()2x f x e x =+,则()20x f x e '=+>恒成立,故有函数()2x f x e x =+在x >0上单调递增,即a >b 成立.其余选项用同样方法排除.3. 解析:22()x f x x -'=,令()0,f x '=得2x =,2x <时,()0f x '<,1()ln f x x x=+为减函数;2x >时,()0f x '>,1()ln f x x x=+为增函数,所以2x =为()f x 的极小值点,选D.4. 解析:设32()1F x x bx =-+,则方程()0F x =与()()f x g x =同解,故其有且仅有两个不同零点12,x x .由()0F x '=得0x =或23x b =.这样,必须且只须(0)0F =或2()03F b =,因为(0)1F =,故必有2()03F b =由此得3322b =.不妨设12x x <,则32223x b ==.所以231()()(2)F x x x x =--,比较系数得3141x -=,故31122x =-.3121202x x +=>,由此知12121212110x x y y x x x x ++=+=<,故答案应选B. 另解:令)()(x g x f =可得b x x+-=21. 设b x y xy +-=''=',12不妨设21x x <,结合图形可知,21x x <, 即210x x <-<,此时021>+x x ,112211y x x y -=-<=,即021<+y y .答案应选B.5. 【答案】B【解析】b x y +-=''y x1x x211ln ,,00,02y x x y x y x x x x''=-∴=->∴< 由≤，解得-1≤≤1,又≤1,故选B 【点评】本题主要考查利导数公式以及用导数求函数的单调区间,属于中档题.6. C 【解析】如图,不妨设扇形的半径为2a,如图,记两块白色区域的面积分别为S 1,S 2,两块阴影部分的面积分别为S 3,S 4,则S 1+S 2+S 3+S 4=S 扇形OAB =221(2)4a a ππ=①,而S 1+S 3 与S 2+S 3的和恰好为一个半径为a 的圆,即S 1+S 3 +S 2+S 32a π=②. ①-②得S 3=S 4,由图可知S 3=221()2OEDC EOD S S S a a π+-=-正方形扇形扇形COD ,所以. 222S a a π=-阴影.由几何概型概率公式可得,此点取自阴影部分的概率 P=222221OABS a a S a πππ-==-阴影扇形.【点评】本题考查古典概型的应用以及观察推理的能力.本题难在如何求解阴影部分的面积,即如何巧妙地将不规则图形的面积化为规则图形的面积来求解.来年需注意几何概型在实际生活中的应用. 7. 【答案】C【解析】(0),(1)4,(3)275427(0)f abc f abc f abc abc f =-=-=-+-=-= , 又()3(1)(3)f x x x '=--,所以()f x 在(,1)-∞和(3,)+∞上单调增加,在(1,3)上单调递减,故13a b c <<<<,(0)(1)0,(0)(3)0f f f f ∴<>【考点定位】本题考查函数的零点,函数的单调性极值,考查分析判断能力、必然与或然的思想.二、填空题8. [解析] 如图1,⎩⎨⎧≤<-≤≤=1,220,2)(2121x x x x x f , 所以⎩⎨⎧≤<+-≤≤==1,220,2)(212212x x x x x x xf y ,易知,y =xf (x )的分段解析式中的两部分抛物线形状完全相同,只是开口方向及顶点位置不同,如图2,封闭图形MND 与OMP 全等,面积相等,故所求面积即为矩形ODMP 的面积S=412121=⨯.9. 【命题意图】本题主要考查导数的几何意义与直线方程,是简单题.xy A BC 1 1 图1(O )Nx y OD M 1 P 图2【解析】∵3ln 4y x '=+,∴切线斜率为4,则切线方程为:430x y --=.三、解答题 10. 【答案】:(Ⅰ)1327(Ⅱ)427【解析】::(Ⅰ)因3()f x ax bx c =++ 故2()3f x ax b '=+ 由于()f x 在点2x = 处取得极值 故有(2)0(2)16f f c '=⎧⎨=-⎩即1208216a b a b c c +=⎧⎨++=-⎩ ,化简得12048a b a b +=⎧⎨+=-⎩解得112a b =⎧⎨=-⎩(Ⅱ)由(Ⅰ)知 3()12f x x x c =-+,2()312f x x '=-令()0f x '= ,得122,2x x =-=当(,2)x ∈-∞-时,()0f x '>故()f x 在(,2)-∞-上为增函数;当(2,2)x ∈- 时,()0f x '< 故()f x 在(2,2)- 上为减函数 当(2,)x ∈+∞ 时()0f x '> ,故()f x 在(2,)+∞ 上为增函数.由此可知()f x 在12x =- 处取得极大值(2)16f c -=+,()f x 在22x = 处取得极小值(2)f c =-由题设条件知1628c += 得12c =此时(3)921,(3f c f c -=+==-+=,(2)164f c =-=-因此()f x 上[3,3]-的最小值为(2)4f =-【考点定位】本题主要考查函数的导数与极值,最值之间的关系,属于导数的应用.(1)先对函数()f x 进行求导,根据(2)0f '==0,(2)16f c =-,求出a,b 的值.(1)根据函数()f x =x3-3ax2+2bx 在x=1处有极小值-1先求出函数中的参数a,b 的值,再令导数等于0,求出极值点,判断极值点左右两侧导数的正负,当左正右负时有极大值,当左负右正时有极小值.再代入原函数求出极大值和极小值.(2)列表比较函数的极值与端点函数值的大小,端点函数值与极大值中最大的为函数的最大值,端点函数值与极小值中最小的为函数的最小值.11. 【命题意图】本题是导数中常规的考查类型主要利用三次函数的求导判定函数的单调区间,并综合绝对值不等式考查了学生的综合分析问题的能力.【解析】(1)由题意得2()122f x x a '=-,当0a ≤时,()0f x '≥恒成立,此时()f x 的单调递增区间为(),-∞+∞.当0a >时,()12()()66a a f x x x '=-+,此时函数()f x 的单调递增区间为,66a a ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦.(2)由于01x ≤≤,当2a ≤时,33()2422442f x a x ax x x +-=-+≥-+. 当2a >时,333()242(1)244(1)2442f x a x a x x x x x +-=+--≥+--=-+.设3()221,01g x x x x =-+≤≤,则233()626()()33g x x x x '=-=-+. 则有 x30,3⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭333,13⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭1()g x ' - 0 + ()g x1减极小值增1所以min 343()()1039g x g ==->. 当01x ≤≤时,32210x x -+>. 故3()24420f x a x x +-≥-+>.12.解:(1)2()(1)(1)()f x x a x a x x a '=+--=+-,由()0f x '=,得121,0x x a =-=>13.14.解:(I)1ln ()e x x k x f x --'=,由已知,1(1)0ek f -'==,∴1k =. (II)由(I)知,1ln 1()e xx x f x --'=. 设1()ln 1k x x x =--,则211()0k x x x'=--<,即()k x 在(0,)+∞上是减函数, 由(1)0k =知,当01x <<时()0k x >,从而()0f x '>,当1x >时()0k x <,从而()0f x '<.综上可知,()f x 的单调递增区间是(0,1),单调递减区间是(1,)+∞. (III)证明:由(II)可知,当1x ≥时,()()g x xf x '=≤0<1+2e -,故只需证明2()1e g x -<+在01x <<时成立.当01x <<时,e x >1,且()0g x >,∴1ln ()1ln e xx x x g x x x x --=<--. 设()1ln F x x x x =--,(0,1)x ∈,则()(ln 2)F x x '=-+, 当2(0,e )x -∈时,()0F x '>,当2(e ,1)x -∈时,()0F x '<,所以当2e x -=时,()F x 取得最大值22()1e F e --=+.所以2()()1e g x F x -<≤+.综上,对任意0x >,2()1e g x -<+.另证:因为)0(),ln 1(1)()(>--='=x x x x e x f x x g x,设x x x x h ln 1)(--=,则2ln )(--='x x h ,令2,02ln )(-==--='e x x x h ,当),0(2-∈e x 时0)(>'x h ,)(x h 单调递增;当),(2+∞∈-e x 时0)(<'x h ,)(x h 单调递减.