2012年高考文科数学试题分类汇编--导数

2012高考文科试题解析分类汇编:导数

1.【2012高考重庆文8】设函数()f x 在R 上可导,其导函数()f x ',且函数()f x 在2x =-处取得极小值,则函数()y xf x '=的图象可能是

2012年高考文科数学试题分类汇编--导数

【答案】C

【解析】:由函数()f x 在2x =-处取得极小值可知2x <-,()0f x '<,则()0xf x '>;

2x >-,()0f x '>则20x -<<时()0xf x '<,0x >时()0xf x '>

【考点定位】本题考查函数的图象,函数单调性与导数的关系,属于基础题. 2.【2012高考浙江文10】设a >0,b >0,e 是自然对数的底数

A. 若e a +2a=e b +3b ,则a >b

B. 若e a +2a=e b +3b ,则a <b

C. 若e a -2a=e b -3b ,则a >b

D. 若e a -2a=e b -3b ,则a <b 【答案】A

【命题意图】本题主要考查了函数复合单调性的综合应用,通过构造法技巧性方法确定函数的单调性. 【解析】若

23a

b

e a e b

+=+,必有

22a b

e a e b

+>+.构造函数:()2x

f x e

x =+,则()20x

f x e '=+>恒成立,故有函数()2x f x e x =+在x >0上单调递增,即a >b 成立.其余

选项用同样方法排除.

3.【2012高考陕西文9】设函数f (x )=2x

+lnx 则 ( )

A .x=

12

为f(x)的极大值点 B .x=12

为f(x)的极小值点

C .x=2为 f(x)的极大值点

D .x=2为 f(x)的极小值点 【答案】D.

【解析】()2

2

212'x f x x

x

x

-=-

+

=

,令()'0f x =,则2x =.

当2x <时,()2

2

212'0x f x x x x -=-+=<; 当2x >时,()2

2212'0x f x x

x x

-=-

+=>.

即当2x <时,()f x 是单调递减的;当2x >时,()f x 是单调递增的. 所以2x =是()f x 的极小值点.故选D . 4.【2012高考辽宁文8】函数y=

12

x 2-㏑x 的单调递减区间为

(A )(-1,1] (B )(0,1] (C.)[1,+∞) (D )(0,+∞) 【答案】B

【命题意图】本题主要考查利导数公式以及用导数求函数的单调区间,属于中档题。 【解析】2

11ln ,,00,02

y x x y x y x x x x

''=-∴=-

>∴< 由≤,解得-1≤≤1,又≤1,故

选B

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5.【2102高考福建文12】已知f (x )=x 3-6x 2+9x-abc ,a <b <c ,且f (a )=f (b )=f (c )=0.现给出如下结论: ①f (0)f (1)>0;②f (0)f (1)<0;③f (0)f (3)>0;④f (0)f (3)<0. 其中正确结论的序号是

A.①③

B.①④

C.②③

D.②④ 【答案】C .

考点:导数。 难度:难。

分析:本题考查的知识点为导数的计算,零点问题,要先分析出函数的性质,结合图形来做。

解答:c b a abc x x x x f <<-+-=,96)(2

3

, 9123)('2+-=x x x f

)

3)(1(3)34(32--=+-=x x x x

导数和函数图像如下:

由图04961)1(>-=-+-=abc abc f ,

0275427)3(<-=-+-=abc abc f ,

且0)3()0(<=-=f abc f , 所以0)3()0(,0)1()0(<>f f f f 。

6.【2012高考辽宁文12】已知P,Q 为抛物线x 2=2y 上两点,点P,Q 的横坐标分别为4,-2,过P,Q 分别作抛物线的切线,两切线交于点A ,则点A 的纵坐标为 (A) 1 (B) 3 (C) -4 (D) -8 【答案】C

【命题意图】本题主要考查利用导数求切线方程的方法,直线的方程、两条直线的交点的求法,属于中档题。

【解析】因为点P ,Q 的横坐标分别为4,-2,代人抛物线方程得P ,Q 的纵坐标分别为8,2.由2

2

12,,,2

x y y x y x '==

∴=则所以过点P ,Q 的抛物线的切线的斜率分别为4,-2,所以

过点P ,Q 的抛物线的切线方程分别为48,22,y x y x =-=--联立方程组解得1,4,x y ==-故点A 的纵坐标为-4

【点评】曲线在切点处的导数即为切线的斜率,从而把点的坐标与直线的斜率联系到一起,这是写出切线方程的关键。

7.【2012高考新课标文13】曲线y =x (3ln x +1)在点)1,1(处的切线方程为________ 【答案】34-=x y

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)

x (

【命题意图】本题主要考查导数的几何意义与直线方程,是简单题.