所以当0>x 时,221)()(--+=≤e e h x h ,而当0>x 时110<<x e ,所以当0>x 时21)ln 1(1)(-+<--=e x x x e x g x ,综上可知结论成立.15. 【答案与解析】【点评】本题主要考查导数公式,以及利用导数,通过函数的单调性与最值来证明不等式,考查转化思想、推理论证能力、运算能力、应用所学知识解决问题的能力,难度较大. 16. (Ⅰ) 解:()x f 的定义域为R ,()a e x f x -=';若0≤a ,则()0>'x f 恒成立,所以()x f 在R 总是增函数若0>a ,令()0>'x f ,求得a x ln >,所以()x f 的单增区间是()∞+,ln a ; 令()0<'x f , 求得 a x ln <,所以()x f 的单减区间是()a ln ,∞-(Ⅱ) 把()⎩⎨⎧-='=ae xf a x 1 代入()()01>++'-x x f k x 得:()()011>++--x e k x x ,因为0>x ,所以01>-x e ,所以:()()11-->--x e k x x ,11--->-x e x k x , 11-+<-x e x x k ,所以:(*))0(11 >+-+<x x e x k x令()x e x x g x +-+=11,则()()()212---='x x x e x e e x g ,由(Ⅰ)知:()()2--=x e x h x 在()∞+,0单调递增,而()()⎩⎨⎧><0201h h ,所以()x h 在()∞+,0上存在唯一零点α,且()2,1∈α; 故()x g '在()∞+,0上也存在唯一零点且为α,当()α,0∈x 时, ()0<'x g ,当()∞+∈,αx 时,()0>'x g ,所以在()∞+,0上,()()αg x g =m in ;由()0='αg 得:2+=ααe ,所以()1+=ααg ,所以()()3,2∈αg , 由于(*)式等价于()αg k <,所以整数的最大值为217. 【解析】(1)由(0)1f c ==,(1)0f =⇒1,1c a b =+=-,则2()[(1)1]x f x ax a x e =-++,2'()((1))x f x ax a x a e =+--,依题意须对于任意(0,1)x ∈,有()0f x '<,当0a >时,因为二次函数2(1)y ax a x a =---的图像开口向上,而(0)0f a '=-<,所以须(1)(1)0f a e '=-<,即01a <<,当1a =时,对任意(0,1)x ∈,有2()(1)0x f x x e '=-<,符合条件;当0a =时,对任意(0,1x ∈,()0x f x xe '=-<,()f x 符合要求,当0a <时,因(0)0f a '=>,()f x 不符合条件,故a 的取值范围为01a ≤≤.(2)因()(21),()(21)x xg x ax e g x ax a e '=-+=-+-当0a =时,()0x g x e '=>,()g x 在0x =上取得最小值(0)1g =,在1x =上取得最大值(1)g e =;当1a =时,对于任意(0,1)x ∈,有()20x g x xe '=-<,()g x 在0x =上取得最大值(0)2g =,在1x =上取得最小值(1)0g =;当01a <<时,由1()002a g x x a-'=⇒=>,18. 【解析】解:(),x f x e a '=-令()0ln f x x a '==得. [当ln x a <时()0,()f x f x '<单调递减;当ln x a >时()0,()f x f x '>单调递增,故当ln x a =时,()f x 取最小值(ln )ln .f a a a a =-于是对一切,()1x R f x ∈≥恒成立,当且仅当ln 1a a a -≥. ①令()ln ,g t t t t =-则()ln .g t t '=-当01t <<时,()0,()g t g t '>单调递增;当1t >时,()0,()g t g t '<单调递减.故当1t =时,()g t 取最大值(1)1g =.因此,当且仅当1a =时,①式成立.综上所述,a 的取值集合为{}1.(Ⅱ)由题意知,21212121()().x x f x f x e e k a x x x x --==--- 令2121()(),x x xe e xf x k e x x ϕ-'=-=--则 12112121()()1,x x x e x e x x x x ϕ-⎡⎤=----⎣⎦- 21221221()()1.x x x e x e x x x x ϕ-⎡⎤=---⎣⎦- 令()1t F t e t =--,则()1t F t e '=-.当0t <时,()0,()F t F t '<单调递减;当0t >时,()0,()F t F t '>单调递增.故当0t =,()(0)0,F t F >=即10.t e t -->从而2121()10x x e x x ---->,1212()10,x x e x x ---->又1210,x e x x >-2210,x e x x >- 所以1()0,x ϕ<2()0.x ϕ>因为函数()y x ϕ=在区间[]12,x x 上的图像是连续不断的一条曲线,所以存在 012(,)x x x ∈使0()0,x ϕ=即0()f x k '=成立.【点评】本题考查利用导函数研究函数单调性、最值、不等式恒成立问题等,考查运算能力,考查分类讨论思想、函数与方程思想等数学方法.第一问利用导函数法求出()f x 取最小值(ln )ln .f a a a a =-对一切x∈R,f(x) ≥1恒成立转化为min ()1f x ≥从而得出求a 的取值集合;第二问在假设存在的情况下进行推理,然后把问题归结为一个方程是否存在解的问题,通过构造函数,研究这个函数的性质进行分析判断.19. 【解析】(1)因为(1)f b =,由点(1,)b 在1x y +=上,可得110b b +=⇒=因为1()(1)n n f x ax a n x -'=-+,所以(1)f a '=-又因为切线1x y +=的斜率为1-,所以11a a -=-⇒=,所以1,0a b ==(2)由(1)可知,11()(1),()(1)()1n n n n n f x x x x x f x n x x n +-'=-=-=+-+ 令()01n f x x n '=⇒=+,即()f x '在(0,)+∞上有唯一的零点01n x n =+.在(0,)1n n +上,()0f x '>,故()f x 单调递增;而在(,)1n n +∞+上,()0f x '<,()f x 单调递减,故()f x 在(0,)+∞的最大值为1()()(1)111(1)nn n n n n n f n n n n +=-=++++. (3)令1()ln 1(0)t t t t ϕ=-+>,则22111()(0)t t t t t t ϕ-'=-> 在(0,1)上,()0t ϕ'<,故()t ϕ单调递减,而在(1,)+∞上,()0t ϕ'>,()t ϕ单调递增, 故()t ϕ在(0,)+∞上的最小值为(1)0ϕ=,所以()0(1)t t ϕ>> 即1ln 1(1)t t t >->,令11t n =+,得11ln 1n n n +>+,即11ln()ln n n e n++> 所以11()n n e n++>,即11(1)n n n n ne +<+ 由(2)知,11()(1)n n n f x n ne+≤<+,故所证不等式成立. 【点评】本题考查多项式函数的求导,导数的几何意义,导数判断函数的单调性,求解函数的最值以及证明不等式等的综合应用.考查转化与划归,分类讨论的数学思想以及运算求解的能力. 导数的几何意义一般用来求曲线的切线方程,导数的应用一般用来求解函数的极值,最值,证明不等式等. 来年需注意应用导数判断函数的极值以及求解极值,最值等;另外,要注意含有,ln xe x 等的函数求导的运算及其应用考查.20.解析:(Ⅰ)考虑不等式()223160x a x a -++>的解. 因为()()()2314263331a a a a ∆=⎡-+⎤-⨯⨯=--⎣⎦,且1a <,所以可分以下三种情况: ①当113a <<时,0∆<,此时B =R ,()0,D A ==+∞. ②当13a =时,0∆=,此时{}1B x x =≠,()()0,11,D =+∞ . ③当13a <时,0∆>,此时()223160x a x a -++=有两根,设为1x 、2x ,且12x x <,则()()()13133314a a a x +---=,()()()23133314a a a x ++--=,于是{}12B x x x x x =<>或. 当103a <<时,()123102x x a +=+>,1230x x a =>,所以210x x >>,此时()()120,,D x x =+∞ ;当0a ≤时,1230x x a =≤,所以10x ≤,20x >,此时()2,D x =+∞.