【解析】∵3ln 4y x '=+,∴切线斜率为4,则切线方程为:430x y --=.

8.【2012高考上海文13】已知函数()y f x =的图像是折线段ABC ,其中(0,0)A 、1

(,1)2B 、

(1,0)C ,函数()y xf x =(01x ≤≤)的图像与x 轴围成的图形的面积为

【答案】

4

1。

【解析】根据题意,得到12,02

()122,12

x x f x x x ?

≤≤??=??-+≤?? ,

从而得到???

???

?≤+-≤≤==121,222

10,2)(22x x x x x x xf y 所以围成的面积为

4

1)22(21

2

12

2

1

=

+-+

=

?

?

dx x x xdx S ,所以围成的图形的面积为

4

1 .

【点评】本题主要考查函数的图象与性质,函数的解析式的求解方法、定积分在求解平面图形中的运用.突出体现数形结合思想,本题综合性较强,需要较强的分析问题和解决问题的能力,在以后的练习中加强这方面的训练,本题属于中高档试题,难度较大. 9【2102高考北京文18】(本小题共13分)

已知函数f(x)=ax 2+1(a>0),g(x)=x 3+bx 。

若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)在它们的交点(1,c)处具有公共切线,求a,b 的值; 当a=3,b=-9时,若函数f(x)+g(x)在区间[k,2]上的最大值为28,求k 的取值范围。

【考点定位】此题应该说是导数题目中较为常规的类型题目,考醒的切线、单调性、极值以及最值问题都是果本中要求的重点内容。也是学生掌握比较好的知识点,在题目占能够发现

(3)28F -=和分析出区间[,2]k 包含极大值点13x =-,比较重要。

解:(1)()2f x ax '=,2()=3g x x b

'+.因为曲线()y f x =与曲线()y g x =在它们的交点()

1c ,处具有公共切线,所以

(1)(1)f g =,(1)(1)f g ''=.

即11a b +=+且23a b =+.解得3,3a b == (2)记()()()h x f x g x =+

当3,9a b ==-时,32()391h x x x x =+-+,2

()369h x x x '=+- 令()0h x '=,解得:13x =-,21x =;

()h x 与()h x '在(,2]-∞上的情况如下:

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由此可知:

当3k ≤-时,函数()h x 在区间[,2]k 上的最大值为(3)28h -=; 当32k -<<时,函数()h x 在区间[,2]k 上的最大值小于28. 因此,k 的取值范围是(,3]-∞-

10.【2012高考江苏18】(16分)若函数)(x f y =在0x x =处取得极大值或极小值,则称

0x 为函数)(x f y =的极值点。

已知a b ,是实数,1和1-是函数32()f x x ax bx =++的两个极值点. (1)求a 和b 的值;

(2)设函数()g x 的导函数()()2g x f x '=+,求()g x 的极值点;

(3)设()(())h x f f x c =-,其中[22]c ∈-,,求函数()y h x =的零点个数. 【答案】解:(1)由32()f x x ax bx =++,得2()32f'x x ax b =++。 ∵1和1-是函数32()f x x ax bx =++的两个极值点,

∴ (1)32=0f'a b =++,(1)32=0f'a b -=-+,解得==3a b -0,。 (2)∵ 由(1)得,3()3f x x x =- ,

∴()()2

3()()2=32=12g x f x x x x x '=+-+-+,解得123==1=2x x x -,。 ∵当2x <-时,()0g x <';当21', ∴=2x -是()g x 的极值点。