综上所述,当113a <<时,()0,D A ==+∞;当13a =时,()()0,11,D =+∞ ;当103a <<时,()()120,,D x x =+∞ ;当0a ≤时,()2,D x =+∞.其中()()()13133314a a a x +---=,()()()23133314a a a x ++--=.(Ⅱ)()()26616f x x a x a '=-++,令()0f x '=可得()()10x a x --=.因为1a <,所以()0f x '=有两根1m a =和21m =,且12m m <.①当113a <<时,()0,D A ==+∞,此时()0f x '=在D 内有两根1m a =和21m =,列表可得x ()0,aa(),1a1 ()1,+∞()f x '+ 0 - 0 + ()f x递增极小值递减极大值递增所以()f x 在D 内有极大值点1,极小值点a . ②当13a =时,()()0,11,D =+∞ ,此时()0f x '=在D 内只有一根113m a ==,列表可得 x10,3⎛⎫⎪⎝⎭131,13⎛⎫ ⎪⎝⎭()1,+∞()f x '+ 0 - + ()f x递增极小值递减递增所以()f x 在D 内只有极小值点a ,没有极大值点. ③当103a <<时,()()120,,D x x =+∞ ,此时1201a x x <<<<(可用分析法证明),于是()0f x '=在D 内只有一根1m a =,列表可得x ()0,aa()1,a x()2,x +∞()f x '+-+()f x递增 极小值 递减 递增所以()f x 在D 内只有极小值点a ,没有极大值点.④当0a ≤时,()2,D x =+∞,此时21x >,于是()f x '在D 内恒大于0,()f x 在D 内没有极值点.综上所述,当113a <<时,()f x 在D 内有极大值点1,极小值点a ;当103a <≤时,()f x 在D 内只有极小值点a ,没有极大值点.当0a ≤时,()f x 在D 内没有极值点.21. 【考点定位】本题主要考查函数的最值、零点、单调性等基础知识,考查推理论证能力、运算求解能力、考查函数与方程思想、数形结合思想、分类讨论思想、转化化归思想. 解:()(sin cos ),(0,),sin cos 02f x a x x x x x x x π'=+∈∴+>当0a =时,3()2f x =-不合题意; 当0a <时,()0f x '<,()f x 单调递减,max 3[()](0)2f x f ==-,不合题意; 当0a >时,()0f x '>,()f x 单调递增,max33[()]()2222f x f a πππ-==-=1a ∴=,所以综上3()sin 2f x x x =-(2)()f x 在(0,)π上有两个零点.证明如下: 由(1)知3()sin 2f x x x =-,33(0)0,()0222f f ππ-=-<=> ∴()f x 在[0,]2π上至少有一个零点,又由(1)知()f x 在[0,]2π上单调递增,故在[0,]2π上只有一个零点,当x 2ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，时,令()()sin cos g x f x x x x '==+, 10)02g g πππ=>=-<（），（,()g x 在2ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，上连续,∴2m ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，,()0g m =')2cos -sin 0g x x x x =<（,∴()g x 在2ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，上递减,当2x m π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，时,()()0g x g m >=,')0f x >（,()f x 递增,∴当(,)2m m π∈时,3()()022f x f ππ-≥=>∴()f x 在(,)m π上递增,∵()0,()0f m f π><∴()f x 在(,)m π上只有一个零点,综上()f x 在(0,)π上有两个零点.22. 【命题意图】本试题考查了导数在研究函数中的运用.第一问就是三次函数,通过求解导数求解单调区间.另外就是运用极值概念,求解参数值的运用.解:(1)依题意可得2()2f x x x a '=++当440a ∆=-≤即1a ≥时,220x x a ++≥恒成立,故()0f x '≥,所以函数()f x 在R 上单调递增;当440a ∆=->即1a <时,2()20f x x x a '=++=有两个相异实根1224411,112ax a x a ---==---=-+-且12x x <故由2()20f x x x a '=++>⇒(,11)x a ∈-∞---或(11,)x a ∈-+-+∞,此时()f x 单调递增由2()201111f x x x a a x a '=++<⇒---<<-+-,此时此时()f x 单调递增递减综上可知当1a ≥时,()f x 在R 上单调递增;当1a <时,()f x 在(,11)x a ∈-∞---上单调递增,在(11,)x a ∈-+-+∞单调递增,在(11,11)a a ----+-单调递减. (2)由题设知,12,x x 为方程()0f x '=的两个根,故有2211221,2,2a x x a x x a <=--=--因此321111()33a f x =+同理222()(1)33a f x a x =-- 因此直线l 的方程为2(1)33ay a x =--设l 与x 轴的交点为0(,0)x ,得02(1)ax a =-而22322031()()()(12176)32(1)2(1)2(1)24(1)a a a a f x a a a a a a =++=-+---- 由题设知,点0(,0)x 在曲线()y f x =的上,故0()0f x =,解得0a =或23a =或34a = 所以所求a 的值为0a =或23a =或34a =. 【点评】试题分为两问,题面比较简单,给出的函数比较常规,这一点对于同学们来说没有难度,但是解决的关键还是要看导数的符号对函数单调性的影响,求解函数的单调区间.第二问中,运用极值的问题,和直线方程的知识求解交点,得到参数的值.23. 【考点定位】此题应该说是导数题目中较为常规的类型题目,考醒的切线、单调性、极值以及最值问题都是果本中要求的重点内容.也是学生掌握比较好的知识点,在题目占能够发现(3)28F -=和分析出区间[,2]k 包含极大值点13x =-,比较重要.解:(1)()2f x ax '=,2()=3g x x b '+.因为曲线()y f x =与曲线()y g x =在它们的交点()1c ，处具有公共切线,所以(1)(1)f g =,(1)(1)f g ''=.即11a b +=+且23a b =+.解得3,3a b ==(2)记()()()h x f x g x =+当3,9a b ==-时,32()391h x x x x =+-+,2()369h x x x '=+- 令()0h x '=,解得:13x =-,21x =;()h x 与()h x '在(,2]-∞上的情况如下:x (,3)-∞- 3-(3,1)-1 (1,2)2 ()h x + 0 —0 +()h x '↑ 28↓ -4↑3由此可知:当3k ≤-时,函数()h x 在区间[,2]k 上的最大值为(3)28h -=; 当32k -<<时,函数()h x 在区间[,2]k 上的最大值小于28. 因此,k 的取值范围是(,3]-∞-24. 【解析】(I)11()22f x ax b ax b b ax ax=++≥+=+ 当且仅当11()ax x a ==时,()f x 的最小值为2b + (II)由题意得:313(1)22f a b a =⇔++= ①2113()(1)2f x a f a ax a ''=-⇒=-= ②由①②得:2,1a b ==-。
全国各地市高考数学模拟试题分类解析汇编4 导数(1)
全国各地市2012年模拟试题分类解析汇编第4部分：导数（1）【2012金华十校高三上学期期末联考文】设函数sin cos y x x x =+的图象上的点00(,)x y 处的切线的斜率为k ，若0()k g x =，则函数0()k g x =的图象大致为（ ）【答案】 A【解析】本题主要考查导数的计算公式、导数的几何意义及函数的图像. 属于基础知识、基本运算的考查.cos y x x '=，000()cos k g x x x ==由于它是奇函数，排除B,D;4x π=时，0k >，答案为A【2012厦门市高三上学期期末质检文】函数y ＝(3－x2)ex 的单调递增区是 A.(－∞,0) B. (0,＋∞) C. (－∞,－3)和(1,＋∞) D. (－3,1) 【答案】D 【解析】本题主要考查导数的计算及导数与单调性的关系、二次不等式的解法. 属于基础知识、基本运算的考查.2222(3)(23)023031x x x y xe x e e x x x x x '=-+-=--+>⇒+-<⇒-<<∴函数y ＝(3－x2)ex 的单调递增区是(－3,1)【2012安徽省合肥市质检文】已知函数()f x 的导函数的图像如图所示，若ABC ∆为锐角三角形，则一定成立的是 （ ）A ．(sin )(cos )f A fB > B ．(sin )(cos )f A f B <C ．(sin )(sin )f A f B >D ．(cos )(cos )f A f B <【答案】A【解析】由导函数图象可知，0x >时，'()0f x >，即()f x 单调递增，又ABC ∆为锐角三角形，则2A B π+>，即022A B ππ>>->，故s i n s i n ()02A B π>->，即sin cos 0A B >>，故(sin )(cos )f A f B >，选A 。