∵当21时,()0g x >',∴ =1x 不是()g x 的极值点。 ∴()g x 的极值点是-2。

(3)令()=f x t ,则()()h x f t c =-。

先讨论关于x 的方程()=f x d 根的情况:[]2, 2d ∈-

当=2d 时,由(2 )可知,()=2f x -的两个不同的根为I 和一2 ,注

意到()f x 是奇函数,∴()=2f x 的两个不同的根为一和2。

2

d <时,∵

(1)=(2)=20

f d f d d >----,

(1)=(2)=20f d f d d <----- ,

∴一2 , -1,1 ,2 都不是()=f x d 的根。 由(1)知()()()=311f'x x x +-。

① 当()2x ∈+∞,时,()0f 'x > ,于是()f x 是单调增函数,从而

()(2)=2f x >f 。

此时()=f x d 在()2+∞,无实根。

② 当()1 2x ∈,时.()0f'x >,于是()f x 是单调增函数。 又∵(1)0f d <-,(2)0f d >-,=()y f x d -的图象不间断, ∴()=f x d 在(1 , 2 )内有唯一实根。

同理,()=f x d 在(一2 ,一I )内有唯一实根。 ③ 当()1 1x ∈-,时,()0f'x <,于是()f x 是单调减两数。 又∵(1)0f d >--, (1)0f d <-,=()y f x d -的图象不间断, ∴()=f x d 在(一1,1 )内有唯一实根。

因此,当=2d 时,()=f x d 有两个不同的根12x x ,满足12=1 =2x x ,

;当2d < 时

()=f x d 有三个不同的根315x x x ,,,满足2 =3, 4, 5i x

。 现考虑函数()y h x =的零点:

( i )当=2c 时,()=f t c 有两个根12t t ,,满足12==2t t 1,

。 而1()=f x t 有三个不同的根,2()=f x t 有两个不同的根,故()y h x =有5 个

零点。

( 11 )当2c <时,()=f t c 有三个不同的根345t t t ,,,满足

2 =3, 4, 5

i t

y h x =有9 个零点。

【考点】函数的概念和性质,导数的应用。

【解析】(1)求出)(x f y =的导数,根据1和1-是函数)(x f y =的两个极值点代入列方程组求解即可。

(2)由(1)得,3()3f x x x =-,求出()g x ',令()=0g x ',求解讨论即可。 (3)比较复杂,先分=2d 和2d <讨论关于x 的方程()=f x d 根的情况;再考虑函数()y h x =的零点。

11.【2012高考天津文科20】(本小题满分14分) 已知函数a ax x a x x f ---+

=

2

3

2

131)(,x

其中a>0.

(I )求函数)(x f 的单调区间;

(II )若函数)(x f 在区间(-2,0)内恰有两个零点,求a 的取值范围;

(III )当a=1时,设函数)(x f 在区间]3,[+t t 上的最大值为M (t ),最小值为m (t ),记g(t)=M(t)-m(t),求函数g(t)在区间]1,3[--上的最小值。 【解析】(Ⅰ) 3

22

11()()(1)(1)()32

a f x x x ax a f x x a x a x x a -'=

+

--?=+--=+-

()01f x x '>?<-或x a >,()01f x x a '

得:函数)(x f 的单调递增区间为(,1),(,)a -∞-+∞,单调递减区间为(1,)a - (Ⅱ) 函数)(x f 在(2,1)--内单调递增,在(1,0)-内单调递减 原命题1

(2)0,(1)0,(0)003

f f f a ?-<->

(lfxlby )

(III )当1a =时,154

(2)(1),(2)(1),(1)(1)333

f f f f f f =-=--==---=

()f x 在[3,1],[1,2]--上单调递增,在[1,1]-上单调递减

当[3,2],3[0,1]()(1),()(2)(1)t t M t f m t f f ∈--+∈?=-≤-=

4

()(1)(1)3g t f f ?≥--=

当[2,1],3[1,2]()(1),()(1)t t M t f m t f ∈--+∈?=-=

4

()(1)(1)3g t f f ?=--=

得:函数()g t 在区间]1,3[--上的最小值为

43

12.【2012高考广东文21】(本小题满分14分)

设01a <<,集合{|0}A x x =∈>R ,2

{|23(1)60}B x x a x a =∈-++>R ,

D A B = .

(1)求集合D (用区间表示)

(2)求函数32()23(1)6f x x a x ax =-++在D 内的极值点. 【解析】(1)令2()23(1)6g x x a x a =-++,

22

9(1)4893093(31)(3)a a a a a a ?=+-=-+=--。

① 当103

a <≤

时,0?≥,

方程

()

g x =的两个根分别为

1309

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4

a x +

+

=

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24

x =

所以

(g x >

的解集为

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()4

4

-∞+∞ 。

因为12,0

x x >,

所以

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D == )4

4

+∞ 。

② 当113

a <<时,0?<,则()0g x >恒成立,所以D A B == (0,)+∞,

上所述,当103

a <≤

时,

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D =3333(0,()4

4

a a +-

++

+∞ ;

113

a <<时,D =(0,)+∞。

(2)2

()66(1)66()(1)f x x a x a x a x '=-++=--, 令()0f x '=,得x a =或1x =。

① 当103

a <≤

时,由(1)知D =12(0,)(,)x x +∞ ,

因为2

()23(1)6(3)0g a a a a a a a =-++=->,(1)23(1)6310g a a a =-++=-≤, 所以1201a x x <<<≤,

所以(),()f x f x '随x 的变化情况如下表:

2012年高考文科数学试题分类汇编--导数

所以()f x 的极大值点为x a =,没有极小值点。 ② 当

113

a <<时,由(1)知D =(0,)+∞,

所以(),()f x f x '随x 的变化情况如下表:

2012年高考文科数学试题分类汇编--导数

所以()f x 的极大值点为x a =,极小值点为1x =。 综上所述,当103

a <≤

时,()f x 有一个极大值点x a =,没有极小值点;

113

a <<时,()f x 有一个极大值点x a =,一个极小值点1x =。

13.【2102高考福建文22】(本小题满分14分) 已知函数3

()sin (),2f x ax x a R =-

∈且在,0,

??

????

上的最大值为32π-, (1)求函数f(x)的解析式;

(2)判断函数f(x)在(0,π)内的零点个数,并加以证明。

考点:导数,函数与方程。

难度:难。

分析:本题考查的知识点为导数的计算,利用函数与方程的思想解决根个数的问题。 解答:

(I )33

()sin 22

f x ax x π-=-

在]2

,0[π

上恒成立,且能取到等号

()s i n 2g x x x a

π

?=≤在]2

,0[π

上恒成立,且能取到等号

m ax ()2g x a

π

?

=

()sin cos 0()g x x x x y g x '=+>?=在]2,0[π

上单调递增

(

)122

2

g a a

π

π

π

==

?=3()sin 2

f x x x ?=-(lfxlby )

(II )3()sin ()()sin cos 2

f x x x h x f x x x x '=-?==+

①当x ∈]2

,0[π

时,()0()f x y f x '≥?=在(0,

]2

π

上单调递增 33

(0)()0()2

22

f f y f x π

π-=-

?

]2

π

上有唯一零点

②当x ∈[

,]2

π

π时,()2cos sin 0()h x x x x f x ''=-

,]2

π

π上单调递减

2

()()022

f f ππ

π'=-

π∈使0()0f x '=

00()0,()02

f x x x f x x x π

π''>?≤<>?<< 得:()f x 在0[,)2

x π

上单调递增,0(,]x π上单调递减

3(

)0,()02

2f f π

π>=-

<

得:x ∈0[

,]2

x π

时,()0f x >,

x ∈0[,]x π时,0()()0f x f π<,()y f x =在0[,]x π上有唯一零点

由①②得:函数)(x f 在),0(π内有两个零点。 14.【2012高考四川文22】(本小题满分14分)

已知a 为正实数,n 为自然数,抛物线2

2

n

a

y x =-+

与x 轴正半轴相交于点A ,设()

f n 为该抛物线在点A 处的切线在y 轴上的截距。 (Ⅰ)用a 和n 表示()f n ; (Ⅱ)求对所有n 都有

()1()1

1

f n n f n n -≥++成立的a 的最小值; (Ⅲ)当01a <<时,比较111(1)(2)

(2)(4)

()(2)

f f f f f n f n +

+???+

---与

(1)(1)6(0)(1)

f f n f f -+-

的大小,并说明理由。

命题立意:本题主要考查导数的应用、不等式、数列等基础知识,考查基本运算能力、逻辑推理能力、分析问题与解决问题的能力和创新意识,考查函数与方程、数形结合、分类讨论、化归与转化由特殊到一般等数学思想

[解析](1)由已知得,交点A 的坐标为

???