高考试题文科数学分类汇编导数
2012年高考试题分类汇编：导数1.【2012高考重庆文8】设函数()f x 在R 上可导，其导函数()f x '，且函数()f x 在2x =-处取得极小值，则函数()y xf x '=的图象可能是【答案】C2.【2012高考浙江文10】设a ＞0，b ＞0，e 是自然对数的底数A. 若e a +2a=e b +3b ，则a ＞bB. 若e a +2a=e b +3b ，则a ＜bC. 若e a -2a=e b -3b ，则a ＞bD. 若e a -2a=e b -3b ，则a ＜b 【答案】A3.【2012高考陕西文9】设函数f （x ）=2x+lnx 则 （ ） A ．x=12为f(x)的极大值点 B ．x=12为f(x)的极小值点C ．x=2为 f(x)的极大值点D ．x=2为 f(x)的极小值点 【答案】D.4.【2012高考辽宁文8】函数y=12x 2-㏑x 的单调递减区间为（A）（-1,1] （B）（0,1] （C.）[1，+∞）（D）（0，+∞）【答案】B5.【2102高考福建文12】已知f（x）=x³-6x²+9x-abc，a＜b＜c，且f（a）=f（b）=f（c）=0.现给出如下结论：①f（0）f（1）＞0；②f（0）f（1）＜0；③f（0）f（3）＞0；④f（0）f（3）＜0.其中正确结论的序号是A.①③B.①④C.②③D.②④【答案】C．6.【2012高考辽宁文12】已知P,Q为抛物线x2=2y上两点，点P,Q 的横坐标分别为4，-2，过P,Q分别作抛物线的切线，两切线交于点A，则点A的纵坐标为(A) 1 (B) 3 (C) -4 (D) -8【答案】C7.【2012高考新课标文13】曲线y=x(3ln x+1)在点)1,1(处的切线方程为________【答案】34-=xy8.【2012高考上海文13】已知函数()y f x=的图像是折线段ABC，其中(0,0)A、1(,1)2B、(1,0)C，函数()y xf x=（01x≤≤）的图像及x轴围成的图形的面积为【答案】41。
2012届高三摸底考试文科数学试题
2012届高三摸底考试数学试题（文科）本卷分选择题非选择题两部分，共4页，满分150分.考试用时间120分钟. 注意事项：1． 考生务必将自己的姓名、班级、学校用蓝、黑墨水钢笔签字笔写在答题卷上；2． 选择题、填空题每小题得出答案后，请将答案填写在答题卷相应指定位置上。
答在试题卷上不得分；3．考试结束，考生只需将答题卷交回. 4. 参考公式：球体的体积公式343V r π=，其中r 是球体的半径． 一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，满分50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．函数y =）A ．(),1-∞B ．(],1-∞C ．()1,+∞D ．[)1,+∞ 2．复数2ii -（i 为虚数单位）等于（ ） A. 12i -- B. 12i -+C. 12i -D. 12i +3．已知命题2:,210p x R x ∀∈+>，则（ ） A ．2:,210p x R x ⌝∃∈+≤ B ．2:,210p x R x ⌝∀∈+≤C ．2:,210p x R x ⌝∃∈+<D ．2:,210p x R x ⌝∀∈+<4．圆1)3()1(22=++-y x 的一条切线方程是（ ）A ．0x y -=B ．0x y +=C ．0x =D ．0y = 5．不等式32x x -+＜0的解集为（ ） A ．{}23x x -<< B ．{}2x x <- C ．{}23x x x <->或 D ．{}3x x > 6．若平面向量(1,2)=-a 与b 的夹角是180°，且||=b b 等于( ) A ．(6,3)- B ．(3,6)- C ．(6,3)- D ．(3,6)-7．设变量x 、y 满足线性约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≤--≥-≥+3213y x y x y x ，则目标函数y x z 32+=的最小值为（ ）.A 6 .B 7 .C 8 .D 23（图3）8．一个几何体的三视图如图1所示，其中俯视图与左视图均为半径是1的圆，则这个几何体的体积是（ ） A ．43π B ．π C ．23π D ．3π9． 执行图2中的程序框图，若0.8p =，则输出的n =（ ） A ．2 B ．3 C ．4 D ． 5 10．对函数()sin f x x x =，现有下列命题：①函数()f x 是偶函数；②函数()f x 的最小正周期是2π；③点(,0)π是函数()f x 的图象的一个对称中心；④函数()f x 在区间0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，在区间,02π⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递减。
(完整版)高考文科数学试题分类汇编导数
2012 高考文科试题分析分类汇编：导数1.【 2012 高考重庆文8】设函数 f ( x) 在R上可导，其导函数 f ( x) ，且函数 f ( x) 在x 2处获得极小值，则函数y xf( x) 的图象可能是【答案】 C【分析】：由函数 f (x) 在x 2 处获得极小值可知x 2 ，f (x)0 ，则 xf (x)0 ；x 2 ，f (x)0 则2 x0 时xf ( x) 0， x0 时xf ( x) 0【考点定位】本题考察函数的图象，函数单一性与导数的关系，属于基础题．2.【 2012 高考浙江文10】设 a＞ 0， b＞ 0， e 是自然对数的底数A.若 e a+2a=e b +3b，则 a＞bB.若 e a+2a=e b +3b，则 a＜ bC.若 e a-2a=e b-3b，则 a＞ bD.若 e a-2a=e b-3b，则 a＜ b【答案】 A【命题企图】本题主要考察了函数复合单一性的综合应用，经过结构法技巧性方法确立函数的单一性 .a2b a b x【分析】若 a e b ，必有 e2a e 2b ．构造函数：，则f x e 2 x3f x e x 2 0 恒建立，故有函数 f x e x2x 在x＞0上单一递加，即a＞ b 建立．其他选项用相同方法清除．23.【 2012高考陕西文 9】设函数 f （ x） =+lnx 则（）xA ． x=1为 f(x) 的极大值点B．x= 1为 f(x) 的极小值点22C． x=2 为 f(x) 的极大值点 D ．x=2 为 f(x) 的极小值点【答案】 D.【分析】 f ' x 21x2，令 f ' x0 ，则 x 2 ．x2x x2当 x 2 时， f ' x 21x2x2x x20 ；当 x 2 时， f ' x 21x2x2x x20 ．即当 x 2 时， f x 是单一递减的；当 x 2 时， f x 是单一递加的．所以 x 2 是 f x的极小值点．应选 D ．4. 【 2012 高考辽宁文8】函数 y=1x2㏑ x 的单一递减区间为2（A）（ 1,1]（ B）（ 0,1]（ C.） [1 ， +∞）（ D）（ 0， +∞）【答案】 B【命题企图】本题主要考察利导数公式以及用导数求函数的单一区间，属于中档题。
2012北京一摸导数文科汇总带答案