?

?

?

?0,2a

n

,对x y y

a x

n

22

1

'

2

-=+

-=求导得

则抛物线在点A 处的切线方程为: a

a

a a

a n

n

n

n

n

n f x y x y =

+

-=-

-=)(.2),2

(2则即 ………………4分

(2)由(1)知f (n)=a n

,则121

1

)(1)(+≥+≥

+-n n n

n f n f a

n

成立的充要条件是

即知,1

2+≥n a

n

对于所有的n 成立,

特别地,当n=1时,得到a≥3 当a=3,n≥1时,1n 22.11

)

21(3

+≥?++==

=

+C a n n

n

n

当n=0时,a n

=2n+1.故a=3时11

)(1

)(+≥

+-n n

n f n f 对所有自然数n 均成立.

所以满足条件的a 的最小值为3. ………………………………………………8分 (3)由(1)知f(k)=k a

下面证明:

)

1()0()1()1(.

6)

2()(1)

4()2(1)

2()1(1f f n f f n f n f f f f f -+->-+

?+-+

-

首先证明0

x

x x

612

>-

设函数g(x)=6x(x 2-x)+1,0

2(18)('-=x x x g .

当3

20<

0)('13

2><

故g (x )在区间(0,1)上的最小值09

1

)32()(min

>==g x g

所以,当00,即得

x x x

612

>-

由0

,61

),(102*

k

k

k

k

a k a

a

N

a

>-

<<

n

n

a

a a

a a

a n f n f f f f f 24

2

2

1

1

1)

2()(1)4()2(1)2()1(1-?

+-+

-=

-+?+-+

-

14)

1()0()1()1(616)(61

2

f f n f f n

a a a

a

a

n n

-+-?

=--

?

=+

?++

>+

[点评]本小题属于高档题,难度较大,需要考生具备扎实的数学基础和解决数学问题的能力.主要考查了导数的应用、不等式、数列等基础知识;考查了思维能力、运算能力、分析问题与解决问题的能力和创新意识能力;且又深层次的考查了函数、转换与化归、特殊与一般等数学思维方法。

15.【2012高考湖南文22】本小题满分13分) 已知函数f(x)=e x -ax ,其中a >0.

(1)若对一切x ∈R ,f(x) ≥1恒成立,求a 的取值集合;(2)在函数f(x)的图像上去定点A (x 1, f(x 1)),B(x 2, f(x 2))(x 1

【答案】解:(),x f x e a '=-令()0ln f x x a '==得.

当ln x a <时()0,()f x f x '<单调递减;当ln x a >时()0,()f x f x '>单调递增,故当

ln x a =时,()f x 取最小值(ln )ln .f a a a a =-

于是对一切,()1x R f x ∈≥恒成立,当且仅当

l n 1a a

a -≥. ① 令()ln ,g t t t t =-则()ln .g t t '=-

当01t <<时,()0,()g t g t '>单调递增;当1t >时,()0,()g t g t '<单调递减. 故当1t =时,()g t 取最大值(1)1g =.因此,当且仅当1a =时,①式成立. 综上所述,a 的取值集合为{}1.

(Ⅱ)由题意知,2

1

2121

21

()()

.x x f x f x e

e

k a x x x x --==

---

令2

1

21

()(),x x x

e

e

x f x k e x x ?-'=-=-

-则

1

2112121()()1,x x x e

x e x x x x ?-??=-

---??-

2

1221221()()1.x x x e

x e x x x x ?-??=

---?

?- 令()1t

F t e t =--,则()1t

F t e '=-.

当0t <时,()0,()F t F t '<单调递减;当0t >时,()0,()F t F t '>单调递增. 故当0t =,()(0)0,F t F >=即10.t e t --> 从而21

21()10x x e

x x ---->,12

12()10,x x e

x x ---->又

1

21

0,

x e

x x >-2

21

0,x e

x x >-

所以1()0,x ?<2()0.x ?>

因为函数()y x ?=在区间[]12,x x 上的图像是连续不断的一条曲线,所以存在

012(,)x x x ∈使0()0,x ?=即0()f x k '=成立.

【解析】

【点评】本题考查利用导函数研究函数单调性、最值、不等式恒成立问题等,考查运算能力,考查分类讨论思想、函数与方程思想等数学方法.第一问利用导函数法求出()f x 取最小值

(ln )ln .f a a a a =-对一切x ∈R ,f(x) ≥1恒成立转化为m in ()1f x ≥从而得出求a 的取值

集合;第二问在假设存在的情况下进行推理,然后把问题归结为一个方程是否存在解的问题,通过构造函数,研究这个函数的性质进行分析判断.

16.【2012高考新课标文21】(本小题满分12分)

设函数f (x )= e x -ax -2 (Ⅰ)求f (x )的单调区间

(Ⅱ)若a =1,k 为整数,且当x >0时,(x -k ) f ′(x )+x +1>0,求k 的最大值

【答案】

2012年高考文科数学试题分类汇编--导数

17.【2012高考重庆文17】(本小题满分13分)已知函数3()f x ax bx c =++在2x =处取得极值为16c -

(1)求a 、b 的值;(2)若()f x 有极大值28,求()f x 在[3,3]-上的最大值.

【解析】(Ⅰ)因3()f x ax bx c =++ 故2

()3f x ax b '=+ 由于()f x 在点2x = 处

取得极值

故有(2)0(2)16f f c '=??=-?即1208216a b a b c c +=??++=-? ,化简得12048a b a b +=??+=-?解得1

12a b =??=-?

(Ⅱ)由(Ⅰ)知 3()12f x x x c =-+,2

()312f x x '=-

令()0f x '= ,得122,2x x =-=当(,2)x ∈-∞-时,()0f x '>故()f x 在(,2)-∞-上为增函数;

当(2,2)x ∈- 时,()0f x '< 故()f x 在(2,2)- 上为减函数 当(2,)x ∈+∞ 时()0f x '> ,故()f x 在(2,)+∞ 上为增函数。

由此可知()f x 在12x =- 处取得极大值(2)16f c -=+,()f x 在22x = 处取得极小值

(2)16

f c =-由题设条件知1628c += 得12c =此时

(3)921,(3)93f c f c -=+==-+=,(2)164f c =-=-因此()f x 上[3,3]-的最小值

为(2)4f =-

18.【2012高考湖北文22】(本小题满分14分) 设函数

,n 为正整数,a,b 为常数,曲线y=f(x)在(1,f(1))处的切

线方程为x+y=1.

(1)求a,b 的值;

(2)求函数f(x)的最大值 (3)证明:f(x)<

1n e

.

解:(Ⅰ)因为(1)f b =,由点(1,)b 在1x y +=上,可得11b +=,即0b =.

因为1()(1)n n f x anx a n x -'=-+,所以(1)f a '=-.

又因为切线1x y +=的斜率为1-,所以1a -=-,即1a =. 故1a =,0b =. (Ⅱ)由(Ⅰ)知,1()(1)n n n f x x x x x +=-=-,1()(1)(

)

1

n n f x n x x n -'=+-+. 令()0f x '=,解得1

n x n =+,即()f x '在(0,)+∞上有唯一零点01

n x n =

+.

在(0,)

1n n +上,()0f x '>,故()f x 单调递增;

而在(

,)

1

n n +∞+上,()0f x '<,()f x 单调递减.

故()f x 在(0,)+∞上的最大值为1

(

)()(1)1

1

1

(1)

n n

n n n n n

f n n n n +=-

=

++++.

(Ⅲ)令1()ln 1+

(0)

t t t t

?=->,则2

2

111()=

(0)

t t t t

t

t

?-'=-

>.