2012北京一摸导数文科1（本小题共13分）已知椭圆2222:1(0)x y C a b ab+=>>过点()0,1，且离心率为2.（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）12,A A 为椭圆C 的左、右顶点，直线:l x =x 轴交于点D ，点P 是椭圆C 上异于12,A A 的动点，直线12,A P A P 分别交直线l 于,E F 两点.证明：DE DF ⋅恒为定值.2. （本题满分14分）已知函数()2()1e x f x ax =-⋅,a ∈R .（Ⅰ）若函数()f x 在1x =时取得极值，求a 的值； （Ⅱ）当0a ≤时，求函数()f x 的单调区间. 3．（本小题满分14分）已知函数axx x x f -+=1ln )(，其中a 为常数，且+∈R a .（Ⅰ）若函数)(x f 在区间),1[+∞内调递增，求a 的取值范围； （Ⅱ）当0>a 时，求函数)(x f 在区间],1[e 上的最小值．4．（本小题满分14分）已知函数2()2ln f x x a x =+.（Ⅰ）若函数()f x 的图象在(2,(2))f 处的切线斜率为1，求实数a 的值； （Ⅱ）求函数()f x 的单调区间； （Ⅲ）若函数2()()g x f x x=+在[1,2]上是减函数，求实数a 的取值范围.5.（本小题满分13分）如图，抛物线29y x =-+与x 轴交于两点,A B ，点,C D 在抛物线上（点C 在第一象限），C D ∥A B ．记||2CD x =，梯形A B C D 面积为S ．（Ⅰ）求面积S 以x 为自变量的函数式； （Ⅱ）若||||C D k AB ≤，其中k 为常数，且01k <<，求S 的最大值．6（本小题满分13分）已知函数211()ln (0)22f x a x x a a =-+∈≠且R .（Ⅰ）求()f x 的单调区间；（Ⅱ）是否存在实数a ，使得对任意的[)1,x ∈+∞，都有()0f x ≤？若存在，求a 的取值范围；若不存在，请说明理由.7.（本小题共13分）设函数3221()23()3f x x ax a x a a R =-+-+∈.（Ⅰ）当1=a 时，求曲线)(x f y =在点())3(,3f 处的切线方程； （Ⅱ）求函数)(x f 的单调区间和极值；（Ⅲ）若对于任意的∈x (3,)a a ，都有()1f x a <+，求a 的取值范围.8（本小题共13分）已知函数321()13f x x ax =-+ ()a R ∈．（Ⅰ）若曲线y =f (x )在(1，f (1))处的切线与直线x +y +1=0平行，求a 的值； （Ⅱ）若a >0，函数y =f (x )在区间(a ，a 2-3)上存在极值，求a 的取值范围； （Ⅲ）若a >2，求证：函数y =f (x )在(0，2)上恰有一个零点．答案1（共13分）（Ⅰ）解：由题意可知，1b =，2c a =，解得2a =. …………4分 所以椭圆的方程为2214xy +=. …………5分（Ⅱ）证明：由（Ⅰ）可知,1(2,0)A -，2(2,0)A .设00(,)P x y ，依题意022x -<<，于是直线1A P 的方程为00(2)2y y x x =++，令x =02)2y y x =+.即002)2y D E x =+. …………7分又直线2A P 的方程为00(2)2y y x x =--，令x =02)2y y x =-，即002)2y D F x =-. …………9分所以22000220000442)2)2244y y y y DE DF x x x x ⋅=⋅-==+---，………11分 又00(,)P x y 在2214xy +=上，所以220014x y +=,即220044y x =-，代入上式，得202414x D E D F x -⋅==-,所以||||DE DF ⋅为定值1. …………13分2（本小题满分14分）解：（Ⅰ）()2()21e x f x ax ax '=+-⋅.x ∈R ……………………2分 依题意得(1)(31)e =0f a '=-⋅，解得13a =. 经检验符合题意. ………4分（Ⅱ）()2()21e x f x ax ax '=+-⋅，设2()21g x ax ax =+-，（1）当0a =时，()e xf x =-，()f x 在(),-∞+∞上为单调减函数. ……5分（2）当0a <时，方程2()21g x ax ax =+-=0的判别式为244a a ∆=+，令0∆=, 解得0a =（舍去）或1a =-.1°当1a =-时，22()21(1)0g x x x x =---=-+≤，即()2()21e 0x f x ax ax '=+-⋅≤，且()f x '在1x =-两侧同号，仅在1x =-时等于0，则()f x 在(),-∞+∞上为单调减函数. ……………………7分 2°当10a -<<时，0∆<，则2()210g x ax ax =+-<恒成立，即()0f x '<恒成立，则()f x 在(),-∞+∞上为单调减函数. ……………9分 3°1a <-时，2440a a ∆=+>，令()0g x =，方程2210ax ax +-=有两个不相等的实数根11x a=-+，21x a =--，作差可知11a a-->-+，则当1x a<-+时，()0g x <，()0f x '<，()f x 在(,1a-∞-+上为单调减函数；当11x aa-+<<--()0g x >，()0f x '>，()f x 在(11a a-+--上为单调增函数；当1x a>--时，()0g x <，()0f x '<，()f x 在(1)a--+∞上为单调减函数. ……………………………………………………………………13分综上所述，当10a -≤≤时，函数()f x 的单调减区间为(),-∞+∞；当1a <-时，函数()f x 的单调减区间为(,1a-∞-+，(1)a--+∞，函数()f x 的单调增区间为(11aa-+--. …………………………14分3．（本小题满分13分）解：（Ⅰ）)0(1)(2>-='x axax x f . ……………………………2分 令0)(='x f ，得ax 1=. ………………………………………………3分∴在]1,0(a上0)(≤'x f ，在),1[+∞a上0)(≥'x f . ∴)(x f 在]1,0(a上单调递减，在),1[+∞a上单调递增. ……………………5分∵ 函数)(x f 在区间),1[+∞内调递增，∴11≤a.∵0>a ，∴1≥a .∴所求实数a 的取值范围为),1[+∞……………………………………………7分 （Ⅱ）当1≥a 时，∵在),1(e 上0)(>'x f ，)(x f 在],1[e 上为增函数，∴0)1()(min ==f x f . ……………………………………………9分当11<<a e时，在]1,0(a上0)(≤'x f ，在),1[+∞a上0)(≥'x f)(x f 在]1,0(a上为减函数，在),1[+∞a上为增函数.∴aa a f x f 111ln)1()(min -+==. ……………………………………11分当ea 10≤<，在),1(e 上0)(<'x f ，)(x f 在],1[e 上为减函数.∴aee ef x f -+==11)()(min . …………………………………………13分4．（本小题满分14分） 解：（Ⅰ）2222'()2a x af x x x x+=+=…………1分由已知'(2)1f =，解得3a =-. …………3分（II ）函数()f x 的定义域为(0,)+∞.（1）当0a ≥时, '()0f x >，()f x 的单调递增区间为(0,)+∞；……5分（2）当0a <时'()f x x=.当x 变化时，'(),()f x f x 的变化情况如下：由上表可知，函数()f x的单调递减区间是；单调递增区间是)+∞. …………8分 （II ）由22()2ln g x x a x x=++得222'()2a g x x xx=-++，…………9分由已知函数()g x 为[1,2]上的单调减函数，则'()0g x ≤在[1,2]上恒成立， 即22220a x xx-++≤在[1,2]上恒成立.即21a x x≤-在[1,2]上恒成立.…………11分令21()h x x x=-，在[1,2]上2211'()2(2)0h x x x xx=--=-+<，所以()h x 在[1,2]为减函数. m in7()(2)2h x h ==-,所以72a ≤-. …………14分5.（本小题满分13分）（Ⅰ）解：依题意，点C 的横坐标为x ，点C 的纵坐标为29C y x =-+． ………………1分点B 的横坐标B x 满足方程290B x -+=，解得3B x =，舍去3B x =-． ……………2分所以2211(||||)(223)(9)(3)(9)22C S CD AB y x x x x =+⋅=+⨯-+=+-+． ………4分由点C 在第一象限，得03x <<．所以S 关于x 的函数式为 2(3)(9)S x x =+-+，03x <<． ………………5分（Ⅱ）解：由 03,,3x x k <<⎧⎪⎨≤⎪⎩ 及01k <<，得03x k <≤． ………………6分记2()(3)(9),03f x x x x k =+-+<≤，则2()3693(1)(3)f x x x x x '=--+=--+． ………………8分 令()0f x '=，得1x =． ………………9分 ① 若13k <，即113k <<时，()f x '与()f x 的变化情况如下：x(0,1)1(1,3)k()f x ' + 0-()f x↗ 极大值 ↘所以，当1x =时，()f x 取得最大值，且最大值为(1)32f =． ………………11分 ② 若13k ≥，即103k <≤时，()0f x '>恒成立，所以，()f x 的最大值为2(3)27(1)(1)f k k k =+-． ………………13分 综上，113k ≤<时，S 的最大值为32；103k <<时，S 的最大值为227(1)(1)k k +-．6（本小题满分13分）解：（Ⅰ）()f x 的定义域为(0,)+∞.2'()a x af x x xx-+=-=. ………………………………………2分当0a <时，在区间(0,)+∞上，'()0f x <.所以 ()f x 的单调递减区间是(0,)+∞. ………………………………………3分当0a >时，令'()0f x =得x =x =（舍）.函数()f x ,'()f x 随x 的变化如下：所以 ()f x 的单调递增区间是，单调递减区间是)+∞.………………………………………6分综上所述，当0a <时， ()f x 的单调递减区间是(0,)+∞；当0a >时，()f x 的单调递增区间是，单调递减区间是)+∞.（Ⅱ）由（Ⅰ）可知：当0a <时, ()f x 在[1,)+∞上单调递减.所以()f x 在[1,)+∞上的最大值为(1)0f =，即对任意的[1,)x ∈+∞，都有()0f x ≤. ………………………………………7分当0a >时，① 1≤，即01a <≤时，()f x 在[1,)+∞上单调递减.所以()f x 在[1,)+∞上的最大值为(1)0f =，即对任意的[1,)x ∈+∞，都有()0f x ≤. ………………………………………10分② 1>，即1a >时，()f x 在[1,上单调递增，所以 (1)f f >.又 (1)0f =，所以 0f >，与对于任意的[1,)x ∈+∞，都有()0f x ≤矛盾.………………………………………12分综上所述，存在实数a 满足题意，此时a 的取值范围是(,0)(0,1]-∞ .………………………………………13分7．（本小题共13分）解：（I ）∵当1=a 时，13231)(23+-+-=x x x x f ，………………………1分34)(2-+-='x x x f …………………………………2分当3=x 时，1)3(=f ，=')3(f 0 …………………………………3分 ∴曲线)(x f y =在点())3(,3f 处的切线方程为01=-y ………………………4分 （II ）22()4-3()(3)f x x ax a x a x a '=-+=--- ……………………………5分0a =时，()0f x '≤，(,)-∞∞是函数的单调减区间；无极值；……………6分 0a >时，在区间(,),(3,)a a -∞∞上，()0f x '<； 在区间(,3)a a 上，()0f x '>， 因此(,),(3,)a a -∞∞是函数的单调减区间，(,3)a a 是函数的单调增区间， 函数的极大值是(3)f a a =；函数的极小值是34()3f a a a =-；………………8分0a <时，在区间(,3),(,)a a -∞∞上，()0f x '<； 在区间(3,)a a 上，()0f x '>，因此(,3),(,)a a -∞∞是函数的单调减区间，(3,)a a 是函数的单调增区间 函数的极大值是34()3f a a a =-，函数的极小值是(3)f a a= ………………10分(III) 根据（II ）问的结论，(3,)x a a ∈时，34()()3f x f a a a <=-………………11分因此，不等式()1f x a <+在区间(3,)a a 上恒成立必须且只需：⎪⎩⎪⎨⎧<+≤-01343a a a a ，解之，得,02a ⎡⎫∈-⎪⎢⎪⎣⎭……………………13分8．解：（Ⅰ）2()2f x x ax '=-， ……………………1分(1)12f a '=-，……………………2分 因为曲线y =f (x )在(1，f (1))处的切线与直线x +y +1=0平行所以121a -=-， ……………………3分所以1a =． ……………………4分 （Ⅱ）令()0f x '=， ……………………5分即()(2)0f x x x a '=-=，所以 0x =或2x a =． ……………………6分因为a >0，所以0x =不在区间(a ，a 2-3)内，要使函数在区间(a ，a 2-3)上存在极值，只需223a a a <<-． ……………………7分 所以3a >． ……………………9分 （Ⅲ）证明：令()0f x '=，所以 0x =或2x a =．因为a >2，所以2a >4， ……………………10分 所以()0f x '<在(0，2)上恒成立，函数f (x )在(0，2)内单调递减． 又因为(0)10f =>，1112(2)03af -=<， ……………………11分所以f (x )在(0，2)上恰有一个零点． ……………………13分。
2012年高考模拟试题——导数
2012年高考模拟试题——导数（2012，1海淀文）18．已知函数2()e ()x f x x ax a =+-，其中a 是常数. （Ⅰ）当1a =时，求()f x 在点(1,(1))f 处的切线方程； （Ⅱ）求()f x 在区间[0,)+∞上的最小值.（2012，1海淀理）18．已知函数2()e ()x f x x ax a =+-，其中a 是常数． （Ⅰ）当1a =时，求曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程；（Ⅱ）若存在实数k ，使得关于x 的方程()f x k =在[0,)+∞上有两个不相等的实数根，求k 的取值范围．（2012,1西城文）18.已知函数21()ln 2f x ax x =+，其中a ∈R .（Ⅰ）求)(x f 的单调区间；（Ⅱ）若)(x f 在(0,1]上的最大值是1-，求a 的值.（2012,1西城理）19.已知函数)1ln(21)(2x axx x f +--=，其中a ∈R .（Ⅰ）若2x =是)(x f 的极值点，求a 的值； （Ⅱ）求)(x f 的单调区间；（Ⅲ）若)(x f 在[0,)+∞上的最大值是0，求a 的取值范围.（2012,1东城文）18.已知函数1331(223+-+=x m mxx x f ）(0)m >．（Ⅰ）若1=m ，求曲线)(x f y =在点))2(,2(f 处的切线方程；（Ⅱ）若函数)(x f 在区间(21,1)m m -+上单调递增，求实数m 的取值范围．（2012,1东城理）18．已知函数32()23f x ax x =-，其中0>a ． （Ⅰ）求证：函数)(x f 在区间(,0)-∞上是增函数；（Ⅱ）若函数[]()()()(0,1)g x f x f x x '=+∈在0x =处取得最大值，求a 的取值范围．（2012,1丰台文）19．已知函数x xb ax x f ln 2)(++=．（Ⅰ）若函数)(x f 在1=x ，21=x 处取得极值，求a ，b 的值；（Ⅱ）若(1)2f '=，函数)(x f 在),0(+∞上是单调函数，求a 的取值范围．（2012,1丰台理）19．设函数xb x a x x f +-=ln )(在1=x 处取得极值．（Ⅰ）求a 与b 满足的关系式；（Ⅱ）若1>a ，求函数)(x f 的单调区间；（Ⅲ）若3>a ，函数3)(22+=x a x g ，若存在1m ，21[,2]2m ∈，使得12()()9f m g m -<成立，求a 的取值范围．（2012,1朝阳文）18.设函数2()ln 2,R 2axf x a x x a =+-∈．（Ⅰ）当1a =时，试求函数()f x 在区间[1,e]上的最大值；（Ⅱ）当0a ≥时，试求函数()f x 的单调区间．（2012,1朝阳理）18.已知函数1()ln(1)1x f x ax x-=+++（0x ≥，a 为正实数）．（Ⅰ）若1a =，求曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程； （Ⅱ）求函数()f x 的单调区间；（Ⅲ）若函数()f x 的最小值为1，求a 的取值范围．（2012,1石景山文）19.已知()ln ,()f x ax x a =-∈R ． （Ⅰ）当2=a 时，求曲线)(x f 在点))1(,1(f 处的切线方程； （Ⅱ）若)(x f 在1=x 处有极值，求)(x f 的单调递增区间；（Ⅲ）是否存在实数a ，使()f x 在区间(]e ,0的最小值是3，若存在，求出a 的值；若不存在，说明理由.（2012,4海淀文）18.已知函数211()ln (0)22f x a x x a a =-+∈≠且R ．（Ⅰ）求()f x 的单调区间；（Ⅱ）是否存在实数a ，使得对任意的[)1,x ∈+∞，都有()0f x ≤？若存在，求a 的取值范围；若不存在，请说明理由．（2012,4海淀理）18.已知函数21()e ()(0)kxf x x x k k-=+-<．（Ⅰ）求()f x 的单调区间；（Ⅱ）是否存在实数k ，使得函数()f x 的极大值等于23e-？若存在，求出k 的值；若不存在，请说明理由．（2012,4西城文）19.如图，抛物线29y x =-+与x 轴交于两点,A B ，点,C D 在抛物线上（点C 在第一象限），C D ∥A B ．记||2CD x =，梯形A B C D 面积为S ． （Ⅰ）求面积S 以x 为自变量的函数式； （Ⅱ）若||||C D k AB ≤，其中k 为常数，且01k <<，求S 的最大值．（2012,4西城理）18．已知函数()e(1)axa f x a x=⋅++，其中1-≥a ．（Ⅰ）当1a =时，求曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程； （Ⅱ）求)(x f 的单调区间．（2012,4东城文）18．已知1=x 是函数()(2)e xf x ax =-的一个极值点．（Ⅰ）求实数a 的值；（Ⅱ）当1x ，[]20,2x ∈时，证明：12()()e f x f x -≤． （2012,4东城理）18．