在(0,1)上,()0t ?'<,故()t ?单调递减; 而在(1,)+∞上()0t ?'>,()t ?单调递增.

故()t ?在(0,)+∞上的最小值为(1)0?=. 所以()0(1)t t ?>>, 即1ln 1(1)t t t

>->.

令11t n =+,得11ln

1

n n

n +>

+,即1

1ln(

)

ln e

n n n

++>,

所以1

1(

)

e n n n

++>,即

1

1(1)

e

n n n

n n +<

+.

由(Ⅱ)知,1

1()(1)

e

n n n

f x n n +≤

<

+,故所证不等式成立.

【解析】本题考查多项式函数的求导,导数的几何意义,导数判断函数的单调性,求解函数的最值以及证明不等式等的综合应用.考查转化与划归,分类讨论的数学思想以及运算求解

的能力. 导数的几何意义一般用来求曲线的切线方程,导数的应用一般用来求解函数的极值,最值,证明不等式等. 来年需注意应用导数判断函数的极值以及求解极值,最值等;另外,要注意含有,ln x e x 等的函数求导的运算及其应用考查. 19.【2012高考安徽文17】(本小题满分12分) 设定义在(0,+∞)上的函数1()(0)f x ax b a ax

=++>

(Ⅰ)求()f x 的最小值;

(Ⅱ)若曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程为32

y x =

,求,a b 的值。

【解析】(I

)(方法一)1

2012年高考文科数学试题分类汇编--导数

()2f x ax b b b ax =++≥=+, 当且仅当11()ax x a

==

时,()f x 的最小值为2b +。

2012年高考文科数学试题分类汇编--导数

(II )由题意得:313(1)2

2

f a b a =

?+

+=, ①

2

113()(1)2

f x a f a ax

a

''=-

?=-=

, ②

由①②得:2,1a b ==-。

20.【2012高考江西文21】(本小题满分14分)

已知函数f(x)=(ax 2+bx+c )e x 在[]0,1上单调递减且满足f(0)=1,f(1)=0. (1)求a 的取值范围;

(2)设g(x)= f(-x)- f ′(x),求g(x)在[]0,1上的最大值和最小值。 【解析】(1)(0)1f c ==,()()0,1f x a b c e a b =++=+=-, 在[0,1]上恒成立(*) (0)00f a '≤

?≥

(*)(0)0,(1)001f f a ''?≤≤?≤≤

(2)()()()(21)x g x f x f x ax a e '=-=-++()(21)x

g x ax a e '=-+-

2()[(1)]0x f x ax a x a e '=+--≤

①当0a =时,()0()g x y g x '>?=在[]0,1上单调递增 得:min max ()(0),()(1)g x g g x g == ②

01a <≤时,

111()0,()0,()0222a a a g x x g x x g x x a

a

a

---'''=?=

>?<

得:()g x 在[]0,1上的最小值是(0)1,(1)(1)g a g a e =+=-中的最小值 当1(0)(1)(

1)1

e g g a e -≥≤≤+时,m in ()(1)g x g = 当1

(0)(1)(0)1

e g g a e -<<<

+时,m in ()(0)g x g = 求最大值:当11

1(0)23

a a a -≥<≤时,m ax ()0()(1)g x g x g '≥?=

当111(

1)23

a a a

-<<≤时,m ax 1()(

)2a g x g a

-=

得:当

111

e a e -≤≤+时,m in ()(1)g x g =, 当101

e a e -≤<+时,m in ()(0)g x g =

103

a ≤≤

时,m ax ()(1)g x g =,

113

a <≤时,m ax 1()(

)2a g x g a

-=

21.【2012高考辽宁文21】(本小题满分12分)

设()ln 1f x x =+

,证明:

2012年高考文科数学试题分类汇编--导数

(Ⅰ)当x ﹥1时,()f x ﹤ 3

2

( 1x -)