已知函数221()2e 3e ln 2f x x x x b =+--在0(,0)x 处的切线斜率为零．（Ⅰ）求0x 和b 的值；（Ⅱ）求证：在定义域内()0f x ≥恒成立； （Ⅲ）若函数()()a F x f x x'=+有最小值m ，且2e m >，求实数a 的取值范围．（2012,4丰台文）18．已知函数321()13f x x ax =-+()a ∈R ．（Ⅰ）若曲线()y f x =在(1,(1))f 处的切线与直线10x y ++=平行，求a 的值； （Ⅱ）若0a >，函数()y f x =在区间2(,3)a a -上存在极值，求a 的取值范围； （Ⅲ）若2a >，求证：函数()y f x =在(0,2)上恰有一个零点．（2012,4丰台理）18．已知函数2()(2)ln f x ax a x x =-++． （Ⅰ）当1a =时，求曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程；（Ⅱ）当0a >时，函数()f x 在区间[1,]e 上的最小值为2-，求a 的取值范围；（Ⅲ）若对任意12,(0,)x x ∈+∞，12x x <，且1122()+2()+2f x x f x x <恒成立，求a 的取值范围．（2012,4朝阳文）18．已知函数2()(1)e x f x ax =-⋅，a ∈R ． （Ⅰ）若函数()f x 在1x =时取得极值，求a 的值； （Ⅱ）当0a ≤时，求函数()f x 的单调区间．（2012,4朝阳理）18．设函数2e(),1axf x a x R =∈+．（Ⅰ）当1a =时，求曲线()y f x =在点(0,(0))f 处的切线方程； （Ⅱ）求函数)(x f 单调区间.（2012,4石景山文）18．已知函数2()2ln f x x a x =+．（Ⅰ）若函数()f x 的图象在(2,(2))f 处的切线斜率为1，求实数a 的值； （Ⅱ）求函数()f x 的单调区间； （Ⅲ）若函数2()()g x f x x=+在[1,2]上是减函数，求实数a 的取值范围．（2012,4石景山理）18．已知函数2()2ln f x x a x =+．（Ⅰ）若函数()f x 的图象在(2,(2))f 处的切线斜率为1，求实数a 的值； （Ⅱ）求函数()f x 的单调区间；（Ⅲ）若函数2()()g x f x x=+在[1,2]上是减函数，求实数a 的取值范围．（2012,5海淀文）18.已知函数22()3x a f x x a+=+（0a ≠，a ∈R ）．（Ⅰ）求函数()f x 的单调区间；（Ⅱ）当1a =时，若对任意12,[3,)x x ∈-+∞，有12()()f x f x m -≤成立，求实数m 的最小值．（2012,5海淀理）19.已知函数21()ln()(0)2f x a x a x x a =--+<．（Ⅰ）求()f x 的单调区间；（Ⅱ）若12(ln 21)a -<<-，求证：函数()f x 只有一个零点0x ，且012a x a +<<+； （Ⅲ）当45a =-时，记函数()f x 的零点为0x ，若对任意120,[0,]x x x ∈且211,x x -=都有21()()f x f x m -≥成立，求实数m 的最大值． （本题可参考数据：99ln 20.7,ln 0.8,ln0.5945≈≈≈）（2012,5西城文）18.已知函数2221()1ax a f x x +-=+，其中a ∈R ．（Ⅰ）当1a =时，求曲线()y f x =在原点处的切线方程； （Ⅱ）求)(x f 的单调区间．（2012,5西城理）19.已知函数2221()1ax a f x x +-=+，其中a ∈R ．（Ⅰ）当1a =时，求曲线()y f x =在原点处的切线方程； （Ⅱ）求)(x f 的单调区间；（Ⅲ）若)(x f 在[0,)+∞上存在最大值和最小值，求a 的取值范围．（2012,5东城文）18.已知函数21()2e 2xf x x x a =-+-．（Ⅰ）若1a =，求()f x 在1x =处的切线方程；（Ⅱ）若)(x f 在R 上是增函数，求实数a 的取值范围．（2012,5东城理）19.已知函数11()()ln f x a x x ax=++-（1a >）． （Ⅰ）试讨论()f x 在区间(0,1)上的单调性；（Ⅱ）当[)3,a ∈+∞时，曲线()y f x =上总存在相异两点11(,())P x f x ，22(,())Q x f x ，使得曲线()y f x =在点P ，Q 处的切线互相平行，求证：1265x x +>．（2012,5朝阳文）18．设函数22()ln (0)a f x a x a x=+≠．（Ⅰ）已知曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线l 的斜率为23a -，求实数a 的值； （Ⅱ）讨论函数()f x 的单调性；（Ⅲ）在（Ⅰ）的条件下，求证：对于定义域内的任意一个x ，都有()3f x x ≥-．（2012,5朝阳理）18．已知函数22()ln (0)a f x a x x a x=++≠．（Ⅰ）若曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线与直线20x y -=垂直，求实数a 的值； （Ⅱ）讨论函数()f x 的单调性；（Ⅲ）当(,0)a ∈-∞时，记函数()f x 的最小值为()g a ，求证：21()e 2g a ≤．（2012,5丰台文）20．已知函数()ln f x x =，()b g x ax x=+，两函数图象的交点在x 轴上，且在该点处切线相同．（Ⅰ）求a ，b 的值；（Ⅱ）求证：当1x >时，()()f x g x <成立； （Ⅲ）证明：1111...ln(1)23n n++++>+（*n ∈N ）．（2012,5丰台理）20．设函数()ln ()ln()f x x x a x a x =+--(0)a >． （Ⅰ）当1a =时，求函数()f x 的最小值；（Ⅱ）证明：对∀x 1，x 2∈R +，都有[]11221212ln ln ()ln()ln 2x x x x x x x x +≥++-；（Ⅲ）若211ni i x ==∑，证明：21ln ln 2nn i i i x x =≥-∑ *(,)i n ∈N．。
2012全国各地模拟试题理科数学分类汇编理4：导数1
【 安 徽 省 望 江 县 2012 届 高 三 第 三 次 月 考 理 】 已 知 函 数 f ( x) 3 x 2 2 x 1, 若
1 1 f ( x ) dx 2 f ( x0 ) 成立，则 x0 ___________。
【答案】 1 或
2
1 e
1
2 xx 2 . x 1
则增区间为 0, ,减区间为 1,0 .
(2)令 f x
2 xx 2 1 0, 得 x 0 ,由(1)知 f x 在 1,0 上递减,在 0, e 1 上递 x 1 e
增, 由 f
1 1 1 1 2 2, f e 1 e 2 2 ,且 e 2 2 2 2 , e e e
1 x 1, e 1 时, f x 的最大值为 e 2 2 ,故 m e 2 2 时,不等式恒成立. e
t ∴ f ( x) 在 ( ,1) 内存在零点。 2 t 7 若 t (1,2), f ( ) t 3 t 1 ＜0， f (0) t 1 ＞0 2 4 t ∴ f ( x) 在 (0, ) 内存在零点。 2
∴对任意 t (0,2) ， f ( x) 在区间(0,1)内均存在零点。 【浙江省塘栖、瓶窑、余杭中学 2012 届高三上学期联考理】 （本小题满分 15 分）已知函数
①
x x3
1 3 1 x2
②…………15 分
3 1 由于 e e ,故(2)式等号不成立.这与 (1) 式矛盾. 所以⊿ ABC 不可能为等腰三角形.
x
x
【安徽省望江县 2012 届高三第三次月考理】 （本小题满分 13 分） 设函数 f x 1 x 2 ln 1 x 。 (1)求 f x 的单调区间； (2)若当 x 1, e 1 时,(其中 e 2.718 )不等式 f x m 恒成立,求实数 m 的取 值范围； (3)试讨论关于 x 的方程: f x x 2 x a 在区间 0,2 上的根的个数。 【答案】解： （1）函数的定义域为 1, , f x 2 x 1 x 1 由 f x 0 得 x 0 ; 由 f x 0 得 1 x 0 ,
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【浙江省杭州市西湖高级中学 2012 高三开学模拟文】如图是导函数 y f ( x) 的图像，则 下列命题错误的是
A．导函数 y f ( x) 在 x x1 处有极小值 B．导函数 y f ( x) 在 x x2 处有极大值 C．函数 y f ( x)在x x3 处有极小值 D．函数 y f ( x)在x x4 处有极小值 【答案】C 【浙江省塘栖、瓶窑、余杭中学 2012 届高三上学期联考文】曲线 y x3 在点 P (1,1) 处的切 线方程是 【答案】 y 3x 2 【江西省白鹭洲中学 2012 届高三第二次月考文】 函数 y f '( x) 是函数 y f ( x) 的导函数， 且 函 数 .