(Ⅱ)当13x <<时,9(1)()5

x f x x -<

+

【命题意图】本题主要考查导数公式,以及利用导数,通过函数的单调性与最值来证明不等式,考查转化思想、推理论证能力、运算能力、应用所学知识解决问题的能力,难度较大。

【解析】(Ⅰ)(法1)记()g x =3ln 1(1)2

x x +

-

-,

2012年高考文科数学试题分类汇编--导数

则当x >1时,()g x '=130

2

x

+-<,

2012年高考文科数学试题分类汇编--导数

又∵(1)0g =,∴()g x <0,即()f x <3(1)2

x -; ……4分

(法2)由均值不等式,当x >1时,1x <+122

x <+, ①

2012年高考文科数学试题分类汇编--导数

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令()ln 1k x x x =-+,则(1)0k =,1()10k x x

'=-<,∴()0k x <,即ln 1x x <-, ②

由①②得,当x >1时,()f x <

3(1)2

x -. ……4分

(Ⅱ)(法1)记9(1)()()5

x h x f x x -=-

+,由(Ⅰ)得,

()h x '=

2

2012年高考文科数学试题分类汇编--导数

154(5)

x

x +-

+2

542(5)

x

x +<

2

5544(5)

x x

x +-

+=

3

2

(5)2164(5)

x x x x +-+,

2012年高考文科数学试题分类汇编--导数

令()g x =3(5)216x x +-,则当13x <<时,()g x '=23(5)2160x +-< ∴()h x 在(1,3)内单调递减,又(1)0h =,∴()h x <0, ∴当1<x <3时,9(1)()5

x f x x -<

+. ……12分

(证法2)记()h x =(5)()9(1)x f x x +--,则当当1<x <3时,

()h x '=()(5)()9f x x f x '++-<31(1)(5)(

9

2

x x x

-+++-

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=1[3(1)(5)(218]2x x x x x -+++

-<11[3(1)(5)(2)18]22

2

x x x x x x

-++++-

2012年高考文科数学试题分类汇编--导数

=

2

1(73225)4x x x

-+<0. ……10分

∴()h x 在(1,3)内单调递减,又(1)0h =,∴()h x <0, ∴当1<x <3时,9(1)()5

x f x x -<

+. ……12分

22.【2012高考浙江文21】(本题满分15分)已知a ∈R ,函数3()42f x x ax a =-+ (1)求f(x)的单调区间

(2)证明:当0≤x ≤1时,f(x)+ 2a ->0. 【答案】

【解析】(1)由题意得2

()122f x x a '=-,

当0a ≤时,()0f x '≥恒成立,此时()f x 的单调递增区间为(),-∞+∞.

当0a >时,()12(f x x x '=-

+

,此时函数()f x 的单调递增区间为?

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??

. (2)由于01x ≤≤,当2a ≤时,3

3

()2422442f x a x ax x x +-=-+≥-+. 当2a >时,3

3

3

()242(1)244(1)2442f x a x a x x x x x +-=+--≥+--=-+.

设3()221,01g x x x x =-+≤≤,则2

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()626(3

3

g x x x x '=-=-

+.

则有 x

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0,3? ?

? 3

3??

? ???

1

()g x ' - 0 + ()g x

1

极小值

1

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所以m in ()1039

g x g ==-

>.

当01x ≤≤时,32210x x -+>. 故3

()24420f x a x x +-≥-+>.

23.【2012高考全国文21】(本小题满分12分)(注意:在试题卷上作答无效)

已知函数ax x x x f ++=

2

3

3

1)(

(Ⅰ)讨论()f x 的单调性;

(Ⅱ)设()f x 有两个极值点21,x x ,若过两点))(,(11x f x ,))(,(22x f x 的直线l 与x 轴的交点在曲线)(x f y =上,求a 的值。

【命题意图】本试题考查了导数在研究函数中的运用。第一问就是三次函数,通过求解导数求解单调区间。另外就是运用极值概念,求解参数值的运用。

解:(1)依题意可得2

()2f x x x a '=++

当440a ?=-≤即1a ≥时,2

20x x a ++≥恒成立,故()0f x '≥,所以函数()f x 在R 上

单调递增;

当440a ?=->即1a <时,

2

()20

f x x x a '=++=有两个相异实根

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122112

x x --=

=--=-+且12x x <

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故由2

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()20f x x x a '=++>?(,1x ∈-∞--或(1)x ∈-++∞,此时()f x 单调递增

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