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(n 1) (
又
1 1 1 2 2 ) 2 2 3 n
1 1 1 1 2 n n(n 1) n n 1
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 2 ( ) ( ) ( ) 2 2 3 n 2 3 3 4 n n 1 2 n 1
a 3b 0 a 3, b 1. a 2b 1 0
（2） f ( x) x3 x 2 2x 1 对任意的 x1 , x2 [1,1], f ( x1 ) k ＜ g ( x2 ) 恒成立
f ( x) max k ＜ g ( x) min ( x [1,1])
【吉林省长春外国语学校 2012 届高三第一次月考】 抛物线 y x 2 上两点 A(1,1), B(2, 4) 处 的切线交于 M 点，则 MAB 的面积为 【答案】
27 4
）
【 江 西 省 上 饶 县 中 学 2012 届 高 三 上 学 期 第 三 次 半 月 考 】 函 数 f ( x) 的 定 义 域 为
2 上的任意 3
一点， P 点处切线倾斜角为 ，则角 的取值范围是 A． C． [
[ 0，
（
2 5 ，) 6
）
2
) [
2 ，) 3
B ． [ 0， ) [ D． ( ，
2
5 ] 6
2 ，) 3
【答案】A 【吉林省长春外国语学校 2012 届高三第一次月考】 已知函数 f ( x) x 3 ax2 (a 6) x 1 有极大值和极小值，则实数 a 的取值范围是（ A． 1 a 2 【答案】C B． 3 a 6 ） D． a 1或a 2 C． a 3或a 6
ln 22 ln 32 ln n2 2n2 n 1 （Ⅲ）证明： 2 2 2 (n N , n 2) 2 3 n 2(n 1)
【答案】解： （Ⅰ）由已知 x 0, f ( x)
1 1 1 1 ,由 f ( x) 0 ，得 1 0 ， 1 ， x 1 。 x x x
1
【答案】 (1)由 f(e)＝2 得 b＝2. (2)由(1)可得 f(x)＝－ax＋2＋axlnx. 从而 f′(x)＝alnx. 因为 a≠0，故： ①当 a>0 时，由 f′(x)>0 得 x>1，由 f′(x)<0 得 0<x<1； ②当 a<0 时，由 f′(x)>0 得 0<x<1，由 f′(x)<0 得 x>1. 综上，当 a>0 时，函数 f(x)的单调递增区间为(1，＋∞)，单调递减区间为(0,1)； 当 a<0 时，函数 f(x)的单调递增区间为(0,1)，单调递减区间为(1，＋∞)． (3)当 a＝1 时，f(x)＝－x＋2＋xlnx，f′(x)＝lnx. 1 由(2)可得，当 x 在区间 e，e内变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表： 1 1，1 x 1 e (1，e) e e f′(x) 0 － ＋ 2 f(x) 2 2－ 单调递减 极小值 1 单调递增 e 1 2 又 2－ <2，所以函数 f(x)(x∈ e，e)的值域为[1,2]． e 【湖北省部分重点中学 2012 届高三起点考试】 （本小题满分 14 分） 设函数 f ( x) ln x x 1 ,（Ⅰ）求 f ( x ) 的单调区间；(Ⅱ)求证： ln x x 1 ；
y f ( x)
在
点
P( x0 , f ( x0 )) x)
）
处
的Leabharlann 切线为l : y
( g )0 x
' f0 (
x ) 0( x
，如果函数 f ( x) 在区间 f( x ) y , F (x )
f
(x
) g
[a , b ]上的图象如图所示，且 a x0 b ，那么（
A． F '( x0 ) 0, x x0 是 F ( x) 的极大值点
所以 f 2 ( x) 在 (, ) 单调递减. ………………………4 分
f1 ( x) 1 x 有唯一实数解 x 1 .
由 f 2 (0) 1 0, f 2 (2) 1 2
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所以，当 x＝4 时，函数 f(x)取得最大值，且最大值等于 42. 答：当销售价格为 4 元/千克时，商场每日销售该商品所获得的利润最大． 【 河 北 省 保 定 二 中 2012 届 高 三 第 三 次 月 考 】 已 知 a ， b 为 常 数 ， 且 a≠0 ， 函 数 f x ax b ax ln x ， f e 2 （ e 2.71828 是自然对数的底数） ． （1）求实数 b 的值； （2）求函数 f x 的单调区间； （文科做） （3）当 a 1 时，求函数 y f x x e , e 的值域。
f (1 x) f (1) 的值为 ( x 0 x 1 1 A． B． 3 3 lim
【答案】A
) C．
2 3
3
D． 0
【四川省江油中学高 2012 届高三第一次学月考试】曲线 y x x 1 在点 1,3 处的切线 方程是 【答案】 4 x y 1 0 【 四 川 省 成 都 外 国 语 学 校 2012 届 高 三 12 月 月 考 】（ 文 科 ） 已 知 函 数
ln x 1 1 ，当 x 2 时， x x
则
ln n 2 1 ln x 1 1 ， 2 1 2 (n 2且n N ) x x n n
ln 22 ln 32 ln n2 1 1 1 (1 2 ) (1 2 ) (1 2 ) 2 2 2 2 3 n 2 3 n
1 5 而 g ( x) x 2 x 1 ( x ) 2 2 4
当 x [1,1] 时， g ( x) min g (1) 1 故 1 k ＜ 1 k ＜ 2
实数 k 的取值范围是 (,2).
【河北省保定二中 2012 届高三第三次月考】某商场销售某种商品的经验表明，该商品每日 的销售量 y(单位：千克)与销售价格 x(单位：元/千克)满足关系式 y
（， 1 ） 上为减函数，在 为增函数。………………………4 分 f ( x) 在 （ 0,1）
（Ⅱ）由（Ⅰ）知：当 x 1 时， f ( x)max 1 1 0 。 对任意 x 0 ，有 f ( x) 0 即 ln x x 1 0 。 即 ln x x 1 ………………………8 分 （Ⅲ）由（Ⅱ）知，
（Ⅰ）研究函数 f 2 ( x) 的单调性并判断 f 2 ( x) 0 的实数解的个数； (Ⅱ)判断 f n ( x) 0 的实数解的个数，并加以证明. 【答案】解： （1） f 2 ( x) 1 x
x 2 x3 1 3 , f 2 ( x) 1 x x 2 ( x ) 2 0 2 3 2 4
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B． F '( x0 ) = 0, x x0 是 F ( x) 的极小值点 C． F '( x0 ) 0, x x0 不是 F ( x) 极值点 D． F '( x0 ) 0, x x0 是 F ( x) 极值点 【答案】D
3 【吉林省长春外国语学校 2012 届高三第一次月考】设点 P 是曲线 y x 3 x
a 2 10 x 6 ， x3
其中 3<x<6，a 为常数．已知销售价格为 5 元/千克时，每日可售出该商品 11 千克． （1）求 a 的值； （2）若该商品的成本为 3 元/千克，试确定销售价格 x 的值，使商场每日销售该商品所获得 的利润最大． a 【答案】 (1)因为 x＝5 时，y＝11，所以 ＋10＝11，a＝2. 2 2 (2)由(1)可知，该商品每日的销售量：y＝ ＋10(x－6)2. x－3 所以商场每日销售该商品所获得的利润 2 2 f(x)＝(x－3)x－3＋10x－6 ＝2＋10(x－3)(x－6)2 3<x<6. 2 从而 f′(x)＝10[x－6 ＋2x－3x－]6＝30(x－4)(x－6)． 于是，当 x 变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表： x (3,4) 4 (4,6) f′(x) 0 ＋ － f(x) 单调递增 极大值 42 单调递减 由上表可得，x＝4 是函数 f(x)在区间(3,6)内的极大值点，也是最大值点．
1 1 3 1 2n 2 n 1 左式 n 1 ………………………14 分 n 2 n 1 2 n 1 2(n 1)
【湖北省部分重点中学 2012 届高三起点考试】设函数
f n ( x) 1 x
x 2 x3 x 2 n1 ... , n N 2 3 2 n 1